EXPERIMENTO FACTORIAL 2k

Factorial general pk

Desventajas : 45 = 1024

“De tantos factores solo algunos serán significativos y el error experimental será medido con la mayoría de estos por lo cual el diseño resulta poco eficaz”

Caso especial 2k

de k factores cada uno con dos niveles

permiten experimentar con un alto número de factores y

son fáciles de fraccionar en bloques homogéneos

Los diseños factoriales 2k

El experimento consta de 2k pruebas, una por cada combinación de niveles de factores

Para identificar cada una de las pruebas, utilizamos la siguiente convención :

Cada factor se identifica con letra mayúscula

Cada nivel se identifica con el signo - +,

(-) se refiere al nivel bajo, (+) se refiere al nivel alto.

Una prueba es una combinación de letras minúsculas que denotan los niveles de los factores de la prueba. La presencia de letra minúscula indica que el factor está al nivel que señale el signo. Por ejemplo:

Temperatura nivel bajo : 25 ºC y alto 50 ºC

El diseño factorial 22 es el más simple de dos factores y a dos niveles, que genera 4 combinaciones, los cuales

se representan así:

(1) : Cuando ambos factores están representados a un nivel bajo ( -, -)

(a) : Cuando el factor A esta representado a un nivel alto, y B a un nivel bajo (+, -)

(b) : Cuando el factor A esta representado a un nivel bajo, y B a un nivel alto (-, + )

(ab): Cuando ambos factores están representado a un nivel alto (+,+ )Orden normal

(1) (a)

(b) (ab)

(1) (a)

(b) (ab)

El efecto promedio de A:

El efecto de la diferencia promedio de A (+,-) cuando B esta a un nivel bajo

(-)

r

a

2

)1()(

(1) (a)

(b) (ab)

(1) (a)

(b) (ab)

El efecto de la diferencia promedio de A (+,-) cuando

B esta a un nivel alto (+)

r

bab

2

)()(

Entonces el efecto del factor A es :

Aab b

n

a

n nab b a

[( ) ( )] [( ) ( )]( ( ))

2

1

2

1

21

es un arreglo ORTOGONAL, este es definido como ci=0, (1+1-1-1)=0 y recibe el nombre de

CONTRASTE; este concepto lo utilizamos para obtener la SUMA DE CUADRADOS fácilmente

2A = a - (1) + ab - b

2

2

k

2

)coef(r

)CONTRASTE(o

2r

)CONTRASTE()efecto(SC

El efecto promedio de B:

El efecto de la diferencia promedio de B (+,-) cuando A

esta a un nivel bajo (-)

r

b

2

)1()(

El efecto de la diferencia promedio de B (+,-) cuando A

esta a un nivel alto (+)

r

aab

2

)()(

Entonces el efecto del factor B es :

El contraste es : 2B = ab - a + b - (1)

))1((2

1

2

)]1()[(

2

)]()[( baabrr

b

r

aabB

El efecto de la diferencia promedio de la interacción AB:

El efecto de la diferencia promedio de A (+,-) cuando B esta a un nivel bajo (-)

( ) ( )a

n

1

2

El efecto de la diferencia promedio de A (+,-) cuando B

esta a un nivel alto (+)

( ) ( )ab b

n

2

Entonces el efecto de la diferencia promedio de la interacción AB:

))1((2

1

2

)]1()[(

2

)]()[( ababrr

a

r

babAB

El contraste es : 2AB = ab - a - b + (1)

Para emplear este tipo de experimento se supone que :

Los factores son de efectos fijos .El diseño es Completamente Aleatorio.Satisface el supuesto de normalidad (y)

El modelo estadístico que representa este diseño es :

yij i j ij ij ( )

i = 1,2 j = 1,2

E[ ] = 0 V[ ] = I Cov[ ; ] = 0

ijk

ijk2 i, j k

ijk i j k i i j j k k

,

Hipótesis Asociadas al modelo :

Hipótesis de interacción: Hipótesis de efectos principales:

Ho: (α)ij = 0 Ho: (α)i = 0 Ho: ()j = 0 Ha: (α)ij ≠ 0 Ha: (α)i ≠0 Ha: ()j ≠ 0

ALGORITMO DE LOS SIGNOS

Pruebas A B AB C AC BC ABC . . . Y

(1) - - + - + + - y111

a + - - - - + + y211

b - + - - + - + y121

ab + + + - - - - y221

c - - + + - - + y112

ac + - - + + - - y212

bc - + - + - + - y122

abc + + + + + + + y222

. . . . . .

))1((2

1)ˆˆ(

))1((2

1

2

))1((

2

)(ˆ

))1((2

1

2

))1((

2

)(ˆ

baabr

AB

abbarr

a

r

abbB

babarr

b

r

abaA

Ejemplo Ilustrativo :

Se realizo un experimento para determinar el efecto del tipo de metal (Ni y Cu) y tiempo de sinterización (100 min. y 200 min.) sobre la

resistencia a la compresión (lb*pul.2). Se sintetizo un espécimen de prueba para cada metal durante los dos tiempo de

sinterización.

TIPO DE METAL : Ni(-) y Cu (+) (A)TIEMPO : 100 MIN. (-) y 200 MIN. (+) (B)

Tratamiento : 4r =1

comb. A B AB Y1

(1) - - + 135

a + - - 140

b - + - 126

ab + + + 137

3)126140137135(2

1

6)137126140135(2

1

2

)140135(

2

)137126(

8)126135137140(2

1

2

)126)135((

2

)137140(

AB

B

A

INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

vez calculados los efectos promedios, lo primera tarea es distinguir mediante una técnica estadística, cuales efectos son

significativos sobre la variable y cuales no.

Hay dos situaciones de partida para abordar este problema

Cuando se ha replicado el experimento (anova) y

cuando no se ha replicado.

Este método es sencillo y eficaz y se basa en representar los efectos en el

papel probabilística normal

Normal P-P Plot of TCH2

Observed Cum Prob

1,00,75,50,250,00

Ex

pect

ed

Cum

Pro

b

1,00

,75

,50

,25

0,00

efecto

Supongamos un experimento donde todos

los efectos no son significativos.

Los efectos hallados oscilaran alrededor de

cero

se distribuyen según: N(0, efectos)

Distribuye según:

N( efecto, efecto), donde efecto es distinta para cada tratamiento

Los efectos son

significativos,

tendrán la misma desviación

su media varia dependiendo del tamaño del efecto

Los efectos no significativos

normal Probability Plot of the Effects

Effects

No

rmal

Sco

re

A

B

C

D

AC

CDD

normal Probability Plot of the Effects

Effects

No

rmal

Sco

re

A

B

C

D

AC

CDD

Ordenar los valores de los efectos de menor a mayor.

Calcular la proporción de efectos menores que el que esta considerando (con el factor de corrección 0.5 para poder

representar el efecto menor) Esto será el valor de la ordenada. Para ello se puede utilizar la formula : ,

Donde: i es el numero de orden de cada efecto n es el numero total de efectos

Graduar el eje no probabilística del papel

Representar las parejas (efecto, P).

La forma de representar en el papel probabilística normal los efectos son:

niP )5.0(100

Para el problema del metal y tiempos de sinterizado

Núm. Orden 1 2 3

Efecto -6 3 8

Identidad B AB A

PROB 16.67 50 83.33

INTERACCION ENTRE A Y B

110

120

130

140

150

1 2

A

PR

OM

ED

IO D

E Y

1 2

0

20

40

60

80

100

-10 -5 0 5 10

EFECTO

PR

OB

AB

ILID

AD

Experimento factorial 23

(1) : Cuando los tres factores están representados a un nivel bajo ( -, -, -)(a) : Cuando el factor A esta representado a un nivel alto, y B y C a un nivel bajo (+, -,-)(b) : Cuando el factor A y C están representados a un nivel bajo, B a un nivel alto (-,+,-)(ab): Cuando el factor A y B están representados a un nivel alto y C a un nivel bajo(+,+, - )(c) : Cuando el factor A y B están representados a un nivel bajo y C a un nivel alto (-,-,+)(ac) : Cuando el factor A y C están representados a un nivel alto y B a un nivel bajo (+,-,+ )(bc) : Cuando el factor B y C están representados a un nivel alto y A a un nivel bajo (-,+,+).(abc) : Cuando los tres factores están representados a un nivel alto (+,+, + )

A

B

C

+

+

+

(1):y111(a):y211

(b):y121 (ab):y221

(ac):y212(c):y112

(bc):y122 (abc):y222

])1([4

1

])1([4

1

])1([4

1

])1([4

1

])1([4

1

])1([4

1

])1([4

1

abcbcaccabbar

ABC

abcbcaccabbar

BC

abcbcaccabbar

AC

abcbcaccabbar

AB

abcbcaccabbar

C

abcbcaccabbar

B

abcbcaccabbar

A

De manera general para calcular cualquier efecto promedio, es posible utilizar la siguiente expresión:

)(2

11contraste

rpromedioefecto

f

En el caso del factorial 22,

2

2

2

2

2

2

2

))1((

2

))1((

2

))1((

r

baabSCAB

r

baabSCB

r

baabSCA

SUMA DE CUADRADOS:

Resumen :Las relaciones generales para los factoriales 2k con n

repeticiones por tratamiento son:

k

2

1k

2r

)contraste()contraste(SC

2r

)contraste(efecto

EJEMPLO CLASE

En un experimento en química, 3 factores fueron estudiados, cada uno a dos niveles. El experimento fue completamente aleatorizado y los

factores fueron conocidos como A, B y C. Los resultados son:

A1(-) A2(+) B1(-) B2(+) B1(-) B2(+)

C1(-) C2(+) C1(-) C2(+) C1(-) C2(+) C1(-) C2(+) 1595 1745 1835 1838 1573 2184 1700 1717 1578 1689 1823 1614 1592 1538 1815 1806

TOTAL 3173 3434 3658 3452 3165 3722 3515 3523

(1) (c) (b) (bc) (a) (ac) (ab) (abc)

EFECTOS PROMEDIO:

A = (1/(4*2))[208] = 26B = (1/(4*2))[654] = 81.75C = (1/(4*2))[620] = 77.5

AB = (1/(4*2))[-352] = -44AC = (1/(4*2))[510] = 63.75BC = (1/(4*2))[-1016] = -127

ABC = (1/(4*2))[-82] = -10.25

SCA SCB

SCC SCAB

SCAC SCBC

SCABC

( )

*

( ) ( ).

( ) ( )

( ).

( )

( ).

208

2 2

208

162704

654

1626732 25

620

1624025

352

167744

510

1616256 25

1016

1664516

82

16420 25

2

3

2 2

2 2

2 2

2

246284

75.38868116

)27642(48143692

... 222

CABCSCBCSCACSCABSCCSCBSCASCTSCE

rabc

yijkySCTotal

F.V SC g.l CM F Pr>F A 2704 1 2704 0.08783 0.774 B 26732.25 1 26732.25 0.8683 0.379 C 24025 1 24025 0.78039 0.403

AB 7744 1 7744 0.2515 0.629 AC 16256.25 1 16256.25 0.528 0.488 BC 64516 1 64516 2.095 0.186

ABC 420.25 1 420.25 0.013651 0.910 ERROR 246284 8 30785.5 TOTAL 388681.75 15

TAREA

Tres factores son estudiados para determinar su efecto sobre los caballos de fuerza necesarios para

remover una pulgada cúbica de metal por minuto. Los factores son : proporción de alimentación a dos niveles (0.011 y 0.015), Condición de la herramienta a dos niveles (igual y nueva), y tipo de herramienta a

dos niveles (utilidad y precisión).Para cada combinación de tratamientos se tiene 3

observaciones en un diseño completamente al azar. Los datos son los siguientes:

PROP. ALIMENATACIÓN (B)

TIPO 0.011 (-) 0.015(+)

HERRAMIENTA CONDICCIÓN HERRAMIENTA (C)

(A) USADA(-) NUEVA(+) USADA(-) NUEVA(+)

UTILIDAD (-) 0.576

0.576

0.565

0.548

0.555

0.540

0.514

0.515

0.518

0.498

0519

0.504

PRECISIÓN (+) 0.526

0.542

0.548

0.547

0.524

0.525

0.494

0.504

0.530

0.521

0.480

0.494

Aplique el método general y algoritmo de signos, compare los resultados, analícelos y concluya