F1_Algebra_Vectorial_2015-2

* Prof. REYES ÑIQUE J. MIGUEL

* U R P - Esc. de Ingeniería Civil 1

Prof. MIGUEL REYES 1

C U R S O : F I S I C A - I

PROFESOR : REYES ÑIQUE

JUAN MIGUEL

HORARIO : Lunes 8:00 9:40 am

Jueves 8:00 9:40 am

e-mail : [email protected]

UNIDAD TEMÁTICA Nº 1:

En esta unidad el estudiante conocerá y se familiarizará con las

operaciones y propiedades básicas del algebra vectorial, las cuales

las podrá aplicar en la solución de problemas simples.

ALGEBRA VECTORIAL



FISICA

FISICA CLASICA FISICA MODERNA

siglo XIX

Utiliza el lenguaje de las matemáticas como „puente‟ entre el

experimento y la teoría.

Es la ciencia que estudia las leyes más simples y generales de los

fenómenos de la naturaleza, las propiedades y estructura de la

materia y las leyes de su movimiento.

( = Naturaleza )

• Mecánica

• Termodinámica

• Acústica

• Electricidad y Magnetismo

• Óptica

• Mecánica Relativista

• Mecánica Cuántica

Se basa en la observación experimental para „construir‟ una

teoría ( leyes y principos ), la cual pueda describir y explicar los

fenómenos, así como predecir futuros resultados.


Se denomina magnitud (o cantidad) física a la

característica ( propiedad o atributo ) de un fenómeno o cuerpo

físico, la cual se puede medir directamente o medir indirectamen-

te (calcular).

Fenómeno:

Cuerpo:

Caida de una

piedra

Ladrillo

• distancia

• tiempo

• volumen

• masa

medir

Característica

Ejemplos: la distancia, el tiempo, la masa, la velocidad, la fuerza,

temperatura, la energía, la carga eléctrica, etc.

Al estudiar un fenómeno o un cuerpo nos vemos en la necesidad

de caracterizarlo.

calcular

medir

medir

MAGNITUD FISICA




Hay un pequeño grupo de magnitudes físicas (siete en total) en

base a las cuales se pueden expresar todas las demás magnitudes

físicas; a las primeras se les denomina magnitudes fundamentales

y las segundas magnitudes derivadas.

Mag. Fundamentales

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS :

NombreSímbolo

dimensional

longitud L

masa M

tiempo T

NombreSímbolo

dimensional

volumen L+3

velocidad LT 1

fuerza MLT 2

Mag. Derivadas

...

...

...

...

I ) MAGNIT. FUNDAMENTALES Y MAGNIT. DERIVADAS


U n i d a d e s

Magnitud Sistema

Internacional

Sistema

Gaussiano

Sistema

Inglés

SISTEMAS DE UNIDADES

metro ( m )

kilogramo ( kg )

segundo ( s )

centimetro ( cm )

gramo ( g )

segundo ( s )

pie ( p )

libra ( lb )

segundo ( s )

Longitud

Masa

Tiempo

Medir : Es determinar cuantas veces la magnitud en cuestion

contiene a una magnitud de su misma especie, la cual se

tomó como patrón y a la que se adoptó como su unidad.

Toda magnitud física se expresa con un número y una unidad.

Ejemplo: la altura es de 3 m.


Escalar : Es la magnitud física que queda completamente

determinada por su valor numérico (número real).

Vector : Es la magnitud física que queda completamente

determinada por un valor numérico (número real

positivo) y una dirección (sentido).

Ejm.: el tiempo ( 23 s ), la masa ( 54 kg ), la

temperatura ( 7 oC ), etc.

Ejm.: el desplazamiento, la velocidad, la fuerza,

etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS :

II ) MAGNIT. ESCALARES Y MAGNIT. VECTORIALES

A

B

Módulo ( o magnitud ).-

1 uAB

Rep. Geométrica: Rep. Literal:

1) Representación de un vector

C

C C

AB

Un vector ( la flecha ) tiene las siguientes características:

Dirección ( y sentido ).-

C

u 4

Eje l

Está dada por el ángulo que hace la

flecha con un eje de referencia (Eje l ).

Es la longitud de la flecha.

ALGO ACERCA DE LOS VECTORES (FORMA GRÁFICA)

(flecha)





2) Igualdad de vectores

A

B

C

D

E

F

HGHG AB

EF AB

CD AB

Dos o más vectores son iguales

entre sí, cuando sus módulos y

direcciones (sentidos) también son

iguales.


3) Suma de vectores

B

Método del polígono:

A

A

C

Método del paralelogramo: S = A B

S = A B C

A

B

S

A

S

B BC


4) Resta de vectores

5) Descomposición de un vector a lo largo de ejes

S

S1

S = S1 + S2

Eje 10

Eje 2S2

S2

S1

Componentes

R = A B A + ( B )

B

A

A

B

B

R

6) Multiplicación de un vector por un escalar

La multiplicación de un vector A por un escalar es un vector M

que tiene las siguientes características:

A M

Módulo : ; o sea que siM = A < 1 M A ,

> 1 M A .

Dirección

( sentido ) :tiene el mismo sentido que ,M

tiene un sentido opuesto a . M

A

A

Si > 0

si < 0

M

= 2,5

AVector :

Escalar :

EJEMPLO:

12

Notación : M = A



7) Vector unitario

A

Es un vector de módulo igual a la unidad y que solo sirve para

indicar una dirección determinada.

De la figura, vemos que podemos escribir:

De aqui deducimos que: AA =

A

Prof. MIGUEL REYES

Lo denotaremos literalmente colocando un “sombrerito” sobre la

letra. Por ejemplo, en la figura se muestra el vector y su vector

unitario .

A

A

A

A = AA

AA

1A =

13 Prof. MIGUEL REYES 14

8) Proyección algebráica de un vector sobre un eje

Eje l

S

Sl = S cos

SlProyección

algebraica

(escalar)

Sea un vector de módulo S, que hace un ángulo con un eje l .


9) Producto escalar ( ó producto punto ) de dos vectores

B

A

B

A

B

A

A • B = A B cos

El producto escalar de dos vectores A y B es un número, obtenido

de multiplicar el módulo A de uno de los vectores por el módulo B

del otro vector y por el coseno del ángulo , que ellos forman.

Notación: = A BA = B AB


10) Producto vectorial ( ó producto cruz ) de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores A y B es un vector C que

tiene las siguientes características:

Módulo : θsen BA C C

Dirección : C

Sentido : Regla de la mano derecha ( ver figura )

B

A

C

RMD

C = A B Notación :

es perpendicular By A




b) las proyecciones Ax , A y ,

B x y B y .

Halle gráficamente:

EJEMPLO:

B A 2 R

a) el vector

En la figura se muestran dos

vectores en el plano de

los ejes cartesianos XY.

By A

Y

X

B

A

Y

X

B

A

Y

X

B

A

SOLUCION:

2A

a) el vector

B A 2 R

b) las proyecciones Ax , Ay , B x y B y .

By

Bx

Y

X

B

A

B

R

Ax

Ay

18

X

Y

0

(x,y)

SISTEMA DE COORDENADAS

y

x P

EN EL PLANO :

Es un conjunto de números reales que determinan la posición de

un punto P.

j

i X

Y

Z

0

yx

z

(x,y,z)

EN EL ESPACIO : (x , y , z)

P

i

j

(x , y)

k

Veremos solo las coordenadas CARTESIANAS:

Aquí, k , j , i son los vectores unitarios cartesianos ! Prof. MIGUEL REYES 19

Ax

Ay

EXPRESION CARTESIANA DE UN VECTOR EN

EL PLANO

X

Y

O

A su módulo: A

i

j sus ángulos directores: , .

i A A xx

j A A yy

j A i A A yx

β cosA A , y A A A 2

y

2

x αsen A

Supongamos que en el plano XY se

tiene un vector (flecha), dado por:

Entonces, se puede escribir que:

yx A A A

donde


α cosA A , x



Ay

EXPRESION CARTESIANA DE UN VECTOR EN

EL ESPACIO

Z

X

Y

0

A

Módulo: A

k i

j

Ángulos directores: , , .

zyx A A A A

k A j A i A A zyx

α cosA Ax

β cosA Ay

γcosA Az A A A A 2

z

2

y

2

x

i A A xx

j A A yy

k A A zz

A z

Ax

Prof. MIGUEL REYES 21 Prof. MIGUEL REYES 22

A

2) Igualdad de vectores

zzyyxx B A , B A , B A

3-4) Suma . Resta de vectores

B A

ALGO ACERCA DE LOS VECTORES (FORMA ANALITICA)

B A

B

1) Representación ( cartesiana )

k A j A i A zyx

k B j B i B zyx

k )B (A j )B (A i )B (A zzyyxx

5) Descomposición de un vector a lo largo de ejes cartesianos

i A A xx

j A A , yy

k A A , zz

6) Multiplicación de un vector por un escalar

A λ M

7) Vector unitario

A A

1 A

k )A (λ j )A (λ i )A (λ zyx

A A A

k A j A i A

2

z

2

y

2

x

zyx

Prof. MIGUEL REYES 23 24

BBB

AAA

kji

zyx

zyx

10) Producto vectorial ( ó cruz ) de dos vectores

8) Proyección de un vector sobre los ejes cartesianos

9) Producto escalar ( ó punto ) de dos vectores

)BA B(A k )BA B(A j )BA B(A i xyyxzxxzyzzy

B A

xA yA , zA ,

B A zzyyxx B A B A B A

Prof. MIGUEL REYES




En el plano XY se muestran tres

vectores de módulos:

a) Halle las proyecciones (alge-

bráicas) de los vectores

EJEMPLO:

b) Escriba las expresiones carte-

sianas de los vectores

x

y

A

45o

C Bu. 2 10 Cy u 2 4 B ,u 3 A

c) Halle los valores de las constantes desconocidas „a‟ y „b‟ , sa-

biendo que éstas satisfacen la relación:

. B b A a C

. Cy B ,A

. Cy B ,A

x

y

A

45o

C B

SOLUCION:

2

1 24

a) Proyecciones (algebráicas):

2

1 210

Ax

o0 cosA

A yo0sen A

3 1 3

0 0 3

Bx

o45 cos B

Byo45sen B

2

1 24

4

4

Cx

o135 cos C

C yo135sen C

10

10

2

1 210

3 Ax

0 Ay

4 Bx

4 By

10 Cx

10 Cy Prof. MIGUEL REYES 26

c) Valores de las constantes „a‟ y „b‟ :

B b A a C

xxx B b A a C 4 b 3 a 10

yyy B b A a C 4 b 0 a 10

20/3 a ; 5/2 b

i 3 j A i A A yx

j B i B B yx

j 4 i 4

j C i C C yx

j 10 i 10

b) Expresiones cartesianas:


j (0) i (3)

j (4) i (4)

j (10) i 10)(

Si se da la igualdad vectorial , entonces se debe

dar la igualdad de sus proyecciones respectivas:

EJEMPLO:

En la figura se muestra un tornillo

sometido a dos fuerzas F1 y F2 . Para

este sistema de dos fuerzas (vectores),

determine:

a) su resultante.

b) la magnitud de la resultante.

c) la dirección de la resultante.

X

Y

15o

F2 = 150 N

F1 = 100 N30o

Rpta. : a)

b) c)

N j 155,8 i 171,6 F

N 231,8 F o42,24 α




X

Y

F1

30o

15o


SOLUCION:

a) Resultante:

96,6 15 cos 100 F o

1x

N j 155,8 i 171,6 F

j F i F yx

75,0 )30 (90 cos 150 F oo

2x

21 F F F

F1 y

F2 x

F2 y

25,9 15sen 100 F o

1y

129,9 )03(90sen 150 F oo

2y c) Dirección de la resultante

F

F α cos x

b) Magnitud de la resultante:

F F F 2

y

2

x N 231,8

0,74 231,8

6,171

0,74 cos arc α

F1 x Fx

F2 F2

Fy

j )F F ( i )F F ( y 2y 1 x2 x1 F

o42,24

Se tienen los puntos P1 (0; 0; 2), P2 (1; 2; 0) y O (0; 0; 0).

a) Dibuje, en un sistema de ejes cartesianos, los vectores:

, OP r 11

b) Escriba las expresiones cartesianas de . ry r , r 21 2 1

c) Halle analíticamente la distancia entre los puntos P1 y

P2 ; y el ángulo entre los vectores .

EJEMPLO:

y OP r 22

. OP OP r 1221

2 1 ry r 21PP

3 PP 21

k 2 j 2 i r21

Rpta. : b) c)k 2 r1

j 2 i r2

o90 θ


r21

X

Y

Z

0

a) Vectores:2

-1

2

. ry r , r 2121

SOLUCION:

b) Expresiones

cartesianas:

k 2 r1

j 2 i r2

k 2 j 2 i r r r 1 2 21

P2

P1

r2

r1


c) Distancia:

PP 21 r 21

)2( 2)( )1( 222 3

θ cos r r 2 1 r r 2 1

z 2 z 1 y 2 y 1 x2 x1 r r r r r r

(0) (2) (2) (0) )1( (0) θ cos )5 ( (2)

0 θ cos rad 2

π 90 θ o

Angulo:

La distancia entre los puntos P1 y P2 es igual al módulo del

vector .21PP

2121 r PP

)r ( )r ( )r ( 2

z 21

2

y 21

2

x21

32Prof. MIGUEL REYES



La figura muestra un poste

metálico sujeto por tres cuerdas.

Determine la expresión cartesia-

na de:

a) los vectores

b) el vector unitario de la resul-

tante de los vectores

EJEMPLO:

.ADy AC ,AB

AC ,AB .ADy


SOLUCION:

m j 10 k 24

a) Vectores

b) Vector unitario de la resultante:

m j 18 i 16 k 24

P

Q

B

m j 8 i 12 k 24

R R

1 R

341

k 18 j 4 i

m ) k 18 j 4 i ( 4

:ADy AC ,AB

OB AO AB

PC OP AO AC

QD OQ AO AD

AD AC AB R


EJEMPLO:

Se tienen los vectores

Determine: a) su producto escalar .

By A

b) el ángulo que ellos forman.

, dados por las expresiones:

. k 4 i 2 B , j 3 i 3 A

c) el producto vectorial .B A

zzyyxx BA BA BA B A

(4) (0) (0) (3) (2) 3)(

a) Producto escalar

SOLUCION:

6

B A

B A


θ cos BA B A

θ cos ) 5 2 ( ) 2 3 ( 6

b) Ángulo que forman

0,316 101 θ cos o108,4 0,316) ( cos arc θ

2 3 )(0 )(3 3)( A 222

5 2 )(4 )(0 (2) B 222

c) Producto vectorial B A

B A

BBB

AAA

kji

zyx

zyx

402

033

kji

6) (0 k 12) (0 j 0) (12 i k 6 j 12 i 12 Prof. MIGUEL REYES 36



En la figura se muestran los

a) de

EJEMPLO:

z

x

y

0

A

C

B

D

2

4

6

. Dy C , B , A

. Dy C , B , A

b) de un vector , paralelo

y del mismo sentido que

el vector , pero de mó-

dulo M = 10 .

C

M

Deter-

mine las expresiones carte-

vectores

sianas:

Rpta .-

b)

a) ; ; j 4 A k 2 j 4 i 6 B k 2 j 4 C

i 6 D k 52 j 54 i 0 M


SOLUCION:

k A j A i A A zyx

k B j B i B B zyx

j 4

k 2 j 4 i 6

a) Expresiones cartesianas :

k ) 0 ( j ) 4 ( i ) 0 (

k ) 2 ( j ) 4 ( i ) 6 (

k C j C i C C zyx

k ) 2 ( j ) 4 ( i ) 0 ( k 2 j 4

k D j D i D D zyx

k ) 0 ( j ) 0 ( i ) 6 ( i 6

z

x

y

0

A

C

B

D

2

4

6

38

k 52 j 54 i 0 M

b) Vector :M

10 M ; C λ M

xx C λ M

yy C λ M

zz C λ M

) 0 ( λ

) 4 ( λ

) 2 ( λ

0

λ 4

λ 2

M M M M2

z

2

y

2

x

)2λ( )(4λ (0) 10 222

5 λ

0 λ ,


F1_Algebra_Vectorial_2015-2

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