(Capítulo 5)

Ing. Jesús Díaz Garza

Física IEjercicios de Dinámica

TERCERA LEY

Cuando se aplica una fuerza en un cuerpo, este recibe una reacción de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.

Esta ley nos permite establecer que fuerzas actúan sobre un cuerpo y hacer el diagrama de fuerzas.

PRIMERA LEYCuando un cuerpo, en reposo o

movimiento con velocidad constante, continua en reposo o con velocidad constante, se debe al equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Esto se expresa, matemáticamente, formando una ecuación de las fuerzas que actúan igualadas con cero.

SEGUNDA LEYEl movimiento acelerado de un cuerpo

se explica por el desequilibrio de las fuerzas que actúan sobre él.

La Fuerza resultante de las fuerzas tendrá una magnitud igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración.

Fuerza Resultante

aceleración

F1

F2

F3Fn

FUERZA DE FRICCIÓNEmpíricamente se estableció la

ecuación para la fuerza de roce, que aparece como resultado de la interacción de un cuerpo sobre una superficie. Esta fuerza es paralela a las superficies en contacto y opuesta al movimiento de los cuerpos. Su magnitud es proporcional a la fuerza normal (N).

Fuerza de roce cinético Fk = μkN μk=coef. cinético.

Fuerza de roce estático Fs ≤ μsN μs=coef. estático.

v

FrN

FUERZA DE ROZAMIENTOLa fuerza de roce se incrementa o

disminuye con la dureza, acabado y otros factores de los materiales de las superficies en contacto.

También varía si el cuerpo está en reposo o en movimiento

Es proporcional a la normal.Su ecuación es: Fr

= Kn O Fr eN

Ejercicio 5.8, página 168Una gran bola de demolición está

sostenida, en reposo, mediante dos cables ligeros de acero. La masa de la bola es de 4090kg, ¿cuanto vale:

a) La tensión Tb?b) La tensión Ta?

a b

El ángulo de b con vertical es 40°

ResoluciónDiagrama Ecuaciones

ΣFy=0Tby –W =00.77Tb = W = 40082NTb =40082/0.77 Tb=52,323NΣFx =0Tbx – Tax =0; 0.65Tb

=Ta Ta=0.65(52323N)Ta =34,010N

Ta Tb 50°

W

ComponentesTax=Ta cos 180°= -TaTay=Tasen180°= 0Tbx =Tbcos 50°= 0.65TbTby =Tbsen50° = 0.77TbW =(4090kg)(9.8m/s2)W=40082N

Ejercicio 5.12 pag. 169En la figura el peso w es de 60.0N a)

Calcule la tensión en el cordón diagonal. b) Calcule los valores de F1 y F2 que deben aplicarse para mantener al cuerpo en la posición indicada.

w

90° 90°F1 45°

90° F2

Continúa ej. 5.12a) Llamaremos T a la fuerza del cordón

diagonal.

ΣFy=0

Ty – W = 0 T(sen(180° - 45°)) = W T = 60.0N/0.707

T = 84.9N

ΣFx=0

Tx+ F2 = 0 F2 = -T(cos(180°-45° )) F2 = (84.9)(0.707)

F2 = 60N

T 45° F2 W

Continúa ej. 5.12Para F1 hacemos un nuevo diagrama de

cuerpo libre.

ΣFx=0

Tx - F1 = 0 -F1 = -Tx F1 = T (Cos 315°) = -(84.9)(0.707)

F1 = 60N

TtF1 45° T

Ejercicio 5.36 página 171El bloque A está sobre una mesa y tiene

peso Wa de 45N, el bloque B esta suspendido, tiene peso Wb de25N, y cuando se mueve lo hace con velocidad constante.

¿Cuanto vale μκ?

A

B

ResoluciónDiagrama de

A

Diagrama de B

ΣFx=0T – Fk = 0 Fk = μkNa T = μkNaΣFy=0

Na – Wa = 0 Na = Wa sustituyendo

T = μkWa (ecuación 1)

ΣFy=0T = Wb (ecuación 2)Igualando 1 y 2 μk Wa = Wbμk=Wb/Wa =25/45 =0.56

Na

Fk T

Wa

T

Wb

Continuaciónb) Si un gato de 45N se queda dormido sobre

el bloque A, ¿con que aceleración se moverá el bloque B?

N a WcFk T

Wa

a T

Wb

Cuerpo B ΣFy=-mba T – Wb = -mba (ecuación1) Cuerpo A ΣFx=maa T – Fk = mac a (ecuación 2) ΣFy=0 Na –Wa + Wc=0 Na= Wa + WcFk = μkNa = (0.56)(90N) = 50.4NEn ecuación 2 T – 50.4N = (90/9.8)aT=9.2 a + 50.4N Sustituyendo en 1(9.2 a + 50.4) - 25 = - (25/9.8)a a=-4.7m/s2

- indica desacelerar.

Ejercicio 5.50 página 172Una curva plana en una carretera tiene un radio de 220 m. Un auto toma la curva a 25.0 m/s, ¿cual es el mínimo coeficiente de fricción con el cual el auto no sale de la curva?

a N Fk

W

Para obtener μκ necesitamos conocer las magnitudes de N y Fk. Al observar el diagrama notamos que Fk es la única fuerza en “x”, por lo que: ΣFx =m(-a) -Fk = -ma Fk = ma a =v2/r =(25.0 m/s)2 /(220 m) a= 2.84m/s2

continuación

Para encontrar N aplicamos la primera ley de Newton a las fuerzas en “y”ΣFy = 0N – W = 0 N = W = mg, por lo que N= mgComo μκ =Fk/N tenemos que: μκ = m(2.84m/s2)/m(9.8 m/s2)μκ =0.29

Ejercicio 5.54 página 172

Un pequeño botón se coloca en una plataforma que está girando a 40.0 rev/min. El botón podrá girar si se le coloca a no más de 0.150 m del eje de giro. ¿Cual es el coeficiente de roce entre el botón y la plataforma? Si se le coloca a en la plataforma que gira ahora a 60.0 rev/min, ¿que tan alejado se le puede colocar del eje de giro?El periodo (T) se obtiene

de la frecuencia en rev/s f=0.67 rev/sT= 1/f = 1/0.67rev/s = 1.5 s/reva = 4π²r/T² = 2.6 m/s2

continuaciónΣFx =m(-a) -Fk = -ma Fk = maΣFy = 0 N – W = 0 N = W = mg, por lo que

N= mgComo en el ejercicio anterior, μκ =Fk/N . μκ =m(2.6 m/s2) / m(9.8 m/s2) = 0.27

Si gira a 60.0 rev/min, la frecuencia en rev/s será 1.0

La aceleración es a = 4π²r/T² = 39.5(r) m/s2

Fk = (39.5r m/s2)(m) pero también Fk = (0.27)N =0.27(m*g)

Igualando. (39.5(r) m/s2)(m) = (0.27)N =0.27(m*g)

r =0.27(m)(9.8m/s2)/ (39.5 m/s2)(m) = 0.07 m

Problema 5.66 página 173

El bloque A pesa 60.0N y el coeficiente de roce estático con la superficie es 0.25. El bloque B pesa 12.0N , están en reposo según se muestra.

a. ¿Cuánta fuerza de fricción actúa sobre el bloque A?

45° A

B

ResoluciónΣFx=0

T – F k = 0 T = Fk

En B ΣFy=0

TaSen45° – Wb = 0 0.71Ta = Wb

Ta = 12N /0.71 = 16.9 N

ΣFx=0

-T + TaCos45° = 0

0.71Ta = T T =0.71(16.9 N) = 12 N

T = Fk = 12 N

NFk T

Wa

T Ta

Wb

Tax = TaCos 45°Tay = TaSen45°

Resoluciónb) ¿Cuanto sería el peso máximo de B para que el

sistema no se mueva?

Ahora Fk tendrá su valor máximo.

Fk = μ N ΣFy = 0 N – Wa = 0 N = 60.0 N

Fk = (0.25)(60.0 N ) = 15.0 N

En B ΣFy=0

TaSen45° – Wb = 0 0.71Ta = Wb

ΣFx=0

-T + TaCos45° = 0

0.71Ta = T = 15.0 N

Como 0.71 Ta = Wb, Wb = 15.0 N

Problema 5.86 página 175a)¿Hacia donde se moverán los cuerpos del sistema? Lo lógico parece ser que el de 100kg se

deslice hacia abajo y el otro hacia arriba, en las rampas.

b)¿Que aceleración tendrán los bloques?c)¿Cual es el valor de la tensión? (No hay Fricción)

100Kg 50Kg 30.0 53.1°

Resolvemos la pregunta b), dándole un sentido a la aceleración, hacia abajo, en el bloque de 100kg.

continuaciónEn el cuerpo de 100kg (A)Wa = (100kg)(9.8m/s2) =980NWax = Wa Sen30.0° = 0.5 Wa = 490NWay = Wa Cos30.0° = 0.87Wa

=852.6NΣFx=ma (-a) T - Wax = -ma a

T -490 = -100 a (Ecuación 1)En el cuerpo de 50kg (B)Wb = (50kg)(9.8m/s2) =490NWbx = WaSen 53.1° = 391.9NWby = WaCos53.1 = 294.2NΣFx=mb (-a) -T + Wbx = -mb a

-T + 391.9N = -50 a (Ecuación 2)

Na a T

Wa

T Nb

Wb a

continuación

Combinamos las ecuaciones 1 y 2T -490 = -100 a (Ecuación 1)-T + 391.9N = -50 a (Ecuación 2)(T – 490)+ (-T + 391.9) = (-100 a) + (-50 a)-490 + 391.9 = -150 a-98.1 / -150 = aa = 0.7 m/s2

Como el signo de a es positivo indica que el sentido supuesto es correcto.

Problema 5.104 página 177El bloque de 4.00kg está unido a una varilla

vertical con dos cordones. Cuando el sistema gira en torno del eje de la varilla, la tensión en la cuerda superior es de80.0N:

a)¿ Que tensión tiene la cuerda inferior?Antes de aplicar las Leyes de Newton

calcularemos los valores de seno y coseno de los ángulos que forman las cuerdas con la horizontal.

Lado A =√(1.252 - 1.002) = 0.75mCos A = 0.75/1.25 =0.6Sen A = 1/1.25 = 0.8

1.25m

2.00 m 4.00kg

1.25m

1.00m A

continuaciónTay = TaSenA = 0.8Ta =0.8(80N) =64N

Tax =TaCosA = 0.6 Ta= 0.6(80N) =48NTby = TbSenA =0.8Tb Tbx = TbCosA = 0.6 TbW = mg = (4.00kg)(9.8m/s2) = 39.8N

ΣFy=0Tay – Tby – W = 0Tay – W = Tby Tby = 64 – 39.8 = 24.2Nb)¿Cuántas rpm dá el sistema?

Para calcular v usamos a = v2/r , por lo que se requiere conocer a, la que obtenemos aplicando la 2ª Ley de Newton en eje X.

Ta

A

Tb W

continuaciónΣFx=ma-Tax – Tbx = (4.00kg) a Obtenemos Tbx Tbx= TbCosA =(24.2N)(0.6)

=14.5NSustituimos valores - 48N - 14.5N = (4.00kg)(-

a)a = 15.6 m/s2 El radio de giro del sistema es la longitud A que

es de 0.75ma = v2/r Despejando tenemos: v = √ar =√(15.6)(0.75) v =3.4m/s En rpm v = 43.6 rpmc) Calcule v (rpm) para que la cuerda inferior

pierda toda tensión. Obtenemos a para Tbx = 0 con -Tax – Tbx =

(4.00kg) a a =-48/-4.00 =12 m/s2 v = √ar =√(12)

(0.75)=3m/s =38.2rpm