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Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de

Gauss EyM 3-a 1

J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-1

Electrostática

• Definición

• Los conductores en electrostática.

• Campo de una carga puntual.

• Aplicaciones de la Ley de Gauss

• Integrales de superposición.

• Potencial electrostático.

– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...

• Polarización de materiales.

• Método de las imágenes.

• Sistemas de conductores. Condensadores.

• Energía y Fuerzas.


Electrostática: Definición.

• Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell.

• Condiciones:

– No hay variación con el tiempo:

– No hay movimiento de cargas:

» Esta última condición es necesaria:

• Puede haber corrientes aunque

• Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus diámetros.

• Comentarios:

– No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto:

» Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor estático.

» Siempre hay corrientes de conducción en los medios.

– No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas.

0=Jr

0=dtd

0=ρ dtd



Gauss EyM 3-a 2


– En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican notablemente:

– Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque no se sigue directamente de sus ecuaciones.

– Las ecuaciones de la electrostática son:

Campo Estático

( )ED

EDrErr

rrrr

σρε

==⋅∇

==×∇

0

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

=

==

=⋅∇

=⋅∇=⋅∇

=×∇

=×∇

→ =

=∂∂

=

==

=∂

∂+⋅∇

=⋅∇=⋅∇∂

∂+=×∇

∂∂

−=×∇

rE

rHrBrErD

rJ

rBrrD

rH

rE

Jt

trEtrJ

trHtrBtrEtrDt

trtrJ

trBtrtrDt

trDtrJtrH

t

trBtrE

rr

rrrrrrrr

rr

rrrrr

rr

rr

r

rrrr

rrrrrrrr

rrr

rrrrr

rrrrrr

rrrr

σµε

ρ

σµε

ρρ

0

0

0

0

0

0

0

,,

,,,,

0,

,

0,,,

,,,

,,


El campo electrostático en el interior de los conductores.

• Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la electrostática conviene analizar el comportamiento de los conductores.

– Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es nulo:

» Partiendo de la ley de Ohm generalizada:

» Para conseguir este efecto la cargadel conductor se distribuye sobre su superficie de forma que cancela cualquier campo exterior.

» La carga neta en el interior del + conductor es nula:

0

0,0

=⇒

=≠σσ

=⇒σ=E

J

JEEJ r

r

rrrr

( ) 0=ρ=ε⋅∇=⋅∇ EDrr

0≠σ0=E

r

0=σ

-

+

+

+

-

-



Gauss EyM 3-a 3


• Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el interior de los conductores el campo es nulo:

– Suponiendo que el conductor es el medio 1:

– Resulta que el campo en la parte exterior de lasuperficie de los conductores es normal a lasuperficie.

– Por comodidad se suele denominar al campoen la parte exterior de la superficie de los conductores como campo en la superficie del conductor.

( )( ) nE

E

E

En

DDn

DE

EEn

DDn

S

S

t

Sn

S

SnS

S

SS

ˆ

00ˆ

ˆ

00

0ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

22

11

12

12

ερ

=⇒

=ερ

=⇒

=×

ρ==⋅⇒

==

=−×

ρ=−⋅r

rr

r

rr

rr

rr

El campo electrostático en la superficie de los conductores.

n̂

12

0

0

1

1

11

≠σ

ε

== DErr0

,

2

2

22

=σ

ε

DErr


Campo de una carga puntual en espacio libre

• Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la aplicación de la Ley de Gauss.

– Planteamiento del problema:Se supone que la carga está en el origen de coordenadas.

– Por la linealidad del medio:

– Se conoce que:

– Luego:

0

00

0=×∇=

=⋅∇≠=

EED

Drrrr

rr

εεεε

ρρρρρρρρ

000 =×∇=⋅∇≠= DDrrrr

ρρρρρρρρ

=×∇

≠=⋅∇⇒=

0

002 v

rvr

r

kv r

rrr

ˆ

SOSdDqS

⊆⋅= ∫∫rr

SOkSdvSS ⊆π=⋅∫∫ 4

rr

rr

qv

qD ˆ

244 ππππππππ

==rr



Gauss EyM 3-a 4


Campo de una carga puntual en espacio libre

• La expresión del campo creado por una carga en el origen de coordenadas es:

• Propiedades:

– Es radial.

– Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre la carga y el punto de observación.

( ) rr

qrD ˆ

24ππππ

=rr


Aplicaciones directas de la Ley de Gauss.

• La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga.

– En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss.

– Este comportamiento se suele inferir a partir de

» Las simetrías que presente el sistema.

» El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial.

• Importante:

– La ley de Gauss se puede aplicar siempre.

– Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico.



Gauss EyM 3-a 5


Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica.

• Una distribución tiene simetría esférica cuando sólo hay variación con la coordenada esférica r:

• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada esférica r:

– Demostración:

» Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :

» El campo no depende de las coordenadas θ y ϕ: una carga vería la distribución de igual forma al variar estas coordenadas.

( )( )

=

=

rrDD

rrEE

r

r

ˆ

ˆr

r

=ϕ

=θ

0d

d

d

d

dq

dq’

dEr

dEr

′dE dEr r

+ ′


Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica. (2)

• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica centrada en el centro de simetría de la distribución:

– Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r.

• Ejemplo:

– El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga es:

ρ0

( ) ( )

≤ρ

≤≤ρ

=π

=⇒

≤πρ

≤≤πρ

=ρ= ∫∫∫rRr

r

R

Rrrr

r

qrD

rRR

Rrr

dVrqrV

;ˆ3

0;ˆ3

4;

3

4

0;3

4

2

3

0

0

23

0

3

0

r

( ) ( ) ( )rDrdSrDSdDrqdV rS

rSV rr

24π==⋅==ρ ∫∫∫∫∫∫∫

rr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r

r

rqEr

r

rqrD

r

rqrDr

ˆ4

ˆ44

222 πε=⇒

π=⇒

π=

rr



Gauss EyM 3-a 6


Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución.

• Una distribución tiene simetría de revolución alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante en esa dirección cuando sólo hay variación con la coordenada cilíndrica ρρρρ:

• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada cilíndrica ρρρρ:

– Demostración:

• Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :

• Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen ϕ y z.

==ϕ

0dz

d

d

d

( )( )

ρρ=

ρρ=

ρ

ρ

ˆ

ˆ

DD

EEr

r

dq

dEr

dEr

′

dE dEr r

+ ′

dq’


Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. (2)

• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud arbitraria L:

– Observese que el flujo a través de las tapas es nulo porque el campo eléctrico es tangencial a la superficie.

– Donde qL es la carga por unidadde longitud dentro del cilindro deradio ρ.

• Ejemplo: Distribución lineal de carga a lo largo del eje z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ

περρ

=⇒ρπρρ

=ρ⇒πρρ

=ρρ ˆ2

ˆ22

LLL qE

qD

qD

rr

( )rD D= ρ ρ ρ$

( )rD D= ρ ρ ρ$

$ $n ≡ ρ

$ $n z≡

L

( ) ( )ρπρ==⋅+⋅=⋅=ρ=ρ ρρ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ρρ

LDdSDSdDSdDSdDLqdVSlatTapasSlatS

LVL

2,

rrrrrr

λ=ρL

ρπερλ

= ˆ2

Er



Gauss EyM 3-a 7


• Estas distribuciones sólo dependen de una coordenada lineal, si ésta es la coordenada z:

• Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que dependen.

– Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple: una distribución de carga superficial constante en el plano z=0.

– El campo tiene sólo componente normal a la distribución: dado un dq siempre se puede encontrar otro, en posición simétrica, de forma que se cancelan las componentes del campo paralelas al plano de la distribución.

– Para puntos simétricos respecto del plano, uno a un lado y el otro al otro lado, el campo tiene el mismo módulo y sentidos contrarios: cuestión de simetría.

– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución: →

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección.

== 0dy

d

dx

d

z

ρρρρs

rD

rD

( ) ( ) ( ) ( )zEzzEzzEzE zz

rr−=−−== ˆˆ


( ) ( )

<ρ

<ρ

−=⇒

ρ=

zz

zzzDhD

S

S

Sz

0;ˆ2

0;ˆ2

2

r

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )ShDdShDdShD

SdDSdDSdDSdD

SdSq

zhzS

zhzS

z

hzShzSSlatS

SzS

S

2

0

0

=−−=

=⋅+⋅+⋅=⋅=

=ρ=ρ=

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫

−==

−==

=rrrr

43421

rrrr

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (2)

– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:

» Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en posiciones simétricas respecto a ellas.

• El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es tangencial.

• El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de las normales.

Dr

$n

n̂

n̂Dr

Sρh2



Gauss EyM 3-a 8


02

ρa

−

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (3)

• El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado.

• En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una distribución superficial de carga de densidad: ρS=ρdz y que la simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución.

02ρ

0ρ−

Z

z=az=-a

Zz=a

z=-a

zDρ

0ρa

02

ρa

02

3ρ

a−

0ρa−


• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.

– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:

siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.

Campo producido por un sistema de cargas puntuales

( ) ( ) ( )∑∑∑−πε

−=

−πε==

ii

ii

i

i

i

i

i

i

rr

rrqR

rr

qrErE

3'

'

2'

4

ˆ

4rr

rr

rrrrrr

O

q2

q1

rr2

rr1

rE

1

rr

rri qi

rE

2

rE

i

r rE E

Total i

i

==== ∑∑∑∑

( )rEi

rr

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