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ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INTRODUCCIÓN En el campo de las funciones escalares, conocidas como funciones trascendentes, hubo quienes observaron que determinadas combinaciones de las funciones exponenciales x xe y e− se presentaban con mucha frecuencia en aplicaciones matemáticas y físicas. Valga citar en éstas últimas el hecho de que entidades como la luz, la velocidad, la electricidad o la radioactividad se absorben o extinguen de manera gradual, y su decaimiento se puede presentar con funciones que consideran las combinaciones de funciones exponenciales como las antes citadas. También se puede demostrar que una combinación de estas funciones describe la forma de un cable colgante, esto es, que si se suspende un cable pesado y flexible como el de una línea de transmisión o de una línea telefónica, dicha combinación define la ecuación de la curva. Estas funciones, combinaciones de funciones exponenciales, son deducidas de una hipérbola, de la misma forma que las funciones trigonométricas tienen como base al círculo unitario. Y es por ello que se dio por llamarlas Funciones Hiperbólicas. A continuación se definirán estas funciones hiperbólicas a partir de la hipérbola 2 2 1x y− = , de manera semejante a como se desarrollaron las circulares a partir del círculo

2 2 1x y+ = .

ING. PABLO GARCÍA Y COLOME

2

Considérese la circunferencia unitaria 2 2 1x y+ = y sea ( ),P x y un punto de ella en el primer cuadrante, como se

observa en la siguiente figura:

De la figura se puede expresar que:

Área del sector circular 2

2

2 2rOAP uπ φφπ

= =

Área del triángulo 212

OAB u=

de donde

Área del sector circular OAP 21Área del triángulo OAB2

φ

φ φ= = =

Entonces el arco φ puede considerarse como la razón entre el área del sector circular OAP y el área del triángulo OAB . También cabría notar que la medida del ángulo φ puede definirse como el doble del área del sector circular OAP que el ángulo determina en el círculo unitario. Ahora considérese la hipérbola 2 2 1x y− = y un punto de ella ( ),P x y en el primer cuadrante. Para ello habrá que analizar la siguiente gráfica:

xφA

( ),P x y

B

0

y21y x= ± −


3

Se procede de manera semejante al caso del círculo anterior y se obtiene entonces el número θ que se define como el doble del área del sector hiperbólico OAP . Y a este número θ se le llama la medida hiperbólica del ángulo AOP , con el arco AP de la de la hipérbola. Entonces:

Área del sector Área del sector 1Área del triángulo 2

OAP OAPOAB

θ = =

El cálculo del área del sector OAP se determina como sigue, considerando la figura anterior:

Área del sector Área del triángulo Área

OAPOCP ACP=

= −

donde el área ACP (área bajo la curva) es la limitada por la hipérbola, el eje de las abscisas y las rectas x A y x C= = . Esta área se calcula de la siguiente forma:

2

1Área 1

xACP z dz= −∫

El cambio de variable se hace debido al límite superior de la integral.

x

y

C O A

( ),P x y

2 1y x= ± −

B

1 x


4Esta integral se resuelve por el método de sustitución trigonométrica, que se verá en métodos de integración. Entonces el área requerida es:

2 2 2

1

1Área 1 1 ln 12 2

x xACP z dz x x x= − = − − + −∫

Como el área del triángulo OCP es igual a:

Área 2xyOCP =

entonces 2 21Área del sector 1 ln 1

2 2 2xy xOAP x x x= − − + + −

Como 2 1y x= −

1 1Área del sector ln ln2 2 2 2xy xyOAP x y x y= − + + = +

Y como el área del triángulo OAB es:

1Área del triángulo 2

OAB =

Entonces se llega a:

1lnÁrea del sector 2 ln1Área del triángulo 2

x yOAP x yOAB

θ θ+

= = ⇒ = +

Como en el caso de las funciones trigonométricas, para la hipérbola dada (en la figura), el punto ( ),P x y y las condiciones obtenidas, se definen las funciones:


5 DEFINICIÓN.

Seno hiperbólico de 2

Coseno hiperbólico de cos2

e ePC y senh

e eOC x h

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

−

−

−= = = =

+= = = =

De la expresión ln x yθ = + es posible obtener que:

lnln x yx y e e e x yθ θθ += + ⇒ = ⇒ = + ln

1ln

ln

1

x y

x y

x y e e

e e ex y

θ

θ θ

θ − +−

− −+

− = − + ⇒ =

⇒ = ⇒ =+

Mediante la ecuación de la hipérbola 2 2 1x y− = y algunas operaciones algebraicas, se llega a:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2y x y xy y y xy y x xy yy y

x y x y x y x y+ + + + − + +

= ⋅ = ⋅ = = =+ + + +

( )( )

( )

( )2

22 2

1 112 1

2 2 2 2 2

x yx yx yx xy y e ex y x y

x y x y

θ θ−

+ −+ −+ −+ + − −+ += = = = =

+ +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2x x y x xy x xy x y xy xx x

x y x y x y x y+ + + + + + +

= ⋅ = ⋅ = = =+ + + +

( )( )

( )

( )2

22 2

1 112 1

2 2 2 2 2

x yx yx yx xy y e ex y x y

x y x y

θ θ−

+ ++ ++ ++ + + ++ += = = = =

+ + Por lo tanto:

cosh2 2

e e e esenh yθ θ θ θ

θ θ− −− +

= =


6Y en términos de estas dos funciones se definen las siguientes cuatro: DEFINICIÓN.

costanh ; coth ; 0cosh hsenh e e h e e

sene e e e

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θθ θ θθ θ

− −

− −

− += = = = ≠

+ −

1 2 1 2sech ; csc ; 0cosh h

hsene e e eθ θ θ θθ θ θ

θ θ− −= = = = ≠+ −

Antes de entrar a un breve estudio de estas funciones, se presenta a continuación un interesante concepto físico donde se hace presente una de ellas. LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Si se deja colgar libremente una cadena o un cable entre dos soportes, se forma una curva llamada catenaria (del griego katena que significa cadena). Las catenarias se encuentran por donde uno mire: una reata de tender, un cable telefónico, los cables de suspensión de un puente, etcétera. La forma depende del peso y tensión del cable, pero sus ecuaciones son todas de la misma forma y están íntimamente relacionadas con la función exponencial. Una representación gráfica de una catenaria se muestra en la siguiente figura:

Si se considera una sección de catenaria y se analizan las diferentes fuerzas que intervienen en ella, como son la tensión del cable en el punto más bajo (mínimo de la curva) y en otros puntos, el peso del cable y otras consideraciones,

catenaria

y

x


7se obtiene la ecuación de la catenaria que corresponde al coseno hiperbólico, esto es,

cosh2

x xe ey x−+

= =

IDENTIDADES “TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS” Así como en la trigonometría circular se tienen las conocidas identidades trigonométricas, para las funciones hiperbólicas se presentan también identidades entre las cuales, las de mayor importancia, son las siguientes (la demostración de los teoremas se omite, pero el lector la puede hacer considerando las formas exponenciales de cada función): TEOREMA. 2 2cosh 1x senh x− = TEOREMA. 2 2tanh sec 1x h x+ = TEOREMA. 2 2coth csc 1x h x− = TEOREMA. 2 2 coshsenh x senhx x= TEOREMA. 2 2cosh2 coshx x senh x= + Otras identidades importantes, cuyas pruebas se omiten, son:

2 1 1cosh22 2

senh x x= − +

2 1 1cos cosh22 2

h x x= +

( ) cosh coshsenh x y senhx y xsenhy+ = +

( ) cosh coshsenh x y senhx y xsenhy− = −

( )cosh cosh coshx y x y senhxsenhy+ = +


8

( )cosh cosh coshx y x y senhxsenhy− = −

cosh cosh 2cosh cosh2 2

x y x yx y + −+ =

cosh cosh 2 h h2 2

x y x yx y sen sen+ −− =

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh + −+ =

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh − +− =

DOMINIOS, RECORRIDOS Y GRÁFICAS

Seno hiperbólico: ( ) 2

x xe ef x senhx−−

= =

Como se ve, el valor de la función es real para cualquier valor real de " "x . Por lo que su dominio es fD = . Su gráfica se muestra a continuación.

Como se observa, el recorrido de la función es el conjunto de los números reales, es decir, fR = .

x

y

y senhx=


9

Coseno hiperbólico: ( ) cosh2

x xe ef x x−+

= =

De la regla de correspondencia se infiere que el dominio es el conjunto de los valores reales, es decir, fD = . Su gráfica es la siguiente:

Como se observa en la gráfica, el recorrido de la función es:

)1,fR = ∞⎡⎣

Tangente hiperbólica: ( ) tanhcosh

x x

x xsenhx e ef x x

x e e

−

−

−= = =

+

En la gráfica de coshx se ve que esta función no se anula en ningún valor de " "x , luego el dominio de esta función tanhx es el conjunto de los reales, es decir, fD = . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

x

y

1

1−

tanhy x=

asíntota

asíntota

x1

coshy x=

y


10 Esta gráfica tiene dos asíntotas horizontales ecuaciones

1 1y y y= − = , luego su recorrido es ( )1,1fR = − .

Cotangente hiperbólica:

( ) 1 coshcothtanh

x x

x xx e ef x x

x senhx e e

−

−

+= = = =

−

La función senhx se hace cero únicamente en el origen, luego en este valor se presenta una asíntota vertical. Entonces, el dominio está dado por { }0fD = − . La gráfica se muestra en la figura siguiente:

La gráfica de esta función tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones 1 1y y y= − = por lo que su recorrido es

{ }1,1fD = − − .

Secante hiperbólica: ( ) 1 2seccosh x xf x hx

x e e−= = =+

El dominio de esta función, dado que tienen el mismo denominador, es el mismo que el de la función tanhx , esto es, fD = . Su gráfica es la siguiente:

x

y

1

1− asíntota

asíntota

cothy x=


11

Como se observa en la gráfica, el eje " "x es una asíntota horizontal (de ecuación 0y = ), luego su recorrido es

(0,1fR = ⎤⎦ .

Cosecante hiperbólica:

( ) 1 2csc x xf x hxsenhx e e−= = =

−

Su dominio es el mismo que el de la función cothx , es decir, { }0fD = − . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

Se ve que la gráfica tiene como asíntota al eje " "x , luego su recorrido es { }0fR = − .

x

y

cschy x=

x

y

1

secy hx=

asíntota


12 FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Se graficarán estas funciones y se darán sus dominios y recorridos. En las funciones cosh secx y hx se limitará el domino para que sus respectivas inversas sean funciones.

Función seno hiperbólico inversa: ( )1 1f x senh x− −=

1 1;f ff f

D R R D− −= = = =

Función coseno hiperbólico inverso: ( ) ( )1 1coshf x x− −=

) )1 10, ; 1,f ff f

D R R D− −= ∞ = = ∞ =⎡ ⎡⎣ ⎣

x

y

1

( ) coshf x x=

1

( )1 1coshf x x− −=

x

y

( )1 1f x senh x− −=

( )f x senhx=


13

Función tangente hiperbólica inversa: ( ) ( )1 1tanhf x x− −=

1 1; 1,1f ff fD R R D− −= = = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

Cotangente hiperbólica inversa: ( ) ( )1 1cothf x x− −=

{ } 10 ; 1,1f ff

D R R−= − = = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

x

y

1 1−

asíntota

asíntota

( ) cothf x x=

( )1 1cothf x x− −=

x

y

11−

( ) tanhf x x=

asíntota asíntota

( )1 1tanhf x x− −=


14

Secante hiperbólica inversa: ( ) ( )1 1secf x h x− −=

) (1 10, ; 0,1f ff f

D R R D− −= ∞ = = =⎡ ⎤⎣ ⎦

Cosecante hiperbólica inversa: ( ) ( )1 1cscf x h x− −=

{ } { }1 10 ; 0f ff f

D R R D− −= − = = − =

x

y

( ) cschf x x=

( )1 1cschf x x− −=

x

y

1

( )1 1secf x h x− −=

asíntota

asíntota

( ) secf x hx=


15FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE LA LOGARÍTMICA Como las funciones hiperbólicas están en términos de la función exponencial y ésta es inversa de la función logaritmo natural, es evidente que las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar en términos de la función logaritmo natural. Considérese el caso de la función seno hiperbólico inverso. De acuerdo con lo estudiado para las funciones inversas, es posible escribir que:

1y senh x−= sí y sólo si x senhy= de donde

22

y yy ye ex senhy x e e

−−−

= = ⇒ = −

Se multiplican ambos miembros de la última expresión por ye y se obtiene:

2 2 1 0y ye xe− − = de donde

222 4 4 1

2y x xe x x± += = ± +

Se aplica ahora la función logaritmo natural en ambos miembros y

2 2ln ln 1 ln 1ye x x y x x= ± + ⇒ = ± +

Por lo que: 1 2ln 1senh x x x− = ± +

Como 0ye > , entonces 2 1 0x x x± + > ∀ ∈

1er Caso: 2 1 0x x+ + >

Como 2 21 0 1x x x x+ > ⇒ + > ∀ ∈


16

2o Caso: 2 1 0x x− + >

Como 2 1x x> + no tiene solución en por lo tanto

( )1 2ln 1 ;senh x x x x− = + + ∈

De manera semejante se pueden obtener las expresiones de las otras cinco funciones hiperbólicas inversas, obteniéndose:

( ) )

( )

( ) ( )

(

( ) ( )

1 2

1

1

21

2

21

2

cosh ln 1 ; 1, 0

1 1tanh ln ; 1,12 11 1coth ln ; , 1 1,2 1

1 1sec ln ; 0,1

1 1csc ln ; , 0 0,

x x x x

xx xx

xx xx

xh x xx x

xh x xx x

−

−

−

−

−

= + − ∈ ⎡⎣

+⎛ ⎞= ∈ −⎜ ⎟−⎝ ⎠+⎛ ⎞= ∈ −∞ − ∪ ∞⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞−= + ∈⎜ ⎟ ⎤⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+

= + ∈ −∞ ∪ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS DIRECTAS E INVERSAS Obtener las expresiones para derivar estas funciones resulta sencillo ya que las directas están en términos de la función exponencial y las inversas en términos de la función logaritmo natural, cuyas derivadas se conocen. Por eso solamente se desarrollarán las de la función senhx así como la de su inversa.

( ) ( );f x senhu u g x= =


17

cosh2 2

u u u ue e dy e ey senhu udu

− −− += = ⇒ = =

Y por la regla de la cadena

( )' cosh duf x udx

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

cosh ; '

tanh ; ' sec

coth ; ' csc

sech ; ' sec tanh

csch ; ' csc coth

duf x u u g x f x senhudx

duf x u u g x f x h udx

duf x u u g x f x h udx

duf x u u g x f x hu udx

duf x u u g x f x hu udx

= = ⇒ =

= = ⇒ =

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

Para las inversas:

( ) ( )1 ;f x senh u u g x−= =

( )1 2

2

2 2

2 2 2

ln 1

1111 1

1 1 1

y senh u u u

u u udy u udu u u u u u

−= = + +

+ ++

+ +⇒ = = =+ + + + +

Y por la regla de la cadena


18

( )2 2

1'u 1 u 1

dudu dxf xdx

= =+ +

( ) ( )

( )

1

2 2

cosh ;

1' ; 11 1

f x u u g x

dudu dxf x udxu u

−= =

⇒ = = >− −

( ) ( )

( )

1

2 2

tanh ;

1' ; 11 1

f x u u g x

dudu dxf x udxu u

−= =

⇒ = = <− −

( ) ( )

( )

1

2 2

coth ;

1' ; 11 1

f x u u g x

dudu dxf x udxu u

−= =

⇒ = = >− −

( ) ( )

( )

1

2 2

sech ;

1' ; 0 11 1

f x u u g x

dudu dxf x udxu u u u

−= =

−⇒ = = − < <

− −


19

( ) ( )

( )

1

2 2

csch ;

1' ; 01 1

f x u u g x

dudu dxf x udxu u u u

−= =

−⇒ = = − ≠

+ +

Ejemplo. Obtener las derivadas de las siguientes funciones:

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2 2

cosh

2

coth

) ( ) senh 1 2 ; ) ( ) cosh ln

) cot senh3 ; ) senh

cosh) ; ) ln tanh24 senh

) tan tanh ; ) ( )

1 1) ln sec 4 ; ) ( ) ln sec ln csc

x

x

i f x x ii f x x

iii y ang x iv y x e

x xv y vi yx

vii y ang x viii f x x

ix y x h x x f x h hx x

= − =

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞= = ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎣ ⎦= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


20


21 Ejemplo. Obtener la derivada de las siguientes funciones:

( )

( ) ( )( )

1 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 1

1 1 1

) senh ; ) ( ) senh 42

) cosh ; ) tanh cos

) ( ) tanh ln 1 ; ) coth 1) coth sen2 ; ) ( ) sec cos2

) ( ) csc tan ; ) tan tanh

xi y x x ii f x x x

iii y x iv y x

v f x x x x vi y xvii y x viii f x h x

ix f x h x x y x

− −

− −

− −

− −

− − −

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

= + − = +

= =

= =


22


23 INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Cada una de las expresiones obtenidas para derivar las funciones hiperbólicas directas e inversas, tiene su correspondiente forma diferencial y, de estas diferenciales, al integrarlas, se obtienen las expresiones siguientes:

( )

senh cosh

cosh senh

tan ln cosh

coth ln senh

sec tan senh

csc ln tanh2

udu u C

udu u C

udu u C

udu u C

udu ang u C

uhudu C

= +

= +

= +

= +

= +

= +

∫∫∫∫∫

∫


242

2

sec tanh

csc coth

sec tanh sec

csc coth csc

h udu u C

h udu u C

hu udu hu C

hu udu hu C

= +

= − +

= − +

= − +

∫∫∫∫

1 2 2

2 2

1 2 2

2 2

12 2

1

senh ln

c sh ln ;

1 1tanh ln ;2

1 1coth ln ;...2

du u C u a u Caa u

du uo C u u a C u aau a

du u a uC C u aa u a a a a u

u u aC C u aa a a u a

−

−

−

−

= + = + + ++

= + = + − + >−

+= + = + <

− −+

= + = + >−

∫

∫

∫

y en forma compacta

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 ln ;2

1 1sec cosh ; 0

1 1csc senh ; 0

du a u C u aa a ua u

udu ah C C u aa a a uu a u

udu ah C C ua a a uu a u

− −

− −

+= + ≠

−−

= − + = − + < <−

= − + = − + ≠+

∫

∫

∫ Ejemplo. Resolver las siguientes integrales:

1 22 2

0 1

senh) ; ) cosh 2 ; ) tanhxi dx ii xdx iii xdxx∫ ∫ ∫

( )2 csc ln) ; ) sec 5 ; )

x x

x x

h xe eiv dx v h xdx vi dxxe e

−

−

+−∫ ∫ ∫


253 2) cosh ; ) cosh cscvii xdx viii x h xdx∫ ∫

42

1 1sec tanh) ; ) senh

hx xix dx x xdx

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫


26 Ejemplo. Resolver las siguientes integrales, en términos de las funciones hiperbólicas inversas:

4 2

23 14 2

cos) ; ) ; )3 216 sen 9

x x dxi dx ii dx iiix xx x + −+ −

∫ ∫ ∫0.8

2 0.2 2) ; ) ; )

25 4 1 4 x

dx dx dxiv v vix x x e− − +

∫ ∫ ∫

( )2 2)

1 2 2dxvii

x x x+ + +∫


27


28


29 Como ilustración de este tipo de funciones, se presentará un problema de aplicación. Ejemplo. Una cooperativa campesina construye un granero con 30 m de largo y 12 m de ancho, como se observa en la figura. La sección transversal del techo es una catenaria invertida cuya ecuación es:

9.25 6cosh6xy = −

Determinar su capacidad total.

Solución. Para calcular el área de la sección transversal, se utiliza la integral definida:

6

69.25 6cosh

6xA

−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

La integral indefinida se resuelve como:

9.25 6cosh 9.25 6 cosh6 6

9.25 366

x xdx dx dx

xx senh C

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

∫ ∫ ∫

Luego el área de la sección es igual a:

x

y

6

9.25

9.25 6cosh6xy = −

6−


306

6

9.25 36 55.5 42.3072 55.5 42.30726xA x senh

−

⎡ ⎤= − = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 2

69.25 6cosh 26.3856

6xA m

−

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Entonces el volumen del granero, esto es, su capacidad total es:

326.3856 30 791.568V m= × =

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