Extensiones de la Lógica Clásica. Introducción a la Lógica Modal

Una mirada ‘a vista de pajaro’ sobre la Logica ClasicaQue es la Logica Modal y por que es importante

Semantica de los mundos posiblesLiteratura y semantica de los mundos posibles

Extensiones de la Logica Clasica. Introduccion ala Logica Modal

Enrique Sarrion Morillo, Ignacio Hernandez AntonGrupo de Logica, Lenguaje e Informacion - Univ. de Sevilla

[email protected], [email protected]

Taller formativo sobre Logica Modal - Proyecto RIFALLCo(Red de Investigacion, Formacion y Aplicaciones de Logica,

Lenguaje y Computacion)Sevilla, 14 de junio de 2012

Enrique Sarrion Morillo, Ignacio Hernandez Anton Extensiones de la Logica Clasica. Introd. a la Logica Modal



Indice

1 Una mirada ‘a vista de pajaro’ sobre la Logica Clasica.

2 Que es la Logica Modal y por que es importante.

3 Semantica de los mundos posibles.

4 Literatura y semantica de los mundos posibles.




Que es la Logica (I)

Ahı va una definicion (que, como todas las que conozco, tieneaportaciones valiosas, pero que tambien deja pendientesaspectos que habrıa que ‘perfilar’ mejor):

“La Logica es la disciplina que toma como objetivo elestudio de los distintos metodos de razonamientoası como de sus productos (los razonamientoscorrectos/validos)”.




Que es la Logica (II)

Veamos una definicion mas, esta recogida de la obra Logica enaccion, escrita, entre otros, por Johan van Benthem (uno de losmas polifaceticos y prestigiosos estudiosos de la Logica en laactualidad):

“La Logica es una teorıa de tareas claves de informacion,ejecutadas por actores cognitivos que razonan, aprenden,actuan e interactuan con otros de modo inteligente”.




Que es la Logica Clasica (I)

Encontrar criterios historicos para acotar la denominada LogicaClasica (tambien llamada Logica Tradicional o LogicaEstandar) es, cuando menos, enormemente difıcil y, quizas,tarea imposible:

Sabemos que cristaliza como disciplina de conocimientoen Aristoteles y llega hasta nuestros dıas conaportaciones posteriores de muchos autores y ‘escuelas’,de entre los cuales sobresale notablemente Gottlob Frege.




Que es la Logica Clasica (II)

Sin embargo, algunos de esos autores y algunas de esas‘corrientes’ tambien aportaron conceptos y resultados quehabitualmente consideramos dentro del ambito de la Logica NoClasica (por ej.: el mismo Aristoteles estudia los juiciosmodales).

· Cuadro aristotelico de oposicion de los juicios modales:




Que es la Logica Clasica (III)

Por supuesto, es la Logica Clasica la que casi monopolizala modelizacion del razonamiento humano hasta lapublicacion en 1918 por C.I. Lewis de la obra A Survey ofSymbolic Logic.

Todavıa en la actualidad muchos estudiosos sostienen quela ‘verdadera’ Logica es la Clasica.




Que es la Logica Clasica (IV)

- Ante la ausencia de un criterio puramente historico, podemosdar otras ‘pistas’ para que nos hagamos una idea intuitiva deaquello a lo que nos referimos con la expresion “LogicaClasica”, aunque a menudo no constituyen una definicion o, entodo caso, conforman una definicion descriptiva real por merosaccidentes.

· Por ej.: podemos decir que es la que se estudia/estudiaba enla Universidad de Sevilla en la asignatura llamada Logica en elcuarto cuatrimestre del Grado en Filosofıa (Plan de Estudios2009) / en el segundo curso de la Licenciatura en Filosofıa(Plan de Estudios 1995).




Que es la Logica Clasica (V)

Un mejor modo de ‘delimitar sus contornos’ es presentardiferentes caracterısticas metateoricas que distinguen a lossistemas logicos clasicos de otros sistemas:

Es bivalente (es decir, admite dos y solo dos valores deverdad).

Es asertorica (es decir, no permite ‘modular’ la verdad delos enunciados mediante ‘consideraciones contextuales’).

Es extensional (es decir, satisface el principio decomposicionalidad).




Que es la Logica Clasica (VI)

Es monotona (es decir, el aumento de informacion noimplica la necesidad de revisar los resultados previos).

No admite paraconsistencias (de hecho contiene‘principios explosivos’ tales como ex contradictionequodlibet y ex falso quodlibet).

No introduce criterios de relevancia (por tanto, dado queusa el implicador material y el disyuntor estandar, puedenaparecer resultados poco ‘razonables’).




Que es la Logica Clasica (VII)

Finalmente, podemos caracterizarla estructuralmente, esdecir, dar una serie de propiedades metateoricas presentadascomo reglas estructurales en una notacion de calculo desencuentes, las cuales son en conjunto una condicionnecesaria y suficiente para que un sistema de logica seaconsiderado clasico (por supuesto, el rotulo asignado esconvencional, aunque, como hemos visto, con ciertos apoyoshistoricos y ‘sociologicos’).




Que es la Logica Clasica (VIII)

1 Reflexividad: CC

2 Contraccion: X ,A ,Y ,A ,Z⇒CX ,Y ,A ,Z⇒C

3 Monotonıa: X ,Y⇒CX ,A ,Y⇒C

4 Corte: X ,A ,Y⇒C; Z⇒AX ,Z ,Y⇒C




Que es la Logica Clasica (IX)

Comentarios a las reglas anteriores:

Al estar presentadas en la notacion de un calculo desecuentes, las letras X, Y, Z representan secuencias(eventualmente vacıas) de formulas, mientras que lasletras A, B, C representan a una sola formula cada una deellas.




Que es la Logica Clasica (X)

En algunos textos se recoge una cuarta regla:

Permutacion: X ,A ,B ,Y⇒CX ,B ,A ,Y⇒C .

Sin embargo, Johan van Benthem ha demostrado que estaes consecuencia de las otras cuatro.




Que es la Logica Clasica (XI)

Esta caracterizacion permite considerar logicas clasicas alos sistemas que se obtienen:· Introduciendo diferentes niveles de analisis -es decir,tanto a la logica proposicional como a la logica depredicados / relacional / funcional-.· Estableciendo la posibilidad de usar o no predicados dedistintos niveles -es decir, tanto a la logica de primer ordencomo a las logicas de orden superior-.· Incorporando o no en el conjunto de sımbolos logicosciertos operadores especiales (tales como la igualdad, eldescriptor definido, el descriptor indefinido...).




Que es la Logica Clasica (XII)

Pero, ojo, las citadas reglas tambien son satisfechas porextensiones de las logicas clasicas tales como lossistemas logicos modales (entendiendo modalidad ensentido amplio).

Aunque parezca un criterio ad hoc, en lo que siguenosotros vamos a considerar que en el ambito de la LogicaClasica se encuentran solamente los sistemas quesatisfacen las anteriores reglas y ademas son asertoricos(por lo tanto, excluyendo todos los sistemas modales).




Sistemas logicos no clasicos (I)

Nos podemos preguntar por que puede ser necesario‘estirar’/‘romper’ el ‘molde’ de la Logica Clasica (es decir, porque debemos investigar en sistemas logicos no clasicos). Heaquı algunas respuestas:

Porque algunos razonamientos no siguen las ‘pautas’establecidas en dicho ‘molde’ (por ejemplo, en la LogicaClasica los resultados son atemporales, no dependen delsujeto cognoscente, suponen la omnisciencia del sujeto,una vez establecidos no se pueden modificar con elaumento de informacion...).Porque, en algunos casos, los resultados coincidentesentre el nuevo sistema logico y el clasico correspondientese presentan de modo mas intuitivo en el primero de losmencionados.




Sistemas logicos no clasicos (II)

Veamos un ejemplo en el que la Logica Clasica no essuficiente:- Los antiguos griegos pensaban que las apariciones matutinasy vespertinas de lo que hoy ya sabemos que es un unicoplaneta (Venus), correspondıan a dos cuerpos diferentes (dehecho les llamaron Hesperus -cuando aparecıa en el cielo deloeste al atardecer- y Phosphorus -cuando aparecıa en el cielodel este al amanecer-).· ¿Como podemos representar una informacion acerca delpensamiento griego en relacion con el lucero vespertino demodo que no sea tambien aplicable al lucero matutino?




Sistemas logicos no clasicos (III)

Otro ejemplo de la citada necesidad deriva de que algunasreglas de inferencia importantes de la Logica Clasica han sidocuestionadas (por ejemplo, la llamada ex contradictionequodlibet (E.C.Q.) -“de una contradiccion se sigue cualquiercosa”-):

p ∧ ¬pq

Con su rechazo se busca bloquear que una contradiccion delsistema permita justificar cualquier formula del lenguajecorrespondiente.




Sistemas logicos no clasicos (IV)

Aunque se han propuesto sistemas paraconsistentes, elrechazo de esta regla lleva a tener que rechazar alguna/sotra/s basicas, tal/es como:

La eliminacion del conjuntor:r ∧ s

r,

r ∧ ss

La introduccion del disyuntor:r

r ∨ s,

sr ∨ s

Una regla de eliminacion del disyuntor llamada silogismodisyuntivo:

p ∨ q; ¬pq




Sistemas logicos no clasicos (V)

Prueba de E.C.Q. a partir de las tres reglas basicas citadas:

1 p ∧ ¬p Premisa (es una formula contradictoria).

2 p Por eliminacion del conjuntor en 1.

3 ¬p Por eliminacion del conjuntor en 1.

4 p ∨ q Por introduccion del disyuntor en 3.

5 q Por silogismo disyuntivo en 2 y 4.




Sistemas logicos no clasicos (VI)

Los sistemas logicos no clasicos los podemos clasificar, segunsi ‘estiran’ o ‘rompen’ el ‘molde’, en:

Extensiones de las logicas clasicas: amplıan de modoconservativo la expresividad y los resultados (teoremas yformulas validas) que se obtienen en las logicas clasicas‘analogas’ (ej.: cualquier logica modal proposicional es unaextension de la logica clasica proposicional).Alternativas (o rivales) a las logicas clasicas: no satisfacenal menos una de las propiedades estructurales quecaracterizan a las logicas clasicas, por lo que no existe unarelacion de inclusion en ninguno de los dos sentidos entrelos conjuntos de resultados de aquellas y estas (ej.: logicaintuicionista, logicas de la relevancia, logica cuantica,...).




Sistemas logicos no clasicos (VII)

Sin que introduzcamos con ello un relativismo radical, podemosafirmar que no hay un unico sistema de logica ‘razonable’: haymultiples, a menudo aplicables a situaciones diversas .

Esto no debe tomarse en el sentido de despojar totalmente deimportancia a la Logica Clasica, la cual es, desde muchospuntos de vista (historico, ‘sociologico’, pedagogico,metateorico...), absolutamente basica y crucial.




Modalidad sensu stricto / sensu lato

El termino “modalidad” se refiere a la manera en que algo es.

En esta lınea, la modalidad logica se puede entender ensentido restringido (para referirnos a lo que se handenominado las modalidades proposicionales -es decir, a lamanera en que una proposicion es verdad-, lo que da lugar a lalogica modal aletica) o en sentido amplio (para referirnos acualesquiera ‘consideraciones contextuales’, dando lugar adistintos tipos de logicas modales y multimodales: logicasdeonticas, logicas epistemicas, logicas doxasticas, logicasdinamicas, logicas topologicas, logicas temporales, logicas decontextos, logicas de la demostrabilidad...).




Modalidades aleticas (I)

Las modalidades aleticas (es decir, los distintos modos de seren relacion con la verdad) mas comunes son:

Necesariedad.Innecesariedad.Contingencia.Posibilidad.Imposibilidad.




Modalidades aleticas (II)

En nuestro vocabulario habitual conviven y se entremezclandiversos sentidos para cada uno de los terminos modalescitados. Fijemonos en uno de ellos, por ejemplo en “posible”:

1 Posibilidad logica: descansa sobre la coherencia logica(por ej.: es imposible que este lloviendo y no este lloviendoal mismo tiempo).

2 Posibilidad conceptual: se apoya en la coherenciaconceptual de los terminos (por ej.: es imposible que unapersona casada este soltera -atendiendo a la definicion decada uno de estos terminos-).




Modalidades aleticas (III)

1 Posibilidad teorica: descansa sobre la consistencia de lasleyes de la naturaleza (por ej.: es imposible que un planetacarezca de gra-vedad -a partir de los conocimientos actuales de la Fısica-).

2 Posibilidad practica: se presenta en relacion a algunagente (por ej.: es imposible poder levantar a pulso unobjeto de una tonelada de peso).




Modalidades aleticas (IV)

I Veamos algunos ejemplos para precisar que entendemos por“posibilidad logica”:

- Pensemos en un perro dormido junto a una piedra.

· Cuestiones sobre el perro:1 ¿Esta ladrando? NO (de hecho no lo esta haciendo).2 ¿Podrıa ladrar? SI (es una posibilidad practica).




Modalidades aleticas (V)

· Cuestiones sobre la piedra:1 ¿Esta ladrando? NO (de hecho no lo esta haciendo).

2 ¿Podrıa ladrar? NO (es una imposibilidad practica).




Modalidades aleticas (VI)

I Veamos ahora algunos ejemplos para precisarque entendemos por “necesidad logica”:

- Pensemos en el numero de planetas del sistema solar: dehecho son 9, pero no necesariamente tienen que ser 9 (es unaposibilidad practica).

- Pensemos en la siguiente identidad: 4+5=9 (en base 10), ynecesariamente tienen que ser 9 (es una necesidad logica).




Modalidades aleticas (VII)

Algunas proposiciones necesarias logicamente:Proposiciones comunes de las Matematicas: “2+2=4”, “lasuma de los angulos de un triangulo (en un espacioeuclıdeo) es 180 grados”.Verdades logicas: “llueve o no llueve (en un cierto lugar ypara cierto instante)”; “cada cosa es identica a sı misma(en un cierto instante)”.Proposiciones modales propiamente dichas: “lo que esnecesario y no vacıo, obviamente es posible que ocurra”.Las consecuencias logicas de las definiciones: “todo loque es verde tiene color”; “todo soltero (en un ciertoinstante) es no casado (en ese mismo instante)”.




Modalidades aleticas (VIII)

Las modalidades aleticas indicadas estan estrechamenterelacionadas, de hecho tomando una cualquiera de ellas, lasrestantes son reducibles a esta. Por ejemplo, tomando comoprimitiva “es necesario p”:

“Es innecesario p”: equivale a “no es necesario p”.“Es contingente p”: equivale a “no es necesario no-p y noes necesario p”.“Es posible p”: equivale a “no es necesario no-p”.“Es imposible p”: equivale a “es necesario no-p”.




Logica modal aletica proposicional (I)

- Simbolicemos lo anterior (por comodidad tomaremos comoprimitivos el operador de necesidad y el operador de posibilidad· Sea la proposicion p:

Operador SimbolizacionNecesariamente p �p

Posiblemente p ♦pContingentemente p ♦p ∧ ♦¬p

- Interdefinicion de los operadores primitivos:�p =def ¬♦¬p: necesariamente p = no es posible no-p♦p =def ¬�¬p: posiblemente p = no es necesario no-p




Logica modal aletica proposicional (II)

- Relaciones de oposicion entre proposiciones modales:* [Relacion de oposicion valida solo para relaciones deaccesibilidad no vacıas.]

Contradiccion (ambas no pueden ser simultaneamenteverdaderas ni tampoco falsas):

Necesario/innecesario: �p/¬�p.

Posible/imposible: ♦p/¬♦p.

Contrariedad (ambas no pueden ser simultaneamenteverdaderas pero sı falsas)∗:

Necesario/imposible: �p/¬♦p.




Logica modal aletica proposicional (III)

Subcontrariedad (ambas no pueden ser simultaneamentefalsas pero sı verdaderas)∗:

Posible/innecesario: ♦p/¬�p.

Subalternacion (la verdad de la primera implica la de lasegunda, pero no viceversa)∗:

Necesario/posible: �p/♦p.

Imposible/innecesario: ¬♦p/¬�p.




Lenguaje modal aletico proposicional (I)

El lenguaje de la logica modal proposicional es una ampliaciondel de la logica clasica proposicional, y consta de:

Un conjunto de variables proposicionales, que serepresentan mediante las letras p, q, r ,...Un conjunto de conectivas proposicionales:

Sımbolo Lenguaje natural Denominacion¬ No Negador∨ O Disyuntor∧ Y Conjuntor→ Si..., entonces... Condicionador↔ ...si y solo si... Bicondicionador




Lenguaje modal aletico proposicional (II)

Un conjunto de operadores modales:

Sımbolo Lenguaje natural Denominacion♦ Posiblemente Operador de posibilidad� Necesariamente Operador de necesidad

Un conjunto de signos auxiliares: “(”, “)”, “[”, “]”, “{”, “}”,...




Sistemas logicos modales proposicionales

Son de especial interes los sistemas modales que captan losprincipios siguientes:

1 (Sistema T) Lo que es necesario, es el caso.Simbolicamente, para cada proposicion p:

�p → p.

2 (Sistema S4) Lo nesario, necesariamente es necesario.Simbolicamente, para cada proposicion p:

�p → ��p.

3 (Sistema S5) Lo posible, necesariamente es posible.Simbolicamente, para cada proposicion p:

♦p → �♦p.




Metateorıa de los sistemas modales aleticosproposicionales

Propiedades metateoricas de la logica modal aleticaproposicional:

Expresividad.Correccion.Completitud.Decidibilidad.‘Bisimilaridad’ de la logica modal proposicional con unfragmento propio de la logica clasica de primer orden.




Sistemas logicos modales de primer orden

Obviamente, para algunos propositos es necesario que el nivelde analisis sea mayor y se pueda descomponer la estructurade la proposicion de modo que se puedan distinguir individuosy funciones / predicados / relaciones sobre ellos.

Tendrıamos, de este modo, una logica modal de primer orden.




La familia de las logicas modales(en sentido amplio)

Logica modal Sımbolo Lenguaje naturalAletica �A Necesariamente A

^A Posiblemente ADeontica OA Es obligatorio A

PA Esta permitido AFA Esta prohibido A

Epistemica KxA x conoce ADoxastica BxA x cree ATemporal GA Siempre sera A

FA Sera AHA Siempre ha sido APA Ha sido A




¿Por que es importante la Logica Modal?

Algunas aplicaciones importantes de Logica Modal:

Logicas deonticas: uso en sistemas expertos jurıdicos.

Logicas de la demostrabilidad: investigacion de losfundamentos de las Matematicas.

Logicas epistemicas dinamicas: desarrollo de una logicade protocolos incondicionalmente seguros.




Nocion de semantica

Se llaman “semanticas” las relaciones entre el lenguaje o elpensamiento, de una parte, y las situaciones ‘del mundo’/‘delos mundos’ a las que se refiere, de otra.

En Logica Modal hacemos uso de la semantica de mundosposibles.




Nocion de semantica de los mundos posibles

La expresion “mundos posibles” aparece como metaforafilosofica.

La semantica de los mundos posibles permite establecerrelaciones entre las proposiciones y los modos del ser.Mediante esta semantica se pueden interpretar los distintosoperadores modales.




Origen de la nocion de “mundos posible” (I)

Aparece en el Siglo de Oro espanol (concepto de“possibile mun-dos” en Luis de Molina), como teorıa de los “ordines rerum”.

Leibniz retoma la idea: considera la posibilidad de otrosmundos distintos de este y habla del mejor de los mundosposibles.




Origen de la nocion de “mundos posible” (II)

En los anos 60 del siglo XX se desarrolla con los trabajosde:

1 Jaako Hintikka, a partir de sus estudios de una logica delconocimiento y la creencia.

2 Saul Kripke, quien propone la metafora y sienta las basesde esta interpretacion para los diversos sistemas de logicamodal.

En la actualidad ha adquirido un caracter interdisciplinar yse convierte en instrumento conceptual en una diversidadde disciplinas (Logica, Ontologıa, Epistemologıa,Linguıstica, etc.).




Semantica y verdad

De entre las teorıas de la verdad (por ej.: teorıa de lacorrespondencia, teorıa de la coherencia, teorıa pragmatica,teorıa dialogica...), comunmente la mas aceptada es la teorıade la correspondencia, de acuerdo con la cual:

1 “Decir de lo que es que no es y de lo que no es que es, esla falsedad; pero decir de lo que es que es y de lo que noes que no es, es la verdad” (Aristoteles)

2 “La verdad es adequatio intellectus et rei –adecuacion delintelecto y la realidad–” (Tomas de Aquino)

3 “Verdad es acuerdo del pensamiento con su objeto” (Kant)




Verdad y modalidad (I)

- Si esta lloviendo y se afirma “Puede llover”, ¿es verdadero?

- Si se afirma “Es contingente que llueva”, ¿es verdadero ofalso?

- Si se enuncia “Tiene que llover”, ¿cual es su valor de verdad?




Verdad y modalidad (II)

Para juzgar la verdad o falsedad de las proposiciones modalesse apela a la semantica de los mundos posibles:

“Puede llover” es verdadero si y solo si llueve en al menosun mundo posible (es decir, accesible desde el punto devista del observador).“Es contingente que llueva” es verdadero si y solo si llueveen algun mundo posible y no llueve en algun (otro) mundoposible (entendiendo mundo posible como mundoaccesible desde el punto de vista del observador).“Tiene que llover” sera verdadero si llueve en todos losmundos posibles (es decir, en todos los mundosaccesibles para el observador)




Semantica de la logica clasica proposicional

En la interpretacion clasica a cada variable se asigna un valorde verdad: V (verdadero) o F (falso). “Valor de verdad” alude alhecho de ser una proposicion o bien verdadera o bien falsa

p q ¬p ¬q p ∧ q p ∨ q p → qV V F F V V VV F F V F V FF V V F F V VF F V V F F V




Proposiciones y mundos

Un modelo es una clase que consta de mundos (o estados) posibles,entre los cuales se da una relacion (con determinadascaracterısticas, conocidas o no). Cada proposicion simple p sera V oF en cada mundo del modelo. Por ejemplo, p en el mundo m1 es V ,aunque p en el mundo m2 sea F . Supongamos que m1 se relacionacon m2 (y este con aquel, y cada uno consigo mismo), entonces:

En m2, ♦p es V , pues p es V en un mundo relacionado con m2(a saber, en m1)En m2, �p es F , pues en el propio m2 es F y m2 se relacionaconsigo mismo

p ∧ ¬p es F en todos los mundos; p ∨ ¬p es V en todos losmundos, ası que en cada mundo �(p ∨ ¬p) es V e igualmenteen cada mundo �(¬(p ∧ ¬p)) es V .




Relaciones entre mundos

Dado un modelo, en cada mundo las conectivas se interpretancomo en Logica Clasica. Para los operadores modales hemosde tener en cuenta como se relacionan los mundos; a esterespecto nos podemos encontrar distintas posibilidades:

1 No se conocen caracterısticas de la relacion entremundos.

2 La relacion es reflexiva: cada mundo se relaciona consigomismo.

3 La relacion es simetrica: si un mundo se relaciona conotro, entonces este se relaciona con el primero.

4 La relacion es transitiva: si un mundo se relaciona con otroy este con un tercero, entonces el primero se relacionacon el tercero.




Valoracion de proposiciones

En la valoracion de una proposicion en un mundo, el‘observador’ considera posibles justamente aquellos que estanrelacionados con el ‘mundo desde el que observa’. Dado unmodelo y una proposicion p:

♦p es V en m si y solo si existe al menos un m′

relacionado con m tal que p es V en m′.

�p es V en m si y solo si para todo m′ relacionado con mse verifica que p es V en m′.




Contextos modales

Dada la clase de mundos posibles, son redefinibles algunasnociones logicas fundamentales. En cada mundo, dosproposiciones p y q son:

1 Consistentes: si y solo si su conjuncion es posible (esdecir, ♦(p ∧ q) es V ).

2 Inconsistentes: si y solo si necesariamente una de ellas esF (es decir, �(¬p ∨ ¬q) es V ).

3 Contradictorias: si y solo si no son posibles su conjuncionni la conjuncion de sus negaciones (es decir,¬♦(p ∧ q) ∧ ¬♦(¬p ∧ ¬q) es V ).




Clases de mundos posibles normales

Principio de normalidad: si necesariamente una premisaimplica una conclusion, entonces la necesidad de la premisaimplica la necesidad de la conclusion; simbolicamente, esvalida (es decir, V en todos los mundos) la formula (llamado elaxioma K):

�(p → q)→ (�p → �q).

Ello equivale a decirque la clase de mundos que es normal nocontiene mundos ‘imposibles’. En las clases de mundos nonormales puede haber mundos imposibles (donde, porejemplo, hay cırculos cuadrados, seres humanos que estanvivos y muertos al mismo tiempo, etc.)




Logicas modales y mundos

Se han establecido sistemas de logica modal normal, consemantica de mundos posibles, que captan los principiosinteresantes que se mencionaron. Se nombran con letras: unalogica modal normal es denominada:

1 T (o KT ), si y solo si capta “lo necesario es el caso”; porlo tanto, la relacion entre los mundos es reflexiva.

2 S4 (o KT4), si y solo si capta “lo necesarionecesariamente es necesario”; por lo tanto, la relaciones reflexiva y transitiva.

3 S5 (o KTB4), si y solo si capta “lo posible,necesariamente es posible”; la relacion es reflexiva,simetrica y transitiva (relacion de equivalencia).




Relacion de accesibilidad

La relacion entre mundos es denominada “relacion deaccesibilidad”: un mundo puede ser o no accesible desdesı mismo, desde otro, hacia otro, etc. Al decir “�p es V en elmundo m” se entiende que:

1 En T , p es V en los mundos accesibles desde m –que sonlos mundos posibles desde el punto de vista de m– (soloesta garantizado que m esta relacionado consigo mismo).

2 En S4, p es V en los mundos accesibles desde m y en losaccesibles desde los accesibles en el ‘paso’ anterior, etc.

3 En S5, p es V en los mundos accesibles desde m, en losaccesibles desde los accesibles, etc., y en aquellos desdelos que es accesible m, etc. –en algun sentido se eliminaen este caso la complicacion de los ‘puntos de vista’–.




Especificacion de los mundos

Un mundo posible se especifica (o caracteriza) medianteproposiciones. Sean tres proposiciones verdaderas del mundoreal: “Hay perros” (p), “Hay flores” (q) y “No existen unicornios”(¬r). Existen otros mundos posibles, veamoslos:

Mundo Proposiciones Valores1 (real) p,q,¬r V ,V ,V

2 p,q, r V ,V ,F3 p,¬q, r V ,F ,F4 ¬p,q, r F ,V ,F5 ¬p,¬q, r F ,F ,F6 ¬p,q,¬r F ,V ,V7 p,¬q,¬r V ,F ,V8 ¬p,¬q,¬r F ,F ,V




Contenidos de los mundos posibles

La logica modal proposicional permite especificar mundos,pero es insuficiente si queremos entrar en la estructura de losmundos. En general, un mundo puede estar intergrado por:

1 Entidades particulares: objetos (en sentido amplio), talescomo cosas, personas, incluso eventos, acontecimientos,entes abstractos...

2 Universales: rasgos, atributos, propiedades, cualidades,etc. Se agrupan en:

1 Monadicos: propiedades sencillas (por ejemplo: “serhumano”, “caminar”, “ser de color verde”, etc.)

2 Poliadicos: relaciones (por ejemplo: “ser mayor que”,“odiar”, “estar entre”, etc.).




Concepcion de los mundos

Se conciben los mundos segun como esten ‘amueblados’:Los particulares del mundo real pueden estar en cadamundo, con distintas propiedades o relaciones. En elmundo real, Cesar vence a Pompeyo y es asesinado porBruto; en un mundo (ficticio) distinto, tal vez Pompeyovence a Cesar y este es salvado por Bruto.Cada mundo pueden tener un conjunto propio departiculares: en un mundo (ficticio), en que existe Roma,tal vez no existen Pompeyo, ni Cesar, ni Bruto.




Literatura y trasfondo ontologico

La semantica de los mundos posibles se puede emplear parael analisis del trasfondo ontologico de diversos generosliterarios (por ejemplo: la novela historica):

Los particulares (es decir, los objetos en sentido amplio)del mundo real estan en el mundo creado por la novela(los nombres de tales particulares actuaran comodesignadores rıgidos).Tal vez en el mundo creado hay otros particulares.Las propiedades y/o relaciones pueden ser distintas en elmundo creado en la novela de como son en realidad.La verosimilitud de lo narrado estara ligada a lacaracterizacion de ese mundo posible.




Verdad y ficcion

En cada obra de ficcion se esta creando un mundo posible:El texto contiene (o se derivan del mismo) un conjunto deproposiciones que especifican un mundo.Los universos literarios son mundos posibles,cognoscibles a traves del propio texto.En cada uno de estos mundos una proposicion (relativa alo acontecido en el mismo) es V o F : en la novela deUmberto Eco El nombre de la rosa, “Fray Jorge de Burgoses ingles” es F , aunque en otro mundo posible (que podrıahaber sido el descrito por Eco) tal vez sea V —de ahı quese pueda considerar que “♦ Fray Jorge de Burgos esingles” sea V—.




Lo imaginario y los mundos posibles

Imaginario , imposible La obra La metamorfosis (de Kafka)comienza:“Una manana, tras un sueno intranquilo, Gregorio Samsa sedesperto convertido en un monstruoso insecto...”.

¿Se esta creando un mundo imposible?

Es un mundo imaginario, donde no rigen ciertas leyesnaturales, pero es un mundo posible.




Mundos imposibles

En algunos casos, se puede considerar que en una obra deficcion el narrador hace estipulaciones que presenta comomundo real, y el lector descubre un nuevo ‘mundo real’ y unconjunto de mundos posibles como satelites del estipulado porel autor como ‘mundo real’. Pero el argumento puede llegar apresuponer mundos imposibles, mundos en los que:

No se cumple el principio de normalidad.No se cumplen leyes logicas basicas.

Se puede decir que en los mundos imposibles, hallamosindividuos imposibles (hay que aclarar que un ser humano quepueda levantar a pulso 1000 kg. no es un sujeto fısicamenteposible, pero estarıa en un mundo posible; un sujeto imposibleserıa el que tiene y no tiene cierta caracterısticasimultaneamente).




Mundos representativos

Los universos literarios como mundos posibles ofrecenelementos a la crıtica literaria:

¿Puede una novela constituir (o representar) una ‘situacionreal’?

La relacion (de accesibilidad) entre el mundo real y un mundoposible creado en una novela, explica esa representatividad:los sujetos de los dos mundos son distintos, pero se destacanen el mundo posible literario propiedades/relaciones muy‘reales’ [se podrıa ir del mundo real al mundo literariofacilmente].




¡Esto ha sido todo,amigos!


Extensiones de la Lógica Clásica. Introducción a la Lógica Modal

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