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1.-Extensión de la Paradoja de Cantor

INTRODUCCIÓN

1 La paradoja de Cantor es en realidad una inconsistencia rela-cionada con el conjunto de todos los cardinales, una vez asumidoque tal conjunto existe como una totalidad completa. Por esta razón,ese conjunto se rechaza de manera explícita en las modernas teoríasaxiomáticas de conjuntos. La siguiente discusión demuestra, sinembargo, que no solo el conjunto de todos los cardinales es incon-sistente, prueba que en la teoría informal de conjuntos de Cantor1

cada conjunto de cardinalidad C origina por lo menos 2C conjuntosinconsistentes.

2 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [1], [6] una incon-sistencia relacionada con conjuntos infinitos, Cantor fue el primeroen descubrir una paradoja en la naciente teoría de conjuntos: laparadoja del máximo cardinal [6], [4]. No hay acuerdo sobre la fechaen la que Cantor descubrió su paradoja [6] (el rango de fechas prop-uesto va desde 1883 [9] a 1896 [7]). La paradoja de Burali-Forti delconjunto de todos los ordinales y la paradoja de Cantor del conjuntode todos los cardinales están relacionadas con el tamaño de las totali-dades consideradas, tal vez demasiado grandes para ser consistentessegún Cantor. Parece algo irónico que un conjunto infinito puede serinconsistente precisamente por su excesivo tamaño.

3 La explicación más simple para ambas paradojas es que sean real-

1Naive set theory

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mente inconsistencias derivadas de la hipótesis del infinito actual, esdecir de asumir la existencia de totalidades infinitas completas. Peronadie se ha atrevido a analizar esta alternativa. Finalmente fue acep-tado que existen algunas totalidades infinitas (como el conjunto delos números reales) mientras que otras (como la totalidad de los car-dinales o la totalidad de los ordinales) no existen porque conducen acontradicciones.

LA PARADOJA DE CANTOR

4 Consideremos la siguiente versión sencilla de la paradoja2: Sea aU el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto universal3

y P(U) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subconjuntos.Denotemos por |U| y |P(U)| sus respectivos cardinales. Siendo U elconjunto de todos los conjuntos, podemos escribir:

|U| ≥ |P(U)| (1)

Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre elconjunto potencia [3] se verifica:

|U| < |P(U)| (2)

lo que contradice (1). Esta es la inconsistencia o paradoja de Cantor.

5 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [5] a su paradojay zanjó la cuestión asumiendo la existencia de dos tipos de totali-dades infinitas, las consistentes y las inconsistentes [2]. Como seindicó más arriba, en opinión de Cantor la inconsistencia de esastotalidades infinitas sería debida a su excesivo tamaño. Estaríamos

2Por muy usual que pueda ser, la expresión ’Paradoja de Cantor’ es comomínimo confusa, puesto que no es una paradoja sino una verdadera incon-sistencia.

3La teoría informal de conjuntos (como la teoría de Cantor) admite con-juntos como el conjunto universal U que están prohibidos en las teorías axio-máticas modernas.

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Una extensión de la Paradoja de Cantor —— 3

ante la madre de todos los infinitos, el infinito absoluto, que conducedirectamente a Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esainfinitud absoluta lo que la hace inconsistente para nuestras pobresmentes humanas [2].

6 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja deCantor a otros conjuntos mucho más modestos que el conjunto detodos los conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores considerarontal posibilidad. Lo haremos aquí. Ese es precisamente el objetivode la discusión que sigue. Una discusión que se llevará a cabo en elmarco de la teoría informal (no axiomatizada) de conjuntos de Cantor.

UNA EXTENSIÓN DE LA PARADOJA DE CANTOR

7 Puesto que los elementos de un conjunto en la teoría informal deconjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntosde conjuntos de conjuntos y así sucesivamente, vamos a comenzarpor definir la siguiente relación binaria R entre dos conjuntos: dire-mos que dos conjuntos A y B están R relacionados, escrito A RB, siB contiene al menos un elemento que forma parte de la definición deal menos un elemento de A . Por ejemplo, si:

A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f} (3)

B = {1, 2, b} (4)

C = {1, 2, 3} (5)

entonces A está R-relacionado con B porque el elemento b de B formaparte de la definición del elemento {{ a, {b} }} de A , pero A no estáR-relacionado con C porque ningún elemento de C interviene en ladefinición de los elementos de A .

8 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vacío, e Yuno de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY deacuerdo con:

TY = {Z | Z ∩ Y = ∅ ∧ ¬∃V(V ∩ Y 6= ∅ ∧ Z RV)} (6)

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4 —— Extensión de la Paradoja de Cantor

TY es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no con-tienen elementos de Y ni están R-relacionados con conjuntos V quecontengan elementos del conjunto Y . El argumento que sigue se po-dría también aplicar a otras definiciones menos restrictivas de TY .

9 Sea ahora el conjunto P(TY ), el conjunto potencia de TY . Loselementos de P(TY ) son todos ellos subconjuntos de TY y por tantoconjuntos de conjuntos que no contienen elementos del conjunto Yni están R-relacionados con conjuntos que contengan elementos delconjunto Y :

∀D ∈ P(TY ) : D ∩ Y = ∅ ∧ ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ D RV) (7)

Consecuentemente, se verifica:

∀D ∈ P(TY ) : D ∈ TY (8)

Y entonces:P(TY ) ⊂ TY (9)

Podemos, pues, escribir:

|P(TY )| ≤ |TY | (10)

10 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:

|P(TY )| > |TY | (11)

Nuevamente una contradicción. Pero ahora X es cualquier conjuntono vacío e Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Por lo tanto, pode-mos afirmar que cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos2C totalidades inconsistentes, que es el número de subconjuntos deun conjunto con C elementos.

11 El argumento anterior no sólo demuestra que el número de to-talidades infinitas inconsistente es mucho mayor que el número delas consistentes, también sugiere que el tamaño excesivo de los con-

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juntos podría no ser la causa de la inconsistencia. Consideremos,por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntos cuyos elementos sedefinen exclusivamente por medio del número natural 1:

X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} ... } (12)

Un argumento similar a 8/10 probaría que es una totalidad incon-sistente, aunque en comparación con el conjunto universal es unatotalidad insignificante.4 Sin embargo, también es inconsistente.

12 Si hubiéramos sabido de la existencia de tantas totalidades in-finitas inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el in-finito absoluto, tal vez la teoría transfinita de Cantor habría sidorecibida de una manera diferente. Tal vez la noción de infinito actualhabría sido puesta en cuestión en términos de la teoría de conjuntos;y quizás habríamos descubierto la manera de probar su inconsisten-cia. Pero, como sabemos, ese no fue el caso.

13 La historia de la recepción de la teoría de conjuntos y la manerade tratar sus inconsistencias (todas ellas derivadas de la hipótesisde infinito actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desdelos inicios del siglo XX se ha venido realizando un gran esfuerzo parafundar la teoría de conjuntos sobre una base libre de inconsistencias.Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuadoparcheo axiomático. Desde entonces se han desarrollado al menosmedia docena de teorías axiomáticas de conjuntos.5 Varios cientos depáginas son necesarios para explicar todos los axiomas de las teoríascontemporáneas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabríaesperar de la fundamentación axiomática de una ciencia formal.

14 Como se señaló anteriormente, la explicación más simple de lasparadojas de Cantor y Burali-Forti es que sean verdaderas contradic-ciones derivadas de la inconsistencia de la hipótesis del infinito ac-

4Recordemos, por ejemplo, que entre dos números reales cualesquieraexiste un número infinito no numerable (2ℵo ) de otros números reales difer-entes. Lo que, como seguramente se diría Wittgenstein, llega a marear [11]

5Se han producido también algunos intentos contemporáneos por recu-perar la teoría informal de conjuntos [8].

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tual. Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al elconjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos(paradoja de Russell), aunque en este caso hay una causa adicionalde inconsistencia relacionada con la definición de conjunto. Todoslos conjuntos involucrados en las paradojas de la teoría informal deconjuntos fueron eliminados de la teoría mediante las oportunas re-stricciones axiomáticas. Nadie se atrevió ni siquiera a sugerir la posi-bilidad de que esas paradojas fueran contradicciones derivadas de lahipótesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir la existen-cia de conjuntos infinitos como totalidades completas.

15 Lo cierto es que conjunto de Cantor de todos cardinales, el con-junto de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos loaconjuntos y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no sonmiembros de sí mismos, son todos ellos totalidades inconsistentescuando se les considera desde la perspectiva de la hipótesis del in-finito actual. Incluso el famoso problema de la parada de Turing estárelacionada con la hipótesis del infinito actual porque también seasume aquí la existencia de todos los pares (programas, inputs) comouna totalidad infinita completa [10]. Bajo la hipótesis del infinitopotencial, por otro lado, ninguno de esas totalidades tiene sentidoporque desde esa perspectiva sólo se pueden considerar totalidadesfinitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas.

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Bibliography

[1] R. Bunn, Los desarrollos en la fundamentación de la matemática desde1870 a 1910, Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Unaintroducción histórica (I. Grattan-Guinness, ed.), Alianza, Madrid,1984, pp. 283–327.

[2] Georg Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre,Mathematishen Annalen 21 (1883), 545 – 591.

[3] , Über Eine elementare frage der mannigfaltigkeitslehre,Jahresberich der Deutschen Mathematiker Vereiningung, vol. 1, 1891.

[4] Josep W. Dauben, Georg Cantor. His mathematics and Philosophy of theInfinite, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1990.

[5] José Ferreirós, El nacimiento de la teoría de conjuntos, UniversidadAutónoma de Madrid, Madrid, 1993.

[6] Alejandro R. Garciadiego Dantan, Bertrand Rusell y los orígenes de lasparadojas de la teoría de conjuntos, Alianza, Madrid, 1992.

[7] I. Grattan-Guinness, Are there paradoxes of the set of all sets?,International Journal of Mathematical Education, Science andTechnology 12 (1981), 9–18.

[8] M. Randall Holmes, Alternative Axiomatic Set Theories, The StanfordEncyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), StandfordUniversity, 2007.

[9] W. Purkert, Cantor’s view on the foundations of mathematics, Thehistory of modern mathematics (D. Rowe and J. McClearly, eds.),Academic Press, New York, 1989, pp. 49–64.

[10] Alan M. Turing, On Computability Numbers, With an Application to theEntscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc. Series 2 43 (1937),230 – 265.

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“ElFinDelInfinito” — 2012/4/17 — 12:22 — page 8 — #8✐

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8 —— Extensión de la Paradoja de Cantor

[11] Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics,Basil Blackwell, Oxford, 1978.