Expresiones simbolicas 8avo ciclo

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y PETROQUIMICA

ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA

LIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES

INFORME DE INFORMATICA APLICADA A LOS PROCESOS

ING. VICTOR ORE GALINDO

1EXPRESIONES SIMBOLICAS

1

El Toolbox de Matemática Simbólica, añade a MATLAB la capacidad de

realizarcálculos simbólicos basados en MAPLE V © soportando además

(The ExtendedSymbolic Math Toolbox) las librerías especializadas, y los

programas realizadospara este último. Entre otros, los principales tipos

de operaciones soportadosson los siguientes:

· Algebra simbólica: Derivación, integración y simplificación de

expresiones matemáticas.

· Algebra lineal exacta: Inversas, determinantes, auto valores y

formas canónicas de matrices simbólicas.

· Aritmética de precisión variable: Evaluación de expresiones

matemáticas con diversos grados de precisión.

· Resolución de ecuaciones: Resolución numérica y simbólica de

ecuaciones algebraicas y diferenciales.

· Funciones matemáticas especiales: Evaluación de la mayoría de

las funciones utilizadas en matemáticas aplicadas.

Existen dos versiones del mismo Toolbox. The Basic Symbolic Math

Toolbox es una colección de más de 50 funciones MATLAB las cuales

permiten acceder al14kernel de MAPLE utilizando la Sintaxis y el estilo

del lenguaje MATLAB. The Extended Symbolic Math Toolbox aumenta

esta funcionalidad incluyendo todas las características de programación

INTRODUCCI


2

de MAPLE, y el acceso a los paquetes defunciones de más de veinte

campos de las matemáticas especiales aplicadas.

Crear y manipular variables simbólicas.

Simplificar expresiones matemáticas.

Resolución de ecuaciones empleando matemáticas simbólicas.

OBJETIVOS


3

ALGEBRA SIMBOLICA:

La matemática simbólica se usa

regularmente en los problemas de, ingeniería y ciencias. Con

frecuencia es preferible manipular las ecuaciones simbólicas antes de

sustituir valores para las variables.

EXPRESIONES SIMBOLICAS:

Son expresiones matemáticas que contienen variables simbólicas. Una

vez que las variables simbólicas han sido creadas, estas se pueden

utilizar para crear expresiones simbólicas.

CREACION DE VARIABLES SIMBOLICAS:

Las variables simbólicas simples se pueden crear en dos formas. Por

ejemplo, para crear la variable simbólica x, escriba:

>> sym('x') o

>> syms x

Ambas técnicas hacen el carácter ‘x’ igual a la variable simbólica

x.

Donde “x” puede representar:

Una letra o una combinación de letras (sin espacios). Por

ejemplo: “s”, “yad”.

O una combinación de letras y dígitos que comience por

letra (sin espacios). Ejemplos “xh12”, “r2d2”.

Un número. Por ejemplo: “15” o “3”.

En los primeros dos casos (cuando la cadena es una letra o

una combinación de varias letras y números), el objeto

simbólico creado es una variable simbólica. En este caso

es conveniente (aunque no es necesario) dar al objeto el

EXPRESION


4

mismo nombre que la cadena. Por ejemplo “s”y “yad” se

puede definir como variables simbólicas de la forma:

>> s=sym('s') Se crea el objeto simbólico s.

>> yad=sym('yad') Se crea el objeto simbólico yad.

El nombre del objeto simbólico puede ser diferente del

nombre de la variable. Por ejemplo:

>> h=sym('gamma')

h =Nombre del objeto.

Gamma Nombre de la variable.

La función sym también se puede usar para crear una

expresión entera o una ecuación entera. Por ejemplo,

>> E=sym('m*c^2') Crea una variable

simbolica llamada E

>>Ley_gas_ideal=sym('P*V=n*R*Temp') Crea una ecuación.

El comando sym es particularmente conveniente porque

se puede usar para crear multiples variables simbólicas al

mismo tiempo, como con el comando:

>> syms Q R T DO

CREACION DE EXPRESIONES SIMBOLICAS:


5

Son expresiones matemáticas que contienen variables

simbólicas. La expresión simbólica de Matlab se usa

matemáticamente para factorizar, simplificar, determinar

soluciones, derivar, integrar, etc. La forma de crear una

expresión simbólica es:

Nombre de expresión = Expresión simbólica.

Ejemplo:

>> syms a b c x y % Define las variables simbólicas a,b,c,x

e y.

>> f=a*x^2+b*x+c % Crea la expresión simbólica ax2+bx+c.

y le asigna a f.

f = % Se visualiza la expresión simbólica, sin

sangrar.

a*x^2 + b*x + c

SUSTITUCION DE VARIABLES:

Ejemplo: Supongamos el polinomio f= ax2+bx+c se quiere

sustituir x por -1.

>> g=subs(f,x,-1)

1. Cree las siguientes variables simbólicas con el

comando sym o syms: x, a, b, c, d.

2. Verifique que las variables que creó en el ejercicio 1

se mencionan en la ventana del área de trabajo

(Workspace). Uselas para crear las siguientes

expresiones simbólicas.

SOLUCION:


6

>> syms a b c d x

>> f=a*x^2+b*x+c

f =

a*x^2 + b*x + c

>> g=subs(f,x,-1)

g =

a - b + c

a. p1=x2-1

>> p1=x^2-1

p1 =

x^2 - 1

b. p3=a*x^2-1

>> p3=a*x^2-1

p3 =

a*x^2 - 1

c. p2=(x+1)2

>> p2=(x+1)^2 p2 =

(x + 1)^2

d. p4=a*x^2+b*x+c

>> p4=a*x^2+b*x+c

p4 =

a*x^2 + b*x + c

e. p5= a*x^3+b*x^2+c*x+d

>> p5=(a*x^3)+(b*x^2)+(c*x)+d

p5 =

a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

f. p6=sen(x)

>> p6=sin(x)


7

p6 =

sin(x)

Recordemos que la función pretty permite ver la

expresión en la forma en que normalmente aparece en

los textos. Se utiliza como sigue:

pretty(p4)

>> pretty(p4)

2

a x + b x + c

3. Cree las siguientes expresiones simbólicas, con la

función sym:

>> syms X A B C

EX1=X2-1

>> EX1=X^2-1

EX1 =

X^2 - 1

EX2=(X-1)2

>> EX2=(X-1)^2

EX2 =

(X - 1)^2

EX3=AX2-1

>> EX3=A*X^2-1


8

EX3 =

A*X^2 – 1

EX4=AX2+BX+C

>> EX1=A*X^2+B*X+C

EX1 =

A*X^2 + B*X + C

EX5= AX3+BX2+CX

>> EX5=A*X^3+B*X^2+C*X

EX5 =

A*X^3 + B*X^2 + C*X

EX6=senx

>> EX6=sin(x)

EX6 =

sin(x)

1. Cree las siguientes ecuaciones, con la función syms:

>> syms x a b c

a. X2=1

>> a=x^2-1

a =

x^2 - 1

b. (X+1)2=0

>> b=(x+1)^2-0

b =

(x + 1)^2

c. ax2=1

>> c=a*x^2-1

c =

x^2*(x^2 - 1) - 1


9

d. ax2+bx+c=0

>> d=a*x^2+b*x+c-0

d =

x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) - 1

e. ax3+bx2+cx+d=0

>> e=a*x^3+b*x^2+c*x+d-0

e =

x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) + x^2*(x +

1)^2 + x^3*(x^2 - 1) + x*(x^2*(x^2 - 1) - 1) -

1

f. seno(X)=0

>> f=sin(x)-0

f =

sin(x)

2. A partir de los siguientes vectores crear expresiones

simbólicas con la función poly2sym:

A=[1,2,3,4]

>> A=poly2sym([1 2 3 4])

A =

x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4

f=[1 2 3]

>> f=poly2sym([1 2 3])

f =

x^2 + 2*x + 3

X=[-1,2,3;4,5]

>> X=poly2sym([-1 2 3 4 5])

X =

- x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 5

B=[1 2 3; 4 5 6]


10

>> B=poly2sym([1 2 3 4 5 6])

B =

x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6

MODIFICACION DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS:

Las expresiones simbólicas pueden ser creadas por el usuario; o también

por Matlab como resultado de otras operaciones simbólicas.

FUNCIONES QUE SE USAN PARA MANIPULAR EXPRESIONES Y

ECUACIONES

collect(F

,s)

Reúne los términos con coeficientes comunes de F, si coloco “s” le aclaro

que variable quiero que reúna.

expand(

F)

Expande los productos de factores de la expresión o ecuación.

factor(F) Factoriza la expresión o ecuación.

simple(F

)

Determina la forma más sencilla de F con el menor número de términos.

simplify(

F)

Simplifica en concordancia con las reglas de simplificación.

pretty(F)Visualiza una expresión simbólica de forma parecida a como esta suele

escribirse realmente (forma algebraica.)

3. REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA CON LA

AYUDA DE MATLAB:

>> syms X Y r s z a b t m n

a. P1=4X2+8X-5 factorizar

>> P1=4*X^2+8*X-5

P1 =

4*X^2 + 8*X - 5

>> factor(P1)


11

ans =

(2*X + 5)*(2*X - 1)

b. P2=X5-2X3-X2Y3 factorizar

>> P2=X^5-2*X^3-X^2*Y^3

P2 =

X^5 - 2*X^3 - X^2*Y^3

>> factor(P2)

ans =

X^2*(X^3 - 2*X - Y^3)

c. P3=r8-S8 factorizar

>> P3=r^8-s^8

P3 =

r^8 - s^8

>> factor(P3)

ans =

(r - s)*(r + s)*(r^2 + s^2)*(r^4 + s^4)

d. P4=(x-y-z)(x+y+z) realiza el

producto

>> P4=(X-Y-z)*(X+Y+z)

P4 =

-(X + Y + z)*(Y - X + z)

>> expand(P4)

ans =

X^2 - Y^2 - 2*Y*z - z^2

e. P5=(4x7-xy5+6y2)(9x10+54x8y3+34y5)

simplifica

P5 =

(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -

X*Y^5 + 6*Y^2)

>> simplify(P5)

ans =


12

(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -

X*Y^5 + 6*Y^2)

f. P6=(45X7-29y3)8 expand

>> P6=(45*X^7-29*Y^3)^8

P6 =

(45*X^7 - 29*Y^3)^8

>> expand(P6)

ans =

16815125390625*X^56 -

86691313125000*X^49*Y^3 +

195537072937500*X^42*Y^6 -

252025560675000*X^35*Y^9 +

203020590543750*X^28*Y^12 -

104668393347000*X^21*Y^15 +

33726482300700*X^14*Y^18 -

6209955471240*X^7*Y^21 +

500246412961*Y^24

g. P7=12a2-4ab-3ax2+bx2

factorizar

>> P7=12*a^2-4*a*b-3*a*x^2+b*x^2

P7 =

12*a^2 - 3*a*x^2 - 4*b*a + b*x^2

>> factor(P7)

ans =

(4*a - x^2)*(3*a - b)

h. P8=t5-t3-2t2+2t factorizar

>> P8=t^5-t^3-2*t^2+2*t

P8 =

t^5 - t^3 - 2*t^2 + 2*t

>> factor(P8)


13

ans =

t*(t^2 + 2*t + 2)*(t - 1)^2

i. P9=(m+n)2-2m-2n-15

factorizar

>> P9=(m+n)^2-2*m-2*n-15

P9 =

(m + n)^2 - 2*n - 2*m - 15

>> factor(P9)

ans =

(m + n - 5)*(m + n + 3)

j. P10=(x^3+2*x+5,x,7) evalua

para x=7

>> x=7

x =

7

>> P10=(x^3+2*x+5)

P10 =

362

k. P11=b2

4 + ab

2

72 - a

3b5

32 - 1

9a2

factorizar

>> P11=(b^2./4)+(a*b^2./72)-(a^3*b^5./32)-

(1/9*a^2)

P11 =

- (a^3*b^5)/32 - a^2/9 + (a*b^2)/72 + b^2/4

>> factor(P11)

ans =

-(9*a^3*b^5 + 32*a^2 - 4*a*b^2 -

72*b^2)/288

l. P12=(x-2y+5z2)(x+2y+5z2)

simplificar


14

>> P12=(X-2*Y+5*z^2)*(X+2*Y+5*z^2)

P12 =

(5*z^2 - 2*Y + 7)*(5*z^2 + 2*Y + 7)

>> simplify(P12)

ans =

- 4*Y^2 + 25*z^4 + 70*z^2 + 49

m. P13= 2a2−ab−3b2

am−2an+bm−2bn

simplificar

>> P13=(2*a^2-a*b-3*b^2)./(a*m-

2*a*n+b*m-2*b*n)

P13 =

-(- 2*a^2 + a*b + 3*b^2)/(a*m - 2*a*n + b*m

- 2*b*n)

>> simplify(P13)

ans =

(2*a - 3*b)/(m - 2*n)

n. P14=x

1+ x+ 2 x2

1−xsimplificar

>> P14=X./(1+X+((2*X^2)./(1-X)))

P14 =

X/(X - (2*X^2)/(X - 1) + 1)

>> simplify(P14)

ans =

(X + 1)/(X^2 + 1) - 1

o. P15=6 x2−5x−4x2−3 x−40

÷9 x2−16x−8

simplifica

>>

P15=((6*X^2-5*X-4)./(X^2-3*X-40))./((9*X^2-

16)./(X-8))


15

P15 =

((X - 8)*(- 6*X^2 + 5*X + 4))/((9*X^2 - 16)*(-

X^2 + 3*X + 40))

>> simplify(P15)

ans =

9/(11*(X + 5)) - 5/(11*(3*X + 4))

p. y=2(x2+3)x2+6 x+9

expande

>> Y=((2*(X^2+3))./(X^2+6*X+9))

Y =

(2*X^2 + 6)/(X^2 + 6*X + 9)

>> expand(Y)

ans =

6/(X^2 + 6*X + 9) + (2*X^2)/(X^2 + 6*X +

9)

APLICACIONES EN LA SOLUCION DE ECUACIONES:

Los sistemas de ecuaciones se resuelven mediante la instrucción solve:

Solve(

F)

Resuelve ecuaciones; Sintaxis solve

(‘ecuacion’,’incognita’)

1. Para resolver ecuaciones no se requiere de toolbox de matemática

simbólica, por tanto nose trabaja con la función sym.

2. Con el comando solve se consigue resolver una ecuación con una

sola incógnita.

Ejemplo: Hallar los valores x ,y ,z en el siguiente sistema de

ecuaciones.

x+y=5

x-y=-1


16

ez∗y=7.389

>> syms x y z

>> s=solve('x+y=5','x-y=-1','e^z*y=7.389')

s =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

z: [1x1 sym]

>> s=[s.x s.y s.z]

s =

[ 2.0, 3.0, 0.90138011913840086095621910271119/log(e)]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Utilizando x6-

3x+2=x4-3

>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')

>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')

s =

0.35994649749890820934903867816622*i +

1.1588735640001902291072573105579

0.16138684769824712360456909778994 -

1.2241811519531001309829870439755*i

- 0.69565812924715883004032713435383*i -

1.3202604116984373527118264083478

1.2241811519531001309829870439755*i +

0.16138684769824712360456909778994

1.1588735640001902291072573105579 -

0.35994649749890820934903867816622*i

0.69565812924715883004032713435383*i -

1.3202604116984373527118264083478


17

a) X4-5x+8=x2-30

>> a=solve('x^4-5*x+8=x^2-30')

a =

1.4724873819349124936081769210697*i +

1.8305898266220592604532018608948

1.8305898266220592604532018608948 -

1.4724873819349124936081769210697*i

1.8798667869577432124083702409602*i -

1.8305898266220592604532018608948

- 1.8798667869577432124083702409602*i -

1.8305898266220592604532018608948

b) X3+2x2-x+1=0

>> b=solve('x^3+2*x^2-x+1=0')

b =

-

7/(9*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 -

29^(1/2)/6)^(1/3) - 2/3

7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -

29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 - (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -

29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2

7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -

29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 + (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -

29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2

c) X+√25−x2=7

>> c=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')

c =

3

4


18

d) Sin(x)-x2+1=0, y comprobar la solución evaluando la

expresión con la presunta raíz.

>> d=solve('sin(x)-x^2+1')

d =

matrix([[-0.63673265080528201088799090383828]])

>> s=[s.x]

e) Resolver el siguiente sistema:

X+y=27

4x2+5y2=1620

>> syms x y

>> f=solve('x+y=27','4*x^2+5*y^2=1620')

f =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

>> f=[f.x f.y]

f =

[ 15, 12]

{4 x2+ y2=252 x+ y=7

>> syms x y

>> g=solve('4*x^2+y^2=25','2*x+y=7')

g =

x: [2x1 sym]

y: [2x1 sym]

>> g=[g.x g.y]

g =

[ 2, 3]

[ 3/2, 4]


19

{ 3 x− y=752x+2 y=23

2

>> syms x y

>> h=solve('3*x-y=7','5/2*x+2*y=23/2')

h =

x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

>> h=[h.x h.y]

h =

[ 3, 2]

{ x+ y=11

(x−3)( y+2)=65xy

>> syms x y

>> i=solve('x+y=11','(x-3)*(y+2)=6/5*x*y')

i =

x: [2x1 sym]

y: [2x1 sym]

>> i=[i.x i.y]

i =

[ 2*61^(1/2) - 7, 18 - 2*61^(1/2)]

[ - 2*61^(1/2) - 7, 2*61^(1/2) + 18]

X+√25−x2=7>> syms x

>> j=solve('x+sqrt(25+x^2)=7')

j =

12/7


20

3+ x2−16x−1

=5x2−21 x+22x2−3 x+2

>> syms x

>>

k=solve('3+((x^2-16)/(x-1))=((5*x^2-2*x+22)/(x^2-

3*x+2))')

k =

85/(9*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) +

(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3) + 4/3

4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -

85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3))

+ (3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +

(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -

((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2

4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -

85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3))

- (3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +

(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -

((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2

X+√25−x2=7>> syms x

>> l=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')

l =

3 4

PROBLEMA:

1) Un estudio presentado a inicios de enero del año 2014,

mostro que la población de peces en un lago se obtiene de

la formula F=1000(30+17t-t2), donde t es el tiempo en

años.


21

Si la máxima cantidad de peces se proyecta para 8 años y

medio después del estudio, ¿cuántos peces tendrá el lago

en esta fecha?. ¿Cuál es la situación después de 18 años y

medio del estudio y que se podría afirmar 3 meses más

tarde de esta fecha?.

SOLCION:

F=1000(30+17t-t2) t=102 meses.

>> syms t

>> t=102

t =

102

>> F=1000*(30+17*t-t^2)

F =

-8640000

F=1000(30+17t-t2) t=225 meses.

>> syms t

>> t=225

t =

225

>> F=1000*(30+17*t-t^2)

F =

-46770000

Expresiones simbolicas 8avo ciclo

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