Exponentes racionales y radicales

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MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 1 / 11

Exponentes racionales y radicales

Raíz enésima de un número real

Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que

an = b

entonces decimos que a es la raíz enésima de bCon n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raícescuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.

Ejemplos−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2 = 4 y 22 = 4−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4 = 81 y 34 = 84−4 es raíz cúbica de −64 porque (−4)3 = −64



Raíz enésima de un número realSi n es un número natural y a y b son números reales de modo que

an = b

entonces decimos que a es la raíz enésima de b

Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raícescuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.





an = b






an = b


Ejemplos

−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2 = 4 y 22 = 4−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4 = 81 y 34 = 84−4 es raíz cúbica de −64 porque (−4)3 = −64




an = b


Ejemplos−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2 = 4 y 22 = 4

−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4 = 81 y 34 = 84−4 es raíz cúbica de −64 porque (−4)3 = −64




an = b


Ejemplos−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2 = 4 y 22 = 4−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4 = 81 y 34 = 84

−4 es raíz cúbica de −64 porque (−4)3 = −64




an = b





¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un número

real positivo b debe venir en pares: una positiva y la otranegativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen-3 y 3.

2 Cuando n es par y b es un número real negativo, hay dosraíces enésimas reales de b. Por ejemplo, si b = −9 y elnúmero real a es una raíz cuadrada de b, entonces pordefinición a2 = −9. Pero esto es una contradicción, puestoque el cuadrado de un número real no puede ser negativo yconcluimos que b no tiene raíces reales en este caso.

3 Cuando n es impar, entonces hay solo una raíz enésima realde b. Por ejemplo la raíz cúbica de −64 es −4.



¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?

1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un númeroreal positivo b debe venir en pares: una positiva y la otranegativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen-3 y 3.





¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un número

real positivo b debe venir en pares: una positiva y la otranegativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen-3 y 3.





Utilizamos la notación n√

b, llamada radical para denotar la raízenésima principal de b. El símbolo

√2 se llama signo radical y

el número b dentro de él se llama radicando. El entero positivo nse llama índice del radical. Para raíces cuadradas (n = 2)escribimos

√b en lugar de 2

√b.

Índice Radical

Radicando



Exponentes racionales caso 1Si n es un número natural y b es un número real, entonces

b1/n = n

√b

Ejemplos9 1

2 =√

9 = 3(−8)

13 = 3√−8 = −2




b1/n = n

√b

Ejemplos

9 12 =√

9 = 3(−8)

13 = 3√−8 = −2




b1/n = n

√b

Ejemplos9 1

2 =√

9 = 3

(−8)13 = 3√−8 = −2




b1/n = n

√b

Ejemplos9 1

2 =√

9 = 3(−8)

13 = 3√−8 = −2



Exponentes racionales caso 2

Si m

nes un número racional reducido a términos mínimos (m, n

son números naturales) entonces

bm/n =

(b

1/n)m

o, de forma equivalente

bm/n = n

√bm

siempre que exista.



Exponentes racionales caso 2

Ejemplos

(81)34 =

8114

3

=(

4√

81)3

= 33 = 9

(−8)53 = ((−8)

13 )5 =

( 3√−8)5 = (−2)5 = −32



Exponentes racionales negativos

a−m/n = 1a

m/n(a 6= 0)

Ejemplos

4−52 = 1

4 52

= 1(4 1

2)5 = 1(√

4)5 = 1

25 = 132

(−8)−1/3 = 1

(−8)1/3= 1

3√−8

= 1−2 = −1

2

Las siguientes propiedades se derivan directamente de las propiedadesde los exponentes previamente estudiadas. =⇒


Exponentes racionales y radicalesSi m y n son números naturales y a y b son números reales para loscuales existen las raíces indicadas, entonces

Propiedad Ilustración

1. ( n√

a)n = a(

3√2)3

=(21/3

)3= 21 = 2

2. n√ab = n√

a · n√b 3√216 = 3√27 · 8 = 3√27 · 3√8 = 3 · 2

3. n√

ab =

n√an√

b3√

864 =

3√83√64

= 24 = 1

2

4. m√

n√

a = mn√

a3√√

64 = 3·2√64 = 6√64 = 2

5. Si n es par: n√

an = |a|√

(−3)2 = |−3| = 3

Si n es impar: n√

an = a 3√−8 = −2




1. ( n√

a)n = a

(3√2)3

=(21/3

)3= 21 = 2

2. n√ab = n√

a · n√b 3√216 = 3√27 · 8 = 3√27 · 3√8 = 3 · 2

3. n√

ab =

n√an√

b3√

864 =

3√83√64

= 24 = 1

2

4. m√

n√

a = mn√

a3√√

64 = 3·2√64 = 6√64 = 2


an = |a|√

(−3)2 = |−3| = 3

Si n es impar: n√

an = a 3√−8 = −2
