Tringulos y funciones trigonomtricas

Prof. Daniel O. Porretti

Pgina 4

Funciones exponenciales y logartmicas

Funciones exponenciales

Consideremos el ejercicio 1 del TP. Puedes observar rpidamente que para obtener el valor del automvil en una cierta cantidad de aos, debemos conocer el valor del ao anterior.

Cmo hallar una frmula que nos permita obtener directamente el valor luego de t aos, sin necesidad de realizar demasiadas cuentas?

Veamos como calculamos algunos valores:

En t = 0

tenemos que el valor es v(0) = 10

En t = 1

tenemos

v(1) = 10 (0,95) = 9,5

En t = 2

tenemos

v(2) = v(1) 0,95

= 10 (0,95)(0,95)

= 10 (0,95)2 = 9,025

Observa que el valor de v(2) pudo expresarse en funcin de valor inicial (10), la proporcin en que se deprecia (0,95) y el tiempo transcurrido (2)

Cmo expresaras el valor de v(3)?

En general, el valor del automvil luego de t aos es:

v(t) = 10 (0,95)tEl tipo de frmula que acabamos de encontrar, se denomina funcin exponencial, y su forma general es:

y = b axPara que el dominio de definicin de la funcin sean todos los nmeros reales, debemos poner algunas restricciones: a 0 y a 1, y b 0.

Investiguemos algunas propiedades graficando las funciones del ejercicio 2 del TP.

El nmero e

Existe un nmero muy particular, tanto que se la ha asignado un nombre, e = 2,7182818... (que no es racional). Este nmero aparece en muchos procesos naturales cuando algo aumenta o disminuye en forma proporcional ala cantidad presente.

Por ejemplo analicemos el caso de una clula de rbol que crece 1/100 de su masa cada da. Si su tamao inicial es 100, tenemos:

En t = 0

en t = 1

en t = 2

en t = 100

En realidad el rbol est creciendo todo el tiempo, cada minuto, cada segundo, esto es, est creciendo continuamente. Veamos que sucede si calculamos el crecimiento en cada hora. En este caso el factor de crecimiento es 1/2400, y entonces tenemos:

en t = 0

en t = 1

en t = 2

en t = 2400

Observemos que este resultado es aproximadamente 100 e.

En nuestro problema, si en lugar de considerar el crecimiento hora a hora, lo hacemos minuto a minuto, segundo a segundo, esto es, continuamente, llegaremos a una masa dada por:

con n cada vez mayor.

Cuando n tiende a infinito, la masa alcanzar el valor 100 e.

En este ejemplo el nmero e aparece en la biologa, pero aparece en otras aplicaciones como economa, estadstica, demografa y otras.

La funcin y = exFuncin Logartmica

Supongamos que queremos hallar el valor de x en la ecuacin: 2x = 32.

En este caso es fcil ver que x = 5 es la solucin buscada.

Qu sucede ahora si se te pide hallar x en 2x = 15? Intntelo.

Una posibilidad sera hacer una tabla de valores para la funcin y = 2x.

x012345

2x12481632

Puedes dar una solucin aproximada? Cmo mejoraras la aproximacin?

Intenta dibujar el grfico y dar una respuesta aproximada con l.

Como puedes observar necesitamos recorrer el camino inverso al habitual, es decir: dado un valor de y (en nuestro ejemplo 15) obtener el valor de x que le corresponde. Esto es necesitamos conocer la funcin inversa de y = 2x.

Dado y = 32 el valor de x que le corresponde es 5.

Llamaremos a este exponente logaritmo en base 2 del nmero 32 y lo simbolizamos:

5 = log2 32

Si y = 8 el exponente que buscamos es x = 3. Decimos que:

3 = log2 8

En general, dado y = b, el valor de x que cumple b = 2x es:

x = log2 b

Como la funcin exponencial y = 2x tiene dominio en todos los reales y su imagen son todos los reales positivos, podemos definir la funcin llamada logartmica:

donde x toma solamente valores positivos.

Gafiquemos las funciones y = 2x e y = log2 x en un mismo sistema de coordenadas.

Podemos apreciar que ambos grficos son simtricos respecto a la recta y = x.

Esta es una caracterstica de todas las funciones inversas.

En general podemos extender la definicin de la funcin logartmica para cualquier base de la siguiente forma:

Aclaremos que cuando la base del logaritmo es 10 no se escribe, es decir log10 = log

Propiedades de los logaritmos

1.

2.

3. Logaritmo de un producto:

4. Logaritmo de un cociente:

5. Logaritmo de una potencia:

6.

7. Cambio de base:

_1064683766.unknown

_1065279710.unknown

_1065284675.unknown

_1065285256.unknown

_1065288527.unknown

_1065284866.unknown

_1065284961.unknown

_1065284131.unknown

_1065284523.unknown

_1065280612.unknown

_1064683955.unknown

_1064684144.unknown

_1064683870.unknown

_1064683291.unknown

_1064683609.unknown

_1064683675.unknown

_1064683360.unknown

_1064683038.unknown

_1064683100.unknown

_1064682965.unknown