1. ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO

1.1 Introducción

• Objetivo del control automático Mantener en determinado valor de operación las variablesdel proceso.

Proceso Variablesde entrada

Variablesde salida

- Conocer las leyes físicas- Plantear el sistema de ecuaciones- Escoger el controlador para obtener la salida deseada

Figura 1.1: Representación del proceso dinámico

• Aplicaciones del control automático

- Control de procesos industriales- Sistema de pilotaje de aviones- Control de tráfico- Control de procesos económicos, etc

• Beneficios del control automático

- Funcionamiento óptimo de los sistemas- Mejora en la calidad de la producción- Liberación de la rutina de muchas actividades manuales repetitivas

• Tipos de componentes usados en los sistemas de control

- Eléctricos - Mecánicos - Neumáticos- Electrónicos - Hidraúlicos - Combinación de

los anteriores• Sistemas de control

Son sistemas en los que una o varias variables (variables controladas) son ajustadas para que tengan un comportamiento pre-fijado, mediante una determinada configuración.

• Sistema de control en lazo abierto (SCLA)• Sistema de control en lazo cerrado (SCLC)

Variable(s)controlada(s)

Controlador ProcesoReferen -cia

Perturbaciones

Variable(s)

controlada(s)

Variable(s)

manipulada(s)

ControladorElemento

final de controlProceso

TransmisorElemento prima-rio de medida

Ref.

+-

Error

Valor medido

Perturbaciones

S. C. L. A.

S. C. L. C.

Figura 1.2: Sistemas de control en lazo abierto y cerrado

• Tipos de Sistemas de control

• Sistemas de control lineales y no lineales

Todos los sistemas son inherentemente no lineales. Si las variaciones de magnitud de las variables del proceso son pequeñas, entonces el sistema puede linealizarse y aplicarse las técnicas de control lineal; sin embargo, si dichas variaciones son amplias, entonces tienen que aplicarse técnicas de control no lineal.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Lineales: No Lineales:

034.0

2

xxx

xx

Axx

2

3

4

sen

xxx

wtbxxax

• Sistemas de control invariantes y variantes con el tiempo

• Invariantes: • Variantes: Los parámetros no varían Los parámetros varían con el tiempo con el tiempo

• Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto

• Continuo: • Discreto: Son aquellos cuyas señales Son aquellos en los cuales una son continuas en el tiempo t , o más de las variables pueden y pueden describirse mediante cambiar solo en valores discre-

ecuaciones diferenciales. tos de tiempo, y pueden des- cribirse mediante ecuaciones en diferencias.

Ejemplos de sistemas de control

• Típico intercambiador de calor

Vaporde agua

TT

-

TIC

Condensado

V

TT

-

TRC

Condensado

V

Vaporde agua

(a) (b)purgador purgador

Punto deconsigna

Salida controlada(temperatura)

Acción de control

Válvula Proceso

Transmisor

errorSeñal de control

Caudal de vapor

+-

Figura 1.3: (a ) Control neumático; (b ) Control electrónico; (c ) Diagrama de bloques

(c)

Controlador

• Control de velocidad en lazo abierto para un motor DC

Battery+ -

DCamplifier

DC motor

Turntable

Actuator

DC motor

Control device

Amplifier Process

Turntable

(a)

(b)

Desired speed(voltage)

Actualspeed

Figura 1.4: (a) Esquema eléctrico; (b) diagrama de bloques.

• Control de una locomotora eléctrica diesel

T h r o t t l e

V r Amplifier

K

T a c h o m e t e r

L o a d

W oJ, f

G e n e r a t o r L a R ai a

+

-

V g

W d = C t e.

D i e s e le n g i n e

M o t o r

V o = T a c h o m e t e r v o l t a g e

L f R fi f

+

-

V f+-

V r

(a)

)(0 sw)(swrAmplifier

gain

K

Diesel electriclocomotive

G(s)

+

-

Figura 1.5: (a) Sistema de la locomotora diesel; (b) diagrama de bloques

(b)

RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DESCRIPTIVAS PARA ELEMENTOS IDEALES

Tipo deelemento

Elementofísico

Ecuacióndescripti-va

Energía Eo potenciaP

Símbolo

Al mace-namientoinductivo

Inductan-ciaeléctricaResorte detraslación

Resorterotacional

dtdi

Lv 212

2

1LiE

dtdT

Kw

121

KT

E2

21

dtdF

Kv

121

KF

E2

21

2v

2v

2w

1v

1vF

1wT

L

K

K

Tabla 1.1: Resúmen de ecuaciones diferenciales descriptivas.

Tipo deelemento

Elementofísico

Ecuacióndescripti-va

Energía Eo potenciaP

Símbolo

Inercia delfluido

Almace-namientocapacitivo

CapacitanciaeléctricaMasa detraslación

dtdQ

IP212

21IQE

dtdv

MF 2 222

1MvE

dtdv

Ci 21 2212

1CvE

I

C2v 1v

i

2v1vM

constante

F

2P 1PQ

continuación

Tipo deelemento

Elementofísico

Ecuacióndescripti-va

Energía Eo potenciaP

Símbolo

Masarotacional

Capaci-tancia delfluidoCapaci-tanciatérmica

dt

dwJT 2 2

22

1JwE

dt

dCq t

2

2tCE

dt

dPCQ f

21 2212

1PCE f

q

21tC

constante

2wT 1wJ

constante

P

2PfCQ

continuación

1.2 La transformada de LaplaceEl método de la transformada de Laplace permite convertir una ecuación dife-rencial lineal en una algebraica de resolución relativamente fácil. La transfor-mada de Laplace para una función del tiempo f(t) es:

)}({)()(0

tfdtetfsF st

y la transformada inversa de Laplace se escribe:

dsesFtf st)(

21

)(

donde la variable compleja s es:

ws

A continuación se presenta una tabla de transformadas de Laplace de funciones:

Tabla de transformadas de Laplace de funciones

Ver transparencias

1.3 La Función de Transferencia

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre latransformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplacede la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales soncero. La función de transferencia solo se define para sistemas lineales y deparámetros constantes. En general, la función de transferencia de un sistematiene la forma:

nnnn

nnnn

asasasa

bsbsbsb

SUSY

sG

11

10

11

10

...

...

)()(

)(

El método es particularmente útil, ya que los ceros y polos en el plano S de lafunción de transferencia representan la respuesta transitoria del sistema.

1.4 Diagramas de bloques y gráficos de flujo de señal

Diagramas de bloques

Como los sistemas de control se ocupan del control de variables espe-cíficas, se requiere conocer la relación entre las variables controladas y la de control. Esta relación, se representa mediante la función de transferencia del subsistema que relaciona las variables de entrada y salida.

Suponiendo un sistema con entrada R(s) y salida C(s), la función detransferencia G(s) viene representada por el siguiente diagrama de bloques:

Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las fun-ciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagramaindica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes.

G(s)R(s) C(s)

Figura 1.6: representación de un sistema simplificado en lazo abierto

En sistemas de control se usan frecuentemente puntos de suma y de bifurcación,muy frecuentes en sistemas de control de lazo cerrado.

R(s)<>E(s)

B(s)

R(s) E(s)+

- B(s)

Punto de bifurcación

E(s)R(s) G(s)

B(s)

C(s)

G(s)E(s) C(s)

(a)

(b)

Figura 1.7: (a) Elementos de un diagrama de bloques; (b) Diagrama de bloquescomo resultado de combinar elementos

Gráficos de flujo de señalEl método de los gráficos de flujo de señal es otro procedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema de control.

Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con dirección y sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales.

Sea un sistema definido por el siguiente conjunto de ecuaciones:

)(

)(

)(

3332321313

223232221212

113132121111

xaxaxax

ubxaxaxax

ubxaxaxax

Los gráficos de flujo de señal correspondientes son:

1b

1u

11a

1x12a

13a

2x 3x

22a

2x1x

21a

2b

2u

23a 3x

31a

1x3x2x

32a33a

(a) (b)

(c)

1x31a

(d)

Figura 1.8: (a), (b) y (c) representan a las ecuaciones ( ), ( ) y ( ) respectiva-mente; (d) flujo de señal completo para el sistema descrito.

1u 2x3x

2u

1b11a

32a12a

21a 22a

13a

2b 23a

33a1

12x

1x

1.5 Modelos matemáticos de sistemas dinámicos

En primer lugar se aplican las leyes físicas del proceso y se obtiene una ecuación diferencial (puede ser lineal o no lineal). Si no es lineal existen métodos de linealización.

1.5.1 Método de la relación Entrada/Salida (clásico)

Sea el siguiente sistema de orden n :

)1()()(...)()()()(...)()( 1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

tubtubtubtubtyatyatyaty nn

nn

nn

nn

Se utiliza la transformada de Laplace para convertir la ecuación diferencial lineal en una ecuación algebraica.

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial de órden n , considerando condiciones iniciales nulas es:

)2(

......

)()()(

11

1

11

10

nnnn

nnnn

p asasasbsbsbsb

sGSUSY

A esta ecuación algebraica se le denomina función de transferenciade la planta.

Plantau(t) y(t) PlantaU(s)

Y(s)

Figura 1.9: Diagramas de bloques de sistemas (a) en el tiempo;(b) en el plano S

(a) (b)

if = cte.

Ra = resistencia de armadura ea = tensión aplicada a la armadura La = inductancia de armadura eb = fuerza contra-electromotrizia = corriente de armadura T = torque del motor if = corriente de campo J = momento de inercia equivalenteb = coeficiente de fricción = desplazamiento angular del eje del viscosa motor

Ejemplo 1.1: Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura.

Ra La

)(tea

+-

ai )(teb

+

-T

)(tJ

bSalidaEntrada

Dado el circuito:

con:

Figura 1.10: Diagrama de un motor DC controlado por armadura

• Ecuaciones

• Circuito eléctrico: Aplicando la ley de kirchoff se obtiene:

)3()()(

)()( tedt

tdiLtiRte b

aaaaa

La transformada de Laplace de la ecuación (3) es:

)4()()()()( sEssILsIRsE baaaaa

Factorizando Ia(s) en la ecuación (4) y despejando dicha variable se obtiene:

)5())()()(1

()( sEsERsL

sI baa

a

De la ecuación (5) se obtiene la siguiente representación:

Ea(s)aa RsL

1+

-

)(sEb

Ia(s)

El torque T desarrollado por el motor es proporcional al producto de ia y el flujo

en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente de campo.

aff

ff

iKiKtT

iK

1)(

:, 1KK fson constantes

1KiKK ff

donde:

entonces:

)7()()(

:),6()()(

sKIsT

luegotKItT

a

a

• Conversión de energía eléctrica en mecánica:

Figura 1.11: Representación en bloques dela ecuación (5).

• Circuito mecánico: Aplicando la ley de newton se obtiene:

Entonces, la ecuación (7) tiene la siguiente representación:

KIa(s) T(s)

)8(2

2

dtd

bdtd

JT

Entonces la transformada de laplace correspondiente es:

)9()()()( 2 sbssJssT

Factorizando de la ecuación (9) y despejando dicha variable se obtiene:

)10()()(

1)( sT

bJsss

Figura 1.12: Representación en bloques de la ecuación (7)

• Tensión contra-electromotriz: Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:

La ecuación (10) tiene la siguiente representación:

)(1

bJss T(s) )(s

)11(dtd

Ke bb

: fuerza contra-electromotriz, y : constante de f.c.e.m.

bebK

Ahora, uniendo los bloques se obtiene:

Ea(s)K

aa RsL 1

)(1

bJss

sKb

)(s

)(sEb

-+

Ia(s) T(s)

Figura 1.13: representación en bloques de la ecuación (10).

Figura 1.14: Diagrama de bloques completo.

Aplicando la siguiente fórmula:

GHG

sEs

a

1)()(G

H

)(s)(sEa

Se obtiene el siguiente diagrama:

sKKbRsJRbLsJLK

baaaa )()( 23 )(sEa )(s

+-

Figura 1.15: diagrama de bloques típico de un sistema realimentado

Figura 1.16: Diagrama de bloques simplificado.

Por consiguiente, la función de transferencia viene dada por la siguiente ecuación:

)12()()()(

)(23 sKKbRsJRbLsJL

KsEs

baaaaa

1.5.2 Método de variables de estado

Sea el siguiente sistema de orden n :

)13()()()(

...)()(

11

1

1 tutyadt

tdya

dttyd

adt

tydnnn

n

n

n

Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primerorden, para ello se tiene que elegir n variables, con la siguiente asignación:

Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos

1

1

3

2

1

)()(

)()(

)()(

)()(

n

n

n dttyd

tx

tytx

tytx

tytx

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n ecuaciones dif. de 1er. orden)

)()()()()()(

)(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

1211

433

322

211

tutxatxatxatxdt

tydtx

txtxtytx

txtxtytx

txtxtytx

nnnnn

n

n

El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:

u

x

x

x

aaaax

x

x

nnnnn

1

0

0

0100

0010

2

1

121

2

1

y su forma normalizada es la siguiente:

)14(BuAxx Escalar de entrada

Vector de estado

Vector de estado derivado

) 16 ( Du Cx y

La salida se pueden escribir de la siguiente manera:

)15(001 2

1

nx

x

x

y

o

donde :

001

1000

C

BT

0

1000

0100

0010

121

D

aaaa

A

nnn

El diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida es la siguiente:

nx 2x yx 1

1a 2a 1na na

+-

++

++

++

1nxu

Figura 1.17: Diagrama de bloques completo del sistema de orden n.

Sea el siguiente sistema de orden n :

)17()()(...)()()()(...)()( 1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

tubtubtubtubtyatyatyaty nn

nn

nn

nn

Segundo caso: La función excitadora incluye términos derivativos

El problema principal al definir las variables de estado para este caso, consiste en los términos derivativos del miembro derecho de la ecuación (17). Las variables de estado deben ser tales que eliminen las derivadas de u en la ecuación de estado.

Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables como un conjunto de n variables de estado:

donde la salida y = x1

)18(1112

)2(

1

)1(

0

)1(

222103

11102

01

uxuuuuyx

uxuuuyx

uxuuyx

uyx

nnnn

nnn

n

donde vienen a ser: n ,,,, 210

)19(01111

03122133

021122

0111

00

nnnnn aaab

aaab

aab

ab

b

Con esta elección de variables de estado (nótese que no es la única selección posible de las variables de estado), se obtiene:

)20(1211

11

232

121

uxaxaxax

uxx

uxx

uxx

nnnnn

nnn

La ecuación (20) y la ecuación de salida pueden reescribirse así:

u

x

x

x

aaaax

x

x

nnnnnn

2

1

2

1

121

2

1

0100

0010

nx

x

x

y

2

1

001

La matriz A es exactamente la misma que la del primer caso. Las derivadas delmiembro derecho de la ecuación (17) afectan únicamente a los elementos de la

matriz B.

y su forma normalizada es como sigue:

)22(

)21(

DuCxy

BuAxx

Para sistemas de una sola entrada, u es un escalar; en cambio, parasistemas de varias entradas, u es un vector.

Nota.-

Ejemplo 1.2: Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura usando el método del espacio

de estado.

Considerando el circuito de la figura 1.10 y reescribiendo las ecuaciones (3), (6), (8) y (11) así:

)23()()(

)()( tedt

tdiLtiRte b

aaaaa

)24()()( tKItT a

)25()( 2

2

dtd

bdtd

JtT

)26(dtd

Ke bb

se debe escoger convenientemente las variables de estado, veamos:

Ecuación (23): Ec. Diferencial de 1er. orden ya es una ecuación de estado, donde Ecuación (24): T(t) depende linealmente de no se necesita definir variables de estado.

Ecuación (25): Ec. Dif. Lineal de 2do. orden necesitamos definir 2 varia- bles de estado:

)27()()(1 titx a

)29()()(

)28()()(

3

2

ttx

ttx

Ecuación (26): su variable de estado ya fue definida en la ecuación anterior.

Ahora debemos obtener las ecuaciones de estado:reemplazando las variables de estado dadas por las ecuaciones (27), (28)y (29) en las ecuaciones (23) y (26) se obtiene:

)(tia

)30(1

:

311

1311

aaa

b

a

a

baaa

eL

xL

Kx

L

Rx

obtienesexdespejandoxKxLxRe

De la definición de las variables x2 y x3:

)31(322 xxx

y reemplazando las variables de estado en las ecuaciones (24) y (25):

)32(

:

313

3133

xJb

xJK

x

obtienesexdespejandoKxbxxJ

Las ecuaciones (30), (31) y (32) se pueden representar matricialmente así:

)33(

0

0

1

0

100

0

a

aa

b

a

a

e

L

x

Jb

JK

L

K

L

R

x

A B

o su forma normalizada:

)34(BuAxx

con:

aeu

)35(00010

:sen2

aex

esvectorialtaciónrepresux

Las ecuaciones (30), (31) y (32) son las ecuaciones de estado del sistema y la ecuación (33) es la representación matricial de las ecuaciones de estado.

Determinemos enseguida la ecuación de salida del sistema.Considerando como salida la posición:

1.6 Respuesta transitoria y error en estado estacionario

Con el objeto de mejorar el funcionamiento de los sistemas de control se utilizala realimentación, que comprende una secuencia de operaciones de circuitocerrado. Con el objeto de analizar y diseñar sistemas de control se debe definiry medir el funcionamiento del sistema. Como los sistemas son inherentementedinámicos por lo general se especifica el funcionamiento en términos de la res-puesta en el tiempo para una señal específica de entrada. En esta respuesta se distingue la parte transitoria y el estado estacionario. Dichos comportamientos pueden ser obtenidos gráficamente por computador usando software de simula-ción, como por ejemplo MATLAB.

Las razones fundamentales para usar la realimentación, a pesar de su costo y complejidad adicional son las siguientes:

* La disminución de la sensibilidad del sistema frente a variaciones en los pará- metros del proceso o planta.* La facilidad del control y ajuste de la respuesta transitoria del sistema.* El mejoramiento en el rechazo de las señales perturbadoras y de ruido dentro del sistema.

* El mejoramiento en la reducción del error en estado estacionario del sistema.

1.6.1 Respuesta transitoria

Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones defuncionamiento de los sistemas están definidas para este tipo de sistema. Para sis-temas de orden mayor, utilizando el concepto de polos dominantes se aproxima el sistema a uno de segundo orden. Su función de transferencia es:

)36(2

)( 22

2

nn

n

sssG

Donde: : relación de amortiguamiento

: frecuencia natural

n

Sus polos o raíces características son:

)37(1 22,1 nns

Los polos pueden ser reales ( > 1, sobreamortiguado), reales e idénticos ( =1,críticamente amortiguado) ó conjugados complejos ( 0 < < 1, subamortiguado).Para el caso subamortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilacionesamortiguadas, donde se definen algunas especificaciones de funcionamiento queson utilizadas como criterios de diseño:* Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)* Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)* Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)* Tiempo de pico máximo (peak time)* Tiempo de retardo (delay time)

El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden se muestra en la figura1.18.

ss n

n

22

2

R(s) E(s) C(s)

Figura 1.18: Sistema de segundo orden.

1

0.5

0

C(t) Tolerancia admisible

0.05 o bien

0.02

PM

dt

rt

ptst

Figura 1.19: Curva de respuesta al escalón unitario.

t

%5%2,4

100

121/

2

ót

ePO

t

ns

n

p

1.6.2 Respuesta estacionaria

En la mayoría de sistemas de control, interesa que el valor final de la variable con-trolada (valor en estado estacionario) sea igual al valor deseado. En caso de no ser así, existe un error en estado estacionario ó error permanente.En un sistema realimentado:

G(s)

H(s)

+

-

R(S) C(s)E(s)

Figura 1.20: Sistema de control.

La función de transferencia de lazo cerrado es:

)38()()(1

)()()(

sHsGsG

sRsC

Aplicando la transformada de Laplace y el teorema del valor final obtenemos:

)39()()(1

)(lím)(lím

0 sHsGsR

steest

ss

Se aprecia que el error estacionario depende de la estructura de G(s) en relaciónal número de polos en el orígen (integradores) que tiene. Se define que un siste-ma es de tipo n si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene n polos en el orígen. También veremos que el error estacionariodependerá del tipode entrada r(t).

1.6.2 Estabilidad

Se dice que un sistema es estable si estando sujeto a una entrada o perturbaciónlimitada, su respuesta es de magnitud limitada.

La ubicación de los polos de un sistema en el plano S indica la estabili-dad de un sistema. Los polos en la parte izquierda del plano S dan como resulta-do una respuesta decreciente. Los polos en el eje jw dan como resultado una res-puesta oscilatoria. Los polos en el lado derecho dan respuestas crecientes. Por lotanto, para que un sistema realimentado sea estable, todos los polos de la funciónde transferencia de lazo cerrado (raíces características) deben tener partes realesnegativas.

Existen varios métodos para averiguar la estabilidad de un sistema :* Test de Routh-Hurwitz* lugar geométrico de las raíces (LGR)* respuesta en frecuencia (margen de fase (MF) y margen de ganancia(MG)).

Nota:

Caso del modelo de entrada/salida: 1+G(s)H(s) = 0Caso del modelo en variables de estado: det (sI-A) = 0

Tabla 1.3 Error en estado estacionario

Ver transparencia

1.7 Simulaciones

Circuito serie RLC

Considere el circuito serie RLC mostrado en la figura 1.21, donde:

).(

),(

),(

),(

),(

),(

ampscorrientei

voltscapacitorelenvoltajev

FiacapacitancC

aresistenciR

HainductanciL

voltsentradadevoltajev

c

in

Usando la ley de Kirchoff para voltaje, se obtiene:

)40(,inc vvRidtdi

L

+

-inv

+

cv

L R

i C

Figura 1.21: circuito simple RLC.

donde:

)41(1 idt

Cvc

Definimos las variables de estado como:

ix

vx c

2

1

Entonces tomando la derivada respecto del tiempo de x1 y usando la ecuación(41) obtenemos:

)42(1

21 xC

x

Ahora, tomando la derivada de x2 y usando la ecuación (40) obtenemos:

)43(11

122 invL

xL

xLR

x

Podemos escribir las ecuaciones (42) y (43) en forma matricial como:

BuAxx donde:

,,2

1in

c vui

v

x

xx

y

L

B

LR

L

cA 1

0,

1

10

Con R = 10 ohmios, L = 0.2 H y C = 0.0015 F, tenemos:

uxx

5

0

505

6.6660

Si podemos medir entonces tenemos :cv

,DuCxy donde:

0,01 DyCPodemos calcular la función de transferencia como:

DBAsICsvsv

sGin

c 1)()()(

)(

Para este caso (donde podemos medir ), obtenemos:cv

,DuCxy donde:

LCs

LR

sLCsG

111

)(2

De otra forma, si medimos i en vez de , obtenemos:

0,10 DyCEn este caso la función de transferencia es:

LCs

LR

sLsG

111

)(2

cv

Un programa sencillo en MATLAB usado para simular la respuesta del circuito RLC se lista a continuación:

% Parámetros del modeloR=10; % ohmiosL=0.2; % HC=0.0015; % F% Modelo en el Esapcio de EstadoA=[0 1/C; -1/L -R/L];B=[0 1/L]’;C=[1 0];D=[0];% Simular la respuesta al escalón unitariostep (A,B,C,D)grid

La simulación en MATLAB para obtener la respuesta del circuito RLCse muestra en la figura 1.22.

Figura 1.22: Respuesta al escalón unitario del circuito RLC.

2. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON METODOS CONVENCIONALES

2.1 Introducción

La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema realimentadoestá directamente relacionado con la ubicación en el plano s de las raíces de laecuación característica ó polos de lazo cerrado. Si los parámetros del sistema varían, entonces las raíces de la ecuación característica también sufrirán variaciónen su ubicación en el plano s, luego es importante determinar cómo se desplazan en el plano s las raíces características a medida que varían los parámetros del sis-tema.

El método del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), que fue desarro-llado por W.R. Evans (1948) es un método gráfico para dibujar el lugar geométri-co de las raíces en el plano s a medida que varía un parámetro. En diseño de siste-mas de control permite ajustar uno o mas parámetros para obtener la ubicación adecuada de las raíces.

El método de la respuesta en frecuencia es la respuesta en estado esta-cionario de un sistema ante una entrada sinusoidal de amplitud fija, pero con una frecuencia variable en un cierto rango. En un sistema lineal la señal de salida re-sultante al aplicar una sinusoide como entrada, es también una sinusoide en el estado estacionario, que difiere de la señal de entrada solamente en amplitud y ángulo de fase.

2.1.1 Breve introducción al método del LGR

Dada la ecuación característica de un sistema de control:q(s) = 1 + F(s) = 0F(s) = -1

Como F(s) es una magnitud compleja, se puede dividir la ecuación en otras dosecuaciones:

,2,1,0,360180)(

:

1)(

:

KconksF

ángulodeCondición

sF

amplituddeCondición

O

Luego los valores de s que cumplen las condiciones de ángulo y amplitud, sonlas raíces de la ecuación característica ó polos de lazo cerrado del sistema.

Para un sistema con realimentación negativa , con el parámetro K varia-ble dentro del rango 0 < K < se puede usar el siguiente procedimiento:

1) Escribir la ecuación característica 1 + F(s) = 0 y reordenarla en caso necesario, para que aparezca el parámetro de interés K, como factor en la forma: 1 + KP (s) = 0 siendo: F(s) = KG(s)H(s) P(s) = G(s)H(s)

2) Localizar los polos y ceros de P(s) en el plano s, con marcas apropiadas. Polo : X

Cero : O

3) Aplicar las reglas que permiten obtener un bosquejo rápido del LGR.

Tabla 2.1 Diagramas simples del lugar de las raíces

Ver transparencia

2.1.2 Breve introducción a la Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia se puede realizar en forma experimental con genera-dores sinusoidales y equipos de medición. También se puede obtener la caracte-rística de respuesta en frecuencia de un sistema de un modo analítico, directa-mente de la función de transferencia en la cual la variable s se reemplaza porjw, siendo w la frecuencia.

Dado un sistema lineal invariante en el tiempo:

G(s)R(s) C(s)

Si r(t) = R sen wtentonces la respuesta en régimen permanente será (si el sistema es estable):

)(sen)()( wtjwGRtC

Figura 2.1: Representación en blo- ques de un sistema lineal

Una de las representaciones gráficas de la respuesta en frecuencia son los deno-minados diagramas de Bode. Estos diagramas sirven para graficar la respuestaen frecuencia en forma logarítmica. Se trata de dos gráficas, una corresponde a la ganancia en db contra w y la otra corresponde a la fase (w) contra w.

donde G(jw) es una cantidad compleja:

ángulojwG

amplitudómódulojwG

ejwGjwG j

:)(

:)(

)()(

La magnitud y el ángulo de fase de G(jw) se representan fácilmente por gráficasque proporcionarán conocimiento para el análisis y diseño de sistemas de control.La desventaja de este método es que la correlación entre frecuencia y respuestatransitoria es indirecta, excepto en el caso de sistemas de segundo orden.

Diagramas de Bode

)(

)(log20log

jwGMFAngulo

jwGMGarítmicaGanancia db

La escala de frecuencia es logarítmica. Por lo que estas gráficas se realizan enpapel semilogarítmico con una coordenada rectangular lineal para los db y una coordenada logarítmica para w.

Una relación igual a diez entre dos frecuencias se le denomina década.El intervalo de frecuencias w2 = 2w1, se denomina octava.

La ventaja principal de la gráfica logarítmica es la conversión de facto-res multiplicativos en una función de transferencia en factores aditivos por la de-finición de ganancia logarítmica.

Tabla 2.2 Diagramas de Bode de funciones de transferencia típica

Ver transparencias

Estabilidad en el dominio de la frecuencia

El criterio de estabilidad en el dominio de la frecuencia fue desarrollado por H. Nyquist en 1932. Este criterio se basa en el Teorema de Cauchy. Además de dar a conocer la estabilidad absoluta, indica el grado de estabilidad y cómo se puede mejorar la estabilidad, si es necesario. Puede ser utilizado para estudiar laestabilidad de sistemas con retardo de tiempo.

• Teorema de Cauchy

Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo ni cero de F(s) cuando el recorrido es en dirección delmovimiento de las agujas del reloj a lo largo del contorno, el contorno corres-pondiente en el plano F(s) rodea al orígen de dicho plano, N = (Z-P) vecesen la misma dirección.

s

F

Ejemplo:

jwjv

u

s

N = 3-1 = 2

• Criterio de Nyquist

Si F(s) es la ecuación característica de un sistema, se puede aplicar el Teorema deCauchy de la siguiente manera:

F

Figura 2.2: Diagrama polar de la estabilidad.

Como la ecuación característica de un sistema es F(s) = 1+P(s), los polos de F(s)son iguales a los polos de P(s). Del contorno correspondiente en el plano F, se obtiene el número N de veces que se rodea al orígen. El contorno de F(s) es igual al contorno de P(s) desplazado de 1. En consecuencia el número de veces que el contorno rodea al orígen del plano F es igual al número de veces que el contorno encierra al punto -1. De esta manera es mas simple hallar N, ya que P(s)se obtiene generalmente en forma factorizada.Finalmente se puede hallar Z = N + P, donde Z es el número de ceros de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s, o sea el nú-mero de raíces de la ecuación característica que produce la inestabilidad.

Por tanto, puede establecerse el criteriode estabilidad de Nyquist como sigue:“ Un sistema de control realimentado es estable, si y solamente si: Z = N + P = 0 ”

jw

R

s

En el plano s se considera como contorno todo el lado derecho del plano s. De este plano se obtiene el número P de polos de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho.

s

FP

F

Figura 2.3: Diagrama polar.

donde:N: número de rodeos o vueltas al punto -1 en el plano P.P: número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s.Z: número de raíces de la ecuación caracterítica en la parte derecha del plano s.

Estabilidad relativa

Consideremos un sistema donde P = 0, de acuerdo al criterio de Nyquist para quesea estable N debe ser cero, es decir no debe existir rodeos al punto -1 del planoP(s). La proximidad del contorno al punto -1 es entonces una medida de la estabilidad relativa del sistema.Veamos la gráfica polar de P( j w ) de un cierto sistema para varios valores de ganancia K.

P

3K

2K

1K-1

jv

u

123 KKK

Figura 2.4: Diagrama polar de P ( j w ).

P(jw)

Evidentemente el sistema con ganancia K3 será inestable.De los sistemas con ganancia K2 y K1, el más estable será el de ganancia K1.Este grado de estabilidad se mide usando el Margen de Ganancia (MG) y elMargen de fase (MF).

Margen de Ganancia

Es el recíproco de la ganancia P(jw) para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza -180º.

jv

ud1

*w

1

11)(

1

:

180)(

:

180)(

:

*

*

*

MGestableessistemaelSi

dGHjwPMG

definese

jwPcualla

enfrecuenciawwdGH

jwPGH

wEn

www

o

o

Figura 2.5: Diagrama polar para el MG

dd

MGdb log201

log20

Margen de Fase

Es el ángulo de fase a través del cual debe girar el contorno P(jw) para que el punto de magnitud unitaria P(jw ) = 1 pase a través del punto -1 en el plano P(jw).

**w

jv

u1

1/4 de circun-ferencia.

MF

jwPGH

wEn

1)(

:**

Figura 2.6: Diagrama polar para el MF.

El margen de ganancia y el margen de fase se calculan fácilmente por medio de los Diagramas de Bode. Veamos el caso de un sistema estable.

MG

MF

w

w*

cw

w **

w

w

0

-180º

db

jwP )(log20

) (w

Figura 2.7: Diagramas de Bode

Tabla 2.3 Diagramas de Nyquist

Ver transparencias

2.2 Redes de Compensación

2.2.1 Introducción

Compensación es la modificación de la dinámica del sistema para satisfacer lasespecificaciones requeridas. Los procedimientos para el diseño y compensaciónque se describen en este capítulo, son el método del lugar geométrico de las raíces y los métodos de respuesta en frecuencia.

Las especificaciones de comportamiento toman la forma de especifica-ciones de funcionamiento. En general están relacionados con la exactitud , esta-bilidad relativa y velocidad de respuesta.

En términos generales , las especificaciones de funcionamiento no deben ser más restrictivas de lo necesario para cumplir determinada tarea. Si endeterminado sistema de control fuera de gran importancia la exactitud en esta-do estacionario, no se deberían exigir especificaciones muy rígidas de funciona-miento en respuesta transitoria, pues tales especificaciones requerirían compo-nentes muy costosos.

2.2.2 Compensación del sistema

Ajustar la ganancia es el primer paso para que el sistema logre un funcionamientosatisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos , no basta ajustar la ganan-cia del sistema para cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar el valor de la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero re-dunda en una estabilidad pobre, o hasta en inestabilidad. En tal caso es necesario rediseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando elementos o com-ponentes adicionales) para alterar el funcionamiento global, de manera que el sis-tema se comporte en la forma deseada.. Tal rediseño se denomina compensación.El dispositivo que se inserta en el sistema a fin de satisfacer las especificacionesse denomina compensador, el cual compensa precisamente las deficiencias defuncionamiento del sistema original.

2.2.3 Compensación en serie y compensación en la realimentación (o paralelos)

En las figuras 2.8(a) y (b) se muestran esquemas de compensación utilizados comunmente en sistemas de control realimentado

Gc(s) G(s)

H(s)

+

-

(a)

G1(s) G2(s)

Gc(s)

H(s)

+ +

--

(b)

Figura 2.8: (a) Compensación en serie; (b) compensación en paralelo

2.2.4 Compensación en adelanto y en atraso

• Compensadores en adelanto

A continuación se muestran una red eléctrica y otra mecánica , así como sus respectivas funciones de transferencia.

22

1

11 1

RZ

CsRR

Z

eoei

c

R1

R2

Z1

Z2

La función de transferencia entre la salida Eo(s) y la entrada Ei(s) es:

Figura 2.9: circuito eléctrico de adelanto.

1

1)()(

21

21

1

21

2

21

2

Cs

RRRR

CsRRR

RzZ

ZsEsE

i

o

Se define

1,21

21

RRR

TCR

Entonces la función de transferencia se hace

Ts

Ts

TsTs

E

E

i

o

1

1

11

Si este circuito RC se utiliza como compensador en adelanto, se requiere agregarun amplificador con una ganancia Kc ajustable, de modo que la función de trans-ferencia del compensador sea:

Ts

Ts

KTs

TsKsG ccc

1

1

11

)(

k

b1

b2 xi

xo

y

.

:,1,

:

1

1

1

1)(

21

21

oramplificaddel

ajustablegananciaKbb

bT

k

b

con

Ts

Ts

KTs

TsKsG

c

ccc

Figura 2.10: Red mecánica de adelanto

En la práctica se utilizan comunmentecompensadores con amplificadoresoperacionales.

• Compensadores en atraso

El siguiente es un circuito eléctrico en atraso.

Z1

R2

C

R1

ei eo

Z2

Para que este circuito sea usado como compensador en atraso, se debe usar un amplificador con ganancia ajustable Kcß de modo que la función de transferencia del compensador sea:

Figura 2.11: Circuito eléctrico de atraso

Ts

Ts

KTs

TsKsG ccc

1

1

11

)(

1,2

212

RRR

TCR

A continuación se presenta una red mecánica de atraso.

k

b1

b2

xi

xo

Como en el caso eléctrico, si esta red deseausarse como compensador en atraso, es necesario agregar una ganancia ajustableKcß de modo que la función de transferen-cia del compensador sea:

1,2

212 b

bbT

kb

Ts

Ts

KTs

TsKsG ccc

1

1

11

)(

Con: Figura 2.12: Red mecánica de atraso

Tabla 2.4 Redes de circuitos compensadores

Ver transparencias

2.3 Diseño y compensación mediante el LGR

2.3.1 Compensación en adelanto

Este método para diseñar controladores es muy poderoso cuando las especifica-ciones se dan en términos de magnitudes en el dominio del tiempo, como larelación de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada de los polosdominantes de lazo cerrado , sobreimpulso máximo, tiempo de crecimiento y tiempo de establecimiento.

Dado el diagrama de bloques del sistema de control de la figura 2.13,los procedimientos para diseñar dicho compensador en adelanto, se pueden indicar como sigue:

Gc(s) G(s)+

-

R(s) C(s)E(s) U(s)

Figura 2.13: Sistema de control.

1. De las especificaciones del sistema encontrar la ubicación deseada de las raíces dominantes.2. Trazar el LGR sin considerar todavía el compensador. Sólo ajustar la ganancia.3. En caso de ser necesario el compensador, colocar el cero de éste bajo la ubi-cación deseada de las raíces.4. Determinar la ubicación del polo del compensador aplicando la condición delángulo del LGR.5. Calcular la ganancia del compensador mediante la condición de magnitud.6. Si existe un requerimiento de error estacionario, comprobar si se cumple con el valor de K encontrado. En caso de no cumplir, repetir el proceso, cambiando la ubicación del cero.

Ejemplo 2.1

Considerando la figura 2.13, con la función de transferencia de la planta G(s) ylas especificaciones siguientes :

Procedimiento de diseño.

%30

%)5(3:.

1)(:.. 2

PO

segtentofuncionamideEspecifs

sGplantaladetransfdeFunc

s

p

Diseñar el compensador en adelanto.

Pasos:1. De las especificaciones del ejemplo:

segrad

obtieneseendoreemplazan

ePO

segt

n

nn

s

/803.2

:)1.2()2.2(

)2.2(3568.010030

)1.2(13

3

)1

(2

Ubicación de las raíces dominantes:

)3.2(211 22,1 jjs nn

2. Sistema sin compensar:

2)()(sK

sPsGH

Figura 2.14: Circuito realimentado sin compensar

Donde:

K+

-

R(s) C(s)E(s)

2

1s

LGRjw

-1

j2

-j2

• El sistema sin compensar es oscilatorio

0 K

• Se observa que una red en adelanto puede satisfacer los requerimientos.

3. Colocar el cero del compensador en linea con las raíces deseadas: Z=1

jw

-1

j2

-j2

-p

Figura 2.15: LGR sin compensar

Figura 2.16: Localización del cero del compensador.

4. Cálculo del polo Aplicando condición de ángulo:

º38º180)º116º116(º90

º180

pp

polosceros

LGR del sistema compensado.

Se determina que :p = 3.6

Figura 2.17: LGR del sistema compensado

-1

j2

-j2

-p

116ºp

jw

5. Cálculo de K para que las raíces se ubiquen en : -1 ± j2

jw

-1

j2

-j2

-p

p 23.25

-3.6

2.231s

Aplicando condición de magnitud en s1:

6.3)1(8

)(

8

223.223.225.3221

1

1

ss

sG

K

dddd

K

zs

psK

c

z

j

i

Figura 2.18: LGR del sistema compensado final.

Entonces el sistema compensado final se representa con el siguiente diagramade bloques:

+

-

R(s) C(s)E(s) U(s)

Gc(s)

2

1s

G(s)

6.3)1(8

ss

Figura 2.19: Sistema de control diseñado.

Nota:

• Puede usarse indistintamente G(s) ó Gp(s)• El controlador proporcional derivativo (PD) es una versión simplificada del compensador en adelanto.

2.3.2 Compensación en atraso

Consideremos el problema de hallar una red de compensación adecuada para un sistema que presenta características satisfactorias de respuesta transitoria, pero nosatisfactorias en estado estacionario. En este caso la compensación consiste esen-cialmente en incrementar la ganancia de lazo abierto sin modificar apreciable- mente las características de respuesta transitoria.

Procedimiento de diseño.

Considerando el diagrama de la figura 2.20 y suponiendo que el sistema no com-pensado cumple las condiciones de respuesta transitoria por simple ajuste de laganancia, se sigue el siguiente procedimiento:

Gc(s) G(s)+

-

R(s) C(s)E(s) U(s)

Figura 2.20: Sistema de control.

Ts

Ts

KTs

TsKsG ccc

1

1

11

)(

1. Trace el diagrama del LGR para el sistema no compensado cuya función detransferencia de lazo abierto es G(s). Basado en las especificaciones de respuestatransitoria, ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las raíces.2. Suponga que la función de transferencia del compensador en atraso es

Entonces la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado esGc(s)G(s).3. Evalúe el coeficiente de error estático particular especificado en el problema.4. Determine la magnitud del aumento en el coeficiente de error estático para satisfacer las especificaciones.5. Determine el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente de error estático particular sin alterar, en forma no-toria, el lugar de las raíces original.

6. Trace un nuevo lugar de las raíces para el sistema compensado. Ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el LGR.7. Sjuste la ganancia Kc del compensador partiendo de la condición de magni-tud de que los polos dominantes de lazo cerrado queden en las ubicacionesdeseadas.

Nota:

El controlador proporcional e integral es un ejemplo típico de compensador enatraso.

2.3.3 Compensación en atraso-adelantoLa compensación de adelanto básicamente aumenta el ancho de banda, acelerala respuesta y disminuye el sobreimpulso máximo en la respuesta escalón. La compensación en atraso aumenta la ganancia en baja frecuencia, y así mejorala exactitud en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de res-puesta debido al reducido ancho de banda.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario, se deben utilizar simultáneamente un compensador en

adelanto y uno en atraso. Sin embargo, en lugar de usar compensadores separa-dos, es más económico utilizar un único compensador en atraso-adelanto. Un ejemplo típico de compensador en atraso-adelanto es el controlador proporcional,integral y derivatio (PID).

2.4 Diseño y compensación mediante la respuesta en frecuencia.

2.4.1 Compensación en adelanto

La función principal del compensador en adelanto es modificar la forma de la curva de respuesta en frecuencia, dando suficiente adelanto de ángulo de fasecomo para contrarrestar el atraso de fase excesivo asociado con los componentesdel sistema fijo. Considerando nuevamente el sistema que se muestra en la figura 2.20, el procedi-miento para diseñar un compensador en adelanto por el método de respuesta en frecuencia es el siguiente:

Suponga el siguiente compensador en adelanto:

)10(1

1

11

)(

Ts

Ts

KTs

TsKsG ccc

Se define

KKc

Entonces

11

)(

TsTs

KsGc

La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es:

1. Utilizando K, trace el diagrama de Bode de G1(jw), del sistema sin compensar. Evalúe el MF.2. Determine el ángulo de fase en adelanto necesario para agregarlo al sistema.3. Determine el factor de atenuación utilizando la ecuación siguiente:

)()(

:

)(1

1)(

11

)(1

1)()(

1

1

sKGsG

donde

sGTs

TssKG

TsTs

sGTs

TsKsGsGc

Determine la ganancia K que satisface el requisito de coeficiente de error estático.

11

21

21

sen m

Determine la frecuencia en que la magnitud del sistema no compensadoG1(jw) es igual a . Elija esta frecuencia como nueva fre-cuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a y el máximo desplazamiento de fase se produce a esta

frecuencia .

4. Determine las frecuencias de cruce del compensador en adelanto como sigue:

)/1(log20

)/(1 Tm

m

TadelantoenrcompensadodelPolo

TadelantoenrcompensadodelCero

1:

1:

5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el hallado en el paso 4, calcule la constante Kc de

K

Kc

6. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio. Si no lo fuera, repetir el proceso de diseño modificando la ubicación del polo y cero del compensador hasta que se logre un resultado satisfactorio.

Ejemplo 2.2

Calcular un compensador en adelanto para que el siguiente sistema cumpla contener un margen de fase de por lo menos 45º.

Gc(s)+

-

R(s) C(s)E(s) U(s)

º45MF

Figura 2.21: Sistema de control.

2

10s

Pasos:

1. Sistema sin compensar: 2

10s

Gp

60

-7.8 db

0.1 1 10 100

-40

0

2 5 12

90

-180

-90

0

-270

2040

45º

3 db

pGlog20

pG

Sistema compensadoSistema sin compensar

compensador

Sist. sin compensarcompensador

De este gráfico se lee:MFsc = 0º, o sea al sistema no le falta nada para llegar a -180º, ya que se encuentra en -180º.

2. Se desea un MF de 45º. Se tiene sin compensar 0º, entonces = 45º

3. De

m

8.511

º45sen11

sen

m

Dando un márgen de seguridad, escogemos : 6

4. Calculamos : db8.76log10log10

En la gráfica del sistema sin compensar se ubica la frecuencia donde la ganan-cia es -7.8 db. Esto ocurre en

segradm /5

s

ssG

TsTs

sG

TT

cc

m

65

11

65

61

)(1

1)(

65

11

Como:

Dibujar la respuesta del sistema compensado.Trazamos la gráfica de Bode del compensador y lo sumamos al gráfico del sis-tema sin compensar, obteniendo los ceros del sistema compensado, y se mideel MF para comprobar el diseño.

2.4.2 Compensación en atraso

La función primaria de un compensador en atraso es atenuar en el rango dealta frecuencia para dar a un sistema suficiente márgen de fase y por lotanto bajar la frecuencia de cruce del sistema.

Procedimiento:1. Determine el MF del sistema sin compensar; para ello trace el diagrama de Bode del sistema con la ganancia ajustada para satisfacer la constante de error deseada.2. Determine la frecuencia donde se cumplirá el MF deseado. Si es que la curva de magnitud cruza la línea de cero db a esta frecuencia w (permi- tiendo un atraso de fase de 5º).3. Coloque el cero del compensador una década por debajo del valor w, ase- gurando así un atraso de solamente 5º en w.4. Mida la necesaria atenuación a w para que la curva de magnitud cruce por cero db a esta frecuencia. Calcule notando que la atenuación es

log20

5. Calcule el polo del compensador

Tp

1

2.4.3 Tipos de compensadores o controladores industrialesUn controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (valor deseado), determina el error, y produce una señal de control que reducirá el error a cero, ó a un valor muy pequeño. La forma como el controlador produce la señal de control, se denomina acción de control.

Las acciones básicas de control son:• Acción de control de dos posiciones (on-off)• Acción de control integral (I)• Acción de control proporcional e integral (PI)• Acción de control proporcional y derivativa (PD)• Acción de control proporcional, integral y derivativa (PID)

• Acción de control de dos posiciones (on/off)

Acción deControl

Actuador Planta

Sensor

+

-

Detector de error

Señal de error

Ent. dereferencia Salida

Controlador automático

Figura 2.22: Diagrama de bloques del sistema de control automático.

La señal de salida del controlador tiene sólo dos valores fijos, llevando al actuadora dos posiciones, que generalmente es conectado o desconectado.

U1 para e(t) > 0 U(t) =

U2 para e(t) < 0

ue

r

En el caso real, hay una brecha diferencial antes que se produzca la conmutación.

Conmutación ideal Conmutación real

U1

U2

+

-

er u U1

U2

+

-

er u

Brecha diferencial

Figura 2.23: representaciones de las conmutaciones ideal y real.

Aplicaciones:- Sistema de nivel de líquido- Sistema de control de temperatura, etc.

• Acción de control proporcional (P)

La salida del controlador es proporcional a la señal de error.

alproporciongananciaKsEsU

sG

teKtu

pc

p

:)()(

)(

)()(

- Es de acción rápida.- No reduce a cero el error estacionario.

• Acción de control integral (I)

El valor de la salida varía en razón proporcional a la integral de la señal de error.

leconstanteKs

K

sEsU

SG

esciatransferendefunciónla

teKdt

tdu

ódtteKtu

ii

c

i

i

graint,)()(

)(

:

)()(

,)()(

- Permite obtener un error estacionario igual a cero, donde el valor de u(t) perma- nece estacionario.- Recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento.

• Acción de control proporcional e integral (PI)

Está definida por la siguiente ecuación:

letiempoTdondesT

KsEsU

sG

seráciatransferendefunciónla

dtteT

KteKtu

ii

pc

t

i

pp

graint,)1

1()()(

)(

:

)()()(0

El recíproco de Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición, la cual es la can-tidad de veces por minuto en que se repite la acción proporcional. La frecuenciade reposición se mide en término de repeticiones por minuto. La acción I elimina el offset de la acción P.

Ti

2Kp

Kp

u(t)

(Sólo proporcional)

Acción de control PI

0 t

Figura 2.24: a) Señal de error; b) acción de control PI

• Acción de control proporcional y derivativo (PD)

Se define por la siguiente condición:

)1()(

)(

:

)()()(

sTKsE

sU

esciatransferendefunciónladt

tdeTKteKtu

dp

dpp

e(t)

1

0(a) (b)

Td es una constante denominada tiempo derivativo. Significa el intervalo de tiempo en el que la acción derivativa se adelanta al efecto de la acción proporcio-al.

Entre las desventajas de la acción derivativa podemos mencionar la amplificación de las señales de ruido y produce efecto de saturación en el actua-dor.

e(t) u(t)

t t

Td

(Sólo proporcional)

Acción de control PD

Rampaunitaria

0 0

Figura 2.25: a) Señal de error; b) acción de control PD

(a) (b)

• Acción de control Proporcional - Integral - Derivativo (PID)

La ecuación de esta acción es:

)1

1()()(

:

)()()()(

0

sTsT

KsEsU

esciatransferendefunciónla

dttde

TKdtteT

KteKtu

di

p

t

dpi

pp

Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de controlindividuales.

PPD

PID

t00

e(t) u(t)Rampaunitaria

t

(a) (b)

Figura 2.26: a) Señal de error; b) acción de control PID

2.5 Introducción a sistemas de control no lineales

Se pueden encontrar muchos tipos diferentes de fenómenos no lineales en los sistemas de control reales, y se les puede dividir en dos clases: inherentes e intencionales.

2.5.1 Fenómenos no lineales inherentes

Son inevitables en los sistemas de control. Entre ellos podemos citar:1. Saturación2. Zona muerta3. Histéresis4. Juego5. Fricción estática, fricción de coulomb, y otras fricciones no lineales6. Elasticidad no lineal7. Compresibilidad de fluidos

2.5.2 Fenómenos no lineales intencionales

Algunos elementos no lineales se introducen intencionalmente en un sistema para mejorar su comportamiento o para simplificar la construcción del sistemade control, resultando superior desde el punto de vista económico, de peso, deespacio y de confiabilidad, a sistemas lineales diseñados para cumplir la misma tarea.

2.5.3 Procedimientos de análisis y diseño de sistemas de control no lineales

Existen muchos métodos de análisis y diseño de sistemas de control no lineales,entre los cuales podemos citar el método del plano de fase, la función descripti-va, Liapunov, linealización por realimentación, control deslizante y control adaptivo.

Con la finalidad de presentar un método de análisis de sistemas de control no lineales, abordaremos brevemente el método de la función descrip-tiva.

2.5.4 Funciones descriptivas

Suponer que hay una entrada senoidal a un elemento no lineal. La salida del ele-mento no lineal generalmente no es senoidal. Suponer también que la salida es periódica , con el mismo periodo que la entrada. (La salida contiene armónicasmás grandes, además de la componente armónica fundamental).

La función descriptiva está definida como una relación compleja entre la componente armónica fundamental de la salida respecto a la entrada. Es decir:

salidalade

lfundamentaarmónicacomponenteladefasedeentodesplazami

salidaladelfundamentaarmónicacomponenteladeamplitudY

entradadeosoideladeamplitudX

adescriptivfunciónN

dondeXY

N

:

:

sen:

:

1

1

11

Para una entrada senoidal x(t) = X sen wt al elemento no lineal, la salida y(t)se puede expresar como una serie de Fourier, como:

10

10

)sen(

)sencos()(

nnn

nnn

nwtYA

nwtBnwtAAty

donde

)(

)(sen)(1

)(cos)(1

1

22

2

0

2

0

n

nn

nnn

n

n

BA

tan

BAY

wtdnwttyB

wtdnwttyA

Si la característica no lineal es antisimétrica, entonces Ao = 0. La componente armónica fundamental de la salida es:

)sen(

sencos)(

11

111

wtY

wtBwtAty

Entonces la función descriptiva está dada por:

)(1

112

12

11

1

BA

tanX

BA

XY

N

N(X,w)

Sist. N.L.

Figura 2.27: Respuesta de un sistema no lineal

1

0 )sencos()(n

nn nwtBnwtAAtywtXtx sen)(

2.5.5 Función descriptiva de la saturación

La relación Entrada-Salida para una saturación no lineal es ploteada en la figura2.28, con S y k denotando el rango y la pendiente de la parte lineal.

k

y

S x

y(t)

wt

wt

x(t)0

0kS

0

saturaciónSalida saturada

XwtXtx sen)(

2/

2/ 2

2

Figura 2.28: Característica de respuesta de la saturación.

S

Determinemos la función descriptiva.Si: X<=S, entoces la entrada remanente en el rango lineal produce una salida: y(t)=kXsen wt. La función descriptiva es una constante k simple.

Si: X > S, las funciones de entrada y salida son ploteadas como se muestra en la figura 2.23.

2/;

0;sen)(

wtkS

wtwtkXty

Donde:

)()()()(sen4

)()sen()(4

:

)(0)(

)(sen

2/

0

2

2/

01

1

1

wtdwtnsekXwtdwtkX

wtdwttyb

queimplicaperiododecuartospara

twdesimetríalayaimparestwXS

2

21

1

2

2

1

1sen2

)(

)(

:

12

XS

XS

XSk

XN

Xb

XN

esadescriptivfunciónla

XS

XSkX

b

2.5.6 Análisis de sistemas no lineales de control mediante la función descriptiva.

Considere el sistema que se muestra en la figura 2.29, donde N indica la funcióndescriptiva del elemento no lineal. Si las armónicas superiores se atenúan sufi-cientemente, se puede tratar la función descriptiva N como una variable de ganancia real o compleja. Entonces la respuesta en frecuencia de lazo cerrado es

Elementono lineal

Elementoslineales

+

-

r e

N G

c

Figura 2.29: Sistema de control no lineal

)(1)(

)()(

jwNGjwNG

jwRjwC

La ecuación característica es:

0)(1 jwNG

o bien

NjwG

1)(

Si la ecuación anterior para G(jw) se satisface, entonces la salida del sistemapresentará un ciclo límite. Esta situación corresponde al caso en que el diagramade G(jw) pasa por el punto crítico ( En el análisis convencional de respuesta enfrecuencia de un sistema de control el punto crítico es -1+j0).

En el análisis de la función descriptiva, el análisis convencional de frecuencia se modifica de modo que que el diagrama de -1/ N sea el lugar de los puntos críticos. Entonces, la posición relativa del diagrama de -1 / N y del diagrama G(jw), proporciona la información sobre la estabilidad.

Existencia de ciclos límites

Si: G(s)H(s)=-1/ N(X,w) tiene solución, entonces existen ciclos límites.

Im

Re

Im Im

Re ReGH(jw)

-1/ N(X,w) -1/ N(X,w) -1/ N(X,w)

GH(jw) GH(jw)

No hay ciclo límite Hay 1 ciclo límite Hay 2 ciclos límites

Figura 2.30: Ciclos límites.

Estabilidad de ciclos límites

Cada punto de intersección de la curva G(jw) y de la curva -1/ N(X) correspondea un ciclo límite. Si puntos cercanos a la intersección y a lo largo de la curva-1/ N(X) (para la parte en que X se está incrementando) no están encerrados porla curva G(jw), entonces el ciclo límite correspondiente es estable. En otro casoel ciclo límite es inestable.

2.6 Simulaciones

Dada la función de transferencia: 22

1)( 2

ss

ssGc

obtener las gráficas de Bode y LGR.

• Gráficas de Bode.

% Análisis de la función de transferencia % Gc(s)=(s+1)/(s^2+2s+2)num=[0 1 1];den=[1 2 2];% Respuesta frecuencialw=1:.1:100;[mag, fase]=bode(num,den,w);subplot(211);

Programa

semilogx(w,20*log(abs(mag)));title('Diagramas de Bode (Magnitud y fase)');ylabel('Magnitud en dB');xlabel('Frecuencia (rad/seg)');grid;subplot(212);semilogx(w,abs(fase));grid;ylabel('Fase en grados');xlabel('Frecuencia (rad/seg)');

• Gráficas de LGR.

% Análisis de la función de transferencia % H(s)=(s+1)/(s^2+2s+2)num=[0 1 1];den=[1 2 2];%Lugar de las raícesk=0:0.1:10;r=rlocus(num,den,k);plot(real(r),imag(r));title('Lugar de las raíces');xlabel('Parte real');ylabel('Parte imaginaria');text(-2.7,0.9,'-1+i');text(-2.7,-0.9,'-1-i');grid;

3. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

3.1 Introducción

Un sistema de control puede tener varias entradas y salidas relacionadas entresí, en una forma muy complicada. El método más adecuado para el análisis deestos sistemas, es el método en el espacio de estado.La teoría de control moder-na se basa en la descripción de las ecuaciones del sistema en términos de necuaciones diferenciales de primer orden, que se pueden combinar en una ecua-ción diferencial matricial, de primer orden.

3.2 Matriz de transferencia

Considere el sistema descrito por:

)2.3(

)1.3(

DuCxy

BuAxx

donde:x = vector de estado (n x 1)u = vector de control (r x 1)y = vector de salida (m x 1)A = matriz de n x nB = matriz de n x rC = matriz de mxnD= matriz de m x r

La matriz G(s) que relaciona la transformada de Laplace de la salida y(t), conla transformada de Laplace de la entrada u(t) , se denomina matriz de transferencia.

)3.3()()()( sUsGsY

Las transformadas de Laplace de la ecuaciones (3.1) y (3.2) es:

)5.3()()()(

)4.3()()()0()(

sDUsCXsY

sBUsAXxssX

Suponiendo condiciones iniciales nulas, es decir x(0) = 0, de la ecuación (3.4)se obtiene:

)6.3()()()( 1 sBUAsIsX

Al reemplazar la ecuación (3.6) en (3.5), se obtiene:

)7.3()()()( 1 sUDBAsICsY

Comparando las ecuaciones (3.3) y (3.7), se encuentra que:

)8.3()()( 1 DBAsICsG

3.3 Controlabilidad

Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si esposible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado, en un periodo finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, median-te alguna señal de control restringida.

El siguiente sistema no es completamente controlable.

uFigura 3.1: Diagrama deflujo de un sistema no con-trolable completamente.

Como u afecta solo a x1, el estado x2 es no controlable.Es imposible llevar x2 desde un estado inicial x2 (to) a un estado deseado x2 (tf) en un intervalo de tiempo finito tf-to mediante el control u.

Si un sistema es totalmente controlable, entonces requiere que el rango de lamatriz

)9.3(1BAABBM n

Sea de rango n.

Ejemplo 3.1

-1-2

1 1

y

1

2x 2x1x 1x

1s 1s

Ejemplo 3.2

Determine si el siguiente sistema es completamente controlable.

ux

x

x

x

1

0

12

11

2

1

2

1

Para nuestro sistema, el rango de la matriz de controlabilidad es:

211

10

RangoABBRangoMRango

igual al orden del sistema. Asimismo se observa que la matriz de controlabilidades no singular. Por lo tanto, el sistema es completamente controlable.

3.4 Observabilidad

Se dice que un sistema es totalmente observable, si cada estado x(to) se puededeterminar a partir de la observación de y(t) en un intervalo de tiempo finitoto <= t <= t1. Por lo tanto, el sistema es completamente observable, si cada tran-sición del estado, afecta eventualmente a cada elemento del vector de salida.

El sistema descrito es totalmente observable si y solo si la matriz de observabilidad

)10.3(

1

nCA

CA

C

sea de rango n.Ejemplo 3.3

El siguiente sistema es no observable.

1 1

-13

-2

u2x 2x

1x1xy

1s 1s

Figura 3.2: El sistema es no observable.

2

1

2

1

2

1

31

20

01

x

xy

x

x

x

x

Para este caso,

261

31

Rango

CA

CRango

igual al orden del sistema. Entonces el sistema es completamente observable.

Ejemplo 3.4

Considere si el siguiente sistema es observable.

3.5 Formas canónicas de las ecuaciones de estado

Entre los métodos para obtener representaciones en el espacio de estado, en formas canónicas, se encuentran:• Método de programación directa, para obtener la forma canónica controlable• Método de programación anidada, para obtener la forma canónica observable• Método de programación de expansión en fracciones parciales, para obtener la forma canónica diagonal o de Jordan.

)11.3(1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

ububububyayayay nn

nn

nn

nn

Considere un sistema definido por:

donde u es la entrada e y es la salida. La función de transferencia está dadapor:

)12.3(......

)()()(

11

1

11

10

nnnn

nnnn

p asasasbsbsbsb

sGSUSY

3.5.1 Método de programación directa

)13.3(

1

0

0

0

1000

0100

0010

1

2

1

121

1

2

1

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

nnnn

n

La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:

)14.3(02

1

0110110 ub

x

x

x

babbabbaby

n

nnnn

3.5.2 Método de programación anidada

)15.3(

100

000

001

000

011

011

0

1

2

1

1

2

1

1

2

1

u

bab

bab

bab

x

x

x

x

a

a

a

a

x

x

x

x

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:

)16.3(1000 02

1

ub

x

x

x

y

n

3.5.3 Método de programación en expansión en fracciones parciales

)17.3(

1

1

1

0

0

1

2

1

2

1

1

2

1

u

x

x

x

x

p

p

p

x

x

x

x

n

n

nn

n

La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:

)18.3(02

1

21 ub

x

x

x

cccy

n

n

donde p1, p2, ... pn son las raíces del sistema.

3.6 Análisis de estabilidad

Dado el sistema lineal invariante en el tiempo definido por :

)19.3(BuAxx

la estabilidad del sistema puede determinarse resolviendo el determinante:

)20.3(0 AsI

La condición necesaria y suficiente para la estabilidad asintótica del origen delsistema, es que todos los valores propios de A tengan partes reales negativas.

3.7 Diseño de sistemas de control por el método de espacio de estado

3.7.1 Introducción

Entre las técnicas de control por medio del espacio de estado podemos citar larealimentación de estado, observadores de estado, control óptimo cuadrático,control adaptivo, etc. De todos ellos, se tratará sobre el control por realimenta-ción de estado.

3.7.2 Control por realimentación de estado

El diseño por realimentación de estado es más versátil que el diseño de contro-ladores de configuración fija convencionales ya que se controla directamente la ecuación característica. Un sistema inestable que es controlable, siempre sepuede estabilizar mediante control por realimentación de estado.

La desventaja de este método es que todos los estados deben detectarse y realimentarse, lo cual puede no ser práctico.

Sea el sistema de control:

)21.3(BuAxx

donde:x = vector de estado (n x 1)u = señal de control (escalar)A = matriz de n x n constanteB = matriz de n x 1 constante

Se elige como señal de control

)22.3(Kxu

donde K es de dimensión 1 x n , y u no está acotado.

Al sustituir la ecuación (3.22) en (3.21), se tiene:

B

A

-K

u +

+

x

Figura 3.3: Sistema de control de lazo cerrado con u = - K x.

)()()( txBKAtx

La solución de esta ecuación está dada por:

)23.3()0()( )( xetx tBKA

La estabilidad y las características de respuesta transitoria se determinan a partirde los valores propios de la matriz A-BK. Escogiendo adecuadamente la matrizK, se puede hacer que la matriz A-BK sea asíntoticamente estable.

Pasos de diseño:

Sea el sistema descrito por: BuAxx con la señal de control: Kxu

1. Verificar la condición de controlabilidad. Si es completamente controlable continuar con el paso siguiente.2. Determine los valores de a1, a2, a3, ..., an a partir de: 0 AsI

3. Determine la matriz de transformación T, a partir de: MWT donde M y W están dadas por:

BAABBM n 1

0001

001

01

1

1

32

121

a

aa

aaa

Wnn

nn

donde las son los coeficientes delpolinomio característico 0 AsI

4. Utilizando los valores propios deseados, halle el polinomio característico deseado:

nnnn asss

sssBKAsI

11

1

221 )())((

y determine los valores de n ,, 21

5. Determinar K a partir de:

1112211

TaaaaK nnnn

Ejemplo 3.5

Considere el sistema definido por: BuAxx donde:

1

0,

06.20

10BA

La ecuación característica es:

06.206.20

1 2

s

s

sAsI

Como las raíces características son s = ±4.539, el sistema es inestable, entoncesdebemos verificar la controlabilidad del sistema, así:

01

10ABBM

Como el rango de la matriz de controlabilidad es n = 2, entonces el sistema es completamente controlable.

Ahora, deseamos que los polos de lazo cerrado se localicen en s = -1.8 ± j2.4(que vienen a ser los valores propios de A-BK: µ1= -1.8+ j2.4 y µ2 = -1.8 - j2.4).

Debemos determinar la matriz K de realimentación.Considerar la matriz K = [K1 K2] y reemplazar en el polinomio característico deseado:

122

21

21

6.20

6.20

1

1

0

06.20

10

0

0

ksks

ksk

s

kks

sBKAsI

96.3

)4.28.1)(4.28.1())((2

21

ss

jsjsss

El polinomio característico debe ser igual a:

Igualando los coeficientes de la dos últimas expresiones, se obtiene:

6.3,6.29 21 kk

Entonces: 6.36.2921 kkK

3.8 SimulacionesConsidere el sistema de la figura 1.5 (a) y (b) , los parámetros y especificaciones de diseño siguientes, así como el correspondiente diagrama de flujo.

1,%10,%2

1,1.0,1

,1,1.0,1,1,2.0

,1,1,62.0,100,10

sss

ggpot

tffaa

bgm

TPOe

RLK

KLRRL

fJKKK

rw dT2K

K

3KtK bK

mK0w

fv fi gvaiff RsL

1

tt RsL 1

gK1

fJs 1potK

Figura 3.4: Diagrama de flujo del sistema.

y diseñe un controlador por realimentación de estado.

Solución

Se escoge las siguientes variables de estado:

f

a

ix

ix

wx

3

2

01

Con las variables de estado, se obtienen las siguientes ecuaciones de estado:

uL

xL

Rx

xL

Kx

L

Rx

L

Kx

TJ

xJ

Kx

Jf

x

ff

f

t

g

t

t

t

b

dm

1

1

33

3212

211

donde:1xKKwKKu trpot

En forma matricial (con Td(s) = 0), se tiene:

)24.3(DuCxy

BuAxx

donde:

0,001

,10

0

,

00

0

DC

y

L

B

L

RL

K

LK

LK

JK

Jf

A

f

f

f

t

g

t

t

t

b

m

La correspondiente función de transferencia es:

]))()[(()()( 1

bmsttff

mg

KKfJsLRsLR

KKBAsICsG

Usando los parámetros del sistema y calculando el error de seguimiento en estadoestable para una entrada escalón unitario tenemos:

KKGess 95.1211

1)0(1

1

Usando el método de Routh-Hurwith, encontramos que el sistema en lazo cerra-do es estable para -0.008 < K < 0.0468.Ahora consideremos el diseño del controlador.

La señal de control es:

33221 xKxKxKwKu trpot

Donde Kt, K2 y K3 son las ganancias de realimentación. Kt es la ganancia deltacómetro y Kpot es la variable de sintonía.

Definiendo la matriz de realimentación :

)25.3(

:32

rpot

t

wKHxu

entoncesKKKH

El sistema de lazo cerrao con realimentación de estado es:

)26.3(

)(

Cxy

BvxBHAx

donde

rpot wKv

Usamos el método de localización de polos para determinar H, tal que los valo-res propios de A-BH se encuentren en la localización deseada. Primero deter-minamos la controlabilidad:

BAABBM 2

Calculando el determinante de M se obtiene:

LLK

tf

mg

J

KM 23

2

det

Como 0det00

23 MceroesnoJyKyK LL tfmg

Entonces el sistema es controlable. Podemos localizar los polos del sistema enforma apropiada para satisfacer las especificaciones de estado transitorio. Lospolos deseados están localizados en:

jpjpp 34,34,50 321

Resolviendo el polinomio característico: BHAsI

e igualando a la ecuación de polos deseados: )34)(34)(50( jsjss

se obtiene Kt, K2 y K3, entonces la matriz de realimentación es:

0333.40035.00041.0H

Para seleccionar la ganancia Kpot, debemos calcular la ganancia en DC de lazocerrado de la función de transferencia. La función de transferencia en lazo cerra-do es: BBHAsICsT 1)()( Entonces:

)0(1

TK pot

Figura 3. 5:Respuesta al escalón en lazocerrado.

% Simulación para la respuesta del sistema de control % por realimentación de estadof=1; J=1; Km=10; Kb=0.62; Lt=0.2+0.1;Rt =1+1; Kt=1; Kg=100; Rf=1; Lf=0.1;A=[-f/J Km/J 0; -Kb/Lt -Rt/Lt Kg/Lt; 0 0 -Rf/Lf];B=[0; 0; 1/Lf]; C=[1 0 0]; D=[0];P=[-50, -4+3*j, -4-3*j];H=acker(A,B,P)[num,den]=ss2tf(A-B*H,B,C,D);Kpot=num(4)/den(4);t =[0:0.05:2];[y,x,t]=step(A-B*H,B/Kpot,C,D,1,t);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'--',t,x(:,3),'-.'), gridxlabel('Tiempo(seg)'), ylabel('Variables de estado')legend('-','wo','--','ia','-.','if',-1)

Programa en MATLAB

4. SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

4.1 Introducción

La tendencia actual de controlar sistemas en forma digital se debe fundamental-mente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las venta-jas de trabajar con señales digitales.

4.1.1 Tipos de señales

1. Señal analógica en tiempo continuo: Su amplitud y tiempo pueden adoptar un intervalo continuo de valores.2. Señal cuantificada en tiempo continuo: Su amplitud solo puede adoptar valo- res discretos, mientras que el tiempo valores continuos.3. Señal en tiempo discreto: Definida solo en valores discretos de tiempo. 3.1 Señal de datos muestreados: La amplitud puede adoptar valores en un cierto intervalo continuo. 3.2 Señal digital: La amplitud es cuantificada.

En el control de plantas o procesos con controladores digitales se requiere laconversión de estos tipos de señales. La operación que transforma señales detiempo continuo en señales de tiempo discreto se denomina muestreo o discreti-zación. La operación inversa se denomina retención de datos.

x(t)

x(t) x(t)

x(t)

t

t t

t

0

0

0

0

Figura 4.1: a) Señal analógica en tiempo continuo; b) señal cuantificadaen tiempo continuo; c) señal de datos muestreados; d) señal digital.

a)

b)

c)

d)

4.1.2 Cuantificación de la amplitud

• Es un proceso que involucra la conversión analógica - digital.• Cuando el valor de una muestra cae entre dos estados de salida adyacentes, se debe leer como el estado más cercano al valor real de la señal.• En el sistema binario hay niveles de amplitud o estados de salida.• El nivel de cuantificación Q se define como el intervalo entre dos puntos adya- centes de decisión.

n2

completaescalaaIntervaloFSRFSR

Q n :,2

4.1.3 Ventajas de los controladores digitales

Entre otras:• Son versátiles, pueden manejar ecuaciones no lineales con cálculos complejos, con operaciones lógicas.• Permiten implementar la más amplia variedad de leyes de control.• Los algoritmos pueden ser cambiados mediante software.• Costo más bajo.

Figuras 4.2 y 4.3

Ver transparencias

4.2 La transformada zEs una herramienta muy poderosa utilizada en el análisis y síntesis de sistemasde control en tiempo discreto. El papel de la transformada z en sistemas de tiem-po discreto es similar al de la transformada de Lapace en sistemas de tiempo continuo.

En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferen-cias lineal caracteriza la dinámica del sistema.

4.2.1 Definición de transformada z

La transformada z de una función x(t), sólo toma en cuenta los valores mues-treados de x(t), esto es , x(0), x(T), x(2T), ..., donde T es el período de muestreo,y se define mediante la siguiente ecuación:

)1.4()()]([)]([)(0

k

k

zkTxkTxZtxZzX

Para una secuencia de números x(k), la transformada z se define como

)2.4()()]([)(0

k

k

zkxkxZzX

Tabla 4.1 Tabla de transformadas z

Ver transparencias

4.2.2 La transformada z inversaLa transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). Esto significa que la transformada z inversa da como resultado una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t=0, T, 2T, ..., y no dice nada acerca de los otros valores de x(t).

La notación para la transformada z inversa es .1Z

Un método para encontrar la transformada z es usar la tabla de transformadas; sin embargo existen otros métodos que no implican el uso de tablas. Estos mé-todos son:1. Método de la división directa (expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de ).2. Método computacional (MATLAB).3. Método de expansión en fracciones parciales (expansión en términos senci- llos).4. Método de la integral de inversión.

1z

4.3 Análisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto

4.3.1 Muestreo mediante impulsos

0 0

x(t) )(tx

)(tx

)(sX

)(tx

)(sXT

t t

Figura 4.4: Muestreadormediante impulsos.

4.3.2 Retención de datos

Retenedor deorden cero

x(t) x(kT)

T

)(1 th

x(t) )(2 th

T )(sX

)(tx

)(0 sGh)(2 sH

a)

b)

Figura 4.5: Muestreador yretenedor de orden cero.

Retenedor deorden cero

x(t) x(kT) h(t)

t kT

x(t) Muestreador x(kT) h(t)

t

Figura 4.6: a) Muestreador realy retenedor de orden cero;b) modelo matemático que con-siste en un muestreador por im-pulsos y una función de transfe-rencia Gho(s).

donde :)3.4()(

1)(

02

k

kTsTs

ekTxse

sH

)4.4()()()( 02 sXsGsH h

siendo:

)5.4()(1

)(

:)3.4()()(

2

0

sXse

sH

esecuaciónlaekTxsX

Ts

k

kTs

Comparando las ecuaciones (4.4) y (4.5) se obtiene la función de transferenciadel retenedor de orden cero:

)6.4(1

)(0 se

sGTs

h

4.3.3 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado

Considere el sistema que se muestra en la figura 4.7.

G(s)

H(s)

C(s)R(s) +

-

E(s) )(sE

T

Del diagrama de bloques:

)(1)(

)(

)()()()(

:)()()()()(

)()()(

)()()()(

sGHsR

sE

sEsGHsRsE

dondeysEsGsHsRsE

sEsGsC

sCsHsRsE

Figura 4.7: Sistema de controlen lazo cerrado.

Puesto que:)(1)()(

)()()()(sGHsRsG

sCsEsGsC

La transformada z de esta última ecuación es:

)7.4()(1

)()()(

:

)(1)()(

)(

zGHzG

zRzC

espulsociatransferenfunciónla

zGHzRzG

zC

Tabla 4.2 Configuraciones típicas de sistemas de control en tiempo discreto de lazo cerrado

Ver transparencias

4.4 Análisis en el espacio de estado de sistemas de tiempo discreto

4.4.1 Ecuaciones en el espacio de estado

• Para sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo

)8.4()()()()()(

)()()()()1(

kukDkxkCky

kukHkxkGkx

• Para sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo

)9.4()()()(

)()()1(

kDukCxky

kHukGxkx

donde

rmdirectannestadodematrizkG

ntransmisiódematrizkDrentradadevectorku

nmdesalidamatrizkCmsalidadevectorky

rnentradadematrizkHnestadodevectorkx

)(

)(,1)(

)(,1)(

)(,1)(

D

G

H CIz 1x(k+1)u(k) x(k) y(k)+

++

+

D

A

B Cdtu(t) x(t) y(t)+

++

+

)(tx

a)

b)

Figura 4.8: a) Sistema de control lineal en tiempo discreto invariante en el tiempo;b) sistema de control lineal en tiempo continuo invariante en el tiempo.

4.4.2 Representaciones en el espacio de estado

Dado el sistema descrito por:

)10.4()()1()(

)()2()1()(

10

21

nkubkubkub

nkyakyakyaky

n

n

y su respectiva función de transferencia:

)11.4()()(

11

110

nnn

nnn

azazbzbzb

zUzY

Existen muchas formas de representarlas en el espacio de estado, entre las cualesestán:

1. Forma canónica controlable2. Forma canónica observable3. Forma canónica diagonal4. Forma canónica de Jordan

• Forma canónica Controlable

)13.4()(

)(

)(

)(

)(

)12.4()(

1

0

0

0

)(

)(

)(

)(

1000

0100

0010

)1(

)1(

)1(

)1(

02

1

0110110

1

2

1

121

1

2

1

kub

kx

kx

kx

babbabbabky

ku

kx

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

kx

n

nnnn

n

n

nnnn

n

Debido a que la representación en la forma canónica controlable es la más usada,se presenta a continuación la ecuación de estado y la ecuación de salida .

4.4.3 Matriz de función de transferencia pulso

Dado el sistema discreto descrito por:

)14.4()()()(

)()()1(

kDukCxky

kHukGxkx

La transformada z de la ecuación (4.14) es:

)()()(

)()()0()(

zDUzCXzY

zHUzGXzxzzX

Suponiendo condiciones iniciales cero x(0), se obtiene:

)()()()()(

,)()()(1

1

zUzFzUDHGzICzY

yzHUGzIzX

donde

)15.4()()( 1 DHGzICzF

F(z) es la matriz de función de transferencia pulso.

4.4.4 Discretización de ecuaciones en tiempo continuo

Dada la ecuación en tiempo continuo:

)17.4(

)16.4(

DuCxy

BuAxx

su correspondiente representación discreta es:

)18.4()()()(

)()()()())1((

kTDukTCxkTy

kTuTHkTxTGTkx

C y D son matrices constantes e independientes del tiempo de muestreo T, y:

)20.4()()(

)19.4()(

0BdeTH

eTGT A

AT

La función de transferencia pulso es:

)21.4()()( 1 DHGzICzF

4.4.5 Representaciones canónicas

Considerando la ecuación de estado en tiempo discreto y la ecuación de salida:

)22.4()()()(

)()()1(

kDukCxky

kHukGxkx

Se pueden representar en forma canónica. Dichas representaciones son:1. Forma canónica controlable2. Forma canónica observable3. Forma canónica diagonal o de Jordan.

A continuación se presenta las ecuaciones en tiempo discreto (4.22) en su repre-sentación canónica controlable.

La ecuación (4.22) puede representarse mediante la siguiente representación:

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)(

)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11

kuDkxCkDukxCTky

kuHkxGkHuTkxGTTkx

donde:

)24.4()(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(

)23.4()(

1

0

0

0

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

1000

0100

0010

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

)1(ˆ

:,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

0001

001

01

1

,

1

2

1

0110110

1

2

1

121

1

2

1

11

1

32

121

1

kuD

kx

kx

kx

kx

babbabbabky

ku

kx

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

kx

deciresDDyCTCHTHGTTG

a

aa

aaa

W

HGGHHMMWT

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

nn

nn

n

4.5 Diseño de sistemas de control en tiempo discreto por el método de espacio de estado

4.5.1 Diseño por realimentación de estado (ubicación de polos)

Considere el sistema de control en lazo abierto que se muestra en la figura 4.9

(a)

H

G

-K

u(k) +

+

x(k)Iz 1

H

G

Iz 1x(k+1)u(k) x(k)+

+

(b)

Figura 4.9: (a) Sistema de controlen lazo abierto; (b) sistema de control en lazo cerrado con u = -K x(k).

Si la señal de control u(k) fuera )()( kKxku

donde K es la matriz de ganancia de realimentación (1xn), entonces el sistema de lazo cerrado se representa por

)26.4()()()1( kxHKGkx

definido por: )25.4()()()1( kHukGxkx

La matriz K se escoge de tal forma que los valores característicos de G-HK seanlos polos en lazo cerrado deseados: µ1, µ2, ..., µn.Para la ubicación arbitraria de polos debe cumplirse la condición de controlabi-lidad siguiente:

)27.4(1HGGHHRango n

La ecuación característica en lazo abierto es:

)28.4(011

1

nnnn azazazGzI

La ecuación característica de lazo cerrado se convierte en:

)29.4(0)()(

100

00

01

ˆˆˆ

111

11

1111

nnnnnn

nnnn

azazaz

azaa

z

z

KHGzIHKGzI

Por otro lado, la ecuación característica con los valores característicos deseados,está dada por:

)30.4(0

)())((

12

21

1

21

nnnnn

n

zzzz

zzz

Igualando las ecuaciones (4.29) y (4.30) se obtienen :

nnn a

a

a

222

111

Entonces K viene a ser:

1

1111

111

1ˆ

Taaa

TTKK

nnnn

nn

donde las ii lasya son coefientes conocidos.

Y donde la matriz de transformación T = MW también conocida.

4.6 Simulaciones

Dada la siguiente función de transferencia z del sistema de control por realimen-tación de estado:

5.0259702.0240298.0

)()(

)( 2

zzz

zrzy

zF

donde y(z) es la salida del sistema de control y r(z) es la entrada de referencia escalón unitario. Obtener la simulación del sistema de control.

Solución

Programa

% **** Simulación ****% Sistema de control por realimentación de estado % _ Respuesta al escalón unitario_%num=[0 0.240298 0.259702];den=[1 -1 0.5];r=ones(1,41);v=[0 40 0 1.6];axis(v);k=0:40;y=filter(num,den,r);plot(k,y,'o',k,y,'-')gridtitle('Control por realimentación de estado')xlabel('k: número de muestras')ylabel(’Salida y(k)')