Expansin de ondasFlujo Prandtl Meyer

IntroduccinEl debate dados en el captulo 5 y 6 estaban preocupados con ondas que implicaban un incremento en la presin,i.e con ondas de choque . en este captulo, la atencin ser dada a los tipos de onda que son generados cundo hay una disminucin en la presin . por ejemplo, el tipo de onda que es generada cuando un flujo supersnico pasa por encima de una esquina convexa y el tipo de onda que es generada cuando el fin de un ducto conteniendo un gas en una presin esto es superior que eso en el aire circundante es repentinamente abierto ser discutido en este captulo. Estas dos situaciones son ilustradas. los flujos supersnicos estables alrededor de esquinas convexas primero sern de los que se ocup en esta voluntad de . atencin de captulo entonces para los flujos inestables.Flujo PRANDTL MEYEREn el captulo precedente, el flujo supersnico sobre una esquina cncava,i.e, una esquina involucra un cambio angular positivo en direccin de flujo, se consider . eso estaba indicado all tan el flujo sobre tal esquina fue asociado con una onda de choque oblicua, esta onda de choque se origina de la esquina cuando es afilada.Considere, ahora, el flujo alrededor de una esquina convexa como se muestra en Fig 7.2 . para determinar si una onda de choque oblicua tambin ocurre en este caso, est asumida que eso ocurre . una esquina afilada considerndose para la simplicidad como se muestra en la fig.7.2.

Figuras

Considere la velocidad que los componentes indicaron en Fig. 7.2 . para las razones dadas en el captulo previo. L1 =L2 y desde que V2 debe ser paralelamente para la corriente cada la pared, las funciones geomtricas de consideraciones que N2 >N1 . pero N2 y N1 deben estar relacionados por las relaciones normales de la onda de choque y en ocuparse de ondas de choque normales, fue mostrada que una sacudida cara no fue posible desde que violara la segunda ley de termodinmica . que no es, por consiguiente, no posible pues N2 a ser rallador que N1 y el flujo sobre una esquina convexa, por consiguiente, no se puede tomar a travs de una sacudida oblicua.Para entender el flujo real que ocurre cuando un flujo supersnico pasa acerca de una esquina convexa, considera qu ocurre, en general, cuando el flujo es puesto a travs de un ngulo diferencialmente pequeo, d0, este productor diferencialmente la parte pequea se altera, dp, dp, y dt en la presin, la densidad, y la temperatura respectivamente . el anlisis presente ejerce ya sea d0 son positivos o negativos, ya sea la esquina es cncava o convexa, los cambios a travs de la ola Mach diferencialmente dbil produjeron ser isentropic (vea ms tarde). Por el razonamiento previamente dado, el componente de velocidad paralelo para ondear, L, es igual por la ola . por lo tanto, considerando el rea de la unidad de la ola, enseado en Fig. 7.3, las ecuaciones de continuidad y el momento ceden:

(7.1)(7.2)Figura 7.3Substituyendo para dN de eq.(7.2) en eq(7.1) da(7.3)Ahora, en el caso limitativo de una onda muy dbil siendo considerado, (dp/ddensidad) ser igual al cuadrado de la aceleracion del sonido, i.e(7.4)Esto es indicado en Fig. 7.4, desde que la L es igual por la presencia del disturbio, esto sigue:

Ecuaciones..

Expandindose e ignorando ms altas condiciones de orden entonces dan:

Por consiguiente (7.5)Adicionalmente, desde que la ecuacin de energa da:Ecuacin.. Figura 7.4

i.e., ignorando las mas altas condiciones de orden:

se tiene (7.6)

Pero por las suposiciones previamente hechasEcuacin..Asi eq.(7.6) tenemos: (7.7)

O usando eq.(7.5): (7.8)

Adicionalmente, entonces: ecuacin

Sigue, usando eq.(7.8), asi (7.9)

Del mismo modo (7.10)

Finalmente, entonces: ecuacin

El cambio diferencial en M es dado por:

De modo que

= [-2+M^2-yM^2]Por lo tanto: formula .. (7.11)Por lo tanto un cambio diferencialmente pequeo en la direccin del flujo isoentrpico produce una perturbacin tal que: formula formula. formula.. formula .. formula ..estos cambios tambin se indica en Fig.7.5.

As, si el flujo alrededor de una esquina, que puede considerarse que consisten en un nmero infinito de cambios angulares diferencialmente pequeas, como se muestra en la Fig.7.6, se considera, se deduce de los resultados anteriores que para cambios angulares positivos, el nmero de Mach disminuye y las ondas divergentes.As, por cambios negativos en ngulo de la pared de una regin que consta de Mach ondas se genera y se mantiene el flujo isoentrpico en todo. Tales flujos se llama Prandtl-Meyer flujos y su forma es tal como se muestra en la Fig.7.7. Con el fin de determinar analticamente los cambios producidos por tal flujo, se observa que eq. (7,11) deben aplicar a nivel local en todos los puntos dentro de la fan de expansin. Por lo tanto.

FIGURA7.5Los cambios producidos por una onda dbil.(a) Alteracin de compresin(b) la perturbacin expansivaFIGURA.7.6Mach ondas en esquina con ngulo finito.

FIGURA.7.7Prandtl-Meyer flujo.(a), sin centrar ventilador.(b) El ventilador de centrado.

FIGURA.7.8Cambio en la direccin del flujo de Prandtl-Meyer flujo.

Si esta ecuacin en integrado que dar a la relacin entre las propiedades de flujo y el cambio de direccin de flujo en cualquier punto en el flujo como se indica en Fig.7.8.. Integracin de la ecuacin (7.11) se obtiene:

ECUACION (7.12)El lado derecho de la ec. (7,12) se integra fcilmente usando tcnicas estndar. Antes de dar el resultado, sin embargo, hay un par de puntos que se observ. En primer lugar, puesto que el cambio en la direccin del flujo debe ser negativo para Prandtl-Meyer flujo de existir, es conveniente colocar el signo negativo en el lado de mano izquierda. En segundo lugar, para expresar los resultados en una forma tan conveniente como sea posible, alguna condicin estndar se utiliza para evaluar la constante. La condicin lmite inicial es, por lo tanto, toma arbitrariamente como:

ECUACION

La aplicacin de los resultados a los flujos en los que el nmero de Mach por delante de la esquina no es que se discutir ms adelante.Usando la ecuacin. (7,13) en la ec. (7,12) entonces se obtiene:

ECUACION..

La relacin entre (generalmente expresada en grados en lugar de radianes como en la ec. (7.14)) y M dado por la ecuacin. (7,14) que habitualmente se indica en las tablas isoentrpicas y se da en la tabla de flujo isentrpico en el Apndice B. , por supuesto, no tiene sentido cuando M menor que 1.

Antes de discutir la aplicacin de la ecuacin. (7,14) vale la pena considerar el caso lmite de M . En este caso, ya que tan ^ (-1) / 2 como se sigue que cuando M .

ECUACION.Para el caso de y = 1,4 esto da el valor lmite de como:ECUACION.As, si un flujo en un nmero de Mach de 1 se activa a travs de un ngulo de 130,5 , un infinito nmero de Mach se genera y la presin cae a cero. Expansin a travs de un ngulo mayor que, de acuerdo con la presente teora, conducir a un vaco adyacente a la pared como se indica en la figura. 7,9. Por supuesto, en realidad, los supuestos de gas continuo e ideal dejarn de ser vlidas mucho antes de que esta situacin se lleg.

A continuacin, considere la aplicacin de la ecuacin. (7,14) para el clculo de los cambios de flujo producidos por un expension Prandtl-Meyer. Haciendo referencia a la figura. 7,10, el procedimiento es el follws.

1. A partir de tablas o grficos o de las ecuaciones de encontrar el valor de correspondiente a M1, es decir, 1. Esto es equivalente a suponer que el flujo inicial fue generada por una expansin alrededor de una esquina hipottico de un nmero de Mach de 1, el nmero de referencia Mach en las tablas, a un nmero de Mach de M1.

FIGURE.7.9Expansin a cero la presin.

FIGURE.7.10Cambios en el flujo a travs de una onda de Prandtl-Meyer.

FIGURE.7.11Los ngulos asociados con la onda de expansin centrado.

2. Calcular el para el flujo descendente de flujo de la esquina. Esto ser dada por:

ECUACION..

3. Buscar, usar tablas o grficos o ecuaciones, el nmero de Mach corriente abajo, M2, correspondiente a este valor de 2.

4. Cualquier otra propiedad requerida del flujo corriente abajo se obtiene observando que la expansin es isentrpico y que las siguientes relaciones, por lo tanto, se aplican:

ECUACION.Alternativamente, cuando estn disponibles, tablas de flujo isoentrpico se puede utilizar, tenindose en cuenta que la presin de estancamiento se mantiene constante a travs de la onda.

5. Si es necesario calcular los lmites de la onda de expansin, esto se hace observando que son las lneas de Mach correspondientes a los nmeros de Mach de aguas arriba y corriente abajo.

Los diversos ngulos definidos en la figura. 7,11 vienen dados por:

ECUACIONExample.7.1:El aire fluye en un nmero de Mach de 1,8, con una presin de kPa y una temperatura de 15 C por un canal de ancho. La pared superior de este canal se convierte a travs de un ngulo de 5 "lejos del flujo" que conduce a la generacin de una onda de expansin. Halle la presin, nmero de Mach, y la temperatura detrs de la ola de expansin.

Para relaciones de flujo isentrpico , o tablas o de software dan:

Despus la onda de expansin:Para este valor de , las relaciones de flujo isentrpico o tablas o software dan:

Por lo tanto, debido a que el flujo a travs de la onda de expansin es isentrpico para que y , se deduce que:Y:

Por lo tanto, la presin, nmero de Mach y temperatura aguas abajo de la onda de expansin son 68,2 KPa. 1.98, y respectivamente.

7.3 REFLEXIN Y LA INTERACCIN DE LAS ONDAS DE EXPANSINAl igual que con ondas de choque oblicua, ondas de expansin pueden someterse a la reflexin y pueden interactuar entre s. Consideremos, en primer lugar, la reflexin de una onda de expansin de una pared recta como se muestra en la figura 7.12. Si es el ngulo de Prandtl-Meyer correspondiente a las condiciones de flujo inicial, es decir, a las condiciones en la regin 1, entonces ngulo de Prandtl-Meyer para el flujo en la regin intermedia 2 es, por supuesto, dada por:

Desde el flujo de la final, es decir, el flujo en la regin 3, debe ser nuevamente paralelo a la pared, la onda reflejada tambin debe activar para el flujo a travs de un ngulo de :

Figura 7.12

Una vez determinado este ngulo, puede encontrar el nmero de Mach en regin 3 y puesto que el flujo entero es isentrpico, las condiciones en la regin 3 pueden el encontrarse en trminos de regin 1 usando relaciones isentrpicas.Dentro de la regin de interaccin de las ondas incidentes y reflejadas, la relacin entre y previamente derivado no puede aplicarse directamente. Esta regin es conocida como una regin no simple. El flujo es. por supuesto, isentrpico en todo.

EJEMPLO 7.2Aire fluye hacia abajo de un conducto en un nmero de Mach de 2.0 con una presin de 90 KPa. La pared superior del conducto se convierte en "lejana" por el flujo a travs de un ngulo de 10 dando lugar a la formacin de una onda de expansin. Esta onda es reflejada en la pared plana inferior del canal. Encontrar la presin despus de la reflexin.

Solucin figura 7.2La ola inicial y la onda reflejada tanto gira el flujo a travs de 10. Ahora, en el flujo inicial en , relaciones isentrpicas o tablas o el software que se da:

Por lo tanto:Relaciones isentrpicas o tablas o software, a continuacin, dan para este valor de .

Pero todo el flujo isentrpico as: y as: Por lo tanto, son la presin y el nmero de Mach detrs de la onda reflejada y 2.83 respectivamente.

FIGURA 7.13 Interaccin de las ondas de expansin.

FIGURA 7.14 Interaccin de una onda de expansin con una onda de choque oblicua

FIGURA 7.15 Reflexin de una onda de choque oblicua de el borde de un flujo de chorro

Cuando interactuan ondas de expansin, el flujo se asemeja a se muestra en la figura 7.13. Dado que el flujo entero es isentrpico, regin 4 debe ser una regin de propiedades uniformes, no incorporadas que se generan cuando las ondas de expansin interactan como fue el caso cuando interactuaban de ondas de choque.En corrientes por el cuerpo, ondas de expansin a menudo interactan con una onda de choque, el choque atenuada (debilitada) por la interaccin. Un ejemplo de tal interaccin se muestra en la figura 7.14. La interaccin es complicada por la generacin de una serie de ondas reflejadas.Una ola de expansin tambin puede ser generada por el "reflejo" de una onda de choque oblicuo de un lmite de presin constante. Para ver cmo esto puede suceder, consideremos un cuerpo en forma de cua colocado en un flujo bidimensional jet supersnico como se muestra en la figura 7.15. Los bordes del jet estn expuestos al gas circundante estancada y por lo tanto, deben permanecer en la presin que existe en este ambiente de gas. El flujo por delante del cuerpo, porque es un flujo paralelo, debe tambin al estar en la presin ambiente. Las ondas de choque oblicuas se generan en la vanguardia del cuerpo, estas ondas de choque, aumentando la presin.

EJEMPLO 7.3 Una cua en forma de cuerpo con un ngulo incluido de 20 se coloca simtricamente en un chorro plano de aire, el nmero de Mach en el chorro siendo 2.5. La presin del aire ambiente es 100 KPa. Las ondas de choque oblicuas generadas en el borde delantero de la cua se reflejan fuera de los bordes del chorro. Encontrar el nmero de Mach y de la presin en la corriente de flujo de las ondas reflejadas.Solucin fi8gura 7.3Primero considere la onda de choque oblicua. Para y , relaciones de choque normal o tablas o el software dar como se describe en el captulo 6:Para este valor de , relaciones de choque normal o tablas o software dan:

Mientras que las relaciones isentrpicas o tablas o software para ,

La fuerza de las olas de expansin "reflejada" debe ser tal que , es decir, tal que:

es decir, porque el flujo a travs de la onda de expansin es isentrpico, :

Para este valor de relaciones isoentrpicas o tablas o software dan . El nmero de Mach aguas abajo de las ondas de expansin "reflejada" es por lo tanto 2.485. La presin detrs de estas ondas es, como en los clculos anteriores, la misma que en el fluido inicial, es decir, 100 KPa.7.4 LA CAPA DIVISORIA EFECTADA SOBRE ONDAS DE EXTENSIN Para los mismos motivos que la presencia de una capa divisoria causa "una extensin" del cambio de presin cuando una onda de choque afecta a una pared, la presencia de una capa divisoria modifica una onda de extensin en los alrededores de una pared. Esto es ilustrado en el Fig 7.16 el grado de la interaccin otra vez depende del grosor y el tipo de capa divisoria.7.5 FLUJO SOBRE CUERPOS QUE IMPLICAN CHOQUE Y ONDAS DE EXTENSIN. Muchos cuerpos sobre los cuales una doble eficacia en el flujo dimensional supersnico ocurre en la prctica pueden ser asumidos para consistir en una serie de superficies planas. Por ejemplo, el tipo de cuerpo mostrado en el Fig 7.17 es similar a la cruz - la forma de grupo de las superficies de control usadas sobre algunos vehculos supersnicos. El flujo sobre tal cuerpo puede ser calculado por notando que una serie de ondas de choque oblicuas y ondas de extensin ocurre que la causa el flujo para ser en la zona paralela a cada una de las superficies como ilustrado en el Fig 7.17 A condicin de que esto el cuerpo es "delgado", cualquier onda secundaria generada como consecuencia de la interaccin de las ondas de choque y ondas de extensin generadas por el cuerpo no afecte al cuerpo y su presencia no efectuar el flujo sobre el cuerpo. El flujo sobre el cuerpo y la presin que acta sobre las superficies sobre el cuerpo entonces puede ser calculado por separadamente usando el choque oblicuo y los resultados de onda de extensin. Una vez que las presiones sobre las superficies del cuerpo son encontradas, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser encontrada. Este procedimiento es ilustrado en los ejemplos siguientes.El ejemplo 7.4 una ala simple puede ser modelado como un 0.25 m el amplio juego del plato plano en un ngulo de 3 a un flujo de aire en el nmero de Mach de 2.5, la presin en este flujo que ser 60 kPa. La a sumisin que el flujo da sobre las dos alas - dimensional, de la estimacin el levantamiento y la fuerza de rastra por palmo de metro debido a la formacin de onda sobre el ala. que otras causas de factor se prolongan el ala?Solucin: La situacin de flujo siendo considerada es mostrada en el Fig. E7.4 una onda de extensin se forma sobre la superficie superior en el borde principal. Esta onda gira la paralela de flujo a la superficie superior del plato. Asimismo una onda de choque oblicua se forma sobre la superficie inferior en el borde principal. Esta onda gira la paralela de flujo a la superficie inferior del plato. Las ondas tambin se forman en el borde rastreador del plato pero estas ondas no tienen ningn efecto sobre las presiones sobre las superficies del plato y ellos no sern considerados aqu.Primero considere la onda de extensin que gira la paralela de flujo a la superficie superior, la regin adyacente a la superficie superior siendo designada como 2 como indicado en la figura E7.4 Ahora, en la corriente libre, i, la e , donde el nmero de Mach, M1, isontropico relaciones o mesas o el software da:

De ah ya que el flujo es girado a 3 por la onda de extensin, se sigue que:

Utilizacin de este valor de? _2, isontropico relaciones o mesas o el software d:

Esto por lo tanto sigue esto, ya que el flujo por la onda de extensin es isontropico que quiere decir esto

Por lo tanto, la presin que acta sobre la superficie superior del plato es 49 kPa. Despus considere la onda de choque oblicua que gira la paralela de flujo a la superficie inferior, la regin adyacente a la superficie inferior siendo designada como 3 como indicado en la Figura. Ahora, desde M1 es 2.5 y la d de ngulo que da vuelta producida por la onda de choque oblicua es 3 , relaciones de choque oblicuas o traza o el software da:

los valores ltimos siendo dados directamente por el software. Relaciones de choque normales o mesa o software entonces dan para un nmero de Mach de 1.096:

De esto se sigue que:

Por lo tanto, la presin que acta sobre la superficie inferior del plato es 74kPa. El levantamiento es la fuerza neta que acta sobre el plato normal a la direccin de flujo inicial mientras la rastra es la paralela de fuerza neta a la direccin de flujo inicial. Por lo tanto, desde el plato el rea por palmo de metro es 0.25 m2, se sigue queLevantamiento por palmo de metro= (74 49) x 0.25 x 0.0523 = 0.33 kN/m palmoRastra por palmo de metro

Por lo tanto, el levantamiento y la rastra por palmo de metro son 6.23 y 0.33 N respectivamente. Esta rastra es que debido a la variacin de presin sobre el plato. Es llamado " la rastra de onda. " La friccin de la piel, yo, e., la fuerza sobre el plato debido a fuerzas viscosas, tambin contribuir a la rastra.El ejemplo 7.5 Encuentra el levantamiento por palmo de metro para la cua la superficie sustentadora formada mostrada en el Fig.. E7.5a. tambin bosqueje el modelo de flujo sobre la superficie sustentadora. El nmero de Mach y la presin delante de la superficie sustentadora son 2.6 y 40 kPa respectivamente. Solucin: Considere los ngulos mostrados en la Fig. E7.5b. Ser visto que:

This gives it then follows that

Entonces como muestran el modelo de onda sobre la superficie sustentadora en la Higo. E7.5c. las ondas que ocurren en el borde rastreador no efectan la presin en las superficies de la superficie sustentadora y no sern analizadas aqu. All los ngulos de dar vuelta producido por las ondas mostradas en la Fig. E7.5c son as:El choque agita A el angulo de vuelta = 5La onda de extensin la B el angulo de vuelta = 1 La onda de extensin C el angulo de vuelta = 4.67La onda de extensin D el angulo de vuelta = 4.67

Primero considere el choque un que separa regiones 1 y 2. Desde M1 es 2.6 y la d es 5 , relaciones de choque oblicuas o traza o el software da:

Dan al valor ltimo directamente por el software. Relaciones de choque normales o mesas o software entonces dan para un nmero de Mach de 1.16:

De esto se sigue que:Considere la posibilidad de onda prxima expansin B que separan las regiones 1 y 3. Ahora, en la corriente libre, es decir, en la regin 1, donde el nmero de Mach, M1, es de 2,6, relaciones isoentrpicas o tablas o software har lo siguiente:

Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de la 1 por la onda de expansin, se sigue que:

Con este valor de las relaciones 3, isoentrpicas o tablas o del software dar:

Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la onda de expansin es isoentrpica que significa que p03= p01:

Consideremos ahora la expansin de la onda C que separa las regiones 2 y 4. Ahora, por delante de la ola, es decir, en la regin 2, en donde el nmero de Mach, M2, es de 2,37, relaciones o tablas isoentrpicas o software para dar:

Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de 4,67 por la onda de expansin, se sigue que:Con este valor de las relaciones 4, isoentrpicas o tablas o el software dar:

Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la onda de expansin es isoentrpica que significa que p04= p02:

Consideremos ahora la expansin de la onda D que separa las regiones 3 y 5. Ahora, el frente de onda, es decir, en la regin 3, donde el nmero de Mach, M3 es 2,64, isoentrpicas relaciones o tablas o software dar:

Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de 4,67 por la onda de expansin, se sigue que:

Con este valor de 5, relaciones o tablas isoentrpicas o del software dar:

Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la onda de expansin es isoentrpica que significa que p05= p03:

Por lo tanto:

y por lo tanto, ya que las reas de las diversas superficies por tramo en metros son:

la elevacin est dada por:

Por lo tanto, la elevacin por tramo metros es de aproximadamente 12 KN.Las ondas que se forman en el borde posterior de la superficie de sustentacin no se consideraron en los dos ejemplos anteriores. Sus puntos fuertes son, sin embargo, encontrar fcilmente observando que la direccin del flujo y la presin debe ser el mismo en las aguas abajo regin entera de la superficie de sustentacin.

7.6ONDAS DE EXPANSIN INESTABLEUn tipo de flujo que est relacionado con el flujo de Prandtl Meyer discutido anteriormente es la onda de expansin inestable. Para entender las caractersticas bsicas de este flujo consideramos un pistn en el extremo de un conducto largo, como se muestra en la figura. 7.18. Si el pistn recibe una velocidad de repente dV, en la direccin de retirarlo del conducto, el gas adyacente al pistn debe tener una velocidad dV, en la misma direccin como el pistn y una onda dbil (una onda de sonido) debe propagar en el gas estacionario a la velocidad local del sonido, a. A travs de esta onda no se disminuye en la velocidad del sonido y la presin de magnitudes da y dp respectivamente. Si el pistn da entonces otra aceleracin repentina a una nueva velocidad, 2dV, como se muestra en la figura. 7,19, otra onda dbil ser generar que se mueva con respecto al fluido en la velocidad (a-da), es decir, la velocidad local del sonido. Sin embargo, dado que el fluido delante de esta segunda onda tiene ya la velocidad dV en la direccin opuesta a la de la propagacin de la onda, la velocidad real a la que la onda se propaga en relacin con el conducto es (a-da-dV). Esto se muestra en la figura. 7.19.

Si el pistn, en efecto, haba sido sin problemas acelerado hasta una velocidad V, entonces la aceleracin puede ser considerado como formado por una serie de saltos diferencialmente pequeos en la velocidad de cada uno de los cuales produce una onda de expansin y se propaga por el conducto a una velocidad ms baja que su predecesor, lo que conduce a una expansin de la regin cada vez mayor. El proceso est convenientemente mostrado en un diagrama x-t donde x es la distancia a lo largo del conducto y t es el tiempo. Tal diagrama para el proceso que est siendo considerado se muestra en la figura. 7.20. La ola inicial se propaga a una velocidad a1 en el lquido, de modo que la posicin de la cabeza de la expansin est dada por:

La cola de la onda se propaga a la velocidad a2, en relacin con el fluido en la regin 2 y, por lo tanto, puesto que el fluido en esta regin tiene velocidad, up, en la direccin de movimiento del pistn, la velocidad de la cola de la onda relativa a las paredes del conducto es:

donde xf es la posicin del pistn cuando la velocidad constante final se obtuvo por primera vez y tf es el tiempo en el que el pistn alcanza esta posicin.

Si el pistn se aceler al instante, el diagrama x-t toma la forma mostrada en la figura. 7.21. Aqu, el camino de la cola de la onda de expansin est dada por:

y la anchura de la regin de expansin en cualquier instante de tiempo viene dada por:

Las ondas inestables de expansin pueden ser generadas de otras maneras, en particular por la ruptura de las membranas que separan las regiones de alta y baja presin. Estos sern discutidos ms adelante.Con el fin de aplicar las ecuaciones derivadas arriba, a2 tiene que ser conocido. Para encontrar esto consideramos que la onda se divide, como se ha explicado anteriormente, en una serie de olitas cada uno producido por un salto diferencialmente pequeo en la velocidad del pistn y produciendo cada uno un pequeo cambio diferencialmente en velocidad, presin, etc. Si la velocidad del gas local en la onda es V, la onda se propaga con la velocidad (a-V) con respecto a las paredes del tubo, como se muestra en la figura. 7.22. Considere el flujo relativo a la onda como se indica en la figura. 7.23. Aplicando la ecuacin de momento para el flujo a travs de la onda da: