EXEMEN de MN Resuelto a Mano
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EXEMEN DE METODOS NUMERICOS Unidad 2 Nombre_______ ____ Semestre: ________ Grupo: ____________________________ Fecha: _____________________________________ 1: Determine las raíces reales de f(x) = -25182x – 90x 2 + 44x 3 – 8x 4 + 0.7x 5 • Gráficamente. • Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con E s = 10%. Utilice como valores iniciales x i = 0.5 y x s = 1.0. • Realice el mismo calculo en b), pero con el método de la falsa posición y E s = 0.2%. 2: Determine la raíz real más grande de: f(x) = 2x 3 – 11.7x 2 + 17.7x – 5 • En forma grafica. • Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones, x 0 = 3). Nota: Asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz. • Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, x 0 = 3, δ = 0.001). • Con el método de la secante (tres iteraciones, x -1 = 3, x 0 = 4). •
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Métodos numéricos
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EXEMEN DE METODOS NUMERICOS
Unidad 2
Nombre_______________________________________________ Semestre: ______________
Grupo: ____________________________ Fecha: _____________________________________
1: Determine las races reales de f(x) = -25182x 90x2 + 44x3 8x4 + 0.7x5
Grficamente.
Usando el mtodo de biseccin para localizar la raz ms grande con Es = 10%.
Utilice como valores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.
Realice el mismo calculo en b), pero con el mtodo de la falsa posicin y Es = 0.2%.
2: Determine la raz real ms grande de: f(x) = 2x3 11.7x2 + 17.7x 5
En forma grafica.
Con el mtodo de iteracin simple de punto fijo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota:
Asegrese de haber desarrollado una solucin que converja a la raz.
Con el mtodo de Newton Raphson (tres iteraciones, x0 = 3, = 0.001).
Con el mtodo de la secante (tres iteraciones, x-1 = 3, x0 = 4).
-
Solucin:
1: Determine las races reales de f(x) = -25182x 90x2 + 44x3 8x4 + 0.7x5
Grficamente.
10.72841976
Usando el mtodo de biseccin para localizar la raz ms grande con Es = 10%.
Utilice como valores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.
-
ITERACCION X1 X2 XMEDIO F(X1) F(XMEDIO) F(X) ERROR
1 0.5 1 0.75 -12608.4781 -18920.9276 238564102 0
2 0.75 1 0.875 -18920.9276 -22078.0101 417736432 14.2857143
3 0.875 1 0.9375 -22078.0101 -23656.6446 522291637 6.66666667
4 0.9375 1 0.96875 -23656.6446 -24445.9715 578309658 3.22580645
5 0.96875 1 0.984375 -24445.9715 -24840.6358 607253474 1.58730159
6 0.984375 1 0.9921875 -24840.6358 -25037.9679 621959041 0.78740157
7 0.9921875 1 0.99609375 -25037.9679 -25136.634 629370235 0.39215686
8 0.99609375 1 0.99804688 -25136.634 -25185.967 633090433 0.19569472
9 0.99804688 1 0.99902344 -25185.967 -25210.6335 634954183 0.09775171
10 0.99902344 1 0.99951172 -25210.6335 -25222.9667 635886970 0.04885198
11 0.99951172 1 0.99975586 -25222.9667 -25229.1334 636353592 0.02442002
12 0.99975586 1 0.99987793 -25229.1334 -25232.2167 636586960 0.01220852
13 0.99987793 1 0.99993896 -25232.2167 -25233.7583 636703658 0.00610389
14 0.99993896 1 0.99996948 -25233.7583 -25234.5292 636762011 0.00305185
15 0.99996948 1 0.99998474 -25234.5292 -25234.9146 636791188 0.0015259
16 0.99998474 1 0.99999237 -25234.9146 -25235.1073 636805777 0.00076295
17 0.99999237 1 0.99999619 -25235.1073 -25235.2036 636813072 0.00038147
18 0.99999619 1 0.99999809 -25235.2036 -25235.2518 636816719 0.00019074
19 0.99999809 1 0.99999905 -25235.2518 -25235.2759 636818542 9.5368E-05
20 0.99999905 1 0.99999952 -25235.2759 -25235.288 636819454 4.7684E-05
Observe que el mtodo no converge y por ende la raz no es encontrada, debido a que el
intervalo (0.5 , 1 ) no contiene cambio de signo para la funcin .
Realice el mismo calculo en b), pero con el mtodo de la falsa posicin y Es = 0.2%.
ITER X1 X2 F(X1) F(X2) Xr %ER
1 0.5 1 -
12608.4781 -25235.3 0.00072638
2 0.5 0.00072638 1.4 1238.62034 0.50056496 99.8548879
3 0.5 0.50056496 1.4 1.39796843 0.8893283 43.7142661
4 0.5 0.8893283 1.4 0.61199973 1.19169979 25.3731258
5 0.5 1.19169979 1.4 0.35522376 1.42687762 16.4819899
6 0.5 1.42687762 1.4 0.23074786 1.6097937 11.3627035
7 0.5 1.6097937 1.4 0.15907785 1.75206177 8.12003715
8 0.5 1.75206177 1.4 0.11368052 1.86271471 5.94041267
De nueva cuenta no hay convergencia debido a que f(xo) y f(xs) no se encuentran en
cambio de signo.
-
Problema 2
Determine la raz real ms grande de: f(x) = 2x3 11.7x2 + 17.7x 5
En forma grafica.
La raz ms grande es 3.56316082
Con el mtodo de iteracin simple de punto fijo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota:
Asegrese de haber desarrollado una solucin que converja a la raz.
Al despejar la funcin se tiene una relacin de la forma :
-
La grfica de estas dos relaciones se muestra a continuacin y se asegura la convergencia
a partir de aqu:
-
En este caso nos damos cuenta que debemos de empezar a iterar a partir de 3.
iteracin xi yi e(%) e*(%)
1 3 3.18079096 50.00
2 3.333959168 3.442543247 66.70 10.02
3 3.506329986 3.538293714 75.32 4.92
4 3.552707191 3.558848119 77.64 1.31
5 3.561396032 3.562441114 78.07 0.24
6 3.562867726 3.56304153 78.14 0.04
7 3.563112282 3.563141074 78.16 0.01
8 3.563152789 3.563157555 78.16 0.00
9 3.563159495 3.563160284 78.16 0.00
10 3.563160605 3.563160735 78.16 0.00
11 3.563160788 3.56316081 78.16 0.00
12 3.563160819 3.563160822 78.16 0.00
13 3.563160824 3.563160824 78.16 0.00
14 3.563160825 3.563160825 78.16 0.00
15 3.563160825 3.563160825 78.16 0.00
En la tabla adjunta vemos que se encuentra a partir de la iteracin 3 , la solucin ya que el
error de tipo relativo porcentual (4.92) se hace ms y ms pequeo , nuestra mejor
aproximacin a la raz real 3.56316082 es 3.538293714 , sealado de amarillo en la tabla adjunta.
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Con el mtodo de Newton Raphson (tres iteraciones, x0 = 3, = 0.001).
ITERACION X (FX) F'(X) MENOR A TOL
0 3 -3.2 1.5 TODAVIA NO
1 5.13333333 48.0900741 55.6866667 TODAVIA NO
2 4.26975006 12.9562436 27.1724419 TODAVIA NO
3 3.79293448 2.94760312 15.263445 TODAVIA NO
4 3.59981929 0.39797274 11.2164221 TODAVIA NO
5 3.56433803 0.0123726 10.5215237 TODAVIA NO
6 3.5631621 1.3391E-05 10.4987518 SOLUCION
7 3.56316082 1.576E-11 10.4987271 SOLUCION
8 3.56316082 -2.1316E-14 10.4987271 SOLUCION
9 3.56316082 1.4211E-14 10.4987271 SOLUCION
10 3.56316082 -2.1316E-14 10.4987271 SOLUCION
11 3.56316082 1.4211E-14 10.4987271 SOLUCION
12 3.56316082 7.1054E-15 10.4987271 SOLUCION
13 3.56316082 -2.1316E-14 10.4987271 SOLUCION
14 3.56316082 1.4211E-14 10.4987271 SOLUCION
15 3.56316082 7.1054E-15 10.4987271 SOLUCION
16 3.56316082 -2.1316E-14 10.4987271 SOLUCION
17 3.56316082 1.4211E-14 10.4987271 SOLUCION
18 3.56316082 7.1054E-15 10.4987271 SOLUCION
19 3.56316082 -2.1316E-14 10.4987271 SOLUCION
20 3.56316082 1.4211E-14 10.4987271 SOLUCION
En la tabla anterior se observa que el mtodo converge en la solucin : 3.56316082 y la
solucin real es 3.56316082.
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Con el mtodo de la secante (tres iteraciones, x-1 = 3, x0 = 4).
iteracin X0 X1 f(X0) f(X1) X2 f(X2) e(%) e*(%)
1 3 4 -3.2 6.6 3.32653061 -1.96885311 16.84
2 4 3.32653061 6.6 -1.96885311 3.48127271 -0.79591532 4.65 4.44
3 3.32653061 3.48127271 -1.96885311 -0.79591532 3.58627538 0.24786946 3.02 2.93
En las iteraciones observamos que 3.58627538 es la ms aproximada a la real 3.56316082.
Lo obtenemos realizando la iteracin en celdas: C7-(E7*(B7-C7))/(D7-E7)
