Examenes teoria electromagnetica

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    cFrancisco Medina Mena y Rafael Rodrguez Boix 1

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DE EXMENES DE LOS CURSOS 2003-2004 A 2006-2007

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 1

    Cuestin 1.-Considere el campo vectorial escrito en coordenadas cilndricas que se muestra a continuacin:

    E(, ) = 0

    40R[ cos(2)u+ sen(2)u] ; r < R

    E(, ) = 0R

    20

    1 +

    R2

    22cos(2)

    u+

    R2

    22sen(2)u

    ; r > R

    a) Demuestre que el campo vectorial cumple TODAS las condiciones para ser un campo electrosttico.

    b) Calcule las densidades de carga superficial y volumtrica que crean ese campo electrosttico.

    Cuestin 2.- Se dispone de dos discos cargados superficial-

    mente con densidades de carga uniformes +0y -0. Los dis-cos son paralelos y comparten el mismo eje de revolucin. Losdiscos tienen radioay estn separados una distancia d, siendod > a.

    a

    ax

    y

    z

    d/2

    d/2

    Figura Cuestin 2: Pareja de discos par-alelos con distribucin superficial de cargauniforme y de signos opuestos.

    Cuestin 3.-Una carga puntual positiva q > 0se encuentraa una distanciad del centro de una esfera conductora de radioa, que tambin est cargada positivamente con carga Q > 0.Indique razonadamente si ser atractiva o repulsiva la fuerzaque ejerce la esfera conductora sobre la carga puntual cuando:

    a) La carga puntual est muy cerca de la superficie de laesfera conductora (esto es, cuandod a > a).

    Figura Cuestin 3:Carga puntual positivafrente a esfera conductora aislada y cargadapositivamente.

    Cuestin 4.-Nueve cargas puntuales idnticas, de valor q, seencuentran situadas en los vrtices de un polgono regular denueve lados (vea la figura). La distancia de cada carga al centrodel polgono valea. Cul es la fuerza neta sobre una carga Qsituada en el centro del polgono?. Suponga que la cargaqsitu-ada sobre el ejexde la figura es eliminada. Cunto vale ahorala fuerza sobreQ?. Explique detalladamente los razonamientosutilizados.

    Figura Cuestin 4: Nueve cargas pun-tuales uniformemente distribuidas sobre unacircunferencia y una carga en su centro.

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    Cuestin 5.-Sobre la superficie de una esfera de radio a sedistribuye una carga superficial de forma no uniforme, siendo(, )la densidad superficial de carga con respecto a un sis-tema de coordenadas esfricas con origen en el centro de laesfera (vea la figura). Demuestre que el potencial en el centro

    de la esfera vale:

    (r = 0) = Q

    40a

    siendoQla carga total sobre la esfera. Demuestre tambin queel campo elctrico en el centro de la esfera vale:

    E(r = 0) = p

    40a3

    siendo p el momento dipolar elctrico de la distribucin de car-ga sobre la esfera.

    Figura Cuestin 5: Distribucin superfi-cial esfrica de carga no uniforme.

    Cuestin 6.-En el origen de coordenadas se encuentra situadauna carga puntual positiva de valor + 4q. A una distanciaaa lolargo de cada uno de los ejes coordenados xey(vase la figu-ra) se encuentran situadas cuatro cargas negativas de valor q.Encuentre el trmino dominante del desarrollo multipolar parael potencial en puntos alejados de la distribucin de cargas.

    Figura Cuestin 6:Distribucin de cargaspuntuales.

    Cuestin 7.- Dos superficies planas cargadas uniformementecon densidades de carga superficial +0y -0se disponen per-pendicularmente como se muestra en la figura. Calcule el cam-po elctrico en todos los puntos del espacio y dibuje las lneasde campo.

    Figura Cuestin 7:Dos planos que inter-sectan en el eje zcon cargas superficialespositiva y negativa.

    Cuestin 8.-Un anillo est uniformemente cargado con unacarga totalQ. El anillo est contenido en el planoz = 0y sucentro coincide con el origen de coordenadas (vea la figura).

    a) Calcule el campo elctrico creado en el eje del anillo yobtenga la posicin de los puntos del eje donde el mdu-lo de este campo elctrico se hace mximo.

    b) Si se coloca una carga puntual qde masamen el eje delanillo de forma que pueda moverse a lo largo del mismo,demuestre que existe un valor umbral de m por debajodel cual es posible encontrar un punto del eje en el quela carga puntual levita. Cunto vale ese valor umbral de

    m?.

    Figura Cuestin 8: Circunferencia carga-da frente a carga puntual con masa no nula.

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    Cuestin 9.-Una carga puntual de valorqse encuentra situadaen uno de los vrtices de un cubo. Determine razonadamente elflujo de campo elctrico que atraviesa cada una de las caras delcubo.

    Figura Cuestin 9: Carga puntual en ori-gen de coordenadas y cubo a travs de cuyascaras hay que calcular el flujo.

    Cuestin 10.-Una esfera de radio a, cargada uniformemente

    en volumen con densidad de carga0, se encuentra sometidaal campo elctrico creado por una carga puntual q. La cargapuntual est situada a una distancia ddel centro de la esfera(d > a). Calcule la fuerza que acta sobre la esfera.

    Figura Cuestin 10:Carga puntual frentea esfera con carga volumtrica.

    Problema 1.-Considere una anilla de radio aque est cargada uniformemente con carga positivaQ(Q >0).

    a) Calcule el campo elctrico y el potencial elctrico cread-os por la anilla en su eje de revolucin (eje zen la figura),suponiendo que el centro de la anilla coincide con el ori-gen de coordenadas.

    b) Considere una carga puntual negativa, -q(q > 0), conuna masam, situada en el eje de revolucin de la anilla auna distancia prcticamente infinita de sta. Si se sueltala carga -qpartiendo del reposo, demuestre que la cargase mover por el eje de la anilla bajo la atraccin de stay calcule la velocidad que tendr la carga puntual al pasarpor el centro de la anilla.

    c) Si la carga -q se encuentra en el centro de la anilla yse la desplaza desde este punto a lo largo del eje z unadistancia pequeaz0(z0 0)

    situada sobre el eje de revolucin de la anilla a una dis-tancia prcticamente infinita de sta. Si se obliga a estacarga a moverse a lo largo del eje de la anilla en direccinhacia la misma, qu velocidad inicial habr que comu-nicarle a la cargaqpara que llegue con velocidad nula alcentro de la anilla?.

    Figura Problema 1:Anilla circular carga-da y cargas puntuales que se mueven a lolargo del ejez.

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    Problema 2.- La regin del espacio comprendida entre losplanosz = d/2y z = +d/2est ocupada por una distribu-cin volumtrica de carga uniforme de densidad de carga 0(vea la figura).

    (a) Calcule el campo elctrico en todos los puntos del espa-

    cio.

    (b) Calcule el potencial elctrico en todos los puntos del es-pacio tomando el planoz = 0como origen de potencial.

    (c) Calcule el par de fuerzas y la fuerza neta que acta sobreun dipolo de momento dipolar p = p0uz situado en elorigen de coordenadas.

    Figura Problema 2: Distribucin laminarvolumtrica de carga uniforme y dipolo elc-trico.

    Problema 3.-Considere los dos campos vectoriales escritos en coordenadas esfricas que se muestran a contin-uacin:

    Caso 1

    E = E0cos ur+E0sen u ; r < R

    E = E0

    2R3

    r3 cos ur+

    R3

    r3 sen u

    ; r > R

    Caso 2

    E = E0

    6r

    R 4

    cos ur+E0

    4

    3r

    R

    sen u ; r < R

    E = E0

    2R3

    r3 cos ur+

    R3

    r3 sen u

    ; r > R

    a) Demuestre que los campos vectoriales cumplen TODAS las condiciones para ser campos electrostticos.

    b) Calcule las densidades de carga superficiales y volumtricas causantes de esos campos electrostticos.

    Problema 4.- Consideremos una anilla de radio a que estcargada uniformemente con una densidad de carga lineal 0.Supongamos que se coloca un dipolo elctrico en el eje de rev-olucin de la anilla a una distanciad del centro de la anilla, ysupongamos que el momento dipolar del dipolo es paralelo alplano que contiene la anilla (vea la figura). Seap0el mdulode dicho momento dipolar.

    a) Calcule el par de fuerzas que acta sobre el dipolo.

    Suponiendo que el dipolo est sujeto por su centro peropuede girar libremente alrededor de ese punto, indiquecul ser la direccin y sentido que tomar momentodipolar del dipolo en el equilibrio.

    b) Una vez que el dipolo ha girado hasta alcanzar la posi-cin de equilibrio, calcule la fuerza elctrica que actasobre el dipolo. Obtenga asimismo el valor de d para elcual dicha fuerza se anula.

    Figura Problema 4:Distribucin lineal decarga en forma de circunferencia frente adipolo.

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    Problema 5.-Dos hilos infinitos cargados uniformemente condensidades lineales de carga+0estn contenidos en el planoy =0, son paralelos al eje z y equidistan de dicho eje, tal ycomo se muestra en la figura.

    a) Calcule el campo elctrico creado por los hilos sobre los

    puntos del ejey.

    b) Calcule la fuerza que ejercen los hilos sobre un dipolo demomento dipolarp=p0 uy, situado sobre el ejey a unadistanciaddel origen de coordenadas.

    c) Demuestre que hay dos puntos del eje y en los que elcampo elctrico creado por los hilos cargados se hacemximo, y determine esos puntos.

    d) Demuestre que si el dipolo citado en el apartado b) seubica en alguno de esos puntos, estar en equilibrio.Es la posicin del dipolo una posicin de equilibrio es-

    table?.

    Figura Problema 5: Pareja de hilos in-finitos cargados interactuando con un dipoloelctrico.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 2

    Cuestin 11.- Considere un cuerpo conductor en equilibrioelectrosttico y conectado a masa (tierra), que est rodeado porotros cuerpos conductores cargados positivamente (vea la figu-ra). Indique razonadamente si las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas.

    a) La carga total del conductor a masa es nula.

    b) La densidad superficial de carga tiene el mismo signo entoda la superficie del conductor a masa.

    c) El potencial elctrico del conductor a masa es nulo.

    d) El campo elctrico es nulo tanto en el interior del con-ductor a masa como en su superficie.

    Figura Cuestin 11: Conductores car-gados positivamente frente a conductor amasa.

    Cuestin 12.-Considere un conductor en el seno de un campoelectrosttico.

    a) Puede una lnea de campo que sale de la superficie del

    conductor retornar a dicha superficie?.

    b) Pueden existir simultneamente lneas de campo queterminan en la superficie del conductor y lneas de campoque parten de dicha superficie?.

    Figura Cuestin 12: (a) Conductor del quesalen lneas de campo elctrico que vuelvensobre l. (b) Conductor al que llegan y delque salen lneas de campo elctrico.

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    Cuestin 13.-Una esfera conductora de radio a se encuentra

    situada en el centro del hueco esfrico de radio b de otra es-fera conductora de radio exterior c (vase figura). Mediante unabatera se pone la esfera interna aV0voltios. Teniendo en cuen-ta que la esfera conductora hueca est descargada, determine elpotencial de la misma y la carga que adquiere la esfera interior.

    Figura Cuestin 13: Dos esferas conduc-toras concntricas con la interior a potencialV0.

    Cuestin 14.- Considere un condensador de capacidad Ccuyasarmaduras estn cargadas con cargas +Q y -Q (Q >0). Calculeel trabajo necesariopara transferir un elemento infinitesimal decarga positivo,q >0 (q

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    Cuestin 17.-Se dispone de un recipiente cilndrico de vidriocuya base es un crculo metlico. El recipiente tiene un mbo-lo circular metlico que puede deslizar manteniendo contactohermtico con las paredes de vidrio. El recipiente est lleno deaire (cuya permitividad se supone igual a 0). En el equilibrio

    la presin dentro del recipiente vale p0y la separacin entre labase del recipiente y el mbolo valed0(vea la figura). Si a tem-peratura constante se establece una diferencia de potencialentre el mbolo y la base del recipiente, demuestre que la nuevaseparacin entre ambos,d, satisface la siguiente ecuacin:

    1

    2

    0()2)

    p0+d2 d0d= 0

    Nota: desprecie en los clculos los efectos de borde y supongaque el aire se comporta como un gas ideal.

    Figura Cuestin 17:mbolo con pistonesmetlicos sujetos a una diferencia de poten-cial.

    Cuestin 18.-Considere dos conductores macizos C1y C2, yun conductor hueco C3. Los conductores C1 y C2 se hallanalojados en el interior del conductor C3, tal y como muestrala figura. Establezca relaciones entre los coeficientes de po-tencial pij (i, j =1,2,3) y los coeficientes de capacidad Cij(i, j =1,2,3) del conjunto de tres conductores. Figura Cuestin 18:Sistema de tres con-

    ductores arbitrarios en el que dos de ellosse encuentran encerrados en una cavidad deltercero.

    Cuestin 19.-Utilizando el teorema de reciprocidad, calculeel potencial de una esfera conductora de radio R con cargaQcuyo centro dista una distancia d, (d > R) de una carga puntualq.

    Figura Cuestin 19:Carga puntual frentea esfera conductora aislada pero cargada conuna cargaQ.

    Problema 6.-Un conductor plano infinito puesto a tierra poseeuna protuberancia semicilndrica de radioa. Se coloca un hilocargado con densidad de carga lineal0a una distanciadde la

    parte plana de la superficie del conductor, dispuesto paralela-mente a la protuberancia semicilndrica, tal y como se muestraen la figura.

    a) Calcule el potencial elctrico en todos los puntos del es-pacio.

    b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que ejerce lacarga inducida en el conductor sobre el hilo cargado.

    Figura Problema 6: Lnea de carga infinitasobre plano de masa con protuberancia ciln-drica.

    Problema 7.-Considere dos esferas conductoras concntricas, una maciza de radioay otra hueca de radio interiorby radio exteriorc(a < b < c). Partimos de una situacin (situacin (a) en la figura) en la que la esfera interna estcargada con una cargaQ y la externa se encuentra descargada y aislada. Calcule en esta situacin los potenciales de

    las esferas interna y externa.A continuacin, mediante un hilo conductor, se ponen en contacto las esferas interna yexterna (situacin (b) en la figura), manteniendo aislado el conjunto de las dos esferas. Acto seguido, se desconectael hilo conductor de la esfera externa y se utiliza el mismo hilo para poner a masa la esfera interna, manteniendoaislada la esfera externa (situacin c) en la figura). Calcule en esta ltima situacin la carga de la esfera interna yel potencial de la esfera externa.

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    Figura Problema 7:Conductores esfricos concntricos en diversas situaciones.

    Problema 8.-Considere una esfera conductora de radioc quetiene dos huecos esfricos de radios b1 y b2. Dentro de esosdos huecos hay dos esferas conductoras macizas de radiosa1y

    a2(a1 < b1y a2 < b2), siendo estas dos esferas conductorasconcntricas con los huecos en los que estn ubicadas (vea lafigura). Calcule la matriz de coeficientes de capacidad del con-

    junto de las tres esferas conductoras. El espacio entre esferases aire. Figura Problema 8:Conjunto de tres con-

    ductores esfricos de distintos tamaos, dosde los cuales se encuentran en el interior desendos huecos esfricos de un tercero.

    Problema 9.-Considere dos discos conductores circulares deradioa y espesore, situados uno encima del otro y separadosuna distanciat(t

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    Problema 11.-Considere una esfera conductora de radiobquetiene un hueco esfrico concntrico de radio a. La esfera con-ductora est puesta a tierra. Se sita una carga puntual qenel interior del hueco a una distancia d del centro de la esferahueca, siendod < a (vea la figura).

    a) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio.

    b) Calcule la fuerza que acta sobre la carga puntual.

    c) Indique cmo se modifican los resultados anteriores si laesfera conductora se coloca a un potencial V0.

    Figura Problema 11: Carga puntual enhueco esfrico practicado en esfera conduc-tora a masa.

    Problema 12.- Considere tres lminas conductoras planasiguales de espesor despreciable. Las tres lminas son paralelaspero, mientras que las dos lminas de los extremos estn fijas,

    la lmina que est en medio se puede mover libremente en di-reccin perpendicular a las tres lminas. Se conectan las lmi-nas a tres generadores que las ponen a potenciales V1 =V2/4,V2y V3= V2/2(vea la figura). Si la separacin entre las lmi-nas de los extremos vale d, encuentre cunto valen en el equi-librio las distancias entre la lmina que est en medio y laslminas de los extremos (ayben la figura).

    Figura Problema 12:Tres placas conduc-toras paralelas a potenciales distintos.

    Problema 13.-Considere dos semiplanos conductores que for-man una cua. En la arista de la cua se coloca una varilla dematerial aislante que impide que los dos semiplanos se toquen(vea la figura). Uno de los semiplanos conductores se coloca aun potencial+V, y el otro a un potencial V. En esas condi-ciones:

    a) Dibuje las lneas de campo elctrico en la regin exis-tente entre los dos semiplanos conductores. Consejo: siutiliza las coordenadas adecuadas, la simetra del prob-lema le dar informacin sobre la orientacin del campoelctrico.

    b) Si se coloca un dipolo en el plano bisectriz de la cuade forma que su momento dipolar apunta perpendicular-mente a dicho plano bisectriz (vea la figura), cul es ladireccin y sentido de la fuerza que acta sobre el dipo-lo? Razone la respuesta.

    x

    y

    V

    V

    p

    Figura Problema 13:Dos placas conduc-toras semiinfinitas que forman un ngulo 2a potenciales +V y -V.

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    Problema 14.-Una superficie esfrica de radio b est carga-da uniformemente con una densidad superficial de carga 0.La superficie esfrica encierra un conductor esfrico macizo deradioa conectado a masa. La superficie esfrica y el conduc-tor esfrico a masa son concntricos. El conjunto formado por

    la superficie esfrica y el conductor a masa est situado en elinterior de un conductor esfrico hueco de radio interiorcy ex-teriord, de forma que el conductor hueco, la superficie esfricacargada y el conductor esfrico a masa son tambin concntri-cos (vea la figura). Sabiendo que el conductor esfrico huecoest descargado, determine:

    (a) El campo elctrico en todos los puntos del espacio.

    (b) El potencial elctrico en todos los puntos del espacio.

    (c) La densidad de carga superficial sobre el conductor ma-cizo, y las densidades de carga superficiales sobre las su-perficies exterior e interior del conductor hueco.

    Figura Problema 14: Distribucin super-ficial de carga esfrica entre esferas conduc-toras.

    Problema 15.- En la figura se muestran tres placas conductorasidnticas dispuestas paralelamente y separadas unas distanciaspequeas en comparacin con las dimensiones de las placas.

    a) Calcule la matriz de capacidad.

    b) Si V1 = V3 = 0 y V2 = V, calcule la fuerza que seejerce sobre la placa central en direcciones horizontal yvertical.

    Desprecie los efectos de borde en la resolucin del problema.Figura Problema 15:Tres placas conduc-toras planas y paralelas prximas entre s.

    Problema 16.-Se dispone de una esfera conductora maciza deradio a y de otra esfera conductora concntrica y hueca de radiointernob y externoc (a < b < c). La esfera interna est a unpotencialVy la esfera externa est a tierra.

    a) Calcule el potencial elctrico en todos los puntos del es-pacio as como la carga de los dos conductores.

    b) Se desconecta la esfera externa de tierra dejndola aisla-da. Asimismo, se desconecta la esfera interna del gener-

    ador que la mantiene a potencialVy se conecta a tierra.Calcule de nuevo el potencial elctrico en todos los pun-tos del espacio y la carga de los dos conductores.

    c) Calcule la variacin de energa electrosttica.

    a

    b

    c

    aislada

    a

    b

    c

    V

    Figura Problema 16:Esferas conductorasconcntricas en dos situaciones consecuti-vas.

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    Problema 17.-Considere un conductor semiinfinito puesto atierra cuya superficie es un plano que posee una protuberan-cia semiesfrica de radio a. Se coloca una carga puntual qauna distanciad (d > a) de la parte plana de la superficie delconductor (vea la figura).

    a) Calcule el potencial elctrico en todos los puntos del es-pacio.

    b) Calcule la fuerza que ejerce la carga inducida sobre lasuperficie del conductor sobre la carga puntual.

    Figura Problema 17:Carga puntual sobresuperficie conductora plana con protuberan-cia semiesfrica.

    Problema 18.-Una partcula cargada con cargaqy masamesmantenida en reposo a una distancia d de un plano conductor

    a tierra. Si la partcula se libera, calcule el tiempo que tarda enchocar contra el plano conductor a tierra.

    Figura Problema 18:Carga puntual sobresuperficie conductora plana en movimientobaja la accin de la fuerza apropiada.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 3

    Cuestin 20.-Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta:

    a) Dos puntos de una lnea de campo elctrico estn al mismo potencial elctrico si en el tramo de lnea situadoentre los dos puntos no hay ninguna carga.

    b) Como una carga puntual no ocupa volumen, el campo elctrico que crea la carga tiene divergencia nula entodos los puntos del espacio.

    c) Si se tiene un cuerpo polarizado en ausencia de cargas libres, el vector D necesariamente es cero en todoslos puntos del espacio.

    d) La componente del vector desplazamiento elctrico perpendicular a la superficie de separacin entre dosdielctricos es siempre continua.

    Cuestin 21.- La superficie plana de un dielctrico est en con-tacto con el aire, cuya permitividad supondremos igual a 0.

    Se sabe que la direccin del campo elctrico en el aire formaun ngulo/6con la normal a la superficie del dielctrico, yque el mdulo del campo elctrico en el aire vale 100 V/m.Asimismo, la direccin del campo elctrico en el interior deldielctrico forma un ngulo/3con la normal (vea la figura).Calcule:

    a) La permitividad relativa del dielctrico.

    b) El mdulo del campo elctrico en el interior del dielc-trico.

    c) La densidad superficial de carga de polarizacin en la

    superficie del dielctrico.

    Figura Cuestin 21: Refraccin de lneade campo elctrico al atravesar la fronteraentre un dielctrico de permitividad relativary el vaco.

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    cFrancisco Medina Mena y Rafael Rodrguez Boix 12

    Cuestin 22.- Una lnea de campo elctrico se refracta al atrav-esar la superficie de separacin entre dos dielctricos diferentesde permitividades1y2(vea la figura). Si1y2son los n-gulos que forma la lnea de campo elctrico en cada medio conla normal a la superficie de separacin y se cumple que 2 > 1(vea la figura), indique razonadamente cul de los dos dielc-tricos tiene mayor permitividad.

    Figura Cuestin 22: Refraccin de lneade campo elctrico al atravesar la fronteraentre dos dielctricos de permitividades dis-tintas.

    Cuestin 23.- Una carga puntual q se encuentra situada enla frontera plana de separacin entre dos medios dielctricossemiinfinitos de permitividades1y2. Calcule el campo elc-trico, el vector desplazamiento y la polarizacin en todos lospuntos del espacio.

    Figura Cuestin 23: Carga puntual en lafrontera de separacin entre dos dielctri-cos.

    Cuestin 24.- Considere un condensador de placas planas yparalelas entre las cuales slo hay aire. Se conectan las placasdel condensador a los polos de una pila de Vvoltios. A con-tinuacin se desconecta la pila. Una vez desconectada la pila,se introduce entre las placas una lmina dielctrica de permi-tividad = 3 0 que ocupa todo el espacio entre las placas.Despreciando los efectos de borde, determine cmo se modi-fica el campo elctrico, el vector desplazamiento, la diferenciade potencial entre las placas, la carga libre de las placas, la ca-pacidad y la energa electrosttica. En caso de que sta ltimahaya variado, razone cul es el origen de tal variacin. Figura Cuestin 24:Condensador de pla-

    cas paralelas antes y despus de ser cargado

    con una lmina dielctrica.

    Cuestin 25.- Considere un condensador de placas planas yparalelas entre las cuales slo hay aire. Se conecta una pila alas placas del condensador. Manteniendo conectada la pila, seintroduce entre las placas una lmina dielctrica de permitivi-dad =30 que ocupa todo el espacio entre las placas. Des-preciando los efectos de borde, determine cmo se modificanal introducir la lmina dielctrica el campo elctrico, el vec-tor desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas,la carga libre sobre las placas, la capacidad y la energa elec-

    trosttica.Figura Cuestin 25:Condensador de pla-cas paralelas antes y despus de ser cargadocon una lmina dielctrica a potencial con-stante.

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    cFrancisco Medina Mena y Rafael Rodrguez Boix 13

    Cuestin 26.-Considere un cilindro dielctrico infinito de sec-cin circular de radio a (permitividad del material ). En eleje de ese cilindro hay un hilo de radio despreciable cargado

    con una densidad de carga lineal uniforme 0C/m. Calcule elcampo elctrico, el vector desplazamiento, la polarizacin y lasdensidades de carga de polarizacin en TODOS los puntos delespacio.

    a

    Figura Cuestin 26: Densidad de cargalineal en el eje central de un cilindro dielc-trico.

    Cuestin 27.- Considere un condensador formado por unapareja de placas conductoras circulares de radio a dispues-

    tas paralelamente. Las placas estn separadas una distanciad, significativamente menor que a (se pueden despreciar losefectos de borde). El condensador est cerrado mediante unapared dielctrica lateral de espesor despreciable (cuya permi-tividad relativa vale aproximadamente uno). Se rellena el con-densador hasta la mitad con un lquido dielctrico de permi-tividadr0. A continuacin se conecta a una pila de f.e.m.V0voltios. Cunto vale la capacidad del condensador?. Y laenerga electrosttica almacenada entre las placas?. Si se retirala pila y se orienta el condensador verticalmente, tal y comose muestra en la figura, cunto valen ahora la capacidad y laenerga electrosttica?.

    d/2

    d/2

    2a

    r

    V0

    r

    Figura Cuestin 27:Condensador de pla-

    cas paralelas circulares parcialmente rellenode un dielctrico lquido hasta la mitad colo-cado horizontal y verticalmente.

    Cuestin 28.-Un condensador esfrico de radio interno a yradio externobest completamente lleno de un lquido dielc-trico de permitividad =20. Mediante una pila se colocan lasarmaduras del condensador a una diferencia de potencial V.Desconectamos la pila del condensador y, a continuacin, ex-traemos el lquido dielctrico mediante una jeringuilla. Indiquecunto valen la carga de las armaduras, la diferencia de poten-

    cial y la energa electrosttica almacenada antes y despus deextraer el lquido. Cmo justificara la variacin de energaelectrosttica que ha tenido lugar en trminos mecnicos?.

    Figura Cuestin 28: Condensador esfri-

    co con un dielctrico en su interior al quese aplica una diferencia de potencial medi-ante una batera que, posteriormente, se de-sconecta. Acto seguido se extrae el lquidodielctrico mediante una jeringuilla.

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    Cuestin 29.- Las placas de un condensador plano se sumergenparcialmente en un lquido dielctrico, como se muestra en la

    figura. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placasel lquido dielctrico experimenta un empuje que le hace subirpor encima del nivel del lquido fuera del condensador. Cules el origen fsico de la fuerza responsable de este fenmeno?.

    Figura Cuestin 29:Condensador de pla-cas paralelas parcialmente sumergido en unlquido dielctrico y conectado a una baterade f.e.m.V.

    Cuestin 30.-Una carga puntual qse encuentra situada en elcentro de un hueco esfrico de radio a y relleno de aire (cuyapermitividad se supone igual a0), practicado en el seno de unmedio infinito de constante dielctrica relativar.

    a) Calcule los campos E, D y P en todos los puntos delespacio.

    b) Calcule las cargas de polarizacin. Figura Cuestin 30: Carga puntual en el

    centro de un hueco esfrico vaco practica-do en un dielctrico de extensin infinita depermitividad relativar .

    Problema 19.-Considere un condensador esfrico compuestopor dos conductores esfricos concntricos, uno macizo de ra-dioay otro hueco de radio interno b(a < b). El espacio entrelos conductores est ocupado por un dielctrico de permitivi-dad. Se conecta una pila entre los conductores que estableceentre ellos una diferencia de potencialV0. Manteniendo conec-tada la pila, el conductor externo se dilata por efecto del calory se despega del dielctrico de manera que su forma esfrica semantiene y su radio interno pasa a valer b =b(1 +)( >0),tal y como muestra la figura. Calcule:

    a) Los vectores campo elctrico y desplazamiento en el es-pacio existente entre los conductores, antes y despus dela dilatacin.

    b) La relacin entre los valores de la capacidad antes y de-spus de la dilatacin y el valor aproximado que tomaesta relacin cuando

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    Problema 20.- Un condensador cilndrico est formado por dosconductores cilndricos concntricos, uno macizo de radio ay otro hueco de radio interior b (a < b). Las dos bases delcilindro as formado estn cerradas por lminas dielctricas depermitividad relativa aproximadamente igual a uno. Estando elespacio entre las placas ocupado por aire y estando el conden-sador apoyado sobre una de sus bases, se llena ste de un lqui-do dielctrico de permitividad hasta la mitad. A continua-cin, mediante una batera de corriente continua, se estableceuna diferencia de potencialV0entre los conductores. Cuntovalen la carga libre en los conductores, lacapacidad y la energaelectrosttica almacenada?. Ahora se desconecta la batera y sevuelca el condensador apoyndolo sobre su superficie lateral.Diga cunto valen ahora la carga libre, la capacidad, la diferen-cia de potencial entre los conductores y la energa electrostti-

    caalmacenada. Nota: en la realizacin del problema, desprecielos efectos de borde en los extremos del condensador cilndri-co.

    Figura Problema 20: Condensador ciln-drico parcialmente relleno de dielctricolquido en posiciones vertical y horizontal.

    Problema 21.- Considere un condensador esfrico formadopor dos esferas metlicas, una maciza de radio ay otra hue-ca de radio interiorb(b > a).

    a) Se establece con un generador una diferencia de poten-

    cialVentre los dos conductores del condensador. Actoseguido, se desconecta el generador y se llena la mitaddel hueco existente entre las dos esferas con un lquidodielctrico de permitividad (vea la figura). Calcule losvectoresE,DyPen la regin comprendida entre las dosesferas despus de introducir el lquido. Calcule tambinlas variaciones de capacidad y de energa electrostticacon respecto a la situacin inicial. Aumenta o dismin-uye la energa electrosttica?. Por qu?.

    b) Repita el apartado anterior si se introduce el lquido sindesconectar el generador.

    Figura Problema 21:Condensador esfri-co que, tras ser cargado mediante una baterade f.e.m. Vse rellena hasta la mitad de unlquido dielctrico.

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    Problema 22.-Considere dos conductores esfricos concntri-cos, uno macizo de radioa y otro hueco de radio interno b yradio externo c(a < b < c). La mitad del espacio entre losconductores est ocupada por un dielctrico de permitividad y la otra mitad est ocupada por aire (cuya permitividad supon-

    dremos igual a0), siendo la superficie de separacin entre eldielctrico y el aire una superficie plana ortogonal a la super-ficie de los conductores esfricos (vea la figura). El exteriordel conductor esfrico hueco est tambin ocupado por aire (depermitividad0).

    a) Si el conductor esfrico macizo se coloca a un potencialV1y el conductor esfrico hueco se conecta a tierra, cal-cule el campo elctrico en todos los puntos del espacio yla carga total que adquiere cada uno de los dos conduc-tores.

    b) Si el conductor esfrico macizo se conecta a tierra y el

    conductor esfrico hueco se coloca a un potencial V2,calcule el campo elctrico en todos los puntos del es-pacio y la carga total que adquiere cada uno de los dosconductores.

    c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados a) yb), determine la matriz de capacidad del conjunto de dosconductores descrito.

    a

    c

    b

    apartado a)

    V1

    apartado b)

    c

    V

    a

    b

    V2

    Figura Problema 22:Sistema de dos con-ductores esfricos con dielctrico no ho-mogneo con dos excitaciones diferentes.

    Problema 23.- Se dispone de un condensador de placas parale-

    las rectangulares que estn separadas una distancia s. El con-densador se sumerge parcialmente en un lquido dielctrico depermitividad, manteniendo las placas perpendiculares a la su-perficie de separacin entre el lquido y el aire (vea la figura).Si se aplica una diferencia de potencial Ventre las placas delcondensador mediante una batera de corriente continua, se ob-serva que el lquido asciende una altura h en la regin com-prendida entre las placas. Sabiendo que la densidad msica dellquido valem, calcule cunto valeh. Al determinarhsupon-ga que la permitividad del aire vale0.

    Figura Problema 23: Condensador deplacas paralelas parcialmente sumergidasen lquido dielctrico y conectado a unabatera.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 4

    Cuestin 31.-Entre dos discos conductores perfectos de radioase coloca otro disco de espesordy del mismo radio fabricadocon un material semiaislante de permitividad = r0y con-ductividad. Decimos que la capacidad del condensador asformado es C = a2/d, y la resistencia de fugas del mismoesR = d/(a2). Diga cul de esas expresiones es aproxima-da y cul es exacta, explicando razonadamente su respuesta.

    Figura Cuestin 31:Condensador de pla-cas paralelas circulares con dielctrico conprdidas hmicas en su interior.

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    Cuestin 32.- Se dispone de dos electrodos metlicos esfricos

    concntricos, uno macizo interior de radioa y otro hueco de ra-dio internob (b > a). Tres cuartas partes del espacio entre loselectrodos est ocupada por un dielctrico ideal de permitivi-dad1y conductividad nula, siendo la cuarta parte restante unmaterial de permitividad2y conductividad2(mucho menorque la conductividad del metal). Calcule la resistencia existenteentre los dos electrodos metlicos.

    Figura Cuestin 32: Sistema de dos con-ductores esfricos concntricos separadospor dos medios diferentes, uno aislante idealy el otro aislante con prdidas hmicas.

    Cuestin 33.-Se dispone de un recipiente cilndrico lleno demercurio cuya altura valeh, y cuya seccin transversal tiene unreaA. Entre los extremos del recipiente se aplica una diferen-cia de potencialVmediante un generador de resistencia inter-na despreciable. Si el mismo volumen de mercurio se vierte enotro recipiente cilndrico cuya seccin transversal tiene un reaA = A/2 y aplicamos la misma diferencia de potencial Ventre los extremos, cmo se modifican el campo elctrico, laresistencia, la densidad de corriente y la intensidad de corrientecomo consecuencia del cambio de forma del recipiente?.

    Figura Cuestin 33: Dos resistores demercurio con diferentes longitudes y sec-ciones pero con el mismo volumen.

    Cuestin 34.- Considere un resistor con forma de media coronacircular, que ha sido fabricado con un material conductor po-bre de conductividad (tpicamente en la prctica se usa grafitomezclado con un aglutinante). El resistor tiene un espesor h, yay b son los radios interior y exterior de la media corona cir-cular (vea la figura). Si los extremos del resistor se conectan

    a dos electrodos metlicos como se muestra en la figura, cal-cule la resistencia entre los electrodos en funcin dey de lasdimensiones del resistor. Figura Cuestin 34:Resistor en forma de

    corona semicircular con sus electrodos decontacto de muy alta conductividad.

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    Cuestin 35.-Una corriente pasa a travs de la interfase planaentre dos aleaciones metlicas de nicromo (nquel 65 %, hierro23 % y cromo 12 %) y constantn (cobre 60 % y nquel 40 %).En el nicromo las lneas de corriente forman un ngulo de 45o

    con la normal a la interfase, y en el contastn, de 64o.

    a) Si la conductividad del nicromo vale 1= 106 (m)1,cunto vale la conductividad del constantn?.

    b) Si el campo elctrico en el nicromo tiene un mdulo de104 V/cm, cunto vale el mdulo del campo elctri-co en el constantn?. Calcule tambin el mdulo de ladensidad de corriente en las dos aleaciones.

    Figura Cuestin 35: Refraccin de unalnea de corriente elctrica al atravesar lafrontera plana de separacin entre dos mues-tras de diferentes conductores.

    Problema 24.-Un cable de longitud infinita est fabricado con dos conductores cilndricos coaxiales, uno macizode conductividad1y radioa, y otro hueco de conductividad2, radio internoay radio externob(vea la figura).Por el cable circula una corriente de intensidad Ien la direccin del eje de revolucin de los conductores.

    a) Calcule el campo elctrico y la densidad de corriente en

    el interior de los conductores.

    b) Calcule la intensidad de corriente que circula por cadaconductor.

    c) Calcule la resistencia de un tramo de longitudl, la difer-encia de potencial entre los extremos y la potencia con-sumida por efecto Joule.

    d) Obtenga el valor numrico de las magnitudes requeri-das en los apartados b) y c) cuando a = 0,5 cm,b = 1,5 cm, 1 = 1,03107 (m)1 (acero), 2 =3,77107 (m)1 (aluminio),I =1.000 A y l =300

    m.

    Figura Problema 24: Cable conductorfabricado con dos conductores diferentes atravs del cul circula una corriente.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 5

    Cuestin 36.- Considere una espira no plana cuyo contornocoincide con seis de las aristas de un cubo (como se muestra enla figura). La espira transporta una corriente de intensidad Iycada arista del cubo tiene una longitud l. Aplicando el principiode superposicin, calcule:

    a) Un vector unitario que nos d la direccin y sentido delcampo magntico en el vrtice A del cubo que se muestraen la figura.

    b) El momento dipolar magntico de la espira.Figura Cuestin 36:Espira no plana sobrelas aristas de un cubo.

    Cuestin 37.-Un electrn tiene masa mey carga -e. Se va a utilizar para medir un campo elctrico y un campomagntico (uniformes y estticos) que hay en una cierta regin del espacio.

    a) Se sita el electrn en reposo en dicha regin y se observa que adquiere una aceleracin a= a2uy, siendoa2constante.

    b) Se introduce el electrn en la regin con velocidad inicial v= v

    0ux

    , y en ese instante, adquiere una acel-eracin a =a2uy+a3uz.

    c) Se introduce el electrn en la regin con velocidad inicial v =v0uyy adquiere una aceleracin a =a2uy .

    Calcule los campos elctrico y magntico en la regin considerada en funcin de los datos del problema.

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    Figura Cuestin 37:Electrn que se mueve en diferentes circunstancias bajo la accin de un campo elctrico y un campomagntico desconocidos.

    Cuestin 38.-Una espira circular de radioapor la que circulauna corriente de intensidad I2se encuentra situada en el interiorde un solenoide cilndrico de longitudhy radiob(h >>> b >

    a), de forma que el centro de la espira coincide con el centrodel solenoide. El solenoide se ha fabricado con un bobinado deNvueltas de hilo de cobre esmaltado, y por el hilo circula unacorriente de intensidadI1. Si el eje de revolucin de la espiraforma un ngulo con el eje del solenoide, calcule el par defuerzas que acta sobre la espira.

    Figura Cuestin 38:Espira circular planaen el interior de un solenoide recto cilndri-co.

    Cuestin 39.-En la figura se muestra una espira que transportauna corriente estacionaria de intensidadI.

    a) Calcule el campo magntico creado por la espira en elorigen de coordenadas.

    b) Si se coloca un dipolo de momento dipolarm= m0uxen el origen de coordenadas de forma que est sujeto porsu centro, calcule el par de fuerzas sobre el dipolo. In-dique asimismo la direccin y sentido que debe tomar elmomento dipolar para que el dipolo se encuentre en unaposicin de equilibrio estable. Figura Cuestin 39:Espira plana con for-

    ma de sector de corona circular y dipolo

    magntico.

    Cuestin 40.- Con un hilo de un material conductor de conduc-tividad se construye un solenoide de Nvueltas, radio a y lon-gitudh. A continuacin, se conecta el solenoide a un generadorde corriente continua de fuerza electromotriz V0 y resistenciainterna despreciable (vea la figura). Si con el mismo hilo con-ductor se construye un segundo solenoide de 2Nvueltas, radioay longitudh, y este segundo solenoide se conecta al mismogenerador que el primero (vea de nuevo la figura), establez-ca una relacin entre las resistencias de los dos solenoides, lasintensidades de corriente que los atraviesan, los campos mag-nticos existentes en su interior, y las potencias disipadas por

    efecto Joule. Desprecie los efectos de borde en el clculo de loscampos magnticos.

    V0

    h

    2N

    vueltas

    V0

    h

    N

    vueltas

    2a 2a

    Figura Cuestin 40: Dos solenoides con-struidos con el mismo tipo de hilo conductory con diferente nmero de vueltas.

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    Cuestin 41.-Sea el potencial vector magntico siguiente:

    A =0J0

    a

    2

    2

    3

    u ; < a ; A =

    0J0a3

    6 u ; > a

    a) Calcule el campo magntico.

    b) Calcule la densidad de corriente que crea el campo magntico.

    c) Calcule el flujo magntico a travs de un crculo de radio R > acentrado en el ejez y situado en un planoperpendicular a dicho eje.

    Problema 25.-Estudie las siguientes situaciones:

    a) Considere un conductor laminar con forma de mediasuperficie cilndrica de radio c y longitud infinita (vea

    la figura a). Por el conductor circula una corriente uni-formemente distribuida de intensidad Ien la direccindel eje de revolucin de la superficie cilndrica (eje z enla figura). Calcule el campo magntico en los puntos dedicho eje.

    b) Considere ahora un conductor volumtrico con forma demedio cilindro hueco de radio internoa y radio externob. Por el conductor circula una corriente uniformementedistribuida de intensidad Ien la direccin del eje z dela figura. Utilizando los resultados del apartado anterior,calcule de nuevo el campo magntico producido por esadistribucin de corriente en los puntos del eje z.

    c) Si al conductor del apartado anterior le aadimos la mi-tad que le falta para formar un cilindro hueco completopor el que circula una corriente de intensidad 2I, cun-to valdra ahora el campo magntico en los puntos deleje z (eje de revolucin del cilindro hueco completo)?.Podra calcular en este caso de forma sencilla el campomagntico creado en todos los puntos del espacio (estoes, no slo en el eje)?. Por qu no sera tan fcil calcu-larlo en el caso tratado en el apartado (b)?.

    c

    z

    y

    x I

    Caso a)

    z

    y

    x

    a

    I

    b

    Caso b)

    Figura Problema 25: Distribuciones su-perficial (a) y volumtrica (b) de corrientecon forma semicilndrica.

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    Problema 26.-Calcule el coeficiente de induccin mutua entrelas parejas de espiras siguientes:

    a) Un solenoide toroidal de seccin rectangular y un hi-lo conductor infinito situado en el eje de revolucin delsolenoide. El solenoide toroidal se ha fabricado con unbobinado deNvueltas, y sus dimensiones son las que semuestran en la figura. El hilo infinito puede considerarseparte de una espira que se cierra por el infinito.

    b) Dos hilos conductores infinitos paralelos separados unadistancia d (que forman parte de una misma espira que secierra por el infinito, y por lo tanto, transportan la mismacorriente en sentidos contrarios) y una espira rectangularque se encuentra en el mismo plano que los hilos. Las

    dimensiones de la espira rectangular y su distancia a loshilos se muestran en la figura.

    I1

    I2

    a

    b

    N vueltas

    h

    Caso (a)

    I1

    I1I

    2

    a

    b

    c

    d

    Caso (b)

    Figura Problema 26: Dos casos de pare-jas de circuitos elctricos cerrados acopladosmagnticamente.

    Problema 27.-Aunque es habitual suponer que la corriente enlos solenoides lleva siempre direccin perpendicular al eje, enla prctica eso no suele ocurrir. Considere un solenoide ciln-drico infinito de radio a en el que el hilo conductor enrolladoalrededor del solenoide tiene forma helicoidal, y en el que ladireccin de la corriente forma un ngulo con el plano per-

    pendicular al eje de revolucin del solenoide (vea la figura).SeaIla intensidad de corriente que circula por el hilo conduc-tor. Si el bobinado del hilo conductor es denso y uniforme, sepuede demostrar que el solenoide se puede modelar medianteun conductor cilndrico laminar por el que circula una corrientesuperficial de densidad de corriente:

    K =K0(cos u+senuz)

    siendo K0 = I/(2asen), y siendo el eje z el eje de rev-olucin del solenoide. Utilizando el modelo que se acaba dedescribir basado en el conductor cilndrico laminar, obtenga elcampo magntico creado por el solenoide en todos los puntos

    del espacio.

    Figura Problema 27:Tramo de solenoide

    cilndrico con bobina enrollada de forma he-licoidal.

    Problema 28.-Una espira circular de radioa est recorrida por una corriente estacionaria de intensidadI. Si sehace coincidir el centro de la espira con el origen de coordenadas y se hace coincidir el eje de revolucin de laespira con el ejez (vea la figura), es posible demostrar que el campo magntico creado por la espira en todos lospuntos del espacio admite en coordenadas cilndricas una expresin del tipo B =B(, z)u+Bz(, z)uz.

    a) Obtenga el valor del campo magntico en el eje de revolucin de la espira.

    b) Demuestre que en puntos prximos al eje de revolucin de la espira (esto es, en puntos para los que

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    c) Utilizando el resultado obtenido en el apartado c), de-muestre que en puntos prximos al eje de revolucin dela espira, la componente axial del campo magntico se

    puede aproximar por:

    Bz(, z)]

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    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 6

    Cuestin 42.-Puede acelerarse una partcula cargada mediante un campo magntico estacionario?. Puede estecampo cambiar la energa cintica de dicha partcula? Es posible cambiar la energa cintica de la partcula cargadamediante un campo magntico variable en el tiempo? Justifique las respuestas.

    Cuestin 43.-Una barra metlica de longitud l gira alrededorde un eje perpendicular a uno de sus extremos (ejezen la figu-ra) con velocidad angular constante0. Si la barra est situadaen una regin donde existe un campo magntico uniformeB=B0 uz, calcule la diferencia de potencial entre los extremos dela barra (puntosAyBen la figura).

    Figura Cuestin 43: Barra metlica gira-toria en el seno de un campo uniforme par-alelo a la velocidad angular.

    Cuestin 44.-Es posible obtener un campo elctrico cuyas lneas de campo sean cerradas (circunferencias, porejemplo)?. Razone la respuesta. En caso de que la respuesta sea afirmativa, sugiera un ejemplo de sistema fsicoque sea capaz de crear un campo elctrico con lneas de campo cerradas.

    Cuestin 45.-El estudio de la energa magnetosttica se posterga hasta que ha concluido el estudio de la ley deFaraday. Puede explicar por qu?.

    Cuestin 46.-Se dispone de dos anillos metlicos R y Squecuelgan de dos hilos idnticos. Los anillos son iguales excepto

    en el hecho de queSest partido como se muestra en la figura.Se hace oscilar a los anillos alrededor de un eje que pasa porcada hilo (esto es, se convierten en sendos pndulos de torsin)en presencia de un campo magntico uniforme perpendicular adicho eje (vea la figura). Cul de los dos anillos se detendrantes?. Razone la respuesta.

    Figura Cuestin 46: Par de anillos con-ductores que pueden oscilar alrededor del hi-lo del que se suspenden en el seno de uncampo magntico esttico. Uno est comple-to y el otro est partido.

    Cuestin 47.-En la figura se muestra un imn cilndrico situa-do frente a un solenoide cilndrico cortocircuitado. Si el imn seacerca al solenoide (vea la figura), indique razonadamente culser el sentido de la corriente inducida en el solenoide. Asimis-mo, indique razonadamente cul ser el sentido de la fuerzamagntica que ejerce la corriente inducida en el solenoide so-bre el imn. Repita la cuestin para el caso en el que el imn sealeja del solenoide (vea de nuevo la figura).

    Figura Cuestin 47:Imn que se acerca ose aleja a un solenoide cortocircuitado.

    Problema 31.-Un hilo conductor de resistencia despreciable con forma de U est conectado a un interruptor y aun generador de fuerza electromotriz (fem)V0y resistencia interna despreciable. Sobre el hilo conductor descansauna barra conductora de longituda, masamy resistencia elctricaR. La barra puede deslizar sin rozamiento sobreel hilo conductor de forma que la barra se mantiene siempre paralela a uno de los lados del hilo conductor conforma de U (paralela al eje y en la figura). La autoinduccin del circuito formado por el hilo con forma de U y labarra es despreciable. En la regin donde se encuentran el hilo conductor y la barra conductora se ha aplicado un

    campo magntico uniforme B =B0uzdirigido perpendicularmente al plano que contiene al hilo en U y a la barradeslizante (vase la figura). Si en el instante t = 0se cierra el interruptor, calcule:

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    a) La velocidad de la barra en funcin del tiem-po, v =vx(t)ux.

    b) La intensidad de la corrienteI(t)que circulapor el circuito formado por el hilo en U y labarra.

    c) La energa cintica que adquiere la barra en elestado estacionario, la energa total disipadaen la barra por efecto Joule y la energa totalentregada por el generador. Compruebe quese satisface el principio de conservacin dela energa.

    x

    y

    z

    B u=B0 z

    m, R

    v u=v (t)x x

    V0

    t=0

    I(t)

    Figura Problema 31: Barra conductora de resistenciaRy masamque desliza sin friccin sobre unos rales enel seno de un campo magntico uniforme.

    Problema 32.-Una espira cuadrada de lado ase mueve uniformemente con velocidad v = v0uxen el plano quecontiene al origen de coordenadas y a los ejes x e y (vea la figura). En t = 0la espira empieza a introducirse enuna regin semiinfinita (x > 0en la figura) en la que existe un campo magnetosttico uniforme B = B0uz. Laespira tiene masam, resistenciaRy autoinduccin despreciable. Sabiendo quev0 = (2a3B20)/(mR):

    a) Justifique el sentido de la corriente induci-da mediante la ley de Lenz. Qu efectosmecnicos tiene esta corriente inducida?.

    b) Calcule el tiempo que tarda la espira en entrarcompletamente en la regin de campo mag-ntico uniforme. Calcule tambin la intensi-dad de corriente inducida en la espira en fun-cin del tiempo.

    c) Calcule la velocidad de la espira en funcindel tiempo.

    d) Demuestre que la diferencia entre la energacintica que posea la espira antes de entraren la regin de campo magntico y la energacintica que posee la espira despus de entrarcompletamente en la regin de campo mag-ntico coincide con el calor disipado en la es-pira por efecto Joule (esto es, demuestre quese cumple el principio de conservacin de laenerga).

    Figura Problema 32:Espira cuadrada que se aproximacon velocidad constantev=v0uxa una regin semiinfini-ta con campo magntico esttico y uniforme .

    Problema 33.-Considere un conductor laminar plano infinito que ocupa todo el plano z = 0. Por el conductorlaminar circula una corriente estacionaria que en t = 0empieza a disminuir gradualmente hasta hacerse cero. Lavariacin con el tiempo de la densidad superficial de corriente en el conductor se modela mediante la ecuacin

    K(t) =

    K0 uy t

    Suponiendo que la variacin con el tiempo deK(t) es cuasiestacionaria:

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    a) Calcule el campo magntico en todos los puntos del espacioen funcin del tiempo.

    b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espacio enfuncin del tiempo. Tome como origen de potencial vector elplanoz = 0.

    c) Calcule el campo elctrico creado por la corriente en todos lospuntos del espacio en funcin del tiempo.

    d) Considere una carga puntualqde masamque se mantiene su-jeta a una distanciad del conductor laminar cuandot < 0, ysuponga que ent= 0se libera dicha carga puntual, permitien-do que se mueva libremente a partir del reposo. Suponiendoque la fuerza magntica que acta sobre la carga puntual esdespreciable frente a la elctrica, calcule la aceleracin que

    acta sobre la carga puntual y obtenga la energa cintica queadquiere una vez que se ha alcanzado el estado estacionario.Figura Problema 33: Distribucinplana de corriente superficial variableen el tiempo de forma lineal. Una car-ga qde masa m se encuentra en susproximidades.

    Problema 34.-Considere una espira circular de radio b que yace en el plano xy y cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas. Asimismo, considere tambin una pequea espira circular de radio a(a

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    a) La intensidad de la corriente inducida en el circuito for-mado por la varilla, los rales conductores y la resistenciaR en funcin de la velocidad de cada. Cul es el sentidode la corriente inducida?.

    b) La fuerza magntica que acta sobre la corriente induci-da.

    c) La ecuacin diferencial para la velocidad de cada y lasolucin de esa ecuacin diferencial.

    d) Los valores lmite que toman la intensidad de la corrienteinducida y la velocidad de cada cuando ha pasado untiempo suficientemente largo.

    Figura Problema 35: Varilla conductoraperfecta de masa mv que cae apoyada endos hilos conductores perfectos en el senodel campo magntico producido por un hilo

    de corriente.

    Problema 36.-Una espira conductora de radio a, masaM, re-sistencia elctricaRy autoinduccin despreciable cae partien-do del reposo de forma que el plano de la espira es siempre per-pendicular al ejezy su centro est contenido en dicho eje (veala figura). Esta cada se lleva a cabo en la presencia del campomagntico creado por un dipolo magntico situado en el origende coordenadas de momento dipolar magntico m =m0uz.

    a) Calcule el potencial vector y el campo magntico creadopor el dipolo sobre los puntos de la espira en trminos delos vectores unitarios del sistema de coordenadas ciln-dricas.

    b) Obtenga la intensidad de la corriente inducida en trmi-nos de la posicin de la espira y de su velocidad. Qusentido tiene la corriente inducida si m0 > 0?.

    c) Calcule la fuerza magntica que acta sobre la corrienteinducida.

    d) Obtenga la ecuacin de movimiento de la espira(ecuacin diferencial paraza(t)) sin resolverla.

    Figura Problema 36: Espira conductorade masa M y resistencia R que cae en elseno del campo magntico producido por undipolo magntico situado en el origen de co-ordenadas sobre su vertical.

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    Problema 37.-Considere un campo magntico B = Bu+Bzuz (B y Bz son las componentes del campo en coorde-nadas cilndricas) que tiene simetra de revolucin alrededordel ejez . En las proximidades del eje z la componenteBz se

    puede aproximar porBz B0+kz(B0y kson constantes).a) Sabiendo que el campo magntico est acotado en los

    puntos del ejez , demuestre que en las proximidades deeste eje se cumple queB k/2.

    b) Considere ahora un pequeo anillo conductor de radioa, masam, resistenciaR y autoinduccin despreciable.Suponga que este anillo se sita en el seno del campomagntico anteriormente descrito de manera que su cen-tro est situado sobre el eje zy el anillo est contenido enun plano perpendicular a este eje (vea la figura). Supon-ga que, a continuacin, se deja caer el anillo. Calcule la

    velocidad del anillo en funcin del tiempo, as como laintensidad de la corriente inducida en el anillo.

    c) Cul es el valor lmite que toman la velocidad y de laintensidad de la corriente cuando ha pasado un tiemposuficientemente largo?

    Figura Problema 37: Espira conductorade masa m, resistencia R, radio pequeo ay autoinduccin despreciable, que cae en elseno del campo magntico a que se refiere elenunciado.

    Problema 38.-Considere una espira cuadrada de lado l que yace en el plano xy, cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas. Asimismo, considere tambin una pequea espira circular de radioapor la que circula unacorriente de intensidadI0(impuesta por una fuente de intensidad, tal y como se muestra en la figura), cuyo centrotambin coincide con el origen de coordenadas. La espira circular rota en torno al eje xcon una velocidad angularconstante.

    a) Calcule el coeficiente de induccin mutua entre las espi-ras, suponiendo quea l.

    b) Calcule la intensidad de corriente inducida en la espiracuadrada, suponiendo que su resistencia valeRy que suautoinduccin es despreciable (L 0).

    c) Calcule el par de fuerzas que hay que aplicar a la espirapequea para mantenerla en rotacin a velocidad angu-lar constante (consejo: trate la espira pequea como undipolo magntico).

    d) Calcule la potencia mecnica entregada a la espira pe-quea y demuestre que coincide con la potencia disipadapor efecto Joule en la espira cuadrada.

    Figura Problema 38: Pequea espira cir-cular de corriente que gira en torno al eje

    xen la presencia de una espira cuadrada demayor tamao.

    Problema 39.-En el planox = 0hay un conductor laminar infinito que transporta una corriente estacionaria dedensidad superficialK = K0uy. Una espira rectangular de dimensiones a bse mueve en el planoz = 0convelocidad constante v = v0ux, tal y como muestra la figura. En el instante t = 0el lado derecho de la espiratoca el conductor laminar y, a continuacin, la espira atraviesa el conductor laminar sin que en ningn momentosu movimiento deje de ser uniforme.

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    a) Si la espira tiene una resistenciaR y una autoinduccindespreciable, calcule la intensidad de corriente inducidaque circula por la espira en funcin del tiempo e indiqueel sentido de dicha corriente.

    b) Bajo las condiciones del apartado a), calcule la energamecnica entregada a la espira en movimiento uniformey demuestre que esta energa coincide con el calor disi-pado en la espira por efecto Joule.

    c) Si la espira tiene una resistenciaR y una autoinduccinL, calcule la intensidad de la corriente inducida en la es-pira en funcin del tiempo. Figura Problema 39: Espira rectangular

    que se aproxima a velocidad constante almina de corriente superficial uniforme.

    Problema 40.-En la figura se muestra un circuito formado por un rail rgido doblado en forma de U con una barra

    mvil que puede deslizar sin friccin sobre dicho rail. Los materiales considerados son conductores perfectos yla autoinduccin global del circuito viene dada exclusivamente por la de la bobina que se muestra ( L). La barramvil est unida a los railes en forma de U mediante un resorte ideal no conductor de constante de recuperacink.La posicin de la barra mvil cuando no actan fuerzas externas sobre ella es x = x0. La fuerza con la que actael resorte es

    Fx = k(x x0)

    El conjunto se encuentra en el seno de un campo magntico uniformeB=B0uz. Supongamos que la barra mvilse coloca en la posicin inicial x0 + x0, esto es, se acta contra el resorte aplicando una elongacin inicial deamplitudx0. En ausencia de efectos electromagnticos, al soltar la barra, sta, que tiene una masam, describiraun movimiento armnico simple en torno a la posicin x= x0de amplitud x0y frecuencia angular 0 =

    k/m.

    Se pide:

    a) Ecuacin de movimiento de la barra en presencia delcampo magntico demostrando que el movimiento es ar-mnico simple con una frecuencia angular dada por

    0 =

    B20

    b2

    mL +

    k

    m

    b) Calcule la posicin de la barra en funcin del tiempox(t), resolviendo la ecuacin diferencial correspondientesujeta a las condiciones iniciales apropiadas. Determinela amplitud de las oscilaciones y el valor dexen torno alcual se producen dichas oscilaciones.

    Figura Problema 40: Barra conductoraideal que desliza sobre rales conductoresideales. La barra y los rales estn sometidosa un campo magntico perpendicular uni-forme. Un resorte controla el movimiento de

    la barra.

    Problema 41.-En una regin del espacio cuya seccin transversal es rectangular y tiene dimensionesa l(vea lafigura) existe un campo magntico variable en el tiempo dado por:

    B(t) = B0uz ; t

    Sobre las superficies que limitan inferior y superiormente la regin anteriormente descrita se colocan dos cables delongitudl, conductividady seccin transversal de reaAen direccin perpendicular al campo magntico (vea la

    figura).

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    a) Si dos de los extremos de los cables se conectan medi-

    ante un cable de resistencia despreciable y los otros dosextremos mediante un ampermetro de resistencia tam-bin despreciable, calcule el sentido y el valor absolutode la intensidad que registra el ampermetro.

    b) Repita el apartado a) para el caso en que el ampermetrose conecte entre los puntos medios de los dos cables orig-inales, tal y como muestra la figura.

    Desprecie la autoinduccin de los circuitos formados por loscables y el ampermetro.

    Figura Problema 41: Circuitos cerrados

    en el seno de un campo magntico variableen el tiempo.

    Problema 42.- Una varilla metlica de longitud ly masa m puede deslizar sin rozamiento sobre dos rales metlicosparalelos que estn conectados por uno de sus extremos a travs de un resistor de resistenciaR(vea la figura). Losrales metlicos descansan sobre una superficie horizontal. Se supone que tanto la resistencia de la varilla como lade los rales es despreciable. En la regin donde se encuentran la varilla y los rales se aplica un campo magnticouniformeB = B0uz, que est dirigido perpendicularmente a la superficie plana sobre la que descansan los dosrales.

    a) Si la varilla se mueve hacia la derecha con una velocidadv = vx(t)ux, cunto valdr la intensidad de la corri-ente inducidaI(t)que circula por el resistor? Cul es el

    sentido de esa corriente inducida?b Cul es el mdulo, direccin y sentido de la fuerza mag-

    ntica que acta sobre la varilla en las condiciones delapartado a)?

    c) Si en t = 0 se le comunica a la varilla una velocidadinicial v =v0ux(v0 > 0) y a continuacin, se permite ala varilla moverse libremente, cul ser la velocidad dela varilla en funcin del tiempo v =vx(t)uxparat >0?

    d) Demuestre que en las condiciones del apartado c), la en-erga cintica inicial comunicada a la varilla se transfor-ma en calor disipado en el resistor por efecto Joule.

    Nota: Desprecie en los clculos la autoinduccin del circuitoformado por la varilla, los rales y el resistor.

    Figura Problema 42: Varilla conductorade longitudl y masam que desliza sin fric-cin sobre rales conductores en presencia decampo magntico uniforme.

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    Problema 43.- Considere una espira superconductora (re-sistencia elctrica nula) cuadrada de ladoay autoinduccinL,que est centrada en el origen de coordenadas y est contenidaen el planoz = 0. La espira est inmersa en una regin del es-

    pacio donde existe un campo magntico uniforme B =B0ux,y por ella no circula corriente. Si la espira se rota un ngulo alrededor del ejeytal y como muestra la figura:

    a) Calcule la intensidad de la corriente inducida en la espirae indique el sentido de dicha corriente inducida.

    b) Calcule el par de fuerzas que acta sobre la espira.

    c) Si se libera la ligadura mecnica que sostiene la espira,hacia dnde se mover? Figura Problema 43: Espira cuadrada en

    el seno de un campo magntico uniforme.

    Problema 44.-Considere un solenoide cilndrico de radioay

    longitudh, siendoa

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    Problema 46.- En una regin del espacio existe un campo mag-ntico uniformeB =B0uz. En dicha regin se coloca un discoconductor de conductividad , radio a y altura d, de manera queel eje de revolucin del disco es paralelo al campo magntico(vea la figura). En t = 0el campo magntico empieza a dis-

    minuir gradualmente siguiendo la ley B(t) =B0(1 t/)uz,y finalmente B = 0 sit > .

    a) Determine el campo elctrico en el interior del disco con-ductor y la densidad volumtrica de corriente inducida.

    b) Calcule el calor disipado en el disco por efecto Joule. Figura Problema 46:Disco conductor en

    el seno de un campo variable en el tiempo.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 7

    Cuestin 48.-Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta:

    a) El flujo del campo magntico,B, a travs de una superficie cerrada slo es cero si no hay corrientes dentrode esa superficie.

    b) Un campo magnetosttico no puede cambiar la energa cintica de una partcula cargada y, por tanto, nopuede producir aceleracin en dicha partcula.

    c) Las lneas del campo magnticoBen un imn se dirigen del polo norte al polo sur por fuera del imn, peropor dentro del imn es al revs, las lneas van del polo sur al polo norte.

    d) En un material ferromagntico, para un valor de la intensidad magntica H en cada punto puede haber variosvalores distintos de la magnetizacin.

    Cuestin 49.-Una muestra de material magnetizado tiene for-ma de toro con seccin transversal rectangular, tal y como semuestra en la figura. La distribucin de magnetizacin en elinterior del toro viene dada por la expresin siguiente:

    M =M0

    a

    u.

    siendo la coordenada radial de un sistema de coordenadascilndricas con origen en el eje de revolucin del toro. Calculelas densidades de corriente de magnetizacin volumtricas ysuperficiales. Existen en el material magnetizado fuentes es-calares del vector intensidad de campo magnticoH?. Tenien-

    do en cuenta la respuesta a esta pregunta, calcule el campo deinduccin magntica, B, y la intensidad magntica, H, en todoslos puntos del espacio.

    Figura Cuestin 49:Toro magnetizado endireccin azimutal.

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    Cuestin 50.-Considere un solenoide cilndrico por el que cir-cula una corriente estacionaria. En las proximidades de uno delos extremos se coloca un cilindro macizo de un cierto material(vea la figura). Indique razonadamente la direccin y sentido dela fuerza magntica que se ejerce sobre este cilindro cuando:

    a) El material del que est hecho el cilindro es paramagnti-co.

    b) El material del que est hecho el cilindro es diamagnti-co.

    Figura Cuestin 50: Muestra de ma-terial diamagntico/paramagntico sobresolenoide excitado por una corrientecontinua.

    Cuestin 51.- Un juguete para nios consiste en dos imanespermanentes con forma de anilla que pueden deslizar sin fric-cin sobre una barra vertical. Los imanes se pueden modelarcomo dipolos magnticos cuyo momento dipolar tiene un m-dulo m0. Los imanes tienen una masa M. Si los imanes secolocan sobre la barra de forma que sus momentos dipolarestengan sentidos opuestos (vea la figura), es posible conseguirque el imn superior quede suspendido en el aire. A qu al-turahdebe estar el imn superior del imn inferior para que se

    produzca la levitacin del imn superior?Figura Cuestin 51: Par de imanestoroidales enfrentados.

    Cuestin 52.-Considere una esfera hueca de radio interno ayradio externobque ha sido magnetizada en direccin radial, deforma que la magnetizacin en el interior de la esfera vale:

    M =M0

    b

    r

    2ur

    a) Calcule las densidades de corriente de magnetizacin.

    b) Calcule el campo magntico en todos los puntos del es-pacio.

    c) Calcule la intensidad magntica en todos los puntos delespacio.

    Figura Cuestin 52:Esfera hueca magne-tizada con magnetizacin radial.

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    Cuestin 53.- Un conductor laminar cilndrico de radio a ylongitud infinita transporta en su superficie una corriente de in-tensidad Iuniformemente distribuida. El conductor atraviesa lasuperficie plana de separacin entre dos medios semiinfinitos,de los cuales uno es el vaco y otro es un medio l.i.h. de per-

    meabilidad magntica. El eje del conductor cilndrico es per-pendicular a la superficie de separacin entre los dos medios,tal y como se muestra en la figura.

    a) Calcule los campos B,H y Men todos los puntos delespacio.

    b) Calcule las corrientes volumtricas y superficiales demagnetizacin.

    Figura Cuestin 53: Conductor laminarcilndrico que transporta una corriente deintensidad I atravesando dos medios difer-entes.

    Cuestin 54.-Se tienen dos muestras de materiales A y B desconocidos. Se miden sus susceptibilidades magnti-cas a diversas temperaturas. Se observa que para el material A la susceptibilidad magntica es pequea en valorabsoluto e independiente de la temperatura. Para el material B, la susceptibilidad magntica es tambin pequeaen valor absoluto pero depende de la temperatura. Indique a qu categora de materiales magnticos pertenecen lasmuestras A y B, indicando que signo toma la susceptibilidad magntica en dichos materiales.

    Problema 47.-Considere dos hilos conductores infinitos por los que circulan corrientes de la misma intensidad envalor absoluto.

    a) Si las corrientes en los hilos conductores llevan elmismo sentido, indique la direccin y sentido delcampo magntico en el plano que es perpendicu-lar al plano de los conductores y equidista de el-los (plano que contiene al origen de coordenadas,y a los ejesy y z en la figura). Asimismo, haga un

    bosquejo de las lneas de campo magntico entrelos conductores.

    b) Repita el apartado a) para el caso en que las corri-entes en los hilos conductores llevan sentidos con-trarios.

    c) Utilizando los resultados obtenidos en los aparta-dos a) y b), explique cmo se podra aplicar elmtodo de las imgenes para calcular el campomagntico creado por un hilo conductor paraleloa la superficie plana de un medio superconductor(= 0), y para calcular el campo magntico crea-

    do por un hilo conductor paralelo a la superficieplana de un ferromagntico blando ideal ( ).

    Figura Problema 47: Par de hilos conductoresque transportan la misma intensidad de corriente,en el mismo sentido (apartado a) y en sentidos con-

    trarios (apartado b).

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    Problema 48.-Considere una esfera magnetizada de radioaque posee una magnetizacin M = M0(r/a) senucon re-specto a un sistema de coordenadas esfricas con origen en elcentro de la esfera.

    a) Obtenga las fuentes escalares y vectoriales del vector in-

    tensidad magntica H creado por la esfera magnetizada,y a partir de dichas fuentes, obtenga el valor de H entodos los puntos del espacio.

    b) Utilizando el apartado anterior, obtenga el campo mag-ntico creado por la esfera magnetizada en todos los pun-tos del espacio y haga un esbozo de las lneas de campomagntico.

    c) Calcule las densidades de corriente de magnetizacin ex-istentes en la esfera magnetizada y haga un esbozo de laslneas de corriente de magnetizacin.

    Figura Problema 48:Esfera magnetizadade radio acon magnetizacin en direccinazimutal.

    CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 8

    Cuestin 55.-Dos conductores ideales estn sumergidos en unlquido pobremente conductor de permitividad y conductivi-dad . Cuando se conectan estos dos conductores a los termi-nales de una batera de corriente continua de resistencia interna

    despreciable y fuerza electromotriz V0, circula a travs de lamisma una corriente de intensidadI0(vea la figura). Si sustitu-imos la batera de corriente continua por un generador de cor-riente alterna de fuerza electromotrizV0cos(t)cunto valeahora la corriente que atraviesa el generador?.

    Figura Cuestin 55: Par de electrodosconductores ideales sumergidos en un lqui-do pobremente conductor.

    Problema 49.- Por un hilo conductor rectilneo infinito circula una corriente cuasiestacionaria de intensidad I(t) =I0cos(t). Por un conductor laminar cilndrico infinito de radioa, cuyo eje coincide con el hilo conductor, circulauna corriente superficial de la misma intensidad I(t) en sentido contrario al de la corriente en el hilo (vea lafigura). La corriente superficial est uniformemente distribuida el permetro transversal del conductor laminar. Elhilo conductor y el conductor laminar estn situados en el vaco.

    a) Calcule el campo magntico en todos los puntos del espacio.

    b) Calcule el potencial vector magntico en todos los puntos del espacio, tomando como origen de potencialvector la superficie del conductor laminar.

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    c) Calcule el campo elctrico inducido en todos los puntosel espacio.

    d) Calcule la densidad de corriente de desplazamiento entodos los puntos del espacio.

    e) Calcule la intensidad de la corriente de desplazamientoId(t)que fluye a travs del interior del conductor lami-nar.

    f) Calcule la razn Id(t)/I(t). Si el conductor laminar tu-viera un radio de 1 mm, cul debera ser la frecuenciadeI(t)para queId(t)fuera un 1 % deI(t)?.

    Nota: este problema est concebido para mostrarle por quFaraday nunca descubri la corriente de desplazamiento, y por

    qu es usualmente unabuena aproximacin despreciar la corri-ente de desplazamiento cuando se trabaja con corrientes alter-nas de frecuencias no demasiado altas. Figura Problema 49: Corriente alterna

    en hilo conductor y corriente superficial ensentido contrario por un conductor laminarcilndrico, coaxial con el hilo conductor.