COMPORTAMIENTO MECNICO DE MATERIALES 13/14 Mster Universitario en INGENIERA de ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES

Andrs Valiente Cancho

EXAMEN PARCIAL CURSO 13/14 NOMBRE Y APELLIDOS: Para construir un globo cilndrico se emplean un globo esfrico y un tubo del mismo radio fabricados con una l-mina delgada, inextensible y perfectamente flexible. La lmina es de material polimrico cuya resistencia a cortan-te es 0,4 veces la resistencia a traccin y cuyo fallo tiene lugar cuando la tensin principal mxima alcanza un va-lor lmite dependiente linealmente del cociente entre la traza del tensor de tensiones y el dimetro del crculo de Mohr mayor. Se pide: a) Formular el criterio de fallo del material de la lmina en trminos de las tensiones principales y de la resis-tencia a traccin. b) Determinar la mxima presin que soporta el globo cilndrico sabiendo que la soportada por el globo esfrico es p0. a) La traza del tensor de tensiones se obtiene sumando las tres tensiones principales !I, !II,, !III, y el dimetro del crculo mayor de Mohr es la diferencia entre las tensiones principales extremas, !I y !III. Las constantes A y B de la funcin li-neal que permite formular el criterio de fallo son constantes desconocidas del material a determinar mediante la resistencias a traccin y a cortante, Rm y 0,4Rm:

!I =A+B tr!!I"!III =A+B

!I+!II+!III!I"!III

!"

!"

!I =Rm!II = 0!III = 0

!"#$%!"#$%

!"#$%!"#$% !"#$

%

!"#$%

!"#$%

!"#$%

!I =0,4Rm!II = 0!III = "0,4Rm

Rm =A+B

Rm+0+0Rm

= A+B 0,4Rm =A+BRm+0!Rm 0

Rm+ Rm= A " A=0,4Rm B =0,6Rm

!I = 0,4+0,6

!I+!II+!III!I"!III( )Rm

b) Los estados tensionales respectivos de una semiesfera y de un tubo de pared delgada flexibles, cerrados y presurizados in-ternamente no depende del dispositivo de cierre la conexin y estn determinados estticamente por la presin p y por el cociente R/e entre radio y espesor. Las tensiones principales en el tubo y en la semiesfera son:

m

m

!"

m##

m#

m$

me

m##

m# !"

m$

m

m

!"

m##

m#

TUBO!I =!"= pRe!II =!z = p R2e!III = 0

SEMIESFERAS!I =!" = p R2e!II =!" = p R2e!III = 0

Condicin de seguridad estructural en las zonas tubular y semiesfrica del globo cilndrico:

pRe ! 0,4+0,6pRe +p

R2e+0

pRe "0#$%

&'(

Rm = 0,4+0,6 32( )Rm =1,3Rmp R2e ! 0,4+0,6

p R2e+pR2e+0

p R2e"0#$%

&'(

Rm = 0,4+0,62( )Rm =1,6Rm

)

*++

,++

- p ! Mn 1,3 eR Rm;3,2eR Rm{ } =1,3 eR Rm

La resistencia a traccin Rm no es conocida, pero s la presin p0 que produce el fallo de las semiesferas unidas una a otra:

p0 R2e = 0,4+0,6

p0 R2e+p0R2e+0

p0 R2e!0"#$

%&'

Rm =1,6Rm ( Rm = 3,2p0 Re ( p ) 1,3eR Rm =

1332Rm

COMPORTAMIENTO MECNICO DE MATERIALES 13/14 Mster Universitario en INGENIERA de ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES

Andrs Valiente Cancho

EXAMEN PARCIAL CURSO 13/14 NOMBRE Y APELLIDOS:

La seccin transversal de la viga biempotrada de la figura es una doble T de can-to 2h. La viga es de material viscoelstico de Boltzmann, con resistencia a trac-cin Rm y funcin de relajacin uniaxial la funcin E(t) dada, donde T es una constante de tiempo conocida. Uno de los empotramientos cede y desciende lentamente a velocidad constan-te v = h/T, hasta que el coeficiente de seguridad frente a la resistencia a trac-cin se reduce a 1,25. Se pide determinar el valor de dicho coeficiente cuando el tiempo transcurrido desde que cesa el descenso del empotramiento es igual a la duracin del mismo.

E(t)= 20Rm 1+ 1+2 tT( )

!1/2"#

$%

Las transformadas de LaplaceCarson de los momentos Q que los empotramientos ejercen sobre la viga, del diagrama M(x) de momentos flectores, del campo de tensiones y de la tensin mxima !m de la viga dada son los de una viga hookeana idntica cuyo mdulo de elasticidad sea la transformada de LaplaceCarson de la funcin de relajacin uniaxial E(t) y se halle sometida a un descenso relativo entre empotramientos igual a la transformada de LaplaceCarson de la historia del descenso relativo " entre empotramientos experimentado por la viga viscolelstica.

!"#"$%&'

'b

Q = 6IE!

L2

!

"#!$

%

%

La tensin mxima se produce en los bordes de las alas de las secciones empotradas y se obtiene deshaciendo la transformada:

!m =

QI h =

6hE"L2

= 6hE"(30h)2 =E"

150h # !m=!m (t) =E(t)"(0)+E! ""

150h El origen de tiempos es el comienzo del descenso del empotramiento:

!(0)= 0 " #m =

E(t)!(0)+E! "!150h =

1150h E(t)0+ E(t$%)

"!(%)d%0

t

&( ) = 20Rm150h 1+ 1+2t$%T( )$1/2'( )* "!(%)d%0t& El empotramiento desciende a velocidad constante v hasta que el valor de la tensin mxima es Rm /1, 25, cuando t = Td:

0 ! t !Td : " = hTt #

!" = hT # $m (t) =20Rm150 1+ 1+2

t%&T( )

%1/2'(

)*

hTd&0

t

+ = 20Rm150T 1+ 1+2t%&T( )

%1/2'(

)*d&0

t

+

Rm1,25 =!m (Td ) =

20Rm150T 1+ 1+2

Td"#T( )"1/2$%& '()d#0

Td

* = 20Rm150T #" 2T2 1+2Td"#

T$%&

'()0

Td

= 20Rm150TdT "1+ 1+2

TdT( )

+ TdT + 1+2TdT "7 = 0 +

TdT( )

2

"16TdT +48= 0 + Td=4T

12T{ + Td= 4T

La solucin excluida corresponde al valor negativo de la raz cuadrada que figura en la funcin de relajacin uniaxial. La ten-sin mxima en el instante 2Td se obtiene teniendo en cuanta que la velocidad de descenso es h/T en la primera mitad del in-tervalo y nula en la segunda:

0 ! t < Td : !" = hT Td < t ! 2Td :

!" = 0

!m (2Td ) =!m (8T) = 1150h E(8T"#)!$ d#

0

8T

% = 1150h E(8T"#)hTd#04T

% + 1150h E(8T"#)0d#4T8T

%= 1150T E(8T"#)d#0

4T

% = 20Rm150T 1+ 1+28T"#

T( )"1/2&

'()d#0

t4T

% =20Rm150T #" 2T2 1+28T"#

T&' ()04T

= 20Rm150T4T"2T2 1+2

8T"4TT +2

T2 1+2

8T"0T&' () =

20Rm150 4" 1+24+ 1+28( )= 2(1+ 17)15 Rm

Rm!m (2Td )

= 152(1+ 17) =1,46