EXAMEN SELECTIVIDAD MATEMTICAS II JUNIO 2013

OPCIN A

Ejercicio 1. Calificacin mxima: 3 puntos.

Dados el punto P(-1, 0, 2) y las rectas:

= 1

= 1

= 1 + = = 3

se pide:

a) (1 punto) Determinar la posicin relativa de r y s.

b) (1 punto) Determinar la ecuacin de la recta que pasa por P y corta a r y s.

c) (1 punto) Determinar la ecuacin de la recta perpendicular comn a r y s.

SOLUCIN

a) Pasamos a paramtrica la recta r y tenemos = 1 +

= 1 + =

por lo tanto vector

director es =(1,1,1) y el punto por el que pasa es punto A=(1,-1,0).

La recta s ya est en paramtrica = 1 +

= = 3

por lo tanto su vector director es

=(1,1,0) y pasa por el punto B=(1,0,3) como los vectores directores no son

proporcionales, las rectas no son paralelas, consideremos el vector =(0,1,3) y

estudiemos el rango de la matriz formada por los vectores , , , veamos el valor del determinante:

1 1 11 1 00 1 3

=(3+1)-(3)=10 es decir el rango es 3 y por lo tanto las rectas se cruzan

b) Recta que pasa por P(-1,0,2) y corta a r y s, la definiremos como interseccin de

dos planos:

1 definido por los vectores =(1,1,1) ; =(2,-1,-2) y pasa por P=(-1,0,2)

+ 1 1 2

1 1 2 1 2

=-x+4y-3z+5=0

1-x+4y-3z+5=0

2 definido por los vectores =(1,1,0) ; =(2,0,1) y pasa por P=(-1,0,2)

+ 1 1 2

1 0 2 0 1

=x-y-2z+5=0

Tendremos la recta corta r y s y pasa por P si la llamamos r:

r x + 4y 3z + 5 = 0

x y 2z + 5 = 0

c) Procedemos igual que el apartado anterior pero teniendo en cuenta que ahora debe ser perpendicular a ambas debemos calcular el vector

= x =(1,1,1)x(1,1,0)= 1 1 11 1 0

=(-1,1,0)

1 definido por los vectores =(1,1,1) ; =(-1,1,0) por A=(1,-1,0) 2 definido por los vectores =(1,1,0) ; =(-1,1,0) por B=(1,0,3)

1 1 1 1 + 1 1 1

1 0 =-x+y-2z=0

2 1 1 1

1 1 3 0 0

=2z-6=0

Por lo tanto la perpendicular comn tienen de ecuacin (y la nombramos como

r)

r x + y 2z = 0

2z 6 = 0

Ejercicio 2 : Calificacin mxima: 3 puntos.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

+ 7 + 5 = 0 + + = 3

+ = 2

se pide:

a) (2 puntos) Discutirlo segn los valores de a.

SOLUCIN

Debemos estudiar el determinante de la matriz del sistema:

7 51 10 1 1

=a2-a-2=0

Si resuelve la ecuacin y se obtiene a=2,-1

Discusin:

Si a2,-1 Rg(A)=Rg(Ampliada)=3 por los tanto el sistema es S.C.D. solucin nica.

Si a=2; 2 71 2

0 por lo tanto Rg(A)=2; 2 7 01 2 30 1 2

=0 es decir Rg(Ampli)=2;

por lo tanto S.C.I. infinitas soluciones.

Si a=-1 1 71 1

0 por lo tanto Rg(A)=2; 1 7 01 1 30 1 2

=15 es decir

Rg(Ampli)=3;por los tanto S.I. el sistema no tiene solucin

b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a=4.

4 + 7 + 5 = 0 + 4 + = 3

+ = 2

Se puede resolver por Cramer o Gauss y el resultado es:

x=2; y=1 ; z= -3

c) (0,5 puntos) Resolverlo para a=2.

2 + 7 + 5 = 0 + 2 + = 3

+ = 2

Tomamos las dos primeras ecuaciones y como parmetro z

2 + 7 + 5 = 0 + 2 + = 3

Resolvemos por Gauss o Cramer:

x=+7; y= --2 ; z= - Ejercicio 3 : Calificacin mxima: 2 puntos.

Dada la funcin:

se pide:

a) (2 puntos) Hallar las asntotas de su grfica.

b) (0,5 puntos) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto

de abscisa x=2.

SOLUCIN

Dominio=R-{3}

Luego haciendo lmites tenemos Asntota vertical es x=3

Puesto que el grado del nmeros es mayor que el del de

nominador no tiene asntota horizontal porque el lmite en el infinito es infinito.

Tiene oblicua haciendo los lmites y la frmula:

Asntota Oblicua

Y=mx+n

Asntota Oblicua: y=x+6

-

b) Recta tangente en x=2

y-f(2)= f(2) (x-2)

Recta tangente y= 28x -48

Ejercicio 4 : Calificacin mxima: 2 puntos.

Calcular las siguiente integrales:

a) 3

2+9=

1

2

2

2+9 3.

1

3

1

3

3

2+1

dx=1

2ln 2 + 9

3 +

+ =

ln +

+

b) 32+4

32

1 = 3. 3

2

1

1

2

1 +

2

1 =

3

2 . 2 1

2

12 +

2

2

1

2

= 3

2.

1

4 1 2 + 2

1

2 =

= +3

8+

3

2+ 2

1

2 2 =

21

8 (2)

+

=

()