ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS I TÉRMINO 2006-2007

TERCERA EVALUACIÓN DE FÍSICA A

SOLUCION PREGUNTA 1 (25 puntos) a) Un avión de rescate va a soltar

provisiones a unos montañistas aislados en una colina rocosa que se encuentra a 200 m por debajo del avión. Si este último viaja horizontalmente con una rapidez de 252 km/h, ¿a qué distancia antes de los montañistas (distancia horizontal) se deben soltar los víveres? (8 puntos)

22

21

0 t9.42000gtyy −=⇒−=

)39.6)(70(tvx x0 ==

t)70(400tvx x0

⇒ t = 6.39 s

⇒ x = 447 m b) Suponga ahora que el avión

libera las provisiones a una distancia horizontal de 400 m antes de los montañistas. ¿Qué velocidad vertical (arriba o abajo) se debe proporcionar a las provisiones de modo que lleguen precisamente a la posición de los escaladores? (10 puntos)

⇒ t = 5.71 s ⇒= =

2

y02y00 )71.5(9.4)71.5(v −+

)71.5)(8.9(05.7gtvv y0y −

21 2000gttvyy =⇒−+= ⇒ v0y = 7.05 m/s hacia abajo

c) En el último caso, ¿con qué rapidez aterrizan las provisiones? (7 puntos)

⇒ vy = 63 m/s =−= −

222y

2x )63()70(vvv +=+= ⇒ v = 94.2 m/s

PREGUNTA 2 (25 puntos) Una masa de 3.00 kg parte del reposo en un plano inclinado de 2.00 m, como se muestra en la figura. en la parte inferior del plano hay un resorte, cuya constante elástica es k = 1.0 × 104 N/m. El coeficiente de fricción cinético entre el plano y la masa es de 0.30; entre los puntos A y B, el coeficiente de fricción es cero. Encuentre a) la velocidad de la masa exactamente antes de hacer contacto con el resorte

(8 puntos) b) la compresión máxima del resorte (7 puntos) c) la altura a la cual sube la masa después de rebotar con el resorte (10 puntos)

a) 12nc EEW −=

mghmv

senhcosmg

mghmvdf

221

k

221

k

−=θ

θμ−

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θμ

−=30tan

30.01)2)(8.9(2tan

1gh2v k ⇒ v = 4.34 m/s

b) 32 EE =

( )0mvxmgsenkx

xsenmgkxmv

'mghkxmv

2212

21

2212

21

2212

21

=−θ−

θ−+=

+=

03.28x7.14x5000 2 =−− ⇒ x = 7.67 cm c) 34nc EEW −=

( )[ ]

θ+−=θ

θμ−

θ−+−=−

mgxsenkxmghsenh

cosmg

xsenmgkxmgh'df

221

44

k

221

4k

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×−××=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θμ

+

θ−=

−−

º30tan30.01)8.9)(3(

º30sen)1067.7)(8.9)(3()1067.7)(100.1(

tan1mg

mgxsenkxh

222421

k

221

4

⇒ h4 = 63.3 cm

PREGUNTA 3 (25 puntos) Una canica de masa m y radio r rueda a lo largo de la rugosa pista con lazo que se muestra en la figura. ( )2

52

cm mrI = a) ¿Cuál es el valor mínimo de la altura vertical h que la canica debe caer si ha de

alcanzar el punto más alto del lazo sin dejar la pista? Exprese su respuesta en términos de r y R. Nota: Observe que el centro de masa de la canica se encuentra inicialmente a una altura h + r de la base del lazo (15 puntos)

b) Si h = 3R, determine la magnitud de la fuerza normal que actúa sobre la canica al llegar a la base del lazo (10 puntos)

a) En el punto 2, para que la canica esté a punto de dejar la pista, se tiene el caso

límite N = 0:

cc maF =

rRvmmg

2

−= ⇒ )rR(gv2 −=

La fricción permite que la canica ruede, pero no efectúa trabajo sobre la misma, por lo tanto:

r)rR()rR2(h)rR(mg)rR2(mg)rh(mgmv)rR2(mg)rh(mg

rv)mr(mv)rR2(mg)rh(mg

rvImv)rR2(mg)rh(mg

Imv)rR2(mg)rh(mgEE

107

1072

107

2

22

52

212

21

2

cm212

21

2cm2

1221

31

−−+−=

−+−=+⇒+−=+

++−=+⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++−=+

ω++−=+⇒=

⇒ h = 2.7(R – r)

gRvmvmgr)rR3(mg

rv

)mr(mvmgr)rR3(mgr

vImvmgr)rR3(mg

Imvmgr)rh(mgEE

730

12110

7

2

212

52

212

121

21

cm212

121

2cm2

1221

21

=⇒+=+

++=+⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=+

ω++=+⇒=

rRvmmgN

21

−=− ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=)rR(7

R301mgN

PREGUNTA 4 (25 puntos) Una varilla uniforme de longitud L y masa M ( 2

31

P MLI = ) está articulada en un extremo y sostenida por un resorte de constante k del otro extremo. Cuando está en reposo, la varilla queda horizontal, como se ilustra en la figura. Para desplazamientos pequeños verticales del extremo de la varilla, a) demuestre que el sistema realiza un movimiento armónico simple (20 puntos) b) deduzca una expresión para el periodo de oscilación de este sistema (5 puntos)

a) Para la posición de equilibrio tenemos:

,0Lkx2LMg0 0P∑ =+−⇒=τ donde x0 es la deformación de equilibrio

Luego de que la varilla sufre un pequeño desplazamiento vertical:

θ−=α

α=θ−

α=θ−+−

α=+−⇒α=τ∑

Mk3

ML31kL

ML31L)Lx(k

2LMg

IkxL2LMgI

22

20

PPP

θ−=θ

Mk3

dtd

2

2

La última expresión tiene la forma ,xdt

xd 22

2

ω−= por lo que se deduce que el

movimiento oscilatorio de la varilla es un movimiento armónico simple

b) Comparando la expresión obtenida en el literal a con la ecuación general del

m.a.s., tenemos:

ωπ

=⇒=ω2T

Mk3 ⇒

k3M2T π=