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1. El siguiente dibujo representa una palanca constituida por una barra dividida en centímetros. En el lado derecho colocamos la resistencia R y en la izquierda cajas de 10 Kg que representa la fuerza. Calcula que debemos hacer en cada caso para que la palanca esté en equilibrio. a) Si la resistencia R tiene un valor de 30 Kg y está colocada a 50 cm del punto de apoyo

¿Cuantas cajas y a qué distancia del punto de apoyo hay que colocarlas para que se encuentre en equilibrio?

b) Si ahora la resistencia R es de sólo 5 Kg y sigue estando colocada a 50 cm¿ cuántas cajas de 10 Kg y a qué distancia del punto de apoyo habría que colocarlas para mantener el equilibrio?

c) Si colocamos 3 cajas en el extremo izquierdo y una resistencia R de 60 Kg en el derecho ¿A qué distancia de la Resistencia hay que colocar el punto de apoyo para que halla equilibrio?

________________________________________________________________________________Solución: La ley de la palanca, está basada en la teoría de los momentos, el momento de una fuerza F, aplicada a una distancia, d, viene dado por la expresión: M=F⋅d Si la fuerza se mide en Newtons y la distancia en metros el momento se expresa: Nxm. Una palanca está en equilibrio cuando la suma algebraica de momentos es cero. Así la ley de la palanca se expresa como F⋅d=R⋅r donde tanto Fxd como Rxr son dos momentos de signo contrario.

a) Nos dan la Resistencia R ( que es una fuerza expresada en Kg). Nos dan la distancia r expresada en cm. Nos piden el número de cajas y la distancia a la que habrá que colocarlas para equilibrar la palanca. Parece obvio que si la resistencia R que está situada a la derecha tiene un valor de 30 Kg y está situada a 50 cm del punto de apoyo, colocando 3 cajas de 10 kg una encima de otra y a una distancia de 50 cm se cumple la igualdad anterior.¿Qué ocurre si en lugar de colocar las tres cajas colocamos 4 o las 5?

Probamos con 4: F=10⋅4=40Kg;F⋅d=R⋅r; 40⋅d=30⋅50 ;d=30⋅5040

=24cm Es decir que si

cogemos 3 cajas las colocamos a 50 cm. Si cogemos 4 cajas a 24 cm.¿ Y si cogemos 5?

Veis que hay varios resultados, yo he puesto el primer resultado:

Resultados Unidades

3 cajas

50 cm

_________________________________________________________________________b)Ahora sustituyo en la fórmula R= 5 Kg; r= 50 cm. Nos piden: número de cajas y distancia al punto de apoyo. Pruebo con una caja y averiguo la distancia “ d “ a la que habrá que colocarla.

F=10Kg;F⋅d=R⋅r;10⋅d=5⋅50 ;d=5⋅5010

=25cm Puedes probar con más cajas siempre que se

cumpla la ley de la palanca. Ojo con los resultados que esta palanca solo mide un metro

Resultados Unidades

1 caja

25 cm

c) Los datos son 3 cajas de 10 Kg cada una colocadas en el extremo izquierdo ( a 50 cm del punto de apoyo) y una resistencia R de 60 Kg colocada en el extremo derecho ( a otros 50 cm del punto de apoyo) y que la palanca mide un metro ( 100cm).Si dejamos el punto de apoyo en el centro ¿ Estaría en equilibrio la palanca? ¿ Hacia dónde se inclinaría? ¿ Hacia dónde moverías el punto de apoyo para conseguir el equilibrio? Por último ¿ A qué distancia tengo que colocar el punto da apoyo para conseguir el equilibrio? Se puede resolver por tanteo, teniendo claro que el momento del par aplicado en el lado izquierdo debe ser igual al momento del par aplicado en el derecho es decir que : 30 x d = 60 x r y por tanteo averiguar d y r hasta que se cumpla la igualdad. Otra como sabemos que la barra mide 100 cm y tanto la fuerza como la resistencia están en los extremos d + r = 100 ; que junto con la ecuación anterior tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Otra forma despejar d, de la ecuación anterior y sustituir en la fórmula d= 100-r;

Fxd=Rxr; 30(100-r)=60r; 3000-30r=60r; 3000=90r; r=3000/90 = 33,3 cm del punto de apoyo.

Resultados Unidades

33,3 cm

2. En la polea de la izquierda, si estoy haciendo una fuerza hacia abajo de 40 N¿ Qué resistencia R puedo subir? ¿Y en la de la derecha?

Solución: En una polea fija como la de la izquierda se cumple F=R; fíjate que cuando está quieta es decir en equilibrio se cumple la ley de la palanca Fxd=Rxr; como d=r que son las distancias de F y R al punto de apoyo y precisamente son dos radios de la rueda. En la polea móvil de la derecha (realmente son dos poleas una fija y otra móvil) se cumple que:

F=R2 Nos dan F = 40 N y nos piden R; luego: R=F⋅2 ;R=80N

Resultados Unidades

40 N

80 N

3. El siguiente mecanismo muestra un tornillo sin fin de una entrada engranando con una rueda helicoidal de 50 dientes, al eje del tornillo hay acoplado un motor de corriente continua que gira a 1500 r.p.m. Y en cada vuelta del tornillo la rueda avanza un diente. ¿ Cuál será la velocidad circular de la rueda?

Solución: Si el tornillo sin fin es de una entrada, por cada vuelta de tornillo el engranaje avanza un diente, si fuera de dos entradas la rueda avanzaría dos dientes...¿Cuántas vueltas tiene que dar el tornillo para que la rueda de 50 dientes de un giro completo? Pues 50 vueltas. Ahora si el tornillo gira a 1500 r.p.m la rueda gira 1500/50 = 30 r.p.m

Resultados Unidades

30 r.p.m.

4. Determina la velocidad de avance de una cremallera en mm/min sabiendo que está engranada con un piñón de 30 dientes, el paso de los dientes es de 2 mm y la velocidad de giro del piñón de 100 r.p.m.

Solución: Con este mecanismo se transforma una velocidad circular ( r.p.m ó radianes/segundo) en otra lineal( mm/min o km/h). El avance de la cremallera depende de la distancia entre los dientes, del número de dientes del piñón y de lo

rápido que gire el piñón. L=P⋅Z⋅NEn nuestro caso Z = 30 dientes del piñón; la distancia entre dientes, P= 2 mm; y la velocidad con la que gira el piñón es de 100 r.p.m, sustituimos:L=2 mm⋅30 dientes ⋅100 rpm =6000mm /min

Resultados Unidades

6000 mm/min

5. La siguiente figura representa una transmisión compuesta de engranajes y poleas. a) Calcula la velocidad de giro de la polea B cuando hacemos girar la manivela a una

velocidad de 100 vueltas en un minuto. b) ¿Cuál será el recorrido máximo de la biela? Datos: Piñón A = 20 dientes. Piñón B= 30

dientes. Diámetro polea A = 10 cm Diámetro polea B = 15 cm.

Solución: a) Este tipo de mecanismos se puede resolver de distintas formas, teniendo siempre en cuenta que el piñón B y la rueda A giran a la misma velocidad por estar unidas al mismo eje.

Primera forma, por partes si se sabe la velocidad de la rueda de entrada que es el piñón A aplicando la fórmula NaxZa=NBxZB; donde ZA=20 dientes, NA=100r.p.m y ZB= 30 dientes.

N A⋅Z A=N B⋅Z B ;100⋅20=N B⋅30 ;N B=100⋅2030

=66,6 rpm

Como el piñón B y la rueda A están unidad por el mismo eje la velocidad de la rueda A es la misma que la velocidad del piñón B, ahora la rueda de entrada es la polea A y la de salida la polea B, aplico

la fórmula para las poleas N A⋅DA=N B⋅DB ;66,6⋅10=N B⋅15 ;N B=66,6⋅1015

=44,4 r . p .m .

Segunda forma: (Es la más rápida y se aplica en los trenes de poleas y engranajes) La relación de transmisión entre la rueda de entra ( piñón A) y la de salida ( piñón B) es : Rt1= ZA/ZB=20/30 =2/3 (reductor porque es menor que 1); la relación entre la polea A y la B será Rt 2=10/15= 2/3. Por último la relación de transmisión total RtTOTAL=R1xRt2=2/3x2/3=4/9 ( El sistema es reductor porque la relación de transmisión es menor que 1, esa fracción nos dice que cuando la rueda de salida gira 4 veces la de entrada gira 9) por lo tanto la velocidad de salida será NB(polea)=NA(piñón)xRtTOTAL=100X 4/9 =44,4 r.p.m.

Resultados Unidades

44,4 r.p.m.

b) El recorrido máximo de la biela corresponde al diámetro de la rueda con la que está conectada, así que 15 cm

Resultados Unidades

15 cm

6. Un cierto tipo de bicicleta consta de dos platos de 40 y 50 dientes y cuatro piñones de 14,16,18 y 20 dientes. En cierto momento del recorrido el ciclista comienza a subir una pendiente de un 10 % y decide realizar un cambio de marcha con objeto de realizar menos fuerza en cada pedalada. a) ¿Cuál será la combinación plato-piñón más adecuada? b) ¿Cuál será en este caso la relación plato-piñón? c) ¿Se trata de un mecanismo multiplicador o reductor de velocidad? d) Si el ciclista da 55 pedaladas (55 giros completos del plato) en un minuto. ¿Cuántas

vueltas por minuto da la rueda trasera de la bicicleta? e) ¿Qué distancia habrá recorrido en un minuto si el radio de la bici es de 45 cm? f) ¿Cuál será la velocidad en Km/h?

Solución: a),b) y c). Es muy importante darse cuenta cuál de las ruedas es la motriz (También se le llama rueda de entrada o rueda conductora) en nuestro caso es el plato que es donde se realiza la fuerza sobre los pedales y esa fuerza y movimiento se transmite al piñón ( rueda de salida o conducida). ¿ El sistema es reductor o multiplicador de velocidad? Como el plato que es la entrada es mayor que cualquiera de los piñones, será multiplicador de velocidad, por lo tanto la relación de transmisión siempre va a ser mayor que uno. Como el ciclista está subiendo una cuesta, lo hará con mayor comodidad si realiza menos fuerza en cada pedalada, aunque eso conlleve a que suba más despacio. La relación de trasmisión será Rt = Zplato/Zpiñón , tenemos que buscar aquella que sea más pequeña(velocidad más lenta) Por lo tanto Rt = 40/20 = 2/1, cualquier otra relación será mayor.¿Qué combinación elegirías si quisieras ir muy deprisa sin importarte tanto el esfuerzo? …....

d) Si el ciclista da 55 pedaladas en un minuto como la relación de transmisión era de 2/1, la rueda trasera girará Npiñon=NPlato xRt = 55x2/1=110 r.p.m

e) ¿ Qué longitud recorre la rueda trasera cuando da una vuelta completa? …..Pues la longitud de lo que mida el perímetro de la rueda, es decir su circunferencia así Lc= 2πr= 2xπx45 = 90πcm;

como la rueda gira a 110 vueltas en un minuto, la distancia que recorre en un minuto será d= 110 x 90 π= 3110,7 cm = 311 metros = 0,331 Km.

f) La velocidad en Km/h será V=0,331Kmmin

⋅60minhoras

=18,6km /h

Resultados Unidades

40 y 20 dientes

2/1

Multiplicador

0,331 Km

18,6 Km/h

___________________________________________________________________________Ampliación:

A

B

C