Examen - física - 1º bachillerato - 06-02-2012
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Transcript of Examen - física - 1º bachillerato - 06-02-2012
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Examen de Física – 1º Bachillerato – 6/02/2012
1. Un globo se eleva verticalmente con velocidad constante de 4’9 m/s y abandona un peso en el instante en el que el globo está a 19’2 m del suelo. Calcula: (2ptos)
a) La posición y la velocidad del peso al cabo de 1/4 s. b) El tiempo que tarda en llegar al suelo. c) La velocidad del peso en ese punto.
a) El peso describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), cuya posición quedará descrita por la expresión matemática:
𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!𝑡 +12𝑔𝑡
!
y la velocidad por: 𝑣 𝑡 = 𝑣! + 𝑔𝑡
En el momento inicial (cuando se suelta el peso desde el globo) este lleva una velocidad inicial 𝑣! = 4!9 𝑚/𝑠, y está a una altura inicial 𝑦! = 19!2 𝑚. Sustituyendo podemos calcular su posición y velocidad para 𝑡 = !
! 𝑠 = 0!25 𝑠:
𝑦 0!25 𝑠 = 19!2 𝑚 + 4!9 𝑚/𝑠 · 0′25 𝑠 −9!8 𝑚/𝑠!
2 0!25 𝑠 !
𝒚 𝟎!𝟐𝟓 𝒔 = 𝟐𝟎!𝟏𝟐 𝒎
𝑣 0!25 𝑠 = 4!9 𝑚/𝑠 − 9!8 𝑚/𝑠! · 0!25 𝑠
𝒗 𝟎!𝟐𝟓 𝒔 = 𝟐!𝟒𝟓𝒎/𝒔
b) Volvemos a utilizar la expresión de la posición para calcula el tiempo para el cual llega al suelo. En dicha situación su posición será 𝑦 𝑡′ = 0 𝑚:
𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!𝑡 +12𝑔𝑡
!
𝑦 𝑡′ = 19!2 𝑚 + 4!9 𝑚/𝑠 · 𝑡 −9!8 𝑚/𝑠!
2 𝑡! Las dos soluciones de la ecuación son 𝑡′! = −1!54 𝑠, que no es un tiempo válido por ser negativo; y 𝒕′𝟐 = 𝟐!𝟓𝟒 𝒔 que es la solución con significado físico en nuestro problema.
c) Para calcular la velocidad para ese tiempo 𝑡′! basta con sustituir en la expresión de la velocidad:
𝑣 𝑡′! = 𝑣! + 𝑔𝑡′!
𝑣 𝑡!! = 4!9𝑚𝑠 − 9
!8𝑚𝑠! · 2
!54 𝑠
𝒗 𝒕!𝟐 = −𝟏𝟗!𝟗𝟗 𝒎/𝒔 (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜)
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2. Un proyectil disparado formando un ángulo de 53o por encima de la horizontal alcanza un edificio, alejado 43’2 m, en un punto que se encuentra 13’5 m por encima del punto de lanzamiento. Calcular: (2ptos)
a) La velocidad del disparo. b) El valor de la velocidad del proyectil cuando golpea el edificio (módulo y ángulo). c) El tiempo que está en el aire el proyectil.
a) Es un problema de tiro parabólico, por lo que estudiaremos la composición de dos movimientos, uno rectilíneo uniforme (horizontal) y otro rectilíneo uniformemente acelerado (vertical):
𝑥 = 𝑣! · 𝑡 ⟶ 𝑣! = 𝑣! · cos 53° = 0!6 · 𝑣!
𝑦 = 𝑣!! · 𝑡 +12𝑔𝑡
! ⟶ 𝑣!! = 𝑣! · sin 53° = 0!8 · 𝑣! Planteamos las ecuaciones del movimiento para el punto 𝑥 = 43!5 𝑚,𝑦 = 13!5 𝑚 :
43!2 𝑚 = 0!6 · 𝑣! · 𝑡
13!5 𝑚 = 0!8 · 𝑣! · 𝑡 − 4!9𝑚/𝑠! · 𝑡! Es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, 𝑣! y 𝑡. Calculando la velocidad respondemos a este apartado, y calculando el tiempo al apartado c) del problema.
𝒗𝟎 = 𝟐𝟒 𝒎/𝒔 y 𝒕 = 𝟑 𝒔
b) Para calcular la velocidad en el punto anterior basta con derivar las ecuaciones de la posición respecto del tiempo para obtener así las de la velocidad. Después sustituimos los valores calculados en el apartado anterior:
𝑣! = 𝑐𝑡𝑒 = 0!6 · 24 𝑚/𝑠 = 14′44 𝑚/𝑠
𝑣! 𝑡 = 𝑣!" + 𝑔𝑡 ⟶ 𝑣! 3 𝑠 = 0!8 · 24 𝑚/𝑠 − 9!8 𝑚/𝑠! · 3 𝑠 = −10!23 𝑚/𝑠 Calculamos el módulo y el argumento:
𝑣 3 𝑠 = 𝑣!! 3 𝑠 + 𝑣!! 3 𝑠 ⟶ 𝒗 𝟑 𝒔 = 𝟏𝟕′𝟕 𝒎/𝒔
𝛼 = arctan𝑣! 3 𝑠𝑣! 3 𝑠
⟶ 𝜶=−𝟑𝟓° 𝟐𝟓′
c) Ya hemos resuelto este apartado al comienzo del problema:
𝒕 = 𝟑 𝒔
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3. En un carricoche de feria, que gira a razón de 10 vueltas por minuto, y que tiene un radio de 6 m, hay personas sentadas en su periferia y otras a 3 m del centro. Calcula: (3ptos)
a) La velocidad angular en rad/s. b) La velocidad lineal de las personas que están en la periferia y la de las que están a 3 m del
centro. c) La aceleración tangencial y la aceleración normal (radial) de las personas que están a 3 m del
centro. d) La aceleración angular del carricoche de feria. e) ¿Cuánto tiempo tardará el carricoche en dar 25 vueltas? f) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer un ángulo de 20 rad?
a) Primero tendremos que calcular la frecuencia expresada en revoluciones por segundo o
hertzios:
𝑓 =10 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 · 60 !/!"#$%& =16 𝐻𝑧
Ahora podemos calcular la velocidad angular:
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ·16 𝑠
!! ⟶ 𝝎= 𝝅𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔
b) La velocidad lineal se calcula como 𝑣 = 𝜔 · 𝑅. Sabemos que la velocidad angular es igual independientemente de la distancia a la que nos encontremos del eje de giro, por lo tanto la velocidad lineal será una función del radio. Sustituyendo datos:
𝒗 𝑹𝟏 = 𝜔 · 𝑅1 =𝜋
3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 3 𝑚 = 𝝅 𝒎/𝒔
𝒗 𝑹𝟐 = 𝜔 · 𝑅2 =𝜋
3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 6 𝑚 = 𝟐𝝅 𝒎/𝒔
c) El movimiento del tiovivo es circular uniforme (MCU). La velocidad no es constante debido a
que varía su dirección constantemente (ya que el movimiento es circular). Pero el módulo de dicha velocidad sí es constante. La tasa de variación de la dirección de la velocidad es la aceleración normal:
𝑎! = 𝜔! · 𝑅! =𝜋3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
!· 3 𝑚
𝒂𝑵 =𝝅𝟐
𝟑 𝒎/𝒔𝟐
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La tasa de variación del módulo de la velocidad es la aceleración tangencial. Dado que el módulo es constante:
𝒂𝒕 = 𝟎 𝒎/𝒔𝟐
d) Ya que el movimiento es circular uniforme, la aceleración angular será nula:
𝛼 =𝑎!𝑅!
=0 𝑚/𝑠!
3 𝑚 ⟶ 𝜶= 𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔
e) Primero vamos a expresar las vueltas en radianes:
𝜃 𝑡! = 25 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 · 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 50𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicamos la ecuación del espacio angular recorrido en función del tiempo para un MCU:
𝜃 𝑡! = 𝜔 · 𝑡! ⟶ 𝑡! =𝜃 𝑡!𝜔 =
50𝜋 𝑟𝑎𝑑𝜋3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝒕𝟏 = 𝟏𝟓𝟎 𝒔
f) Volvemos a aplicar la ecuación del espacio angular:
𝜃 𝑡! = 𝜔 · 𝑡! ⟶ 𝑡! =𝜃 𝑡!𝜔 =
20 𝑟𝑎𝑑𝜋3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝒕𝟐 =𝟔𝟎𝝅𝒔 ≈ 𝟏𝟗′𝟏 𝒔
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4. Sabes que la Tierra tiene dos movimientos de rotación, uno alrededor de si misma y otro alrededor del
Sol. En cuanto al primero (rotación alrededor de sí mismo). Halla: (3ptos) a) La velocidad lineal y angular de la Tierra
En cuanto al movimiento de la Tierra alrededor del Sol, si tarda 365’25 días en dar una vuelta y el radio de la órbita que describe es 1’5·∙1011 m, calcula (suponiendo que la órbita es circular):
b) El módulo de la velocidad angular en rad/día. c) El módulo de la velocidad lineal a la que viaja alrededor del Sol. d) El ángulo que recorrerá en 30 días. e) El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol.
DATOS: MTierra = 5’98·∙1024 kg; RTierra = 6370 km
a) Para calcular la velocidad angular de la Tierra tenemos en cuenta su periodo de rotación (1 día):
𝑇! = 24 ℎ = 86400 𝑠 ⟶ 𝜔! =2𝜋𝑇!
=2𝜋 𝑟𝑎𝑑86400 𝑠
𝝎𝑹 = 𝟐!𝟑𝟏𝟓𝝅 · 𝟏𝟎!𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔 Una vez que tenemos la velocidad angular calculamos la velocidad lineal:
𝑣! = 𝜔! · 𝑅! = 2!315𝜋 · 10!! 𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 6370000 𝑚
𝒗𝑹 = 𝟏𝟒𝟕!𝟓𝝅 𝒎/𝒔
b) Para calcular la velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol tenemos en cuenta su periodo de traslación (365’25 días):
𝑇! = 365!25 𝑑í𝑎𝑠 ⟶ 𝜔! =2𝜋𝑇!
=2𝜋 𝑟𝑎𝑑
365!25 𝑑í𝑎𝑠
𝝎𝑻 = 𝟏!𝟕𝟐𝝅 · 𝟏𝟎!𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒅í𝒂
c) Una vez que tenemos la velocidad angular calculamos la velocidad lineal:
𝑣! = 𝜔! · 𝑅!!! = 1!72𝜋 · 10!! 𝑟𝑎𝑑/𝑑í𝑎 · 1!5 · 10!! 𝑚
𝒗𝑻 = 𝟐!𝟓𝟖 · 𝟏𝟎𝟗 𝒎/𝒅í𝒂 ≈ 𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒔
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d) Aplicamos la ecuación del espacio angular recorrido:
𝜃 = 𝜔! · 𝑡 = 1!72𝜋 · 10!! 𝑟𝑎𝑑/𝑑í𝑎 · 30 𝑑í𝑎𝑠
𝜽 = 𝟎!𝟓𝟏𝟔 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐𝟗′𝟔° Sabemos que a grandes rasgos, 30 días equivale a 1 mes. Si en 1 mes recorre aproximadamente 30o, en 12 meses recorrerá 360o. Es decir la vuelta completa. Este tipo de aproximación puede hacerse debido a que el movimiento es circular uniforme y, por lo tanto, sus ecuaciones son lineales.
e) Calcular la aceleración centrípeta (o normal):
𝑎! =𝑣!
𝑅 =2!99 · 10! 𝑚/𝑠 !
1!5 · 10!! 𝑚
𝒂𝑵 = 𝟓!𝟗𝟔 · 𝟏𝟎!𝟑 𝒎/𝒔𝟐