Examen - física - 1º bachillerato - 06-02-2012

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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected] Examen de Física – 1º Bachillerato – 6/02/2012 1. Un globo se eleva verticalmente con velocidad constante de 4’9 m/s y abandona un peso en el instante en el que el globo está a 19’2 m del suelo. Calcula: (2ptos) a) La posición y la velocidad del peso al cabo de 1/4 s. b) El tiempo que tarda en llegar al suelo. c) La velocidad del peso en ese punto. a) El peso describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), cuya posición quedará descrita por la expresión matemática: = ! + ! + 1 2 ! y la velocidad por: = ! + En el momento inicial (cuando se suelta el peso desde el globo) este lleva una velocidad inicial ! = 4 ! 9 /, y está a una altura inicial ! = 19 ! 2 . Sustituyendo podemos calcular su posición y velocidad para = ! ! = 0 ! 25 : 0 ! 25 = 19 ! 2 + 4 ! 9 / · 0′25 9 ! 8 / ! 2 0 ! 25 ! ! = ! 0 ! 25 = 4 ! 9 / 9 ! 8 / ! · 0 ! 25 ! = ! / b) Volvemos a utilizar la expresión de la posición para calcula el tiempo para el cual llega al suelo. En dicha situación su posición será = 0 : = ! + ! + 1 2 ! = 19 ! 2 + 4 ! 9 / · 9 ! 8 / ! 2 ! Las dos soluciones de la ecuación son ! = 1 ! 54 , que no es un tiempo válido por ser negativo; y = ! que es la solución con significado físico en nuestro problema. c) Para calcular la velocidad para ese tiempo ! basta con sustituir en la expresión de la velocidad: ! = ! + ! ! ! = 4 ! 9 9 ! 8 ! · 2 ! 54 ! = ! / ( á )

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Examen  de  Física  –  1º  Bachillerato  –  6/02/2012    

1. Un  globo  se  eleva  verticalmente  con  velocidad  constante  de  4’9  m/s  y  abandona  un  peso  en  el  instante  en  el  que  el  globo  está  a  19’2  m  del  suelo.  Calcula:  (2ptos)  

a) La  posición  y  la  velocidad  del  peso  al  cabo  de  1/4  s.  b) El  tiempo  que  tarda  en  llegar  al  suelo.  c) La  velocidad  del  peso  en  ese  punto.  

 

a) El  peso  describirá  un  movimiento  rectilíneo  uniformemente  acelerado  (MRUA),  cuya  posición  quedará  descrita  por  la  expresión  matemática:  

𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!𝑡 +12𝑔𝑡

!  

y  la  velocidad  por:  𝑣 𝑡 = 𝑣! + 𝑔𝑡  

 En  el  momento  inicial  (cuando  se  suelta  el  peso  desde  el  globo)  este  lleva  una  velocidad  inicial  𝑣! = 4!9  𝑚/𝑠,  y  está  a  una  altura  inicial  𝑦! = 19!2  𝑚.  Sustituyendo  podemos  calcular  su  posición  y  velocidad  para  𝑡 = !

!  𝑠 = 0!25  𝑠:  

𝑦 0!25  𝑠 = 19!2  𝑚 + 4!9  𝑚/𝑠 · 0′25  𝑠 −9!8  𝑚/𝑠!

2 0!25  𝑠 !    

𝒚 𝟎!𝟐𝟓  𝒔 = 𝟐𝟎!𝟏𝟐  𝒎    

𝑣 0!25  𝑠 = 4!9  𝑚/𝑠 − 9!8  𝑚/𝑠! · 0!25  𝑠    

𝒗 𝟎!𝟐𝟓  𝒔 = 𝟐!𝟒𝟓𝒎/𝒔    

b) Volvemos  a  utilizar  la  expresión  de  la  posición  para  calcula  el  tiempo  para  el  cual  llega  al  suelo.  En  dicha  situación  su  posición  será  𝑦 𝑡′ = 0  𝑚:  

𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!𝑡 +12𝑔𝑡

!  

𝑦 𝑡′ = 19!2  𝑚 + 4!9  𝑚/𝑠 · 𝑡 −9!8  𝑚/𝑠!

2 𝑡!    Las  dos  soluciones  de  la  ecuación  son  𝑡′! = −1!54  𝑠,  que  no  es  un  tiempo  válido  por  ser  negativo;  y  𝒕′𝟐 = 𝟐!𝟓𝟒  𝒔  que  es  la  solución  con  significado  físico  en  nuestro  problema.    

c) Para  calcular  la  velocidad  para  ese  tiempo  𝑡′!  basta  con  sustituir  en  la  expresión  de  la  velocidad:    

𝑣 𝑡′! = 𝑣! + 𝑔𝑡′!    

𝑣 𝑡!! = 4!9𝑚𝑠 − 9

!8𝑚𝑠! · 2

!54  𝑠    

𝒗 𝒕!𝟐 = −𝟏𝟗!𝟗𝟗  𝒎/𝒔  (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜  𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜  𝑦𝑎  𝑞𝑢𝑒  𝑒𝑠𝑡á  𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜)  

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2. Un   proyectil   disparado   formando   un   ángulo   de   53o   por   encima   de   la   horizontal   alcanza   un   edificio,  alejado  43’2  m,  en  un  punto  que  se  encuentra  13’5  m  por  encima  del  punto  de  lanzamiento.  Calcular:  (2ptos)  

a) La  velocidad  del  disparo.  b) El  valor  de  la  velocidad  del  proyectil  cuando  golpea  el  edificio  (módulo  y  ángulo).  c) El  tiempo  que  está  en  el  aire  el  proyectil.  

 

a) Es   un   problema   de   tiro   parabólico,   por   lo   que   estudiaremos   la   composición   de   dos  movimientos,   uno   rectilíneo  uniforme   (horizontal)   y   otro   rectilíneo  uniformemente   acelerado  (vertical):    

𝑥 = 𝑣! · 𝑡                                                ⟶      𝑣! = 𝑣! · cos 53° = 0!6 · 𝑣!  

𝑦 = 𝑣!! · 𝑡 +12𝑔𝑡

!          ⟶        𝑣!! = 𝑣! · sin 53° = 0!8 · 𝑣!    Planteamos  las  ecuaciones  del  movimiento  para  el  punto   𝑥 = 43!5  𝑚,𝑦 = 13!5  𝑚 :    

43!2  𝑚 = 0!6 · 𝑣! · 𝑡    

13!5  𝑚 = 0!8 · 𝑣! · 𝑡 − 4!9𝑚/𝑠! · 𝑡!    Es  un  sistema  de  ecuaciones  con  dos  incógnitas,  𝑣!  y  𝑡.  Calculando  la  velocidad  respondemos  a  este  apartado,  y  calculando  el  tiempo  al  apartado  c)  del  problema.    

𝒗𝟎 = 𝟐𝟒  𝒎/𝒔    y    𝒕 = 𝟑  𝒔    

b) Para  calcular   la  velocidad  en  el  punto  anterior  basta  con  derivar   las  ecuaciones  de   la  posición  respecto   del   tiempo   para   obtener   así   las   de   la   velocidad.   Después   sustituimos   los   valores  calculados  en  el  apartado  anterior:    

𝑣! = 𝑐𝑡𝑒 = 0!6 · 24  𝑚/𝑠 = 14′44  𝑚/𝑠    

𝑣! 𝑡 = 𝑣!" + 𝑔𝑡    ⟶    𝑣! 3  𝑠 = 0!8 · 24  𝑚/𝑠 − 9!8  𝑚/𝑠! · 3  𝑠 = −10!23  𝑚/𝑠        Calculamos  el  módulo  y  el  argumento:    

𝑣 3  𝑠 = 𝑣!! 3  𝑠 + 𝑣!! 3  𝑠      ⟶       𝒗 𝟑  𝒔 = 𝟏𝟕′𝟕  𝒎/𝒔    

𝛼 = arctan𝑣! 3  𝑠𝑣! 3  𝑠

     ⟶      𝜶=−𝟑𝟓°  𝟐𝟓′  

 c) Ya  hemos  resuelto  este  apartado  al  comienzo  del  problema:  

 𝒕 = 𝟑  𝒔  

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3. En  un  carricoche  de  feria,  que  gira  a  razón  de  10  vueltas  por  minuto,  y  que  tiene  un  radio  de  6  m,  hay  personas  sentadas  en  su  periferia  y  otras  a  3  m  del  centro.  Calcula:  (3ptos)  

a) La  velocidad  angular  en  rad/s.  b) La   velocidad   lineal   de   las   personas   que   están   en   la   periferia   y   la   de   las   que   están   a   3  m  del  

centro.  c) La  aceleración  tangencial  y   la  aceleración  normal   (radial)  de   las  personas  que  están  a  3  m  del  

centro.  d) La  aceleración  angular  del  carricoche  de  feria.  e) ¿Cuánto  tiempo  tardará  el  carricoche  en  dar  25  vueltas?    f) ¿Cuánto  tiempo  tardará  en  recorrer  un  ángulo  de  20  rad?  

 a) Primero   tendremos   que   calcular   la   frecuencia   expresada   en   revoluciones   por   segundo   o  

hertzios:    

𝑓 =10  𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

1  𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 · 60  !/!"#$%& =16  𝐻𝑧  

 Ahora  podemos  calcular  la  velocidad  angular:    

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋  𝑟𝑎𝑑 ·16  𝑠

!!      ⟶      𝝎= 𝝅𝟑  𝒓𝒂𝒅/𝒔    

b) La   velocidad   lineal   se   calcula   como   𝑣 = 𝜔 · 𝑅.   Sabemos   que   la   velocidad   angular   es   igual  independientemente  de   la  distancia  a   la  que  nos  encontremos  del  eje  de  giro,  por   lo   tanto   la  velocidad  lineal  será  una  función  del  radio.  Sustituyendo  datos:    

𝒗 𝑹𝟏 = 𝜔 · 𝑅1 =𝜋

3  𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 3  𝑚 = 𝝅  𝒎/𝒔  

 

𝒗 𝑹𝟐 = 𝜔 · 𝑅2 =𝜋

3  𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 6  𝑚 = 𝟐𝝅  𝒎/𝒔  

 c) El  movimiento  del   tiovivo  es   circular  uniforme   (MCU).   La   velocidad  no  es   constante  debido  a  

que  varía  su  dirección  constantemente   (ya  que  el  movimiento  es  circular).  Pero  el  módulo  de  dicha  velocidad  sí  es  constante.  La  tasa  de  variación  de  la  dirección  de  la  velocidad  es  la  aceleración  normal:    

𝑎! = 𝜔! · 𝑅! =𝜋3  𝑟𝑎𝑑/𝑠

!· 3  𝑚  

 

𝒂𝑵 =𝝅𝟐

𝟑  𝒎/𝒔𝟐  

 

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 La   tasa   de   variación   del   módulo   de   la   velocidad   es   la   aceleración   tangencial.   Dado   que   el  módulo  es  constante:    

𝒂𝒕 = 𝟎  𝒎/𝒔𝟐    

d) Ya  que  el  movimiento  es  circular  uniforme,  la  aceleración  angular  será  nula:    

𝛼 =𝑎!𝑅!

=0  𝑚/𝑠!

3  𝑚      ⟶      𝜶= 𝟎  𝒓𝒂𝒅/𝒔    

e) Primero  vamos  a  expresar  las  vueltas  en  radianes:    

𝜃 𝑡! = 25  𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 · 2𝜋  𝑟𝑎𝑑/𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 50𝜋  𝑟𝑎𝑑    Aplicamos  la  ecuación  del  espacio  angular  recorrido  en  función  del  tiempo  para  un  MCU:    

𝜃 𝑡! = 𝜔 · 𝑡!      ⟶       𝑡! =𝜃 𝑡!𝜔 =

50𝜋  𝑟𝑎𝑑𝜋3  𝑟𝑎𝑑/𝑠

 

 𝒕𝟏 = 𝟏𝟓𝟎  𝒔  

   f) Volvemos  a  aplicar  la  ecuación  del  espacio  angular:  

 

𝜃 𝑡! = 𝜔 · 𝑡!      ⟶       𝑡! =𝜃 𝑡!𝜔 =

20  𝑟𝑎𝑑𝜋3  𝑟𝑎𝑑/𝑠

 

 

𝒕𝟐 =𝟔𝟎𝝅𝒔 ≈ 𝟏𝟗′𝟏  𝒔  

                     

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 4. Sabes  que  la  Tierra  tiene  dos  movimientos  de  rotación,  uno  alrededor  de  si  misma  y  otro  alrededor  del  

Sol.  En  cuanto  al  primero  (rotación  alrededor  de  sí  mismo).  Halla:  (3ptos)  a) La  velocidad  lineal  y  angular  de  la  Tierra  

 En  cuanto  al  movimiento  de  la  Tierra  alrededor  del  Sol,  si  tarda  365’25  días  en  dar  una  vuelta  y  el  radio  de  la  órbita  que  describe  es  1’5·∙1011  m,  calcula  (suponiendo  que  la  órbita  es  circular):  

b) El  módulo  de  la  velocidad  angular  en  rad/día.  c) El  módulo  de  la  velocidad  lineal  a  la  que  viaja  alrededor  del  Sol.  d) El  ángulo  que  recorrerá  en  30  días.  e) El  módulo  de  la  aceleración  centrípeta  provocada  por  el  Sol.  

DATOS:  MTierra  =  5’98·∙1024  kg;  RTierra  =  6370  km    

a) Para  calcular  la  velocidad  angular  de  la  Tierra  tenemos  en  cuenta  su  periodo  de  rotación  (1  día):    

𝑇! = 24  ℎ = 86400  𝑠      ⟶      𝜔! =2𝜋𝑇!

=2𝜋  𝑟𝑎𝑑86400  𝑠  

 

𝝎𝑹 = 𝟐!𝟑𝟏𝟓𝝅 · 𝟏𝟎!𝟓  𝒓𝒂𝒅/𝒔    Una  vez  que  tenemos  la  velocidad  angular  calculamos  la  velocidad  lineal:    

𝑣! = 𝜔! · 𝑅! = 2!315𝜋 · 10!!  𝑟𝑎𝑑/𝑠 · 6370000  𝑚    

𝒗𝑹 = 𝟏𝟒𝟕!𝟓𝝅  𝒎/𝒔    

b) Para  calcular  la  velocidad  angular  de  la  Tierra  alrededor  del  Sol  tenemos  en  cuenta  su  periodo  de  traslación  (365’25  días):    

𝑇! = 365!25  𝑑í𝑎𝑠      ⟶      𝜔! =2𝜋𝑇!

=2𝜋  𝑟𝑎𝑑

365!25  𝑑í𝑎𝑠  

 𝝎𝑻 = 𝟏!𝟕𝟐𝝅 · 𝟏𝟎!𝟐  𝒓𝒂𝒅/𝒅í𝒂  

 c) Una  vez  que  tenemos  la  velocidad  angular  calculamos  la  velocidad  lineal:  

 𝑣! = 𝜔! · 𝑅!!! = 1!72𝜋 · 10!!  𝑟𝑎𝑑/𝑑í𝑎 · 1!5 · 10!!  𝑚  

 

𝒗𝑻 = 𝟐!𝟓𝟖 · 𝟏𝟎𝟗  𝒎/𝒅í𝒂 ≈ 𝟑𝟎  𝒌𝒎/𝒔        

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d) Aplicamos  la  ecuación  del  espacio  angular  recorrido:    

𝜃 = 𝜔! · 𝑡 = 1!72𝜋 · 10!!  𝑟𝑎𝑑/𝑑í𝑎 · 30  𝑑í𝑎𝑠    

𝜽 = 𝟎!𝟓𝟏𝟔  𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐𝟗′𝟔°    Sabemos  que  a  grandes  rasgos,  30  días  equivale  a  1  mes.  Si  en  1  mes  recorre  aproximadamente  30o,  en  12  meses  recorrerá  360o.  Es  decir   la  vuelta  completa.  Este  tipo  de  aproximación  puede  hacerse   debido   a   que   el  movimiento   es   circular   uniforme   y,   por   lo   tanto,   sus   ecuaciones   son  lineales.        

e) Calcular  la  aceleración  centrípeta  (o  normal):    

𝑎! =𝑣!

𝑅 =2!99 · 10!  𝑚/𝑠 !

1!5 · 10!!  𝑚  

 𝒂𝑵 = 𝟓!𝟗𝟔 · 𝟏𝟎!𝟑  𝒎/𝒔𝟐