UniversidadeVigo - EEI Calculo II y E.D. Curso 2013/14

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nota sobre 10

Examen Final23 de mayo de 2014, 9:00h

Pregunta 1(1.5 pt.)

Sea R la region de integracion correspondiente a la siguiente integral doble:∫ 3

0

∫ 2

√y

1

x2dxdy .

(0.5 pt.) (a) Dibuja la region R.

(0.5 pt.) (b) Escribe la integral iterada que se obtiene al cambiar el orden de integracion.

(0.5 pt.) (c) Calcula el valor de la integral.

Solucion:

(a) Region:

1 3 2

1

2

3

(b)

∫ √30

∫ x2

0

1

x2dydx+

∫ 2

√3

∫ 3

0

1

x2dydx.

(c)

∫ 3

0

∫ 2

√y

1

x2dxdy =

∫ 3

0

[−1

x

]2√y

dy =

∫ 3

0

(−1

2+

1√y

)dy = 2

√3− 3

2.

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Pregunta 2(2 pt.)

Considera el siguiente campo vectorial en el plano:

F(x, y) =(y3 + 1 , 3xy2 + 1

).

(1 pt.) (a) ¿Es F conservativo? En caso afirmativo calcula una funcion potencial para F.

(0.6 pt.) (b) Plantea y evalua la integral de lınea de F a lo largo del segmento que va del punto (0, 0)al punto (2, 0) usando una parametrizacion del mismo.

(0.4 pt.) (c) ¿Cuanto vale la integral de lınea de F a lo largo de la semicircunferencia (x− 1)2 + y2 = 1con y ≥ 0 desde (0, 0) a (2, 0)?

Solucion:

(a)∂(3xy2 + 1)

∂x= 3y2,

∂(y3 + 1)

∂y= 3y2.

Las dos parciales coinciden, por tanto es conservativo.

Una funcion potencial es f(x, y) = xy3 + x+ y.

(b) r(t) = ti = t(1, 0), 0 ≤ t ≤ 2; F(r(t)

)·dr = F(t, 0)·idt = dt;

∫CF·dr =

∫ 2

0dt = 2.

(c) Puesto que el campo es conservativo, la integral de lınea es independiente del camino ypor tanto tambien vale 2.

Otra forma de calcularla es usando la funcion potencial y el teorema fundamental de lasintegrales de lınea, obteniendose el mismo resultado:

f(2, 0)− f(0, 0) = 2− 0 = 2

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Pregunta 3(1.5 pt.)

Calcula la integral triple ∫ ∫ ∫E

cos((x2 + y2 + z2)

32)dV,

donde E es la esfera unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Solucion:

Como estamos integrando en el interior de una esfera centrada en el origen lo mas apropiadoes usar coordenadas esfericas, especialmente teniendo en cuenta que en coordenadas esfericasx2 + y2 + z2 = ρ2 y por tanto el integrando es cos

((x2 + y2 + z2)

32

)= cos(ρ3). Por tanto:∫ ∫ ∫

Ecos((x2 + y2 + z2)

32)dV =

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ 1

0ρ2 cos

(ρ3)dρ

)sen(φ) dφ

)dθ

=

(∫ 2π

0dθ

)(∫ π

0sen(φ) dφ

)(∫ 1

0ρ2 cos

(ρ3)dρ

)= 2π × 2×

(1

3

∫ 1

0cosu du

)=

4π

3sen(1).

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Pregunta 4(2 pt.)

Sea S = ∂E la superficie frontera del solido E limitado inferiormente por el paraboloidez = 1 + x2 + y2 y superiormente por el plano z = 5. Calcula el flujo del campo

F(x, y, z) = (xy, y2, z − 5)

a traves de la superficie S orientada hacia afuera del solido.

Solucion:

Primera forma:El flujo pedido es la suma del flujo a traves del paraboloide orientado por el vector normal

que apunta hacia abajo y el flujo hacia arriba a traves del cırculo, en el plano z = 5, que hace de“tapa”. Como en los puntos de dicho plano la componente del campo perpendicular al mismo(que es la componente z del campo) se anula, el campo es tangente a dicha “tapa” y por tantoel flujo a traves de la tapa es cero. Ası pues, el flujo pedido se puede calcular usando el vectornormal al paraboloide:

N =

(−∂(1 + x2 + y2)

∂x,−∂(1 + x2 + y2)

∂y, 1

)= (−2x,−2y, 1)

El correspondiente elemento vectorial de superficie “hacia abajo” es:

dS =N

N·(−k)dxdy = (2x, 2y,−1)dxdy

Flujo =

∫∫F·dS =

∫∫(2x2y + 2y3 − x2 − y2 + 4)dxdy

=

∫ 2π

0

(∫ 2

0

(4− r2 + 2r3 sen(θ)

)r dr

)dθ

= 8π

Segunda forma:Por el teorema de la divergencia, el flujo es igual a la integral triple de la divergencia del

campo:

divF =∂(xy)

∂x+∂y2

∂y+∂(z − 5)

∂z= y + 2y + 1 = 3y + 1,

en el solido E. Usando coordenadas cilındricas:

Flujo =

∫ ∫ ∫E

divF dV =

∫ 5

1

(∫r≤√z−1

(3r sen θ + 1)rdrdθ

)dz

=

∫ 5

1

(∫ 2π

0

∫ √z−10

(3r sen θ + 1)rdrdθ

)dz

=

∫ 5

1

(∫ 2π

0

[r3 sen θ + 1

2r2]√z−10

dθ

)dz

=

∫ 5

1

(∫ 2π

0

((z − 1)

√z − 1 sen θ + 1

2(z − 1))dθ

)dz

=

∫ 5

1

(0 + π(z − 1)

)dz = 8π

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Pregunta 5(1.5 pt.)

Resuelve el siguiente problema de valor inicial:

y′ + y =2x

y, y(0) = 1.

Solucion:

Es una ecuacion de Bernoulli de orden n = −1. Se puede resolver de dos formas:

Primera forma: Siguiendo el mismo metodo que para las ecuaciones lineales, suponemos y = uvdonde v satisface v′ + p(x)v = 0, o, dado que p(x) = 1, v′ + v = 0 de donde v = e−x. Ahorahallamos la ecuacion para u, que resulta:

u′v+0 =2x

uv; u′u = 2x v−2 = 2xe2x; 2uu′ = 4xe2x; u2−u20 =

∫ x

04te2tdt = e2x(2x−1)+1

La solucion general es, pues:

y = ±e−x√u20 + 1 + (2x− 1)e2x = ±

√c1e−2x + 2x− 1

y la solucion buscada tiene u0 = 1 o c1 = 2, luego es:

y = ±√

2e−2x + 2x− 1

Segunda forma: Hacemos el cambio de variable z = y1−n = y2 para transformarla en unaecuacion lineal para z. Se obtiene la ecuacion:

z′ + 2z = 4x

cuya solucion general es z = c1e−2x + 2x− 1

Por tanto, la solucion general de la ecuacion dada es:

y = ±√c1e−2x + 2x− 1

Usando la condicion inicial, hallamos que la constante es c1 = 2 y la solucion del problema devalor inicial:

y = ±√

2e−2x + 2x− 1.

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Pregunta 6(1.5 pt.)

Halla la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial equidimensional o de Euler-Cauchy:

x2y′′ + xy′ + 2y = 3x+ 1 (x > 0).

Solucion:

Hacemos el cambio de variable x = ez de forma que dxdz = ez = x y por tanto

dy

dz=dy

dx

dx

dz= y′x.

d2y

dz2=

d

dz

(y′x)

=d

dx

(y′x)dxdz

=(y′′x+ y′

)x = x2y′′ + xy′

Por tanto nuestra ecuacion queda:

d2y

dz2+ 2y = 3ez + 1

que es una ecuacion lineal de segundo orden facil de resolver por coeficientes indeterminados:La homogenea asociada es la ecuacion de ondas de frecuencia

√2 en la variable z, luego su

solucion general esyh = c1 sen

(√2z)

+ c2 cos(√

2z).

Para buscar una solucion particular por coeficientes indeterminados, vemos que el terminoindependiente es suma de funciones de dos tipos: exponencial y polinomio de grado cero. Ası pues,

buscamos primero una solucion particular de d2ydz2

+2y = 3ez que sea una exponencial de la forma

y = Aez, la cual sustituida en la ecuacion d2ydz2

+ 2y = 3ez nos da Aez + 2Aez = 3ez, de donde

A = 1. Ahora buscamos una solucion particular de d2ydz2

+ 2y = 1 que sea un polinomio de gradocero, es decir una constante. Evidentemente tiene que ser y = 1

2 , por tanto la solucion particularde la ecuacion dada es la suma de estas dos:

yp = ez +1

2.

En consecuencia, la solucion general es yh + yp, es decir

c1 sen(√

2z)

+ c2 cos(√

2z)

+ ez +1

2,

lo cual, deshaciendo el cambio de variable, ez = x, z = lnx, da:

y = c1 sen(√

2 lnx)

+ c2 cos(√

2 lnx)

+ x+1

2