UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “A”

30 de Mayo de 2011 Semestre 2011-2 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Mediante el límite de la suma de Riemann calcular

1

1

12

x dx�

§ ·�¨ ¸© ¹³

15 puntos

2. Calcular, si existe

limx

x x�o

§ ·�¨ ¸© ¹

2

0

5 1

10 puntos

3. Efectuar

) cota x ang x dx³ 2 2)

9dxb

x x �³

2

3 2

9) xc dxx x

��³

30 puntos

1EF2011-2A

4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de

2 2y x y x y � �

10 puntos

5. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección entre la gráfica de la

función � � 2 2,f x y x y � y el plano 2x , en el punto (2, 1, 5). Hacer la representación gráfica.

15 puntos

6. Sea la función tan xz angy

, mostrar que z z

x y y xw w

w w w w

2 2

10 puntos

7. Para la función 2 2 1z x y � � , determinar su dominio, su recorrido y trazar la

gráfica de la función.

10 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final

Tipo “A” Semestre 2011 – 2

1. Mediante el límite de las sumas de Riemann, obtener 1

1

12

x dx�

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1

1

1 1

1

1 1

21 1

1 2 212

1 2 1 2 3 21 12 2 2

1 3 2 22 2

3 41

3

nb

na in

ni

n

nin n

ni i

n

b a b af x dx lim f a in n

x dx lim f in n

f x x f i i in n n

x dx lim in n

lim in n

lim nn

of

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1

1

142

1 13 42 2

3 2 1

1 12

n

n nn

limn

x dx

of

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��

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15 Puntos

S1EF_A11-2

2. 2 0

0

5 1x

xlim

x�o

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� ��

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2

0 0

0 0

10 0

2

0 0

5 1

5 12

5 12

1 5 12

5 112

1 55 11

2

x

x x

x x

x x

x x

yx

xln y lnx

xlim ln y lim lnx

lim ln y lim xlnx

lnxlim ln y limx

Aplicando regla de L' H opital

xxlim ln y lim

� �

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� �

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o o

o o

�o o

o o

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© ¹

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2

0

0

0

2

0

1

0

1

5 1 1

x

x

ln lim y

x

x

x

xlim ln y

e elim y

limx

�

�o

�

�

o

§ ·¨ ¸© ¹

o

o

¸¹

�

§ ·� ¨ ¸© ¹

10 Puntos

S1EF_A_11-2

3. Efectuar

2 2

2

2

2

2

12 2 1

121

12 2 2

a ) xangcot x dx

x xxangcot x dx angcot x dxx

u angcot x dv x dx

xdu dx vx

x xxangcot x dx angcot x angtanx C

��

ª º« »« » � « »�¬ ¼

� � �

³³³

³

� �

2 2

2

2 2

2

22

2

2 2

9

3 1 1 19 9 99 3

393 3

9

1 999

dxb )x x

sec d sec d cot csc d csc Ctan sec tan

x xsen tanx

cos dx sec dx

dx x Cxx x

T T T T T T T TT T T

T T

T T T

�

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³³ ³ ³

³

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2

3 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 9

3 2 8

9

911

911

9 1 19 9 8

9 9 8 99 8 11

9 91

xc ) I dxx x

x A B CI dx dxx xx x x

x A B Cx xx x x

x Ax x B x C xA B C

I dx ln x ln x Cx x xx

x xdx ln Cxx x x

�

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§ · � � � � � �¨ ¸�© ¹

ª º� � �« »

� « � »¬ ¼

³³ ³

³

³

30 Puntos

4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de ecuación y x � y 2 2x y �

S1EF_A11-2

� � � �11 1 2 3

2 2

2 2 2

2 2 22 3

3 93 62 2

92

y yA y y dy y y dy y

A

A unidades deárea

� � �

ª ºª º � � � � � � � � �« »¬ ¼ ¬ ¼

� �

³ ³

10 Puntos

5. Sea � � 2 2f x , y x y �

P

T

z zyy x

m

w w �

w w

2 2

2

15 Puntos

S1EF_A11-2

6. Sea yz ang tanx

§ · ¨ ¸© ¹ mostrar que

2 2z zx y y xw w

w w w w

� �

2 2 2

2 2 22 2

z x z x yy x yx y x y

w w � � �

w w w� �

� �2 2 2

2 2 2 2 22 22

1z y z x yyx y xx y x y x y

y

w w � �

w w w� � �

10 Puntos

7.

� �^ ` > �^ `

2 2

2 2

1

1 0f f

z x y

D x,y x y R z z ,

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� t � f

10 Puntos