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Examen extraordinario de Ingeniería de Fluidos 2012. SOLUCIÓN Problema 1 a)Dada la figura, como la sección no es circular tenemos que usar el diámetro hidráulico. Lo primero es calcular el área. Para ello, vamos adividir el canal en dos áreas, un rectángulo y un triángulo: A Rect. = 1, 64 3, 28 × 0, 6 m 2 =0, 3 m 2 ,A Tri = base × altura 2 Para hallar la base del triángulo: base 2 +0, 5 2 = (21, 26 × 2, 54e - 2) 2 base = p 0, 54 2 - 0, 5 2 =0, 2 m, luego el área final es: A Tri = 0, 2 × 0, 5 2 m 2 y el área final:A =0, 3+0, 05 m 2 =0, 35 m 2 . Por lo tanto, el perímetro mojado es: Per. Moj. =0, 5+0, 6+0, 54 m =1, 64 m y el diámetro hidráulico da: D H = 4A P er.M oj. = 4 × 0, 35 1, 64 m =0, 85 m Sacamos la velocidad del caudal, como siempre: Q = V × A V = Q A V = 10 -2 0, 35 m/s = 28, 6 mm/s Y por lo tanto el número de Reynolds: Re = V × D H ν = V × D H × ρ ν = 28, 6 · 10 -3 · 0, 85 · 10 3 10 -3 = 24 310 Este número de Reynolds es muy alto y eso a pesar de la baja velocidad del agua, debido principalmente al alto valor del diámetro hidráulico. Sea por la razón que sea, al ser tan alto el número de Reynolds, el fluido se transporta por la tubería en régimen turbulento. Para que se produzca el cambio de régimen, la velocidad debe cambiar hasta que el número de Reynolds sea el crítico, que consideramos 2 300. Por lo tanto, la velocidad solicitada es: 2 300 = V · 0, 854 10[-6 V = 2 300 · 10 -6 0, 854 =2, 7 · 10 -3 m/s lo que en principio indica que el agua estará siempre en estado turbulento en este sistema. b) En el problema no se proporcionan variables numéricas para poder saber si el valor final, LNE f , es mayor o menor que el inicial, LNE 0 , ni sus valores. 1

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Examen extraordinario de Ingeniería de Fluidos 2012. SOLUCIÓN

Problema 1

a )Dada la figura, como la sección no es circular tenemos que usar el diámetro hidráulico. Lo primero es calcularel área. Para ello, vamos adividir el canal en dos áreas, un rectángulo y un triángulo:

ARect. =1, 64

3, 28× 0, 6m2 = 0, 3m2, ATri =

base× altura2

Para hallar la base del triángulo: base2+0, 52 = (21, 26× 2, 54e− 2)2 ⇒ base =√

0, 542 − 0, 52 = 0, 2m, luegoel área final es:

ATri =0, 2× 0, 5

2m2 y el área final:A = 0, 3 + 0, 05m2 = 0, 35m2.

Por lo tanto, el perímetro mojado es:

Per. Moj. = 0, 5 + 0, 6 + 0, 54m = 1, 64m

y el diámetro hidráulico da:

DH =4A

Per.Moj.=

4× 0, 35

1, 64m = 0, 85m

Sacamos la velocidad del caudal, como siempre:

Q = V ×A⇒ V =Q

A⇒ V =

10−2

0, 35m/s = 28, 6mm/s

Y por lo tanto el número de Reynolds:

Re =V ×DH

ν=V ×DH × ρ

ν=

28, 6 · 10−3 · 0, 85 · 103

10−3= 24 310

Este número de Reynolds es muy alto y eso a pesar de la baja velocidad del agua, debido principalmente alalto valor del diámetro hidráulico. Sea por la razón que sea, al ser tan alto el número de Reynolds, el fluido setransporta por la tubería en régimen turbulento.Para que se produzca el cambio de régimen, la velocidad debe cambiar hasta que el número de Reynolds sea elcrítico, que consideramos 2 300. Por lo tanto, la velocidad solicitada es:

2 300 =V · 0, 85410[−6

⇒ V =2 300 · 10−6

0, 854= 2, 7 · 10−3m/s

lo que en principio indica que el agua estará siempre en estado turbulento en este sistema.b ) En el problema no se proporcionan variables numéricas para poder saber si el valor final, LNEf , es

mayor o menor que el inicial, LNE0, ni sus valores.

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Pero suponiendo sabidos estos datos, LNE0 se puede escribir como: LNE0 = h0 +P0ρg , con h0 y P0 la altura

inicial del depósito y la presión inicial de fluido en el mismo, respectivamente. Podrían añadirse las pérdidas decarga localizadas del depósito 2, pero no hay ninguna indicación en el problema de que se haga así.

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Problema 2Calcule la pérdida de carga por unidad de longitud en el caso de que por la tubería de cemento (rugosidad 1 mmy diámetro 40 cm) circule alcohol a una velocidad media de 4 pies por segundo. De los datos dados en el examenextraemos los siguientes números:

ρAlc = 787Kg/m3

µ = 10−3Pa · s

}µAlcρAlc

= νAlc = 1, 27 · 10−6m2/s

V = 4 ft/s =4

3, 28m/s = 1, 22m/s

e = 10−3 mD = 0, 4m

}ε =

e

D=

10−3

4 · 10−3= 2, 5 · 10−3

Así obtenemos para el número de Reynolds Re = 1,22·0,41,27·10−6 = 3, 84 · 105, y con la rugosidad relativa ε y el

diagrama de Moody:ε = 2, 5 · 10−3

Re = 3, 85 · 105}⇒ f ≈ 2, 5 · 10−2

Como ya conocemos el factor de fricción podemos usar la relación de la pérdida de carga para calcular su valorpor unidad de longitud, como pide el problema:

hf = f · V 2·L2·D·g ⇒

hfL = f · V 2

2·D·g = 2, 5 · 10−2 · 1, 222

2 · 0, 4 · 9, 81hfL

= 4, 74 · 10−3 [adim.]

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Problema 3

En el sistema de la figura, el caudal que circula por R2 y T1 es el mismo por los reguladores de caudal queposeen. Las tuberías son de madera (rugosidad de 300 micrómetros) y el fluido que circula, aceite (ρ = 0,97ρAgua, µ = 1 524 µAgua) con un caudal de salida de 7 200 l/h.a ) ¿Cuál es la longitud de la rama R2 si la pérdida de carga es 3,54 pulgadas?b )¿Qué velocidad en m/s alcanza el aceite en la rama P1? Interprete el valor obtenido.

a ) hfR2 = 3,54 " ≈ 90 · 10−3 m.Como QR2 = QT1, entonces el caudal total se relaciona con el de la tubería R2 como:QR2 = 0,5· QT = 10−3 m3/s. Luego se puede hallar la velocidad del caudal con el sistema habitual y luegobuscar el valor de la longitud de la tubería R2 de la pérdida de carga del sistema:

V =Q

A⇒ V = 10−3

0,25·π·(5·10−3)2= 0, 51m/s

hfR2 = fR2 ·V 2R2 · LR2

2 ·DR2 · g⇒ LR2 =

hfR2·2·DR2·gfR2·V 2

R2

Para poder calcular esta longitud me hace falta el valor del coeficiente de fricción. Calculando el número deReynolds: ReR2 = 0,51·5·10−2

1,57·10−3 = 16, 24. El flujo es totalmente laminar por tener un número de Reynolds tanbajo, por lo que podemos usar sin ningún problema la aproximación analítica para obtener el factor de frcción:f = 64

Re =64

16,24 = 3, 94.Este valor es altísimo1 pero lógico para un fluido con un número de Reynolds tan bajo. La longitud pedida es:

LR2 =hfR2 ·DR2 · gfR2 · V 2

R2

=90 · 10−3 × 2× 0, 05× 9, 81

3, 94 · 0, 512= 0, 086m

b ) Por la configuración de las tuberías:

hP1 + hT1 = hR2 ⇒hP1 = hR2 − hT1

Y como las tuberías T1 y R2 tiene el mismo radio, son del mismo material y el caudal que circula por ellas esel mismo, para hallar la pérdida de carga en T1 sólo hay que sustituir la longitud de los cálculos anteriores:

hfT1 = 3, 94 · 0, 512 · 4 · 102

2 · 5 · 10−2 · 9, 81m = 0, 042m⇒ hfP1 = 0, 086− 0, 042m = 0, 044m

Ahora, para hallar la velocidad en esta tubería, tendría que realizar una serie de iteraciones. Pero vistos losresultados anteriores, considero primero que el aceite está en régimen laminar y por lo tanto la relación entre

1¡Más de tres mil veces el límite de la escala del diagrama de Moody!

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la pérdida de carga y la velocidad es analítica:

hfP1 =64νAcVP1D1

V 2P1LP1

2DP1g⇒

VP1 =hfp1D

2P1g

32νacLP1⇒

VP1 =0, 044 · (6 · 10−2)2 · 9, 81

32 · 1, 57 · 10−3 · 20m/s = 1, 55 · 10−3 m/s

Comprobamos que nuestra hipótesis inicial de flujo laminar es cierta, calculando el número de Reynolds:

ReP1 =1, 55 · 10−3 × 60 · 10−3

1, 57 · 10−3= 0, 06.

Ciertamente, el aceite está en régimen laminar. De hecho, observando el resultado combinado de la velocidad yel valor anterior, oparece correcto asumir o interpretar que el aceite no se mueve dentro de la tubería P1 y porlo tanto casi todo el caudal debería ir por la rama 2.

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Problema 4En el sistema hidráulico de la figura se observa un caudal de 10 ft3/h cuan-

do la altura de fluido en el depósito alcanza las 144 pulgadas. a )Halle laviscosidad dinámica (µ/ρ) del fluido que circula considerando régimen laminary semiestacionario.b ) ¿Con los datos disponibles, ¿le parece justificada la afirmación del régimenlaminar? Justifique la respuesta.Q = 10 ft3/h = 10

3600ft3/s = 2, 8 · 10−3ft3/s, el cálculo de la velocidad es

inmediato:V = Q

0,25πD2 = 2,8·10−3

0,25·π·0,042 ft/s = 2,2 ft/sEl valor de g en estas unidades es: 9,81 m/s = 32,18 ft/s.Con todos estos datos ya podemos ponernos a trabajar. Si planteamos la ecuación de Bernoulli modificada entreel principio del depósito(A) y el final de la tubería(B) obtenemos:

PAρg

+ zA = PBρg +

V 2b2g + hf ⇒

hf = zA −V 2B2g

hf = 12− 2,22

2·0,04·32,18 ft⇒hf = 10, 12 ft = 3, 08m

Donde hemos hecho uso de que ekl depósito y la tubería están abiertos a la atmósfera, lo que implica que lapresión del fluido es al misma en ambos puntos. Además, aunque sabemos que el sistema no es estacionario, loconsideramos semieestacionario y por lo tanto aplicamos las ecuaciones del caso estacionario. Y como ademásnos dicen que consideremos el fluido en régimen laminar, ya sabemos que la expresión del factor de fricción esanalítica:

hf =��64

��V ·DνV �2 · L�2 ·D · g

=32 · V · LD2 · g

ν =hf ·D2 · g32 · V · L

ν = 10,12·0,042·32,1832·2,2·6 ft2/s = 1, 23 · 10−3 ft2/s = 1, 15 · 10−4 m2/s

b ) Dado que la velocidad es 2,2 ft/s y ν 1,23·10[−3 ft2/s, el valor del número de Reynolds es:

Re =2, 2 · 0, 041, 23 · 10−3

= 71, 55

Con un valor del número de Reynolds tan bajo está justificado el considerar que el fluido se halla en regimenlaminar.

Datos Generales:

µAlcohol = 10−3 Pa ·sρAlcohol = 787 kg / m3

1 m = 3,28 ft1 in = 2,54 cmρAgua = 103 Kg/m3.µAgua = 10−3 Pa ·s

DH =4A

Per.Moj.

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Teoría 1Un fabricante de bombas para gases afirma que sus productos están libres de defectos o problemas causados porla cavitación. ¿Cree que este hecho le distingue de la competencia? Justifique la respuesta.No, por supuesto que no supone ninguna diferencia. La cavitación es el cambio brusco de fase de un fluido deestado líquido a estado gas, por lo que cuando el fluido ya es un gas no puede apreciarse el fenómeno. Luegoninguna bomba que bombee gases va a sufrir el fenómeno de la cavitación.

Teoría 2a )¿Por qué cree que se escogen fluidos con una alta viscosidad para ser lubricantes? b )¿Es importante el

régimen del fluido, laminar o turbulento, para poder predecir o entender el fenómeno de la lubricación hidráulica?a ) Se escogen fluidos muy viscosso para ser lubricantes porque la sustentación de un fluido cuando se encuentraen los regímenes pertinentes para la lubricación es proporcional a la viscosidad. Esto quiere decir que cuantomás viscoso sea el fluido, más sustentación generará, mayores cargas puede soportar y mejor lubricante será.Únicamente en algunos casos muy concretos no interesa lubricar con fluidos de alta viscosidad. Por ejemplo, en lascentrifugadoras de separación isotópica. Cuando el sistema mecánico se está moviendo a muy altas velocidades(≈106 m/s son necesarios en estos aparatos2) el fluido lubricante tiene principalmente que refrigerar. Por ello,se usan muy altos flujos de aire, cuya viscosidad en mínima.b ) No sólo es importante, es uno de los elementos básicos. Como se vió en clase y está escrito en cualquierlibro, incluidos aquellos de la bibliografía, cuando de considera el fenómeno de la lubricación usando fluidoscomo separación entre las piezas metálicas3 implícitamente se reconoció que el régimen del fluido es laminar,lo que permite q ue múltiples expresiones que aparecen al tratar de entender el fenómeno tengan expresiónanalítica.

Teoría 3a )¿Qué significan los términos «estacionario» y «estático»?b ) Dada la definición de derivada material: D

Dt(?)def= ∂(?)

∂t + v · ∇(?), justificar la existencia de aceleracionesen sistemas fluidos estacionarios.c ) ¿Está relacionado el apartado anterior con la existencia de fuerzas en el sistema fluido? Justifique la res-puesta.d ) ¿Qué dos fuerzas que actuán sobre un fluido relaciona el número de Reynolds? ¿Cuáles son sus dimensiones?a ) «Estacionario» quiere decir que las magnitudes relevantes de un sistema se mantienen inalteradas en lasescalas de tiempo relevantes.«Estático» es aquel sistema que no se mueve, cuya velocidad es nula o tan pequeña como para considerarladespreciable.b ) Dado que: D

Dt(?)def= ∂(?)

∂t +v ·∇(?), vemos que en sistemas estacionarios, las derivadas respecto del tiempose anulan:

D

Dt(?) =

���∂(?)

∂t+ v · ∇(?) = v · ∇(?)

Pero no todos los términos de la derivada material se hacen cero. Si hay velocidades estacionarias y gradientesde la magnitud que estemos midiendo4 se puede afirmar que esta magnitud posee un cambio relacionado concambios en el tiempo. Si esa magnitud es la velocidad, lo que estoy viendo es que se pueden obtener variacionesen el tiempo de la velocidad. Esto es, hay aceleraciones incluso en sistemas estacionarios. Y si hay aceleraciones,hay fuerzas asociadas.c ) Por supuesto que está relacionado. Y de manera muy obvia: Es lo que permite que en sistemas estacionarios,con velocidades prácticamente constantes en el tiempo se uevan los fluidos por acciones de fuerzas debidas agradientes espaciales.d ) Las fuerzas que se relacionan en el número de Reynolds son la fuerzas de viscosidad y las debidas almovimiento del fluido, las fuerzas de inercia. Las dimensiones de cada fuerza dependerán del sistema de unidadesescogido y las del número de Reynolds no existen: Es una cantidad adimensional. Precisamente, al ser la relaciónentre dos fuerzas, que son magnitudes con las mismas dimensiones, no puede tener dimensiones el propio número.

2Fuente: Separación isotópica por centrifugación plasma rotante,M. Perello y M. A. Vignon. Junta de energía nuclear, Madrid, 1972. Pág. 10.Web: http://www.ipen.br/biblioteca/rel/R31425.pdf

3Si bien se habla de metales, podemos en general lubricar cualquier par de piezas de otro material. Madera, plástico. . . .4Presión, velocidad. . .

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