PARCIAL 3. PROGRAMACIÓN ENTERA, BINARIA, MIXTA Y REDES – FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1. SEMESTRE 01-2013 TEMA A

1. (50%) Una compañía distribuidora de televisores desea minimizar el costo de transportar los televisores desde sus almacenes A, B y C hasta los centros de venta al menudeo 1, 2 y 3. El costo de transportar un televisor desde el almacén i hasta el minorista j es K ij. Los estudios de mercado han indicado que la demanda del minorista 1 es de 200 televisores; la del minorista 2, de 150, y la del minorista 3, de 175 unidades. Los costos fijos de operación de cada almacén (que deben pagarse cuando el almacén se encuentra en uso) son de $500 para A, $750 para B y $600 para C, y por lo menos dos de ellos deben estar abiertos a la vez. Los almacenes tienen una capacidad de almacenamiento ilimitada, pero por disposiciones de la gerencia se ha decidido que si el almacén A se abre, entonces el almacén B no podrá abrirse. Formule un problema de programación entera mixta que permita decidir qué almacenes deberán abrirse y la cantidad de televisores que conviene enviar desde cada almacén a cada minorista (10% variables de decisión, 10% función objetivo, 30% restricciones, repartidas por igual).

Solución

Parámetros

K ij : costo de llevarunaunidad desde el almacén ihasta elminorista jD j :demanda delminorista j

Variables de decisión

Y i={1 si se usael almacén i(i=A ,B ,C)0 encasocontrario

X ij :unidadesque sellevarán desdeel almacén i hastaelminorista j( j=1,2,3)

Función objetivo

MinZ=500Y A+750Y B+600Y C+∑i∑jK ij X ij

Restricciones

Satisfacción de la demanda: ∑iX i1≥200; ∑

iX i2≥150 ; ∑

iX i3≥175

Por lo menos dos almacenes abiertos: ∑iY i≥2

Almacenes A y B: Y A+Y B≤1

Relación entre las variables: ∑jX Aj≤MY A ; ∑

jXBj≤MY B ; ∑

jXCj≤MY C

Tipos de variables: ∀ i∀ j :X ij≥0; ∀ i∀ j :X ij∈Z ; ∀ i :Y i∈{0,1}

2. (35%) La Bayside Art Gallery está considerando la instalación de un sistema de seguridad de cámaras para reducir sus primas de seguro. Una empresa especializada en seguridad ha propuesto que se instalen cámaras de dos direcciones en algunas de las aberturas de las salas. Cada cámara tiene una capacidad de vigilar las dos salas entre los cuales se localiza. Por ejemplo, si una cámara se localiza en la abertura número 4, quedarían cubiertas las salas 1 y 4. El objetivo es proporcionar cobertura de seguridad para las 8 salas utilizando un número mínimo de cámaras de dos direcciones, teniendo en cuenta que por condiciones de la estructura de la galería la instalación de cámaras en las aberturas 6 y 7 es excluyente. Se desea utilizar un modelo binario para encontrar la solución óptima.

Las variables de decisión de este problema son:

Y i={1 si se instalaunacámara en laabertura i(i=1 ,…,13)0encaso contrario

2.1 (10%). Escriba la función objetivo de este problema.2.2 (10%). Escriba la restricción que garantiza que la sala 4 queda cubierta.2.3 (15%). Escriba la restricción que garantiza que la instalación de cámaras en las aberturas 6 y 7 sea excluyente.

Solución

Variables de decisión

Y i={1 si se instalaunacámara en laabertura i(i=1 ,…,13)0encaso contrario

Función objetivo: MinZ=∑iY i

Restricciones

Sala 1: Y 1+Y 4+Y 6≥1 Sala 2: Y 6+Y 8+Y 12≥1 Sala 3: Y 1+Y 2+Y 3≥1 Sala 4: Y 3+Y 4+Y 5+Y 7≥1 Y así con las otras salas… Aberturas 6 y 7 excluyentes: Y 6+Y 7≤1 Variable binaria: ∀ i :Y i∈{0,1}

3 (15%). Suponga que se está resolviendo un problema de maximización de Programación Entera mediante el algoritmo de Ramificación y Acotamiento (Branch and Bound). La siguiente es la estructura de los subproblemas desarrollados hasta el momento. En el esquema se observa el valor de las variables de decisión y de la función objetivo para cada problema.

Explique si en el proceso que se lleva ya se llegó a la solución óptima o si hay que ramificar algún subproblema para encontrar la solución óptima.

Solución

No se ha llegado a la solución óptima porque a pesar de que el subproblema 2 tiene solución entera, ofrece un valor de Z inferior al del subproblema 1, que tiene soluciones continuas. Conviene ramificar el subproblema 1 para ver si existen soluciones enteras con Z mayor a 68.

1. (50%) Una compañía distribuidora de televisores desea minimizar el costo de transportar los televisores desde sus almacenes A, B y C hasta los centros de venta al menudeo 1, 2 y 3. El costo de transportar un televisor desde el almacén i hasta el minorista j es K ij. Los estudios de mercado han indicado que la demanda del minorista 1 es de 150 televisores; la del minorista 2, de 200, y la del minorista 3, de 175 unidades. Los costos fijos de operación de cada almacén (que deben pagarse cuando el almacén se encuentra en uso) son de $600 para A, $750 para B y $500 para C, y por lo

Problema original relajado:X1 = 4,62

X2 = 7Z = 80

Subproblema 1X1 = 3,76

X2 = 6Z = 72

Subproblema 2X1 = 5X2 = 8Z = 68

menos dos de ellos deben estar abiertos a la vez. Los almacenes tienen una capacidad de almacenamiento ilimitada, pero por disposiciones de la gerencia se ha decidido que si el almacén A se abre, entonces el almacén C no podrá abrirse. Formule un problema de programación entera mixta que permita decidir qué almacenes deberán abrirse y la cantidad de televisores que conviene enviar desde cada almacén a cada minorista (10% variables de decisión, 10% función objetivo, 30% restricciones, repartidas por igual).

Solución

Parámetros

K ij : costo de llevarunaunidad desde el almacén ihasta elminorista jD j :demanda delminorista j

Variables de decisión

Y i={1 si se usael almacén i(i=A ,B ,C)0 encasocontrario

X ij :unidadesque sellevarán desdeel almacén i hastaelminorista j( j=1,2,3)

Función objetivo

MinZ=600Y A+750Y B+500Y C+∑i∑jK ij X ij

Restricciones

Satisfacción de la demanda: ∑iX i1≥150; ∑

iX i2≥200 ; ∑

iX i3≥175

Por lo menos dos almacenes abiertos: ∑iY i≥2

Almacenes A y B: Y A+Y C≤1

Relación entre las variables ∑jX Aj≤MY A ; ∑

jXBj≤MY B ; ∑

jXCj≤MY C

Tipos de variables: ∀ i∀ j :X ij≥0; ∀ i∀ j :X ij∈Z ; ∀ i :Y i∈{0,1}

2. (35%) La Bayside Art Gallery está considerando la instalación de un sistema de seguridad de cámaras para reducir sus primas de seguro. Una empresa especializada en seguridad ha propuesto que se instalen cámaras de dos direcciones en algunas de las aberturas de las salas. Cada cámara tiene una capacidad de vigilar las dos salas entre los cuales se localiza. Por ejemplo, si una cámara se localiza en la abertura número 4, quedarían cubiertas las salas 1 y 4. El objetivo es proporcionar cobertura de seguridad para las 8 salas utilizando un número mínimo de cámaras de dos direcciones, teniendo en cuenta que por condiciones de la estructura de la galería la instalación de cámaras en las aberturas 10 y 11 es excluyente. Se desea utilizar un modelo binario para encontrar la solución óptima.

Las variables de decisión de este problema son:

Y i={1 si se instalaunacámara en laabertura i(i=1 ,…,13)0encaso contrario

2.1 (10%). Escriba la función objetivo de este problema.2.2 (10%). Escriba la restricción que garantiza que la sala 5 queda cubierta.2.3 (15%). Escriba la restricción que garantiza que la instalación de cámaras en las aberturas 10 y 11 sea excluyente.

Solución

Variables de decisión

Y i={1 si se instalaunacámara en laabertura i(i=1 ,…,13)0encaso contrario

Función objetivo: MinZ=∑iY i

Restricciones

Sala 1: Y 1+Y 4+Y 6≥1 Sala 2: Y 6+Y 8+Y 12≥1 Sala 3: Y 1+Y 2+Y 3≥1 Sala 5: Y 7+Y 8+Y 9+Y 10≥1

Y así con las otras salas… Aberturas 10 y 11 excluyentes: Y 10+Y 11≤1 Variable binaria: ∀ i :Y i∈{0,1}

3 (15%). Suponga que se está resolviendo un problema de maximización de Programación Entera mediante el algoritmo de Ramificación y Acotamiento (Branch and Bound). La siguiente es la estructura de los subproblemas desarrollados hasta el momento. En el esquema se observa el valor de las variables de decisión y de la función objetivo para cada problema.

Explique si en el proceso que se lleva ya se llegó a la solución óptima o si hay que ramificar algún subproblema para encontrar la solución óptima.

Solución

Ya se llegó a la solución óptima porque la solución del subproblema 2 es de valores enteros, y la solución del subproblema 1, que tiene valores continuos, ofrece un Z menor. No hay que ramificar nada.

Problema original relajado:X1 = 4,62

X2 = 7Z = 80

Subproblema 1X1 = 3,76

X2 = 6Z = 72

Subproblema 2X1 = 5X2 = 8Z = 74