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$: Exactas Ingeniería 201 4cÁlculo de primitivas. mÉtodos de sustituciÓn y de integraciÓn por partes. fracciones simples. problemas varios. prÁctica 10. aplicaciones de la integral$
Prácticas 0 a 11

Análisis Matemático

Exactas – Ingeniería

2014

CONTENIDO

PRÁCTICA 0. PRELIMINARES PRÁCTICA 1. FUNCIONES REALES LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS. GRÁFICO DE FUNCIONES. LAS FUNCIONES MÁS USUALES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. OTRAS FUNCIONES. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 2. NÚMEROS REALES LA RECTA REAL. NÚMEROS IRRACIONALES. SUPREMO E ÍNFIMO.

PRÁCTICA 3. SUCESIONES TÉRMINO GENERAL. LA NOCIÓN DE LÍMITE. CÁLCULO DE LÍMITES. PROPIEDADES. SUCESIONES MONÓTONAS. MÁS PROPIEDADES. SUBSUCESIONES. SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES EN EL INFINITO. LÍMITE EN UN PUNTO. LÍMITES ESPECIALES. CONTINUIDAD. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES. TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 5. DERIVADAS RECTA TANGENTE REGLAS DE DERIVACIÓN. FUNCIÓN DERIVADA. FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA. ALGUNAS APLICACIONES. DERIVADAS SUCESIVAS. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE, Y LAGRANGE.

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO. REGLA DE L’HOSPITAL. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 7. ESTUDIO DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS LOCALES. ASÍNTOTAS. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS. CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN. CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 8. TEOREMA DE TAYLOR POLINOMIO DE TAYLOR. EXPRESIÓN DEL RESTO. PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 9. INTEGRALES LA FUNCIÓN ÁREA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. REGLA DE BARROW. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. PRIMITIVAS.

CÁLCULO DE PRIMITIVAS. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y DE INTEGRACIÓN POR PARTES. FRACCIONES SIMPLES. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 10. APLICACIONES DE LA INTEGRAL ÁREA ENTRE CURVAS. ECUACIONES DIFERENCIALES. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.

LONGITUD DE CURVA. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 11. SERIES TÉRMINO GENERAL Y SUMAS PARCIALES. SERIES GEOMÉTRICAS Y SERIES TELESCÓPICAS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. SERIES DE POTENCIA. PROBLEMAS VARIOS.

PROGRAMA BIBLIOGRAFÍA

1

PRÁCTICA 0

PRELIMINARES

EJERCICIO 1: Calcule

(a)

3

2)

4

1

6

12(1

4

12)

12

5

2

1(1

2

1

3

2

(b)

4

1)

10

3

5

1(1

2

1)2(

5

2


(a)

2

2)2

1

3

2(

4

1

(b)

21

22

2

13

2

14


(a) 12

74

3

33

(b) 5

26

108

)104)(105(

(c) 21

27

32

6543

22

1

43

33)2(3227

64

49

1681

(d) 334 222 8127

8)9()3(5

EJERCICIO 4: Si 2

3;

3

2;2 zyx calcule

(a) )( zyx (b) zxy

(c) yzx (d) zyx )(

2

EJERCICIO 5: Pruebe las siguientes identidades

(a) nn

nn

1

11 , Nn

(b)

nn

nn

n

nnn

1

13

1

3 2

2

23

EJERCICIO 6: Resuelva

(a) 112 x (b) 725 x

(c) 374)13(2 xx (d) 242

39

x

x

(e) 3

1

2

1 xx

(f)

x

x

xx

x

33

26

)1(2

3

1

EJERCICIO 7: Muestre que el número 32 es solución de la ecuación

0110 24 xx .

EJERCICIO 8: Escriba como intervalo o unión de intervalos las soluciones de

las siguientes desigualdades

(a) 212 x (b) 212 x

(c) xx 610112 (d) 42

2

x

(e) 13

12

x

x (f) 1

1

3

x

x

EJERCICIO 9: Escriba de menor a mayor los siguientes números

2

5;

3

1;

7

4;

11

6;

2

3;

41

64;

3

38;

2

25

EJERCICIO 10: Demuestre que si a y b son números no negativos vale la desi-

gualdad.

3

baba

2

Exhiba un ejemplo donde la desigualdad es estricta y otro donde valga la igual-

dad.

EJERCICIO 11: Alguna de las siguientes relaciones no valen en general. Ana-

lice en qué casos son válidas.

(a) 222)( yxyx (b) yxyx

(c) 22 yxyx (d) yxyx

111

(e) xx 2 (f) xx 2

(g) 02 x (h) 03 x

(i) 12 x (j) xx log2)log( 2

(k) 02 x (l) xx log2)10log( 2

EJERCICIO 12: Resuelva

(a) 14 2 x (b) 8

12 35 x

(c) 100)7log( x (d) 0)13log( 2 xx

EJERCICIO 13: Represente en el plano los siguientes puntos:

(1 ; 3) , (3 ; 1) , (-1 ; 2) , (-1 ; -5) , (0 ; 1) , (1 ; 0) , (3 ; 3) , (-1 ; -1)

Para cada uno de estos puntos represente los puntos simétricos respecto de:

(a) el eje x. (b) el eje y. (c) el origen de coordenadas.

EJERCICIO 14: Represente en el plano los siguientes conjuntos de 2R

(a) 1/),( 2 xRyx (b) 2/),( 2 xRyx

(c) 2,0/),( 2 yxRyx (d) 1,1/),( 2 yxRyx

4

PRÁCTICA 1

FUNCIONES REALES

LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS

EJERCICIO 1: Haga un gráfico que refleje la evolución de la temperatura del

agua a lo largo del tiempo atendiendo a la siguiente descripción:

“Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la

temperatura bajó con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba en 60.

Luego fue enfriándose con más lentitud. A los 20 minutos de haberla sacado

estaba a 30 y 20 minutos después seguía teniendo algo más de 20, tem-

peratura de la cual no bajó, pues era la temperatura que había en la cocina”.

¿Es el gráfico que hizo, el único que respeta las consignas anteriores?

EJERCICIO 2: Con una lámina rectangular de 40 por 30 queremos hacer una

caja como muestra la figura:

(a) Busque la expresión del volumen de la caja en función de x.

(b) ¿Cuál es el dominio?

(c) Haga un gráfico aproximado a partir de una tabla de valores.

x x

xx

x

x

x

40 2.x

40 2.x

30 2.x 302.x

5

EJERCICIO 3: Entre todos los rectángulos de perímetro 20, halle la función

que relaciona la base x con la altura y. Haga un gráfico que la represente.

¿Cuál es el dominio?

EJERCICIO 4: Halle el área de un triángulo rectángulo isósceles en función del

cateto. Dibuje el gráfico de la función hallada a partir de una tabla de valores.

Indique cuál es el dominio.

GRÁFICO DE FUNCIONES

EJERCICIO 5: Dados los siguientes conjuntos del plano, determine, en cada

caso, si existe una función cuyo gráfico sea el dado

EJERCICIO 6: Dados los siguientes gráficos de funciones, determine, en cada

caso, en qué intervalos es creciente, en qué intervalos es decreciente, en qué

punto alcanza su máximo, cuál es dicho valor máximo, en qué punto alcanza su

mínimo y cuál es el valor mínimo.

6

EJERCICIO 7: Dibuje una función que sea creciente en los intervalos 1, y

,2 . Además que el valor máximo sea 4 y se alcance en x = -1 y que el valor

mínimo sea –3 y se alcance en x = 2.

LAS FUNCIONES MÁS USUALES

EJERCICIO 8:

(a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:

1. f(1) = 5 ; f(-3) = 2

2. f(-1) = 3 ; f(80) = 3

3. f(0) = 4 ; f(3) = 0

4. f(0) = b ; f(a) = 0 a y b fijos.

(b) Calcule en 1. y en 2. f(0). Calcule en 3. f(-2)

(c) Encuentre la pendiente de las rectas que son gráficas de las funcio-

nes lineales dadas en (a). Haga un gráfico de tales rectas.

a) b)

–1

–1–2 1 2

1

–½ ½

d)

2

1

c)

1

7

EJERCICIO 9: Halle la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el

punto P, siendo:

(a) P = (2 , 3) m = 1 (b) P = (1 , 5) m = 0

(c) P = (3 , -4) m = -2 (d) P = (0 , b) m = 1

Haga el gráfico de cada una de ellas. Decida cuáles son crecientes y cuáles

son decrecientes.

EJERCICIO 10: Encuentre la función lineal g que da la temperatura en grados

Farenheit, conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que 0C = 32F y

100C = 212F. Recíprocamente, encuentre la función h que da la temperatura

en grados Celsius, conocida la misma en grados Farenheit. Compruebe que

g(h(x)) = h(g(x)) = x.

EJERCICIO 11: Trace el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas:

(a) 2)( xxf (b) 22)( xxf

(c) 3)( 2 xxf (d) 25)( xxf

Determine en cada caso, el conjunto imagen.

EJERCICIO 12: Para las siguientes funciones cuadráticas determine en qué in-

tervalo crece, en qué intervalo decrece, dónde es positiva, dónde es negativa,

en qué puntos se anula y en qué punto alcanza su extremo:

(a) 22)( xxf (b) )3(2)( xxxf

(c) xxxf 22)( (d) 12)( 2 xxxf

(e) 532)( xxxf

EJERCICIO 13: Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, vie-

ne dada por la función ttth 105)( 2 , siendo t el tiempo medido en segundos.

¿Cuándo alcanza la altura máxima?

¿Cuál es dicha altura?

8

EJERCICIO 14: Represente gráficamente las siguientes funciones

(a) 3)( xxf (b) 32)( xxf

(c) 1)( 3 xxf (d) 4)( xxf

Analice en cada caso, la monotonía.


(a) x

xf4

)( (b) x

xf4

)(

(c) 3

4)(

xxf (d) 2

3

4)(

xxf

(e) 2

54)(

x

xxf (f)

1

23)(

x

xxf

Indique en cada caso, el dominio de la función. Indique también en qué inter-

valos es creciente y en qué intervalos es decreciente.


(a) xxf )( (b) xxf )(

(c) 3)( xxf (d) 2)2()( xxf

Indique en cada caso, el dominio de la función. Analice la monotonía.

EJERCICIO 17: Halle el dominio de las siguientes funciones

(a) 4)( 2 xxf (b) 8)( xxf

(c) 9)( 2 xxf (d) )1()( xxxf

9

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA

EJERCICIO 18: Considere las funciones reales definidas por las fórmulas

xxxf 52)( 2 3

1)(

xxg 62)( xxh

(a) Calcule, si es posible:

)1(ff )1(hf )1(fg )2(gh

(b) Halle fórmulas para las composiciones que se indican a continuación.

gf fg hgf hf ff

(c) ¿ gf y fg son la misma función?

EJERCICIO 19: Halle la función inversa de:

(a) 53)( xxf (b) 0,12)( 2 xxxf

(c) 53)( xxf (d) 3)( xxf

(e) 3,46)( 2 xxxxf (f) 3,46)( 2 xxxxf

EJERCICIO 20: Pruebe que la función 1

1)(

x

xxf satisface )()

1( xfxx

f

para todo x positivo.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

EJERCICIO 21: Dada las funciones exponenciales xrxf )( (r = 2 , 2

1, 3 ,

3

1),

(a) Haga el gráfico de cada una de ellas.

(b) Determine el dominio y la imagen.

(c) Analice la monotonía.

10

EJERCICIO 22: Si notamos )(log xr a la función inversa de )1,0( rrr x

(a) Haga el gráfico de )(log xy r para r = 2 , 2

1, 3 ,

3

1.

(b) Determine el dominio y la imagen.

(c) Analice la monotonía.

EJERICICIO 23: Encuentre el dominio de las siguientes funciones

(a) )2ln()( xxf (b) )23ln()( 2 xxxf

En cada caso determine los valores de x para los cuales 1)( xf

EJERCICIO 24: Halle la función inversa de:

(a) )2ln()( xxf (b) )4ln()( 2 xxf

(c) )1ln()( 2 xxf (d) 52)( xxf

(e) 3)( xexf (f) 0,)(2

xexf x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 25: A partir de los gráficos de xxg sen)( y xxh cos)( haga el

gráfico de

(a) )sen()( xxf (b) )2cos()( xxf

(c) )2cos()( xxf (d) )2

sen()(

xxf

EJERICICIO 26: Determine todos los valores de Rx tales que

(a) 2

1sen x (b)

2

3cos x

(c) 1sencos 22 xx (d) 1cossen 22 xx

(e) xxx cossen2)2sen( (f) )sen(cos2

2)

4cos( xxx

11

EJERCICIO 27: Haga el gráfico de las funciones inversas de xxg sen)( y

xxh cos)( . Determine los valores de Rx tales que

(a) 4

arcsen

x (b) xarccos

(c) 21)cos(arcsen xx

OTRAS FUNCIONES

EJERCICIO 28: Represente las siguientes funciones

(a) 5)( xxf (b) 5)( xxf

(c) xxf sen)( (d) xexf )(

EJERCICIO 29:

(a) Dada la función

xsix

xsix

xsix

xf

143

11

12

)( , calcule )3(f , )1(f y

)4(f . Determine para qué valores de y la ecuación yxf )( tiene

solución. ¿Cuándo es única?

(b) Idem para la función

4

2

1

413

)(xsi

x

xsix

xf

EJERCICIO 30: El impuesto a la riqueza es igual al 0,50 pesos por cada mil pe-

sos por encima de 100 mil pesos y de 1 peso por cada mil pesos por encima de

200 mil pesos. Escriba el monto del impuesto en función de la riqueza. ¿Cuál

es la riqueza de alguien que paga 530 pesos de impuesto?

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA1: La función f es lineal y la función g es cuadrática. Los gráficos

de ambas funciones se cortan en los puntos P = (-1,2) y Q = (2,0). Además g

se anula en x = -2. Halle las fórmulas de f y g y encuentre el conjunto de los x

tales que f(x) es mayor que g(x). Haga un gráfico.

12

PROBLEMA 2: Se definen 2

)cosh(xx ee

x

y 2

)senh(xx ee

x

. Pruebe que

(a) 1)(senh)(cosh 22 xx

(b) Los gráficos de ambas funciones no se cortan.

PROBLEMA 3: Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gra-

mos.

(a) Represente la función que da el peso total del cántaro en función de

la cantidad de agua, en litros, que contiene. Halle su fórmula. ¿Cuál

es el dominio?

(b) Si disponemos de 3 litros de mercurio, cuyo peso total es 40,8 kg, re-

pita el ítem anterior sustituyendo el agua por el mercurio.

(c) Si se representan las funciones de (a) y (b) en los mismos ejes, ¿qué

significa el punto de intersección?

(d) ¿Es cierto que a doble cantidad de líquido corresponde doble peso

total?

PROBLEMA 4: Si 14

2)(

3

nnf

n

, calcule )(

)1(

nf

nf y obtenga su valor numérico

para n = 1, 2, 3, 4 y 5.

13

PRÁCTICA 2

NÚMEROS REALES

LA RECTA REAL

EJERCICIO 1: Represente en la recta numérica:

(a) 12;12;12;12;2;5

21;

5

21;

8

3;6;3;1;5

(b) 14,3;14,3;2

3;;

2;

2;;3;2;1;0;1;2;3

EJERCICIO 2: Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos. Escríbalos como intervalos o como unión de intervalos.

(a) Todos los números reales mayores que –1.

(b) Todos los números reales menores o iguales que 2.

(c) Todos los números reales que distan del 0 menos que 3.

(d) 532/ xRx (e) 33/ xRx

(f) 5321/ xRx (g) 0)32(/ xxRx

(h) 036/ 2 xRx (i) 0/ 3 xxRx

(j)

32

1/x

Rx (k)

xx

Rx41

/

(l) 3/ xRx (m) 32/ xRx

(n) 32/ xRx (ñ) 3/ xRx

14

EJERCICIO 3: Represente en la recta los siguientes conjuntos

(a) 6,34,2 (b) 6,34,2

(c) ),1(3, (d) ),3[3,1

(e) ),3[3,1 (f) )5,3(3,1

EJERCICIO 4: Represente en la recta los siguientes conjuntos

(a) 64/ nNn (b) 13/ nNn

(c)

6/1

nNnn

nx (d)

Nnn

nx /

1

NÚMEROS IRRACIONALES

EJERCICIO 5: Demuestre que 3 no es racional.

EJERCICIO 6: Dados los números 3,14 y

(a) Halle un número racional comprendido entre ambos.

(b) Halle un número irracional comprendido entre ambos (Ayuda: escriba su desarrollo decimal).

SUPREMO E INFIMO

EJERCICIO 7: Considere los siguientes conjuntos

Nnn

A :1

Nnn

nB :

1 7,0C

ND

Nnn

nE :1

2 4,3,2,1F

;999,5;99,5;9,5;5G 12/ xRxH 3/ xRxI

15

En cada caso:

(a) Determine si 7 es una cota superior.

(b) Determine si 0 es una cota inferior.

(c) Decida si está acotado superiormente.

(d) Decida si está acotado inferiormente.

(e) En caso afirmativo, encuentre el supremo y/o el ínfimo del conjunto. Decida si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.

EJERCICIO 8: Considere el conjunto B del ejercicio anterior.

(a) Muestre que 1 es cota superior de B.

(b) Exhiba un elemento b de B que satisfaga 0,9 < b < 1.

(c) Exhiba un elemento b de B que satisfaga 0,99 < b < 1.

EJERCICIO 9: Considere el conjunto

Nn

n

nP :

2

12

(a) Muestre que 2 es una cota superior de P.

(b) Exhiba un elemento p de P que satisfaga 1,99 < p < 2.

(c) Muestre que si t < 2 existe un elemento p de P que satisface t<p<2. Deduzca entonces que sup P = 2.

EJERCICIO 10: Muestre que existe un número natural n que satisface

001,01

n. En general, muestre que, cualquiera sea x positivo, existe un nú-

mero natural n que satisface xn

1. Deduzca de aquí que 0:

1inf

Nnn

16

EJERCICIO 11: Sean A y B dos conjuntos de números reales no vacíos y acotados de modo que BA . Ordene de menor a mayor los siguientes números:

sup A , sup B , inf A , inf B

Exhiba un ejemplo donde sup A = sup B y otro donde la desigualdad es estricta.

EJERCICIO 12: Determine, en caso de que existan, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de los siguientes conjuntos:

(a) 023: 2 xxRxA

(b) )2,0(,232 xxxyB

(c) RxxxyC ,232

17

PRÁCTICA 3

SUCESIONES

TÉRMINO GENERAL

EJERCICIO 1: Escriba los primeros cinco términos de las siguientes sucesio-nes

(a) 1

n

nan (b)

3

1

)12(

2

nb

n

n

(c) !

)1( 1

nc

n

n

(d)

n

ndn

)cos(

EJERCICIO 2: Para cada una da las siguientes sucesiones

(a) Encuentre el término 100 y el término 200 de cada una de ellas.

(b) Halle, si es posible, el término general na

(c) Clasifique las sucesiones en convergentes o no convergentes.

(i) ,4,3,2,1 (ii) ,4

1,

3

1,

2

1,1

(iii) ,4

1,

3

1,

2

1,1 (iv) ,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1

(v) ,4,3,2,1 (vi) ,4

1,0,

3

1,0,

2

1,0

(vii) ,1,1,1,1 (viii) ,4

5,

3

4,

2

3,2

(ix) ,4

1,3,

3

1,2,

2

1,1,1 (x) nn aaa 2,1 11

LA NOCIÓN DE LÍMITE

EJERCICIO 3: Halle un valor de Nn a partir del cual haya certeza de que

(a) 852 nn sea mayor que (i) 10 (ii) 1000

(b) 1002 n sea mayor que (i) 10 (ii) 1000

(c) 21

)1(

n

n

esté entre (i) 1,9 y 2,1 (ii) 1,999 y 2,001

(d) n

nsen esté entre (i) –0,1 y 0,1 (ii) –0,001 y 0,001

18

EJERCICIO 4: Considere la sucesión 2,1000

1

n

nan . A partir de que el

1lím

nn

a responda cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas,

explicando en cada caso, en qué se basa para responder:

(a) Existe un Nn a partir del cual 0na .

(b) Existe un Nn a partir del cual 2

1na .

(c) Existe un Nn a partir del cual 1na .

(d) Existe un Nn para el cual 1na .

(e) La sucesión na está acotado.

Escriba las afirmaciones que correspondan, con la nomenclatura pctn.

CÁLCULO DE LÍMITES

PROPIEDADES

EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. En ca-da caso, explique las propiedades que usa para obtener su respuesta:

(a) 45

13242

23

n

nnnan (b)

3

57 3

n

nan

(c) 1

22

3

n

nan (d)

23

122

2

n

nan

(e) 40003

342

2

n

nan (f)

nnn

nan

2

(g) ,33

64,

5

11,

17

32,

4

9,

9

16,

3

7,

5

8,

2

5,

3

4,3 (h) ,

4

1

2

11,

2

11,1

EJERCICIO 6: Continúe con las siguientes sucesiones

(a) 1

5

3

75 22

n

n

n

nn (b)

1

5

3

75 22

n

n

n

nn

(c) nnn 22 (d) nnn 22

(e) 31 22 nnn (f) 32

13

23

122

2

n

n

n

n

(g) nnn 2 (h) nnn 2

(i) nn

n

1 (j) nnn 22

19

EJERCICIO 7: Muestre que cada una de las siguientes situaciones constituye una indeterminación. Para ello, exhiba por lo menos dos ejemplos donde los lí-mites sean distintos (finitos o infinitos). Suponga cuando haga falta, condicio-nes suficientes para que las sucesiones estén bien definidas para todo n.

(a)

nn

alím y

nn

blím (i) )(lím nnn

ba

(ii) n

n

n b

a

lím

(b) 0lím

nn

a y 0lím

nn

b (i) n

n

n b

a

lím (ii) nb

nn

a )(lím

(c) 0lím

nn

a y

nn

blím (i) )(lím nnn

ba

(ii) na

nn

b )(lím

EJERCICIO 8: Marque en cada caso, la única respuesta correcta:

(a) Si

nn

alím y nb oscila finitamente entonces )(lím nnn

ba

oscila tiende a más infinito es una indeterminación

(b) Si Lann

lím y 0na entonces hay certeza de que

0L 0L 0L ninguna de las anteriores

(c) Si 0lím

nn

a y

nn

blím entonces n

n

n b

a

lím

es igual a 0 tiende a más infinito

es una indeterminación no existe

(d) Si 0lím

nn

a y

nn

blím entonces nb

nn

a

lím

es igual a 0 tiende a más infinito

es una indeterminación no existe

SUCESIONES MONÓTONAS

MÁS PROPIEDADES

EJERCICIO 9: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. Como siempre, explique las propiedades que usa para llegar al resultado:

(a) n

nsen (b) nnn 2)1(

(c) n

n 1)1( (d) nnn 2)1(

(e)

n

5

2 (f) n

n

n

)1(3

52

(g) n)5,1( (h) n)95,0(

20

(i) nn

nn

22

2432

1

(j) nn 12

(k) n

n

nn

2

1232

23

(l) n

n

n

13

15

(m) n

n

n1

2

2

35

2

(n) n nn 52

(o) nn 21

4 1 (p) n

nn 1)1(1

(q)

n

11

8

3

5 (r)

n

3

5

11

8

(s)

n1

3

5

11

8

(t)

n

nn

n

sen92

cos3 12

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(a)

n

n

n

53

13 (b)

n

n

n

53

14

(c)

12

13

23

n

n

n (d)

n

n

2

11

(e)

n

n

171 (f)

nn

n

nn2

23

13

52

(g) 12

2

2

2

2

53

123

n

n

n

nn (h)

n

n

n

sen1

(i)

n

n

1cos (j)

32

15

sen1

n

n

n

EJERCICIO 11: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones

(a) 12 n

n (b)

n

n

12

(c) !

2

n

n n

(d) n n!

(e) nn

nn

32

!3

(f)

)!2(

2 12

n

n

21

(g)

n

n

2

2

1 (h)

!

2

n

n

(i) nn

n! (j)

n

n

n

nn !44

EJERCICIO 12: En cada caso, la sucesión na se encuentra sujeta a las condi-

ciones indicadas. Analice la existencia de límite y, en caso afirmativo, calcúlelo.

(a) n

nna 4125

2

32 (b)

12

!2230

n

n

nn

na

(c)

2

11

1n

n na

(d)

11

162

nnn

a

SUBSUCESIONES

EJERCICIO 13: Dada la sucesión 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, ..., escriba el

término general de nn aa 42 , y 38 na . Encuentre dos subsucesiones convergentes

EJERCICIO 14: Usando subsucesiones, pruebe que cada una de la siguientes sucesiones carece de límite:

(a) 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... (b)

2sen

n

(c)

2sen)cos(

nn (d) nn )1(4)1( 13

(e) 25

13)cos(

n

nn (f)

casootroenn

demúltiploesnsinn

12

5

EJERCICIO 15: Se sabe que 0lím

Lann

.Calcule

(a) 12lím

nn

a

(b) )(lím 32 nnn

aa

(c) n

n

n a

a 1lím

22

SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA

EJERCICIO 16: Considere la sucesión definida recurrentemente como

Nnaaa nn ,2,1 11

(a) Calcule el cociente de D’Alambert. Concluya que la sucesión es cre-ciente.

(b) Muestre que 1,2 1 na n

n .

EJERCICIO 17: Considere la sucesión definida recurrentemente como

1,)1(2

1,

3

111 naaaa nnn

(a) Observe que 1,10 nan

(b) Calcule el cociente de D’Alambert. Concluya que la sucesión es de-creciente y acotada y, por lo tanto, convergente.

(c) Calcule el nn

a

lím

EJERCICIO 18: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. Pre-viamente, mediante el cociente de D’Alambert, determine si es posible, la mo-notonía de ellas.

(a) 1,2,1 11 naaa nn

(b) 1,11

1,1 11

n

a

aa

n

n

(c) 1,3,1 11 naaa nn

(d) 1,4

2

1,1 11

n

aaaa

n

nn .(Sug.: use la desigualdad abba

2)

23

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Sea )( na una sucesión definida en forma recurrente como

n

n

a

aa

n

n

5

12,5 1

1

para todo 1n

(a) Pruebe que nn aa 1 para todo n.

(b) ¿Por qué se puede asegurar que existe nn

a

lím ?

(c) Calcule nn

a

lím .

(d) Si se define nn anb 2 , calcule nn

b

lím

PROBLEMA 2: Se invierte un capital de 1000 pesos en acciones. El primer mes suben el 10% respecto al precio de compra; el segundo mes, bajan el 10% respecto del mes anterior; el tercer mes suben el 10% respecto del mes ante-rior; y así alternadamente, un mes suben el 10% y al siguiente bajan el 10%.

(a) Halle nc el capital que se tiene después de n meses.

(b) Calcule nn

c

lím .

(c) Estudie como cambia la situación si las bajas son del 9% en lugar del 10%.

PROBLEMA 3: Sea n

n na )95,0(

(a) Pruebe que na es decreciente pctn. Halle un n a partir del cual haya

certeza de que nn aa 1 .

(b) Calcule nn

a

lím .¿En qué se basa para calcularlo?

24

PROBLEMA 4: Muestre que el valor del

2

2

51

n

n n

b

nlim

no depende de la

constante b.

PROBLEMA 5: Halle en cada caso, el término general de na y calcule, si

existe, su límite. En caso de que no exista, muéstrelo por medio de subsuce-siones.

(a) ,19

7,

14

5,

11

3

(b) ,4

3,

3

4,

3

2,

2

3,

2

1,2

(c) ,3

4,

3

4,

2

3,

2

3,

2

1,2

PROBLEMA 6: Sea )( na una sucesión creciente de números positivos.

(a) Pruebe que la sucesión 12

3

n

nn

a

ab es siempre convergente.

(b) ¿Cuál es el valor más grande que puede tomar nn

b

lím .¿En qué caso?

PROBLEMA 7: Calcule

n

n

n

nn

n

nlim

62

cos)1(

1

3 5

. Explique las propiedades

y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 8: Sea RRf : definida por

14

113)(

xsix

xsixxf . Calcule

el nn

af

lím siendo n

n na 42 .

25

PROBLEMA 9: Sea )( na una sucesión de números reales no nulos tales que

nnn

nan

2

25947

33

4

Calcule, si existe, el nn

alim

. Explique las propiedades y/o resultados que usa

para obtener su conclusión.

PROBLEMA 10: Calcule nn

a

lím sabiendo que

2

217350

n

n

nn

a

Explique las propiedades y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 11: Sea )( nx una sucesión monótona creciente de la cual se sabe

que 31 nx . Halle los posibles valores del

n

n xlim

21 . ¿En qué propiedades

basa su respuesta?

PROBLEMA 12: Halle los valores de a y b para que el 4435

234

46

nn

nbnanlimn

PROBLEMA 13: Se definen 27

13)1(

n

na n

n y 2)( nn ab .

(a) Pruebe por medio de subsucesiones que na no tiene límite.

(b) Calcule el nn

b

lím .

26

PROBLEMA 14: Se define la sucesión 1,1

,1

2

11

na

n

naa n

n

n.

(a) Pruebe que existe el nn

a

lím . ¿Cuál es su valor?

(b) La sucesión nb satisface nnn naba . Calcule nn

b

lím .

PROBLEMA 15: Se define la sucesión de números reales en la forma

2

114

1, nn xxax

donde a>0.

(a) Pruebe que )( nx es una sucesión monótona creciente.

(b) Determine los valores de a>0 para los cuales )( nx es convergente.

PROBLEMA 16: Halle todos los valores de x para los cuales la sucesión

13

12

5

n

n

nn

xa

es convergente. Para los x hallados calcule el nn

a

lím .

PROBLEMA 17: Considere la sucesión 21295,0 na

n

n

(a) Pruebe que es decreciente para casi todo n. ¿A partir de que n?

(b) Calcule el nn

a

lím .

27

PRÁCTICA 4

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES EN EL INFINITO

EJERCICIO 1: Calcule los siguientes límites

(a) )310(lím 57

xxx

(b) )(lím 65 xxxx

(c) 122

13lím

24

3

xx

xx

x (d)

5

1lím

3

x

xx

x

(e) 56

36lím

1

x

x

x (f)

xx

xx

x cos

senlím

(g) 15

69lím

2

x

x

x (h)

x

x

x 41

5lím

(i) 1lím 2

xxx

(j) xxxx

)4)(10(lím

(k) x

x

x

5

5lím (l)

x

x

x

senlím

(m) xx

lnlím

(n) x

xe

lím

(o) x

xe

lím (p)

xx

1lnlím

EJERCICIO 2: Calcule, si es posible, los límites cuando x y cuando x de las siguientes funciones

(a) 23)( xxxf (b) 29)( xxf

(c) xxf 1)( (d) 12

3)(

2

x

xxf

(e) 3

5)(

23

x

xxxf (f) xxxxf 32)( 2

(g) xxxxf 32)( 2 (h) x

xxf

sen)(

(i) xexf )( (j) )1ln()( 2 xxf

En cada caso, haga un gráfico de la función que represente los límites halla-dos.

28

LÍMITE EN UN PUNTO

EJERCICIO 3: Calcule, según corresponda, los límites infinitos y los límites la-terales que permitan detectar asíntotas horizontales y/o verticales. Haga, en ca-da caso, un dibujo que refleje la información obtenida.

(a) 3

1)(

xxf (b)

3

12)(

x

xxf

(c) 3

5)(

2

x

xxf (d)

2

3)(

x

xxf

(e) xexf )( (f) x

x

exf

1

)(

(g) xexf )( (h) xxf ln)(

(i)

x

xf

2

1)( (j)

2

3

)1)(3(

52)(

xx

xxf

(k) 21

1)(

x

xxf

(l)

3

5)(

23

x

xxxf .

EJERCICIO 4: Considere la curva .12 xy Halle la pendiente de la recta

(a) que pasa por el )0,1( y el ))2(,2( y .

(b) que pasa por el )0,1( y el ))2

3(,

2

3( y .

(c) que pasa por el )0,1( y el ))1.1(,1.1( y .

(d) que pasa por el )0,1( y el ))1(,1( hyh en términos de h.

(e) En (d) , si )(hm es el valor de la pendiente obtenida, calcule el

)(lím0

hmh

. Interprete geométricamente.

EJERCICIO 5: En cada una de las siguientes funciones calcule, además del lí-mite que se indica, los límites cuando x y cuando x . Represente gráficamente los límites obtenidos

(a) 3

4

0

2lím

x

x

x

(b) 124

32lím

2

3

x

xx

x

(c) 3

22

3 124

32lím

x

x x

xx (d)

x

xx

x

11lím

0

(e)

xx

xx

x

x

x 2

2

2

1lím

2

22

2 (f)

2

22lím

2

x

x

x

29

(g) 37

2lím

2

2

x

xx

x (h)

h

h

h

16)2(lím

4

0

(i) h

h

h

41)4(

lím

1

0

(j)

h

h

h

11lím

0

(k) 3

12

12

13lím

x

x

x x

x (l) x

xx

1

lím

(m) xx e

x

lím (n)

x

e x

x

1

0lím

EJERCICIO 6: Sea RRf : una función tal que

Rxxxfxx ,)(4

3 242

Calcule 20

)(lím

x

xf

x.


(a)

x

xx

1senlím 2

0

(b) x

x

x

coslím

(c)

2)(

1senlím

0 xfx

x donde Rxxf ,3)(2

LÍMITES ESPECIALES


(a) x

x

x 2

3senlím

0 (b)

x

x

x senlím

0

(c) x

x

x 3sen

5senlím

0 (d)

x

x

x 2

tglím

0

(e) 6

)6sen(lím

2

2

2

xx

xx

x (f)

x

x

x

cos1lím

0

(g) h

aah

h

)sen()sen(lím

0

(h)

20

cos1lím

x

x

x

(i) h

aha

h

cos)cos(lím

0

(j)

x

xx

x cos1

senlím

0

30

(k) xx

xx

x sen5

2sen43lím

20

(l)

xx

xxxx

x 4sen

sensen2lím

2

22

0

(m) )3sen(

)sen(lím

1 x

x

x

(n)

2

coslím

2 x

x

x

(o) )(tg

)cos(1lím

21 x

x

x

(p)

1

)sen(lím

1 x

x

x


(a) 3

12 2

43

13lím

x

x

x x

x (b)

3

122

3

51lím

x

x

x x

(c) t

tt

1

031lím

(d) x

xx

1

0sen1lím

(e) 2

1

2 25

23lím

x

x x

x (f)

2

1

2 25

23lím

x

x x

x

(g) x

xx

1

0coslím

(h)

h

h

h

2ln)2ln(lím

0

(i) y

y

y

)1ln(lím

0

(j)

h

eh

h

1lím

0

EJERCICIO 10: Marque la única respuesta correcta:

(a) El

xx

x

x

x

1sensen

lím0

no existe es igual a 1 es igual a 0 es infinito

(b) El x

xx

1senlím


(c) El xxx

coslím


(d) ¿Para qué valores de a el 211

lím2

0

x

axx

x?

ningún valor de a para a=4 para a=0 para todo a

31

CONTINUIDAD

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

EJERCICIO 11: Determine los puntos de discontinuidad de las funciones dadas a continuación. Vea si en esos puntos la discontinuidad es evitable.

(a)

12

11

1

)(

3

xsi

xsix

x

xf

(b)

casootroen

xxsix

x

xf

0

7,27

32

)(

(c) 1

1)(

3

x

xxf

(d) )(

sen)(

xx

xxf

(e) x

xxf

cos1)(

2

EJERCICIO 12: En cada caso, determine el o los valores de la constante a pa-ra los cuales las funciones resulten continuas.

(a)

2

2)(

2

2

xsixa

xsiaxxxf

(b)

0

0)(

1

xsia

xsiexf

x

(c)

13

1)(1

1

xsiax

xsiexfx

x

(d)

axsix

axsixxf

14

3)(

(e)

0

01

sen)(

xsia

xsix

xxf

(f)

13

11

1

)(

xsiax

xsix

x

xf

32

EJERCICIO 13: Muestre, con la ayuda de sucesiones, que la función

xxf

1sen)(

tiene una discontinuidad inevitable en x=0.

EJERCICIO 14: Marque la única respuesta correcta

Si f es continua en el punto x=a y f(a)>0. Entonces hay certeza de que

)()( afxf para todo x en un entorno de a.

)(2

1)( afxf para todo x en un entorno de a.

)()( afxf para todo x en un entorno de a.

)(2)( afxf para todo x en un entorno de a.

TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS

EJERCICIO 15: Considere la función continua 13)( 3 xxxf

(a) Muestre que la ecuación 0)( xf tiene al menos una solución en el

intervalo (-1,1).

(b) Encuentre un intervalo de longitud menor que 0,2 que contenga a tal solución.

EJERCICIO 16: Considere las funciones hiperbólicas

2cosh

xx eex

y

2senh

xx eex

Pruebe que existe algún valor de x tal que 2

1senhcosh xx .

EJERCICIO 17: Pruebe que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real.

(a) xx cos12 (b) Nnxx n ,01212

(c) xx 3ln (d) 2,014

x

x

(e) xe x ln2

(f) 236 xx

33

EJERCICIO 18: Adapte convenientemente el Teorema de Bolzano para probar

que la ecuación 03

1

2

1 42

x

x

x

x tiene alguna solución en el intervalo (-2,3).

EJERCICIO 19: Para cada una de las siguientes funciones determine ceros y puntos de discontinuidad. A partir de ellos, use el Teorema de Bolzano para ha-llar el conjunto donde la función es positiva.

(a) )2)(3()( 2 xxxxf (b) xxxf ln)(

(c) 1

4)(

2

x

xxf (d)

x

xxf

cos2

sen)(

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Sea 1

2)(

3

4

x

xxf . Halle los valores de a y b para los cuales

0)()(lím

baxxfx

PROBLEMA 2: Determine el valor de la constante a para la cual

(a) 5114

lím2

x

xax

x

(b) 21

11lím

32

1

x

axxaxx

x

PROBLEMA 3: Calcule el xxx

x

1

25lím

PROBLEMA 4: ¿Para qué valores de la constante a la siguiente función es continua?

03

02)(

1

xsiax

xsiexf

x

PROBLEMA 5: Pruebe que la función 610)ln(ln x tiene una raíz real en el in-

tervalo ),( e .

PROBLEMA 6: Encuentre cuatro intervalos disjuntos en cada uno de los cua-

les la ecuación 0114142 24 xxx tenga una raíz real.

34

PROBLEMA 7: Pruebe que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real.

(a) 70sen1

13322

50

xx

x

(b) 15sen152

cos

x

xx

PROBLEMA 8: Para recorrer 400 kilómetros en un automóvil tardamos 4 ho-ras, contando las eventuales paradas técnicas y sin llevar una velocidad cons-tante. Pruebe que hubo un lapso de una hora donde se recorrieron exacta-mente 100 kilómetros.

(Ayuda: considere la función )()1()( tftftg siendo )(tf los kilómetros re-

corridos en t horas y use argumentos de continuidad)

PROBLEMA 9: Dado un cuadrilátero convexo, pruebe que se puede trazar un segmento a partir de uno de los vértices, que divida al mismo en dos figuras de igual área.

(Ayuda: use el Teorema de los Valores intermedios)

PROBLEMA 10: Sea f una función continua sobre [0,1] y tal que 1)(0 xf

para todo x del intervalo. Pruebe que debe existir un número )1,0(c tal que

ccf )(

(Ayuda: Considere la función xxfxD )()( y use el Teorema de Bolzano)

PROBLEMA 11: Sea na una sucesión de números positivos tal que

3)(lím

nn

na

(a) Halle el nn

a

lím

(b) Calcule el 2

)5sen(lím

n

n

n na

a

.

Explique las propiedades y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 12: Halle algún valor del parámetro b de modo que la ecuación

0535 bxx tenga alguna solución en el intervalo [0,1/2].

35

PRÁCTICA 5

DERIVADA

RECTA TANGENTE

EJERCICIO 1: Considere la curva 12 xy . Halle la pendiente y la ecuación de la

recta

(a) que pasa por los puntos )0,1( y ))2(,2( y

(b) que pasa por los puntos )0,1( y ))2

3(,

2

3( y

(c) que pasa por los puntos )0,1( y ))1.1(,1.1( y

(d) tangente a la curva por el punto )0,1( .

Represente en un mismo gráfico las cuatro rectas y la curva.

EJERCICIO 2: Justifique, por medio de los cocientes incrementales, las siguientes igualdades

(a) 0 yconsty (b) aybaxy

(c) xyxy 22 (d) 23 3xyxy

(e) 2

11

xy

xy

(f)

xyxy

2

1

(g) xx eyey (h) x

yxy1

ln

(i) xyxy cossen (j) xyxy sencos

EJERCICIO 3: Halle, usando el cociente incremental, el valor de la derivada de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Escriba la ecuación de la recta tangente en esos mismos puntos.

(a) 3742 xenxxy (b) 51

2

xen

xy

(c) 1312 xenxy (d) 1ln xenxxy

(e) 035 xenxy (f) 42

xenx

y

36

(g) 1112

12

xen

xsix

xsixy

(h)

000

01sen2

xen

xsi

xsix

xy

EJERCICIO 4: Considere la curva 13 ty .

(a) Describa el haz de rectas (excluida la vertical) que pasan por el punto de coordenadas ))1(,1( y . Haga un dibujo alusivo.

(b) Calcule )1(y y escriba la ecuación de la recta tangente en el punto

))1(,1( y . Marque sobre el dibujo esta recta.

EJERCICIO 5: ¿En qué punto de la gráfica de la función 86)( 2 xxxf , la rec-

ta tangente es paralela al eje de las x?

REGLAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN DERIVADA

EJERCICIO 6: Usando las reglas de derivación, halle las derivadas de las siguien-tes funciones en su dominio de definición.

(a) xxxxf sen)( 23 (b) xxxf cos)( 2

(c) xxf sen3)( (d) xxxf ln)(

(e) x

xxf1

)( 5 (f) xexf x ln)(

(g) xexxxf x cossen)( (h) x

xxf

sen)(

(i) xxf tg)( (j) xxxxf ln)1)(2()( 2

(k) 1

ln)(

2

x

xxxf (l) xxf alog)(

(m) xxx

xf321

)(2 (n)

xx

xxxf

cossen

cossen)(

(ñ) xxxf ln)( 31

(o) ))(log(ln))(log(ln)( xaxxxf aa

(p) 2

cosh)(xx ee

xxf

(q) 2

senh)(xx ee

xxf

37

EJERCICIO 7: Calcule por medio de la regla de la cadena, la función derivada de f siendo )(xf

(a) 2)1( x (b) 3)1( x

(c) 2001)1( x (d) 3xe

(e) 3)1( x (f) )3cos( x

(g) )3tg( 5x (h) x4sen3

(i) )1ln( x (j) )sen2ln( x

(k) xesen2 (l) )1(ln 22 x

(m) 112 coscos3

xx (n) 22

2

xa

a

(ñ) xx 2sen sen3 (o) x2tg1

(p) 21

2bxa (q) )3ln()5ln( xx

(r) )1ln(

)32(2

23

x

x (s) xx 22 cossen

(t) xx 22 senhcosh (u) 21

4 )1ln( x

(v)

2cos

2

cos1 xx (w) 1ln 2 x

EJERCICIO 8: Calcule la derivada de la función f en su dominio de definición,

siendo )(xf

(a) xx (b) 0,3 aax xx

(c) xx ln3 )(sen (d) xx

(e) xx cos)sen1( (f)

x

x

11

EJERCICIO 9: Sean gf , y h unas funciones tales que

)21()(;4)0(;))31(sen(sen)(;1)( 22 xgxhgxxgxxf

Calcule

(a) )0()( gf (b) )0()( fh

38

EJERCICIO 10: Pruebe que la función kxCey es solución de la ecuación diferen-

cial )()( xkyxy donde k y C son constantes.

FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES

EJERCICIO 11: Para cada una de las siguientes funciones

(a) haga un gráfico de ellas.

(b) estudie la continuidad y, mediante el estudio del cociente incremental, la derivabilidad en el punto indicado.

(i) 12)( xxf en 2

1x

(ii) 31

)( xxg en 0x

(iii)

22

20)(

xsix

xsixh en 2x

(iv)

113

11)(

3

xsix

xsixxr en 1x

(v)

00

01

sen)(

xsi

xsix

xxs en 0x

(vi)

00

01

sen)(

2

xsi

xsix

xxt en 0x

En las funciones que resulten derivables en los puntos indicados, escriba la ecua-ción de la recta tangente.

EJERCICIO 12: Marque la única respuesta correcta. Sea RRf : la función de-

finida como

00

02

sen

)(

2,0

xsi

xsix

xx

xf . Entonces en x=0

f es continua pero no derivable.

f es continua y derivable.

f no es continua pero si es derivable.

f no es ni continua ni derivable.

39

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

EJERCICIO 13: Sea xxexfRRf 23

5)(,:

(a) Muestre que 0)( xf para todo x. Además note que 5)0( f

(b) Use el Teorema de la función inversa para justificar la existencia de

)5()( 1 f y calcular su valor.

EJERCICIO 14: Pruebe, usando el Teorema de la función inversa, las siguientes fórmulas de las derivadas de las funciones inversas de las funciones trigono-métricas. En cada caso, analice la región donde es válida la fórmula

(a) 21

1arcsen

xyxy

(b) 21

1arccos

xyxy

(c) 21

1arctg

xyxy

(d) 21

1cot

xyxarcy

EJERCICIO 15: Sea 1)(,),1[: xxxfRf

(a) Muestre que 0)( xf para todo x>-1. Además note que 5)3( f


)5()( 1 f y calcular su valor

EJERCICIO 16: Sea 2

senh)(,:xx ee

xxfRRf

(a) Muestre que 0)( xf para todo x.


)()( 1 xf . Calcule )0()(senh)0()( 11 f .

40

ALGUNAS APLICACIONES

(VELOCIDAD, RAZÓN DE CAMBIO, DIFERENCIAL)

EJERCICIO 17: La ley de movimiento de un punto a lo largo de una recta es

23)( ttts

(en el instante t=0 el punto se encuentra en el origen). Halle la velocidad del movi-miento del punto para los instantes t=0 , t=1 y t=2.

EJERCICIO 18: Un objeto circular va aumentando de tamaño con el tiempo, de modo que su radio r, en centímetros, viene dado por 23 tr siendo t el tiempo en minutos.

(a) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento del radio r?

(b) ¿Cuál es la velocidad de variación del área?

EJERCICIO 19: La temperatura C de un cuerpo, que inicialmente estaba a 90C

se enfría de acuerdo a la ley tetC 1,07020)( (se está suponiendo que la tempe-

ratura ambiente es de 20C) donde t es el tiempo en minutos.

(a) Calcule con qué velocidad se está enfriando el cuerpo a los 5 minutos.

(b) Muestre que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia entre la temperatura C y la temperatura ambiente. Más precisamente:

20)(1,0)( tCtC .

(c) Muestre que la velocidad de enfriamiento va tendiendo a 0 conforme avanza el tiempo.

EJERCICIO 20: Cada arista de un cubo se dilata a razón de 1 cm por segundo. ¿Cuál es la razón de variación del volumen cuando la longitud de cada arista es

de 10 cm? Si la razón de variación del volumen es igual segcm /108 3 , ¿cuál es la

longitud de la arista?

EJERCICIO 21: Un barco navega paralelamente a una costa recta, a una velo-cidad de 12 millas por hora y a una distancia de 4 millas. ¿Cuál es la velocidad de aproximación a un faro de la costa en el instante en que diste precisamente 5 mi-llas del faro?

41

EJERCICIO 22: Para x

xy1

, halle

(a) y ( )()( xyhxyy )

(b) dy ( hxdxdxxydy ,)( )

(c) dyy

(d) x

dyy

(e) dx

dy

EJERCICIO 23: Mediante diferenciales calcule aproximadamente

(a) 3 25 (b) )12,1ln( (c) )5,0cos(

DERIVADAS SUCESIVAS

EJERCICIO 24: Calcule las siguientes derivadas

(a) )0(,)(,sen)( )70()( fxfxxf v

(b) )0(,)(,)( )2001()19( fxfexf x

(c) )(,)( )20( xfexf kx

(d) )(,)1ln()( )4( xfxxf

(e) )2(,)(,)(,85)( )800()(3 fxfxfxxxf iv

EJERCICIO 25: Muestre que las funciones xsen y xcos son soluciones de la si-guiente ecuación

0)()( xyxy

Pruebe que xBxAxy sencos)( también es solución de la ecuación.

EJERCICIO 26: Considere la función nxxf )1()( , con n natural. Calcule

)0()(kf para todo valor de k.

42

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Para cada una de las funciones dadas a continuación

(a) Determine si es continua y/o derivable en los puntos indicados.

(b) En los casos que resulte derivable estudie la continuidad de la función derivada.

(c) En los casos en que resulte derivable, escriba la ecuación de la recta tangente.

(i)

0

01)(

xsie

xsixxf

x en x=0

(ii)

332

3)(

2

xsix

xsixxg en x=3

(iii)

10

11

1cos)1(

)(2

3

xsi

xsix

xxh en x=1

(iv)

0sen

0)1ln()(

25

xsixx

xsixxxr en x=0

(v)

112

11)(

2

xsix

xsixxs en x=1

PROBLEMA 2: Dadas las siguientes funciones, escriba en cada caso, la ecuación de la recta tangente en los puntos que se indican:

(a)

4sen)( 2

xxf en 4

0

xenyx

(b) 1)( xxxxf en 0x

(c) xxxf

sen21)( en xenyx 0

PROBLEMA 3: Pruebe que la función xxxf )( es derivable para todo x, que

f´(x) es continua pero que no existe f´´(0).

PROBLEMA 4: Pruebe que la curva tty ln no tiene ninguna recta tangente

que pase por el origen.

43

PROBLEMA 5: Halle, si existen, la o las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva t

ty1

que pasen por el punto

(a) (1,0) (b) (0,0) (c) (0,4)

PROBLEMA 6: Halle, si existen, la o las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva t

ty1

que tengan pendiente igual a –3.

PROBLEMA 7: La recta tangente de la función f en el punto de abscisa x=-1 tiene ecuación 35 xy . Calcule la ecuación de la recta tangente a la función

))sen(()( 2 xxfxg en el punto de abscisa x=1.

PROBLEMA 8: Considere la función

5

51

)(2 xsibxa

xsixxf . Halle los valores

de a y b para los cuales existe )5('f .


0

0)(

1

xsibax

xsixexf

x

. Halle los valores

de a y b para que f resulte derivable.

PROBLEMA 10: Sea RRg : una función continua en x=0 pero no necesaria-

mente derivable. Pruebe que la función xxgxf 3sen)()( es derivable en x=0.

PROBLEMA 11: Suponga que se introduce un gas en un globo esférico a la razón

constante de 350 cm por segundo. Suponga que la presión del gas permanece

constante y que el globo tiene siempre forma esférica. ¿Cuál es la rapidez con que

aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm? (Vol. globo = 3

3

4rr ).

PROBLEMA 12: Cierta población crece de acuerdo a la ecuación tey 1,02,01 ,

donde t es el tiempo medido en meses e y es el número de individuos en miles. Calcule la velocidad de crecimiento de la población después de un año.

44

PRÁCTICA 6

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE Y LAGRANGE

EJERCICIO 1: La función 32

)( xxf tiene en x=0 un mínimo. ¿Qué puede de-

cir sobre la aplicabilidad del Teorema de Fermat?

EJERCICIO 2: Considere la función f del ejercicio anterior definida en el in-tervalo [-1,1]. Esta función es continua sobre este intervalo y f(-1)=f(1). Sin em-bargo, su derivada no se anula nunca. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?

EJERCICIO 3: Considere la parábola xxy 22 y cualquier intervalo cerrado,

por ejemplo el [-1,3]. Compruebe que el valor )3,1(c al que hace referencia

el Teorema del Valor Medio es calculable en este caso. Haga un gráfico que ilustre la situación. Compruebe que si el intervalo es el [a,b] el valor intermedio c es calculable en términos de a y de b.

EJERCICIO 4: Desde el piso se arroja un proyectil hacia arriba y, después de unos minutos, cae al piso. Pruebe que en algún momento la velocidad del pro-yectil fue nula.

EJERCICIO 5: Un automóvil pasa por dos controles camineros separados en-tre sí 10 km. Por el primero pasa a las 12:00 y por el segundo a las 12:04. La velocidad máxima permitida en esa región es de 120 km/h. ¿Hubo infracción al tope de velocidad?

EJERCICIO 6: Pruebe que para cada x>0 existe entre 0 y x que satisface

cossen xx

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

EJERCICIO 7: Pruebe que si dos funciones f y g tienen la misma función deri-vada entonces f(x) = g(x) + c donde c es una constante.

45

EJERCICIO 8: Pruebe las siguientes identidades

(a) 2

2cos1sen2 x

x

(b) 2

arccosarcsen

xx

(c)

21

2arctgarctg2

x

xx

(Ayuda: use el ejercicio anterior)

EJERCICIO 9: Pruebe que las únicas soluciones de la ecuación

)()( xyxy

son de la forma xkexy )( .(Ayuda: Si )(xu es una solución de la ecuación

estudie la derivada de xe

xuxh

)()( )

EJERCICIO 10: Para las siguientes funciones

(a) Pruebe que son estrictamente monótonas en el conjunto indicado.

(b) Indique en cada caso, si es creciente o decreciente.

(c) Determine, si es posible, cuántas veces corta el gráfico el eje x.

(i) ( ) 3 sen 2 ,f x x x x R

(ii) 1,ln)( xxexf x

(iii) 0,ln)( xxxxf

(iv) 2 1 3( ) 1 ,nf x x x x x R , n natural.

(v) 1,ln)( xxxxf

(vi) 0,21

1)(

x

xxf

(vii) 0,32

1)(

2

x

xxf

(viii)

2,0

sen)(

x

x

xxf

EJERCICIO 11: Pruebe las siguientes desigualdades. Para ello estudie el signo de la derivada de una función conveniente.

(a) 0,sen xxx

(b) xex 1

46

(c) 0,)1ln( xxx

(d) 1,1

1ln xx

x

(e) 2

0,2

sen

xxx

(f) 0arctg xxx

(g) 1,0,1)1( axaxx a

EJERCICIO 12: Considere la función 0)0(01

sen)( 2

fxsi

xxxxf

(a) Muestre que 1)0( f (estudie el cociente incremental)

(b) Muestre que en cualquier intervalo que contenga al 0, hay valores ne-gativos y valores positivos de la función.

(c) Determine la validez de las siguientes afirmaciones:

1. si una función g tiene derivada en x=0 y 0)0( g entonces g es

creciente en un intervalo abierto que contiene al cero.

2. si una función g tiene derivada continua en x=0 y 0)0( g en-

tonces g es creciente en un intervalo abierto que contiene al cero.

REGLA DE L’HOSPITAL

EJERCICIO 13: Considere las funciones 1)( 3 xxf y 1)( 2 xxg definidas

en cualquier intervalo [a,b]. Muestre que el valor de donde se cumple el Teo-

rema de Cauchy es calculable en términos de a y de b.

EJERCICIO 14: Sea R(x) una función con 3 derivadas continuas en x=0 y tal

que (0) (0) "(0) 0R R R . Pruebe que 3

( ) ( )

3!

R x R c

x

para algún c entre 0 y x.

(Use el Teorema de Cauchy tres veces)


(a) x

x

x

)1ln(lím

0

(b)

xx

xee xx

x sen

2lím

0

(c)x

x

x

2lnlím

(d)

)2

tg(

lnlím

0 x

x

x

(e) x

xxe

lím (f) )1)((lnlím

0

x

xex

47

(g) x

xxsen

0lím

(h) xxx

lnlím 21

0

EJERCICIO 16: Continúe con estos límites

(a) 1

1 1lim

ln 1x x x

(b)

1ln

1lim x

xx

(c) 1

lim(ln )(ln(1 ))x

x x

(d) 1

2

0lim x x

xx e

(e) ln

limk

x

x

x , k natural (f)

0lim(1 2 )x senx

x

(g) 0

lim ln ,n

xx x n natural

(h) lim ,n x

xx e n natural

EJERCICIO 17: Sea R(x) una función con 10 derivadas continuas en x=0 y tal

que ( ) (10)(0) 0 , 0 9 , (0) 1kR k R . Calcule el 100

( )limx

R x

x

EJERCICIO 18: Explique por qué no es correcta la siguiente aplicación de la Regla de L’Hospital:

3 2 2

21 1 1

1 3 2 1 6 2lim lim lim 4

1 2 2x x x

x x x x x x

x x

EJERCICIO 19: Muestre por qué no se puede utilizar la Regla de L’Hospital pa-ra calcular el límite indicado en cada caso y encuentre el límite por otros me-dios.

(a) limx

x senx

x

(b) lim

x

x xx

e

e e (c)

1

0lim

x

x

e

x

EJERCICIO 20: Justifique las siguientes afirmaciones

(a) No existe el 0

2 sin(1/ ) cos(1/ )lim

cosx

x x x

x

.

(b) 2

0

sin(1/ )lim 0

sinx

x x

x .

(c) sin

lim 1cosx

x x

x x

.

48

EJERCICIO 21: Considere la función

32 ln 0

( )0 0

x x si xf x

si x

. Marque la única

afirmación correcta.

f no es continua ni derivable en x=0.

f es continua pero no derivable en x=0.

f es derivable pero no es continua en x=0.

f es continua y derivable en x=0.

EJERCICIO 22: Considere la función

3 3cos0

( )

6 0

ax xsi x

f x x

si x

Determine el valor de a para que f resulte continua. Para el valor de a hallado calcule, si existe (0)f .

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA1: Considere la función

2 (1 cos )0

( ) 1

0 0

x

bx a xsi x

f x e

si x

. Encuen-

tre los valores de a y de b para que f resulte derivable en x=0 y además sea (0) 3f

PROBLEMA 2: Sea :f R R una función con dos derivadas continuas tal que

5(0) 2 , (0) , (0) 5

6f f f . Se define :g R R como

(6 ) 20

( ) 5

1 0

f xsi x

g x x

si x

Calcule, explicando las propiedades que usa en cada caso:

(a) 0

lim ( )x

g x

(b) (0)g

PROBLEMA 3: Considere la función : [0, )f R definida por

5 cos(2 ) 2( ) 3 8 ln (4 1)x xf x x x

Pruebe que ( ) 1 0f x x .

49

PROBLEMA 4: Considere ( ) 4 3ln 2 0f x x x x .

(a) Pruebe que f es monótona.

(b) Justifique la existencia de la función inversa 1 ( )f x . Calcule

1 (2)f (Observe que (1) 2f )

PROBLEMA 5: ¿Para qué valores reales de p es el 21

1lim 3

( 1)

p

x

x px p

x

?

PROBLEMA 6: Sea f una función continua y derivable tal que ( 2) (5) 0f f .

Pruebe que existe un ( 2,5)c tal que ( ) 200 ( )f c f c

(Ayuda: considere 200( ) ( )xg x e f x )

PROBLEMA 7: Sea : [0, )h R una función estrictamente creciente. Prue-

be que ( ) 52 3 sin 0h x x x x .

PROBLEMA 8: Considere la función :f R R definida como 4 5( ) 2xf x e x

(a) Pruebe que es biyectiva y que 1 (3) 0f .

(b) Calcule 1

3

( )lim

2 6y

f y

y

PROBLEMA 9: Pruebe la siguiente desigualdad

6 4 2 3 12 6 , 1x x x x x

PROBLEMA 10: Considere la función 32 33)(x

exxf

. Pruebe que existe

]5.0,4.0[c tal que 0)( cf . Decida si en c la función alcanza un máximo o un

mínimo relativo.

50

PRÁCTICA 7

ESTUDIO DE FUNCIONES

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

EJERCICIO 1: Pruebe que las siguientes funciones son monótonas en el con-junto indicado. Indique en cada caso, si son crecientes o decrecientes.

(a) 7 5( ) 7 4 ,f x x x x en R

(b) 13( ) 2 ,f x x en R

(c) 1

( ) , 0xf x e en x

(d) 1 23 3( ) 3 2 ,f x x x x en R

(e) 3 2( ) 3 3 ,f x x x x en R

EJERCICIO 2: Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

(a) ( ) lnf x x (b) 2( 1)( ) xf x e

(c) ( ) xf x xe (d) 2( ) xf x x e

(e) ( ) sin , [ ,6 ]f x x x (f) ( ) lnf x x x

(g) 1

( )2 3

xf x

x

(h)

2( )

1

xf x

x

(i) 2

( )1

xf x

x

(j) 2( ) lnf x x x

EJERCICIO 3: Aníbal realiza un régimen de comidas para adelgazar. Ha podi-do establecer que la cantidad de kilos que adelgaza está en función del tiempo durante el cual hace régimen según la siguiente fórmula:

24( ) 6 , 0

3 1

t

t

ek t t

e

(a) Pruebe que cuánto más tiempo persista, más adelgazará.

(b) Pruebe que con este régimen no podrá adelgazar más de 2 kilos.

51

EXTREMOS LOCALES

EJERCICIO 4: Decida si las siguientes funciones alcanzan un extremo local en x=0.

(a) 3( ) sinf x x (b) 2( ) 2 sinf x x x

(c) 2( ) cosf x x (d) 8( ) 3f x x

EJERCICIO 5: Estudie, utilizando únicamente la primera derivada, la existencia de extremos de las siguientes funciones.

(a) 4( )f x x (b) 4 2( ) 2f x x x

(c) ( ) xf x xe (d) 2

3( ) 3 2f x x x

(e) ( ) lnf x x x (f) 2( ) lnf x x x

(g) 2( ) xf x x e (h) 2

( )1

xf x

x

(i) ( ) lnf x x x (j) 2

( )1

xf x

x

(k) 2

10( ) , [0,2 ]

1 sinf x en

x

(l)

2

2

100( )

25

xf x

x

(m) ( ) 4f x x x (n) ln( ) x xf x x

(o) 2 2( ) (2 )f x x x (p) 2

3( ) (1 )f x x x

(q) 22 2 2 , 2

( ), 2

x x si xf x

x si x

(r)

2

2

, 1( )

( 2) , 1

x si xf x

x si x

EJERCICIO 6: Determine el valor de k R tal que la función 2

( )1

x kf x

x

al-

cance un extremo local en x=2. ¿Es un máximo o un mínimo local? ¿Es abso-luto?

EJERCICIO 7: De la función RRf : derivable en todo su dominio, se sabe

que su derivada se anula en 0,2

1,1 y

2

3. Además se tiene que

(i) )2

3,0()1,(}0)(/{ xfRx

(ii) ),2

3()0,

2

1()

2

1,1(}0)(/{ xfRx

Encuentre los máximos y los mínimos locales.

52

ASÍNTOTAS

EJERCICIO 8: Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x como para x ) de las siguien-

tes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas.

(a) 2 3 1

( )1

x xf x

x

(b) ( ) sinxf x x e x

(c) 2 3 2

( )( 1)( 1)

x xf x

x x

(d)

1

( ) xf x xe

(e) 1

( ) lnf x x ex

(f) 2( ) 2 1f x x x

(g) sin

( )x

f xx

(h) 3 2

2

3 4( )

x xf x

x

EJERCICIO 9: Pruebe que la recta 2

3y x es la única asíntota de la función

1

2 3 3( ) 2f x x x

EJERCICIO 10: Encuentre los valores de a y b tales que la recta 2 7y x re-

sulte una asíntota oblicua de 3 2

2

1( )

5

ax bxf x

x

para x

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

EJERCICIO 11: Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones

(a) 123)( 234 xxxxf (b) 2

( )1

xf x

x

(c) 2

( ) xf x e (d) ( ) xf x xe

(e) 1

2 3 3( ) 2 , 0f x ax x a fijo (f) 2( ) lnf x x x

EJERCICIO 12: Considere la función 2

( ) , 0x

f x ax a

. Pruebe que f alcanza

dos extremos locales y tiene tres puntos de inflexión. Muestre que las abscisas de estos cinco puntos sobre el eje de las x son equidistantes. ¿Dónde es cóncava?

53

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

EJERCICIO 13: Para cada una de las siguientes funciones:

(a) Halle el dominio de f y de su función derivada f’.

(b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

(c) Halle los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos.

(d) Escriba la ecuación de las asíntotas.

(e) Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad.

(f) Halle los puntos de inflexión.

(g) Con la información obtenida, construya un gráfico aproximado.

1. 2

3( ) (1 )f x x x

2. 2( ) sinf x x

3. 5( ) 5 2f x x x

4. 2( ) (1 2 ) xf x x x e

5. 2

3( )

( 1)

xf x

x

6. ( ) 2 5ln( 2)f x x x

7. 2

3( ) 3( 5)f x x x

8. 3( ) lnf x x x

9. 2( ) lnf x x x

10. 3

80

( ) 1

3 0

xsi x

f x x

x x si x

11. 3 11

( )( 3)( 1)

xf x

x x

12. 2

( ) xf x xe

13. 2( ) ln( 1)f x x

14. 4

5( ) 4 5f x x x

15. 3

2( )

( 1)

xf x

x

16. 1

( ) xf x xe

54

EJERCICIO 14: Sea :[0,4]f R continua y derivable, tal que el gráfico de la

función derivada ( )y f x es el que se ve en la figura

(a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(b) Determine extremos locales y puntos de inflexión.

(c) Si (0) 1f , haga un gráfico aproximado de ( )y f x .

EJERCICIO 15: Dibuje, si es posible, el gráfico de una función :f R R que

satisfaga las siguientes condiciones.

1. Es continua en R.

2. No es derivable en x=3.

3. (2) 3 , ( 2) 5f f

4. lim ( ) 2 , lim ( )x x

f x f x

5. ( ) 0 3 ,f x si x f es decreciente en ( ,2)

CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

EJERCICIO 16: Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones

(a) 0123 57 xxx

(b) 1xe x

1 2 3 40

y = f´(x)

55

(c) 2 1

5

xxe

(d) 4

54 5 2x x

(e) 3

27

( 1)

x

x

(f) 1

1xxe

(g) 3

80

( ) 2 ( ) 1

3 0

xsi x

f x siendo f x x

x x si x

CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS

EJERCICIO 17: Para cada una de las siguientes funciones indique si está aco-tada superiormente y/o inferiormente. Decida si alcanza su máximo y/o su míni-mo.

(a) ]3,1[,13)( xxa

(b) ]1,1[,1)( 2 xxf

(c) ]5,2[,1

1)(

xxg

(d) 1,]2,0[,1

1)(

x

xxh

(e) )4,3[,)( 2 xxi

(f) ]2,0(,ln

)(x

xxj

(g) ),(,1

1)(

2

xxk

(h) ],0[,)2sen()( xxt

EJERCICIO 18: Considere las siguientes afirmaciones.

I. Una función continua en [a,b] siempre está acotada.

II. Una función continua en (a,b] siempre alcanza su máximo.

III. Una función continua en [a,b] siempre alcanza su minimo.

IV. Una función continua en (a,b) nunca está acotada.

Marque la única respuesta correcta

Todas las afirmaciones son verdaderas.

I. y III. son verdaderas, II. y IV. son falsas.

56

Sólo I. es verdadera.

Todas las afirmaciones son falsas.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMA 1: Se quiere ahorrar el máximo de material al hacer un tanque

recto de base cuadrada y sin tapa, de manera tal que el volumen sea de 332 m .

Halle las dimensiones del tanque. Haga lo mismo pero ahora con tapa.

PROBLEMA 2: Con una lámina cuadrada de un metro se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcule el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de la caja no puede pasar de 20 cm, ¿cuál es la medida del lado del cua-drado que debemos recortar?

PROBLEMA 3: En la fabricación de latas de conserva, se quiere minimizar el uso de hojalata. Supuesto que se ha prefijado el volumen V, halle la relación entre el diámetro D de la base y la altura H de la lata que producen el menor gasto de hojalata.

PROBLEMA 4: Determine las dimensiones de un rectángulo de área 169 2cm

que tengan la diagonal de menor longitud.

PROBLEMA 5: Por el punto (2,1) pasan rectas que determinan triángulos al cortarse con los semiejes positivos. Entre estas rectas, halle la que genera un triángulo de área mínima.

PROBLEMA 6: Entre todos los triángulos inscriptos en una semicircunferencia de 10 cm de diámetro, halle el de área máxima.

PROBLEMA 7: Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30, halle el de área mínima.

PROBLEMA 8: Pruebe que entre todos los números positivos x e y que satis-

facen 222 ryx , la suma es máxima cuando x = y.

PROBLEMA 9: Si de un disco metálico de radio R quitamos un sector circular podemos construir en vaso cónico. Determine el sector circular que debemos quitar para que el volumen del vaso sea máximo.

57

PROBLEMA 10: ¿Cuál de los puntos de la recta de ecuación 1 byax está

más cerca del origen?

PROBLEMA 11: Una carretera que corre de Norte a Sur y otra que lo hace de Este a Oeste se cortan en el punto P. Un ciclista que se dirige al Este con una velocidad de 20 km/h pasa por P a las 11 de la mañana. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el Sur con una velocidad de 40 km/h se encuentra a 20 km al norte de P. Calcule cuándo se encuentran los dos ciclistas más cerca el uno del otro.

PROBLEMA 12: Un triángulo isósceles pero no equilátero tiene su lado desi-gual de longitud 12 cm y la altura sobre dicho lado es de 5 cm. Determine los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices sea máxima y mínima respectivamente.

PROBLEMA 13: Considere el recinto determinado por la gráfica de xy , el

eje de las x y las rectas de ecuación x = 0 , x = a (a fijo). Inscriba allí un rectángulo de área máxima. ¿Hay alguno de área mínima?

PROBLEMA 14: Una compañía de bienes raíces es dueña de 180 departa-mentos que se alquilan en su totalidad cuando el alquiler es de 310 pesos men-suales. La compañía calcula que por cada 10 pesos de aumento en el alquiler se desocupan 5 departamentos. El gasto que le ocasiona a la compañía cada departamento desocupado es de 30 pesos mensuales, mientras que por cada departamento ocupado el gasto es de 20 pesos mensuales. ¿Cuál es el precio del alquiler por departamento con el que la compañía obtendría la mayor ga-nancia?

PROBLEMA 15: Considere la curva xxey x 0, . De entre todos los

triángulos de vértices ),()0,(,)0,0( yxyx encuentre el de área máxima.

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 16: Considere la ecuación 2 lnx x k con k real.

(a) ¿Cuántas soluciones tiene si 1

6k ?

(b) ¿Para qué valores de k hay una sola solución?

PROBLEMA 17: Determine el mayor valor de k para que la desigualdad 2 lnx x k sea verdadera para todo x > 0.

58

PROBLEMA 18: Considere las funciones ( ) xf x e y ( ) lng x x . Pruebe que

existe un único c > 0 donde los gráficos de ambas funciones tienen rectas tangentes paralelas en el punto de abscisa x=c. Determine un intervalo de longitud menor que 1 que contenga a c.

PROBLEMA 19: Halle todos los valores reales de b para los cuales la ecuación 3 3 0x x b tiene una sola solución.

PROBLEMA 20: Pruebe la siguiente desigualdad

28 1 9, 0

20

xxe x

PROBLEMA 21: Considere el arco de parábola definido por

52,)2(3/),( 22 xxyRyx .

y el punto )0,5(P . Se traza desde P una recta que interseca a la curva en el

punto Q. Halle las coordenadas de Q para que el triángulo rectángulo limitado por dicha recta, el eje de las x y la recta vertical que pasa por Q tenga área máxima.

PROBLEMA 22: Una función f satisface la siguiente ecuación diferencial

Rxexfxxfx x ,1)(3)(2

(a) Pruebe que si f tiene un extremo en 00 x entonces es un mínimo.

(b) ¿Qué pasa si 00 x es un punto crítico?

PROBLEMA 23: Considere la función )2

17()( 212 xxexf x . Encuentre todos

los puntos para los cuales la pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy

resulte mínima.

PROBLEMA 24: Para cada Nn considere la función xxxf nn

1

)( . Sea

]1,0[nx el punto donde f alcanza su máximo absoluto en el intervalo [0,1]. Cal-

cule, si existe, nn

xlim

y )( nnn

xflim

.

PROBLEMA 25: Considere la función 1

2

)( x

x

exf . Haga un gráfico aproximado

señalando su dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos locales y asíntotas. Determine los valores de c para los cuales la ecuación cxf )( tiene una única solución.

59

PROBLEMA 26: De la función f se sabe que su derivada xexxxf sen22 )1()(

(a) Encuentre los extremos locales de f.

(b) ¿Cuál es la cantidad máxima de ceros que puede tener f?

(c) Si se define )1()( 2 xfxh , encuentre los extremos locales de h.

PROBLEMA 27: Halle todos los Ra tales que 0ln2 xax tenga exacta-mente dos soluciones.

PROBLEMA 28: Pruebe que 01ln xxn cualquiera sea el Nn .

PROBLEMA 29: Se dispone de un alambre de un metro de largo para construir un cuadrado y un aro. ¿Dónde se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea

(a) máxima?

(b) mínima?

PROBLEMA 30: Para cada )1,0[x , la recta tangente a la curva xy 1 for-

ma con los ejes coordenados un triángulo. Halle el de menor área. ¿Existe un triángulo de área máxima?

PROBLEMA 31: Un bañista que se encuentra nadando a 60 metros de una costa recta pide auxilio al guardavidas que se encuentra en la orilla a 100 me-tros del bañista. El guardavidas en tierra corre a una velocidad de 3,2 metros por segundo y en el agua nada a 1,1 metros por segundo. ¿En qué punto de la playa le conviene arrojarse al agua para llegar al bañista en el menor tiempo posible? ¿Cuánto más tarda si se arroja directamente al agua? ¿Y si corre por la costa hasta quedar enfrente del bañista?

PROBLEMA 32: Pruebe que 3

1,3)3(ln 2 xsixx

PROBLEMA 33: Considere la función polinómica 13)( 23 xxxf . Encuentre

dos intervalos cerrados sin puntos en común tales que f tenga una única raíz en cada uno de ellos.

PROBLEMA 34: La lata de una gaseosa tiene una capacidad de 354 3cm . Si el costo del material de la tapa es el doble que el del resto de la lata, ¿cómo de-ben ser las dimensiones de la lata para que el costo del material sea mínimo? (Suponga que la lata es un cilindro).

60

PRÁCTICA 8

TEOREMA DE TAYLOR

POLINOMIO DE TAYLOR

EJERCICIO 1: Considere la función )1ln()( xxf . Encuentre un polinomio P(x)

de grado 3 tal que )0()0(,)0()0(,)0()0(,)0()0( fPfPfPfP .

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta

el orden indicado alrededor de 0x

(a) x

xf

1

1)( orden 5 00 x

(b) xxf sen)( orden 4 00 x

(c) xxf sen)( orden 5 00 x

(d) xxf cos)( orden 5 00 x

(e) xxf ln)( orden 4 10 x

(f) xxf )( orden 3 40 x

(g) xexf )( orden 10 00 x

(h) 6)1()( xxf orden 6 00 x

EJERCICIO 3: Compruebe que el polinomio de Taylor de orden n de la función

xexf )( es !

...!3!2!1

1)(32

n

xxxxxP

n

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden n de las siguientes funcio-nes alrededor de x=0.

(a) x

xf

1

1)( (e)

21

1)(

xxf

(b) xxf cos)( (f) xxf cosh)(

(c) xxf sen)( (g) xxf arctg)(

(d) xexf )( (h) )1ln()( xxf

61

EJERCICIO 5: Considere el polinomio 2348)( 234 xxxxxq

(a) Halle los polinomios de Taylor de q en x=0 de órdenes 0 a 6.

(b) Haga lo mismo, sin hacer cálculos, para 1)( 231920 xxxxxxq .

EJERCICIO 6: Considere el polinomio nxxp )1()( , con n natural.

(a) Obtenga el polinomio de orden n en x=0.

(b) A partir de (a) , deduzca la fórmula del binomio de Newton

kknn

k

nnnnnba

k

nba

n

nba

nba

nba

nba

0

022110 ...210

donde !)!(

!

kkn

n

k

n

. (Ayuda:

n

nn

a

baba

1 ).

EJERCICIO 7: Si el polinomio de Taylor de f de orden 5 en x=2 es

8)2(3)2(3)2()( 245 xxxxP

calcule

(a) )2()2( )3()4( fyf .

(b) ¿Puede conocer el valor de )2()6(f ?

(c) ¿Cuánto vale )2()6(f si el polinomio es de orden 7?

EJERCICIO 8: Si el polinomio de Taylor de f de orden 2 en x=5 es

2)5(9)5(3)( xxxP

(a) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en x=1 de )5(4

2)(

xfxg

(b) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en x=5 de )()1()( 2 xfxxh

EJERCICIO 9: Los polinomios de Taylor de orden 4 en x=2 de las funciones f y g son, respectivamente

4232 )2(7)2()2(125)()2()2(3)2(32)( xxxxQyxxxxP

Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de )()()( xgxfxt y )(

)()(

xg

xfxs en x=2.

62

EXPRESIÓN DEL RESTO

EJERCICIO 10: Considere la función del primer ejercicio, )1ln()( xxf y sea P(x)

el polinomio de Taylor de orden 3 en x=0. Apelando al Teorema generalizado del

Valor Medio (Teorema de Cauchy) compruebe que )()()( )4(

4cf

x

xPxf

para al-

gún valor c entre 0 y x.

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso

(a) )(!4!3!2

1 4

432

xRxxx

xex

(b) )(11

15

5432 xRxxxxxx

(c) )(!5!3

sen 5

53

xRxx

xx

(d) )(!5!3

sen 6

53

xRxx

xx

(e) )()1(3

1)1(

2

1)1(ln 3

32 xRxxxx

(f) )(753

arctg 8

753

xRxxx

xx

EJERCICIO 12: Considere la función xxf cos)( .

(a) Obtenga el polinomio )(4 xP de Taylor de orden 4 en x=0.

(b) Escriba la expresión de )2

1(4R

(c) Usando la calculadora encuentre el valor de )2

1()

2

1( 4Pf .

(d) Teniendo en cuenta que 1sen c , pruebe que 0003,0!52

1)

2

1(

54 R .

Compare con (c).

63

PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN

EJERCICIO 13: Se quiere aproximar 31

e

(a) Utilizando el polinomio de Taylor de orden 5 en x=0, pruebe que el error

cometido es menor que 174960

1.

(b) ¿De qué grado hay que tomar el polinomio de Taylor para que el error

que se cometa al usar dicho polinomio sea menor que 810 ?

(Ayuda: para las estimaciones, use que e es menor que 3).

EJERCICIO 14: Utilice el polinomio de Taylor de orden 4 en x=0 para aproximar el valor de )25,0sen( y dar una cota para el error que se ha cometido al tomar esa

aproximación.

EJERCICIO 15: Considere la función xxxf ln)( .

(a) Halle el polinomio P de orden 3 de f en x=1. Escriba la expresión del res-to.

(b) Estime, acotando el resto, el error que se comete al calcular )5,1(f por

medio de )5,1(P

EJERCICIO 16: ¿Cuántos términos es suficiente tomar en el desarrollo de Taylor

en x=0 de xexf )( para obtener un polinomio que aproxime a dicha función en to-

do el intervalo [-1,1] con un error menor que 410 ? Use el polinomio hallado para hallar las tres primeras cifras decimales del número e?

EJERCICIO 17: Considere la función )1ln()( xxf . ¿De qué grado hay que to-

mar el polinomio de Taylor en x=0 para poder calcular )5,1ln( con un error menor

que 0,001?

EJERCICIO 18: ¿Para qué valores de x la diferencia entre

(a) xcos y !4!2

142 xx

es menor que 5105 ?

(b) xsen y x es menor que 310 ?

64

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Hallar los valores de a y b de modo que el polinomio de Taylor de

orden 2 de )1ln()( bxaxf en x=0 sea 2

2

32)( xxxP .


4sen1)(

xxf

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 de f en x=0.

(b) Pruebe que si R(x) es la expresión del resto en x=0 y si 2

1x

entonces 33

3

426)(

xR .

PROBLEMA 3: Considere la función xxxf sen31)(

(a) Escriba el polinomio de Taylor en x=0 de orden 4 de f.

(b) Calcule, estimando el resto, el error que se comete al calcular

3

1f con

3

1P .

PROBLEMA 4: Calcule aproximadamente 5,16 utilizando el polinomio de Taylor

de orden 2 en x=0 de la función xxf 16)( . Estime, acotando el resto, el error

que se comete.

PROBLEMA 5: Determine un intervalo que contenga al origen, donde el polinomio

de Taylor de orden 6 aproxime a xsen con un error menor que 410 .

PROBLEMA 6: Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 en x=0 de 3 1)( xxf .

Estime el error que se comete al calcular los valores de la función por medio del

polinomio hallado cuando 12

1 x .

PROBLEMA 7: Determine los valores de a y b para que el polinomio de Taylor de

bxaxxxf 2)1ln()( en x=0 empiece con la potencia de x de exponente lo

más grande posible.

65

PROBLEMA 8: Considere la función )2sen()( xxf .

(a) Halle el polinomio de Taylor de orden n de la función en 2

x .

(b) Si )(xRn es el resto, halle la expresión de

4

nR . Calcule el

4

n

nRlim .

PROBLEMA 9: Considere la función 2)( xxexf

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden n en x=2

(b) Si )(xRn es la expresión del resto, pruebe que )!1(

)4(3)3(

)!1(

3

n

nR

n

nn

(c) Calcule el )3(nn

Rlim

.

PROBLEMA 10: La función n axxf 1)( tiene como polinomio de Taylor de or-

den 2 en x=0 a 2

2

7551)( xxxP . Halle los valores de a y de n.

PROBLEMA 11: La función f satisface la ecuación diferencial

2)0(,1)()()15( fxfxfx

Encuentre el polinomio de Taylor de orden 5 en x=0.

PROBLEMA 12: Considere la función xxxf cossen)( 2

(a) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 en 2

x

(b) Pruebe que el error que se comete al calcular

5

2f con el polinomio,

es menor que 6000

7 3

PROBLEMA 13: Considere la función xxxf 3,0sen)( .

(a) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 en x .

(b) Use el polinomio obtenido en (a) para hallar una solución aproximada de 0)( xf .

66

PRÁCTICA 9

INTEGRALES

LA FUNCIÓN ÁREA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

EJERCICIO 1: El espacio recorrido por un móvil, a partir del instante t=0, viene dado por tte 3)( .

(a) Haga un gráfico de las funciones espacio recorrido y velocidad del móvil.

(b) Complete la siguiente tabla.

tiempo transcurrido, t 1 2 3 4 5 6 ... t

espacio recorrido de 0 a t

área bajo la curva velocidad de 0 a t

(c) El espacio recorrido por otro móvil a partir del instante t=0, viene dado

por 2

4

1)( ttts . Repita los ítems (a) y (b) para este caso.

EJERCICIO 2: Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y x. Compruebe que )()( xfxA .

EJERCICIO 3: Se sabe que las funciones f y g son integrables y que

(a) 4

323)(4)(3 dxxgxf ,

4

37)( dxxg y 12)(

1

3 dxxf ,

calcule 4

1)( dxxf

(b) 7)(,5)(22

1

2

1 dxxgdxxf , calcule

2

1)(2)( dxxgxf

x

y

4

x

y

4

2

4 x

y

2

43

a) b) c)

67

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

REGLA DE BARROW

EJERCICIO 4: Sea Rf ]6,0[: una función continua. Se define x

dttfxA0

)()( .

El gráfico de A(x) es el siguiente:

(a) Calcule 6

0)( dttf

(b) ¿Cuánto vale )3(f ?

(c) Halle el conjunto donde f es positiva.

(d) Pruebe que 3

0

6

0)(2)( dttfdttf

EJERCICIO 5: Calcule las derivadas de las siguientes funciones

(a)

xt dtexA

1

2

)( (d)

x

dyy

yxD

sen

0 32)(

(b) 0,1

sen)(

2

0

xdu

u

uxB

x

(e) )2

,2

(,arctg)(tg

2

xzdzxE

x

(c) 0,1)(0

2 xdttxCx

(f) x

xdttxF 2cos)(

EJERCICIO 6: Considere las funciones

42,3

20,1)(

tsi

tsitf y

42,2

20,)(

tsi

tsittg

(a) La función f no es continua ¿lo es x

dttfxF0

)()( ?

(b) La función g no es derivable ¿lo es x

dttgxG0

)()( ?

3

3

6

68

EJERCICIO 7: Sabiendo que

(a) la función continua f satisface )1()( 2

0xxdttf

x

, calcule )2(f .

(b) la función continua g satisface 0,)1()( 2

0

2

xxxdttgx

, calcule ).2(g

EJERCICIO 8: Calcule las siguientes integrales, usando la Regla de Barrow.y las propiedades de linealidad de la integral.

(a) 3

0)2(3 dxx (c)

5

)cos(sen dxxx

(b) 2

2

3 )2( dxxx (d) 64

0

32 dxxx

EJERCICIO 9:

(a) Compruebe que la segunda derivada de x

dttftx0

)()( es )(xf .

(b) Compruebe que la tercera derivada de x

dttftx

0

2

)(2

)(es )(xf

(c) Generalice.

EJERCICIO 10: Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las si-guientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de K.

(a) Kxt

dtx

53

3

2

530

(b) Kxdtt

tx

sen23ln

2

1

3sen2

cos

0

(c) Kxx

xdt

t

tx

arctg2

1

)1(21 20 2

2

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

EJERCICIO 11: Estime la integral de la función x

xf1

)( en el intervalo [1,2] usan-

do la fórmula de los trapecios partiendo el intervalo en diez intervalos de igual lon-gitud. Calcule el error cometido con esta aproximación. Repita el cálculo usando la fórmula de Simpson. Estime el error en este caso y compare los resultados.

69

PRIMITIVAS

EJERCICIO 12: Halle en cada caso, una función )(xg que satisfaga

(a) 2)( xg (e) xxg cos)(

(b) xxg )( (f) 5)( xxg

(c) xxg sen)( (g) 3)( xxxg

(d) xexg )( (h) x

xxg4

3)(

EJERCICIO 13: Encuentre en cada caso, la función )(xG que satisface

(a) 3)1(,16)( GxxG

(b) 1)0(,3)1(,16)( GGxxG

(c) 5)0()0()0(,sen)( GGGxxxG

EJERCICIO 14: Un móvil se desplaza por un camino. Se sabe que la aceleración

en el instante t viene dada por 2/)100()( hkmttta . Si en el instante inicial t=0 el

móvil se encuentra en la posición 0s y parte a una velocidad de 30 km/h, ¿cuál es

la posición 1000,)( tts ?

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y

DE INTEGRACIÓN POR PARTES

EJERCICIO 15: Calcule las siguientes integrales

(a) dxx64

(b) 1

03 dxxxx

(c) dxx )1sen(

(d) x

dx2cos

7

70

EJERCICIO 16: Usando el método de sustitución, calcule las siguientes integrales

(a) dxx2

13 (p) 4 225

4

x

xdx

(b) 52x

dx (q)

2

0

2cos

dtt

(c) dxx

x

25

33

2

(r) 1

0

21 dxx

(d) dxx)2tg( (s) 41 x

xdx

(e) dxe x3 (t)

dx

x

x 2)ln1(

(f) 1

0

2 2

dxxe x (u) dxx 7)53(

(g) dxxx )(cossen 2 (v) dx

e

ex

x

21

(h) e

dxx

x

1

ln (w) dxxxx 2)1( 2

(i) dxx

x4sen

cos (x) dx

x

x )sen(

(j) x

x

e

dxe2

2

1 (y)

3

2 2 32

)1(

xx

dxx

(k) dx

e

ex

x

1 (z) 222 xx

dx

(l) 2)12(1 x

dx (A)

dx

xx

x

22

322

(m) dxa x5 (B)

dx

xx

x

13

13

2

(n) dxex x 13 4

(C) xdxx sen)sen(cos

(o)

0

3 sen)cos1( dxxx (D)

4

0 1dx

x

x

71

EJERCICIO 17: Marque con una cruz la única respuesta correcta

Dada la función continua f ponemos 3

2)( dxxfA y

11

8 3

2dt

tfB , entonces es

cierto que

A=3B 3B=A

A=B ninguna de las anteriores

EJERCICIO 18: Aplique la integración por partes para calcular

(a) xdxxln (f) dxe

xx

(b) e

xdx1

ln (g)

0

3 cosxdxx

(c) xdxxsen (h) dxex x23

(d) dxxex (i) xdxarccos

(e) xdxarctg (j)

0senxdxex

EJERCICIO 19: Si llamamos 1

0dxexI xn

n pruebe la fórmula de reducción

1 nn nIeI

EJERCICIO 20: Demuestre las siguientes fórmulas de reducción

(a) 1cossen n

nn

n nIxxxdxxI

(b) 1sencos n

nn

n nIxxxdxxI

EJERCICIO 21: La función f es tiene derivada continua y satisface

4sen)(2

xdxxf y 3)( f . Calcule 2 cos)(

xdxxf

72

FRACCIONES SIMPLES

EJERCICIO 22: Halle las primitivas de las siguientes funciones racionales

(a) )2)(1(

4)(

xxxf (e)

1

1)(

2

xxxf

(b) )3)(2)(2(

23)(

xxx

xxf (f)

1)(

2

3

x

xxf

(c) 4

12)(

2

x

xxf (g)

23

2

)1(

1)(

xx

xxxf

(d) 1

2)(

2

3

x

xxxf (h)

22

4

)1(

1)(

xx

xxf

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: La función f satisface )(5)( xfxxf . Si 12)(2

0 dttf , calcule f(2).

PROBLEMA 2: Encuentre el polinomio de Taylor de orden 3 en x=0 de

x

dtttxf0

3 )1ln()1()(

PROBLEMA 3: Encuentre una primitiva g de la función x

x

e

exf

3

3

4)(

que satisfa-

ga 4ln3)0( g .

PROBLEMA 4: Halle una función Rf ),0(: derivable que satisfaga la ecua-

ción integral 2

1)1(,)(1)()3(

1

2 fdttfxxfxx

PROBLEMA 5: Halle una función continua g tal que 0,ln)(1 2ln

0 xxxdteg

xt

PROBLEMA 6: Pruebe que

x

x t

dt

t

dt 1

1 2

1

2 11 si x>0.

73


14

103

ln2

)(

x

xx

x

xf

(a) Calcule

1

3)(

edxxf

(b) Determine el valor de k>0 para el cual

k

edxxf

335)(

PROBLEMA 8: Si dtt

tI

n

n

1

0 2 1 pruebe que

2,)1(2 2 nsiInnI nn

PROBLEMA 9: La función f es continua. Se define

xx

dttfxxG3

0

2 )(15

1)( .

Pruebe que G es estrictamente creciente.

PROBLEMA 10: La función f tiene tres derivadas continuas y vale

xxffff 8

1)(,4)0(,3)0(,2)0(

Si se aproxima 5,0

0)( dttf por

5,0

0)( dttP , donde P es el polinomio de Taylor de or-

den 2 en x=0, calcule el error que se comete.

PROBLEMA 11: Pruebe que 1

1

11

)(ln)(ln

n

nnnn

n In

n

n

xxdxxxI

PROBLEMA 12: ¿Para qué valores de p el

n

pn x

dxlim

1 es finito?

PROBLEMA 13: Se define la función Gamma como

0

1

0

1)( dxexdxexlimn xnt

xn

t , n natural o cero

(a) Calcule )2()1( y

(b) Pruebe que )()1( nnn . Deduzca que !1)( nn

74

PRÁCTICA 10

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

ÁREA ENTRE CURVAS

EJERCICIO 1: Calcule el área de la región comprendida entre las curvas

(a) 0,2, xxyxy

(b) xyxy 2,2

(c) 3,0,1, 2 xxxyxy

(d) 23 ,12 xyxxy

(e) exxyxy 1,0,ln2

(f) 2, xxyxy

(g) yejexejexy ,,12

(h) xejexy ,)2sen(

(i) xejexxxy ,65 23

(j) exxejexxy ,,ln

EJERCICIO 2: Determine c>1 de modo que el área de la región limitada por las

curvas )5(2)5(2 , xx eyey y la recta de ecuación cy sea igual a 1.

EJERCICIO 3: El área de la región limitada por las rectas axy , 2ay y la cur-

va 2xy es igual a 48

7. Calcule el valor de a.

EJERCICIO 4: Determine el área de la región limitada por la curva 0,1

xx

y , y

las dos rectas que unen el origen de coordenadas con los puntos de la curva

)2,2

1()

2

1,2( y respectivamente.

75

EJERCICIO 5: Marque la única respuesta correcta.

El área de la región del plano limitada por 2 xy , 4x , el eje x y el eje y se

obtiene calculando

4

0)2( dxx

4

0)2( dxx

4

2

2

0)2()2( dxxdxx

4

2

2

0)2()2( dxxdxx

ECUACIONES DIFERENCIALES

EJERCICIO 6: Halle y=f(x) que satisfaga la siguiente ecuación con condiciones ini-ciales

3)0(,0)(2)( fxxfxf

EJERCICIO 7: Encuentre todas las funciones f que satisfacen

0,0)()( ataftf

Estudie el comportamiento para t .

EJERCICIO 8: De entre todas las funciones f que satisfacen la ecuación diferen-

cial xxxfxf 3)()( , encuentre la que cumpla 3)1( f

EJERCICIO 9: Encuentre todas las soluciones de la ecuación xxexf

xf

)(

)(

EJERCICIO 10: Los átomos de elementos radiactivos son inestables. En un inter-valo de tiempo dado, una fracción fija de los átomos se escinde espontáneamente para formar un nuevo elemento. De modo que si N(t) denota el número de átomos existentes en el tiempo t, entonces )(tN , el número de átomos que se desintegra

por unidad de tiempo, es proporcional a )(tN , es decir

)()( tkNtN

donde k>0 se conoce como la constante de decaimiento de la sustancia. Si en el

instante t=0 , 0)0( NN

(a) Calcule N(t) para t>0.

(b) ¿En qué momento habrá la mitad de átomos que había inicialmente? (semivida)

(c) ¿Cómo varia la semivida?

76

EJERCICIO 11: Resuelva la siguiente ecuación diferencial (ecuación logistica)

1)0(,)(100)(5,0)( ytytyty

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

LONGITUD DE CURVA

Volumen = b

adxxf )(2

Longitud del arco = b

adxxf

2)(1

EJERCICIO 12: Halle el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrede-

dor del eje x la parábola 23xy , desde 0 hasta 3.

EJERCICIO 13: Halle el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrede-

dor del eje x la curva x

y1

desde 1 hasta 4.

EJERCICIO 14: Calcule el volumen del sólido engendrado por la curva

20,3 xxy

(a) al girar alrededor del eje x.

(b) al girar alrededor del eje y.

EJERCICIO 15: Calcule la longitud del arco de las curvas

(a) 25

2xy , 110 x .

(b) 21,2

ln

2

2

xxx

y

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Encuentre el área limitada entre las curvas 22 41,1 xyxy

y el eje x.

PROBLEMA 2: Calcule el área limitada por las curvas xxy 23 , 2xy y las

rectas verticales x=-2 , x=3

77

PROBLEMA 3: Calcule el área de la región limitada entre las curvas xy sen2 ,

)2sen( xy para ],0[ x .

PROBLEMA 4: Para cada n natural se define 2

0sen

nxdxxan . Calcule nn

alim

PROBLEMA 5: Calcule el área de las dos regiones determinadas por las curvas

5,3

1,

4

1,

12

xxy

x

xy

¿Cuál es la mayor?

PROBLEMA 6: Calcule el área de la región comprendida por el eje y, la curva xexy 551 y la recta 25 xy . Haga un gráfico aproximado indicando la re-

gión.

PROBLEMA 7: Considere la función xxxf 23)(

(a) Determine su dominio de definición y zonas de crecimiento y de decre-cimiento.

(b) Calcule el área de la región limitada por el gráfico de f y el eje x.

PROBLEMA 8: Calcule el área de la región comprendida entre la curva xxy 3

y la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x=-1.

PROBLEMA 9: La temperatura de un cuerpo que se enfría, cambia a una tasa que es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatu-ra ambiente. Así, si C(t) es la temperatura del cuerpo en el tiempo t y a es la tem-peratura ambiente a la que supondremos constante, se tiene

atCktC )()(

en donde k>0 es la constante de proporcionalidad.

(a) Halle todas las soluciones de la ecuación en términos de k, a y la tem-peratura inicial C(0).

(b) Calcule )(tClimt

. Ensaye alguna explicación física para el límite encon-

trado.

78

(c) SI un cuerpo inicialmente está 26 y una hora después está a 24, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? (Suponga la temperatura ambiente

de 22)

PROBLEMA 10: Halle la longitud de la curva x

dtty0

2 1 entre x=1 y x=3.

PROBLEMA 11: Considere la curva xey . Para cada n natural llamamos nV al

volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar la curva alrededor del eje

x con nx 0 . Calcule nn

Vlim

.

PROBLEMA 12: Encuentre una función f continua en el eje real positivo, tal que

x

dttfx

xf1

)(1

1)( .

PROBLEMA 13: Resuelva la ecuación diferencial 0)1( yxyx con la condición

inicial 2)0( y .

PROBLEMA 14: El rectángulo de vértices (0,0) , (0,1) , (5,0) y (5,1) queda dividido

en dos cuando se traza la curva 3

52 xy . Halle el área de la más grande.

PROBLEMA 15: Halle el área comprendida entre la curva xxey y las rectas

x=0 y el punto de abscisa donde f alcanza su máximo absoluto.

PROBLEMA 16: Calcule el área comprendida entre la curva xy ln ,la recta tan-

gente a la curva que pasa por el origen y el eje x.

PROBLEMA 17: Un sólido de revolución está engendrado por la rotación de la gráfica de axxfy 0,)( , alrededor del eje x. Si para cada a>0 el volumen es

aa 2 , halle la función f (suponga que f es positiva).

PROBLEMA 18: Halle el valor de a>0 para que el área comprendida entre la curva

xy sen , x=0 , x=a y el eje x sea 2

5.

79

PRÁCTICA 11

SERIES

TÉRMINO GENERAL Y SUMAS PARCIALES

EJERCICIO 1: Escriba el término general de las siguientes series. Escriba tam-bién la expresión de las sumas parciales.

(a) 1 1 1 1

1 ...3 5 7 9

(b) 1 1 1 1

1 ...3 7 15 31

(c) 2 4 8

1 ...3 9 27

(d) 1 1 1 1 1 1

...2 6 12 20 30 42

(e) 1 1 2 3 5 8 13 ...

(f) 3 4 5

ln 2 ln ln ln ...2 3 4

En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, calcule su suma.

SERIES GEOMÉTRICAS Y SERIES TELESCÓPICAS

EJERCICIO 2: Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes

(a) 1

1

1

3nn

(d) 1

1

( 1)n n n

(b) 1

0

3 4

5

n n

nn

(e)

1

1ln 1

n n

(c) 2

10

2 1

4

n

nn

(f)

1

2

3

2

n

n

EJERCICIO 3: Si la serie 0

1 2 35

12

n

nn a

, ¿cuánto vale a>0?

80

EJERCICIO 4: A partir de la identidad 0

1, 1 1

1

n

n

x xx

deduzca las

siguientes fórmulas

(a) 2 4 2

2

11 ... ... , 1 1

1

nx x x xx

(b) 3 5 2 1

2... ... , 1 1

1

n xx x x x x

x

(c) 2 3 4 11 ... ( 1) ... , 1 1

1

n nx x x x x xx

(d) 2 1 1 11 2 4 ... 2 ... ,

1 2 2 2

n nx x x xx

EJERCICIO 5:

(a) A partir de que 1

90,999...

10kk

, compruebe que 0,999...=1.

(b) Escriba el número decimal 0,444... como una serie. Halle la suma de la serie y escriba el número decimal como un cociente de enteros.

(c) Haga el mismo trabajo con el número 0,121212...

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

EJERCICIO 6: Decida si cada una de las siguientes series es convergente o di-vergente. Explique qué criterio usa en cada caso para obtener su respuesta.

(a) 3

1 1n

n

n

(f)

1 3nn

n

(b) 2

1

1

1n n n

(g)

1

11

n

n n

(c) 3

41

1

4 5 1n

n

n n

(h)

11

3 ( 1)

2

n

nn

(d) 1

1

1n n n

(i)

0

!

( 2)!n

n

n

(e) 3

21

2 sin

2nn

n

n

(j)

3 2

21 1n

n n

n n

81

EJERCICIO 7: Use el criterio integral de Cauchy para estudiar la convergencia de

(a) 2

1

lnn n

(d) 2

1

ln

n

n

n

(b) 2

2

1

lnn n n

(e) 2 2

1

1

( 1)arctann n n

(c) 2

2

1

lnn n n

(f) 2

1n

n

n

e

EJERCICIO 8: Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series

(a) 1

!n

n

n

n

(e) 0

(1000)

!

n

n n

(b)

2

1

11

n

n n

(f)

1

1

2

n

n

n

n

(c) 2

0

( !)

(2 )!n

n

n

(g) 2

2 lnnn

n

n

(d) 1

3 !n

nn

n

n

(h) 1

2 !n

nn

n

n

EJERCICIO 9: Determine la convergencia o divergencia de las series que si-guen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional. Si usa el criterio de Leibniz, asegúrese de que se satisfagan todas las hipótesis.

(a) 3

1

cos( 1)

1n

n

n

(d) 1

1

( 1)100

n

n

n

n

(b) 0

( 1)

3 5

n

nn n

(e)

1

ln( 1)n

n

n

n

(c) 1

1( 1) 1

n

n

n n

(f)

1

2 100( 1)

3 1

n

n

n

n

n

EJERCICIO 10: Use el criterio que más convenga en cada caso, para determi-nar la convergencia o divergencia de las siguientes series

(a) 2

1

arctan

1n

n

n

(b)

21

( 1)

3 cos

n

n n n

(c)

3

1

1n

n n

82

SERIES DE POTENCIA

EJERCICIO 11: Encuentre todos los valores de x R para los cuales cada una

de las siguientes series es convergente. Indique para qué valores la convergen-cia es absoluta y para qué valores la convergencia es condicional

(a) 3

1

n

n

x

n

(f) 1

1

( 1) ( 1)n n

n

x

n

(b) 1

n

n

x

n

(g) 0 1

n

n

x

x

(c) 1

0

( 1)!

nn

n

x

n

(h) 2 1

20

2 1

2

n

n

nx

n

(d) 1

n n

n

n x

(i) 3 1

51

2n n

n

x

n

(e) 2

0

5n

nn x

(j) 0

14

1

n

n

n

x

x

EJERCICIO 12: Halle el radio de convergencia de las series

(a) 1

2 !nn

nn

nx

n

(b) 2

2 3

0

( !)

(2 )!

n

n

nx

n

EJERCICIO 13: En cada una de las siguientes series

(a) Determine el radio de convergencia.

(b) Determine dónde la convergencia es absoluta y dónde condicional.

1. 0

( 1)

!

n n

n

x

n

7. 2

20

3

1

n

n

nx

n

2. 0

3 ( 2)

2 1

n n

n

x

n

8. 2 1

0

1 n

n

n n x

3. 2

0 2

n

nn

nx

9.

2

0

11 ( 2)

n

n

n

xn

4. 0

(2 3)

3

n

nn

x

10.

0

cos( )2

n

n

nx

5. 2

22

(4 4 1)

ln ( )

n

n

x x

n n

11.

4 1

22 ln

n

n

x

n n

6. 2

1

2 3n nn

n

xn n

12.

0 2 3

n

n nn

x

83

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: ¿Para qué valores de p>0 la serie 2

1

lnpn n n

es convergente?

PROBLEMA 2: ¿Para qué valores de p>0 la serie 2

1

ln ( )pn n n

es convergente?

PROBLEMA 3: Considere la sucesión 3

2

1,

1,

n

si n es imparn

a

si n es parn

y la serie alter-

nada 1

1

( 1)n

n

n

a

(a) Explique por qué no se puede aplicar el criterio de Leibniz en esta se-rie alternada.

(b) Pruebe que la serie es absolutamente convergente.

PROBLEMA 4: Estudie la convergencia de las series

(a) 1

201 1

n

n

xdx

x

(b)

1

1

nx

nn

e dx

PROBLEMA 5: La sucesión de términos positivos na satisface 1 25 1

n

n

n

a

a n

,

¿es convergente la serie 1

n

n

a

?

PROBLEMA 6: ¿Para qué valores de a la serie de potencias 1

(1 )( 2)

nn

n

ax

n

tiene radio de convergencia igual a 2?

PROBLEMA 7: Encuentre todos los valores reales de x para los cuales las si-guientes series son convergentes. Indique cuándo la convergencia es absoluta y cuándo es condicional.

(a) 2

3 1

0

(2 )( 1) ( 3)

8

n n

nn

nx

(b) 1

0

4 (3 1)n n

n

x

. Para los x hallados encuentre el valor de la suma.

(c) 1

3

1

( 1)

(2 )

nn

nn

nx

n

ANÁLISIS MATEMÁTICO

CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍA

Programa

UNIDAD I Números reales - funciones Números reales. Propiedades básicas. Representación en la recta. Supremo e ínfimo.

Funciones. Definición. Funciones reales. Dominio e imagen. Gráfico. Funciones

elementales, algebraicas y trascendentes. Composición. Función Inversa. Representación de

curvas en forma paramétrica.

Spiegel: [1]

Ayres-Mendelson: [1 a 6]

UNIDAD II Sucesiones Sucesiones. Noción de límite. Propiedades. Sucesiones monótonas. El número e. Otros

límites especiales. Introducción a las series numéricas.

Spiegel: Sucesiones [3] Series [11]

Ayres-Mendelson: Sucesiones [53] Series [54 a 58]

UNIDAD III Límite y Continuidad Noción del límite funcional. Cálculo de límites. Álgebra de límites. Límites laterales.

Límites infinitos y en infinito. Asíntotas.

Continuidad. Propiedades. Funciones continuas en intervalos cerrados. Aplicaciones al

cálculo de ceros de funciones. Ejemplos de métodos numéricos elementales.

Spiegel: [2]

Ayres-Mendelson: [7 y 8]

UNIDAD IV Derivadas Noción de tangente a una curva. Velocidad. Definición de derivada. Derivada de funciones

elementales. Reglas de derivación. Regla de la cadena. El Teorema del Valor Medio y sus

aplicaciones. Regla de L´Hopital. Aproximación lineal. Diferencial.

Estudio de funciones: crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad, convexidad,

puntos de inflexión. Trazado de curvas. Problemas de máximos y mínimos.

Polinomio de Taylor y Mac Laurin. Aproximación de funciones. Estudio del error.

Aplicaciones al cálculo de ceros de funciones: método de Newton-Raphson.

Spiegel: [4]

Ayres-Mendelson: [9 a 19] + [26 a 29]

UNIDAD V Integrales Particiones. Integral superior e inferior. Integral indefinida. Propiedades. Cálculo

aproximado de integrales.

El Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Cálculo de primitivas. Los métodos

de sustitución y de integración por partes.

Aplicaciones al cálculo de áreas, volúmenes de revolución y longitud de curvas.

Spiegel: [5]

Ayres-Mendelson: [30 y 31] + [34] + [37 a 42] + [47]

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