EXAMEN TIPO SEGUNDO PARCIALASIGNATURA: ESTADSTICASEMESTRE 2015-2

Estimacin I: Propiedades de los estimadores.

1. Sea una muestra aleatoria X1, X2,, Xn con , muestre que es un estimador insesgado de .

2. Sea una muestra aleatoria de una poblacin con media y varianza Si se tienen los siguientes estimadores:

a) Demuestre que y son estimadores insesgados de b) Cul de los dos es mejor?

3. Sea una muestra aleatoria de una variable aleatoria discreta Poisson con parmetro desconocido :

a) Muestre que ambos estimadores son insesgados: y b) Cul estimador es ms eficiente?

4. Suponga que denotan una muestra aleatoria de una distribucin exponencial con funcin de densidad

Tomando en cuenta los siguientes estimadores y ;a) determine cul es insesgado.b) y cul cumple con la Cota de Cramr-Rao.

5. Considere el modelo estadstico normal mltiple

Con parmetros

y estimadores y

a) Obtenga la matriz de informacin de Fisherb) Usando el lmite inferior de Cramer Rao determine si los estimadores y son eficientes y explique por qu

6. Suponga que , . Considere el estimador .

a) Demuestre que es un estimador insesgado de.b) Si y no son independientes con Cov(, . Cul es el valor de la constante que minimiza ?

7. Dada una muestra aleatoria y1, y2, , yn para una distribucin cuya funcin de densidad es , ahora si se tienen dos estimadores sobre el parmetro son insesgagos.

Compruebe que resulta ms eficiente que Estimacin II: Mtodos de estimacin

8. Considere el modelo estadstico normal simple:

a) Obtenga los estimadores de mxima verosimilitud de y b) Obtenga los estimadores de y por el mtodo de momentosc) Obtenga los estimadores de mnimos cuadrados

9. Para el modelo de Bernoulli, la distribucin de la muestra toma la siguiente forma:

Estimar aplicando el mtodo de mxima verosimilitud y comprobar la maximizacin de la funcin respectiva.

10. Suponga que se toma una muestra aleatoria de una funcin de densidad exponencial , para .

a) Obtener el estimador por el mtodo de mxima verosimilitud.b) Obtener el estimador por el mtodo de momentos.c) Verificar si los estimadores son insesgados y obtener la Cota Inferior de Cramr-Rao para verificar si dichos estimadores la alcanzan.

11. Muestre que el estimador cuadrtico medio dado por de una variable aleatoria Y, est dado por:

12. Sea una muestra aleatoria X1, X2,,Xn de una funcin de densidad Poisson,, para >0, x = 0,1,2a) Obtener el estimador por los mtodos de mxima verosimilitud y de momentos.b) Verificar si los estimadores son insesgados.c) Obtener la cota inferior de Crmer-Rao y verificar si los estimadores la alcanzan

13. Sea una muestra aleatoria de una funcin de densidad dada por:

Donde

a) Encuentre el estimador de mxima verosimilitud deb) Encuentre el valor esperado y varianza de c) Demuestre que es un estimador consistente de d) Suponga que n = 5 y que . Utilice el estadstico suficiente minimal para construir un intervalo de confianza de 90 % para

Pruebas de hiptesis

14. De acuerdo al cuadro sobre la poblacin:Poblacin

Aos HombresMujeresTotal

200858,78054,665113,445

200955,25352,491107,744

201060,77955,308116,087

Probar, en el marco de la Neyman-Pearson, las siguientes hiptesis con = 0.01 a) La conjetura de Arbuthnot para cada ao separadamente: b) La conjetura de Bernoulli para cada ao separadamente: c) Repetir (a) y (b) como pruebas de Fisher. 15. Sea una muestra aleatoria proveniente de una funcin de densidad Poisson

Determinar la mejor regin crtica (Lema de Neyman-Pearson) para probar la hiptesis H0: = 0 contra H1: = 1

16. Un sistema de comunicaciones transmite dos seales cada T segundos. Si se define como S0 = la seal uno y S1=la seal dos. Nuestras hiptesis sobre la seal transmitida durante el periodo T es:H0: S0 se transmiti.H1: S1 se transmiti.Se asume que S0(t) = 0 y S1(t)=1 0 < t < TEl canal de comunicacin tiene un ruido n(t), que se distribuye normal con media cero y varianza = 1. Sea x(t) la seal recibida:

X(t) = Si (t) + n(t) i = 0,1.

Suponga que se recibe una observacin x = 0.6.a) Utilice la prueba de mxima verosimilitud para determinar, qu seal es transmitida.b) Obtenga la probabilidad de cometer el error de tipo I y II.c) Suponga que , entonces utilice la prueba de Neyman Pearson para determinar qu seal se transmite cuando x = 0.6

17. En el siguiente modelo estadstico de acuerdo un modelo probabilstico normal, CPt = 1.2 + 0.8Yt 0.2Rt + utDonde el consumo privado (CP) es una funcin del ingreso (Y) y de la tasa de inters (R), y los errores estndar son 0.6 para la constante, 0.405 para Y, 0.2 para R y el valor del estadstico F calculado de 12.5 y el terico de 7.6. a) Escribir las hiptesis de significancia individual (igual a cero) para cada parmetro y la conjunta sin incluir la constante.b) Concluir con las hiptesis individuales y la conjunta. c) Probar la hiptesis de que la propensin marginal a consumir es igual a 1.

18. Suponga que una empresa de procesadores tiene una probabilidad de falla de sus procesadores de p = 0.05. Un nuevo procedimiento de produccin se introduce para mejorar el diseo de los procesadores. Para probar el nuevo procedimiento se producirn 200. Se define como variable aleatoria el nmero de procesadores que fallan entre los 200.a) Establezca una regla para aceptar el nuevo procedimiento.b) Encuentre la probabilidad de cometer el error tipo I.

19. Utilizar la estadstica F para decidir el valor de xa) P(0.109 < F4,6 < x) = 0.95b) P(0.427 < F11,7 < 1.69) = xc) P(Fx,x > 5.35) = 0.01d) P(0.115 < F3,x < 3.29) = 0.90e) , donde v es una variable sujeta a la distribucin de chi-cuadrada con grado de libertad de 2, mientras que u es una variable independiente de chi-cuadrada con grado de libertad de 3.