evolucion

5/16/2018 evolucion - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/evolucion-55ab4fb533ee7 1/6

3

INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXIII, No. 3, 2002

Diosdado Pérez Franco, Profesor Titular, Doctor en Ciencias, Ingeniero Hidráulico, Centro de Investigaciones Hidráulicas, CIH,

Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE, Ciudad de La Habana

e-mail: [email protected]

Evolución histórica de las fórmulas para

expresar las pérdidas de carga en tuberías.Segunda parte: Desde los trabajos de Darcy

hasta los de Stanton

Resumen / AbstractEn un trabajo anterior, 1 se hizo un estudio de la evolución

de las fórmulas para expresar las pérdidas de carga entuberías, desde los primeros experimentos conocidos,

realizados por Couplet en 1732, hasta los resultadospublicados por Darcy en 1857, que fue el primero en tener encuenta la influencia que ejerce el estado de las paredesinteriores de la tubería en la cuantía de las pérdidas de carga.También se demostró que la forma de expresar las pérdidasde carga que se atribuye a Darcy no fue nunca utilizada porese investigador. La llamada fórmula de Darcy o de Weisbach-Darcy, también conocida como racional se representa por:

hf = f (L/D) (U 2 /2g) ...(1)

donde:

hf : Pérdidas de carga expresadas en unidades de longitudf: Coeficiente de fricción (adimensional, función del númerode Reynolds).L: Longitud de la tubería.D : Diámetro interior de la tubería.U : Velocidad media de circulación en la tubería.g : Intensidad de la gravedad.

Es justo llamar fórmula de Weisbach a la ecuación (1), yaque en 18452 este investigador publicó un manual en queaparecía la fórmula expresada en la forma hoy conocida yencontró además que el coeficiente de fricción variaba nosolo con la velocidad, sino también con el diámetro y elmaterial de la pared de la tubería.

Darcy escogió para representar los resultados de susexperimentos, la forma monómica:

rJ = b 1U 2 ...(2)

INTRODUCCIÓN

Partiendo de los trabajos de Darcy, que señalaron por primeravez la influencia que ejerce el estado de las paredes interiores de

las tuberías sobre las pérdidas de carga, se examinan una serie de

fórmulas propuestas por distintos investigadores. Pero fue Osborne

Reynolds (1883), el que al fin abrió el camino al tratamiento

científico del problema, al reconocer la existencia del flujo laminar

y el turbulento, fijar sus límites y utilizar el análisis dimensional

para proponer una fórmula racional para expresar la resistencia

al flujo en conductos. Se analizan gran número de fórmulas

propuestas por diversos investigadores. Sin embargo, no es hasta

que Blasius (1913) y Stanton (1914), relacionan el coeficiente de

fricción, f, de la fórmula de Weisbach-Darcy, con el número de

Reynolds y la rugosidad de la tubería, que se inicia un nuevo

camino en el análisis racional de las pérdidas de carga en las

conducciones a presión.

Palabras clave: fórmulas de pérdidas; pérdidas de carga; flujoen tuberías; historia de la Hidráulica

Starting from the experimental results of Darcy that demonstrated

by the first time tuhe influence of the internal surface of the pipes

upon the loss of head, several formulas proposed by different

investigators are examined. But it was Osborne Reynolds (1883),

the one that opened the way tothe scientific treatment of the subject,

by recognizing the existance of laminar and turbulent flow, fixing

their limits and utilizing the dimensional analysis for the

development of a rational equation for representing the resistance

to flow in conduits. A great number of formulas proposed by

different investigators after Reynolds are analyzed. Nevertheless,

a new way in the rational analysis of the losses of head in

pressurized conduits was initiated by Blasius (1913) and Stanton

(1914), by relating f, the friction coefficient of Weisbach-Darcy

formula wituh the Reynolds number and the internal roughness of

pipes.

Key words: loss of head formulas; head losses; pipe flow; history

of Hydraulics



4

donde:r : Radio interior de la tubería.J : Rasante hidráulica.b

1: Coeficiente.El coeficiente b

1 está expresado por la ecuación

b 1

= α + β /r ...(3)

o sea, que está formado por un elemento constante, α, yotro expresado por β / r que varía en razón inversa del radiode la tubería.

Teniendo en cuenta los valores de b 1 que encontró

experimentalmente en tubos nuevos, cuyos diámetrosvariaban desde 0,012 2 m hasta 0,5 m, Darcy determinóque:

b 1 = 0,000 507 + (0,000 006 47/ r ) ...(4)

lo que permite expresar la fórmula realmente propuesta

por Darcy, para tubos nuevos, enj función del diámetro,como:

DJ = [0,001 014 + ( 0,000 025 88/ D )] U 2 ...(5)

Después de Darcy diversos investigadores continuaronrealizando experimentos, pero fue Osborne Reynolds conla publicación de sus resultados en 1883, el que al finabrió el camino al tratamiento científico del problema, alreconocer la existencia del flujo laminar y el turbulento,fijar sus límites y utilizar el análisis dimensional paraproponer una fórmula racional para expresar la resistenciaal flujo en conductos. Debe reconocerse, en justicia, que

ya Hagen en 1839 había hecho la primera advertencia dela existencia de dos regímenes diferentes de flujo.2

Sin embargo, no es hasta que Blasius en 19132 yStanton en 1914, relacionan el coeficiente de fricción, f ,de la fórmula de Weisbach-Darcy, con el número deReynolds y la rugosidad de la tubería, que se inicia unnuevo camino en el análisis racional de las pérdidas decarga en las tuberías.

A partir de los trabajos de Darcy, numerososinvestigadores continuaron proponiendo nuevas fórmulaspara expresar las pérdidas de carga. Así, Dupuit en 1865,señala, que como la velocidad no es ordinariamente unacantidad conocida ni buscada, utilizará en su lugar elcaudal, Q , en la forma monómica de la fórmula y proponepara calcular las pérdidas una expresión, que en nuestranotación queda como:

hf = C D (L/D5) Q2 ...(6)

donde, C D , es un coeficiente numérico, cuyo valor más

conveniente de acuerdo con el estado de la ciencia enese momento, según Dupuit, era de 0,002 5, lo que

permite escribir:

hf = (Q /20 )2 ( 1/ D )5 L .

que a su vez puede transformarse para expresarla eforma acostumbrada en la época, en:

J = (4/ D ) . 0,385 5 . 10-3 U 2 .

En 1867, M. Levy en su "Theorie d'un courant liquidpropuso las siguientes fórmulas en metros y segundo

Para tuberías de hierro fundido nuevas:

U = 36,4 [rJ (1+ r 1/2)]1/2 .

Para tuberías de hierro fundido en servicio:

U = 20,5 [rJ (1 + 3r 1/2)]1/2 ...

A las cuales añadió Vallot en 1888, para tuberíashierro fundido que se hayan limpiado:

U = 32,5 [rJ (1 + r 1/2)]1/2 ...

En 1873, Lampe (citado por Forchheimer y Bovebasándose en sus propios experimentos, propusofórmula:

D 1,25 J = a L U 1,802 ...

donde a L

es un coeficiente de fricción.

Según Gibson,5 Hagen en 1854, había deducido deexperimentos de Couplet, Bossut y Dubuat una fórmque expresada en nuestra notación, resulta:

hf = f H

(L/D 1,25) U 1,75 ...

Donde f H , es un coeficiente de fricción. Pero no descu

ninguna ley de variación de los exponentes, ni coeficiente de fricción, con el estado de la superficie inteni el diámetro del tubo.

Posteriormente, según señala Bovey, 3 el propio Hapropuso la fórmula:

hf/L = a H (U n /D x ) ...

donde los coeficientes aH , n y x , dependían develocidad, el diámetro y la rugosidad relativa de la tube

Según Forchheimer, 4 la gran disparidad de criterespecto a la fórmula adecuada para determinar las pérdide carga en las tuberías, decidió a la AsociaciónArquitectos e Ingenieros Alemanes a recopilar experienen relación con el tema, información que permitió aIben en 1880, llegar a la conclusión de que para tubelimpias, la fórmula propuesta por Darcy era la que m

DESDE DARCY HASTA REYNOLDS



5

expresaba los resultados experimentales y que no podíaestablecerse una ley de carácter general para el aumentode la resistencia con el tiempo, a causa de la variedad eirregularidad de los sedimentos.

En 1883, Osborne Reynolds,6 desarrolló a través delanálisis dimensional una ley racional de resistencia al flujo,

basándose en la suposición de que la resistencia dependíadel diámetro, la longitud, y la condición de la superficieinterior de la tubería; de la viscosidad y densidad del fluidoy de la velocidad media del flujo a través de la tubería ytambién que dependía de cierta potencia de cada uno deesos elementos.

La fórmula de Reynolds, válida para tubos capilares yde mayor diámetro, o sea, para flujo laminar y turbulento,según la presenta Gibson, puede expresarse en nuestranotación como:

hf = k U n ν 2-n L D n -3 ...(15)

donde:n : Exponente de la velocidad media del flujo.k : Coeficiente que depende de la rugosidad de la tubería. ν: Viscosidad cinemática del fluido.

Un análisis de la ecuación (15) permite deducir, quecuando los experimentos indican que las pérdidas varíancon el cuadrado de la velocidad (n = 2), la viscosidadcesa de tener efecto, y resultará que:

hf = k (L/D ) U 2 ...(16)

De acuerdo con los resultados experimentales deReynolds, n =1 cuando no se excede la velocidad crítica(límite superior del flujo laminar) y varía de 1,7, para tuboslisos, a 2, para tubos muy rugosos, para valores de lavelocidad mayores que la crítica (flujo turbulento).Reynolds señala además, que en la ecuación (15) la sumade los exponentes de D y de U , es siempre 3.

La expresión exponencial de Reynolds permite expresaren esa forma los resultados de los experimentos de otrosinvestigadores anteriores y posteriores a él, y puederepresentarse como una línea recta en un diagramalogarítmico de hf/L vs U .

Reynolds analizó las experiencias de Darcy y constató

que también podían ser representadas por líneas rectasen gráficos logarítmicos deduciendo de ello, segúnForchheimer, que para:

Tubos de vidrio n = 1,79

Tubos de plomo unidos por soldadura n = 1,79

Tubos de hierro dulce asfaltados n = 1,82Tubos nuevos de fundición n = 1,88

Tubos con incrustación n = 2

Tubos desincrustados n = 1,91

Al analizar las diversas formas en que puedenpresentarse las ecuaciones de pérdidas de carga, porcostumbre, se han ido prefiriendo dos tipos principales:

a) las pérdidas expresadas en función de la velocidad, talcomo aparecen en las ecuaciones (1) y (15): y b) lavelocidad expresada en función de la rasante hidráulicatal como aparece en las que se basan en la expresiónpropuesta por Chezy en 1775 para el flujo en canales,7,2

o sea:

U = C CH

(RJ )1/2 = C CH

(DJ /4)1/2 ...(17)

donde:C CH

: Coeficiente de Chezy.R : Radio hidráulico del conducto.

Para darle unidad al análisis que se está haciendo, esen esas dos formas que se presentarán los resultados delos investigadores posteriores a Reynolds, indepen-dientemente de la forma original en que los hayanpresentado.

Todas las fórmulas exponenciales pueden expresarsecomo casos particulares de la expresión general:

U = C R x J y ...(18)

donde:C: Coeficiente de fricción.x: Exponente del radio hidráulico o del diámetro.

y: Exponente de la rasante hidráulica.

Unwin (Gibson, 1925) basándose en que cuando n = 2,en la fórmula de Reynolds (ecuación 15), las pérdidasvarían según una potencia del diámetro mayor que uno,escribió la fórmula, sin tener en cuenta los efectos de latemperatura, en la forma siguiente:

hf = f U L U n D -x ...(19)

donde:f U : Coeficiente de fricción.

n : Exponente de la velocidad.x : Exponente del diámetro.

Unwin dedujo valores para el coeficiente y losexponentes, a partir de los resultados de los experimentosrealizados por varios investigadores, para tuberías desde2 hasta 48 pulgadas de diámetro (1 pulgada = 2,54 cm). Deacuerdo con sus observaciones, resulta siempre mayorque uno, y aumenta con el diámetro entre los límites 1,127y 1,390.

DISTINTAS FORMAS ADOPTADAS PARA EXPRESARLAS FÓRMULAS DE PÉRDIDAS DE CARGAEN TUBERÍAS

FÓRMULAS EXPONENCIALES POSTERIORESA REYNOLDS



6

Edgard Thrupp (citado por Gibson, Bovey y Flamant)3,5,8

propuso en 1887 otra modificación de la fórmula deReynolds, como sigue:

h f = C

T (L/R x) U n ...(20)

donde:C T : Coeficiente de fricción.

En 1889, C. H. Tutton (citado por Forchheimer y Bovey)después de realizar gran número de ensayos, encontró,que en general para las fórmulas expresadas como laecuación 18, la suma x + y = constante = 1,17 , mientrasque esa suma según Reynolds debe oscilar entre 1 y 1,35.Es decir que la fórmula de Tutton queda como:

U = C R 1,17-y Jy ...(21)

Así resulta, que para y = 0,5 , la fórmula de Tutton se

transforma en:

U = C R 0,67 J 0,5 ...(22)

que como se verá mas adelante, es equivalente a la fórmulade Manning.

A. Flamant en 18924,8 basándose en los trabajos denumerosos investigadores que le precedieron propuso lafórmula:

D 5 J 4 = a F

4 U 7 ...(23)

que puede expresarse también como:

U = a F

4/ 7 D 5/ 7 J 4/ 7 = λ D 5/7 J 4/7 ...(24)

donde:a f

y λ son coeficientes numéricos que dependen delsistema de unidades que se utilice. Para unidades delSI (m y s) según Forchheimer λ tiene los siguientes valores:Para tubos de plomo, vidrio y palastro λ = 68,1 a 75,3Para tubos de fundición nuevos λ = 61,5Para tubos usados λ = 54,3

Flamant señala que los efectos de las incrustacionesson variables con el diámetro del tubo y resultan menoressegún aumenta el diámetro de la tubería. Por otra parte,plantea, que los tubos perfectamente lisos son unaexcepción y que es raro que conserven por mucho tiemposu pulimento primitivo; que se puede ver, de acuerdo conlas observaciones de Darcy, que un depósito apenasperceptible, de una pequeña fracción de milímetro deespesor, es suficiente para cambiar las condiciones deescurrimiento y aumentar la resistencia, por lo que élpropone adoptar para todos los casos prácticos, lafórmula:

D J = 0,000 92 (U 7 / D )1/4 ...(25)

Según advierte Fanning9 es deseable tener una fórmgeneral en forma exponencial que pueda utilizarse sin tabla o diagrama de coeficientes. En ese intento, Fannpartiendo de la fórmula de Hagen (ecuación 13suponiendo un valor constante para el coeficiente a

H

cada caso, determinó una fórmula con distinexponentes para cada tipo de tubo correspondiente a clasificación en doce clases que dependían del tipomaterial de que estaban construidos y de las condiciode su superficie interna.

Aunque originalmente desarrolladas para canaabiertos, algunas fórmulas exponenciales de ese ttambién se han utilizado para tuberías, tales como laGanguillet y Kutter y la de Manning. 8,9

Los ingenieros suizos Ganguillet y Kutter propusieen 18694 para determinar el valor de la C de Chezyexpresión:

D

n

J

,J

,

n C CH 2001550231

550010123

++

++=

...

donde:n : Coeficiente de rugosidad.

Esta fórmula puede utilizarse para tubos fundidosservicio, dándole a n un valor de 0,011 ó 0,012, o sutilizando como promedio 1/ n = 88. La fórmula de Kuse ha utilizado mucho para pérdidas de carga en tuberespecialmente en Europa.

Otra fórmula desarrollada inicialmente para canales, se ha usado mucho con tuberías es la propuesta por RoManning en 1890, que se expresa en unidades delcomo:

U = (1/ n ) R 2/3 J 1/2 ...

que para C = 1/ n coincide con la fórmula de Tutmodificada (ecuación 22).

Strickler en 192310 propuso hacer 1/ n = 21,1/edonde e representa el espesor de la rugosidad depared. En esa forma, se usa mucho en Eurodenominándola fórmula de Manning-Strickler. Al util

esta fórmula debe tenerse en cuenta, que es prégimen turbulento y que no es aplicable a tubos lio virtualmente lisos.

Saph y Schoder11 en 1903, desarrollaron una fórmexponencial para tuberías de pequeño diámemenores de dos pulgadas, respaldada por numeroexperimentos, que puede expresarse para la mayode los casos, como:

00,274,125,1

469,0 296,0 a U D

a H = ...



7

donde:H: Pérdidas de carga expresadas en pies por cada milpies y D y U están expresadas en pies y pies por segundorespectivamente.

Una de las fórmulas exponenciales más populares, sobretodo en las Américas, es la de Williams-Hazen,12 utilizadadesde 1902, respaldada por experimentos de los autoresy por los trabajos de sus predecesores, que expresada enpies y segundos, resulta:

U = 1,318 C WH

R0,63 J 0,54 ...(29)

Y en metros y segundos:

U = 0,849 C WH

R 0,63 J 0,54 ...(30)

donde:C WH

: Coeficiente de resistencia o de fricción de Williams-Hazen.

El coeficiente C WH es un índice de la lisura de lasuperficie interior de la tubería. El exponente de R , indicala razón de aumento en velocidad con el radio hidráulico óel diámetro a pendiente constante. El exponente de J ,indica la razón a que crece la fricción con la velocidad.

Los valores del coeficiente de fricción dependen delmaterial de la tubería y de la edad, es decir, del tiempoque haya estado en servicio la tubería. Los autoresadvierten que su fórmula no debe usarse para tubosmenores de una pulgada (2,54 cm), y que en ese caso esmejor utilizar la de Saph y Schoder.

Como se puede observar, la fórmula de Williams-Hazen,cumple el requisito de que la suma de los exponentes de

R y J es 1,17.La fórmula de Williams-Hazen también puede

expresarse en unidades del sistema internacional, como:13

hf = (6,822/C1,852) (L/D 1,167) U 1,852 ...(31)

y en función del caudal:

hf = (10,679/ C 1,852) (L/D 4,87) Q 1,852 ...(32)

donde:

C = C WH

Para aplicar su fórmula, Williams y Hazen prepararonreglas de cálculo y tablas, que a nuestro entender, hancontribuido a la preferencia que se ha tenido en su utilizaciónantes de existir las calculadoras científicas.

Según Hughes and Safford, Harris y Rouse,2,14,15 entreotros, la forma de la fórmula de pérdidas de carga atribuidaa Darcy fue presentada por primera vez por Weisbach.

También se le conoce como fórmula de Fanning, sobretodo en el campo de la Ingeniería Química.16

En efecto, Fanning en su libro, cuya primera edición sehizo en 1876, al analizar la resistencia al flujo en lastuberías, presentó como fórmula básica, que expresadaen su notación original:

g

V m l

S

C R

2

2×××= ...(33)

donde:R : Carga equivalente a la resistencia al flujo (pies).C : Perímetro de la circunferencia del tubo (pies).S : Área de la sección interior del tubo (pies cuadrados).l : Longitud del tubo ( pies).V : Velocidad media del flujo (pies por segundo).g : Intensidad de la gravedad (pies/s2).m : Coeficiente de flujo.

Fanning señala, que el coeficiente m es un nuevocoeficiente de flujo que debe ser investigadoexperimentalmente y que no debe confundirse con otroscoeficientes investigados hasta el momento e indica queel valor de m es variable.

Para investigar el valor de m , propone usar losexperimentos de los investigadores que le precedieron yprepara tablas para los valores de m para distintosdiámetros y velocidades de circulación, tomando comobase los experimentos de Hamilton Smith Jr.,Darcy, élmismo, Dubuat, Bossut, Couplet, Provis, Rennie, Greene,Bailey y otros. Observa que en general, el coeficiente m

decrece según aumenta el diámetro o el radio hidráulico yque, para un diámetro fijo el coeficiente disminuye segúnaumenta la velocidad. También se constata, que enigualdad de otras condiciones, el valor de m crece con lamayor incrustación del tubo.

Teniendo en cuenta que la relación S/C en la ecua-ción (33) representa el radio hidráulico, dicha ecuación, osea la fórmula de Fanning expresada en la notaciónutilizada en este trabajo, quedará como:

hf = m (L/R ) (U 2 /2g) ...(34)

y recordando, que para un conducto circular con flujo a

presión, R = D /4, la fórmula de Fanning se transformaráen:

hf = 4 m (L/D ) (U 2 /2g) ...(35)

que comparada con la ecuación (1), permite decir que:

f = 4 m ...(36)

O sea, que el coeficiente f de la llamada fórmula deDarcy es cuatro veces mayor que el coeficiente m de lafórmula de Fanning.

COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN LA FÓRMULADE WEISBACH-DARCY



8

Si se despeja el valor de U en la ecuación (34), resulta:

( ) 2 / 12 / 12 / 1 22

RJ m

g

mL

gRhf U

=

= ...(37)

ecuación, que comparada con la (17), establece laequivalencia entre los coeficientes de Chezy y de Fanning,

o sea :

m

g C CH

2= ...(38)

A partir de los experimentos de Reynolds se encontróque el valor del coeficiente de fricción, f , estaba controladopor el producto de la velocidad y cualquier dimensión linealde la sección transversal del conducto. En esa línea sedefinió posteriormente el número de Reynolds, NR, como:

N R = U D ρ/µ = U D / ν ...(39)

Se puede demostrar que el factor adimensional f ,depende del valor de N

R y de la rugosidad relativa, e/D ,donde e representa la rugosidad absoluta.

Fue Blasius en 19132 el que primero representó losvalores de f en función del N R en un diagrama doblelogarítmico, para tuberías lisas, producto de un análisisde las mediciones de resistencia realizadas por Saph ySchoder. Estos resultados quedaron representados por lasiguiente fórmula empírica, válida hasta N

R = 100 000.

f = 0,316/ N R

0,25 ...(40)

Stanton17 en 1914 representó en la misma forma, los

resultados de experimentos con tubos lisos, así como,con tuberías de hierro fundido limpio y de acero liso. Estaforma de representar los valores de f en función del N

R se

conoce desde entonces como diagrama de Stanton.Blasius y Stanton, al relacionar f con el N

R , para

determinadas condiciones de la superficie de la paredinterior de las tuberías, resolvieron al menos en parte eldilema que se presentaba cada vez que aparecía una nuevaserie de mediciones y despejaron el camino para posibilitarun análisis más racional de las pérdidas de carga entuberías.

Como se ha señalado, fue Darcy en 1857, el primeroque tuvo en cuenta la influencia del estado de las paredesinteriores de las tuberías en la cuantía de las pérdidas decarga. A partir de este conocimiento fundamentalnumerosos investigadores propusieron fórmulas paraexpresar las pérdidas de carga en las tuberías. Pero fueOsborne Reynolds con la publicación de sus resultadosen 1883, el que abrió al fin el camino al tratamiento científicodel problema, al reconocer la existencia del flujo laminar yel turbulento, fijar sus límites y utilizar el análisisdimensional para proponer una fórmula racional paraexpresar la resistencia al flujo en conductos.

Sin embargo, no es hasta que Blasius en 1913 y Stanen 1914, relacionan el coeficiente de fricción, f , defórmula de Weisbach-Darcy con el número de Reynoldla rugosidad de la tubería, que se inicia un nuevo camen el análisis racional de las pérdidas de carga entuberías. A partir de esa fecha, la relación anmencionada, se comienza a representar en gráficos dologarítmicos, conocidos posteriormente como diagramde Stanton.

1. PÉREZ FRANCO, DIOSDADO: "Evolución históricalas fórmulas para expresar las pérdidas de cargatuberías. Primera parte: Desde los experimentosCouplet hasta los de Darcy". Ingeniería HidráulicAmbiental , Vol. XXII, No. 2, 2001.

2. ROUSE, HUNTER Y SIMON INCE: HistoryHydraulics. Dover Publications Inc., New York, 19

3. BOVEY, HENRY T.: A Treatise on Hydraulics , SecEdition, John Wiley and Sons, New York-LondChapman and Hall Limited, 1909.

4. FORCHHEIMER, PHILIPP: Tratado de Hidrául

Reimpresión, Editorial Labor S. A., Barcelona, Madrid, 195. GIBSON A. H.: Hydraulics and its applications , T

edition, D. Van Nostrand Company, New York, 1926. REYNOLDS, OSBORNE: "An Experimental Investiga

of the Circumstances which Determine Wether the Moof Water Shall be Direct or Sinuous and of the LawResistance in Parallel Channels". PhilosophTransactions of the Royal Society , Vol. 174, 1883.

7. PRINCE, GEORGE T.: Tabulated Data with ExplanaNotes Relating to Flow of Water Under PressThrough Clean Closed Conduits , D. Van NostrCompany, New York, 1916.

8. FLAMANT, A .: Hydraulique , Troisieme edition, LibraPolytechnique, Ch. Beranger, Editeur, Paris, 1909.

9. FANNING, J. T.: A Practical Treatise on Hydraulics Water Supply Engineering, Fifteenth Edition, D. VNostrand Company, New York, 1902.

10. JAEGER, CHARLES: Engineering Fluid MechanBlackie and Son Limited, London, Glasgow, 1956.

11. SAPH, AUGUSTUS V. Y ERNEST H. SCHODER:Experimental Study of the Resistance to the FlowWater in Pipes". Transactions ASCE, Vol. Transaction paper, No. 964, pp. 253-330, 1903.

12. WILLIAMS, GARDNER S. Y ALLEN HAZEN: Hydratables, Third edition, revised, John Wiley and SoNew York, 1920.

13. PÉREZ FRANCO, DIOSDADO: Introducción al estde los sistemas de tuberías , Primera reimpresión, EditPueblo y Educación, Ciudad de La Habana, 1986.

14. HUGHES, HECTOR J. Y ARTHUR T. SAFFOHydraulics. The Mac Millan Company, New York, 19

15. HARRIS, CHARLES W.: Hydraulics , John Wiley Sons, New York, 1936.

16. GONZÁLEZ DEL TÁNAGO, JOSÉ: Fluidodinámitransporte de fluidos en sus aplicaciones a la IngeniQuímica , Editorial Dossat S. A., Madrid, 1953.

17. STANTON, T. E. Y J. R. PANNELL: "Similarity of Moin Relation to the Surface Friction of Fluids". Proc. RSociety, London, v. A 214, pp. 199-224, 1914.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

Recibido: febrero del Aprobado: mayo del

evolucion

Documents

Transcript of evolucion