Capitulo 01en movimiento y registros sísmicos utilizando la
Transformada Wavelet
Prof. Patrocinante: José Soto Miranda. Ing. Civil. – M. Sc. Eng. Civil.
Prof. Copatrocinante: Alfredo Illanes. Ing. Ej. en Electrónica - Dr. en Tratamiento de Señales
Prof. Revisor: Galo Valdebenito. Ing. Civil - Dr. en Ing. Sísmica y Dinámica Estructural
Fernando Iván Echeverría Pérez Valdivia – Chile
2010
Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Escuela de Ing. Civil en Obras Civiles
“Tesis presentada como parte de los requisitos para optar al Título
Profesional de Ingeniero Civil en Obras Civiles”.
1
2
Agradecimientos
Agradezco a Dios, por haberme dado la oportunidad de llevar esta vida y haberme entregado amor y salud
durante todo el tiempo.
A mis Padres y Hermano, por haberme apoyado durante todo este proceso, por haberme entregado cariño,
compresión y ayudado a perseverar en mis proyectos.
A Bárbara, por estar incondicionalmente junto a mí en los años más importantes de mi vida y a sus padres,
quienes me han regalado un segundo hogar.
A grandes amigos y amigas universitarios, que compartieron cientos de horas junto a mi brindándome
amistad sin pedir nada a cambio, en especial a (por orden alfabético):
Aníbal, Cristóbal, Franklin, Ignacio, Juan Guillermo, y Odette.
A mis viejos amigos de colegio, a todo aquél clan, en especial a quien me escogió como su compadre.
A Rogelio, un gran amigo que supe descubrir tras la faceta de profesor.
Al profesor que me impulsó en la investigación acerca de Wavelets, Gracias Eduardo.
Agradecimientos para los Profesores Alfredo y José por haberme apoyado y entregado su tiempo durante
todo este proceso.
3
RESUMEN
En esta investigación se muestra un método Espectral-Frecuencial, basado en el uso de la
Transformada Wavelet y el Software MatLab, para la determinación de frecuencias de
vibración de señales en general y en especial del tipo sísmico. Las señales analizadas
corresponden a registros de aceleraciones obtenidos desde estaciones sísmicas a nivel de
suelo y a registros de aceleraciones ubicados en los grados de libertad de estructuras
sometidas a aceleraciones basales verídicas simulados en SAP2000.
Ambos registros son de gran importancia para el análisis sísmico-estructural. Se presentan
un análisis del comportamiento frecuencial, en el tiempo, de ambos tipos de registros y las
posibilidades de resonancia en la estructura modelada. Las herramientas de tratamiento de
señales utilizadas corresponden a la FFT, STFT y CWT (CWT-Daubechies). Se presentan
los programas implementados en MatLab para la obtención de los espectros wavelet y las
características del comportamiento frecuencial variante de las señales propuestas.
ABSTRACT
This paper shows a Frequency-Spectral method to determine vibrational frequency signals
in general and in particular the seismic kind. The analized signals were obtained from
seismic stations at ground level and from time-history data (time-acceleration) located at
the degrees of freedom of the structure affected by real basal accelerations modelled on
SAP2000.
These registries are both of great significance to the seismic-structural analysis. It is
performed a frequency behavior analysis in time for both registries and find all possible
occurrence of resonance. The mathematical tools used correspond to the FFT, STFT and
continuous wavelet transform of Daubechies (CWT-Daubechies). Finally we present the
programs implemented in MatLab in order to obtain the wavelet spectra.
4
INDICE
Capitulo 01 Transformada de Fourier........................................................................ 16
Series de Fourier y Frecuencia de una Función Periódica ............................................ 17
Representación Matemática de la Transformada de Fourier ......................................... 19
Teorema del Muestro de Nyquist .................................................................................. 20
Densidad Espectral de Welch. ....................................................................................... 21
Cuantización de señales sinusoidales. ........................................................................... 22
Ejemplos ........................................................................................................................ 24
5
Áreas de Aplicación de Wavelets.................................................................................. 33
Kobe 1995 ..................................................................................................................... 65
Capitulo 05 Análisis de Registro de una Estructura de un Grado de Libertad ........ 70
Capitulo 06 Análisis de Registro de una Estructura de 4 Grados de Libertad ........ 80
Discusión y Proyecciones del Trabajo.................................................................................. 87
Fuerza de Agitación .................................................................................................... 102
Tipo de Subsuelo ......................................................................................................... 103
Tipo de Estructura ....................................................................................................... 103
Apéndice B Sismómetro ........................................................................................ 104
Extracción de Características del Espectrograma Wavelet. ........................................ 112
Cálculo de Coeficientes de Transformada Continua Wavelet. ................................... 114
Generación de Escalograma. ....................................................................................... 122
Ondas P (Ondas de Cuerpo): ....................................................................................... 127
7
Ondas Love (Onda Superficial): ................................................................................. 127
Ondas Rayleigh (Onda Superficial): ........................................................................... 127
Apéndice E Mapas e Imágenes ............................................................................. 129
Chile 1985. .................................................................................................................. 129
México 1985. ............................................................................................................... 133
Kobe 1995. .................................................................................................................. 135
Planteamiento del Problema
Por mucho tiempo la determinación de las frecuencias dominantes en señales ha sido
realizada utilizando transformadas discretas y sus herramientas derivadas. La más
tradicional de estas herramientas es la Transformada de Fourier utilizada aún para obtener
componentes frecuenciales en señales.
Ya es conocido que para el análisis de señales estacionarias es altamente recomendable el
uso de la Transformada de Fourier (FFT), sin embargo cuando la señal a analizar
corresponde a una señal del tipo no estacionaria o del tipo aleatoria ésta herramienta
matemática es insuficiente. Para analizar estos tipos de señales no estacionarias, es posible
hoy en día utilizar dos herramientas independientes, estas son: la Técnica de Tratamiento en
Tiempo-Frecuencia (STFT) basada en la transformada de Fourier y la Transformada
Wavelet Continua (CWT).
Ambas herramientas anteriores proveen espectrogramas con una descripción gráfica de los
sucesos energéticos y frecuenciales a través del tiempo, con la diferencia de que para el
correcto uso de la STFT se requiere de un conocimiento previo del ancho de banda
frecuencial a analizar, mientras que para el uso de la CWT esto no es necesario.
La FFT funciona adecuadamente en la determinación de bandas frecuenciales (acotamiento
frecuencial) de registros de aceleraciones obtenidos de estructuras en movimiento que han
de ser excitadas dinámicamente por funciones estacionarias (de periodicidad constante) ya
sean, amortiguadas y/o con perturbación de ruido (Mimica, 2007), pero ¿Qué sucede
cuando la excitación dinámica a la cual se somete la estructura corresponde a un
9
movimiento no estacionario?. La respuesta a esta interrogante está en el correcto uso de
wavelets y de su transformada. De manera similar a la Transformada de Fourier, la
Transformada Wavelet describe en los espectrogramas a través de peaks de energía el
comportamiento frecuencial de la señal, pero sus bases al no ser funciones estacionarias
permiten además el análisis de señales no estacionarias.
La representación de las wavelet se puede hacer en 3 dimensiones, Energía-tiempo-escala,
obteniendo así información de las frecuencias dominantes y los tiempos en que ocurren.
Cada escala con que se analiza la señal se encuentra asociada a una frecuencia, por ende
también se conoce la frecuencia en que ocurren dichos fenómenos.
La investigación de las utilidades de la transformada wavelet en el campo sísmico solo se
ha llevado a cabo en el análisis de registros de aceleraciones sísmicas de suelos para
determinar componentes frecuenciales y su profundidad y así ubicarlo en estratos o capas
(profundidad (Km.) v/s Frecuencia (Hz.)) (Papandreou, 2003). El análisis en registros
obtenidos en los grados de libertad de estructuras es un tema no investigado en la
actualidad, es por esto que será investigado en este trabajo de investigación, obteniendo
resultados que verifiquen la hipótesis.
10
Las wavelets son un adelanto relativamente reciente en las matemáticas avanzadas. Su
nombre “wavelet” fue designado aproximadamente hace dos décadas por Morlet, Arens,
Fourgeau y otros investigadores. En los últimos 20 años el interés por sus usos ha crecido
sin límites dada la amplia gama de aplicaciones que posee (Daubechies, 1992).
Los trabajos más lejanos ocurrieron en la década de 1980 por J. Morlet, Grossman, Meyer,
Mallat y otros, pero ésta, la “transformada Wavelet” fue llevada al papel por Ingrid
Daubechies en 1988 que capturó la atención de diferentes comunidades matemáticas en
procesamiento de señales, estadística y análisis numérico.
Cada día se van hallando nuevas aplicaciones para la utilización de esta herramienta
matemática para procesar señales. Si hubiese que clasificar los más importantes campos de
aplicación, estos serían: Medicina, Industria Metalúrgica, Industria Petrolífera, Ingeniería
eléctrica, Ingeniería Sísmica y Geofísica (Droujinine, 2006). En medicina las wavelets se
está utilizando para el estudio de señales emitidas por el cuerpo, tales como cardiacas y
cerebrales, y en biología las wavelets son utilizadas para distintos propósitos, tales como
descripción y reconocimiento de membranas celulares. En la industria metalúrgica también
podemos encontrar su aplicación, a la hora de determinar las superficies rugosas de los
metales. En el ámbito Financiero es utilizada para detectar las propiedades de rápidas
variaciones de valores. En Internet las wavelets son útiles para hacer mejores descripciones
de tráfico y diseño de servicios.
Existe cierta relación entre la industria petrolífera y la ingeniería sísmica ya que las mejores
decisiones al momento de realizar excavaciones se han logrado realizando un previo
estudio sísmico, las imágenes sísmicas de la sub-superficie de la tierra es una técnica
esencial en la exploración de petróleo y acumulaciones de gas. Las imágenes sísmicas son
obtenidas por sondeo de la subsuperficie con ondas acústicas, así cuando las ondas
11
sísmicas se propagan a través de la superficie, la energía es reflectada de nuevo hacia la
superficie en contraste de impedancia acústica (Papandreou, 2003).
Las wavelets fueron propuestas para el análisis de datos sísmicos por Goupillaud et al en
1984 abriendo un nuevo campo en la investigación y aplicación de ésta. Desde entonces, se
les ha dado aplicaciones a las wavelet en el área sísmica ya sea para determinación de
puntos de origen de excitación sísmica (Stojanovi et al, 1999) y en investigación de
patrones de reflexión sísmica, ésta última tiene por objetivo determinar la estratigrafías de
suelos a través de su transmisión de componentes frecuenciales (Steeghs et al, 1995). Con
respecto al uso de wavelets para el estudio del comportamiento frecuencial de estructuras
sometidas a excitaciones dinámicas estacionarias o no estacionarias no ha de existir
investigación alguna.
Con respecto al funcionamiento, la transformada wavelet es una herramienta matemática
que procesa datos o funciones en diferentes componentes frecuenciales, estudiando cada
componente con una resolución dada por su escala o frecuencia, es ésta la ventaja de su uso
frente a señales no estacionarias como los registros de aceleraciones sísmicas propias de la
tierra o registros de aceleraciones de estructuras sometidas a excitaciones sísmicas
dinámicas verídicas.
Objetivo General
El objetivo de la presente tesis es determinar parámetros frecuenciales en estructuras en
movimiento de uno y varios grados de libertad utilizando CWT y FFT. Las estructuras
serán modeladas en SAP2000 siendo sometidas a una excitación sísmica obtenida de
registros de aceleraciones verídicas. Posteriormente se generarán a partir de SAP2000
registros de aceleraciones de sus grados de libertad respectivos. Éstos registros de
aceleraciones serán posteriormente analizados utilizando la CWT, generándose sus
espectrogramas respectivos, en los cuales será posible visualizar el comportamiento
frecuencia en Energía-Tiempo-Frecuencia (ver figura 1)
Objetivos Específicos
En orden de importancia los objetivos específicos para este trabajo de investigación
corresponden a:
MatLab.
La determinación del comportamiento frecuencial de señales o registros del tipo
estacionario, no estacionario y transientes.
Determinación de las ventajas del uso de la CWT frente a la FFT y la STFT.
Analizar registros sísmicos reales con el fin de analizar el comportamiento dinámico
del suelo en términos de periodo natural de vibración.
13
Figura 1 – Esquema de operación de la investigación (Elaboración Propia)
14
Este trabajo de investigación tiene como propósito ampliar el conocimiento acerca del
comportamiento de estructuras en movimiento. El movimiento de las estructuras puede
deberse a excitaciones de diferente índole y duración, dentro de las cuales las excitaciones
mas importantes corresponden a las sísmicas.
En la investigación se pretende interpretar a través de espectrogramas generados con la
CWT el comportamiento frecuencial de dos estructuras. Las dos estructuras son modeladas
de acuerdo al interés de la investigación, esto significa, se considerarán masas
traslacionales y grados de libertad solo en la dirección de las excitaciones.
Los resultados obtenidos en la investigación proveen un mejor entendimiento del
comportamiento frecuencial de estructuras y de sus aceleraciones basales excitantes. Una
mejor visión de las gamas de frecuencias participantes en eventos sísmicos permite
comprender en el tiempo comportamientos de interés para la ingeniería estructural tales
como la resonancia estructural.
Perspectivas de la Investigación
La investigación como tal y los resultados obtenidos abren una nueva ventana para el uso
de la CWT en ingeniería estructural. La principal perspectiva de la investigación tiene lugar
en el uso de la CWT y sus espectrogramas para la determinación de parámetros
frecuenciales en estructuras de cualquier tipo, tales como puentes o edificios de gran altura.
Para estructuras que se encuentran ya construidas, hoy en día es posible efectuar una
determinación de las verdaderas frecuencias de vibración instalando acelerogramas en sus
grados de libertad y posteriormente analizando estos registros de aceleraciones con la FFT,
sin embargo, esta herramienta de tratamiento de señales digitales no permite el estudio
frecuencial a través del tiempo, está ahí la principal proyección de la CWT y sus
espectrogramas, en el análisis del comportamiento vibracional en el tiempo de la
estructuras.
Otra proyección de investigación utilizando los espectrogramas se hace presente en el
ámbito de la geotecnia. La determinación de las frecuencias vibracionales dominantes en el
tiempo, en los suelos de nuestro país, podría adquirir importancia debido a la alta cantidad
de movimientos sísmicos del último tiempo, permitiendo la caracterización de los suelos
para una posterior construcción sismorresistente sobre ellos.
16
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Para comprender de una mejor manera la transformada wavelet se debe necesariamente
hacer una revisión de la Transformada de Fourier y su teoría.
El tratamiento de señales digitales ha avanzado a pasos agigantados durante el último
tiempo. Desde la invención del cálculo en el siglo XVII, pasando por la publicación del
tratado de Fourier sobre la representación de funciones mediante series armónicas a
principios del siglo XIX. El análisis de señales digitales con el paso de los años se
transformó en un proceso limitado en su desarrollo debido al gran trabajo que implicaba
analizar señales con gran cantidad de datos sin contar con el apoyo de las computadoras.
No es hasta el año 1965 cuando evoluciona la Transformada de Fourier, Los investigadores
Cooley y Tukey desarrollan un algoritmo veloz llamado Transformada Rápida de Fourier
(en Inglés Fast Fourier Transform y sus siglas: FFT) (Cooley et al, 1965), que se vio
impulsado con la proliferación de los microprocesadores y circuitos integrados. El
desarrollo de este algoritmo en aquella época, fue la herramienta que definitivamente abrió
el campo del procesamiento digital de señales.
La mejor forma de estudiar una señal es a través de sus contenidos de frecuencias (Gomes
et al, 1999), en una señal de audio, por ejemplo, las frecuencias son responsables de que
acostumbremos a identificar sonidos agudos o graves. También, la distinción entre colores
rojo y verde, por ejemplo, es capturada en la frecuencia de la onda electromagnética
17
asociada. En un sismo, las frecuencias responsables del movimiento son difíciles de
percibir a través de nuestros sentidos, pero a través de sismógrafos o acelerómetros y
utilizando herramientas matemáticas del área de Tratamiento Frecuencial podemos hallar
frecuencias dominantes en éstos.
Series de Fourier y Frecuencia de una Función Periódica
La frecuencia de una función es fácil de entender si se comienza con una función periódica.
Por ejemplo la función f(t) = Asen(2πft), con A>0, posee una amplitud A y una frecuencia
ω (Poularikas, 1999), la frecuencia f indica cuantos ciclos existen en el intervalo [0,1] seg.
Por ejemplo al dar los valores A=1 y f=2Hz. a los parámetros de la función f(t) se obtiene
f(t)=sen(4πt) y el grafico de la figura 1.1.
Figura 1.1 - Representación de la función f(t) en el intervalo [0,1] seg.
Al considerar una función periódica con periodo L>0, o sea, f(t+L)=f(t), denotamos por
2 ( )TL el espacio de funciones periódicas de periodo T las cuales tienen su cuadrado
integrable, o sea:
(1.1)
18
La teoría de series de Fourier en su forma exponencial dice que puede ser descompuesta
como:
Donde ωj = j/T es un valor constante. Esta descomposición de una función periódica f es
llamada Serie de Fourier de f. Es sabido que la familia 2 ,ji s
e j
ortonormal completo del espacio 2 ( )TL .
En conclusión, las series de Fourier muestran que cualquier función periódica puede ser
descompuesta como una suma infinita de funciones trigonométricas periódicas (senos y
cosenos). Esta descomposición hace fácil un análisis de las frecuencias presentes en la
función f. Existen una frecuencia fundamental ω y la totalidad de las otras frecuencias que
son enteros múltiplos de ωj, j , de esta frecuencia fundamental.
El coeficiente aj en la ecuación 1.2 de la serie de Fourier mide la amplitud de la
componente frecuencial ωj en la función f. En particular, si aj = 0, ésta frecuencia no está
presente en la función. Esta amplitud de frecuencia aj es calculada usando la ecuación:
Donde L es el periodo de la función. Notar que la ecuación (1.3) caracteriza completamente
la función f a través de sus frecuencias.
2 ( ) ,ji s




Representación Matemática de la Transformada de Fourier
La representación de la función f citada anteriormente funciona bien, pues podemos obtener
una representación aproximada de la función f a través de sus frecuencias. El inconveniente
es que la función f debe ser una función estacionaria.
Si queremos aplicar lo anterior a funciones no periódicas no nos entrega un espectro
discreto de funciones bien definidas como en la ecuación (1.2), sino, algo menos exacto.
Aceptando esto podemos utilizar las representaciones de la Serie de Fourier como una base
para introducir el concepto de Frecuencia de funciones arbitrarias.
Si hacemos s = ωj en la ecuación (1.2), la cual calcula la amplitud de frecuencia, y
asumimos que la variable s puede tomar cualquier valor, tenemos:
La operación f(u)e i2πsu
del integrando es llamada modulación de la función f. El exponencial
es llamada función modulante para cada valor de s, e i2πsu
es una función periódica de
frecuencia s, con s .
El proceso puede ser explicado de la siguiente manera: “Cuando la función f tiene una
oscilación de frecuencia s, o cercana a s, estas frecuencias resultan estar en resonancia
con la frecuencia s de la función modulante, de esta forma a(s) toma valores distintos de
cero”. En forma contraria: “Cuando las oscilaciones de la función f y las frecuencias de la
función modulante son completamente distintas se tiene un efecto de cancelación y los
valores de a(s) son cero o cercanos a cero” (Gomes et al, 1999).
Como conclusión podemos definir que a(s) indica la ocurrencia de la frecuencia s en la
función f. Dado que s toma diferentes y continuos valores, es importante interpretar
2( ) ( ) i sua s f u e du
(1.4)
20
a(s) como una densidad de frecuencia de la función f. Cuando a(s) ≠ 0 significa que la
frecuencia s existe en f.
Al cambiar la nomenclatura de a(s) por F(f)(s) y cambiar el signo de la función de
modulación podemos familiarizar con una forma más común de expresar la transformada
de Fourier en la literatura.
Las funciones f que se pueden utilizar para esta aplicación son aquellas que son funciones
de cuadrado integrable (Oppenheim et al, 1994) o funciones con energía finita y que
pertenecen al espacio de funciones 2 ( )L satisfaciendo la ecuación:
Teorema del Muestro de Nyquist
Para que durante el muestreo de señales digitales no se produzcan perdidas de información
Harry Nyquist estableció que la frecuencia de muestro de la señal digital debe ser como
mínimo igual al doble de las frecuencias contenidas en la señal (Nyquist, 1928). Esto es, si
la frecuencia de la señal es Fmax y la frecuencia de muestro Fm entonces se debe cumplir
que:
Nyquist mostró que, para que podamos distinguir sin ambigüedad las componentes
frecuenciales se una señal, es necesario que muestreemos al menos al doble de la frecuencia
máxima contenida en la misma, para evitar los efectos de “aliasing”. La máxima frecuencia
permitida en una señal para una frecuencia de muestreo dada se denomina frecuencia de
Nyquist.
En realidad el teorema de Nyquist no es tan riguroso, la frecuencia de Nyquist no es
2( )( ) ( ) i suF f s f u e du


(1.5)
(1.6)
21
necesario que sea el doble de la frecuencia máxima contenida en la señal, sino el doble del
ancho de banda de la señal de interés. Este hecho se conoce como teorema de Nyquist
pasabanda ya que no considera el caso en que las frecuencias se encuentre desplazadas en
el espectro una cierta cantidad.
Cuando estamos trabajando con señales reales, aunque tengamos un conocimiento a priori
de las frecuencias, los más usual es que tengamos ruido solapado con componentes
frecuenciales superiores a la de Nyquist, que nos producirían aliasing, por esta razón previa
a la conversión analógico-digital es necesario filtrar pasa baja la señal de manera que se
eliminen las frecuencias por encima de la banda de interés.
Densidad Espectral de Welch.
El Método de Determinación de Densidad Espectral de Welch consiste en una función
matemática que nos informa como se encuentra distribuida la energía o Potencia (según el
caso) de una señal sobre la totalidad de frecuencias por la que está formada realizando un
promedio de periodogramas modificados (Welch, 1967). La principal propiedad consistió
en la introducción del solapamiento de segmentos de datos (o ventanas) que mejoraron la
resolución de los ya periodogramas promediados de Bartlett.
22
Cuantización de señales sinusoidales.
Para entender cómo funciona el proceso de obtención de señales digitales (que serán las
analizadas en esta investigación) es necesario realizar un muestreo y cuantización de una
señal Análoga para lo cual se hace referencia a la figura 1.2. Los niveles de cuantización y
tiempos para cada registro pueden ser definidos a través de la grilla rectangular (Proakis el
at, 1996), donde las líneas verticales indican los tiempos de muestreo y las líneas
horizontales los niveles de cuantización permitidos. Si se toma como ejemplo una señal
sinusoidal de ecuación 0( ) cosax t A t y se muestra en un tiempo discreto se obtiene
ax nT y si se cuantifica en amplitud discreta se obtiene la señal en tiempo discreto
qx nT .
Figura 1.2 Muestreo y Cuantización de una señal Sinusoidal
Si la frecuencia de muestreo sf satisface el teorema de muestreo entonces la cuantización es
tan solo el error entre la conversión del proceso Análogo-Digital (Proakis el at, 1996), por
lo cual se puede evaluar el error de cuantización cuantificando la señal análoga ( )ax t en vez
de la señal en tiempo discreto ( ) ( )ax n x nT .
23
La calidad de la salida del convertidor Análogo-Digital es usualmente medida por la razón
“ruido de cuantización de señal” (en inglés sus siglas SQNR “Signal-to-quantization noise
ratio”), la cual provee la razón entre la potencia de la señal y la potencia del ruido (Proakis
el at, 1996), dada por:
Donde P corresponde a la potencia promedio de la señal ax t , qP la potencia del error
cuadrático medio y el término b a los bits de precisión del cuantizador.
Debido al alcance de la esta investigación, no se ahondará más en la explicación
matemática de la obtención de la expresión para SQNR.
23 2
24
Ejemplos
Suponga que tiene la función f(t)=sen(4πt) la cual tiene una frecuencia conocida de 2 Hz.
La frecuencia de Nyquist o mínima frecuencia de muestreo corresponde a 2 2 Hz. = 4 Hz.
Para evitar pérdidas de datos y aprovechando la ayuda de las grandes capacidades de las
computadoras actuales, la señal se va a muestrear a una frecuencia fm = 500 Hz. durante 2
seg. (Figura 1.3a)
Figura 1.3a y 1.3b, Registro generado a partir de la función f(t) y Espectro de Fourier del registro f(t)
respectivamente.
Al analizar el registro con la transformada de Fourier se obtiene el espectro mostrado en la
figura 1.3 b, encontrándose claramente un peak de energía asociado a la frecuencia de 2
a)
b)
25
Hz. Con mayor claridad se aprecia en la figura 1.4 que hace zoom de la figura anterior.
Figura 1.4, Zoom sobre ubicación de peak en el espectro de Fourier de la figura 1.3b
Claramente se concluye, debido a sus bases trigonométricas, que la transformada de Fourier
trabaja de bien con Funciones sinusoidales.
Otros registros basados en funciones ya más complejas se muestran junto a sus
correspondientes espectros en la tabla de la página siguiente:
26
Ejemplos de Funciones analizadas con FFT.
Function a muestrear: Function a muestrear:
f(t) = sin(22πt) + cos(62πt) g(t) = sin(22πt) + cos(62πt) + sin(152πt) + Ruido
Frecuencias Reales: Frecuencias Reales:
Frecuencia de Muestreo (Fm): Frecuencia de Muestreo (Fm):
Fm = 500 Hz. Fm = 500 Hz.
Comportamiento gráfico de la señal f(t)
Comportamiento gráfico de la señal g(t)
Espectro de Fourier de la señal f(t)
Espectro de Fourier de la señal g(t)
Acercamiento sobre peaks del Espectro de Fourier de
la señal f(t)
la señal g(t)
Función a muestrear: Función a muestrear: h(t) = e
-2t (sin(82πt)+ cos(272πt)+ sin(22πt)+Ruido) r(t) = e
-2t (sin(22πt) cos(242πt))
Frecuencias Reales: Frecuencias Reales:
Frecuencia de Muestreo (Fm): Frecuencia de Muestreo (Fm):
Fm = 500 Hz. Fm = 500 Hz.
Comportamiento gráfico de la señal h(t)
Comportamiento gráfico de la señal r(t)
Espectro de Fourier de la señal h(t)
Espectro de Fourier de la señal r(t)
Acercamiento sobre peaks del Espectro de Fourier de
la señal h(t)
la señal r(t)
Nota:
En la señal r(t) la frecuencia de 2 Hz. se encuentra modulada por la frecuencia de 24 Hz. En la visualización
del espectro la frecuencia de -2 y 2 Hz. encuentran su nuevo origen desplazado en 24 Hz. provocando que los
peak se encuentren en 24 ± 2 Hz. Para una mejor comprensión se recomienda el libro “Teach Yourself
Electricity and Electronics” de Stan Gibilisc
28
Capitulo 02
Análisis Tiempo-Frecuencia
En el capitulo anterior se presentó el uso de la trasformada discreta de Fourier para obtener
una representación en el dominio de la frecuencia de una señal compuesta por componentes
sinusoidales.
Las señales presentadas anteriormente poseen una frecuencia constante a lo largo del
tiempo es decir son estacionarias y deterministas, de manera que las propiedades de la señal
seguirán siendo las mismas desde su inicio hasta el final.
Las señales sísmicas a menudo no presentan esta característica de conservación de
frecuencias, sino que presentan frecuencias y amplitudes variantes a lo largo del registro.
Este tipo de señales son conocidas como señales no estacionarias (Bendat, 2000).
Para describir el comportamiento frecuencial de este tipo de señales no es suficiente utilizar
tan solo una transformada discreta sobre la señal, sino que se hace necesario el trabajar con
transformadas discretas sobre intervalos o “ventanas deslizantes” sobre la señal. Este tipo
de análisis comúnmente recibe el nombre de Análisis Tiempo-Frecuencia. El Análisis en
Tiempo-Frecuencia expuesto en este capítulo corresponde al que utiliza la Transformada de
Discreta de Fourier (en inglés Short-Time Fourier Transform STFT) y el tipo de ventanas
que se considerará para su análisis corresponde a la ventana de Hamming.
29
La transformada de Fourier dependiente del tiempo de una señal x[n] se define
(Oppenheim et al, 2000) como:
Donde w[m] corresponde a una secuencia de ventana. La ecuación anterior puede ser
interpretada como la transformada discreta de Fourier de la señal desplazada x[n+m], vista
a través de la ventana w[m]. De acuerdo a esto, la ventana tiene un origen estacionario y a
medida que n cambia, la señal se desliza por la ventana de tal forma que en cada valor de n
se ve una parte distinta de la señal.
Como resultado de este análisis se puede hacer una representación de las magnitudes de las
frecuencias existentes en función del tiempo o del numero de muestra, obteniéndose así
espectrogramas como el de la figura 2.1 que muestra las frecuencias existentes en una señal
sísmica con respecto al tiempo.
Figura 2.1. En la Imagen izquierda se muestra una señal digital con contenido de frecuencia variante en el
tiempo. La frecuencia de muestreo es fs = 20Hz. Sus frecuencias son 2, 5 y 3 Hz. con cambios de amplitud y
frecuencia a los 4 y 6 seg. En la Imagen Derecha se muestra el espectrograma obtenido utilizando STFT con
una longitud de ventana de 20 muestras.
, j m


(2.1)
30
El principal propósito de la ventana en la STFT es limitar la extensión de la secuencia que
se va a transformar de forma que las características espectrales sean razonablemente
estacionarias en el intervalo de duración de la ventana. Cuanto más rápidas sean las
variaciones de la señal, más corta debe ser la ventana. La correcta selección de la longitud
de la ventana define la precisión en el hallazgo de frecuencias y su ubicación en el tiempo.
Una ventana más pequeña da mayor opción a determinar variaciones en el tiempo pero
decrece la resolución en frecuencia, de manera inversa, al ampliar la longitud de la ventana,
amplia la resolución en frecuencia pero no se permite la resolución en el tiempo.
El problema de trabajar con las técnicas de Análisis en Tiempo-Frecuencia tales como la
STFT radica en la incertidumbre 1 de encontrar el tamaño de ventana y traslape que
represente de mejor forma el contenido de frecuencias involucradas en la señal (Stojanovi
et al, 1999).
La longitud de traslape también es un factor importante, pues le da el efecto de suavizado al
espectrograma en las intersecciones de ventanas, pero no colabora al momento de
determinar las frecuencias dominantes.
En la figura 2.2 se pueden apreciar diferentes resultados de espectrogramas para la señal
anterior. La diferencia entre estos espectrogramas es la longitud de la ventana sobre la cual
se hace el análisis, todos ellos con una longitud de traslape de tan solo una muestra,
claramente se visualiza que para una menor longitud de ventana se obtiene una mayor
resolución tiempo, mientras que con una ventana mas grande (con mayor numero de
muestras) se obtiene una mejor resolución en frecuencia.
1: Incertidumbre: Basado en el principio de incertidumbre de Werner Heisenberg (1927). Para profundizar en
éste principio se recomienda leer texto de Gomes citado en bibliografía.
31
Figura 2.2, Seis espectrogramas obtenidos aplicando STFT sobre la señal sinusoidal con variación de
frecuencias. Se comienza con una ventana grande que permite mayor resolución en frecuencia
disminuyéndose la longitud de la ventana, de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo, hasta obtener una
mayor resolución en tiempo.
Notar que en las figuras 2.2a y 2.2f se está en altas resoluciones en frecuencia y tiempo
respectivamente, esto es facilitado en gran medida por que el tipo de señal que se está
analizando corresponde a una señal compuesta netamente estacionaria. El análisis de
señales no estacionarias como las sísmicas se hace más complicado por los grandes
contenidos de frecuencias y lo variante en el tiempo que estas pueden llegar a ser.
32
Los espectrogramas anteriores fueron obtenidos utilizando el comando “spectrogram(x,
windows, noverlap, nfft, fs)” en MatLab del cual cada parámetro se explica a continuación:
x: corresponde a la señal o registro que se va a someter al análisis.
windows: corresponde al tipo de ventana que se utilizara para el análisis. Para este
caso se utilizo la ventana de Hamming.
noverlap: corresponde al número de muestras que se traslaparan entre cada ventana.
nfft: es el largo de la transformada rápida de Fourier en cada ventana. Sus valores
oscilan con respecto al largo de las ventanas.
fs: corresponde a la frecuencia de muestreo o registro.
Como previa conclusión se puede decir que la transformada de Fourier dependiente del
tiempo es una herramienta útil al analizar señales de cualquier índole, pues ejecuta un
análisis temporal de Fourier a través de ventanas resaltando la totalidad de frecuencias
dominantes presentes en el registro. Se sugiere que para realizar estos análisis en Tiempo-
Frecuencia se requiere conocer previamente los posibles rangos o contenidos de frecuencia
de la señal analizada y si ésta presenta características de estacionariedad.
Como sugerencia para quien quiera profundizar en la transformada de Fourier dependiente
del tiempo se recomienda leer las investigaciones de Rabiner y Gomes et al citadas en la
bibliografía.
33
Análisis Wavelet - Wavelet de Daubechies
Áreas de Aplicación de Wavelets
Cada día se van hallando nuevas aplicaciones para la utilización de esta herramienta
matemática para procesar señales. Si hubiese que clasificar los más importantes campos de
aplicación, estos serían:
Ingeniería Sísmica y Geofísica (Droujinine, 2006).
En medicina las wavelet se está utilizando para el estudio de señales emitidas por el cuerpo,
tales como cardiacas y cerebrales, y en biología las wavelets son utilizadas para distintos
propósitos, tales como descripción y reconocimiento de membranas celulares.
En la industria metalúrgica también podemos encontrar su aplicación, a la hora de
determinar las superficies rugosas de los metales. En el ámbito Financiero es utilizada para
detectar las propiedades de rápidas variaciones de valores. En Internet las wavelets son
34
útiles para hacer mejores descripciones de tráfico y diseño de servicios.
Existe cierta relación entre la industria petrolífera y la ingeniería sísmica ya que las mejores
decisiones al momento de realizar excavaciones se han logrado realizando un previo
estudio sísmico, imágenes sísmicas de la sub-superficie de la tierra es una técnica esencial
en la exploración de petróleo y acumulaciones de gas. Las imágenes sísmicas son obtenidas
por sondeo de la subsuperficie con ondas acústicas.
Cuando las ondas sísmicas se propagan a través de la superficie, la energía es reflectada de
nuevo hacia la superficie en contraste de impedancia acústica (Papandreou, 2003).
Familias Wavelets
Existen diversas “familias” wavelet, cada una con características distintas pero basadas en
la misma teoría señalada anteriormente.
Hay diferentes tipos de familias wavelets cuyas cualidades varían de acuerdo a varios
criterios. El principal criterio es:
El soporte de la wavelet ψ y de la función escala Φ: la velocidad de
convergencia a 0 de estas funciones ψ(t) ó ψ(ω) cuando el tiempo t o la
frecuencia ω tienden a infinito, lo cual cuantifica las localizaciones del
tiempo y la frecuencia.
Estas están asociadas con dos propiedades que permiten un rápido algoritmo y un ahorro de
espacio de codificación:
La ortogonalidad o la biortogonalidad de los resultados del análisis.
Estas también pueden estar asociadas con propiedades menos importantes tales como:
La existencia de una expresión explicita.
La facilidad de tabular.
La familiaridad al usar.
Las funciones ψ y Φ pueden ser calculadas en MatLab utilizando el comando wavefun y los
filtros son generados usando el comando wfilters
36
Wavelet Daubechies
De manera similar al funcionamiento de la Transformada de Fourier, que descompone la
señal en una serie de ondas sinusoidales, la Transformada Wavelet descompone la señal en
su Wavelet Madre escalada y desplazada a través de la señal.
La Wavelet Madre corresponde a una Wavelet a determinar bajo ciertas ecuaciones
matemáticas en las que no se ahondará en esta investigación. Los tipos de Wavelets Madre
comúnmente utilizados corresponden a: Wavelet de Daubechies, Wavelet de Haar, Wavelet
Symlet, Wavelet Coiflet, Wavelet Meyer, Wavelet Mexican Hat y Wavelet Morlet entre
otros.
Las Wavelet Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, Meyer, Mexican Hat y Morlet pueden
ser investigadas en mayor profundidad en la publicaciones de Ingrid Daubechies. Otras
Wavelets pueden ser investigadas en publicaciones de Cohen, Abry y Teolis.
El tipo de wavelet utilizada en esta investigación corresponde la Wavelet de Daubechies de
cuatro Coeficientes, una de las más simples y completas frente a sus símiles (Daubechies,
1980), la cual presenta la apariencia de figura 3.1.
Figura 3.1 – En color Azul, Wavelet de Daubechies de cuatro coeficientes. En color Rojo, Representación de
su frecuencia central a través de un sinusoide.
37
De manera similar a las Técnicas de Tratamiento en Tiempo-Frecuencia, la Transformada
Wavelet consiste en una técnica de ventanas con regiones de tamaño variable, permitiendo
el uso de intervalos de tiempo más grande donde se requiere información más precisa de
contenidos de bajas frecuencias y de intervalos de tiempo más cortos donde requiere
analizar con precisión contenidos de altas frecuencias, como se aprecia en la figura 3.2
Figura 3.2 – Esquema de distribución de ventaneo de la Transformada Wavelet.
La gran diferencia del uso de wavelets frente a las Técnicas de Tratamiento en Tiempo-
Frecuencia radica en que este análisis posteriormente posibilita la visualización simultánea,
a través de su espectrograma (o escalograma), de los comportamientos frecuenciales a
través del tiempo, para cada rango de frecuencias de interés.
38
Matemáticamente, la Transformada Wavelet Continua (en Ingles CWT – Continuous
Wavelet Transform) corresponde a una suma sobre todo el intervalo de tiempo de la señal
f(t) multiplicada por versiones escaladas y desplazadas de la Wavelet Madre como se
muestra en la siguiente ecuación:
Donde C corresponde al conjunto de Coeficientes Wavelet obtenidos al integrar sobre todo
el tiempo la señal f t multiplicada por la Wavelet Madre seleccionada escalada y
desplazada.
El espectrograma Wavelet corresponde a una representación visual de los Coeficientes
Wavelet el cual, en su programación en MatLab, utiliza colores para diferenciar las
concentraciones de energía. La generación de este Espectrograma es posible hacerla en tres
dimensiones, de manera que se puede visualizar en tiempo, frecuencia (o escala) y energía.
En esta investigación los espectros serán trabajados considerando, el eje horizontal como el
tiempo, el eje vertical como eje de las frecuencias y la coloración (o profundidad) como la
concentración de energía.


39
Cada una de las escalas en las que se “estirará” la wavelet de Daubechies se encuentra
asociada a una Pseudo-frecuencia. La Pseudo-frecuencia equivalente a cada escala es
determinada a través de la siguiente relación matemática:
Donde: aF corresponde a la frecuencia asociada a la escala a ,
cF corresponde a la
frecuencia central de la Wavelet Madre en cuestión, a corresponde al factor de
escalamiento a aplicar en la Wavelet Madre y es el periodo de muestreo.
En la siguiente sección se muestran dos ejemplos de funciones sinusoidales con sus
respectivos espectrogramas Wavelet.
40
Ejemplos
Si comparamos solo de manera visual el espectro de Fourier, de la figura 3.3, y el espectro
wavelet de una señal sinusoidal simple, de la figura 3.4, se puede apreciar la semejanza
entre ellos con respecto a los parámetros energía y frecuencia.
Ambos espectros señalan la existencia de peaks de energía y estos asociados a frecuencias
dominantes. La diferencia radica en la posibilidad de visualizar el ancho de banda y su
variación en el tiempo durante todo el registro.
Figura 3.3. Señal y espectro de Fourier para el registro generado a partir de la función sinusoidal simple
f(t)=sen(1πt)+sen(4πt).
41
Figura 3.4. Espectrograma Wavelet para el registro generado a partir de la función sinusoidal simple
f(t)=sen(1πt)+sen(4πt).
Un segundo ejemplo del uso del espectro wavelet y su funcionalidad con respecto al tiempo
corresponde al análisis de la señal discontinua con tres contenidos de frecuencias separados
en el tiempo.



Aceleracion t t cm s s t s
t cm s s t s





En la cual las frecuencias utilizadas son 2, 5 y 3 Hz. y las amplitudes para cada intervalo
son 100, 120 y 140 cm/s 2 respectivamente. La señal y su espectro de Fourier son mostrados
en la figura 7.5.
42
Figura 3.5. Señal generada a partir de la función Aceleración(t), Espectro de Fourier y Densidad espectral de
Welch.
Los contenidos de frecuencia son fáciles de hallar en el espectro de Fourier gracias a las
concentraciones de energía asociadas a frecuencias. Claramente se visualiza energía
asociada a frecuencias de 2, 3 y 5 Hz. en el espectro de Fourier con el respaldo de la
Densidad espectral de Welch.
El uso de espectros wavelet presenta gran interés al analizar este tipo de señales, transientes
y/o de no estacionariedad, ya que la transformada de Fourier solo funciona bien al
momento de analizar señales estacionarias de componentes periódicos. El espectro para este
registro puede verse en la figura 3.6.
43
Figura 3.6. Señal y Espectrograma wavelet o también llamado escalograma wavelet generado a partir de la
señal Aceleración(t).
Los contenidos de frecuencias, de la misma forma que para el uso del espectro de Fourier,
son visualizados a través de concentraciones de energía (referencia de energía, ver barra
lateral del espectrograma). Las concentraciones de energía son asociadas a una frecuencia
en el eje vertical del espectrograma y ubicadas en el tiempo. Esto quiere decir que el
comportamiento frecuencial de la señal puede ser analizado en el tiempo y ver sus
variaciones o continuidades.
Es esta característica la que contribuye a definir la gran utilidad que presta el uso de los
espectrogramas wavelet en el área estructural-sísmica, debido a que la gran mayoría de los
registros sísmicos, ya sean de desplazamiento, velocidad o aceleración, son transientes y
además presentan notables variaciones de su contenido frecuencial en el tiempo,
característica imposible de analizar utilizando simplemente la Transformada de Fourier.
Los espectros pueden ser usados para evaluar directamente el efecto del sismo sobre la
estructura. Los espectros de respuesta son usados para evaluar el movimiento sísmico en la
estructura (análisis dinámico). Un espectro de respuesta es básicamente un grafico de
máximos desplazamientos, velocidad y aceleraciones versus el periodo natural de
44
uno de los grados de libertad de la estructura. Los Espectros pueden ser usados para
diferentes valores de amortiguamiento y por lo tanto se puede obtener una familia de
curvas.
La principal preocupación al analizar una estructura sometida a excitación sísmica radica en
la posibilidad de que exista resonancia, es decir, la condición en la cual el periodo de
vibración del terremoto inducido por el movimiento terrestre es igual al periodo natural de
vibración de la estructura en cuestión produciéndose intensas amplificaciones de la
dinámica. Cuando ocurre la resonancia, el movimiento responsable del edificio es
aumentado, incrementando la amplitud de la vibración rápidamente. Edificios altos,
puentes, y otras estructuras largas responden más a sismos que tienen un periodo de
vibración mayor, y a la inversa, las estructuras pequeñas responden a sismos con periodos
de vibración menor.
Registros
Cuando se habla de registros, se está refiriendo a señales digitales en tiempo discreto. Las
señales en tiempo discreto están definidas solo para valores racionales de la variable
independiente, constan de un periodo de muestreo T y su recíproco que corresponde a la
frecuencia de muestreo f.
Los registros son detectados con sismómetros o acelerómetros, que poseen una frecuencia
de muestreo definida generalmente entre 50 y 200 Hz.
Los movimientos registrados en la superficie de la tierra difieren considerablemente del
movimiento inicial generado en el hipocentro por el desplazamiento o fisura de placas
(Sherbaum, 1994). La Onda Generada en el Hipocentro sufre modificaciones en su trayecto
hasta el lugar en donde se realizará el muestreo de aceleraciones. Los cambios en la onda
son producidos básicamente por cambios de fases y por la dispersión, que producen una
complicada superposición de onda con diferentes caminos. Otro cambio de la onda sísmica
puede ser producido por la existencia de capas sedimentarias en el suelo, que producen
amplificaciones de las ondas. Un último cambio de la onda puede ser ocasionada por el
equipo de grabación, y un inadecuado proceso de registro.
La herramienta para la detección de aceleraciones sísmicas es acelerómetro, el cual consta
de una masa un resorte y un amortiguador. Lo que controla la acción del acelerómetro es la
interacción simultánea de todas las fuerzas actuantes sobre la masa, (ver Apéndice B).
46
Registro de Aceleraciones
La medición de todos los movimientos sísmicos se realiza a través de un sismógrafo, sean
microsismos o terremotos, quedando registrados en un sismograma. Cuando el sismo pasa a
ser relevante toma importancia utilizar un acelerómetro y registrar las aceleraciones del
suelo. El medio en que se almacena este registro, sea físico o digital, se llama
acelerograma. Actualmente el sismómetro más utilizado es el “particle-velocity
sismograph” (Hunt, 2005)
Procesamiento de grandes movimientos
Los datos en bruto obtenidos desde un acelerómetro pueden incluir errores, a los cuales se
les llama “ruido”. Éste ruido puede ser producido, por ejemplo, por vibraciones inducidas
por el viento o por océanos. Es por esto que los acelerómetros deben ser correctamente
evaluados y corregidos para asegurar que la medición solo represente al sismo.
Los sismómetros pueden detectar la microactividad sísmica producida por el reventar de
olas en el océano, vibraciones provocadas por vehículos y edificios, incluyendo los cambios
de presión (Kramer, 1996).
Sismógrafo
Muchos terremotos son causados por la liberación de energía debido a desplazamientos
sucedidos en fallas. Esto no implica que todos los grandes movimientos de las fallas
producirán terremotos. Por ejemplo, puede haber una falla por deslizamientos, donde el
gran movimiento de tierra no está acompañado por un terremoto. Los grandes terremotos
son causados por la acumulación de tensiones y su repentina liberación causando las
rupturas (Day, 2002).
Un sismógrafo es un instrumento que graba, como una función del tiempo, el movimiento
47
de la superficie de la tierra debido a las ondas sísmicas generadas por el terremoto. Los
registros de las grandes agitaciones son grabadas por el sismógrafo en el sismograma.
Los sismogramas utilizados por los ingenieros son los que miden los peak de aceleraciones
durante el terremoto. Un acelerómetro es definido como un sismógrafo de baja
magnificación que es especialmente diseñado para grabar las aceleraciones durante un
terremoto. Los acelerómetros más modernos usan un transductor electrónico que produce
unas salida de voltaje la cual es proporcional a la aceleración.
Como se ve en la figura 4.1. Notar que la velocidad y el desplazamiento son resultado de la
integración de la aceleración.
Figura 4.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento. La velocidad es obtenida al integrar la aceleración y el
desplazamiento es obtenido al integrar la velocidad.
amáx.
vmáx.
dmáx.
48
Los datos de la figura 4.1 fueron grabados el 09 de julio de 1985 en Santiago de Chile, los
gráficos indican lo siguiente:
1. Aceleración versus tiempo: La aceleración fue medida en una dimensión horizontal. El
máximo valor de la aceleración es conocido como amáx el cual comúnmente es
concebido como “peak” de la aceleración, en este caso es de 140,744 cm/s 2 como se
muestra en la figura 4.1. Este valor máximo ocurre en el tiempo 15.56 seg. después de
comenzada la grabación. Comúnmente la aceleración es representada como una
fracción de la aceleración de gravedad correspondiente a 981 cm/s 2 . Esta aceleración es
obtenida haciendo 140,744/981, así el peak de aceleración en función de la aceleración
de gravedad es 0,143g.
2. Velocidad versus tiempo: la velocidad horizontal se obtiene integrando la aceleración
horizontal. La máxima velocidad vmáx es 23,19 cm/s 2 y ocurre a 17,7 seg. de comenzado
el registro como se muestra en la figura 4.1.
3. Desplazamiento versus tiempo: el último grafico muestra el desplazamiento horizontal
de la superficie de la tierra con respecto al tiempo. Este desplazamiento es obtenido
integrando el registro de velocidad. El máximo desplazamiento horizontal dmáx es de
9.481 cm. y ocurre a 9.26 seg. de comenzado el registro como se muestra en la figura
4.1.
Los registros que se toman comúnmente son de desplazamiento, velocidad y aceleración.
De estos registros los parámetros más importantes para la Ingeniería Sísmica son la
Amplitud, la frecuencia y la duración del registro (Baker, 2007). El registro de
aceleraciones es el de mayor importancia por la cantidad de información que posee y por su
fácil integración para obtener velocidades y desplazamientos.
49
En la figura 4.2 se pueden apreciar las aceleraciones en tres direcciones, dos horizontales y
una vertical del sismo registrado en Valparaíso en 1985.
Figura 4.2. Gráficos de aceleraciones registradas en el sismo de Valparaíso, Chile el 3 de Marzo de 1985. Las
figuras a y b corresponden a las aceleraciones horizontales y la figura c a la aceleración vertical.
a)
b)
c)
50
Parámetros Importantes.
Los parámetros más importantes de un registro sísmico para la ingeniería estructural son:
1. Frecuencia
2. Amplitud
3. Duración
4. Peaks
1. Frecuencia.
El término “frecuencia”, en un registro de aceleraciones sísmicas, es usado para referirse a
la frecuencia principal de aceleración terrestre que está presente durante el sismo.
Generalmente existen varias frecuencias presentes en la aceleración de un fenómeno
sísmico, pero la mayoría de las veces una domina sobre las otras en su prolongación o
valor.
Contenido de Frecuencia
La gran mayoría de las estructuras poseen una respuesta dinámica frente a las fuerzas que
las excitan bajo ciertas frecuencias. Por ejemplo, los terremotos producen cargas
complicadas con componentes de movimiento que varían en un gran rango de frecuencias.
El rango de frecuencias es conocido también como contenido de frecuencias y corresponde
al conjunto de las frecuencias presentes en la señal. Desde el punto de vista de la ingeniería
sísmica o estructural el conocer el contenido de frecuencias de una señal sísmica es de gran
importancia, puesto que dependerá de ello el saber el comportamiento dinámico básico
51
del suelo y posteriormente su caracterización. Para un estudio del comportamiento
frecuencial a través del tiempo de registros de aceleraciones obtenidos de señales sísmicas
y de registros de estructuras se propone el uso de espectros wavelet.
2. Amplitud
La amplitud de un registro, en particular un registro de aceleraciones, va indicando las
máximas aceleraciones que se pueden encontrar en el tiempo. Estos valores carecen de
importancia a menos que sean repetitivos y conduzcan a un comportamiento de resonancia.
3. Duración
La duración de un sismo es de carácter importante, la prolongación en el tiempo de las
frecuencias genera mayor riesgo de caer en resonancia a estructuras que poseen una
frecuencia natural similar a la frecuencia generada por el sismo.
4. Peak de Aceleración
Como se indica en la figura 4.1, los grandes movimientos causados por terremotos son
generalmente caracterizados en términos de desplazamiento, velocidad y aceleración de la
superficie. En ingeniería se usa más frecuentemente la aceleración que la velocidad y el
desplazamiento, porque ésta, está directamente relacionada con las fuerzas dinámicas que
inducen el terremoto en el suelo. Las aceleraciones generadas son verticales y horizontales,
pero las horizontales dominan en su magnitud sobre las verticales (Day, 2002) por lo cual
cuando se habla del “Peak de aceleración” siempre se estará aludiendo a la aceleración
horizontal.
El Peak de aceleración corresponde al más alto valor absoluto de aceleración alcanzado en
el historial de tiempo y este valor puede variar de una estación de registro a otra, por
ejemplo para el sismo de Kobe 1995 en la figura 4.3 se muestra el registro de 15 estaciones
52
ubicadas en un rango de 0,3 a 119,6 Km. del epicentro.
Figura 4.3. Variación de los Peaks de Aceleraciones para 15 estaciones que registraron el terremoto de Kobe
1995, Japón.
Debido a que determinar los acontecimientos sísmicos, en el tiempo, es aún imposible, la
determinación de las aceleraciones toma un papel fundamental para mitigar los daños
estructurales que provocan los movimientos terrestres. Conocido el peak de aceleración se
pueden determinar las fuerzas actuantes sobre las estructuras y diseñarlas para que la
soporten.
Para este sismo los Peaks de aceleraciones registrados en las estaciones variaban en un
rango de 0.06g en la estación TOT hasta 0.61g en la estación Takatori. Estas variaciones en
las aceleraciones y en la frecuencia se producen por los cambios de tipo de suelo y de la
humedad existente en ellos y de la distancia al epicentro (Stojanovi et al, 1999).
En general, de las tres aceleraciones, dos horizontales y una vertical, que se registran
habitualmente, las menos importante para la ingeniería estructural corresponde a la
aceleración vertical, puesto que es la que menos daños provoca a las estructuras ya
53
que el margen de seguridad utilizado para soportar las fuerzas estáticas verticales provee
una adecuada resistencia para soportar las fuerzas dinámicas verticales. Generalmente para
el cálculo estructural, el peak de aceleración vertical es considerado como dos tercios del
peak de aceleración horizontal (Newmark et al, 1982).
5. Prolongación de Peaks de Aceleración.
Según investigaciones realizadas acerca de la sismicidad de la zona central de Estados
Unidos (Nuttli, 1979) el sostenimiento de un peak de gran magnitud en el registro de
aceleraciones es capaz de provocar más daño estructural que si solo se produjera una sola
vez. En otras palabras, al reiterarse un peak de tres a cinco veces seguidas (ciclos
continuos) existirán mas estructuras que sufrirán daños puesto que existen edificaciones
que requieren la existencia de más de un peak para dañarse.
Obtención de Parámetros
La obtención de registros sísmicos se realizó a través de las páginas web de las bases de
datos sísmicas siguientes: Cosmos Virtual Data Center, USGS, EMSC y RENADIC (ver
web links citados en Bibliografía). Los registros se analizaron con el programa
wavelet_FE.mat creado en el programa MatLab y basado en subrutinas contenidas en la
Wavelet Toolbox de MatLab para crear un espectro wavelet utilizando wavelets de
Daubechies de cuatro coeficientes y la comparación se hace creando un espectro de Fourier
de la señal con la transformada rápida de Fourier compilada también en MatLab.
54
1. Valparaíso 1985, Chile. Estación “La Ligua”. Orientación 200°.
2. Michoacán 1985, México. Estación “La Unión”. Orientación 0°.
3. Kobe 1985, Japón. Estación “Takatori”. Orientación
Señales registradas en el año 1985 para Chile, 1940 para El Centro, y 1995 para Japón.
55
Chile 1985:
El registro analizado corresponde al obtenido en el año 1985 en el sector de La Ligua,
Provincia de Petorca, Región de Valparaíso, a menos de 2 Km. del mar. Este registro no
corresponde a una réplica, sino, al movimiento principal. Fue registrado el 03 de Marzo de
1985 a las 22:47:07 UTC (UTC – Universal Time Coordinated). Las coordenadas de la
estación de registro fueron: Latitud: -32.6350 y Longitud: -71.6300 (ver figura E1). El
acelerómetro fue instalado en una zona de Roca volcánica.
Figura 4.4. Registro de Aceleraciones del terremoto de Valparaíso de 1985, en la Figura a) se aprecia el
registro de aceleraciones capturado en la estación La Ligua. En la figura b) se visualiza el espectro de Fourier
relacionando energía y frecuencia. En la figura c) se ve el espectro de Welch para la misma señal confirmando
las ubicaciones de alta energía.
a)
b)
c)
56
Este terremoto causo daños importantes en la zona central de Chile, incluyendo las
ciudades de San Antonio, Viña del Mar, Santiago, Rancagua y Valparaíso, esta última con
un registro de intensidad grado VIII en la escala de Mercalli. Este terremoto fue sentido en
una faja de 2000 km. Desde Copiapó hasta Valdivia detectándose además aumento de la
altura de las olas de marea en sectores tales como Hawái, Alaska, Tahití y Japón. (Ver Link
Citado en Bibliografía: Historic Earthquakes, Offshore Valparaíso, Chile)
El terremoto causo un total de 170 personas muertas, 2575 personas heridas, 45000 hogares
destruidos y 76000 gravemente dañados, resultando 372000 personas sin hogar en la zona
central de chile. Las pérdidas estimadas fueron de 1800 millones de dólares. Terremotos de
magnitud 6.6 le siguieron los días 17 y 19 de marzo, y un último “aftershock” de grado 7.5
el 9 de abril ubicado a 75 Km. al suroeste de Santiago. (Ver Link Citado en Bibliografía:
Historic Earthquakes, Offshore Valparaíso, Chile)
El aspecto del registro de aceleraciones del sismo de Valparaíso 1985 capturado en la
estación “La Ligua” es mostrado en la figura 4.4a. En este registro se obtuvo un peak de
aceleración de 130,71 cm/s 2 a los 30.3 seg. de comenzado el registro (ver circulo en figura
4.4). El registro presenta aceleraciones de mayor valor entre los 14 y 20 seg. y entre los 25
y 35 seg., predominando en este ultimo rango, pero conocer esto no es útil para identificar
en el tiempo los contenidos de frecuencias presentes. Las frecuencias de este registro se
pueden identificar solamente utilizando espectros. Los Espectros clásicos, como el de
Fourier, muestran la relación entre la Energía de la señal y la frecuencia a la cual se halla
esta energía. En la figura 4.4b se presenta el espectro de Fourier para el registro de
aceleraciones de la estación La Ligua. La determinación de los peaks de energía no es
certera cuando se analiza únicamente el espectro de Fourier puesto que existe “ruido”. No
existe una exacta definición de ruido, pero en análisis de señales puede definirse como: “Un
trastorno que afecta a una señal y que pueden distorsionar la información transportada
por la señal”. En los registros de aceleraciones de suelos los problemas de ruido suelen
deberse a la complejidad de la superposición de frecuencias debidas al sismo que capta el
acelerómetro durante el registro. En estructuras, los registro de aceleraciones son
“contaminados” con aceleraciones no relacionadas al sismo, tales como tránsito
57
de vehículos, viento y rompimiento de olas, etc., es por esto que en algunos casos puede ser
útil el uso del método de Welch (ver figura 4.4c).
De acuerdo al espectro de Fourier de la figura 4.4b el ancho de banda de frecuencias puede
ser considerado de interés entre los valores 3 Hz. y 6 Hz. Dentro de este ancho de banda
existe un peak de energía para 3.14 Hz. (ver circulo en figura 4.4b) coincidente con el peak
de energía presentado por el espectro de Welch de la figura 4.4c. Debe recordarse que este
peak no necesariamente corresponde exactamente a la frecuencia dominante de la señal,
debido a que el aumento de la energía también se ve influenciado por la amplitud que
alcanza la señal, pero sí se encuentra cercano a la frecuencia dominante de la señal.
La determinación de los instantes en que se registran las frecuencias dominantes se logra
generando espectros wavelet. En la figura 4.5 se presenta el espectro wavelet del registro
“La Ligua” el cual relaciona energía, frecuencia y tiempo, mencionados anteriormente.
La ubicación en el tiempo de las frecuencias dominantes de un registro sísmico terrestre
presenta cierta importancia para la ingeniería estructural y el diseño estructural puesto que
puede ser usada para determinar parámetros que se requieren conocer para el diseño tal
como la frecuencia de la fuerza excitadora, igual de importante es cuando la señal analizada
es el registro de movimiento de la estructura como se verá más adelante.
La eliminación de ciertos contenidos de frecuencias en la señal se hace necesario cuando
éstos contenidos de frecuencias comúnmente llamados “ruido” dificultan el análisis para
con las herramientas de tratamiento de señales. Desde el punto de vista del análisis de
señales sísmicas terrestres, los contenidos de frecuencias considerados como ruido son
encontrados por sobre los 20 Hz., sin embargo, al generar los espectros y visualizar sus
contenidos de frecuencias se decide aplicar un nuevo filtro, de ser necesario, sobre la señal
original, eliminando nuevos contenidos de frecuencias en ésta, transformándose en un
análisis de tipo retroalimentado.
Figura 4.5. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto de Valparaíso de 1985. Frecuencia de
muestreo 200 Hz.
De acuerdo al análisis efectuado sobre el registro de aceleraciones “La Ligua”, el espectro
de Fourier revela que el contenido de frecuencias dominantes se halla entre las frecuencias
1 y 5 Hz. contenido coincidente con el rango de frecuencias de la mayoría de los sismos,
rango ubicado entre los 0.1 y 10 Hz. (Jiménez, 2004)(Guada, 2000).
En la figura 4.5 muestra el espectro wavelet para el registro de aceleraciones sísmicas de
“La Ligua”, de inmediato se aprecia la participación de ciertas “frecuencias contaminantes”
o ruido en el rango [0,1] Hz. y mayor a 10 Hz. por lo cual se hace necesario aplicar un filtro
de contenido de frecuencias sobre la señal original como se muestra a continuación:
59
Figura 4.6. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto de Valparaíso de 1985 filtrado entre 1
Hz. y 5 Hz.
Figura 4.7. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto de Valparaíso de 1985 filtrado entre 2
Hz. y 4.7 Hz.
Figura 4.8 Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto de Valparaíso de 1985 filtrado entre 2
Hz. y 3.5 Hz. Ultimo ancho de banda propuesto para la determinación de la frecuencia dominante del registro.
60
En la figura 4.6 se puede apreciar el registro de aceleraciones filtrado, eliminando
contenidos de frecuencias menores a 1 Hz. y mayores a 5 Hz., Claramente se visualiza que
el contenido de frecuencias asociado a la mayor concentración de energía está ubicado en la
frecuencia de 2.46 Hz.
Al efectuar un nuevo filtrado sobre la señal original, pero esta vez conservando las
frecuencias entre los 2 y los 4.7 Hz. se obtiene el espectrograma de la figura 4.7 en la cual
claramente vuelve a aparecer el peak de energía anterior. Es importante indicar que las
frecuencias entre los 2 y 4.7 Hz se encuentran durante gran parte del registro y se
encuentran asociadas en su mayoría a los mayores valores de aceleraciones registradas.
Para dar una mayor acotación al valor del peak de energía, se aplica un filtro sobre la señal
original, conservando un ancho de banda entre 2 y 3.5 Hz. El espectrograma wavelet
resultante para este caso se muestra en la figura 4.8, en el cual se aprecia que el peak de
energía que aparece en los filtrados anteriores sigue presente, y la continuidad del rango de
frecuencia presente en el espectro de la figura 4.5 se sigue presentando en la figura 4.8, lo
cual indica que este ultimo acotamiento contiene la especifica frecuencia dominante del
registro.
Otro aspecto importante que es posible obtener del espectrograma wavelet corresponde a la
posibilidad de ubicar en el tiempo o transcurso del registro los contenidos de frecuencias
presentes en el registro. Al analizar más detalladamente el espectro de la figura 4.8 se halla
que la frecuencia dominante presente en el ancho de banda de 2 a 3.5 Hz posee cantidades
importantes de energía a los 17.5, 27.5, 36 y 30.5 segundos de comenzado el registro
indicando claramente la aparición de frecuencias en el ancho de banda indicado
anteriormente.
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México 1985:
Registrado el día 19 de Septiembre de 1985, este gran terremoto dejo al menos 9500
personas fallecidas, 30000 heridos y más de 100000 damnificados con grandes daños en
partes de Ciudad de México y muchos estados de México central, causando un total de
4000 millones de dólares en daños (USGC, Historic Earthquakes, Ver Bibliografía Web).
Este terremoto provoco el colapso de 420 edificios y serios daños estructurales en 3124
edificios en Ciudad de México. La máxima intensidad modificada de Mercalli fue IX en
Ciudad de México, Ciudad Guzmán y las Ciudades de Lázaro, Cárdenas, Ixtapa y la Unión,
estas últimas ubicadas en la costa Pacífica. Este sismo también produjo un tsunami,
detectado en Hawái, Tahití y la costa de México, reportándose grandes olas de hasta 30
metros de altura mar adentro (USGC, Historic Earthquakes, Ver Bibliografía Web).
La gran mayoría de los edificios que fueron dañados en Ciudad de México tenían entre 8 y
18 pisos de altura indicando posibles efectos de resonancia, siendo el que más daño ha
causado en la historia a Ciudad de México (Aproximadamente a 430 Km. del epicentro). Su
epicentro se ubico en la zona de subducción de la Placa “Cocos”. El mayor daño dentro de
Ciudad de México ocurrió a aquellos edificios que estaban cimentados en los 39 a 50
metros de suelo arcilloso, el cual está contenido en una parte de la ciudad conocida hoy
como “Lake Zone” (Stone et al, 1987). Debido a que el epicentro del terremoto fue tan lejos
de la Ciudad de México, el peak de aceleración registrado en los ramales cortos de las
cadenas montañosas de la Ciudad de México fue alrededor de 0.04g (Chavez et al, 1989).
Sin embargo el peak de aceleración en la “Lake Zone” fue cinco veces más grande que en
lugar rocoso (Kramer, 1996). En adición a esto, los periodos característicos del sitio fueron
estimados en 1.9 a 2.8 segundos (Stone et al, 1987). Este periodo de vibración del terreno
tiende a ser el mismo periodo natural de vibración de las estructuras más altas, en rango de
5 a 20 pisos.
Las coordenadas del epicentro fueron 18.081 Latitud Norte; 102.942 Longitud Oeste, con
62
una profundidad focal de 15 Km., a casi 7 Km. de la costa de Michoacán. Las estaciones en
ese momento estaban ubicadas en la costa de México en un rango de distancia al epicentro
entre 20 Km. y 380 Km.
El incremento del peak de aceleración terrestre y el efecto de resonancia causo mucho daño
o el colapso de los edificios más altos.
El registro representativo a analizar corresponde al obtenido en la estación ubicada en “La
Unión” con coordenadas 17.982N; 101.805º, (ver figuras E2 y E3). La frecuencia de
muestreo fue de 200 Hz. El peak de aceleración del registro fue 165,57 cm/s 2 a los 23.68
seg. de comenzado el registro (ver figura 4.9). El ancho de banda de frecuencias es posible
determinarlo a través del espectro de Fourier y un buen intervalo corresponde al
comprendido entre 0 y 10 Hz. El peak de energía de este espectro está asociado a una
frecuencia de 1.71 Hz. respaldado por la densidad espectral del Welch.
Figura 4.9. Registro de Aceleraciones del terremoto de México de 1985, en la Figura a) se aprecia el registro
de aceleraciones capturado en la estación La Unión. En la figura b) se visualiza el espectro de Fourier
relacionando energía y frecuencia. En la figura c) se ve el espectro de Welch para la misma señal confirmando
las ubicaciones de alta energía.
a)
b)
c)
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Para el registro de la estación “La Unión” se genero el espectro wavelet de la figura 4.10, el
cual muestra el contenido de frecuencias completo del registro sin filtrar. El rango de
frecuencias que presenta el espectro va desde los 0,55 Hz. hasta los 10,20 Hz.
Así como para un espectro de Fourier, la determinación de las frecuencias dominantes de
un registro en un espectro wavelet se debe hacer ubicando las mayores concentraciones de
energía. La diferencia radica en la posibilidad de ubicar estos contenidos de frecuencias a
través del tiempo como se indico anteriormente.
El espectro wavelet de la figura 4.10 presenta concentraciones de energía considerables
entre los 10 y 31 segundos a partir de comenzado el registro. La continua aparición de
ciertos contenidos frecuenciales dentro del espectro es una característica imposible de
determinar únicamente con el espectro de Fourier. El espectro de la figura 4.10 presenta
una concentración de energía repetitiva bajo una frecuencia asociada a la frecuencia 1,43
Hz. Estas concentración de energía están ubicadas en las muestras numero 2307, 3618,
4862 y 6228, asociadas a los tiempos 11.53, 18.09, 24.31 y 31.14 segundos
respectivamente.
Un análisis con un acotamiento de frecuencias del registro de la “La Unión” se presenta en
la figura 4.11, en la cual se le ha pasado por un filtro de bandas eliminando las frecuencias
menores a 0.9 Hz. y mayores a 3 Hz. El espectrograma presentado vuelve a reflejar la
energía de la frecuencia 1.43 Hz. y sus cuatro apariciones importantes. Finalmente a modo
de comprobación en la figura 4.12 se presenta la señal original con un filtro entre 1.0 Hz. y
1.8 Hz. apareciendo nuevamente los peaks asociados a la frecuencia de 1.43 Hz. y su
reiterada aparición durante 20 segundos.
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Figura 4.10. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro sin aplicación de filtros.
Figura 4.11. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro filtrado entre 0.9 Hz. y 3 Hz.
Figura 4.12. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro filtrado entre 1.0 Hz. y 1.8 Hz.
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Kobe 1995
El día 19 de Enero de 1995, se produjo un terremoto de aproximadamente 20 segundos de
duración y una intensidad de 7.2 en la Escala de Richter (JMA) denominado terremoto de
Kobe 1995 o Gran terremoto de Hanshin-Awaji, con epicentro en el extremo norte de la isla
Awaji, a 20 Km. de Kobe, Japón.
Para este terremoto, se registraron aproximadamente 5.200 muertes y 36.896 heridos,
dejando a más de 750.000 personas sin hogar y más de 200.000 edificios dañados. La
pérdida total estimada fue alrededor de 200 billones de dólares, de orden similar al
terremoto de Northridge, California, 1994 (Somerville, 1995). El periodo del sismo fue
extenso, producido por el desplazamiento de la falla de Nojima de 9 Km. (ver figura 4.13)
de largo ubicada en el borde de la isla de Awaji y extendiéndose bajo la ciudad de Kobe
(ver figuras E4 y E5). Se registró un desplazamiento lateral máximo de 1.7 metros y un
desplazamiento vertical máximo de 1.3 metros. (USGC, Historic Earthquakes, Ver
Bibliografía Web).
Al igual que ciudad de México, parte el suelo de la ciudad de Kobe está formado por suelos
blandos, donde éstos amplifican lo movimientos del suelo (ver figura E6). El Peak de
Aceleración registrada para este sismo fue de 832 cm/s 2 valores registrados entre ciudad de
Kobe y Nishinomiya y el Peak de velocidad de 55 cm/s en la estación de la Universidad de
Kobe
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Figura 4.13. Ubicación geográfica de la isla de Awaji, la falla de Nojima y el epicentro del terremoto de Kobe
con respecto a Ciudad de Kobe. Coordenadas del Epicentro 34.6N, 135E a 10 Km. de Profundidad.
Se analizó la señal de la estación Takatori ubicada a 1.5 Km. del epicentro, ubicada en la
isla Awaji, Japón. La señal consiste en un registro de 40.96 segundos de duración con una
frecuencia de registro fs = 100 Hz. (4096 muestras). Visualmente el contenido de
frecuencias importante del registro se encuentra en los primero 20 segundos de éste. El
Peak de Aceleración en este registro corresponde a 0,61g ubicado a los 5,77 seg.
presentándose tan solo una vez durante todo el registro (ver figura 4.14)
Kobe
Epicentro
Kobe
Epicentro
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Figura 4.14. Registro de Aceleraciones de la estación Takatori para el terremoto de Kobe 1995.
Al analizar el registro de aceleraciones con el espectro de Fourier (ver figura 4.15) se
identifica el rango de frecuencias dominantes del registro, hallándose el peak de energía
entre los 0.5 Hz. y 1.0 Hz. El espectro de Welch según la figura 4.15 corrobora la existencia
de estos peaks de energía.
Figura 4.15 Espectro de Fourier (superior) y de Welch (inferior) para el registro de la estación Takatori,
terremoto de Kobe 1995.
Al realizar un análisis del registro utilizando la transformada wavelet de Daubechies con 4
coeficientes se obtiene el espectro wavelet de la figura 4.16, en el cual se aprecia
claramente entre las 200 y 1500 muestras (2 y 15 segundos de comenzado el registro) altos
niveles de energía (Toda et al, 1998) asociados a frecuencias en el rango que va desde los
0.4 Hz a los 2.65 Hz.
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La gran concentración de energía (en color rojo) asociada a la muestra n° 567 (5.67
segundos de comenzado el registro) se debe en gran parte a la máxima amplitud de
aceleración del registro en ese instante. Un espectro basado en un filtrado de la señal se
presenta en la figura 4.17. El filtro aplicado elimina las frecuencias menores a 0,4 Hz.