Evaluación de la estabilidad de taludes cohesivos de pie1

Julio Cesar Quiroz Vaca2

Profesor Universitario e Ingeniero Civil

Santa Cruz, 3 de junio del 2015

Resumen

Los métodos para determinar el factor de seguridad de taludes simples homogéneos se basan en

técnicas relativamente complejas fundadas en gráficos, a través de ábacos y la consulta de tablas.

En esta investigación se plantea un método alternativo relativamente simple fundado en la

estimación de una ecuación polinómica de grado tres. Esta ecuación es el resultado de un ajuste

por mínimos cuadrados de las observaciones producidas como soluciones exactas mediante los

métodos analíticos de Taylor y Fellenius para taludes cohesivos. Estas observaciones se refieren

al ángulo central (θ) y al ángulo de la cuerda (α), evaluados ambos, en función de la inclinación

del talud (β). Las ecuaciones estimadas permiten evaluar de forma sencilla, los datos necesarios

para encontrar el factor de seguridad del talud de una forma rápida y práctica. En efecto, para la

evaluación de la seguridad del talud es posible emplear el método de nuestra preferencia

(Fellenius por ejemplo, denominado también, método sueco de las dovelas y/o bishop

simplificado). La ecuación así propuesta es aplicable al caso de taludes homogéneos sin

filtraciones y con ángulo de fricción nulo (φ = 0). La validación de la ecuación propuesta se

realizó mediante la comparación con la solución exacta, logrando excelentes resultados.

Palabras Claves: ábaco de Taylor, ajuste por mínimos cuadrados, círculo de falla, estabilidad de

taludes homogéneos, método de Fellenius.

1. Introducción

Para taludes en suelo arcilloso homogéneo (condición no drenada), Fellenius ha extraído algunas

conclusiones de carácter general como resultado de un gran número de aplicaciones del

procedimiento de las dovelas. En la Tabla 1 aparece un aspecto de sus investigaciones; en dicha

tabla se definen algunos círculos críticos por los pies del talud en suelos puramente "cohesivos",

correspondientes a ángulos de talud β menores a 60o, frecuentes en la práctica. Las letras tienen

el sentido que se desprende de la Figura 1.

1 Primer artículo de investigación presentado al programa de Doctorado en Ciencia y Tecnología de la Unidad de

Postgrado de la Facultad de Tecnología de la UAGRM. 2 Master en Ingeniería del Agua. Universidad Juan Misael Saracho, Tarija, Bolivia.

2

Tabla 1. Suelos puramente cohesivos (cohesión C ≠ 0; φ = 0) (Ref. 5)

Talud V:H β(Grados) α1(Grados) α2(Grados)

1:0.58 60.00 29 40

1:1.00 45.00 28 37

1:1.50 33.8 26 35

1:2.00(o mayor) 26.6(o menor) 25 35

Figura 1. Talud de suelo homogéneo cohesivo (ángulos α1 y α2)

Con los datos de la Tabla 1 (α1 y α2) y H (altura del talud), se puede calcular el radio (R), el

ángulo central (θ) y el ángulo de la cuerda (α), de acuerdo a la Figura 2. Queda así determinado

el centro de la circunferencia (Xc, Yc ubicado en "o") con lo que encontramos el factor de

seguridad del talud (Fs).

Figura 2. Talud de suelo homogéneo cohesivo (ángulos α y θ)

Para ángulos de talud mayores a 53o, el círculo crítico es siempre un círculo de pie. La

localización del centro del círculo de pie se encuentra con ayuda de la Figura 3.

3

Figura 3. Localización del centro de los círculos críticos para β>53o (Ref. 9)

Los análisis de estabilidad de taludes en suelos "cohesivos" homogéneos en el cuerpo de talud y

en el terreno de cimentación han demostrado (Taylor) que la "cohesión" necesaria para garantizar

la estabilidad de un talud de inclinación se calculan aplicando la ecuación (1).

𝑐 = 𝑁𝑒𝛾𝑚𝐻; (1)

donde:

𝛾𝑚: peso específico del suelo que forma el talud y el terreno de cimentación (KN/m3);

H: altura del talud (m);

c: cohesión del suelo (Kpa);

Ne = indicador de estabilidad del talud.

Vale la pena aclarar que Ne es una función de la inclinación, β, del talud, cuando el círculo más

crítico posible pasa por el pie de talud.

Puede demostrarse que el valor β = 53o es una frontera de interés, de modo que si β > 53o la

superficie de falla más crítica posible pasa siempre por el pie del talud. Si β < 53o el círculo más

crítico se presenta delante del pie del talud, produciéndose una falla de base.

Para encontrar el círculo más crítico posible es preciso buscar aquel círculo que en el cálculo, de

un factor de seguridad (Fs) mínimo.

Según la definición del indicador de estabilidad usado por Taylor, el factor de seguridad puede

evaluarse según la ecuación (2).

𝐹𝑠 =𝑁𝑒𝑐

𝛾𝑚𝐻; (2)

4

donde Fs es el factor de seguridad del talud analizado en términos de "cohesión".

La experiencia permite considerar a 1.5 como un valor de factor de seguridad compatible con

una estabilidad práctica razonable. Debe entonces, cumplirse para la superficie hipotética

seleccionada, FS > 1.5.

Taylor presenta dos ábacos, uno para φ = 0, donde se puede hallar el indicador (número) de

estabilidad y luego el factor de seguridad directamente (según las ilustraciones de la Figura 4), y

el otro ábaco para φ > 0, que requiere de iteraciones para encontrar el factor de seguridad.

Figura 4. Abaco de Taylor (Ref.10)

2. Formas conocidas de evaluación del factor de seguridad

En esta sección se presenta las fórmulas para evaluar el factor de seguridad siguiendo el método

de los momentos en la primera, y de las dovelas, en el segundo.

El Método Sueco.

Es un procedimiento de análisis de estabilidad respecto a la falla por rotación, en los que se

considera que la superficie de falla es un cilindro, cuya traza con el plano en el que se calcula es

un arco de circunferencia. Existen varios procedimientos para aplicar este método a los distintos

tipos de suelo, a fin de ver si un talud dado tiene garantizada su estabilidad.

Procedimiento 1. Método de los momentos.

El factor de seguridad viene dado por la ecuación (3).

5

m

Rs

M

MF ; (3)

donde:

MR: momento resistente;

Mm: momento actuante o motor.

Para suelos puramente cohesivos se tiene los parámetros, definidos como sigue: (φ = 0, c ≠ 0);

mientras que el factor de seguridad se calcula según (4).

Wd

cLRFs ; (4)

donde estos parámetros definidos como sigue, vienen ilustrados en la Figura 5:

c: cohesión (KN/m2);

L: longitud del arco del circulo;

R = radio del circulo;

W: peso del suelo;

d: brazo de palanca.

Figura 5. Evaluación del factor de seguridad por los momentos

Procedimiento 2. Método de las dovelas.

Podemos también calcular el factor de seguridad por el método ordinario de las dovelas, donde la

fórmula viene dada por la ecuación (5).

6

ni

i

ii

ni

i

iiiii

W

luWlc

FS

1

1

))sin((

))tan()cos((

(5)

Como en el caso de los taludes cohesivos se tiene u = 0 y φ = 0, (5) se transforma en (6).

T

cL

W

lc

FSni

i

ii

ni

i

i

1

1

))sin((

)(

; (6)

donde:

c: cohesión;

L: longitud del arco;

mientras que T responde a la ecuación (7).

T =

ni

i

iiW1

))sin(( ; (7)

donde:

βi: ángulo de cada dovela con respecto a la horizontal;

T: fuerza tangencial a cada dovela3.

3. Fundamentación del método alternativo de evaluación

Taylor y Fellenius realizaron y publicaron un gran volumen de investigación en el tema de la

estabilidad de taludes con la intención de evitar a los proyectistas el trabajo largo y tedioso del

cálculo del factor de seguridad por tanteos. Como ya expuesto, Taylor presenta ábacos gráficos

de fácil manejo para encontrar el indicador (número) de estabilidad para cualquier inclinación de

talud, con el que se puede calcular el factor de seguridad. Fellenius presenta los datos resumidos

en la Tabla 1. Con esos datos podemos encontrar las coordenadas del centro y el radio del

círculo crítico o de falla del talud para taludes de inclinación menor a los 60o, válido tan sólo,

para algunas inclinaciones de los taludes más usuales. De esta manera, si queremos encontrar

datos para el círculo de falla del talud para inclinaciones mayores a los 60o tenemos que acudir a

un ábaco grafico (como el de la figura 3 y referencia 9).

3 El lector encuentra una explicación detallada de este procedimiento en la referencia 5 de la bibliografía.

7

En síntesis, Fellenius y Taylor desarrollaron fórmulas analíticas complejas difícilmente

aplicables en situaciones de la práctica, para la estimación del factor de seguridad. Por esta

razón, los proyectistas utilizan los métodos gráficos y de ábaco, previamente descritos en este

documento. De esta manera, fruto de esta investigación, se propone un método de evaluación del

factor de seguridad mediante ecuaciones sencillas estimadas mediante una regresión de mínimos

cuadrados. Este análisis de regresión ha sido realizado sobre las observaciones generadas por las

complejas fórmulas analíticas de estos autores encontrando que el ajuste es en un caso, igual al

100%.

4. La ecuación propuesta

Como señalado, el punto de partida de la fórmula propuesta son los valores obtenidos al aplicar

las ecuaciones de Fellenius y Taylor para círculos de pie de talud. En efecto, al ir variando el

ángulo del talud, (β desde 2o a 90o), se obtienen los ángulos θ y α, (ángulo central y ángulo de la

cuerda del círculo respectivamente). Estos valores se obtienen minimizando estos ángulos con la

finalidad de reducir al mínimo posible, el factor de seguridad. Con estos valores se realiza un

ajuste de la curva por mínimos cuadrados de manera a obtener una ecuación θ = f(β) y α = f(β),

lo que nos permite encontrar en forma rápida el círculo crítico de falla (el radio y las

coordenadas del centro del círculo) de un talud homogéneo.

Según lo expuesto, Taylor propone unos ábacos para evaluar un indicador (número) de

estabilidad que luego nos da el factor de seguridad directamente. En esta investigación se utiliza

dicho método no para hallar el indicador (número) de estabilidad, sino para hallar los

componentes del círculo para así poder calcular el factor de seguridad del talud.

En cuanto al método analítico de Fellenius, se lo emplea para verificar que cada uno de los

valores utilizados dé los mismos resultados.

Dicho esto, las ecuaciones propuestas tienen la forma que sigue en (8) y en (9).

α = -0.449912 + 0.784997β - 0.00383424β2 + 0.0000115362β3 ; (8)

con un coeficiente de determinación igual a 99.9997%, (R2 = 0.9999); mientras que la prueba de

Durbin Watson aplicada a los erores de la ecuación (8) arroja un valor igual a 2.38, (4-2.38 =

1.62); con un nivel de significación del 5%, el estadístico se encuentra en la zona de

indeterminación de la prueba, (Dl=1.58), (Du=1.73).

θ/2 = 66.7275 - 0.357528β - 0.00298295β2 + 0.00000634349β3; (9)

con un coeficiente del 100% (R2 = 1); mientras que la prueba de Durbin Watson aplicada a los

erores de la ecuación (9) arroja un valor igual a 1.596; con un nivel de significación del 5%, el

estadístico se encuentra igualmente, en la zona de indeterminación de la prueba, (Dl=1.58),

(Du=1.73).

8

Salvo por el Durbin Watson, los indicadores de la bondad del ajuste como el coeficiente de

determinación, estarían indicando que el ajuste es completo, en el segundo caso, y cuasi

completo, en el primero.

Para controlar la validez del modelo empleamos la solución exacta de los ángulos de inclinación

de taludes más comunes en la práctica, obteniendo los resultados de la Tabla 2.

Tabla2. Comparación de resultados (en grados sexagesimales)

Solución exacta Fellenius,

Taylor

Formulas propuestas

β θ α θ α

90.00 30.022 47.554 30.025 47.552

80.00 44.574 43.713 44.554 43.717

70.00 58.518 39.668 58.520 39.669

60.00 71.806 35.344 71.815 35.338

45.00 90.352 28.175 90.353 28.162

35.00 101.674 22.843 101.564 22.823

25.00 112.066 17.003 112.048 16.959

En la primera columna de la Tabla 2 aparece la variable independiente 𝛽, en función de la cual

se evalúan las funciones. En las siguientes dos columnas se tiene los valores exactos del ángulo

central (θ) de la circunferencia y del ángulo de la cuerda (α), calculados según las fórmulas

propuestas por Fellenius y Taylor; mientras que en las siguientes dos columnas se observa que

los valores que da la fórmula propuesta son muy aproximados a la solución exacta.

En la Figura 5 se observa la relación entre las variables donde la solución exacta corresponde a

un ángulo del talud (β) igual a 60.51o y un valor de α = θ/2 = 35.57. A modo de comprobación

aplicamos la fórmula propuesta de acuerdo a lo que sigue:

α = -0.449912 + 0.784997(60.51) - 0.00383424(60.51)2 + 0.0000115362(60.51)3=35.57

θ/2 = 66.7275 - 0.357528(60.51) - 0.00298295(60.51)2 + 0.00000634349(60.51)3=35.58

Se demuestra así, que las ecuaciones propuestas(35.57 y 35.58) son muy aproximadas a la

solución exacta (35.572o).

9

Figura 5. Evaluación α y θ/2 en función de β

5. Cálculo del factor de seguridad

En esta sección se utiliza las fórmulas propuestas para evaluar el factor de seguridad según los

métodos expuestos para los datos que figuran a continuación.

c = 40 KN/m2

ϒm = 17 KN/m3

H = 5 m.

β = 60o

Procedimiento 1. Método de los momentos.

De acuerdo a la ecuación (8) tenemos:

α = -0.449912 + 0.784997 (60) - 0.00383424(60)2 + 0.0000115362(60)3=35.338

Según la ecuación (9):

θ =2( 66.7275 - 0.357528(60) - 0.00298295(60)2 + 0.00000634349(60)3)=71.815

Sabiendo que WdMm , calculando Wd en función de los ángulos β, α, y θ tenemos:

)

2

815.71cot()338.35cot(3)

2

815.71cot()60cot(3)338.35cot()60cot(3)60(cot21

12

)5)(17( 23

Wd

Mm = Wd = 1102.765 KN.m

37.7)2

815.71csc()338.35csc(

2

5

R m

10

mRL 237.9)180

)(815.71(37.7)(

MR = c L R = (40)(9.237)(7.37) = 2723.108 KN.m

De acuerdo a ecuación (3) y (4) se tiene:

47.2765.1102

108.2723

m

R

M

MFS

Según el valor encontrado podemos decir que el talud es estable puesto que 2.47 > 1.5.

Procedimiento 2. Método de las dovelas.

Con este método podemos llegar al mismo resultado. Para ello necesitamos conocer las

coordenadas del centro del círculo y el radio. Para calcular el centro necesitamos previamente

conocer el ángulo ( ) que forma la cuerda con el radio que está en función del ángulo central:

oaa 093.54

)2

815.71sin(2

)815.71sin(sin

)2

sin(2

)sin(sin

mXc 073.0)338.35093.5490sin(37.7

mYc 369.7)338.35093.5490cos(37.7

R = 7.37 m

Con el centro del círculo (Xc, Yc) y el radio (R), calculamos el factor de seguridad, igual a 2.46,

con la ayuda de una planilla realizada en Microsoft Excel4

Se observa que por cualquiera de los 2 métodos de cálculo, el factor de seguridad es

prácticamente el mismo (2.47 y 2.46, respectivamente); la pequeña diferencia es debido a que en

el método de las dovelas se descompone el círculo en segmentos los que nos permite hallar el

valor de la longitud del arco (L = 9.16 m.), en forma aproximada, lo que origina la diferencia en

el valor del factor de seguridad.

4 Para más detalle ver Anexo 1

11

6. Conclusión

Con la aplicación de las fórmulas propuestas podemos calcular fácilmente el factor de seguridad

de un talud homogéneo cohesivo donde el círculo de falla pasa por el pie de talud como se ha

demostrado, sin tener que recurrir a tanteos. La fórmula es válida para taludes con inclinación

desde 2o a 90o.

Referencias

1.- M. J. Goodman, J. L. Chameau and C. W. Lovell (1983) "Design of compacted clay

embankments for improved stability and Settlement performance", Indiana department of

highways, joint highways research project, Purdue University.

2.- Dalim Kumar Majumdar (1964) "Simplified Approach to the Problem of Stability of Soil

Slopes Under Horizontal Earthquake and Pore Pressure", All Graduate Theses and Dissertations.

Paper 1586.Utah State University, Logan.

3.- JIANG, B. S., M. F. CAI, and A. Z. LV (2004) “Analytical Calculation of Slope Stability,”

Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, Vol. 23, No. 16, pp 2726-2729.

4.- Shuangshuang Xiao, Kemin Li, Xiaohua Ding, Li Ma and Tong Liu (2014) "Numerical

Calculation on Stability of Circular Slip Slopes", electronic journal of geotechnical engineering.

5.- JUAREZ BADILLO, RICO RODRIGUEZ (1981) "Mecánica de Suelos" , Editorial Limusa,

Tomo II, 3ra. Edición, México.

6.- Taylor Donald W.( 1937) , "Stability of Earth Slopes", Journal of the Boston Society of Civil

Engineers, Vol. XXIV, No3.

7.- W. Fellenius (1936) , “Calculation of the stability of earth dams”, In Transactions, 2nd

Congress on Large Dams, Washington, Vol. 4.

8.- Said M. Easa & Ali R.Vatankhah (2011), "Explicit Equation for safety factor of simple

slopes",www.arpapress.com/Volumes/Vol7Issue1/IJRRAS_7_1_11.pdf.

9.- Das, Braja M. (2001), "Fundamentos de ingeniería geotécnica", 1ra Edición, Thomson

Editores.

10.- Suarez Jaime (2014), "Deslizamientos: Análisis Geotécnico", Tomo 1, Edición electrónica,

Colombia.

12

Anexo 1