EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE … · 2010-11-23 · 52 EUSKAL ESTATISTIKA...
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52 EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE ESTADÍSTICA Muestreo Equilibrado Eficiente: El Método del Cubo Yves Tillé NAZIOARTEKO ESTATISTIKA MINTEGIA SEMINARIO INTERNACIONAL DE ESTADÍSTICA 2010
Transcript of EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE … · 2010-11-23 · 52 EUSKAL ESTATISTIKA...
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EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEAINSTITUTO VASCO DE ESTADÍSTICA
EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEAINSTITUTO VASCO DE ESTADÍSTICA
www.eustat.es
Muestreo Equilibrado Eficiente:El Método del Cubo
Yves Tillé
NAZIOARTEKO ESTATISTIKA MINTEGIASEMINARIO INTERNACIONAL DE ESTADÍSTICA
2010
Portada_Semimario_52.indd 1 07/10/10 16:12
Muestreo Equilibrado Eficiente:El Metodo del Cubo
Yves TilleInstitut de Statistique, Universite de Neuchatel
Pierre a Mazel 7, 2002 Neuchatel, Suiza
email : [email protected]
29 de septiembre de 2010
Lanketa / Elaboración:
Euskal Estatistika ErakundeaInstituto Vasco de Estadística (EUSTAT)
Argitalpena / Edición:
Euskal Estatistika ErakundeaInstituto Vasco de EstadísticaDonostia – San Sebastián, 1 – 01010 Vitoria – Gasteiz
Euskal AEko AdministrazioaAdministración de la C.A. de Euskadi
Ale-kopurua / Tirada:500 ale / ejemplares
XI-2010
Inprimaketa eta Koadernaketa:Impresión y Encuadernacion:Estudios Gráficos ZURE S.A.Ctra. Lutxana-Asua, 24 AErandio-Goikoa (BIZKAIA)
I.S.B.N.: 978-84-7749-465-2Lege-gordailua / Depósito Legal: BI-2699-10
III
AURKEZPENA
Nazioarteko Estatistika Mintegia antolatzean, hainbat helburu bete nahi ditu EUSTAT-Euskal Estatistika Erakundeak:
– Unibertsitatearekiko eta, batez ere, Estatistika-Sailekiko lankidetza bultzatzea.– Funtzionarioen, irakasleen, ikasleen eta estatistikaren alorrean interesatuta egon daitezkeen guz-
tien lanbide-hobekuntza erraztea.– Estatistika alorrean mundu mailan abangoardian dauden irakasle eta ikertzaile ospetsuak Eus-
kadira ekartzea, horrek eragin ona izango baitu, zuzeneko harremanei eta esperientziak ezagu-tzeari dagokienez.
Jarduera osagarri gisa, eta interesatuta egon litezkeen ahalik eta pertsona eta erakunde gehienetara iristearren, ikastaro horietako txostenak argitaratzea erabaki dugu, beti ere txostengilearen jato-rrizko hizkuntza errespetatuz; horrela, gai horri buruzko ezagutza gure herrian zabaltzen lagun-tzeko.
Vitoria-Gasteiz, 2010eko Urria
JAVIER FORCADA SAINZEUSTATeko Zuzendari Nagusia
PRESENTATION
In promoting the International Statistical Seminars, EUSTAT-The Basque Statistics Institute wishes to achieve several aims:
– Encourage the collaboration with the universities, especially with their statistical departments.– Facilitate the professional recycling of civil servants, university teachers, students and whoever
else may be interested in the statistical field.– Bring to the Basque Country illustrious professors and investigators in the vanguard of statis-
tical subjects, on a worldwide level, with the subsequent positive effect of encouraging direct relationships and sharing knowledge of experiences.
As a complementary activity and in order to reach as many interested people and institutions as possible, it has been decided to publish the papers of these courses, always respecting the original language of the author, to contribute in this way towards the growth of knowledge concerning this subject in our country.
Vitoria-Gasteiz, October 2010
JAVIER FORCADA SAINZGeneral Director of EUSTAT
IV
PRESENTACION
Al promover los Seminarios Internacionales de Estadística, el EUSTAT-Instituto Vasco de Esta-dística pretende cubrir varios objetivos:
– Fomentar la colaboración con la Universidad y en especial con los Departamentos de Estadística.– Facilitar el reciclaje profesional de funcionarios, profesores, alumnos y cuantos puedan estar
interesados en el campo estadístico.– Traer a Euskadi a ilustres profesores e investigadores de vanguardia en materia estadística, a nivel
mundial, con el consiguiente efecto positivo en cuanto a la relación directa y conocimiento de experiencias.
Como actuación complementaria y para llegar al mayor número posible de personas e Institucio-nes interesadas, se ha decidido publicar las ponencias de estos cursos, respetando en todo caso la lengua original del ponente, para contribuir así a acrecentar el conocimiento sobre esta materia en nuestro País.
Vitoria-Gasteiz, Octubre 2010
JAVIER FORCADA SAINZDirector General de EUSTAT
V
BIOGRAFI OHARRAK
Yves Tillé doktorea da Bruselako Unibertsitate Librean, estatistikan. 2001 ezkeroztik irakasle dihardu Suitzako Neuchâtel unibertsitatean. Inkesta-estatistika eta laginketaren teorian ari da ikertzen.
BIOGRAPHICAL SKETCH
Yves Tillé was awarded his pHD in Statistics by the Free University of Brussels. He has been a professor at Neuchâtel University in Switzerland since 2001. His fields of research are survey statistics and sampling theory.
NOTAS BIOGRÁFICAS
Yves Tillé ha logrado un doctorado en estadística de la Universidad libre de Bruselas. Desde 2001, es profesor en la Universidad de Neuchâtel en Suiza. Sus campos de investigaciones son la estadística de encuesta y la teoría del muestreo.
1
Indice general
1. Introduccion 3
2. Poblacion, diseno muestral, y estimacion 42.1. Poblacion finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Diseno del Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. El estimador de Horvitz-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Estimacion de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Mala propiedad del estimador de Horvitz-Thompson . . . . . . . . . . 72.6. El problema de los elefantes de Basu (1971) . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Muestreo simple 93.1. Muestreo simple sin reemplazamiento (o muestro aleatorio simple m.a.s.) 93.2. La varianza del diseno simple sin reemplazamiento . . . . . . . . . . . . 103.3. Algoritmo de seleccion-rechazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4. Disenos simples con reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5. Comparacion de los disenos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Estratificacion 144.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Poblacion y estratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3. Muestra, probabilidad de inclusion, estimacion . . . . . . . . . . . . . 154.4. Probabilidad de inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5. Plan estratificado con afijacion proporcional . . . . . . . . . . . . . . . 174.6. Diseno estratificado optimo para el total . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.7. Nota sobre la optimalidad en estratificacion . . . . . . . . . . . . . . . 204.8. Optimalidad y coste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.9. Tamano de muestra mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Muestreo con probabilidades desiguales 225.1. Informacion auxiliar y probabilidades de inclusion . . . . . . . . . . . . 225.2. Calculo de las probabilidades de inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3. Muestreo con probabilidades desiguales con reemplazamiento . . . . . . 235.4. Diseno de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5. Muestreo de entropıa maxima con tamano fijo . . . . . . . . . . . . . . 255.6. El diseno muestral sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
5.7. El metodo de escision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7.1. Escision en dos partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7.2. Escision en M partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7.3. Diseno con un soporte mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7.4. Escision en disenos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7.5. El metodo del pivote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7.6. Metodo de Brewer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.8. Varianza en disenos con probabilidades desiguales . . . . . . . . . . . . 32
6. Muestreo equilibrado 336.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2. Representacion por un cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3. Muestras equilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4. Representacion grafica del problema de redondeado . . . . . . . . . . . 356.5. La martingala equilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6. Implementacion de la fase de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.7. Implementacion de la fase de aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.7.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.7.2. Solucion 1: programa linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.7.3. Solucion 2: supresion sucesiva de variables . . . . . . . . . . . . 40
6.8. Varianza en un plan equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.8.1. Una tecnica de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.8.2. Aproximacion de la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.8.3. Estimacion de la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.9. Muestreo equilibrado en practica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.9.1. Interes de muestreo equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.9.2. Muestreo Equilibrado Contra Otras Tecnicas de Muestreo . . . 446.9.3. Eleccion de las variables de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 446.9.4. Equilibrio versus Calibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.9.5. Precision de las ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . 466.9.6. Principales Implementaciones de muestreo equilibrado . . . . . . 46
3
Capıtulo 1
Introduccion
Este pequeno libro ha sido escrito a raız de una invitacion al Instituto Vasco deEstadıstica. El objetivo era presentar el metodo del cubo para seleccionar muestrasequilibradas y de mostrar el interes del metodo. Sin embargo, he empezado por una pre-sentacion general de la teorıa de muestreo, con las definiciones del diseno de muestreo,del estimador de Horvitz-Thompson y su varianza. Tambien, he desarrollado dos capıtu-los sobre los disenos simples y estratificados ya que el muestreo equilibrado es unageneralizacion de estos disenos. El largo capıtulo sobre los disenos con probabilidadesdesiguales y el metodo de escision es una introduccion al metodo del cubo. En efecto,el metodo de escision es el caso particular del algoritmo de cubo cuando solamenteuna variable auxiliar proporcional a las probabilidades de inclusion es disponible. Elmetodo de escision es el que nos lleva a proponer el metodo del cubo.
Despues de esta larga introduccion, presentamos el metodo del cubo: el principiodel algoritmo, su implementacion, el calculo de las varianzas y sus estimaciones. Tam-bien hemos anadido una larga discusion sobre el interes del metodo, sus principalesaplicaciones, sus implementaciones y los limites.
4
Capıtulo 2
Poblacion, diseno muestraly estimacion
2.1. Poblacion finita
El objetivo es estudiar una poblacion finita U = {1, . . . , N} de tamano N . Lavariable de interes y toma el valor yk, k ∈ U. Queremos estimar una funcion de interesde los yk,
θ = f(y1, . . . , yk, . . . , yN).
Por ejemplo, el total o la media
Y =∑k∈U
yk, e Y =1
N
∑k∈U
yk.
porque se puede escribir
N =∑k∈U
1.
La varianza
σ2y =
1
N
∑k∈U
(yk − Y )2.
La cuasivarianza
S2y =
1
N − 1
∑k∈U
(yk − Y )2.
Existen funciones no lineales de los yk como un ratio
R =Y
X,
dondeX =
∑k∈U
xk.
Un ratio es una funcion no lineal de los valores yk. Existen tambien funciones mascomplejas como un coeficiente de correlacion, la mediana, o los coeficientes dedesigualdades.
5
2.2. Diseno del Muestreo
Una muestra s es un subconjunto de la poblacion s ⊂ U. Un diseno muestral p(s)es una distribucion de probabilidad sobre todas las muestras posibles
∑s⊂U
p(s) = 1.
La muestra aleatoria S toma el valor s con la probabilidad
Pr(S = s) = p(s).
Las variables indicadoras son definidas por :
Ik =
{1 si la unidad k ∈ S0 si la unidad k /∈ S.
La probabilidad de inclusion es la probabilidad que la unidad k sea seleccionada en lamuestra aleatoria :
πk = Pr(k ∈ S) =∑s�k
p(s) = E(Ik) = .
La probabilidad de inclusion de segundo orden es la probabilidad que dos unidadesdistintas sean seleccionadas conjuntamente en la muestra :
πk� = E(IkI�) = Pr(k y � ∈ S) =∑s�k,�
p(s).
Ademas
∆k� = Cov(Ik, I�)
{πk(1− πk) si k = �πk� − πkπ� si k �= �
Si el diseno muestral es de tamano fijo, entonces
∑k∈U
πk = n.
En effecto,∑k∈U
πk =∑k∈U
E(Ik) = E
(∑k∈U
Ik
)= E(n) = n.
Ademas, es posible demostrar que, para un diseno muestral de tamano fijo,
∑�∈U
πk� = nπk con πkk = πk.
6
2.3. El estimador de Horvitz-Thompson
El estimador de Horvitz-Thompson para el total viene dado por
Yπ =∑k∈S
ykπk
,
y para la media
Y π =1
N
∑k∈S
ykπk
.
El estimador de Horvitz-Thompson es insesgado, si πk > 0, k ∈ U. En efecto
E(Yπ
)= E
(∑k∈S
ykπk
)
= E
(∑k∈U
ykπk
Ik
)
=∑k∈U
ykπk
E (Ik)
=∑k∈U
ykπk
πk
=∑k∈U
yk
= Y.
La varianza del estimador de Horvitz-Thompson es
var(Yπ
)= var
(∑k∈U
ykπk
Ik
)
=∑k∈U
y2kπ2k
var(Ik) +∑k∈U
∑�∈U
yky�πkπ�
Cov(Ik, I�)
=∑k∈U
y2kπ2k
πk(1− πk) +∑k∈U
∑�∈U��=k
yky�πkπ�
∆k�. (2.1)
Se puede demostrar que con una muestra de tamano fijo
var(Yπ
)=
−1
2
∑k∈U
∑�∈U��=k
(ykπk
− y�π�
)2
∆k�. (2.2)
La varianza puede estimarse sin sesgo por
var(Yπ
)=
∑k∈S
y2kπ2k
(1− πk) +∑k∈S
∑�∈S��=k
yky�πkπ�
∆k�
πkl
. (2.3)
7
Si el diseno es de tamano fijo, se puede tambien estimar la varianza por
var(Yπ
)=
−1
2
∑k∈S
∑�∈S��=k
(ykπk
− y�π�
)2∆k�
πk�
. (2.4)
2.4. Estimacion de N
Sabiendo que N es un total, se puede escribir:
N =∑k∈U
1,
Podemos estimar N sin sesgo por el estimador de Horvitz-Thompson
Nπ =∑k∈S
1
πk
.
2.5. Mala propiedad del estimador de Horvitz-Thompson
El estimador de Horvitz-Thompson tiene una mala propiedad, cuando la variablees constante, yk = C
Y π =1
N
∑k∈S
ykπk
=1
N
∑k∈S
C
πk
= C1
N
∑k∈S
1
πk
= CNπ
N
2.6. El problema de los elefantes de Basu (1971)
The circus owner is planning to ship his 50 adult elephants and so he needs a roughestimate of the total weight of the elephants. As weighing an elephant is a cumbersomeprocess, the owner wants to estimate the total weight by weighing just one elephant.Which elephant should he weigh ? So the owner looks back on his records and discoversa list of the elephants’ weights taken 3 years ago. He finds that 3 years ago Sambo themiddle-sized elephant was the average (in weight) elephant in his herd. He checks withthe elephant trainer who reassures him (the owner) that Sambo may still be consideredto be the average elephant in the herd. Therefore, the owner plans to weigh Samboand take 50 y (where y is the present weight of Sambo) as an estimate of the totalweight Y = Y1 + Y2 + . . . + Y50 of the 50 elephants. But the circus statistician ishorrified when he learns of the owner’s purposive samplings plan. “How can you getan unbiased estimate of Y this way ?” protests the statistician. So, together they workout a compromise sampling plan. With the help of a table of random numbers theydevise a plan that allots a selection probability of 99/100 to Sambo and equal selectionprobabilities 1/4900 to each of the other 49 elephants. Naturally, Sambo is selectedand the owner is happy. “How are you going to estimate Y?”, asks the statistician.“Why ? The estimate ought to be 50y of course,” says the owner. Oh! No! That cannot
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possibly be right,” says the statistician, “I recently read an article in the Annals ofMathematical Statistics where it is proved that the Horvitz-Thompson estimator is theunique hyperadmissible estimator in the class of all generalized polynomial unbiasedestimators.” “What is the Horvitz-Thompson estimate in this case?” asks the owner,duly impressed. “Since the selection probability for Sambo in our plan was 99/100,”says the statistician, “the proper estimate of Y is 100y/99 and not 50y.” “And, howwould you have estimated Y,” inquires the incredulous owner, “if our sampling planmade us select, say, the big elephant Jumbo?” “According what I understand of theHorvitz-Thompson estimation method,” says the unhappy statistician, “the properestimate of Y would then have been 4900y, where y is Jumbo’s weight.” That is howthe statistician lost his circus job (and perhaps became teacher of statistics!).
9
Capıtulo 3
Muestreo simple
3.1. Muestreo simple sin reemplazamiento
(o muestro aleatorio simple m.a.s.)
Los disenos simples son los mas basicos en teorıa del muestreo. Sin embargo, susimplementaciones no son evidentes. Veremos que diferentes algoritmos permiten selec-cionar disenos simples. No hay que confundir disenos simples y disenos con probabi-idades de inclusion iguales. Los disenos simples tienen probabilidades de inclusionesiguales pero todos los disenos con probabilidades de inclusion iguales no son simples.Nos referimos a la definicion siguiente.
Definicion 3.1 Un diseno muestral es aleatorio simple si todas las muestras de mismotamano tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.
Existe solamente un diseno simple de tamano fijo.
p(s) =
(N
n
)−1
si #s = n
0 en caso contrario ,
donde (N
n
)=
N !
n!(N − n)!.
πk =∑s�k
p(s) =∑s�k
(N
n
)−1
=
(N − 1
n− 1
)(N
n
)−1
=n
N, para todo k ∈ U.
Probabilidades de inclusion del segundo orden :
πk� =∑s�k,�
p(s) =∑s�k,�
(N
n
)−1
=
(N − 2
n− 2
)(N
n
)−1
=n(n− 1)
N(N − 1),
l
10
para todos k �= � ∈ U . Luego tenemos,
∆k� =
πk� − πkπ� =n(n− 1)
N(N − 1)− n2
N2= − n(N − n)
N2(N − 1)si k �= �
πk(1− πk) =n
N
(1− n
N
)=
n(N − n)
N2si k = �.
(3.1)
Y π =1
N
∑k∈S
ykπk
=1
N
∑k∈S
ykN
n=
1
n
∑k∈S
yk.
Yπ =∑k∈S
ykπk
=∑k∈S
ykN
n=
N
n
∑k∈S
yk = NY π.
3.2. La varianza del diseno simple sin reemplaza-
miento
var[Yπ
]=
−1
2
∑k∈U
∑�∈U��=k
(ykπk
− y�π�
)2
∆k� (3.2)
=1
2
∑k∈U
∑�∈U��=k
(ykN
n− y�N
n
)2n(N − n)
N2(N − 1)(3.3)
=N(N − n)
n
1
2N(N − 1)
∑k∈U
∑�∈U��=k
(yk − y�)2 (3.4)
= N2N − n
N
S2y
n. (3.5)
Teorema 1 En un m.a.s., la cuasivarianza de la poblacion es
S2y =
1
N − 1
∑k∈U
(yk − Y )2,
y puede estimarse por
s2y =1
n− 1
∑k∈S
(yk − Y π)2
11
Demostracion
E(s2y) = E
{1
n− 1
∑k∈S
(yk − Y π)2
}
= E
1
2n(n− 1)
∑k∈S
∑�∈S��=k
(yk − y�)2
=1
2n(n− 1)
∑k∈U
∑�∈U��=k
(yk − y�)2E (IkI�)
=1
2n(n− 1)
∑k∈U
∑�∈U��=k
(yk − y�)2 n(n− 1)
N(N − 1)
=1
2N(N − 1)
∑k∈U
∑�∈U��=k
(yk − y�)2
= S2y .
�
3.3. Algoritmo de seleccion-rechazo
Existen numerosas maneras de seleccionar un diseno simple. Por ejemplo se puedesortear la poblacion aleatoriamente y seleccionar las n primeras unidades de la poblacion.Tambien, se puede seleccionar sucesivamente n unidades sin reemplazamiento con prob -abilidades iguales. Sin embargo, la manera la mas eficaz para seleccionar un muestrasegun un diseno simple fue propuesta por Fan et al. (1962) y Bebbington (1975) quienespropusieron un metodo secuencial en el sentido de que el fichero de datos tiene queser leıdo una sola vez. Es posible demostrar que este algoritmo genera une muestreo
Algorithm 1 Metodo de seleccion-rechazo
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Definicion k, j : entero;u : real;k = 0;j = 0;
Repetir mientras j < n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
u = variable aleatoria uniforme a[0, 1[;∣∣∣∣∣∣Si u <
n− jN − k
∣∣∣∣seleccionar la unidad k + 1;j = j + 1;
sino pasar la unidad k + 1;k = k + 1.
simple (vease por ejemplo Tille, 2006).
12
3.4. Disenos simples con reemplazamiento
Seleccion con reemplazamiento de manera independiente S las unidades de la mues-tra son
y1, . . . , yi, . . . , ym
Los yi son m variables aleatorias de varianza
σ2y =
1
N
∑k∈U
(yk − Y )2.
Se puede estimar Y sin sesgo por
Y CR =1
m
m∑i=1
yi =1
m
∑
k∈S
yk.
La varianza de Y CR es
var(Y CR) =1
m2
m∑i=1
var(yi) =1
m2
m∑i=1
σ2y =
σ2y
m. (3.6)
y puede estimarse por
s2y =1
m− 1
m∑i=1
(yi − Y CR)2.
La varianza del estimador de la media puede estimarse por
var(Y CR) =s2ym.
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3.5. Comparacion de los disenos simples
Cuadro 3.1: Planes simplesPlan simple Sin reemplazamiento Con reemplazamiento
Tamano de la muestra n m
Estimador de la media Y SR =1
n
∑k∈S
yk Y CR =1
m
∑
k∈S
yk
Varianza del estimador var(Y SR
)=
(N − n)
nNS2y var
(Y CR
)=
σ2y
m
Esperanza de la varianza E(s2y)= S2
y E(s2y)= σ2
y
Estimador de la varianza var(Y SR
)=
(N − n)
nNs2y var
(Y CR
)=
s2ym
Ejercicio
Ejercicio 3.1 Seleccione una muestra de tamano 4 en una poblacion de tamano 10segun un diseno simple sin reemplazamiento con el metodo de seleccion-rechazo. Uselas realizaciones siguientes de una variable aleatoria uniforme [0, 1]:
0,375489 0,624004 0,517951 0,0454450 0,6329120,246090 0,927398 0,32595 0,645951 0,178048.
14
Capıtulo 4
Estratificacion
4.1. Introduccion
Los disenosde muestreo. Se necesita definir estratos o categorıas en la poblacion.
Ademas, se necesita saber a que estrato pertenece cada unidad de la poblacion.
4.2. Poblacion y estratos
Poblacion U = {1, . . . , k, . . . , N} dividida en H subconjuntos, Uh, h = 1, .., H, lla-mados estratos
H⋃h=1
Uh = U y Uh
⋂Ui = ∅, h �= i.
Siendo Nh el tamano del estrato Uh.
H∑h=1
Nh = N.
El objetivo es estimar
Y =∑k∈U
yk =H∑
h=1
∑k∈Uh
yk =H∑
h=1
Yh,
dondeYh =
∑k∈Uh
yk.
Y =1
N
∑k∈U
yk =1
N
H∑h=1
∑k∈Uh
yk =1
N
H∑h=1
NhY h,
donde Y h es la media calculada en el estrato h
Y h =1
Nh
∑k∈Uh
yk.
liar en un diseno˜estratificados son la manera mas simple de introducir informacion aux -i
15
Ademas, σ2yh representa la varianza del estrato h
σ2yh =
1
Nh
∑k∈Uh
(yk − Y h
)2
y S2yh la cuasivarianza
S2yh =
Nh
Nh − 1σ2yh.
La varianza total σ2y se logra por
σ2y =
1
N
∑k∈U
(yk − Y )2 =1
N
H∑h=1
Nhσ2yh +
1
N
H∑h=1
Nh(Y h − Y )2. (4.1)
Esta igualdad es la descomposicion clasica de la varianza, que se escribe
σ2y = σ2
y(intra) + σ2y(inter)
donde σ2y(intra) es la varianza intra-estratos
σ2y(intra) =
1
N
H∑h=1
Nhσ2yh
y σ2y(inter) es la varianza inter-estratos
σ2y(inter) =
1
N
H∑h=1
Nh(Y h − Y )2.
4.3. Muestra, probabilidad de inclusion, estimacion
Un diseno muestral es estratificado si,
en cada estrato, se selecciona una muestra simple aleatoria de tamano fijo nh
la seleccion de una muestra en un estrato es independiente de seleccion de lasmuestras de los otros estratos.
Sh representa la muestra aleatoria seleccionada en el estrato h con el diseno ph(.),donde ph(sh) = Pr(Sh = sh). La muestra aleatoria total es
S =H⋃
h=1
Sh.
Ademas, de manera general s representa un valor posible de S donde
s =H⋃
h=1
sh.
16
S1
U1
S2
U1
Sh
U1
SH
U1 U2 Uj UJ
Figura 4.1: Plan estratificado
El diseno muestral global es p(.) donde
p(s) = Pr(S = s).
Debido a la independencia de las selecciones en cada estrato, tenemos
p(s) =H∏
h=1
ph(sh), s =H⋃
h=1
sh.
Si nh representa el tamano de la muestra en el estrato h, tenemos
H∑h=1
nh = n,
donde n es el tamano de la muestra.
4.4. Probabilidad de inclusion
Si la unidad k esta en el estrato h,
πk =nh
Nh
, k ∈ Uh.
Para calcular las probabilidades de inclusion de segundo orden, tenemos que separardos casos :
En el caso donde las unidades k y � estan en el mismo estrato
πk� =nh(nh − 1)
Nh(Nh − 1), k y � ∈ Uh.
Si dos individuos k y � estan en dos estratos distintos,
πk� =nhni
NhNi
, k ∈ Uh y � ∈ Ui.
17
Se logra
∆k� =
nh
Nh
Nh − nh
Nh
si � = k, k ∈ Uh
−nh(Nh − nh)
N2h(Nh − 1)
si k y � ∈ Uh, k �= �
0 si k ∈ Uh y � ∈ Ui, h �= i.
(4.2)
El π-estimador
Yestrat =∑k∈S
ykπk
=H∑
h=1
Nh
nh
∑k∈Sh
yk =H∑
h=1
Yh,
y
Y strat =1
N
∑k∈S
ykπk
=1
N
H∑h=1
Nh
nh
∑k∈Sh
yk =1
N
H∑h=1
NhY h.
donde Yh es el estimador del total del estrato h
Yh =Nh
nh
∑k∈Sh
yk.
e Y h es la media de la muestra en el estrato h
Y h =1
nh
∑k∈Sh
yk.
Como las selecciones son independientes entre los estratos y que los disenos sonsimples en los estratos :
var(Ystrat
)= var
(H∑
h=1
Yh
)=
H∑h=1
var(Yh
)=
H∑h=1
NhNh − nh
nh
S2yh. (4.3)
La varianza de este estimador puede estimarse sin sesgo por
var(Ystrat
)=
H∑h=1
NhNh − nh
nh
s2yh, (4.4)
donde
s2yh =1
nh − 1
∑k∈Sh
(yk − Y h)2, h = 1, . . . , H.
4.5. Plan estratificado con afijacion proporcional
Un plan estratificado tiene una afijacion proporcional, si
nh
Nh
=n
N, h = 1, . . . , N.
18
Suponemos que nh = nNh/N son enteros. El estimador del total es
Yprop =H∑
h=1
Yh =N
n
∑k∈S
yk,
y el estimador de la media
Y prop =1
N
H∑h=1
NhY h =1
n
∑k∈S
yk,
donde Y h es la media de la muestra en el estrato h e Yh es el estimador del total en elestrato h
Y h =1
nh
∑k∈Sh
yk.
La varianza del estimador del total se simplifica
var(Yprop) =N − n
n
H∑h=1
NhS2yh, (4.5)
y la varianza del estimador de la media viene dada por :
var(Y prop) =N − n
nN2
H∑h=1
NhS2yh. (4.6)
Si N es grande, S2yh ≈ σ2
yh.
var(Y prop) ≈N − n
nN2
H∑h=1
Nhσ2yh =
N − n
N
σ2y(intra)
n. (4.7)
Comparacion del diseno estratificado con el muestro aleatorio simple.
var(Y srs) ≈N − n
N
σ2y
n. (4.8)
La varianza del estimador de la media puede estimarse por :
var(Y prop) =N − n
nN2
H∑h=1
Nhs2yh, (4.9)
donde
s2yh =1
nh − 1
∑k∈Sh
(yk − Y h)2, h = 1, . . . , H.
19
4.6. Diseno estratificado optimo para el total
Neyman (1934) busco la afijacion para los tamanos en la muestra n1, . . . , nh, . . . , nH
que maximiza la varianza del estimador de Horvitz-Thompson para un muestreo detamano fijo. Tenemos que minimizar
var(Ystrat) =H∑
h=1
NhNh − nh
nh
S2yh, (4.10)
en n1, . . . , nh, . . . , nH sujeta a que
H∑h=1
nh = n. (4.11)
Podemos escribir la ecuacion de Lagrange
L(n1, . . . , nH , λ) =H∑
h=1
NhNh − nh
nh
S2yh + λ
(H∑
h=1
nh − n
).
Anulando las derivadas parciales respecto a los nh y a λ, se logra
∂L∂nh
= −N2h
n2h
S2yh + λ = 0, h = 1, . . . , H, (4.12)
y
∂L∂λ
=H∑
h=1
nh − n = 0. (4.13)
Luego
nh =Nh√λSyh, h = 1, . . . , H. (4.14)
yH∑
h=1
nh = n =
∑Hh=1 NhSyh√
λ.
Obtenemos√λ =
∑Hh=1 NhSyh
n. (4.15)
y finalmente
nh =nNhSyh∑Hh=1 NhSyh
, h = 1, . . . , H. (4.16)
Notas
Hay un problema de redondeo,
Se puede obtener nh > Nh.
20
4.7. Nota sobre la optimalidad en estratificacion
Sea una poblacion dividida en dos estratos H = 2 donde queremos estimar ladiferencia D = Y 1 − Y 2. El estimador
D = Y 1 − Y 2.
Como las selecciones de las muestras son independientes entre los estratos
var(D)= var
(Y 1
)+ var
(Y 2
)=
N1 − n1
n1N1
S2y1 +
N2 − n2
n2N2
S2y2. (4.17)
Se minimiza (4.17) sujeta a que n1 + n2 = n y se logra
nh =Syh√λ, h = 1, 2,
donde λ es el multiplicador de Lagrange. Como n1 + n2 = n, encontramos
nh =nSyh
Sy1 + Sy2
, h = 1, 2.
4.8. Optimalidad y coste
El objetivo es estimar un total Y para un coste fijado C. Minimizamos la expresion(4.10) sujeta a que
H∑h=1
nhCh = C,
donde Ch es el coste de la entrevista en el estrato h. Obtenemos
nh =NhSyh√λCh
, h = 1, . . . , H,
H∑h=1
nhCh = C,
donde λ es el multiplicador de Lagrange, y
nh =CNhSyh√
Ch
∑H�=1 N�Sy�
√C�
.
4.9. Tamano de muestra mınimo
Otra manera de tratar el problema es buscar la afijacion que da el tamano demuestra mınimo para una varianza fijada. Sea
ah = nh/n, h = 1, . . . , H,
21
entoncesH∑
h=1
ah = 1.
De (4.10),
var(Ystrat) =H∑
h=1
NhNh − nah
nahS2yh. (4.18)
Buscamos entonces un valor mınimo de (4.18) en a1, . . . , aH , para un valor fijado
var(Ystrat) representado por V . Sustituyendo (4.18) en var(Ystrat) por V , se logra
V =1
n
H∑h=1
N2h
ahS2h −
H∑h=1
NhS2h,
lo que se puede escribir
n =
∑Hh=1
N2h
ahS2h
V +∑H
h=1 NhS2h
. (4.19)
Entonces minimizamos
n =
∑Hh=1
N2h
ahS2h
V +∑H
h=1 NhS2h
. (4.20)
con a1, . . . , aH , sujeta a queH∑
h=1
ah = 1,
y despues de algunos calculos, tenemos
ah =NhSyh∑H�=1 N�Sy�
. (4.21)
Se logra el mismo tipo de afijacion. Finalmente se puede fijar el tamano de la muestra
n∗ =
(∑Hh=1 NhSyh
)2
V +∑H
h=1 NhS2yh
.
Ejercicio 4.1 Queremos estimar medias para las empresas de un departamento. Lasempresas son clasificadas segun el volumen de negocio y son clasificadas en tres clases.Los datos de un censo son los siguientes:
Volumen de negocio Numero de empresasde 0 a 1 1000de 1 a 10 100de 10 a 100 10
Se quiere seleccionar una muestra de 111 empresas. Si se supone que la distribucion esuniforme en cada estrato, calcule la varianza del estimador de la media del volumen denegocios para un diseno con representacion proporcional y para un diseno estratificadooptimo.
22
Capıtulo 5
Muestreo con probabilidadesdesiguales
Los disenos con probabilidades desiguales permiten reducir la varianza cuando hayun efecto de tamano en los datos. Tambien son muy usados en los disenos multietapicosautoponderados para seleccionar las unidades primarias. Tres libros tratan del tema:Brewer and Hanif (1983); Gabler (1990); Tille (2006). Aquı, presentamos los planesmas importantes. Un desarrollo mas exhaustivo pude ser encontrado en Tille (2006).
5.1. Informacion auxiliar y probabilidades de in-
clusion
Variable auxiliar x conocida sobre U . x es aproximadamente proporcional a y.Seleccion de las unidades con probabilidades de inclusion proporcionales a x. Varianza
var(Yπ
)=
1
2
∑k∈U
∑�∈U��=k
(ykπk
− y�π�
)2
(πkπ� − πk�). (5.1)
5.2. Calculo de las probabilidades de inclusion
Calculamosπk =
xkn∑�∈U
x�
, para todo k ∈ U.
Algunos de los πk pueden ser πk > 1. Estas unidades son incluidas en la muestra conuna probabilidad de 1. Se vuelve a empezar el calculo con las unidades que quedan. Alfinal, tenemos dos grupos :
un primer grupo de unidades con probabilidades de inclusion iguales a 1
un segundo grupo con probabilidades de inclusion 0 < πk < 1 y proporcionales axk.
23
El problema es seleccionar n unidades con probabilidades de inclusion fijadas con
0 < πk < 1, para todo k ∈ U, tal que∑k∈U
πk = n. (5.2)
Ejemplo 5.1 Si N = 6, n = 3, x1 = 1, x2 = 9, x3 = 10, x4 = 70, x5 = 90, x6 = 120,tenemos
X =∑k∈U
xk = 300,
y entonces
nx1
X=
1
100,nx2
X=
9
100,nx3
X=
1
10,nx4
X=
7
10,nx5
X=
9
10,nx6
X=
6
5> 1.
La unidad 6 es seleccionada (con una probabilidad de 1). Luego, volvemos a calcularlas probabilidades de inclusion
∑k∈U\{6}
xk = 180,
y entonces(n− 1)x1∑�∈U\{6} x�
=1
90,(n− 1)x2∑�∈U\{6} x�
=1
10,(n− 1)x3∑�∈U\{6} x�
=1
9,
(n− 1)x4∑�∈U\{6} x�
=7
9,(n− 1)x5∑�∈U\{6} x�
= 1.
Las probabilidades de inclusion son
π1 =1
90, π2 =
1
10, π3 =
1
9, π4 =
7
9, π5 = 1, π6 = 1.
Dos unidades son seleccionadas con una probabilidad 1. El problema se reduce a laseleccion de una unidad en una subpoblacion de tamano 4.
5.3. Muestreo con probabilidades desiguales con
reemplazamiento
Hansen and Hurwitz (1943) han propuesto un metodo de seleccion de una muestracon probabilidades desiguales con reemplazamiento. Sea
pk =xk∑�∈U x�
, k ∈ U,
y
vk =k∑
�=1
p�, con v0 = 0.
u es una variable continua, uniforme en [0, 1[,
24
se selecciona la unidad k tal que vk−1 ≤ u < vk.
Esta operacion es repetida m veces de manera independiente.
yi es la iesima unidad seleccionada en la muestra. El total Y es estimado por el esti-mador de Hansen-Hurwitz
YHH =1
m
m∑i=1
yipi.
Como
E
[yipi
]=
∑k∈U
ykpk
pk = Y,
YHH es un estimador insesgado Y . En efecto,
E(YHH
)=
1
m
m∑i=1
E
(yipi
)=
1
m
m∑i=1
Y = Y.
Varianza :
var[YHH ] =1
m
(∑k∈U
y2kpk
− t2y
)=
1
m
∑k∈U
pk
(ykpk
− Y
)2
, (5.3)
y puede estimarse por
var[YHH ] =1
m(m− 1)
m∑i=1
(yipi
− YyHH
)2
.
5.4. Diseno de Poisson
Cada unidad de U es seleccionada de manera independiente con una probabilidadde inclusion πk.
πk� = πkπ�,
∆k� = πk� − πkπ� = 0, para todos k �= �. El diseno muestral viene dado por
p(s) =
{∏k∈s
πk
}×
∏k∈U\s
(1− πk)
, para todos s ⊂ U. (5.4)
En un diseno de Poisson, ∆k� = 0 cuando k �= �, la varianza del estimador puedeser calculada simplemente
var[Yπ
]=
∑k∈U
πk(1− πk)y2k
π2k
, (5.5)
y puede estimarse por
var[Yπ
]=
∑k∈Se
(1− πk)y2k
π2k
. (5.6)
25
5.5. Muestreo de entropıa maxima con tamano fijo
Buscamos un diseno muestral con la entropıa maxima sobre el conjunto de todaslas muestras de U de tamano fijo n.
Sn = {s|#s = n}.
El problema es maximizar
I(p) = −∑s∈Sn
p(s) log p(s),
sujeta a que ∑s�ks∈Sn
p(s) = πk, y∑s∈Sn
p(s) = 1. (5.7)
Existe una solucion pero es complicada.
p(s) =exp
∑k∈s λk∑
s∈Snexp
∑k∈s λk
Un algoritmo (ver Chen et al., 1994; Deville, 2000; Tille, 2006) permite calcular losπk a partir de los λk y los λk a partir de los πk. El conocimiento de los λk permitenumerosas implementaciones del diseno de muestreo (ver Tille, 2006).
5.6. El diseno muestral sistematico
Madow (1949) propuso el primero metodo con tamano fijo y probabilidades deinclusion desiguales. Tenemos 0 < πk < 1, k ∈ U con
∑k∈U
πk = n.
Sea
Vk =k∑
�=1
π�, para todos k ∈ U, con Vo = 0. (5.8)
Una variable uniforme es generada en [0, 1].
la primera unidad seleccionada k1 es tal que Vk1−1 ≤ u < Vk1 ,
la segunda unidad seleccionada es tal que Vk2−1 ≤ u+ 1 < Vk2 y
la jesima unidad seleccionada es tal que Vkj−1 ≤ u+ j − 1 < Vkj .
26
0 1 2 3
0,2 0,9 1,7 2,2 2,6
u u+ 1 u+ 2
Figura 5.1: Muestreo sistematico
Ejemplo 5.2 N = 6 y n = 3, π1 = 0,2, π2 = 0,7, π3 = 0,8, π4 = 0,5, π5 = π6 = 0,4,V1 = 0,2, V2 = 0,9, V3 = 1, 7, V4 = 2,2, V5 = 2,6, V6 = 3, u = 0,3658. Las unidades 2,3 y 5 son seleccionadas.
El algoritmo tambien puede ser presentado de la manera siguiente : Primero, seselecciona la unidad k tal que los intervalos [Vk−1 − u, Vk − u[ contengan un numeroentero.
Algorithm 2 Algoritmo de muestreo sistematico∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Definicion a, b, u real; k entero;u = un numero aleatorio uniforme en [0,1];a = −u;
Repetir para k = 1, .., N
∣∣∣∣∣∣b = a;a = a+ πk;si �a� �= �b� seleccionar k.
El problema es que la mayorıa de las probabilidades de inclusion son iguales a cero.La matriz de probabilidades de inclusion viene dada por :
− 0 0,2 0,2 0 00 − 0,5 0,2 0,4 0,30,2 0,5 − 0,3 0,4 0,20,2 0,2 0,3 − 0 0,30 0,4 0,4 0 − 00 0,3 0,2 0,3 0 −
5.7. El metodo de escision
5.7.1. Escision en dos partes
El metodo de escision (ver Deville and Tille, 1998; Tille, 2006) es une tecnica bas-tante simple para seleccionar une muestra segun probabilidades de inclusion dadas. Apartir del vector de probabilidades de inclusion, se vuelve a aplicar a cada etapa uneescision en dos o varios nuevos vectores. Un vector es elegido aleatoriamente. A cadaetapa se intenta lograr un vector mas simple, por ejemplo, introduciendo 0 o 1 en elnuevo vector. En N etapas como maximo, la muestra es seccionada. El metodo del cubopara seleccionar un diseno equilibrado es una generalizacion del metodo de escision.
27
La tecnica basica es muy simple : cada πk se separa en dos partes π(1)k y π
(2)k que
verifican :πk = λπ
(1)k + (1− λ)π
(2)k ; (5.9)
0 ≤ π(1)k ≤ 1 y 0 ≤ π
(2)k ≤ 1, (5.10)
∑k∈U
π(1)k =
∑k∈U
π(2)k = n, (5.11)
donde λ puede elegirse libremente dentro de 0 < λ < 1. El metodo consiste en selec-cionar n unidades con probabilidades desiguales
{π(1)k , k ∈ U, con una probabilidad λ
π(2)k , k ∈ U, con una probabilidad 1− λ.
π1...πk...πN
����������
����������
π(1)1...
π(1)k...
π(1)N
π(2)1...
π(2)k...
π(2)N
λ 1− λ
Figura 5.2: Escision en dos partes
El problema se reduce a otro problema de muestreo con probabilidades desiguales.Si la escision es tal que uno o algunos de los π
(1)k y de los π
(2)k son iguales a 0 o 1,
el problema de muestreo sera mas simple en la proxima etapa porque la escision esaplicada a una poblacion mas pequena.
28
5.7.2. Escision en M partes
El metodo puede ser generalizado a una tecnica de escision en M vectores de prob
-abilidades de inclusion. Primero, construimos los π
(j)k y los λj de manera que
M∑j=1
λj = 1,
0 ≤ λj ≤ 1 (j = 1, . . . ,M),
M∑j=1
λjπ(j)k = πk,
0 ≤ π(j)k ≤ 1 (k ∈ U, j = 1, . . . ,M),
∑k∈U
π(j)k = n (j = 1, . . . ,M).
π1...πk...πN
����������
�����������
π(1)1...
π(1)k...
π(1)N
π(i)1...
π(i)k...
π(i)N
π(M)1...
π(M)k...
π(M)N
λ1 λj λM
. . .. . .
Figura 5.3: Escision en M partes
El metodo consiste en seleccionar uno de los vectores π(j)k con probabilidades λj (j =
1, . . . ,M). De nuevo, los π(j)k son tales que el problema de muestreo sera mas simple
en la proxima etapa.
29
5.7.3. Diseno con un soporte mınimo
(π(1), . . . , π(k), . . . , π(N)) representa el vector de probabilidades de inclusion. Luego,definimos
λ = mın{1− π(N−n), π(N−n+1)},
π(1)(k) =
{0 si k ≤ N − n1 si k > N − n,
π(2)(k) =
π(k)
1− λif k ≤ N − n
π(k) − λ
1− λif k > N − n.
Ejemplo 1. Suponemos queN = 6, n = 3, π1 = 0,07, π2 = 0,17, π3 = 0,41, π4 = 0,61,π5 = 0,83, π6 = 0,91. En este caso, la solucion se encuentra en 4 etapas. El vectorde probabilidades de inclusion se separa en dos partes dadas en las columnas 2 y 3de la Tabla 1. Con la probabilidad λ = 0,59, la muestra {4, 5, 6} es seleccionada ycon probabilidad 1 − λ = 0,41, otro diseno muestral se aplica con probabilidades deinclusion dadas por (0.171, 0.415, 1, 0.049, 0.585, 0.780). En la etapa 2, la escisionse aplica al vector y, en 4 etapas la muestra es seleccionada. El diseno muestral es el
Cuadro 5.1: Plan con soporte mınima
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4πk λ = 0,59 λ = 0,585 λ = 0,471 λ = 0,7780,07 0 0,171 0 0,412 0 0,778 1 00,17 0 0,415 0 1 1 1 1 10,41 0 1 1 1 1 1 1 10,61 1 0,049 0 0,118 0 0,222 0 10,83 1 0,585 1 0 0 0 0 00,91 1 0,780 1 0,471 1 0 0 0
siguiente p({4, 5, 6}) = 0,59; p({3, 5, 6}) = (1 − 0,59) × 0,585 = 0,24; p({2, 3, 6}) =(1− 0,59− 0,24)× 0,471 = 0,08; p({1, 2, 3}) = (1− 0,59− 0,24− 0,08)× 0,778 = 0,07;p({2, 3, 4}) = 1− 0,59− 0,24− 0,08− 0,7 = 0,02.
El diseno muestral viene dado por p({4, 5, 6}) = 0,59, p({3, 5, 6}) = (1 − 0,59) ×0,585 = 0,24, p({2, 3, 6}) = (1− 0,59− 0,24)× 0,471 = 0,08, p({1, 2, 3}) = (1− 0,59−0,24− 0,08)× 0,778 = 0,07, p({2, 3, 4}) = (1− 0,59− 0,24− 0,08− 0,7) = 0,02.
5.7.4. Escision en disenos simples
Este metodo permite separar el vector de probabilidades de inclusion en dos partes.Definimos
λ = mın
{π(1)
N
n,
N
N − n
}, (5.12)
30
y calculamos, para k ∈ U,
π(1)(k) =
n
N, π
(2)(k) =
πk − λ nN
1− λ.
Si λ = π(1)N/n, entonces π(2)(1) = 0; si λ = (1− π(N))N/(N − n), entonces π
(2)(N) = 1. En
la proxima etapa, el problema se reduce a la seleccion de una muestra de tamano n− 1o n en una poblacion de tamano N − 1. En N − 1 etapas, el problema es reducido.
Ejemplo 2 Con los mismos πk que en el ejemplo 1, el resultado del metodo vienedado en la Tabla 2. El problema consiste finalmente en seleccionar uno de los 6 disenos
Cuadro 5.2: Descomposicion en planes simples
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5πk λ = 0,14 λ = 0,058 λ = 0,173 λ = 0,045 λ = 0,6880,07 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 00,17 0,5 0,116 0,600 0,086 0,5 0 0 0 0 00,41 0,5 0,395 0,600 0,383 0,5 0,358 0,667 0,344 0,5 00,61 0,5 0,628 0,600 0,630 0,5 0,657 0,667 0,656 0,5 10,83 0,5 0,884 0,600 0,901 0,5 0,985 0,667 1 1 10,91 0,5 0,977 0,600 1 1 1 1 1 1 1
simples definidos en las columnas de la Tabla 3. λ1 = 0,14, λ2 = (1− 0,14)× 0,058 =0,050, λ3 = (1− 0,14)× (1− 0,058)× 0,173 = 0,14, λ4 = (1− 0,14)× (1− 0,058)× (1−0,173)×0,045 = 0,03, λ5 = (1−0,14)×(1−0,058)×(1−0,173)×(1−0,045)×0,688 = 0,44,λ6 = (1− 0,14)× (1− 0,058)× (1− 0,173)× (1− 0,045)× (1− 0,688) = 0,200.
Cuadro 5.3: Escision en N planes simples
k λ1 = 0,14 λ2 = 0,050 λ3 = 0,14 λ4 = 0,03 λ5 = 0,44 λ6 = 0,2001 0,5 0 0 0 0 02 0,5 0,6 0,5 0 0 03 0,5 0,6 0,5 0,667 0,5 04 0,5 0,6 0,5 0,667 0,5 15 0,5 0,6 0,5 0,667 1 16 0,5 0,6 1 1 1 1
5.7.5. El metodo del pivote
Solamente son modificadas dos probabilidades de inclusion: i y j.Si πi + πj > 1, entonces
λ =1− πj
2− πi − πj
,
31
π(1)k =
πk k ∈ U\{i, j}1 k = iπi + πj − 1 k = j,
π(2)k =
πk k ∈ U\{i, j}πi + πj − 1 k = i1 k = j.
Por otra parte, si πi + πj < 1, entonces
λ =πi
πi + πj
,
π(1)k =
πk k ∈ U\{i, j}πi + πj k = i0 k = j,
π(2)k =
πk k ∈ U\{i, j}0 k = iπi + πj k = j.
5.7.6. Metodo de Brewer
Brewer (1975) yBrewer and Hanif (1983, metodo 8, p. 26) propusieron un metodomuy simple para seleccionar una muestra con probabilidades desiguales.
draw by draw procedure
λj =
{N∑z=1
πz(n− πz)
1− πz
}−1
πj(n− πj)
1− πj
.
Luego, calculamos
π(j)k =
πk(n− 1)
n− πj
si k �= j
1 si k = j.
La validez del metodo se deriva del resultado siguiente :
Teorema 2N∑j=1
λjπ(j)k = πk,
para todo k = 1, . . . , N,
32
5.8. Varianza en disenos con probabilidades desiguales
Aproximacion de la varianza
var(Yπ) =∑k∈U
bkπ2k
(yk − y∗k)2 .
con
y∗k = πk
∑�∈U b�y�/π�∑
�∈U b�
bk =Nπk(1− πk)
(N − 1).
Estimacion de la aproximacion de la varianza
var(Yπ) =∑k∈S
ckπ2k
(yk − y∗k)2 .
con
y∗k = πk
∑�∈S c�y�/π�∑
�∈S b�
ck =nπk(1− πk)
(n− 1).
33
Capıtulo 6
Muestreo equilibrado
6.1. Introduccion
Une muestreo equilibrado selecciona unicamente las muestras cuyos estimadores deHorvitz-Thompson son iguales a los totales de las variables auxiliares conocidas. Evi-dentemente, para seleccionar una muestra equilibrada, se necesita disponer de une basede datos con los valores de las variables auxiliares para cada unidad de la poblacion.
La idea de seleccionar una muestra equilibrada es relativamente vieja. Ya Yates(1949) propuso un metodo con un reemplazamiento aleatorio de los unidades a partirde una muestra simple para mejorar el equilibrio de la muestra. Varios metodos conrechazos de muestras fueron tambien propuestos (ver Thionet, 1953; Hajek, 1981). Enla teorıa basada sobre un modelo Royall and Herson (1973a,b) surgio la idea de usarmuestras equilibradas sin determinar una manera general de seleccionarlas. Otros meto-dos fueron propuestos por Deville et al. (1988), Ardilly (1991), Hedayat and Majumdar(1995). El metodo del cubo, propuesto por Deville and Tille (2004), (tambien ver Tille,2001; Tille and Favre, 2004, 2005; Tille, 2006; Tille and Matei, 2007; Nedyalkova andTille, 2009) es el unico que permite seleccionar una muestra equilibrada sobre variasvariables auxiliares y con probabilidades de inclusion iguales o desiguales.
Definicion 6.1 Un diseno muestral p(s) es equilibrado sobre las variables x1, . . . , xp,si verifica las ecuaciones de equilibrio dadas por
Xπ = X, (6.1)
lo que tambien se puede escribir
∑k∈s
xkj
πk
=∑k∈U
xkj,
para toda s ∈ S tal que p(s) > 0, y para todos j = 1, . . . , p, o con otras palabras
var(Xπ
)= 0.
34
Ejemplo 6.1 Un muestreo de tamano fijo es equilibrado sobre la variable xk = πk, k ∈U. En efecto, ∑
k∈S
xk
πk
=∑k∈S
1 =∑k∈U
πk = n.
Ejemplo 6.2 Un plan estratificado es equilibrado sobre las variables
δkh =
{1 si k ∈ Uh
0 si k /∈ Uh.
Ejemplo 6.3 N = 10, n = 7, πk = 7/10, k ∈ U, xk = k, k ∈ U .
∑k∈S
k
πk
=∑k∈U
k,
lo que da que ∑k∈S
k = 55× 7/10 = 38,5,
En este caso, es imposible seleccionar una muestra que sea exactamente equilibrada.Seleccionar una muestra es un problema en numeros enteros, y las ecuaciones de equi-librio son restricciones lineales. Por eso, las ecuaciones de equilibrio no pueden siempreser satisfechas.
Por lo tanto, vamos a buscar una muestra que sea perfectamente equilibrada si esposible o quien es aproximadamente equilibrada si no existen muestras que sean per-fectamente equilibradas.
6.2. Representacion por un cubo
Representacion geometrica de un diseno muestral.
s = (I[1 ∈ s] . . . I[k ∈ s] . . . I[N ∈ s])′,
donde I[k ∈ s] toma el valor 1 si k ∈ s y 0 sino. Geometricamente, cada vector s es unvertice de un N -cubo.
E(s) =∑s∈S
p(s)s = π,
donde π = [πk] es el vector de probabilidad de inclusion.
6.3. Muestras equilibradas
Metodo del cubo
1. fase de vuelo,
2. fase de aterrizaje.
35
π
(000) (100)
(101)
(001)
(010)(110)
(111)(011)
Figura 6.1: Muestras posibles en una poblacion de tamano N = 3
Las ecuaciones de equilibrio (6.1) pueden tambien ser escritas
∑k∈U
akck =∑k∈U
akπk (6.2)
ck ∈ {0, 1}, k ∈ U,
donde ak = xk/πk, k ∈ U. (6.2) define un subespacio en RN de dimension N − p.El problema Se elige un vertice del N -cubo (una muestra) que quede en el sub
e-
spacio Q.
Si C representa el N -cubo en RN , los vertices del N -cubo son las muestras deU , la interseccion entre C y Q es no vacio, porque π esta en el interior de C ypertenece a Q.
La interseccion entre el N -cubo y un subespacio lineal define un poliedro convexoK que es definido por
K = C ∩Q ={[0, 1]N ∩ (π+Ker A)
}
y tiene la dimension N − p.
6.4. Representacion grafica del problema de redon
dea
-
do
El problema de redondeado tambien puede ser representado de manera geometrica.Examinemos algunos casos de figura. En el caso donde la unica restriccion sea el tamanofijo (n = 2) de la muestra, no hay problema de redondeado, porque siempre es posibleseleccionar una muestra de tamano fijo. Vemos, en la Figura 6.2, que los vertices de lainterseccion del cubo y del subespacio son vertices del cubo, es decir que son muestras.
El problema de redondeado aparece cuando los vertices de la interseccion del sube
-spacio y del cubo no son vertices del cubo. Consideremos el ejemplo siguiente.
36
(000) (100)
(101)
(001)
(010) (110)
(111)(011)
Figura 6.2: Contrainte de taille fixe : les 3 echantillons de taille n = 2 sont relies parun sous-espace affine
Ejemplo 6.4 Supongamos que la unica restriccion (J = 1 sea dada por la variableauxiliar z1 = 0, z2 = 3 y z3 = 2 y que las probabilidades de inclusion sean π1 = π2 =π3 = 1/2. La matriz A se reduce pues al vector
A =
(z1π1
,z2π2
,z3π3
)= (0, 6, 4),
y la ecuacion de equilibrio es:
0× s1 + 6× s2 + 4× s3 = 0 + 3 + 2 = 5.
El subespacio de restricciones de dimension 2 es representado en la Figura 6.3. Estesubespacio no pasa por ninguno de los vertices del cubo. Ası pues, los vertices de lainterseccion del cubo y del subespacio de equilibrio no son vertices del cubo y entoncesno son muestras. Este ejemplo muestra la representacion geometrica del problema deredondeado. Aquı, no existe muestra que satisfaga exactamente las restricciones, ya queningun vertice del cubo pertenece al subespacio de las restricciones. Decimos entoncesque el sistema de ecuaciones de eequilibrio solo puede estar aproximadamente satisfecho.
Por fin, existen unos casos mixtos, donde ciertas cumbres de la interseccion del cubo ydel subespacio son muestras y otras no lo son. Consideremos el ejemplo siguiente :
Ejemplo 6.5 Supongamos que la unica limitacion sea (J = 1 sea dada por la variableauxiliar z1 = 0,8, z2 = 2,4 et z3 = 0,8 et que π1 = π2 = π3 = 0,8. La matriz A esreducida al vector
A =
(z1π1
,z2π2
,z3π3
)= (1, 3, 1),
y la ecuacion de equilibrio se vuelve
1× s1 + 3× s2 + 1× s3 = 0,8 + 2,4 + 0,8 = 4.
37
(000) (100)
(101)
(001)
(010) (110)
(111)(011)
Figura 6.3: Ninguno de las vertices de K es una cumbre del cubo
El subespacio de restricciones de dimension 2 es representado en la Figura 6.4. En estecaso, el subespacio de las restricciones pasa por dos vertices del cubo pero un vertice dela interseccion no es un vertice del cubo. La ecuacion de equilibrio puede ser satisfechasolo en ciertos casos. Decimos entonces que el sistema de ecuaciones de equilibradopuede a veces ser satisfecho.
(000) (100)
(101)
(001)
(010)(110)
(111)(011)
Figura 6.4: Dos vertices de K son vertices del cubo pero el tercero no lo es
Cuando el sistema de ecuaciones de equilibrio puede a veces ser satisfecho, ciertas mues-tras son exactamente equilibradas. Sin embargo, es necesario tomar en consideracionen el diseno de muestreo las muestras que no son exactamente equilibradas para podersatisfacer las probabilidades de inclusion.
Una propiedad determinante para la implementacion del metodo del cubo es quetodos los vertices del poliedro convexo K posean por lo menos N − J componentesiguales sea a 0, sea a 1, donde J es el numero de variables de equilibrio. Esta propiedademana del resultado siguiente:
Resultado 6.1 Si r = [rk] es un punto extremo de K entonces card{k|0 < rk < 1} ≤J.
38
Demostracion (por contradiccion) Sea A∗ la matriz A limitada a las unidades noenteras de r es decir limitada a U∗ = {k|0 < rk < 1}. Si q = card(U∗) > J, entoncesKer A∗ es de dimension q − J > 0, y r no es un punto extremo de K. �
6.5. La martingala equilibrada
Para seleccionar un vertice de la interseccion del subespacio y del cubo, vamosa usar un camino aleatorio. El camino empieza con el vector de probabilidades deinclusion π(0) = π. Para satisfacer las probabilidades de inclusion el proceso aleatorioπ(0),π(2),π(3), . . . tiene que ser une martingala.
Definicion 6.2 Un proceso aleatorio discreto π(t) = [πk(t)], t = 0, 1, . . . en RN sellama una martingala equilibrada para un vector de probabilidades de inclusion π ypara las variables auxiliares x1, . . . , xp, si
1. es una martingala: π(0) = π,
2. E [π(t)|π(t− 1), . . . .,π(0)] = π(t− 1), t = 1, 2, . . .
3. queda en la interseccion del subespacio de equilibrio y del cubo: π(t) ∈ K ={[0, 1]N ∩ (π+Ker A)
}, dondeA es una matriz p×N dada por
A = (x1/π1 . . .xk/πk . . .xN/πN).
6.6. Implementacion de la fase de vuelo
La primera etapa de la fase de vuelo es presentada en la Figura 6.5 para un casomuy especıfico: el tamano demografico N = 3 y la unica restriccion de equilibrio es eltamano fijo de la muestra n = 2. En la primera etapa, un vector u(0) debe ser escogido.
π(0)
π(0) + λ∗1(0)u(0)
π(0)− λ∗2(0)u(0)
(000) (100)
(101)
(001)
(010) (110)
(111)(011)
Figura 6.5: Fase de vuelo en una poblacion de tamano N = 3 con una muestra restric-cion de tamano n = 2
Este vector puede ser escogido libremente, pero debe ser tal que π + u(0) permanezca
39
en el subespacio de coacciones. En realidad, el metodo de cubo es una familia de losmetodos que dependen del camino vector u(0)el que es escogido. Este vector puede serescogido al azar o no.
Si, de π, seguimos la direccion dada por el vector u(0), entonces cruzaremos nece-sariamente una cara del cubo. Consideramos este punto denotado sobre la Figura 6.5por π(0) + λ∗
1(0)u(0). Ahora, si, de π, seguimos la direccion opuesta, i.e. la direcciondada por el vector u(0), cruzaremos tambien una cara del cubo. Consideramos estepunto denotado sobre la Figura 6.5 por π(0)− λ∗
2(0)u(0). En la primera etapa, el vec-tor π(0) = π es modificado al azar. Vector π(1) sera puesto a π(0) + λ∗
1(0)u(0) o aπ(0)−λ∗
2(0)u(0). La eleccion es hecha al azar de tal modo que E[π(1)] = π(0) . Al finalde la primera etapa de la fase de vuelo, hemos ası saltado sobre una cara del cubo, quequiere decir que al menos un componente de π(1) es igual a 0 o 1, i.e. que el problemasea reducido de un problema de muestreo de una poblacion de tamano N = 3 a unapoblacion de tamano N = 2. En N pasos por lo menos, la fase de vuelo ası es acabado.
Una manera de implementar una martingala equilibrada consiste en usar el algorit-mo siguiente. Primero, inicializamos por π(0) = π. Luego, En la etapa t = 1, . . . ., T,
1. Definimos un vector u(t) = [uk(t)] �= 0 tal que
(i) u(t) esta en el nucleo (kernel)de la matriz A,
(ii) uk(t) = 0 si πk(t) es entero.
2. Calculamos λ∗1(t) y λ∗
2(t), el valor mas grande tal que 0 ≤ π(t) + λ1(t)u(t) ≤ 1,y 0 ≤ π(t)− λ2(t)u(t) ≤ 1.
3. Elegimos
π(t+ 1) =
{π(t) + λ∗
1(t)u(t) con una probabilidad q1(t)π(t)− λ∗
2(t)u(t) con una probabilidad q2(t),
donde
q1(t) = λ∗2(t)/{λ∗
1(t) + λ∗2(t)}
q2(t) = λ∗1(t)/{λ∗
1(t) + λ∗2(t)}.
6.7. Implementacion de la fase de aterrizaje
6.7.1. El problema
Sea T la ultima etapa de la fase 1, y notamos por π∗ = [π∗k] = π(T ). Sea tambien
U∗ = {k ∈ U |0 < π∗k < 1} . Deville and Tille (2004) mostraron que card U∗ < p, i.e.
que el numero de elementos de U∗ que no son iguales a 0 o 1 es igual a mas pequenoque el numero de variables de equilibrio.
El problema es buscar un plan de muestreo que de una muestra s ⊂ U tal que
∑k∈s
ak ≈∑k∈U
akπ∗k =
∑k∈U
akπk,
40
lo que es equivalente a buscar un diseno muestral que de una muestra s∗ ⊂ U∗ tal que
∑k∈s∗
ak ≈∑k∈U∗
akπ∗k,
donde s∗ = U∗∩ s. Como q = #U∗ es inferior o igual a p, el numero de unidades dondequeda un problema de redondeo es pequeno respecto al tamano de la poblacion.
6.7.2. Solucion 1: programa linear
La primera manera de lograr un diseno de muestreo sobre U∗ que satisfaga lasprobabilidades de inclusion π∗, es hacer la lista de todas las muestras posibles s∗ ⊂U ∗ . Despues, vamos a buscar para cada muestra una probabilidad que respete lasprobabilidades π∗, y que minimice su coste medio.
Por lo tanto, tenemos que definir un coste (s∗) para cada muestra s∗ que mida lacalidad de equilibrio de esta muestra. Este coste aumenta si las ecuaciones de equilibrio(6.1) no se verifican. Por ejemplo, el coste puede ser definido por
C(s)
p∑j=1
Xj(s)−Xj
Xj
,
donde Xj(s) es el valor del estimador de Horvitz-Thompson sobre la muestra s. Elcoste puede tambien ser la distancia entre la muestra y el subespacio de equilibrio.
Para resolver este problema, podemos aplicar el algoritmo del sımplex sobre elprograma lineal,
mınp(.)
∑s∗⊂U∗
C(s∗)p(s∗),
sujeto a que ∑s∗⊂U
p(s∗) = 1,
∑s∗�k
p(s∗) = πk, k ∈ U,
0 ≤ p(s∗) ≤ 1, s∗ ⊂ U,
donde C(s∗) es el coste asociado a la muestra s∗.
6.7.3. Solucion 2: supresion sucesiva de variables
El metodo de del programa lineal es limitado por el hecho que no se puede hacerla lista de todas las muestras posibles si el numero de variables de equilibrio es masgrande que 20. Otro metodo simple para implementar la fase de aterrizaje consiste ensuprimir una variable de equilibrio al final de la fase de vuelo. Entonces, se puede poneren marcha de nuevo la fase de vuelo porque la dimension del subespacio ha pasado deN − p a N − p+ 1. Es posible moverse de nuevo en el subespacio. Al fin de la segundafase de vuelo, se suprime una nueva variable de equilibrio, y ası sucesivamente hasta
41
que no haya mas variables. Las variables suprimidas en primero lugar no seran tan bienequilibrados que las variables que son suprimidas al final. Por eso, se necesita suprimirlas variables en un orden que vaya de las menos importantes a las mas importantes.
6.8. Varianza en un plan equilibrado
6.8.1. Una tecnica de residuos
La varianza del estimador de Horvitz-Thompson puede ser estimada usando latecnica de residuos desarrollada en Deville and Tille (2005). Esta tecnica de residuoses comparable a la tecnica usada para estimar la varianza del estimador de calibraciony fue validada por un conjunto de simulaciones. La varianza estimada del estimador deHorvitz-Thompson es entonces muy similar a la varianza estimada del estimador por laregresion generalizada (GREG). Sin embargo, la varianza del estimador por la regresiongeneralizada es generalmente subestimada porque no toma en cuenta el hecho que lospesos son aleatorios. En efecto, si la varianza usual del estimador GREG es calculadapara el caso especial de la post-estratificacion, encontramos la varianza de un planestratificado con afijacion proporcional. La varianza del estimador post-estratificado estodavıa mas grande que la varianza en un diseno de muestreo estratificado con afijacionproporcional.
6.8.2. Aproximacion de la varianza
Deville and Tille (2005, method 4) han propuesto la aproximacion siguiente de lavarianza dada en (6.3):
varp(Yπ) ∼= varapp(Yπ) =∑k∈U
dk(yk − x′
kb)2
π2k
, (6.3)
donde
b =
(∑k∈U
dkxkx
′k
π2k
)−1 ∑k∈U
dkxkykπ2k
,
y los dk son la solucion del sistema no lineal
πk(1− πk) = dk −dkx
′k
πk
(∑�∈U
d�x�x
′�
π2�
)−1dkxk
πk
, k ∈ U. (6.4)
Esta aproximacion, que usa solamente probabilidades de inclusion del primer orden hasido validada por Deville and Tille (2005) para un gran conjunto de disenos equilibra-dos. Una aproximacion proxima de la Expresion (6.3) fue tambien obtenida por Fuller(2007) para disenos equilibrados obtenidos por una procedimiento de rechazo.
42
6.8.3. Estimacion de la varianza
Deville and Tille (2005) propusieron una familia de estimadores de varianza paramuestreo equilibrado de la forma
var(Yπ) =∑k∈S
ck
(yk − x′
kb)2
π2k
, (6.5)
donde
b =
(∑�∈S
c�x�x
′�
π2�
)−1 ∑�∈S
c�x�y�π2�
y los ck son las soluciones del sistema no lineal
1− πk = ck −ckx
′k
πk
(∑�∈S
c�x�x
′�
π2�
)−1ckxk
πk
, (6.6)
Que puede ser resuelto por un algoritmo de punto fijo.En Deville and Tille (2005), otras expresiones simples son propuestas. Se pueden
tomar otros valores para los ck,
ck ≈n
n− p(1− πk),
Que son muy cerca del ck. El estimador var(Yπ) es aproximadamente sin sesgo porquees un estimador por substitucion de la aproximacion dada en la expresion (6.3), (paramas informaciones sobre los estimadores por substitucion ver Deville, 1999).
6.9. Muestreo equilibrado en practica
6.9.1. Interes de muestreo equilibrado
En el marco asistido por el modelo y basado sobre el modelo, un diseno de muestreoequilibrado con el estimador de Horvitz-Thompson es a menudo la estrategia optima(ver Nedyalkova and Tille, 2009). En realidad, cuando la muestra es equilibrada, lasvarianzas de los estimadores Horvitz-Thompson de las variables auxiliares son igualesa cero. Bajo un modelo lineal, la varianza del estimador de Horvitz-Thompson de lavariable de interes solo dependera de los residuos del modelo.
Las ventajas de muestreo equilibrado son ası:
El muestreo equilibrado aumenta la exactitud del estimador de Horvitz-Thompson.Este punto ha sido desarrollado en la Seccion 6.8.2. De hecho, la varianza delestimador de Horvitz-Thompson solo depende de los residuos de la regresion dela variable de interes por las variables de equilibrio.
El muestreo equilibrado protege contra errores de muestreo grandes. Las muestrasmas desfavorables tienen una probabilidad nula de ser seleccionada.
43
En la inferencia basada en el modelo, el muestreo equilibrado protege contra unamala especificacion del modelo. Este punto en gran parte es desarrollado porRoyall (1976b,a); Valliant et al. (2000). Encuentran una discusion reciente deesta pregunta importante en Nedyalkova and Tille (2009).
El muestreo equilibrado asegura que los tamanos de la muestra en areas partic
-ulares no son demasiado pequenos o - mucho peor - iguales a cero.
El muestreo equilibrado permite evitar el uso de un procedimiento de calibracion.Si el diseno de muestreo no contiene ninguna restriccion (por ejemplo con eldiseno de Poisson), el sistema de ponderacion obtenido segun un procedimientode calibracion puede ser muy arbitrario, lo que reduce la eficiencia del estimador.
La ventaja y la simplicidad del metodo de cubo son tan obvias que el metodo decubo ha sido rapidamente usado en muy grandes procesos estadısticos. El primer usodel metodo de cubo era la seleccion de los grupos de rotacion para el censo frances. (verDesplanques, 2000; Dumais et al., 2000; Durr and Dumais, 2001, 2002; Dumais andIsnard, 2000; Bertrand et al., 2004; da Silva et al., 2006). Para los municipios con menosde 10,000 habitantes, cinco grupos de rotacion que se no superponen de municipiosfueron seleccionados usando un diseno de muestreo equilibrado con probabilidades deinclusion iguales (1/5). Cada ano, un quinto de los municipios son entrevistados. Tansolo despues de 5 anos, todos los pequenos municipios habran sido seleccionados. Paralos municipios con mas de 10,000 habitantes, en cada municipio, cinco muestras dedirecciones que no se no superponen son seleccionadas con probabilidades de inclusion1/8. Tan solo despues de 5 anos, 40
En la muestra maestra francesa, las unidades primarias son areas geograficas queson seleccionadas usando un diseno de muestreo equilibrado (vermirar Wilms, 2000;Christine and Wilms, 2003; Christine, 2006). La muestra maestra es un muestreo auto-ponderado bietapico. Entonces las unidades primarias son seleccionadas con probabili-dades desiguales proporcionales a sus tamanos. Las variables de equilibrio son variablessocio-demograficas tomadas del ultimo censo. Bardaji (2001) y Even (2002) tambienhan usado muestreo equilibrado para seleccionar una muestra de los beneficiarios detrabajo subvencionado. Siete poblaciones son inspeccionadas, una muestra equilibradade beneficiarios es seleccionada en cada una de las poblaciones, usando entre dos ycinco variables de equilibrio segun las poblaciones.
En la empresa Electricite de France (EDF), nuevos contadores de electricidad per-mite de medir el consumo de electricidad para cada casa en una base continua. Lacantidad de informacion es tan grande que es imposible archivar todos los datos. Desser-taine (2006, 2007) ha usado muestreo equilibrado para seleccionar las serias temporalesde consumo que deben ser archivadas para asegurar una buena representacion de lapoblacion francesa. Biggeri and Falorsi (2006) han usado nuestreo equilibrado paramejorar la calidad del ındice del los precios en Italia. D’Alo et al. (2006) tambienpropuso usar muestreo equilibrado para estimar totales en pequenos areas. Algunassimulaciones fueron hechas por Marı et al. (2007b) y Marı et al. (2007a) en Argentinapara evaluar el interes de muestreo equilibrado para la muestra maestra.
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6.9.2. Muestreo Equilibrado Contra Otras Tecnicas de Muestreo
El muestreo con probabilidades desiguales es un caso particular del metodo de cubo.De verdad, cuando la unica variable auxiliar es la probabilidad de inclusion, la muestratiene un tamano de muestra fija. El metodo de cubo es una generalizacion del metodode escision (vean Deville and Tille, 1998), que incluye varios algoritmos de muestreo conprobabilidades desiguales (el metodo de Brewer, el metodo pivotal, el metodo Sunter).La estratificacion es tambien un caso particular del metodo de cubo. Las variables deequilibrio son los indicadores de los estratos. El interes del metodo de cubo es quepermite equilibrar sobre estratos que se superponen. Por ejemplo, una muestra puedeser equilibrada sobre los totales marginales de una mesa de contingencia. Ademas,se pueden usar variables cualitativas y cuantitativas juntas. El muestreo sistematicoaun puede ser visto como un diseno de muestreo equilibrado sobre la estadıstica deorden(pedido) relacionada con la variable sobre la cual ordenan(piden) a la poblacion.
Casi todas las otras tecnicas de muestreo son casos particulares de muestreo equili-brado (excepto el muestreo multietapico). De hecho, el muestreo equilibrado es simple-mente mas general, en el sentido que todos los otros metodos de muestreo pueden serpuestos en practica con el metodo de cubo. El muestreo equilibrado nos permite usarcualquier variable para el equilibrio. Con el concepto general de equilibrio, los estratospuede superponerse, las variables cuantitativas y cualitativas pueden ser usadas juntos,y las probabilidades de inclusion pueden ser escogidas libremente.
Es conocido que el estimador de razon y el estimador postestratificado son casosparticulares del estimador de regresion. El estimador de regresion es tambien un casoparticular del estimador de calibracion (que incluye un ajuste no lineal). De la mismamanera, el muestreo equilibrado es mas un metodo general de muestreo que incluyecasi todos los otros metodos.
6.9.3. Eleccion de las variables de equilibrio
La recomendacion principal es de escoger las variables de equilibrio que son muycorrelacionadas a las variables de interes. Como, con cualquier problema de regresion,las variables de equilibrio deben ser escogidas segun un principio de tacanerıa: No hayque escoger demasiadas variables de equilibrio porque, para cada variable, un gradode libertad se pierde para la estimacion de la varianza. Practicamente hablando, lasvariables de interes son multiples, entonces las variables de equilibrio bien deben sercorrelacionadas con las variables de interes en general, y las variables auxiliares nodeberıan ser demasiado correlacionadas entre ellas. Lesage (2008) propuso un metodopara equilibrar sobre estadısticas complejas, mas que simplemente usando totales depoblaciones. La idea principal consiste en el equilibrio sobre la variable linealizada (ola funcion de influencia) del parametro de interes.
En muchos casos, las variables de equilibrio contienen errores de medida. Por ejemp
-lo,en la mayor parte de registros,sepuede sospechar errores en los datos.No-respuestaspueden obviamente ocurrir y variables auxiliares son a menudo corregidas por un meto-do de imputacion. Como para la calibracion, el hecho de tener errores en las variablesauxiliares no es muy importante, por lo que la calibracion se hace sobre el total de las
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variables auxiliares del registro. Con el muestreo equilibrado, el estimador de Horvitz-Thompson es sin sesgo incluso si las variables auxiliares son falsas. El beneficio en laeficacia depende solamente de la correlacion entre las variables de equilibrio y las vari -ables de interes. Esta correlacion generalmente no es afectada por algunos errores enlas variables de equilibrio.
Varias variables pueden ser usadas para mejorar la estimacion en el pequeno do-minio. Para asegurar que un dominio D no esta vacıo, se puede simplemente anadir lavariable auxiliar:
xk =
{πk si k ∈ D0 si k /∈ D,
lo que implica que el numero de las unidades probadas que pertenecen a D es igual
nD =∑k∈U
xk =∑k∈D
πk,
si nD es el numero entero, o uno de los dos numeros enteros mas cercanos a nD si nD
no es el numero entero.
6.9.4. Equilibrio versus Calibracion
La estratificacion es un caso particular de equilibrio, mientras que la estratificaciones un caso particular de calibracion. En la estratificacion y el equilibrio, los pesos noson aleatorios. Por lo tanto, el muestreo equilibrado es, en general, una mejor estrate-gia. Sin embargo, se necesita mas informacion adicional para equilibrar. En efecto,para el muestreo equilibrado, las variables auxiliares deben ser conocidas por todaslas unidades de la poblacion, mientras que, para la calibracion, solo los totales depoblacion son necesarios. Equilibrio es un metodo muy interesante para poblaciones depequeno tamano. Por lo tanto, un metodo de cubo es muy interesante para la seleccionde unidades primarias en una muestra multietapica.
Ambas tecnicas se pueden utilizar juntas y no son contradictorias. La mejor estrate-gia consiste en la utilizacion de muestreo equilibrado y calibracion juntos. De hechola calibracion puede resolver el pequeno problema de redondeo que puede permanecerdespues en la muestra equilibrada. En la etapa de estimacion, en general hay masvariables auxiliares disponibles. En general, se recomienda volver a calibrar en las vari-ables de equilibrio en la fase de estimacion, aunque mas variables de calibracion estendisponibles. Si solo se utilizan las nuevas variables en la calibracion, se puede perder elefecto de equilibrio. Hay, sin embargo, un caso en que la calibracion se puede utilizar sinnecesidad de volver a calibrar en las variables de equilibrio: cuando uno puede razon -ablemente suponer que condicionalmente a las variables de calibracion, las variables deequilibrio no tienen correlacion con las variables de interes. Esto puede ocurrir cuandoel equilibrio y la variable de calibracion son las mismas variables medidas en diferentesmomentos, y las variables de calibracion son mas recientes.
Cuando el coeficiente de determinacion entre la variable de interes y las variablesauxiliares es igual o cercano a uno, despues de la calibracion es mas eficiente debidoal problema de redondeo de muestreo equilibrado. De todos modos la estrategia mas
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eficiente consiste en utilizar muestreo equilibrado y calibracion juntos (ver la simulacionen Deville and Tille, 2004).
6.9.5. Precision de las ecuaciones de equilibrio
Es posible demostrar, con condiciones realistas (ver Deville and Tille, 2004), quecon el metodo del cubo ∣∣∣∣∣
Xj −Xj
Xj
∣∣∣∣∣ < O(p/n),
donde p es el numero de variables, y O(x)/x es una cuantidad que queda delimitadacuando x tiende a infinito. Con un plan simple,
∣∣∣∣∣Xj −Xj
Xj
∣∣∣∣∣ = Op(√1/n),
donde Op(x)/x es una cuantidad que queda delimitada en probabilidad cuando x tiendeal infinito.
La ganancia de precision, es muy importante. El pequeno problema de redondeopuede ser fijado por una pequena calibracion. El problema de redondeo viene del hechode que la seleccion de una muestra es un problema en numeros enteros. Este problematambien ocurre en estratificacion, que es un caso particular del muestreo equilibrado. Enestratificacion con afijacion proporcional, las sumas de las probabilidades de inclusionen los estratos no son por lo general enteras. Ası, el tamano de las muestras en losestratos es obtenido por el redondeo de la suma de probabilidades de inclusion en losestratos. El metodo del cubo lo hace de forma automatica y redondeo al azar, de talforma que se garantice que las probabilidades de inclusion sean exactamente satisfechas.
6.9.6. Principales Implementaciones de muestreo equilibrado
Una implementacion en SAS-IML ha sido programado por tres estudiantes de laEcole Nationale de la Statistique et de l’Analyse de l’Information (ENSAI) (Bousabaaet al., 1999). Una version oficial hecha porTardieu (2001); Rousseau and Tardieu (2004)esta disponible en la pagina web del INSEE. Otra version en SAS-IML hecha porChauvet and Tille (2005b,a, 2006, 2007) esta tambien disponible en la pagina web de laUniversidad de Universidad de Neuchatel. En lenguaje R, el paquete (Tille and Matei,2007) permite usar el metodo del cubo. Todos estos programas son libres, disponiblesobre el Internet y muy faciles de usa.
Estos programas escritos en lenguaje R o en SAS-IML no tienen lımites para eltamano de la poblacion. Una aplicacion con 40 variables auxiliares es posible. El tiempode calculo aumenta de N × p2, donde N es el tamano de la poblacion y p es el numerode variables de equilibrio. Por eso, se puede seleccionar una muestra en una poblacionde varios millones de unidades.
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