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Apéndice IV. Ecuación de Euler de las turbobombas.

El agua al atravesar el rodete de una bomba, como el mostrado en la figura, posee un movimiento que se compone de la suma de dos velocidades, una debida al arrastre del agua por el rodete y otra que representa la velocidad relativa del agua respecto al rodete, es decir, como si estuviera en reposo. La velocidad de arrastre es lo que denominamos velocidad lineal (u) cuya rapidez es igual a la velocidad angular (ω) (número de revoluciones por minuto) multiplicado por el radio de giro. Por lo tanto aumenta entre la entrada del rodete y la salida, ya

que aumenta el radio de giro entre R1 y R2. En cuanto a la velocidad relativa (w), en este caso disminuye su rapidez ya que, el agua entra por AB y sale por A’B’, si tenemos que la altura del rodete a la entrada es b1 y a la salida es b2. La sección que atraviesa el agua a la entrada y a la salida será respectivamente:

S1 = AB · b1 S2 = A’B’ · b2. Si entre estos dos álabes esta circulando un caudal de agua Q, por la ecuación de continuidad:

Q = S1 · w1 = S2 · w2 Donde w1 y w2 es la velocidad relativa a la entrada y salida del rodete, es decir como si estuviera en reposo. Como AB es menor que A’B’ y las alturas b1 y b2 se diferencian poco, la sección de la canalización entre los dos rodetes aumenta, por lo tanto w2 < w1. La suma vectorial de ambas velocidades (u y w) a la entrada y a la salida se denominan velocidades absolutas V1 y V2. A su composición vectorial se denomina triángulo de velocidades:

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La velocidad absoluta a su vez se puede descomponer en dos componentes una radial (V1n y V2n) y otra tangencial (V1t y V2t). La bomba se diseña para que el agua posea una velocidad absoluta en la entrada radial luego (V1t = 0), tal como se muestra en la figura:

La variación de la componente radial es consecuencia del aumento de la sección en el canal, es decir por la ecuación de continuidad. Pero la causa que produce que varíe la componente tangencial es el par motor35 (Mmotor) aplicado al rodete, que produce una variación del momento cinético (L)36 del fluido entre la entrada y la salida:

M Lt

m v Rt

mt

R v Q R vmotort

t m t= =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ΔΔ

ΔΔ Δ

Δ Δ( ) ( ) ( )

Donde Qm es el caudal másico de agua (Qm = ρ · Q) que circula, la expresión queda:

M Q R v R vmotor t t= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ρ ( )2 2 1 1 La potencia que esta ejerciendo el motor que mueve la bomba será igual al par multiplicado por la velocidad de giro (ω):

P M Q R v R v Q u v u vmotor t t t t= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ω ρ ω ω ρ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 1 Donde ω es la rapidez angular o velocidad de giro, que multiplicada por el correspondiente radio da las velocidades lineales u1 y u2 respectivamente. Luego la potencia que ha adquirido el fluido es igual a:

P Q u v u vt t= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ρ ( )2 2 1 1

Esta potencia es la que se ha transformado en potencia hidráulica que según se vio es

35 Par motor o de giro es el momento (Mmotor = F·R) necesario para mover un cuerpo de masa m alrededor de un punto fijo separado a una distancia R.. Se mide en N·m. Ver Apéndice I. 36 L = m·v·R Ver Apéndice I.

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igual a:

Ph = γ · H · Q

Comparando ambas expresiones queda:

Ph = γ ρ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅Η Q P Q u v u vt t( )2 2 1 1 Despejando H:

Esta expresión es la que se conoce como Ecuación de Euler de las turbomáquinas. Y representa la altura manométrica que puede dar la bomba en función de las velocidades lineales y tangenciales.

Esta expresión la podemos poner en función del caudal suponiendo que existen infinitos álabes y por diseño v1t = 0.

El caudal que atraviesa la salida del rodete, S2 ya no abarca soló el canal A’B’ sino que es toda la circunferencia de radio R2:

Q = S2 · v2n = (2 · π · R2) · b2 · v2n

El ángulo de salida del álabe β2 es igual a:

tg 22 2

ββ π β

=⋅

⇒ = − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

vu v

v uv

tg u Q

R b tg n

tt

n2

2 22 2

22

2 22 Luego la ecuación de Euler se puede escribir:

2 2

Η ∞ = ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅1

2 22 22 2

22

2

2 2gu u Q

R b tg ug

uR b tg

Q( )π β π β

Η ∞ = ⋅ ⋅1

2 2gu v t

Η = ⋅ ⋅ − ⋅1

2 2 1 1gu v u vt t( )

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Las bombas se diseñan con un ángulo β2 menor de 90º Por lo tanto la expresión anterior se puede expresar de la forma:

Η ∞ = ⋅ + ⋅ ⋅A N B N Q2

Siendo los coeficientes A y B función de la geometría del rodete u se ha expresado la velocidad u2 como producto de la velocidad angular (N en revoluciones por minuto) por el radio. Esta es la curva característica altura – caudal teórica de la bomba, que es una recta decreciente.

La curva real que se obtiene mediante ensayos difiere de la teórica, ya que en su deducción se ha supuesto que toda la potencia del motor ha pasado al rodete y que todas las trayectorias del agua tienen el mismo triangulo de velocidades, es decir que existen infinitos álabes, cosa que no ocurre ya que el agua no sigue la misma trayectoria en el canal AA’BB’. Esto se traduce en que la curva característica para una bomba con z álabes tenga una expresión de la forma:

Η z C N D N Q E Q= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅2 2

Donde C, D y E son constantes que se determinan mediante ensayos y N representa la velocidad de angular.

Euler – Juan Miguel Suay Belenguer