EUCLIDES, PACIOLI Y EL ANALISIS DE RATIOS FINANCIEROS: APROXIMACION HISTORICA, TEXTUAL Y ESTADISTICA.

Ana García Gallego

M. J. Mures Quintana J. Lanero Fernández

(Universidad de León)

I.- INTRODUCCION

Aunque Euclides es uno de los matemáticos más conocidos, sino el que más, pues su nombre ha sido sinónimo de la geometría hasta el siglo XX, sólo disponemos de dos datos de su biografía e incluso éstos, no están libres de dudas. Uno es que vivió en un tiempo posterior a los discípulos de Platón y anterior a Arquímedes. El otro es que residió y enseñó en Alejandría. Esta última información nos la facilita Papo, que nos dice que Apolonio vivió en la ciudad con los discípulos de Euclides. Dado que Alejandro ordenó la la fundación de la ciudad en el 332 AC y que fueron necesarios más de diez años para que el proyecto de la ciudad fuera tomando cuerpo, podemos establecer la actividad de Euclides en Alejandría en el espacio de tiempo que va desde el 320 al 260 AC. Las actividades de Apolonio en Alejandría están documentadas durante los reinados de Ptolomeo III Evergetes (que ascendió al trono en 246) y Ptolomeo IV Filópator (que sucedió a su padre en 221 AC). Por consiguiente, es posible que la vida de Euclides y la de Arquímedes coincidieran en algunos años. La cima de la vida de Euclides estaría en torno al año 300 AC (Busard 1983: 1). La fama de Euclides, sobre todo, descansa en sus Elementos, escritos en trece libros. Los seis primeros versan sobre geometría elemental plana; del VI al IX, sobre la teoría de los números; el X sobre los inconmensurables y los tres últimos sobre geometría sólida.

En el siglo IV, Teón de Alejandría los reeditó alterando la lengua en algunas partes con el fin de que los conceptos quedaran más claros, con la incorporación de pasos intermedios y ofreciendo demostraciones alternativas, nuevos casos y corolarios. Todos los manuscritos que se han conocido hasta el siglo XIX se derivan de la recensión de Teón. Las cosas cambiaron cuando Peyrard (1819) descubrió en la biblioteca Apostólica Vaticana un manuscrito, ahora conocido como P, que se retrotrae a un texto más temprano y que es la base de la edición definitiva de Heiberg (Heiberg y Menge 1883-1916).

En la antigüedad era habitual atribuir a autores conocidos obras que no había escrito. De ahí que algunas versiones de Euclides dispongan de los libros XIV y XV que, como se ha demostrado, son apócrifos.

II.- EL EUCLIDES ARABIGO DEL MEDIEVO

Conocer las traducciones al árabe de los Elementos resulta ser un paso previo indispensable para conocer las versiones latinas occidentales de Euclides, pues éstas, cuando corría ya el siglo XII eran traslaciones de la tradición arábiga. La primera traducción al árabe que conocemos es la de al-Hajjāj ibn Yūsuf ibn Matar (ca. 786-833) durante el calificato ‘Abbāsid de Hārūn ar-Rashīd (786-809), a petición del visir Yahyā ibn Khālid ibn Barmak. En realidad al-Hajjāj realizó dos versiones de los Elementos; la segunda es una especie de recensión de la primera traducción que lleva el sobrenombre de Ma`mūni (referida a al-Ma’mūn [813-833]).

Una modificación de esta segunda versión, que editaron Besthorn, Heiberg et al. Se conserva en un manuscrito de Leiden, conocido como Codex Leidensis 399.l. Desconocemos la similitud que existe entre este texto y la segunda versión de al-Hajjāj, pues es probable que fuera modificado para combinarlo con los comentarios de an-Nayrīzī, a los que nos referiremos más adelante. Ya en el siglo X apareció una nueva traducción que resulta estar más en consonancia con la tradición griega, obra de Ishāq ibn Hunayan (muerto en 910), hijo de uno de los más ilustres traductores árabes, Hunayn ibn Ishāq. Se hizo una segunda recensión a instancia de un estudioso que, por derecho propio, ocupa un puesto destacado en la historia de las matemáticas árabes: Thābit ibn Qurra (muerto en 901). Los textos espurios de los libros XIV y XV de los Elementos los tradujo Qustā ibn Lūqā, matemático y astrónomo de Baghdad de Bagdad (fallecido en torno a 912). La recensión arábiga considerada standard es la de Nasīr ad-Dīn at-Tūsī (muerto en 1274). Sabemos que al menos una Tahrīr Usūl Uqlīdis (recensión de los Elementos de Euclides) la completó at-Tūsī en 1248. Abarca los quince libros y se sirve de tanto de la traducción de Hajjāj como de la de Ishāq-Thābit (Sezgin 1967-1984: V, 105-115).

III.- LA TRADICIÓN ARABIGO-LATINA DE LOS ELEMENTOS

Una vez que los estudiosos medievales pudieron disponer de las traducciones íntegras de los Elementos desde el árabe, los denominados fragmentos euclideanos, bien conocidos en las escuelas monásticas y catedralicias, quedaron en desuso. Del esfuerzo de intentar identificar los vínculos entre los precarios fragmentos del primer período medieval y el verdadero Euclides, se pasaba ahora al trabajo de lograr identificar la autoría de los nuevos textos, las fuentes y los tiempos de su traducción, el número y lo completas que pudieran ser las versiones divergentes así como su influencia. La nueva tradición dominante era doble: un grupo procedía del Euclides de al-Hajjāj y la otra de Ishāq-Thābit. La recensión de at-Tūsī apareció demasiado tarde como para entrar en la competencia de la actividad traductora del siglo XII.

Los Elementos latinos que se basan en el texto de Ishāq-Thābit se deben a Gerardo de Cremona (ca.1114-1187), traductor vinculado a la Escuela de Traductores de Toledo (Busard 1984). Es de sobra conocido que el propio Gerardo incluyó entre sus traducciones una copia de los Elementos, pero no fue hasta 1901 cuando A. A. Björnbo descubrió que un manuscrito vaticano anónimo, Reg. Lat. 1268 contenía una traducción del árabe de los Elementos, Libros X-XV, obra de una mano desconocida. Posteriormente, en 1904, después de reparar en que otros manuscritos contenían los quince libros de los Elementos, concluyó que aquel manuscrito debía ser el texto de Gerardo. No obstante, su traducción no está puramente basada en la versión de Ishāq-Thābit, pues también incorpora material tomado de una versión del al-Hajjāj, con toda probabilidad, la primera. Y dado que el manuscrito árabe Escorial 907 y que sigue la versión de Ishāq-Thābit también contiene ese material, es muy posible que Gerardo no utilizase los textos de ambos para hacer su traducción sino que fundamentara su trabajo en un texto de Ishāq-Thābit que a suvez ya dispusiera de incrustaciones de al-Hajjāj. Con toda probalidad, la obra se concluyó en 1167. Gerardo también contribuyó al Euclides Latinus Medii Aevi traduciendo los comentarios de an-Nayrīzī (ca. 897-922) sobre los diez primeros libros de los Elementos; el comentario de Muhammad ibn ‘Adbalbāqi (ca. 1100) sobre el Libro X, y al menos parte la traducción que Abū ‘Uthmān ad-Dimashqī (ca. 908-932) había hecho del comentario de Papos sobre el Libro X.

El siguiente paso lo dio Herman de Carinthia, también conocido como Herman Dalmatin o Sclavus Dálmata, Secundus (ca. 1140-1150), traductor bien conocido de textos astronómicos del árabe. En la relación de escritos que varios autores le atribuyen no se dice que tradujera a Euclides. Sin embargo, Birkenmajer ha seguido la pista de un manuscrito parisino de los Elementos que, a lo que parece, sería de su autoría (Birkenmajer 1970). En una comparación

entre los manuscritos que Richard de Fournival detalló en Amiens en su Biblionomia (hacia 1246) con los que Gerard d’Abbeville donó a la Sorbona en 1271, detectó un ejemplar que podría ser idéntico. El manuscrito, que ahora tiene la signatura MS latin 16646 de la Bibliothèque Nationale, está descrito en Biblionomia con las sigientes palabras: “37. Euclidis geometría, arithmetica et stereometria, ex commentario Hermanni secundi”. Por consiguiente, esta versión, presuntamente es obra de Herman (Busard 1968; Busard 1977). El manuscrito de París, que podemos fechar en el siglo XIII, tan sólo contiene los primeros doce libros de los Elementos. Y aunque hasta entonces sólo se conocía un manuscrito que contuviera la traducción de Herman, hay razones de peso para aceptar que el autor del manuscrito anónimo vaticano Reg. lat. 1268 que dispone de los Libros V,VI y X-XI.4 de los Elementos (Fols. 72r-113v) guarda relación con la versión original de Herman. Y puesto que las demostraciones en el manuscrito vaticano MS Reg. Lat. 1268 que se parecen o muestras la influencia de las de Herman están más elaboradas, hemos de reconocer que la versión de Herman según hoy se conserva, está muy concisa. Es muy posible que para su traducción Herman utilizara alguna variación del texto al-Hajjāj; si bien es un aspecto que convence, no podemos considerarlo como concluyente. En efecto, la versión de Herman contiene cierto número de términos arábigos que no se encuentran en otras; la presencia de varios términos griegos tales como rumbus (ρύμβος) nos indica que es posible que conociera los pasajes de Boecio.

Uno de los traductores ingleses más destacados de la época medieval fue Adelardo de Bath (1116-1142), que convirtió el aprendizaje árabe-griego en árabe-latín. Fue un gran viajero: primero fue a Francia; estudió en Tours y enseñó en Laon. Después, durante siete años, visitó Salerno, Sicilia, Cilicia, Siria y, posiblemente, Palestina. Es probable que pasara algún tiempo en España, habida cuenta de sus numerosas traducciones del árabe; de entre todas ellas destaca su versión de las tablas astronómicas de al-Khwārizmī de la forma revisada del astrónomo español Maslama ibn Ahmad al-Majrītī. Sin embargo, puede que aprendiera árabe en Sicilia y que consiguiera los textos hispano-árabes de otros arabistas que habían vivido en España, tal es el caso de Pedro Alfonso. Lo hallamos de nuevo en Bath en 1130, fecha en la que su nombre aparece en el Pipe Roll. En sus escritos encontramos varias alusiones a su vinculación con la corona. La dedicación de su Astrolabe a un joven llamado Enrique (suponemos que se refiere al futuro rey Enrique II) nos indica que la composición de la obra se produjo entre 1142 y 1146. No tenemos noticias de otras actividades posteriores. En la obra mencionada es donde Adelardo testifica que tradujo los Elementos.

Dentro de los manuscritos que se atribuyen a Abelardo, hay tres versiones distintas de los Elementos. Una, que podríamos denominar Versión I es una traducción completa de toda la obra de un texto árabe, probablemente el de al-Hajjāj II (en la que están los libros XIV y XV que, como sabemos, no son de Euclides). No se conserva ningún códice con la versión entera, pero una vez examinadas las técnicas traductoras y ciertos arabismos característicos, se ha podido reconstruir el texto íntegro. Únicamente no se han podido reconstruir: el libro IX, las primeras treinta y cinco proposiciones del libro X y las tres últimas proposiciones del libro XV.

El segundo tratamiento de los Elementos que lleva el nombre de Abelardo, denominado Versión II, es de naturaleza completamente diferente. Los enunciados de expresan de forma distinta y las demostraciones frecuentemente con frecuencia se sustituyen por instrucciones para las demostraciones o resúmenes de las demostraciones. Está claro que esta versión no es una simple paráfrasis de la Versión I, pues al menos en parte proviene de un original arábigo, con toda probabilidad un texto de al-Hajjāj, pues contiene un conjunto de arabismos que no se encuentran en la Versión I. De todas las traducciones que se produjeron en el siglo XII, la Versión II parece que fue la más popular y la que habitualmente se estudiaba en las escuelas. No cabe duda de que sus enunciados suministraron un esqueleto en torno al que se pudieron

incorporar diferentes comentarios, siendo el de Campano da Novara, compuesto en el tercer cuarto del siglo XIII, el más conocido (Busard 2005).

La Versión III no parece ser una traducción diferente sino más bien un comentario. Sea o no obra de Adelardo, el caso es que se le atribuye y se la identifica como su traducción en un manuscrito de la Biblioteca Nacional de París. El éxplicit del manuscrito latino 16648 de la Biblioteca Nacional parisiense, en su folio 58r reza así: “Explicit edit[i]o alardi bathoniensis in geometriam Euclidis per eundem a. bathoniensem translatam”. Además, a juzgar por el manuscrito 257 del Balliol College de Oxford, folios 2r-98v, fechado a finales del siglo XII, la Versión III que comentamos se escribió con anterioridad a 1200. Una de las dificultades que se aprecian para adscribirla a Adelardo es la posible referencia al Libro X de la Arithmetica de Jordano que, caso de ser cierta, crearía problemas en su datación (Clagget 1953: 24). No obstante, la referencia no es a Jordano sino más bien a las diez medias que se aprecian en cualquier tratado de aritmética, como es el caso de Boecio (Murdoch 1968: 71.). Esta versión gozó de cierta popularidad; Roger Bacon la citó denominándola editio specialis de Adelardo. Dado que la Versión III cita la II, es probable que se redactara con posterioridad y que esta última suministrara las fuentes directas para los axiomas, definiciones y enunciados que utiliza la Versión III.

De igual modo, es muy posible que la Versión I sea anterior a la II. En caso de ser cierto, la Versión I sería la primera traducción latina completa de los Elementos. La atribución de la Versión I a Adelardo sólo aparece en un manuscrito del siglo XII, el 47, folios 139r-180v, del Trinity College de Oxford. Pero como este mismo manuscrito contiene también la Versión II, que, al igual que otros manuscritos, la adscribe, sin lugar a dudas, a Adelardo, esa adscripción no es especialmente significativa. No obstante, nosotros ponemos en duda que una y otra correspondan a su autoría.

IV.- UTILIZACION DE LAS TRADUCCIONES LATINAS

La Versión II de Adelardo fue, con mucho, la más popular de la Edad Media. Esa popularidad no sólo se demuestra con el considerable número de manuscritos que se conservan sino también con el hecho de que numerosos estudiosos de los siglos XIII y XIV (en los que incluimos a Campano) utilizaron los enunciados de la Versión II para hacer comentarios sobre Euclides o reformular sus demostraciones. Marshall Clagett ha agrupado algunas de estas paráfrasis o adaptaciones (Clagett 1953: 29-30). De ellas cabe hacer mención a las siguientes:

• Londres. British Library. MS Sloane 285. Fols. 1r-65v. • París. Biblioteca Nacional. MS latin 7374. Fols. 1r-111v. • Oxford. Bodleian Library. MS D’Orville 70. Fols. 1r-23v. • La versión de Campano de Novara. La mayoría de sus enunciados adoptan la forma de

la Versión II. • Oxford. Bodleian Library. MS C.C.C. 234. Fols. 1r-172v. • París. Biblioteca Nacional. MS latin 7292. Fols. 188r-267v. • Vaticano. Biblioteca Vaticana. Reg. lat. 1268. Fols. 1r-69r.

Este ultimo manuscrito guarda cierta similitud con unos comentarios a los Elementos, Libros I-IV, atribuidos a Alberto Magno y que se hallan en Viena, Biblioteca Nacional, MS 80/45, folios 105r-145r. La fuente fundamental de los comentarios de San Alberto está en Anarito (al que menciona en varias ocasiones) y que tradujo del árabe Gerardo de Cremona. Por otra parte, San Alberto conocía también otras traducciones de los Elementos y que cita como “commenta Boethii et Adlardi (I.5), “alia translatio”, “translatio ex greca”, “translatio ex arabico”, etc. Al

menos una de ellas es la Versión II o III (no olvidemos que esta última utiliza definiciones, postulados, axiomas y enunciados de la Versión II).

El manuscrito vaticano Reg. lat. 1268, folios 72r-91v contiene una versión del Libro V y VI de los Elementos. Los Libros se presentan con unos comentarios en los que el autor cita a Alfarabio y a Aristóteles. Buena prueba del uso de la versión III la encontramos en la introducción al Libro V, folio 72r:

Sex autem diffinitiones premittit. Quarum prima est partis, id est submultiplicis. Secunda multiplicis. Tertia proportionis. Quarta proportionalitatis. Sed quoniam proportionalitas alia est continua, alia incontinua, ideo quinta deffinitio est continue proportionalitatis. Sexta vero est incontinue. Cetera autem que in hoc prohemio secuntur potius appontur ad assignandum ignotorum verborum significationes quam ad aperiendum notorum verborum proprietates (Cunningham 1972-1973)

En lo referente a la parte incompleta de la Versión I, hallamos los enunciados de X.17 y 24 en el manuscrito vaticano del siglo XIII Reg. lat. 1137, folios 73v-74r. No obstante, las demostraciones pertenecen a la Versión II (según se puede comprobar también en el manuscrito que se conserva en la Biblioteca Riccardiana de Florencia, MS 2968/2, folio 23r). Este manuscrito dispone, igualmente, de la Versión II.

Marshall Clagett ha documentado una referencia valiosa a la traducción de Gerardo en un manuscrito del siglo XIV de la British Library: Harley 5266. Es una copia de la versión de Campano con numerosas anotaciones marginales; en algunas se cita la traducción de Gerardo como “alia translatio”. Igualmente, el escribano también menciona el comentario de an-Nayrīzī (Clagett 1953: 28).

Las versiones de Gerardo de Cremona y de Herman de Carinthia están estupendamente utilizadas en el manuscrito vaticano Reg. lat. 1268. Por lo general, las proposiciones del Libro V siguen la traducción de Gerardo; si bien, el autor combina de manera muy tosca las traducciones de Adelardo, Herman y Gerardo. Es muy posible que este manuscrito se copiara durante la segunda mitad del siglo XIV, si bien entendemos que el texto se escribió en los primeros años del siglo XIII. Según podemos ver en la forma de mezclar las demostraciones, hemos de concluir que se produjo en tiempos no demasiado lejanos de las primeras traducciones. Por consiguiente, es probable que esta obra haya de agruparse con otros comentarios tempranos a los Elementos como son la Versión III y el comentario que se atribuye a Alberto Magno.

V.- PACIOLI Y EL RENACIMIENTO ITALIANO DE LAS MATEMATICAS

La importancia de Pacioli en la Historia de las Matemáticas descansa, como bien sabemos, en su Summa de aritmética, geometria, proportioni e proportionalità. Cierto es que no constituye una obra original sino más bien una recopilación del conocimiento matemático del renacimiento (Rose 1975). Si Pacioli ya conocía la obra de Euclides en Sansepolcro no se sabe con certeza. Se supone que allí recibió instrucción de Piero della Francesca. Sin embargo, aunque así fuera, no pudo ser mucho lo que de él aprendió, pues el mismo della Francesca no estudió los Elementos con detenimiento hasta que preparó su Trattato d’abaco (antes de 1477). No obstante, cuando Pacioli se fue a Venecia, en torno a 1464, resulta verosímil suponer que se inició en la lectura de tratados matemáticos (Folkerts 2006). Si estudió a Euclides con Domenico Bragadino, que le enseñó matemáticas en Venecia, es algo que no se puede afirmar con seguridad. De igual modo, también desconocemos si tuvo relación con el Cardenal Bessarion y su amplia biblioteca especializada en los clásicos griegos y en traducciones latinas. De todos modos, esta biblioteca no se estableció en Venecia hasta después de la muerte del

purpurado en 1472. En todo caso, debió estudiar los Elementos por la época de su ingreso en la Orden Franciscana, entre 1470 y 1477. Es inconcebible que pudiera pronunciar sus conferencias sobre aritmética y geometría en Perugia (1477-1480) sin poseer conocimientos euclideanos. Pero si deseamos andar por la senda de la certidumbre, hemos de referirnos, forzosamente, al momento en el que Pacioli comenzó su obra magna, la Summa, durante su segunda estancia en Perugia durante los años 1487-1488. La concluyó en 1494 y se trasladó a Venecia para supervisar su publicación. La obra, dedicada al joven Duque de Urbino, Guidobaldo da Montefeltro, es la primera indicación incontestable de que había estudiado pormenorizadamente los Elementos de Euclides.

Entre 1497 y 1499 residió en la corte del duque Ludovico Sforza de Milán. Entre los intelectuales y artistas residentes se encontraba Leonardo da Vinci. Sabemos que le planteó preguntas matemáticas a Pacioli y que, a cambio, dibujó las figuras de la Divina Proportione. Pacioli escribió la primera parte en Milán, que concluyó en 1498; en aquella ciudad también impartió conferencias sobre Euclides. En el Prólogo de la Divina Proportione. Teniendo en cuenta que Pacioli tenía especial interés en la teoría de la proporción, que ya había tratado con detenimiento en la Summa, el libro V de los Elementos fue de especial importancia para él. A lo largo de 1508 se dedicó a pronunciar conferencias sobre el mismo en Venecia. Por su edición de Euclides (Pacioli 1509b), sabemos que estas conferencias comenzaron el día 11 de agosto de 1508 en la iglesia de San Bartolomé. Poco tiempo después obtuvo permiso para publicar una serie de libros entre los que destaca el Euclides latino que, como es sabido, se publicó en Venecia en 1509.

Bernardino Baldi, en su biografía de Pacioli, La vita de Luca Pacioli (1589) (Boncompagni 1879: 421-427) dice que Pacioli había preparado una traducción italiana de los Elementos:

Scrisse molte opere, e prima ad instanza per quanto mi credo de la giouentù de Perugia trasferì in lengua uolgare gli Elementi di Euclide, il che gli successe (come egli afferma in una dedicatoria à Piero Soderini) assai felicemente. Seruissi de la traduttione del Campano non discostandosi punto dal opiniones di lui (Boncompagni 1879: 422).

Baldi extrajo esta información de las obras de Pacioli, dado que él mismo menciona en tres ocasiones su traducción de los Elementos de Euclides: en las cartas que constituyen la dedicatoria de De viribus quantitatis (1496-1508) (Pacioli 2009):

Ma ormay a proximandosi de mia UITA lultimi giorni acio le durate fatigue et assidue uigilie non deuesino al tutto anichilarsi como e ditto ali non mediocri affani posta gia la extrema mano con la egregia per noi similmente traductione de latino in uulgare de uerbo ad uerbum del maximo Monarcha dele Mathematici discipline megarense Euclide.

Aparece también en la Divina Proportione (Pacioli 1509a); y en su edición latina de Euclides, en concreto en una carta dirigida al Cardenal Francesco Soderini, hermano de Piero, de 13 de junio de 1509:

Leges qua soles frontis serenitate vernacula lingua per me donatum Euclidem: vt quod opus ad vtilitatem nostrum omnium conscriptum est maximasque humano generi vtilitates parit: Ita omnibus obuium sit: vt cum lingua patria nostra et in his disciplinis locupletetur.

De esas cartas deducimos que la traducción era de la versión de Campano, que ya hemos citado. No se conserva ningún manuscrito con la traducción italiana de Euclides atribuible a Pacioli. Por otra parte, existen dos manuscritos de Euclides, escritos en italiano, anteriores a 1500: Siena, L.IV.16 y L.IV.17. Ambos se basan en el manuscrito de Campano de Novara. No

se menciona el traductor en ninguno de los dos. No existen razones para suponer que el autor sea Pacioli, dado que los textos no coinciden con los fragmentos euclideanos que Pacioli incorporó a la Summa, en la que cita de los libros I, II, III, V, VI y XI. Los párrafos extraídos del Libro V, referentes a la teoría de la proporción, están incorporados en la primera Sección, sobre aritmética; y los provenientes del resto de libros están integrados en la segunda Sección, sobre geometría (Bartolozzi & Franci 1990: 3–28). Es indudable que los fragmentos euclideanos de Pacioli corresponden a la redacción de Campano casi al pie de la letra, según se observa en el orden de las citas, en las adiciones y en los arabismos1 (Folkerts 2006: 225-226).

Pese a lo ya dicho, la evidencia más clara del interés de Pacioli por los Elementos de Euclides la tenemos en su edición latina, publicada en Venecia en 1509. El objetivo de la edición está especificado en el título: que Campano había traducido el texto con exquisita exactitud; que por estar tan corrompido por la intervención de los escribanos, apenas si era reconocible como texto de Euclides; y que, por lo tanto, Pacioli lo había corregido los errores y puesto correctamente 129 diagramas, además de haber añadido otros muchos. Por último, había añadido comentarios a pasajes difíciles, auxiliado por Scipio Vegius de Milán. Cabe señalar que si Pacioli corrigió 129 figuras, según él mismo sostiene, es porque contó hasta los cambios más nimios, según puede verse en la comparación con la edición del texto de Campano publicado en Venecia en 1482. Resulta evidente que la afirmación de Pacioli por lo que hace a sus correcciones no es correcta. No obstante, sí es verdad que añadió numerosas correcciones, generalmente al final de las proposiciones. En la mayoría de los casos antepone la palabra Castigator. Bástenos decir que en el libro V realizó veintidós adiciones de las que cinco sobrepasan las diez líneas de extensión.

Pacioli muestra especial interés por la teoría de la proporción de la que, así mismo, da cumplida cuenta en la Summa. De ahí que no deba sorprendernos que el número de adiciones en el libro V sea considerable. Antes de presentar el texto de las definiciones, informa al lector de su conferencia sobre este libro pronunciada en Venecia en 1508. Destaca la importancia de la proporción en varias disciplinas científicas: filosofía, teología, medicina, astronomía, cosmografía, arquitectura, pintura, música, retórica, gramática y jurisprudencia. Sus adiciones a las definiciones de este libro V también son numerosas. La más extensa corresponde a la definición 5, que resulta incomprensible. Si bien Pacioli no entra en los problemas de lo enrevesado de la definición, aborda cuestiones generales tales como la clasificación de las proporciones.

Está claro que Pacioli, contradiciendo su promesa del título, ni identificó ni corrigió los errores que en el texto de Campano introdujeron los copistas: Se limitó a reproducir el texto impreso en Venecia en 1482 sin alterarlo. Su contribución consistió en aclarar algunos párrafos y hacerlos más comprensibles. Hay que reconocer que Pacioli aplicó el conocimiento matemático que había adquirido para hacer más dinámico el material seco de los Elementos y para demostrar la importancia del contenido matemático de otras disciplinas. Y, como resulta obvio, la edición pacioliana de Euclides contiene elementos de sus conferencias matemáticas.

VI.-TEORÍA EUCLIDEANA DE LA PROPORCIÓN

Aunque la teoría griega clásica de la proporción se expone en los libros V y VI, es en el primero de ellos en el que se sientan las bases conceptuales y deductivas, cuyo núcleo explícito se presenta en las definiciones 4,5 y 7 (Euclides 1576 [2007]; Euclides 1991-1996).

1 Por lo que hace a los párrafos tomados de los libros I, III y VI de Euclides, Pacioli se sirvió del

manuscrito Palatino 577 de la Biblioteca Nacional de Florencia.

• Respecto a la definición 4, expresada como “guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una de otra”, existen interpretaciones en diversos sentidos.

Existen autores que consideran esta definición como una generalización de la relación de razón entre magnitudes homogéneas, mientras que otros consideran que esta definición excluye la mediación de dicha relación entre una magnitud finita y otra infinita del mismo género.

• La definición 5 constituye la piedra angular de la teoría de la proporción, ya que suministra un criterio necesario y suficiente de proporcionalidad, además de adquirir importancia en una perspectiva histórica. Se expresa de la siguiente forma: “una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente”.

• Por su parte, la definición 7 expresa un criterio de no proporcionalidad. Viene expresada de la siguiente forma: “entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta”, lo que constituye, junto a las dos definiciones anteriores, el núcleo básico de la teoría euclideana.

Tomando como referencia todas las definiciones que se presentan en el Libro V y en especial las tres anteriores, se puede afirmar que la teoría euclideana de la proporción reviste gran interés desde los siguientes puntos de vista: historiográfico, sistemático y el de su recepción y transmisión posterior.

• En referencia al punto de vista historiográfico, cabe destacar la peculiar integración del concepto de razón y las relaciones entre esta versión de la proporcionalidad y otras posibles alternativas marginales, como la “anthyphairética”.

• La importancia sistemática de esta teoría se deduce del juego que existe entre sus bases expresas y sus suposiciones tácitas. De hecho, la explicitación y reconstrucción estructural del núcleo de principios (axiomas y definiciones) de la teoría han venido a ser una poderosa tentación para los mejores comentaristas del Libro V. Tanto es así que un criterio tradicional de una versión o un comentario de Elementos ha sido justamente el grado de comprensión y de penetración mostrado con respecto a esta teoría.

• La teoría tiene la trascendencia histórica que le han deparado las circunstancias de su recepción y transmisión, particularmente a través de las versiones arábigo-latinas de la Edad Media, según hemos visto. De hecho, la depuración de algunas interpolaciones y confusiones debidas a esta tradición y difundidas por la influyente edición de Campano de 1482, la labor docente llevada a cabo por Fra Luca Pacioli y su posterior edición latina de 1509, junto con la explicitación progresiva de los supuestos operativos de la teoría, marcaron el desarrollo de la crítica textual de los Elementos antes de la llamada “revolución filológica” del siglo XIX.

Esta teoría cuenta además con el interés añadido de haber contribuido a una incipiente matematización de la filosofía natural a través de, por ejemplo, la Geometria speculatiua

de Bradwardine, en la primera mitad del siglo XIII (Bradwardine 1495)2 y Oresme, en la segunda mitad del siglo XIV (Oresme 1961).

Podría concluirse con lo que dice Robert Simson como colofón a sus anotaciones al Libro V

The 5th book being thus corrected, I most readily agree to what the learned Dr. Barrow says, “That there is nothing in the whole body of the Elements of a more subtile invention, nothing more solidly established, and more accurately handled, than the doctrine of proportionals.” (Simson 1756).

VII.- EVOLUCIÓN HISTÓRICA Y APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE RATIOS FINANCIEROS

El libro V de la obra Los Elementos de Euclides, dedicado a las proporciones, es considerado por Horrigan (1968) como el origen y causa principal del desarrollo del análisis de ratios financieros, en cuanto que éstos se obtienen como razones entre dos magnitudes extraídas de los estados contables. Sin embargo, la utilización de ratios como herramienta de análisis de estados financieros no se generaliza hasta la segunda mitad del siglo XIX, coincidiendo con las últimas fases del desarrollo industrial en Estados Unidos. Podría afirmarse que, al igual que en el desarrollo contable, en lo tocante a las teorías de Euclides, se produce un parón entre la difusión efectuada por Fra Luca Pacioli y los primeros síntomas de evolución y perfeccionamiento en el siglo XIX.

Dos hechos motivaron el continuo incremento de demanda de información de carácter económico-financiero:

− La profesionalización de la gestión empresarial. En la mayoría de sectores económicos, los encargados de la dirección en las empresas eran los propios accionistas emprendedores, pasando en este momento a gestores profesionales.

− La importancia adquirida por el sector financiero como fuerza predominante en el sistema económico, con la consiguiente exigencia de una mayor cantidad de estados financieros con los que valorar la viabilidad de los créditos a conceder.

Por tanto, distinguimos dos vías de desarrollo del análisis de ratios financieros que, aunque relacionadas, siguieron caminos diferentes: por un lado, el análisis con fines de gestión, que se centró en medidas de rentabilidad; por otro, el análisis con fines de evaluación de créditos, cuyo énfasis se puso en la determinación de medidas sobre la capacidad de pago.

Este enfoque de análisis de créditos, más que el segundo, fue el que fomentó el desarrollo general del análisis de ratios financieros, con la introducción de los préstamos no endosables, que motivó que los bancos comerciales solicitaran estados financieros a los prestatarios allá por 1870, si bien esta práctica no se generalizó hasta los años 1890, provocando un gran incremento en el volumen de información económico-financiera. En un primer momento, este flujo de información se analizaba ítem por ítem, realizándose después una comparación por bloques, con la separación entre partidas corrientes y no corrientes, hasta que comenzó el examen de las relaciones entre partidas, destacando el ratio de circulante, resultante de la comparación de los activos circulantes de una empresa con su pasivo a corto plazo. A pesar del desarrollo de otras relaciones durante la misma época de finales de siglo XIX, se considera que la utilización de ratios en el análisis de estados financieros comienza con el ratio de circulante.

2 La edición que citamos estuvo a cargo del ilustre matemático español conocido como Pedro Ciruelo.

Con el inicio del siglo XX y hasta el final de la primera Guerra Mundial, se producen importantes desarrollos en el análisis de ratios. Algunos son de carácter endógeno: la creación de un conjunto de ratios nuevos, la definición de determinados criterios para los ratios financieros existentes (como la famosa regla del 2/1 para el ratio de circulante) y el reconocimiento, por parte de los analistas, de la necesidad de realizar comparaciones entre-empresas, lo que exigía el establecimiento de criterios relativos entre ratios. No obstante, a pesar de estos avances, fueron pocos los analistas que utilizaron ratios durante este periodo, limitándose, en todo caso, a la razón entre activo y pasivo circulante.

Sin embargo, también destacan dos importantes hechos exógenos con influencia en el desarrollo del análisis de ratios financieros: la publicación, en 1913, del primer Código Federal del impuesto sobre beneficios y la creación del Sistema de Reserva Federal en 1914, hechos que incrementaron la demanda de estados financieros y, por consiguiente, implicaron mejoras en su contenido.

Todos estos acontecimientos constituyeron el germen del desarrollo del análisis de ratios, con la recopilación, por parte de Alexander Wall, de una gran muestra de estados financieros procedentes de las bases de datos de bancos comerciales. El trabajo realizado culminó con su conocido informe, publicado en 1919, “Study of credit barometrics”, en el que presentó los resultados de un estudio sobre siete ratios financieros3 correspondientes a 981 empresas, estratificadas por sector y localización geográfica. Su análisis, del que extrajo como conclusión que existían grandes diferencias en el valor de los ratios según áreas geográficas y sectores, fue históricamente significativo, en cuanto que supuso una especie de ruptura con la utilización tradicional de un único ratio con un criterio absoluto.

Junto al estudio de Wall, durante la misma época se produjo otro hecho importante, aunque en el área de la utilización de ratios por la gestión. En el sector comercial, los gestores ya habían utilizado medidas de rentabilidad como margen de beneficios y volumen de negocio, pero en este periodo se introdujeron en el sector industrial, cuando la compañía du Pont comenzó a utilizar el sistema triangular de ratios para evaluar sus resultados de explotación: en el vértice del triángulo se sitúa el ratio de rentabilidad sobre la inversión (Beneficios/Activo total), mientras que la base está formada por el ratio de margen de beneficios (Beneficios/Ventas) y por un ratio de rotación del capital (Ventas/Activo total). Este sistema suponía el establecimiento de un esquema o estructura donde los ratios financieros podían ser desarrollados de un modo lógico, como más tarde se puso de manifiesto en otros países. En Inglaterra, el British Institute of Management, a través del Centre for Interfirm Comparison, adoptó este sistema como instrumento para realizar comparaciones entre empresas, aunque con un carácter más piramidal, puesto que a partir del ROA en el vértice, iban descendiendo ciertos ratios de margen de beneficios y gastos, por un lado, y otros de rotación de activos y fondos propios, por el otro.

Como puede observarse, el desarrollo del análisis de ratios financieros en el Reino Unido tuvo una orientación más relacionada con la gestión empresarial que con la evaluación de créditos, como había ocurrido en los Estados Unidos.

Durante la siguiente década (1920-1929), se produjo un extraordinario incremento en el interés por ratios financieros, que se concretó en la publicación de un gran volumen de trabajos sobre

3 Ratio de circulante, cuentas a cobrar sobre existencias, patrimonio neto sobre activo fijo, rotación de

cuentas a cobrar, existencias y patrimonio neto sobre ventas y, por último, el ratio de deuda sobre patrimonio neto.

análisis de ratios4. Asimismo, asociaciones, universidades, agencias de crédito y analistas individuales en general comenzaron a recopilar datos sobre ratios financieros en diferentes sectores, calculando sus valores medios. Toda esta corriente recibió la denominación de “análisis financiero de ratios”, si bien no hay evidencia de que se llevara a cabo formulación y contraste de hipótesis. En todo caso, Horrigan (1968) considera que este rápido y prolífico desarrollo de ratios durante los años 20 fue una reacción al estudio de Wall (1919), en el que se puso de manifiesto la necesidad de utilizar multitud de ratios y de considerar criterios de comparación determinados empíricamente. El propio Wall trató de mitigar los inconvenientes de esta proliferación de ratios con la propuesta de un índice de ratios que consistía en una media ponderada, cuyas ponderaciones eran valores relativos asignados a cada ratio por un analista. Aunque sin aparente base científica, esta idea puede concebirse como el primer intento para el desarrollo de una (muy simple) función discriminante lineal5.

Entre otros intentos de dotar al análisis de ratios de cierta sofisticación Horrigan (1968) cita el de Bliss6, como el primer sistema coherente de ratios, en el que éstos estaban conectados de un modo lógico determinado a priori, a partir de las múltiples relaciones entre los ratios que medían los costes y gastos, los de rotación y los que reflejaban los beneficios. De hecho, Horrigan (1968: 287) considera este trabajo como “a very promising beginning for the development of a theory of ratio analysis”.

Sin embargo, a pesar del gran entusiasmo sobre las posibilidades de los ratios como herramientas de análisis financiero que se generó en la década de los 20, también surgieron voces en contra, con la aparición de la primera crítica real a la utilización de ratios, de manos de Gilman7. Entre las objeciones planteadas por este autor, podemos resaltar las siguientes: las variaciones de ratios en el tiempo no pueden interpretarse porque tanto el numerador como el denominador varían, son medidas artificiales y desvían la atención del analista respecto a una visión global de la empresa, por lo que no reflejan relaciones fundamentales dentro de la misma. Además, su fiabilidad como indicadores varía mucho entre ratios.

Ante las críticas anteriores, cabría esperar una respuesta contundente por parte de las “escuelas” defensoras del análisis de ratios, aunque la reacción fue más bien escasa. En todo caso, el análisis financiero de ratios continuó su desarrollo durante las siguientes décadas.

En los años 30, el rasgo más característico fue el creciente interés por el fundamento empírico del análisis de ratios. Como factor externo que contribuyó al continuo desarrollo de ratios destaca la creación de la Securities and Exchange Commission, que facilitó el suministro de estados financieros, a la vez que ejerció cierta influencia en su contenido. Junto a éste, debemos mencionar otros hechos significativos, éstos directamente relacionados con el análisis de ratios. Uno de los desarrollos producidos durante este década surgió de un debate en la literatura concerniente a la determinación de los grupos más eficaces de ratios, destacando la figura de Foulke, cuya clasificación en catorce ratios financieros de balance, existencias, ventas y beneficio neto se ha convertido en una de las más conocidas y de mayor influencia.

4 Horrigan (1968) cita algunas de las publicaciones más destacables. 5 Como desarrollaremos con posterioridad, la fase científica de la utilización del análisis de ratios con

carácter predictivo se inicia con la aplicación de la técnica estadística de análisis discriminante lineal.

6 J.H. Bliss (1923) Financial and Operating Ratios in Management. New York: The Ronald Press Company, pp. 34-38.

7 S. Gilman. (1925) Analyzing Financial Statements. New York: The Ronald Press Company, pp. 111-112.

Los desarrollos expuestos hasta aquí se englobarían dentro del primero de los usos principales que Barnes (1987) distingue respecto de los ratios financieros: la comparación de determinados ratios de una empresa con un estándar, que solía ser el valor medio del ratio para el sector al que pertenece la empresa, lo que denominó “uso normativo”.

Pero, en segundo lugar, Barnes habla de un “uso positivo” de los ratios, por lo general con fines predictivos, estimando relaciones empíricas. Y es aquí donde tiene cabida otro de los hechos significativos para el desarrollo del análisis de ratios financieros que se produjo en la década de los 30: se inicia la realización de estudios cuyo objetivo era analizar la eficiencia de los ratios financieros como predictores de las dificultades financieras de las empresas. A este respecto, cabe destacar los trabajos de Smith y Winakor (1935) y de Fitzpatrick (1931), que estudiaron sendas muestras de empresas con dificultades financieras que finalmente fracasaron, analizando la tendencia, durante un periodo entre tres y diez años, de un conjunto de ratios financieros, de donde resultó que el ratio de "Capital circulante/Activo total" era el indicador más preciso y estable del fracaso, aunque también resultaron buenos indicadores los ratios de solvencia a largo plazo.

Los dos trabajos citados fueron criticados por la ausencia de una muestra de empresas sanas o no fracasadas que sirvieran de grupo de control, con las que comparar las posibles diferencias entre ambos tipos de empresas. Por este motivo, Fitzpatrick (1932) completó su estudio anterior, con la inclusión de una muestra de empresas sanas, emparejadas con las fracasadas en base a su tamaño, cifra de negocios, localización geográfica y coincidencia en el tiempo de los estados financieros, resultando como mejores indicadores los de "Beneficio neto/Patrimonio neto", "Patrimonio neto/Deuda total" y "Patrimonio neto/Activo fijo".

En la misma línea se sitúa el trabajo de Ramser y Foster (1931), en el que realizaron un análisis comparativo entre empresas fracasadas y no fracasadas, mediante el estudio de una serie de ratios, en el que encontraron que las empresas con dificultades o que habían fracasado presentaban menores ratios que las que carecían de problemas, con la excepción mostrada por dos ratios de rotación: "Ventas/Patrimonio neto" y "Ventas/Activo total".

A pesar de los inconvenientes que estos trabajos pudieron presentar, su contribución fue esencial al desarrollo del análisis de ratios, ya que “were the first carefully developed attempts to utilize the scientific method for determining the utility of ratios” (Horrigan 1968: 289).

Durante la década de los años 40, continuó el desarrollo empírico del análisis de ratios, tanto de una forma directa como indirecta. Entre los estudios de carácter directo, destaca el de Merwin (1942), que estudió una muestra de empresas sanas y fracasadas en las que analizó la tendencia, en los últimos seis años previos al fracaso, de un conjunto numeroso de ratios, comparando el valor medio del ratio en el sector de las empresas fracasadas con un valor normal estimado, que sería el que la empresa que ha cesado en su actividad habría obtenido de mantenerse el valor medio para las empresas que sobrevivieron. Como resultado obtuvo que los ratios presentaban un deterioro antes del cese del negocio y siempre se situaban por debajo de los valores estimados, tendencia que se manifestaba claramente en tres ratios: "Capital circulante/Activo total", "Patrimonio neto/Activo total" y "Activo circulante/Pasivo circulante".

Pero en este periodo se produjo también un importante desarrollo de tipo indirecto, sobre todo a principios de la década: se incrementó la utilización de ratios financieros como variables independientes y descriptivas en numerosos estudios económicos agregados. Si bien el centro de atención de estos estudios no eran los ratios en sí, proporcionaron abundante información sobre el comportamiento de los ratios en el tiempo y sobre las variaciones en el valor de los ratios para diferentes grupos de empresas. Incluso, algunos de los estudios trataran de manera

sucinta ciertas cuestiones referentes a la posible utilidad de los ratios en el análisis de estados financieros.

Los hechos acaecidos durante esta década constituyeron una importante fase en la evolución del análisis de ratios financieros, en cuanto que facilitaron ciertas bases para la formulación de hipótesis, como paso previo para el desarrollo de una teoría formal del análisis de ratios. No obstante, estos estudios no parecieron traducirse en el campo financiero.

La siguiente década supuso un impulso del análisis de ratios con fines de gestión, con la recuperación del concepto de descomponer el ratio de rentabilidad sobre activo en los ratios de margen de beneficios y de rotación del capital, que ya había sido propuesto, pero que no había recibido excesiva atención.

En este sentido, la medida de rentabilidad sobre la inversión se concebía como el vértice de un sistema integrado de análisis de ratios financieros que contenía una variedad de ratios, aunque la investigación no se desarrolló más allá de los dos ratios tradicionalmente considerados.

A finales de esta década y, en especial, en los años 60 se produjo una ampliación de la investigación sobre la utilidad de los ratios financieros como herramienta de gestión, sobre todo en el caso de las actividades de las pequeñas empresas, y que fue potenciada por la Small Business Administration. A este respecto, la organización publicó o financió la publicación de estudios relevantes sobre análisis de ratios, en los que daban indicaciones sobre la obtención de ratios financieros en las pequeñas empresas, se evaluaba la fiabilidad de los ratios medios sectoriales, se analizaba la utilización actual de ratios en este tipo de negocios o se aplicaban ratios para examinar o describir las operaciones desarrolladas por estas empresas.

Asimismo, los ratios continuaron utilizándose como variables explicativas de la actividad económica en general, aumentando de este modo el desarrollo empírico del análisis de ratios financieros. Por un lado, distinguimos una serie de estudios en los que se evaluaba el riesgo de impago de bonos corporativos8 o de mora en los préstamos9 a partir de la información recogida en los ratios financieros, resultando como ratios más explicativos los de cobertura de intereses y de beneficio sobre ventas, en el primer caso, o los de circulante y patrimonio neto sobre pasivo, en el segundo. Por otro lado, se publicaron trabajos relativos a la utilidad de los ratios para valorar la calidad del crédito bajo ciertas condiciones cíclicas, llegándose a la conclusión de que ciertos ratios financieros, junto con otras medida ex-ante, estaban relacionadas de forma inversa con un índice de impago de créditos comerciales10, que las evaluaciones de créditos por parte de los analistas de riesgos bancarios11, así como la capacidad para obtener crédito12, estaban basadas de forma consistente en ratios financieros.

8 W.B. Hickman (1958) Corporate Bond Quality and Investor Experience. New York: Princeton

University Press. 9 R.J. Saulnier; H.G. Halcrow and N.H. Jacoby (1958) Federal Lending and Loan Insurance. New York:

Princeton University Press. 10 M.H. Seiden (1962) “Trade Credit: A Quantitative and Qualitative Analysis”, en National Bureau of

Economic Research (1962) Tested Knowledge of Business Cycles, 42nd Annual Report, pp. 86-88. 11 A.M. Wojinlower (1962) “The Quality of Bank Loans: A Study of Bank Examination Records”,

National Bureau of Economic Research, Occasional Paper No. 82, pp. 3-4. 12 G.H. Moore and T.R. Atkinson (1961) “Risks and Returns in Small-Business Financing”, en National

Bureau of Economic Research (1961) Towards a Firmer Basis of Economic Policy, 41st Annual Report, pp. 66-67.

Otros importantes desarrollos empíricos fueron el estudio del poder predictivo de los ratios respecto a características “psicológicas” de las empresas o el examen del efecto que sobre los ratios tenían diferentes procedimientos contables, como los de valoración de existencias.

Como se observa, la utilización “positiva” de los ratios financieros en la investigación empírica no se limitó al análisis del fenómeno del fracaso empresarial, con el que comenzó, sino que se extendió a otros ámbitos, como los mencionados. En todo caso, el empleo de ratios financieros como factores explicativos del fracaso o de la insolvencia empresarial ha sido (y continúa siendo) una de las más importantes líneas de investigación en el análisis económico-financiero. De ahí que nos centremos en las aplicaciones de ratios financieros en este campo.

En este sentido, el hecho más importante que tuvo lugar durante la década de los 60 respecto al desarrollo del análisis de ratios financieros fue la publicación del trabajo de Beaver (1966), que dotó al análisis de ratios de un rigor científico, al incorporar a la investigación una metodología estadística, de la que carecían los estudios anteriores. Por este motivo, autores como Lizarraga (1996) engloban estos trabajos dentro de la etapa descriptiva de la investigación, ya que la ausencia de herramientas estadísticas sofisticadas limitó la capacidad de los ratios financieros a una mera descripción del fracaso. Beaver, con su estudio, permitió tener en consideración la naturaleza predictiva de los ratios, por lo que es considerado el pionero de la moderna corriente de investigación científica sobre fracaso empresarial, esto es, de la etapa predictiva.

Beaver definió como fracaso empresarial la quiebra legal, insolvencia frente a acreedores, descubierto bancario y falta de pago a accionistas preferentes, considerando como factores explicativos del fracaso un conjunto de 30 ratios, de los que resultaron significativos, según su capacidad predictiva, los ratios de cash-flow13 y de beneficio neto sobre deuda total, la proporción de la deuda sobre activo total y otros tres ratios de liquidez: el cociente entre capital circulante y activo total, el ratio de circulante y el llamado intervalo sin crédito.

El siguiente paso en la investigación sobre fracaso empresarial, también durante esta década, lo dio Altman (1968), al aplicar una metodología estadística multivariante, como era el análisis discriminante, a diferencia del carácter univariante del trabajo de Beaver.

Consideró como fracaso empresarial la quiebra legal, que trató de predecir a partir de un listado de 22 ratios pertenecientes a las categorías de liquidez, rentabilidad, endeudamiento, solvencia y nivel de actividad, aunque la función discriminante estimada para el primer año previo al fracaso contenía, por su mayor capacidad predictiva, cinco ratios: los de capital circulante, beneficios no distribuidos y beneficio antes de intereses e impuestos sobre activo total, el cociente entre el valor de mercado de los fondos propios (incluido capital preferente) y el valor contable de la deuda y el ratio de ventas sobre activo total.

Tomando como punto de referencia estos trabajos, considerados pioneros en este campo y que constituyen la base de las investigaciones posteriores, observamos un desarrollo generalizado de esta línea de investigación, tras la crisis del petróleo, en los años setenta, con la publicación de numerosos trabajos basados en la misma metodología: algunos comparan los resultados de estos dos estudios con los que obtienen al aplicar sus modelos sobre otras muestras y periodos, destacando Deakin (1972, 1977) y Moyer (1977); otros autores introducen ajustes en los estados contables, como la capitalización del leasing realizada por Elam (1975) ó la corrección

13 Otras de las novedades que se produjeron en esta década respecto al desarrollo del análisis de ratios fue

el creciente interés por el Estado de Origen y Aplicación de Fondos y la obtención de un nuevo tipo de ratios a partir de sus diferentes componentes.

al nivel de precios de Norton y Smith (1979). Edmister (1972), por su parte, inició la investigación sobre el fracaso en empresas pequeñas.

A finales de la década de los setenta esta línea de investigación se extiende a Europa, siendo Reino Unido el país donde se desarrollaron los primeros trabajos, entre los que destaca la figura de Taffler (1977, 1982, 1983), con el que se inicia una importante corriente de investigación sobre fracaso empresarial en este país.

Utilizó un concepto legal de fracaso, definiéndolo como suspensión de pagos, liquidación voluntaria (por acuerdo con acreedores), liquidación forzosa por mandato judicial o equivalente. Seleccionó la muestra entre las compañías industriales con cotización en el London Stock Exchange, trabajando con 23 empresas fracasadas y 61 empresas en funcionamiento, de las cuales sólo 45 constituían el grupo de empresas solventes o sanas. Ante la multitud de ratios financieros potenciales a incluir en el modelo, aplicó un análisis de componentes principales del que obtuvo seis factores, cada uno representado por un ratio, resultando que la función discriminante contenía cinco de los seis ratios identificados, referentes a medidas de rentabilidad y endeudamiento.

En la década de los ochenta asistimos a la introducción de nuevas metodologías estadísticas en la investigación sobre fracaso empresarial. Así, con el fin de superar ciertos inconvenientes que había supuesto la aplicación del análisis discriminante, algunos autores comenzaron a aplicar los denominados modelos de probabilidad condicional (logit y probit).

La mayoría de autores considera a Ohlson (1980) el precursor de la aplicación del análisis logit en este campo de investigación. De su utilización sobre una muestra de 105 empresas quebradas y 2.058 no quebradas resultaron cuatro factores básicos significativos en la probabilidad de fracaso: el tamaño, la estructura financiera, reflejada en el ratio de deuda sobre activo total, alguna medida relativa al rendimiento de la empresa o una combinación de medidas como "Beneficio neto/Activo total" y "Fondos por operaciones/Deuda total" y algún ratio de liquidez a corto plazo, como el de circulante o el de fondo de maniobra sobre activo total.

Tras Ohlson, otros trabajos continuaron con la aplicación de la misma metodología, presentando algunas diferencias o novedades, respecto a los estudios previos, en relación con diversos aspectos relativos a las variables utilizadas o a la muestra de empresas objeto de estudio.

Casey y Bartczak (1984, 1985) introdujeron como novedad el cálculo de ratios basados en cash-flow operativo, línea de investigación que después ampliaron otros autores, como Gentry et al. (1985, 1987), con la definición del cash-flow procedente de operaciones.

Una importante corriente de trabajos se engloba dentro del ámbito del denominado “procesamiento humano de información”, cuyo objetivo consiste en evaluar la influencia que, en el juicio emitido por los individuos encargados de la toma de decisiones sobre un fenómeno, tiene la elección, por parte de los propios individuos, de la información utilizada para emitir su respectivo juicio. Entre otros, destacan los trabajos de Abdel-Khalik y El-Sheshai (1980) y de Houghton y Woodliff (1987).

También se observan diferencias en la muestra de empresas utilizada. Así pues, algunos autores, como Casey et al. (1986), se centraron en las empresas fracasadas, distinguiendo entre las que se reorganizaban con éxito y las que eran liquidadas.

En cuanto a la metodología aplicada, algunos autores no se limitaron a la distinción, tradicionalmente utilizada, entre empresas fracasadas y no fracasadas, sino que consideraron

más estados de solvencia o insolvencia, lo que les llevó a la aplicación del análisis logit multinomial, como en el caso de Lau (1987).

Del mismo modo que a finales de la década pasada había ocurrido en el Reino Unido, durante los años 80 se produjo una aplicación generalizada de este tipo de investigación, no sólo en Europa, sino también en el resto del mundo.

Por lo que se refiere a España, es en esta década cuando se produjo una grave crisis en el sector bancario, lo que motivó el inicio de la investigación sobre fracaso empresarial en nuestro país, centrada, como era lógico, en este sector. En la misma línea ya descrita, los primeros trabajos utilizaron como metodología estadística el análisis discriminante, destacando los de Laffarga et al. (1985, 1986, 1987), aunque después evolucionaron hacia otros métodos, como el análisis de regresión logística, aplicado por Rodríguez Fernández (1987, 1989), Martínez Mongay et al. (1989) y Pina (1989).

En la década de los noventa se introducen en la investigación sobre fracaso empresarial las herramientas provenientes del campo de la inteligencia artificial. Además, debido a la novedad que constituía este tipo de técnica, algunos autores se plantearon comparar los resultados obtenidos a partir de estas técnicas, con los que se obtendrían mediante la aplicación de los métodos estadísticos que se habían venido utilizando hasta la fecha. Dentro de este tipo de trabajos, podemos destacar los de Tam (1991), Altman et al. (1994) ó Boritz y Kennedy (1995).

Además de la investigación desarrollada en los Estados Unidos, se observa una importante corriente en Grecia, con la aplicación de la metodología rough set, destacando los estudios de Greco et al. (1998) ó de Dimitras et al. (1999), entre otros.

En el caso de España, esta década asistió a la crisis de otro importante sector como era el asegurador, por lo que el desarrollo de la investigación sobre se plasmó en una corriente de trabajos sobre este sector: Rodríguez Acebes (1990), López Herrera et al. (1994) ó Mora (1994). Más tarde, la investigación evolucionó hacia otros sectores no financieros, como los que analizaron Gallego et al. (1997) y López Gracia et al. (1998), con trabajos específicos para la pequeña y mediana empresa, como el de Ferrando y Yáñez (1998). Además, al igual que en el contexto internacional, se comenzaron a utilizar las técnicas de inteligencia artificial, destacando el estudio de Serrano y Martín (1993), que aplicó las redes neuronales en la predicción del fracaso en el sector bancario, aunque hasta comienzos de los años 2000 no se observó un empleo generalizado de esta metodología.

Durante la última década, a pesar de haber pasado más de cuarenta años desde el comienzo de la etapa moderna o predictiva de la investigación sobre fracaso empresarial, ésta no se ha detenido y seguimos asistiendo a diferentes desarrollos respecto a esta línea de investigación. Unos se han dirigido hacia los aspectos metodológicos, en un intento por mejorar y/o superar los inconvenientes planteados con la aplicación de las diferentes técnicas utilizadas con anterioridad e intentando aprovechar las ventajas que ofrece el avance de la informática. Otros han analizado sectores de actividad no investigados hasta la fecha o han tratado de mejorar los resultados alcanzados con carácter previo en muestras mixtas de empresas que operan en diferentes sectores, realizando estudios comparativos cuando se estudian los sectores por separado, con la homogeneidad que esta división trae consigo. Sin olvidar aquellos otros que se plantean como objetivo comprobar la utilidad que en la predicción del fracaso empresarial pueden tener otro tipo de variables no utilizadas en los estudios previos.

VIII.- CONCLUSIONES

En todo caso, un rasgo característico de los trabajos sobre predicción de la insolvencia empresarial desde sus comienzos y que se ha mantenido hasta la actualidad es la utilización de ratios financieros como variables explicativas del fracaso. Esto es así en la medida en que los ratios permiten tratar la gran cantidad de información económico-financiera que se recoge en los estados contables que presentan las empresas y que, de no ser transformada vía ratios, sería inconcebible (Horrigan 1965).

Por otro lado, los ratios financieros presentan la ventaja de facilitar las comparaciones entre empresas, al controlar por el efecto del tamaño (Barnes 1987). Este ajuste exige el cumplimiento del supuesto de proporcionalidad estricta, que implica que la relación entre los dos componentes del ratio es lineal, es decir: y=bx, por lo que el ratio es constante: y/x=b, siendo x e y dos magnitudes contables, donde x es una medida del tamaño14.

Sin embargo, cuando este supuesto no se cumple, por la existencia de un término independiente en la relación entre los componentes: y=a+bx, el ratio deja de ser constante: y/x= a/x +b y depende del tamaño de las empresas, por lo que pierde su condición de factor control del tamaño. En este caso, es preciso estimar correctamente la relación funcional entre las dos variables que definen el ratio, siendo lo más adecuado el modelo de regresión lineal.

No está de más recordar que desde la lejanísima fecha del siglo III antes de Cristo, cuando Euclides escribió sus Elementos que, a su vez, provienen de la rica herencia del mundo helénico, hasta este siglo XXI, y en concreto hasta los últimos tiempos azotados por la crisis, ha existido una transmisión de aquel conocimiento clásico en la que Fra Luca Pacioli jugó un papel esencial, como figura señera y angular que fue del Renacimiento. El ilustre fraile se esforzó para que las matemáticas teóricas de Euclides fueran más accesibles a los lectores que, al igual que él mismo, también estaban interesados en aspectos prácticos. Con esta finalidad utilizó los amplios conocimientos matemáticos que había recibido. Es cierto que Pacioli fue un recopilador y que en su obra la originalidad escasea. Sin embargo, sus obras contribuyeron a que el pensamiento de Euclides fuera más accesible para aquellos a los que los aspectos teóricos matemáticos no les atraían de especial forma. Seguro que a este franciscano de Sansepolcro ni se le pasó por la cabeza que la transmisión de los Elementos de Euclides, en concreto en el libro V, serviría siglos más tarde para analizar el fracaso empresarial. Pero así ha sido.

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14 Recordemos que muchos de los ratios financieros que se han construido tienen como denominador de

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— (2007), Los seis libros primeros de la geometría de Euclides. Traduzidos en lengua española por Rodrigo Çamorano Astrólogo y Mathemático, y Cathedratico de Cosmographia por su Magestad en la casa de Contrataciō de Seuilla Dirigidos al jllustre señor Luciano de Negrō, Canonigo dela sancta iglesia de Seuilla. Con licencia del Consejo Real. En Seuilla en casa de Alonso de la Barrera. 1576. Edición facsimilar. Mairena del Aljarafe, Sevilla: Extramuros Edición, S.L. (Primera edición de Euclides en lengua castellana).

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— (1509a) Divina proportione: opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria oue ciascun studioso di philosophia, prospectiua pictura sculpura, architectura, musica, e altre mathematice, suauissima, sottile, e admirabile doctrina consequira, e delectarassi, cõ varie questione de secretissima scientia. M. Antonio Capella eruditiss. recensente. [Venetiis]: A. Paganius Paganinus characteribus elegantissimis accuratissime imprimebat.

— (1509b) Euclidis megarensis philosophi acutissimi mathematicorumque omnium sine controuersia principis Opera Campano interprete fidissimo translata Que cum ante a librariorum detestanda culpa mendis fedissimis adeo deformia essent vt vix Euclidem ipsum agnosceremus. Lucas paciolus theologus insignis: altissima Mathematicarum disciplinarum scientia rarissimus iudicio castigatissimo detersitemendauit Figuras centum et vndetriginta que in alijs codicibus inuerse et deformate erant: ad rectam symmetriam concinnauit: et multas necessarias addidit : Eunde quoque plurimis locis intellectu difficilem commentariolis sane luculentis et eruditissime aperuit: enarrauit: illustrauit. Adhec vt elimatior exiret Scipio vegius mediol. vir vtraque lingua: arte medica:

sublimioribusque studijs clarissimus diligentiam: et censuram suam prestitit. Venetiis: A.Paganius Paganinus.

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