Etnomatematicas y Sesiones BAJA[1]

Ministerio de Educación

Etnomatemática ysesiones de aprendizaje

en EIB

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Etnomatemática ysesiones de aprendizaje

en EIB

Ministerio de Educación

Etnomatemática y sesiones de aprendizaje en EIB

Ministerio de EducaciónAv. De la Arqueología cuadra 2. San BorjaLima, PerúTeléfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe

Primera ediciónTiraje: xxx ejemplares

© Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 20XX-XXXXX

Impreso en el Perú / Printed in Perú

Créditos Técnicos:

Coordinadora del Área de Interculturalidad y LenguasMaritza Nunonca Lupo

ElaboraciónMartha Rosa Villavicencio Ubillús

Corrección de estiloMarcela Castro Rondón

Diseño y diagramaciónRosa Segura

Impreso porXxxxxxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxxx

5

Índice

Presentación .......................................................................................................... 5

1. Etnomatemática en la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB .................... 7

2. Elementos de etnomatemáticas de sociedades originarias de Perú ....................... 9

2.1. Etnomatemáticas andinas ........................................................................... 10

2.2. Etnomatemáticas amazónicas ..................................................................... 21

3. Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en primer grado EIB ......... 25

3.1. Una experiencia en la comunidad quechua Cañaris .................................... 25

3.2. Sesión de clase en Patacancha: .................................................................. 29 construcción de los tres primeros números naturales, usando la yupana como soporte

3.3. Resolución de un problema abierto, en una sección de primer grado de EIB .. 38

3.4. Puntos críticos en la aplicación de la PPM-EIB .............................................. 43

Bibliografía .......................................................................................................... 47

7

En las aulas de primer grado de las instituciones de EIB de Cañaris (UGEL Ferreñafe, Re-gión Lambayeque) y Patacancha (UGEL Urubamba, Región Cusco), se viene trabajando con el enfoque de nuestra Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB (PPM-EIB), vale decir, se está incluyendo en el proceso de enseñanza la etnomatemática de la comunidad.

Tal como se podrá apreciar en este documento, en línea con la PPM-EIB, el énfasis en tales sesiones se está colocando en los procesos de aprendizaje de los estudiantes orientados a la construcción y manejo de conocimientos, así como en el desarrollo de capacidades y actitudes, es decir, en el logro de competencias.

Expresamos nuestro reconocimiento y gratitud a las personas responsables de la Dirección General de Educación Intercultural Bilingüe y Rural y de la Dirección Intercultural y Bilingüe (2010-2011,) por sus valiosas sugerencias para mejorar la versión preliminar de este documento; así como también a nuestros compañeros, los miembros del Equipo Técnico de la DEIB, por sus importantes reflexiones y apoyo durante el proceso de construcción de la PPM-EIB.

Hacemos extensivo, asimismo, este agradecimiento a los especialistas de la DEIB: Maritza Nuñonca Lupo (quechua Cusco Collao), Nicanor Apaza Suca (aimara y jacaru), Ana María Mamani Arana (quechua Ayacucho Chanka), Elfren Ramos Espíritu (asháninka), Melody Ahuanari Rojas (shipibo konibo) y Alejandro Paati Antunce (awajun), por la colaboración brindada en los aspectos lingüísticos. Igualmente merecedores de este reconocimiento son los profesores: Oscar Bernilla, Estela Neyra y Domingo De La Cruz (Quechua Incahuasi Cañaris, Lambayeque); tanto como los aportes de la profesora Nancy Quispe (Patacancha, Cusco) y del docente de aula Víctor Manayay (Cañaris, Lambayeque).

Nuestra gratitud, finalmente, a Rossana Pereda, secretaria de la DEIB, quien nos apoyó con acciones puntuales de escaneo de ilustraciones destinadas a la versión preliminar de esta documento. Realmente, sin la colaboración brindada por todas las personas antes mencionadas, este documento no hubiera podido salir a la luz.

Convencidos de la potencialidad educativa de las culturas y lenguas originarias de nues-tro país, esperamos continuar trabajando, conjuntamente, en el marco de una educa-ción bilingüe con enfoque intercultural, a fin de generar sinergias que posibiliten a los estudiantes de comunidades cuyas raíces culturales son autóctonas, el logro de mejores niveles de aprendizaje que favorezcan el desarrollo humano sostenible.

Presentación

9

1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. Lima: MINEDU. 2011, p.13.2 Idem, p.13.3 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DIGEBIL. Programas curriculares de primer grado de Educación Primaria Bilingüe. Lima:

MINEDU. 1989, p. 91.

En la Propuesta Pedagógica con enfoque intercultural bilingüe, del área Matemáticas (PPM-EIB), se entiende por etnomatemática los conocimientos de un grupo sociocultural identificable, que son utilizados en actividades de contar, medir, localizar, diseñar, jugar y/o explicar1. Así como la necesidad de comunicación estimula a un grupo sociocultural para crear una lengua propia; la etnomatemática se desarrolla como respuesta a la ne-cesidad de comprender y explicar diversos hechos y fenómenos de su entorno2.

La etnomatemática de los grupos originarios ha ido ganando espacio, progresivamen-te, desde que el Ministerio de Educación decidió incluirla en el Programa curricular de primer grado de la Educación Primaria Bilingüe Intercultural3. Por ser preciso que, en la práctica, tal inclusión se tradujera —tanto en la programación como en el desarrollo curricular y en la evaluación de aprendizajes— como un contenido curricular del área

Etnomatemática en la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB

1


10

Matemáticas, el conocimiento de la etnomatemática del grupo sociocultural al cual pertenece el estudiante se ha convertido en una necesidad.

Podemos afirmar que las etnomatemáticas constituyen el elemento central de la PPM-EIB; así como también que la necesidad de conocer la etnomatemática de cada grupo sociocultural originario, en su propia lengua, se encuentra debidamente sustentada en las actuales teorías de sicología del aprendizaje.

11

Elementos de etnomatemáticasde las sociedades originarias de Perú

2

Si bien en el Perú se podía apreciar una tendencia marcada a ignorar la cultura de po-blaciones rurales y pueblos originarios, es innegable que en el país coexisten diversas culturas que tienen su propia visión del mundo, sus propias costumbres y valores, su propia lengua y también su etnomatemática.

La etnomatemática de cada grupo sociocultural originario identificable ocupa hoy un es-pacio central en la PPM-EIB, motivo por el cual los docentes están obligados a conocerla recurriendo, principalmente, a fuentes bibliográficas y/o a la investigación-acción, con el fin de rescatarlas, desarrollarlas y potenciarlas a través de la educación matemática.

Las etnomatemáticas de las diferentes sociedades originarias no son necesariamente las mismas que las de sus antecesores del siglo XVI, pero mantienen raíces culturales propias. Gracias a algunos estudios pioneros conocemos parte de las etnomatemáticas de los pue-blos originarios de Perú, sin embargo, la investigación continúa abierta.

12


4 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Op. cit., p.31.

A continuación presentaremos algunos elementos de las etnomatemáticas de comunidades con matriz cultural andina y amazónica. Hemos considerado pertinente difundir los resultados de investigaciones relacionadas con la repercusión de la estructura verbal de la secuencia numé-rica, en la representación mental que el niño tiene de dicha secuencia. Aún cuando tales es-tudios se han realizado en otras latitudes4, constituyen un antecedente importante que refuerza nuestra convicción respecto de la importancia de incluir la etnomatemática originaria en el currículo de EIB y de hacer uso instrumental de la propia lengua como recurso pedagógico.

Sin duda alguna, la etnomatemática de una cultura debe ser expresada en su propia lengua. Así pues, en lo que a etnonumeración concierne, los nombres de los números en quechua Cusco-Collao, quechua Incahuasi Cañaris, aimara y jacaru, respectiva-mente, son:

2.1. Etnomatemáticas andinas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

uk

iskay

kimsa

tawa

pichqa

suqta

qanchis

pusaq

isqun

chunka

chunka hukniyuq

chunka iskayniyuq

chunka kimsayuq

chunka tawa

chunka pichqa

chunka suqta

chunka qanchis

chunka pusaq

uk

iskay

kimsa

cusku

pichqa

suqta

qancis

pusaq

isqun

cunka

cunka uk

cunka iskay

cunka kimsa

cunka cusku

cunka pichqa

cunka suqta

cunka qancis

cunka pusaq

maya

paya

kimsa

pusi

qallqu

suxta

paqallqu

kimsa qallqu

llätunka

tunka

tunka mayani

tunka payani

tunka kimsani

tunka pusini

tunka qallquni

tunka suxtani

tunka paqallquni

tunka kimsa qallquni

maja

paja

kimsa

pushi

pichqa

sujta

qancxisi

pusaqa

isquña

cxunhka

cxunhka mayani

cxunhka pajani

cxunhka kimsani

cxunhka pushini

cxunhka pichqani

cxunhka sujtani

cxunhka qancxisini

cxunhka pusaqani

Número QuechuaCusco-Collao

QuechuaIncahuasi Cañaris Aimara Jacaru

2. Elementos de etnomatemáticas de las sociedades originarias de Perú

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5 CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIA (CONCYTEC). Quipu y yupana. Lima: CONCYTEC. 1990.6 CONCYTEC. Ídem, p.77.

Respecto de etnomatemáticas andinas existen fuentes documentales, publicadas por el CONCYTEC, sobre los conocimientos matemáticos de los antiguos pobladores de nuestro país, que fueron expresados a través de los quipus y la yupana5.

19

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

chunka isqun

iskay chunka

kimsa chunka

tawa chunka

pichqa chunka

suqta chunka

qanchis chunka

pusaq chunka

isqun chunka

pachak

waranka

chunka waranka

pachak waranka

hunu

cunka isqun

iskay cunka

kimsa cunka

cusku cunka

pichqa cunka

suqta cunka

qancis cunka

pusaq cunka

isqun cunka

pachak

waranka

cunka waranka

pachak waranka

hunu

tunka llätunkani

paya tunka

kimsa tunka

pusi tunka

qallqu tunka

suxta tunka

paqallqu tunka

kimsa qallqu tunka

llätunka tunka

pataka

waranqa

Tunka waranqa

Pataka waranqa

waranqa waranqani

cxunhka Isquñani

paja cxunhka

kimsa cxunhka

pushi cxunhka

pichqa cxunhka

sujta cxunhka

qancxisi cxunhka

pusaqa cxunhka

isquña cxunhka

pacxaka

waranhqa

cxunhka waranhqa

pacxaka waranhqa

junu

Número QuechuaCusco-Collao

QuechuaIncahuasi Cañaris Aimara Jacaru

El vocablo “quipu” significa “nudo” en quechua. Este nombre pasó luego a denominar el sistema de cuerdas empleado para registrar, ya sea con caracteres conocidos (nudos) o sin ellos, o sea, “en blanco”.

Andrés Altieri nos dice que las cuerdas de nudos, como sucedáneos de la escritura y/o como instrumentos mnemónicos, fueron utilizadas en “una vasta área que va desde Asia a América, pasando por las islas del Pacífico. En América se ha notado la presencia de estas cuerdas anudadas, entre los araucanos (Chile), araucos (Brasil), pueblos y nahuas (México), entre los puruhuas (Ecuador) antes de entrar en contacto con los Incas, y en la Columbia Británica”6.

Quipus

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Según el mismo Altieri, el quipu usado en Perú fue sin duda alguna originario de la zona costeña, dado que los quipus más antiguos existentes fueron hallados en la región del litoral. Los conquistadores incas, que llegaron a conocer las culturas que florecían en la Costa, transportaron en época tardía, no antes de las últimas dinastías cusqueñas, este sistema de anotación a la Sierra; y lo incorporaron a su cultura difundiéndolo por todo el Tahuantinsuyo, desde el Ecuador hasta Argentina y Chile, y desde los llanos hasta los Andes.

Radicati di Primeglio7 nos hace notar que si bien hace setenta años, cuando recién se ini-ció en el estudio de los quipus, él pensó que era suficiente conocer uno o leer las descrip-ciones de los ejemplares más comunes para poder saber cómo sería el resto; luego tomó conciencia de que existían grandes diferencias entre ellos. En consecuencia, propuso un esbozo de tipificación sobre la base de los criterios siguientes: según el material, según la manufactura (quipus palimpsestos, quipus singulares por el tamaño, quipus con la cuerda transversal en aro, quipus con canutos o cartuchos), y según la época en que el quipu fue confeccionado (quipu preincaico, quipu incaico y quipu moderno).

El quipu incaico

La investigadora Marcia Ascher al referirse a los quipus afirma que “constituyen un inusual sistema de registro lógico-numérico que tuvo una función muy importante en la red de comunicación del imperio incaico. Existen alrededor de 550 quipus, la mayor parte de los cuales se conservan en museos de diversas partes del mundo”8.

7 CONCYTEC. Op. cit., p.89.8 Ídem, p.110.

Si tomamos como referencia los estudios realizados sobre el quipu incaico por inves-tigadores como Altieri y Marcia Ascher, entre otros, podemos caracterizar el quipu incaico del siguiente modo.

Figura 1.

Representación esquemática de un quipu

Cuerda subsidiaria

Cuerda superior

Cuerda principal

Cuerdas subsidiarias Cuerdas subsidiarias

Cuerdas colgantesCuerdas colgantes

Cuerda colgante externa


15

a) El quipu incaico es un conjunto de cuerdas de diversos colores con nudos. Está consti-tuido por una cuerda principal o transversal, que es más gruesa, cuya extensión varía desde algunos centímetros hasta tres metros, más o menos. De la cuerda principal penden otras cuerdas, que se denominan cuerdas colgantes. Estas cuerdas son más finas y su longitud varía entre 20 y 50 cm. El número de estas cuerdas colgantes pue-de llegar hasta algunas centenas. Generalmente todas están en una misma dirección, aunque existen ejemplares cuyas cuerdas colgantes están dispuestas en direcciones opuestas, es decir, unas hacia abajo y otras hacia arriba. Las cuerdas superiores serían resúmenes de los totales que se hallan en las cuerdas inferiores.

b) Las cuerdas colgantes están repartidas por toda la extensión del quipu, unidas es-trechamente entre sí, separadas por pequeñas distancias o bien formando grupos (distanciados o cercanos unos de otros). Por ejemplo, en el caso del quipu N° 35 citado en la obra de Leland Locke, publicada en 1923, The Ancient Quipu, los grupos de cuerdas colgantes se hallan unidos mediante conchas marinas.

Las cuerdas colgantes son de diversos colores. Se dice que son simples si son de un solo color; y compuestas, cuando son de dos colores.

c) El quipu consta de cuerdas subsidiarias, que son pequeñas cuerdas que penden de las cuerdas colgantes. Pueden variar de valor, de color y de longitud, en compa-ración con las colgantes. Se hallan a diversas distancias de la cuerda transversal. También se ven casos de cuerdas pendientes de subsidiarias, que vienen a ser subsidiarias de subsidiarias, y subsidiarias de ellas, y así sucesivamente. Las cuer-das subsidiarias no pasan de 50 cm de longitud. Un quipu puede tener tan pocas cuerdas como 3, o tantas como 2000. Estas cuerdas pueden ser de uno de todos los tipos descritos.

d) El quipu está confeccionado con lana o algodón retorcido, blanco o amarillo natu-ral, y después teñido.

El nudo compuesto representa generalmente de 2 hasta 9 unidades. Existen ex-cepciones, como el quipu que se encuentra en el Museo Etnográfico de Munich, ilustrado por Nordenskiöld, que tiene nudos compuestos de hasta 15 unidades.

El nudo “a medio hacer” es simplemente un lazo que se halla ubicado al final de las cuerdas colgantes o subsidiarias. Todos los nudos, a excepción del nudo “a medio hacer”, tienen significado numérico en los quipus estadísticos. Sin embargo, excepcionalmente, un nudo “a medio hacer” puede encerrar nudos aparentemente de carácter numérico, como ocurre en el caso del quipu Nº 1 del Museo de Florencia.

Figura 2.

Los tipos de nudos(tomado de Locke, 1923:13)

e) El quipu tiene nudos que se confeccionan con las mismas cuerdas colgantes y subsidiarias. Los nudos están ubicados a diversas distancias de la cuerda transversal. En los mejores ejemplares conservados, los nudos se hallan más o menos al mismo nivel y cruzan todo el quipu. Se distin-guen cuatro clases de nudos: simples, dobles, compuestos, y “a medio hacer”.

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• Valor de los nudos:

Los nudos se encuentran colocados en posiciones determinadas a lo largo de las cuerdas colgantes, de modo que los números de mayor orden están más cerca de la cuerda principal.

Cuando los nudos de una cuerda representan un número, este es un número na-tural en el sistema de numeración posicional de base 10. En el caso de nudos de una cuerda que representen varios números, ellos también están en el sistema posicional de base 10. En este caso, si se lee desde el extremo libre de la cuerda, cada nudo compuesto (o en ocho) ocupa la posición de las unidades de un nuevo número. El cero se representa en el quipu mediante la ausencia de nudos.

La figura 4 muestra un esquema con ejemplos de números representados por nu-dos. En la figura 5 apreciamos más bien un quipu que tiene dos números en una cuerda.

i. Un nudo en la parte inferior de la cuerda, representa “1”.ii. Un nudo indica “10” si se halla ubicado más arriba.iii. Representa “100” si está ubicado aún más arriba.iv. Indica “1 000” si está colocado en la parte superior de la cuerda.v. Los nudos compuestos indican la repetición de la unidad de cada tipo.

• ¿Quiénes confeccionaban los quipus?

Generalmente se difunde la imagen del quipucamayo como un personaje de la élite incaica que tenía a su cargo la confección y cuidado de los quipus. Investigaciones re-cientes nos permiten aproximarnos a un mayor conocimiento sobre los quipucamayos.

Figura 3 Figura 4.

Esquema de números representados por nudos

Esquema de números múltiples representados por números en la misma cuerda

23 y 21

5 y 10

21 y 12

10y 5

5 203 322 101 330

22 41

664

63


17

Chirinos9 (2010) destaca que Guamán Poma de Ayala es uno de los pocos cronis-tas que establece distintas categorías de funcionarios a cargo de los quipus. Luego de hacer notar que Guamán Poma llama quipucamayo solamente a uno de ellos, Chirinos hace una traducción literal de los nombres quechua correspondientes, los mismos que se presentan en el cuadro siguiente:

De acuerdo con esta información, el quipucamayo era una especie de se-cretario del Inca, pero no era la única persona especializada en la elabora-ción e interpretación de los quipus.

Los quipucamayos eran personas im-portantes debido a que procesaban y hacían accesible valiosa información. Se encargaban del resguardo de los quipus principales y de los resúmenes generales. Según los cronistas, tam-bién se ocupaban de los quipus cro-nohistóricos, destinados a recordar la historia de las genealogías, hechos, acontecimientos, etc.

Según Altieri, los quipucamayos cronohistóricos tenían una preparación especial que se transmitía de padres a hijos. Los iniciados recibían una esmerada educación en lo referente a decodificación e interpretación de los quipus ya existentes, la con-fección de otros nuevos y la retención, por la memoria, de los hechos y genealogías cuyas convenciones se hallaban en el quipu.

9 CHIRINOS RIVERA, Andrés. Quipus del Tahuantinsuyo. Lima: Editorial Comentarios. 2010. p. 96.

Incap quipocamayocnin

Tauantinsuyo quipoc

Lactapi quipococ

Caroman cachasca quipococ

Tauantinsuyo hucha tasa ima hayca uata quillatauan qui-pococ yupacoc

Quipucamayo del Inca

El que hace quipus para el Tahuantinsuyo

El que hace quipus en el pueblo

El que es enviado lejos a hacer quipus

El que se encarga de ver las faltas en el tributo (tasa) por sus años y meses, haciendo quipus y sacando cuentas

Categorías de quipucamayos en las ordenanzas de Tupac Yupanqui, según Guamán Poma

Nombres en quechua Traducción literal posible

Quipucamayo, que se presenta en Nueva Corónica y Buen Gobierno de Guamán Poma de Ayala, siglo XVII.

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• ¿Para qué se utilizaron los quipus?

Si bien se han planteado hipótesis respecto de que el quipu es una forma de es-critura; hasta la fecha esto no ha sido demostrado. Más bien han ganado espacio las hipótesis referidas a interpretaciones de convención ideográfica o las que le atribuyen un valor exclusivamente numérico.

Al respecto Marcia Ascher afirma que “los incas se caracterizaron por ser metódi-cos, altamente organizados y por hacer uso intensivo de datos.La burocracia inca dirigía permanentemente las áreas bajo su control.El Inca y sus altos funcionarios recibían muchos mensajes y enviaban muchas instrucciones diariamente”10. “Los mensajes tenían que ser claros, compactos, y el objeto donde estuvieran registra-dos debía ser fácil de portar”11.

Respecto a la interpretación exclusivamente numérica, algunos cronistas —como Molina, el almagrista; o el padre Lozano— afirman que el sistema de nudos fue solamente un registro de cifras. Sobre la base de esta hipótesis trabajaron Locke y Nordenskiöld en el siglo pasado.

En recientes estudios, Gary Urton afirma que “los inkas desarrollaron un sistema de estructuras visuales y táctiles consistentes de hilos y cordeles que comunicaban cuerpos de información particular –por ejemplo, estadística (datos censales), narrativa (mitos y registros genealógicos), y otros géneros de textos– en una forma de codificación binaria”12. Asimismo, Urton iden-tifica ejemplares de quipus a los que llama “anómalos”.”Esta designación refleja el hecho de que estos ejemplares poseen tipos y ubicaciones de nudos que violan, o divergen de, las técnicas de registro y principios estructurales básicos del registro numérico decimal observados en la mayoría de los qui-pu” (Urton, 2005)13.

Los estudios de los quipus realizados permiten confirmar que gran parte de ellos fueron instrumentos contables complejos, una especie de registros estadísticos de cantidades de bienes, servicios y personas, entre otros. Muestra de la información que se podría extraer de algunos quipus se encuentra en tablas como las que presenta Andrés Chirinos (2010) en una publicación reciente14. En estas tablas se pueden encontrar relaciones numéricas entre los datos registrados (por ejemplo de proporcionalidad), lo cual permite apreciar el uso de conceptos aritméticos en el sistema administrativo del Imperio Incaico.

La existencia de los denominados quipus “anómalos” ha llevado a los investigado-res a formular la hipótesis de que los quipus habrían sido también un tipo de escri-tura. A la fecha no hay coincidencia entre los especialistas y, por lo tanto, habrá que continuar las investigaciones al respecto.

10 CONCYTEC. Op. cit., p.110.11 CONCYTEC. Ídem, p.110.12 URTON, Gary. Signos del Khipu Inka. (Traducción de Alberto Miori). Cuzco: Centro de Estudios Regionales Andinos Bartolomé

de Las Casas. 2005, p. 46. 13 Ibidem; p.34.14 CHIRINOS. Op. cit.


19

• Dos quipus con características numéricas excepcionales

El investigador Hugo Pereyra, basado en la investigación realizada por los Ascher en su libro Code of the Quipu-Databook, profundiza el estudio de los quipus AS120 y AS143. Estos quipus tienen la particularidad de poseer cuerdas totalizadoras (llamadas también cuerdas resumen o sumatorias), en las que se registra la suma de los números correspondientes a un grupo de colgantes. Sobre estos dos quipus, entre otras conclusiones Pereyra des-taca que15:

a) De acuerdo con los Ascher, no existen indicios de que los incas hayan tenido re-presentación alguna para las fracciones o los decimales. A pesar de ello, según dichos autores, se debe concluir que los incas tuvieron la capacidad de realizar operaciones donde intervienen este tipo de números. Esto podría haber sido hecho con la ayuda de algún ábaco, como la yupana.

b) La proporcionalidad casi perfecta que existe entre los números de cualquier par de filas sugiere la representación mediante una recta, y conduce a la idea de que los números del quipu se refieren a medidas angulares.

c) Siguiendo esta idea, los ángulos correspondientes a los dos quipus mencio-nados muestran una concordancia que difícilmente puede deberse al azar. Este hecho constituye evidencia de que los dos quipus contienen información sobre el mismo asunto.

15 PEREYRA, Hugo. Acerca de dos quipus con características numéricas excepcionales. En: Bulletin de l’Instituto Français d’Etudes Andines; Tomo 25, Nº 2. Lima.1996, pp.187-202.

El término yupana deriva de yupay, vocablo quechua que significa “objeto que se utiliza para contar”. La yupana es un ábaco andino.

A la fecha, las investigaciones indican que es posible que se utilizaran diferentes tipos de yupana en el Imperio Incaico y/o en períodos preincaicos. En la “Nueva Corónica y Buen Gobierno” de Guamán Poma de Ayala, cuyo manuscrito data de los años 1613 a 1615 (ver figura 6), se presenta un tipo de yupana. Esta yupana es una especie de tabla constituida por cinco columnas y cuatro filas que forman rectángulos aproximadamente de las mismas dimensiones; dentro de estos rectán-gulos, en cada columna hay círculos dispuestos siempre del mismo modo. La canti-dad de círculos de cada rectángulo en las columnas, yendo de derecha a izquierda es de 1, 2, 3 y 5, respectivamente. A fin de diferenciar la yupana presentada por Guamán Poma de Ayala de otras tablas de contar, recientemente se la ha empeza-do a identificar como “yupana de un nivel”.

Yupanas

20


Existen varias hipótesis respecto de cómo fue utilizada la yupana presentada en la obra Nueva Corónica y Buen Gobierno de Guamán Poma de Ayala, en el Imperio Incaico. Una de las primeras fue la de Henry Wassen (1934). Otra hipótesis es la de William Burns, publicada en el Boletín de Lima (1980). Según Burns, cada una de las columnas de la yupana, de derecha a izquierda, representa un orden numérico en el sistema de numeración decimal: unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de mi-llar, respectivamente. Dada la potencialidad pedagógica de esta hipótesis, desde 1982 en Perú se le ha usado como base para elaborar secuencias didácticas de actividades en el área Matemática16. Así, la yupana ha logrado introducirse como un material educativo que, adecuadamente utilizado, puede apoyar los procesos de comprensión del sistema de numeración posicional, tanto como la construcción de algoritmos de las operaciones numéricas básicas.

16 VILLAVICENCIO UBILLÚS, Martha. La Yupana I Lima: Central de Producción Audiovisual del Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Educación - INIDE. 1986.

Figura 5.

Esquema de la yupana de un nivel

Yupana de dos niveles.

La interpretación de la ilustración que se presenta en la obra mencionada de Guamán Poma de Aya-la nos permite inferir que el uso de la yupana de un nivel habría estado asociado al de los quipus. Esta imagen ha sugerido a Carlos Radicati Di Pri-meglio, la opinión de que “el quipu es (…) una de-rivación de la yupana”. Esta hipótesis es comparti-da por otros estudiosos de la yupana y los quipus, y ha inspirado también el uso del quipu como material educativo en clases de Matemáticas.

Otros tipos de yupana utilizada por nuestros ancestros fueron las elaboradas con barro o con piedra. En la figura 7 se presenta una yupana de este tipo, que es una yupana de dos niveles, estudiada entre otros especialistas por Nicolino de Pasquale (2003).


21

El sistema de ceques (siqikuna awa) es una interesante evidencia de la etnomatemática Inca, cuyos antecedentes se remontan a sociedades preincaicas. El sistema de ceques incluye pro-cesos de conteo, de diseño, de localización, de medición y de explicación. Su singularidad radica en que constituye un sistema de racionalización del universo cultural y natural.

El investigador holandés Tom Zuidema sustentó en 1962, en la universidad de Leiden, la te-sis “The ceque system of Cuzco.The Social Organization of the Capital of the Inca”, trabajo que fue el punto de partida de un prolongado estudio, cuyos resultados han sido publica-dos recientemente17. Los ceques (siqikuna) son segmentos de líneas rectas que representan los caminos que partían desde el templo del Sol, Coricancha, y terminaban en una de las huacas que existían en el valle del Cuzco18, tal como se puede observar en la ilustración.

El sistema de ceques

17 ZUIDEMA, Tom. El calendario Inca. Tiempo y espacio en la organización ritual del Cuzco. La idea del pasado. Lima: Congreso de la República. 2011.

18 DÍAZ LON, Iván. El sistema de ceques. En: http://www.monografias.com/trabajos32/sistema-ceques/sistema-ceques.shtml 2005 (27 mayo 2011, 9 a.m.).

La obra de Zuidema sobre el sistema de ceques nos permite conocer que hay un orden en el diseño de la ciudad del Cusco, en sincronía con la realidad. Tom Zuidema en la presentación oral de su libro, que se realizó en el Museo de la Nación de Lima en junio de 2011, informa que los ceques en Cuzco se pueden ver desde el techo del templo de Santo Domingo, cuyos cimientos son el antiguo Coricancha. Entre otros detalles señala:

“que los ceques sirven como mapa del espacio e instrumento para medir el tiempo de todo un año.Que funcionaron como un sistema reloj para múltiples usos temporal y espa-cial. Midieron meses de diferente tamaño. Aparte de los doce meses tuvieron un periodo de año que no midieron.Cada año comenzó con la siembra y terminó en la cosecha.Cuarenta y una semanas fueron promedio de 8 a 10 meses, algunos más largos que otros.Doce meses pertenecieron a un año solar.Las semanas fueron según el año lunar, y fueron usadas por las mujeres.Esta diferencia existe actualmente, las mujeres miden el tiempo por la luna y las estrellas.Existen tejidos de tiempo Inca, de Tiahuanaco, de Wari, que representan el calendario.Los tejidos apoyan el calendario ceque (sic)”.

Ceques del Cusco

22


En el Cuzco y sus alrededores había 328 huacas o lugares sagrados, vale decir, piedras, manantiales o casas que, por una razón u otra, fueron de particular relevancia para la historia o en la mitología Inca. Estos lugares estaban divididos en grupos, cada uno de los cuales se concebía como dispuesto en una línea recta llamada ceque (siqi).

María Rostworowski dice sobre el sistema de ceques: “Este complejo sistema de orga-nización compuesto por ceques y huacas, hacía la veces de un gran quipu que con sus “cuerdas y nudos” cubría toda la ciudad. El culto de cada uno de los 348 lugares se encontraba a cargo de un grupo social, el cual debía ser practicado según el calendario ritual. Estas líneas también fueron referencias para delimitar la propiedad de las tierras de los ayllus cusqueños. Finalmente, algunas huacas fueron observatorios astronómicos orientados en dirección de puntos precisos del horizonte, con los cuales los incas regis-traban las salidas y puestas de sol de los astros”19.

Según Rostworoski el culto de cada una de las 328 huacas estaba a cargo de un grupo social y debía realizarse de acuerdo al calendario ritual. Los ceques también fueron líneas de referencia para delimitar la propiedad de las tierras de los ayllus cuzqueños. Además, algunas huacas fueron observatorios astronómicos orientados en dirección de puntos precisos del horizonte, con los cuales los incas registraban las salidas y puestas de sol.

De acuerdo con Díaz León, Federico Kaufmann Doig confirma lo que dice María Rostorowski, pues él indica que cada una de las 328 huacas estaba asignada a una familia, que debía venerar una huaca especial un día determinado del año. De esta forma se establecía para todo el año una distribución de las tareas económicas y rituales.

Además de su función de calendario, el sistema ceque era un sistema de clasificación cultural. Como se puede notar en la figura, las 328 huacas estaban distribuidas entre los

19 DÍAZ LON, Iván. Op. cit.

ceques en números desiguales. Los ceques se organizaban, ante todo, de acuerdo con un sistema de clasificación bipartita de todo el valle. Estas mitades se llamaban Hanan (superior) y Hurin (inferior). A su vez cada una de estas estaba dividida en dos partes, formando de este modo cuatro cuadrantes.

Estas regiones llevaban nom-bres geográficos que corres-pondían a los cuatro suyus de todo el imperio: Chinchaysuyu, Antisuyu, Collasuyu y Cuntisuyu.

Los suyos en el sitema de ceques

Figura 6.


23

Es importante también conocer cuales son los referentes que utilizan en una cultura determinada para orientarse en el espacio. En el caso de las co-munidades andinas es usual utilizar, como referente de ubicación espacial, una pendiente representada física-mente por un cerro.

De otro lado, nótese que algunas co-munidades andinas, como la de Hui-lloc en Urubamba (Cusco) y Taquile en Puno, continúan desarrollando técnicas de textilería heredadas de sus antepasados, en las que aplican conocimientos geométricos.

De modo similar a lo que ocurre en las culturas andinas, las lenguas de los diferentes gru-pos socioculturales originarios de la Amazonía incluyen términos que expresan sus prác-ticas numéricas. Existen también objetos concretos en los que se plasma la etnogeometría respectiva.

2.2. Etnomatemáticas amazónicas

Pieza textil incaica que muestra diseños geométricos

20 VILLAVICENCIO UBILLÚS, Martha y otros. Numeración, algoritmos y aplicación de relaciones numéricas y geométricas en las comunidades rurales de Puno. Lima: Programa de Educación Bilingüe- Puno. 1983.

Los propios hablantes de las diferentes variedades de quechua y aimara son testimo-nios vivos de las expresiones del pensamiento matemático de sus culturas originarias respectivas20.

Expresiones como kuskanpaq kuskan en quechua o chikatana chikatapa en aimara, cuyo significado es “la mitad de la mitad” expresan claramente el significado de la fracción “un cuarto”. No obstante, hay algunas cuestiones cuya respuesta queda pendiente, por ejemplo, respecto de la cultura aimara, cuyo sistema de numeración tiene vestigios del antiguo uso de una sub-base que es cinco, tal como se puede notar al analizar los tér-minos qallqu (cinco), paqallqu (siete) y kimsaqallqu (ocho). Cabe preguntarse: ¿en qué momento la sociedad aimara empezó a utilizar la base diez?, y ¿por qué?.

Otros conocimientos etnomatemáticos andinos

24


Por ejemplo, los términos para nombrar los primeros números naturales en las lenguas shipibo-konibo, asháninka y awajun respectivamente son:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

30

40

50

60

70

80

westiora

rabe

kimisha

chosko

pichika

sokota

kanchis

posaka

iskon

chonka

chonka westiora

chonka rabe

chonka Kimisha

chonkachosko

chonkapichika

chonkasokota

chonka Kanchis

chonka posaka

chonkaIskon

rabe chonka

kimisha chonka

chosko chonka

pichika chonka

sokota chonka

kanchis chonka

posaka chonka

aparoni

apite

maba

otsi

koni

iko

tson

soti

tin

tsa

tsapani

tsapite

tsa maba

tsa otsi

tsa koni

tsa iko

tsatson

tsasoti

tsatin

pitetsa

mabatsa

otsitsa

konitsa

ikotsa

tsontsa

sotitsa

makichik

jimag

kampatum

Ipaksumat / ipak usumat

makichik uweja amua

uweja makichik ijuk

uweja jimaja ijuk

uweja kampatum ijuk

uweja ipaksumat ijuk /uweja ipak usumat ijuk

uweja mai amua

dawe makichik ijuk

dawe jimaja ijuk

dawe kampatum ijuk

dawe ipaksumat ijuk /dawe ipak usumat ijuk

dawe makichik amua

dawe juinia ijuk / dawe juinia makichik ijuk

dawe juinia jimaja ijuk

dawe juinia kampatum ijuk

dawe juinia ipaksumat ijuk / dawe juinia ipak usumat ijuk

dawe mai amua

Número Shipibo Konibo Asháninka Awajun


25

Casas de la comunidad shipibo konibo de San Francisco. (marzo 2010)

Por otro lado, la construcción de vivien-das de los shipibo-konibo de San Fran-cisco en la Región Ucayali nos permite constatar actualmente el manejo de téc-nicas propias a través de las cuales apli-can la etnogeometría respectiva, en el dominio de relaciones en el plano y en el espacio.

En las fotos se puede identificar en las construcciones formas geométricas que se aproximan a la del cono, triángulo y rec-tángulo.

En la construcción de la izquierda las pare-des son parte de un prisma recto cuya base es un hexágono regular. Adicionalmente, en los diseños de cada cara de la superfi-cie lateral del prisma hexagonal se pueden identificar y estudiar transformaciones de figuras en el plano, tales como traslaciones, simetrías axiales y rotaciones.

El análisis de estos sistemas de numeración nos permite confirmar lo que ya señaló Geno-vieve Guitel21 en su estudio sobre diversos sistemas de numeración creados por diferentes culturas del mundo: Las bases son siempre 5, 10 o múltiplos de estos números, porque el apoyo concreto al cual recurre el hombre en primer lugar son los dedos de las manos y pies. Sin embargo la lógica de construcción de cada sistema no siempre es el mismo. Por ejemplo, en el sistema numérico awajun, utilizan las manos para contar hasta 10; dejan separados estos diez y para continuar el conteo empiezan otra vez a contar teniendo como soporte concreto los dedos de un pie y luego los del otro. Es muy importante que el docente tenga claro el procedimiento que se sigue en la cultura originaria, a fin de poder ayudar a los estudiantes, en primer lugar, a desarrollar su etnomatemática, y luego a aprender la matemática mayoritaria.

21 GUITEL, Genovieve. Histoire comparèe des numerations écrites. Paris: Editorial Flammarion. 1975.

90

100

1 000

10 000

100 000

iskon chonka

pacha

waranka

chonka waranka

pacha waranka

tintsa

sheki

irinka

Número Shipibo Konibo Asháninka Awajun

26


Es necesario profundizar en el conocimiento de las etnomatemáticas de las culturas origi-narias peruanas, pues además de su potencialidad educativa para el fortalecimiento de la autoestima de los estudiantes, ellas pueden constituir un importante recurso pedagógi-co que les facilitaría el aprendizaje en el área Matemáticas.

Tener en cuenta estas prácticas etnogeométricas posibilitaría la comprensión de modelos matemáticos tales como las transformaciones del plano en el plano, que son funciones de RxR en RxR.2 En efecto, es evidente en los tejidos y en la cerámica de culturas andinas y amazónicas la práctica de la simetría axial, de las traslaciones, de las rotaciones en el plano y en el espacio. En otras palabras, es posible encontrar diversas ideas matemáticas en el estudio de las etnogeometrías.

Lo dicho es válido para otros contenidos de Matemática, por ejemplo, aquellos que se relacionan con la aritmética. Tal es el caso del sistema de numeración de una cultura.

En el enfoque que desarrollamos en la EIB se reconoce que en las actividades de toda cultura están presentes muchas ideas y prácticas de las matemáticas que no se pueden jerarquizar, sino que han de ser consideradas en el plano de la diversidad y del enrique-cimiento mutuo que genera un intercambio en relaciones de respeto y equidad.

Por otro lado es muy importante que cualquier persona de una sociedad originaria pue-da desarrollar sus capacidades matemáticas, de modo que “los niños indígenas no sean discriminados, ni condenados a unos conocimientos que no les sirven, ni para entender el mundo de los otros, ni para desarrollarse en el propio. Queremos que los jóvenes in-dígenas puedan saber las matemáticas de aquí y de allá, con respeto, amor y alegría”23

22 Funciones de RxR en RxR, es decir, funciones definidas en el producto cartesiano del conjunto de números reales R por el mismo conjunto R, cuyas imágenes pertenecen al mismo producto cartesiano RxR que representa el plano (Nota del autor).

23 CAICEDO, Natalia y PARRA, Aldo y otros. Matemáticas en el mundo Nasa. Bogotá: Centro Indígena de Investigaciones Inter-culturales de Tierradentro. 2009, p. 13.

La abundancia de diseños y transformaciones etnogeométricas se evidencia también en los objetos de cerámica y telas confeccionadas, actualmente, por mujeres shipibo konibo.

Artesanías de la comunidad shipibo konibo.San Francisco. (marzo 2010)

27

A continuación se transcribe una sesión de trabajo en aula, orientada a que los niños construyan el concepto de adición desarrollando sus capacidades matemáticas a través de la resolución de problemas. La información registrada se basa en la observación de la clase realizada con niños de la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Cañaris (UGEL Ferreñafe, Región Lambayeque) durante 50 minutos.

3.1. Una experiencia en la comunidad quechua Cañaris

3 Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en Primer grado EIB

28


8:30

8:40

8:50

Docente

Pedro

Jimena

Docente

Rosita

Docente

Niños

Docente

Niños

Docente

Rubén

Conversa en quechua con los niños sobre las actividades que realizan sus papás en el campo y las tareas que ellos realizan para ayudarles en el trabajo.

Semanamantaqa uk diyatami warmi ukniywan nuqaqa uyshata michinillapa(Un día a la semana, mi hermana y yo pastamos ovejas en el campo.)

Nuqaqami tukuy diyakuna tardikaq uyshata michiyta ya-napakuni.(Yo ayudo a pastar las ovejas todos los días por las tardes.)

¿Qamkuna mana papel qillayta riqsinkillapachu? Qam Rosita, ¿ima mana papel qillaytataq riqsinki?(¿Y ustedes conocen las monedas? A ver Rosita, ¿qué monedas conoces?)

Arí. Nuqaqa uk solta pichqa solesta ishkay soltapis riq-sinimi. Mamaymi imanupiqa tampuman rantiq kacaman.(Sí. Conozco monedas de un sol, de cinco soles, de dos soles .Mi mamá me manda comprar a veces a la tienda.)

¿Tukuyniykillapa riqsinkillapachu uk sol qillayta ishkay sol qillayta pichqa soles qillaytapis?(¿Todos ustedes conocen las monedas de un sol, de dos soles y de cinco soles?)

¡Arí!(¡Sí!)

¿Sabadota Kañaripa fyestan kashanman riyta puydiray-killapachu?(¿Pudieron ir el sábado a la feria que hubo en Cañaris?)Imataq Doritata kusa aligri fyestaman ritin pasasha nirmi parlashaykillapa.(Les voy a contar lo que le ocurrió a Dorita, que fue muy contenta a la feria.)Doritaqa ishkay solesniyjun katin mamanqa cusku solta makyaran, ¿maynu qillaytataq Doritaqa fyestamanqa aparan?(Dorita tenía dos soles y su mamá le regaló cuatro soles, ¿cuántos soles llevó Dorita a la feria?)

Doritaqa ishkay solesniyjun katin mamanqa cusku solta makyaran, ¿maynu qillaytataq Doritaqa fyestamanqa aparan?(Dorita tenía 2 soles y su mamá le regaló 4 soles, ¿cuán-tos soles llevó Dorita a la feria?)

Yacaninami...¡Doritaqa seys solesniyjun!(Ya sé...¡Dorita tiene seis soles!)

Los niños se muestran interesa-dos en el tema de conversación.

El docente cuenta a los niños una pequeña historia, que ellos escuchan atentamente.

Los niños de la clase son bilin-gües, aunque algunos de ellos manejan mejor una u otra de las dos lenguas instrumentales: que-chua y castellano.

Como en la clase hay cinco niños que manejan mejor el castellano que el quechua, el docente también cuenta a todos la misma historia, pero esta vez en castellano.

Los niños reflexionan y se ayu-dan con objetos concretos para dar la respuesta a la pregunta planteada.

El profesor repite la historia primero en quechua y después en castellano, a fin de que los niños tengan clara la historia y sepan lo que se pregunta.Los niños buscan una estrategia para responder las preguntas.

Rubén dice “seys”, refonologi-zando en quechua.

Hora Participantes Acciones y enunciados Observación

3. Sesiones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en Primer grado EIB

29

9:00

9:20

Docente

Rubén

Docente

Niños

Docente

Rosa

Docente

Luisa

Docente

Imanutaq Doritaqa suqta solesniyjun nirqa yacashayki” nir ukniykikunata parlay.(A ver explica a tus compañeros cómo encontraste que Dorita tiene seis soles.)

Kada rumisitumi uk sol, chaymi kaypiqa Doritapa ishkay solesnin, kaypishuypaqa maman qushan kwatru sol. Is-hkay soleswan kwatru solta tantatiyqa seys soles kan.(Cada piedrita es un sol...aquí están los dos soles que tenía Dorita y acá los cuatro soles que le dio su mamá. Al juntar los dos soles con los cuatro soles, me da seis soles.)

Allinchu Ruben nishanqa.(¿Están de acuerdo con Rubén?)

Aríiii...(¡Sííííí!)

Kananqa imanutaq Doritapa limpu qillayninpaq yacashaykillapa niy dibujuwan.(A ver, ahora dibujen en su cuaderno lo que hicieron para hallar la cantidad de soles que tiene Dorita.)

Yacachikuq, nuqaqa puntataqa Doritapa ishkay solesnin-ta curaray, chaymantaqa kwatru sol maman qushanwan tantaray…¡Doritaqa seys solesniyjun!. (Mire profesor, yo coloqué primero los dos soles que tenía Dorita y luego los junté con los cuatro soles que le dio su mamá....Dorita tiene seis soles!)

Luisa, imanutaq qamqa Doritaqa seys solesniyjun nir yacashayki nir pisarrapi rikachimayllapa.(A ver, Luisa, representa en la pizarra lo que hiciste para encontrar lo que Dorita tiene ahora.)

Considerando la representación que hizo Luisa, escribe los signos “+” e “=”, así:

Y luego dice:Allinmi rurashanchikqa. Chayqa ishkayta kwatruwan achkachashaqa seysimi.(Muy bien. O sea que “dos más cuatro es igual a seis”.)

Kayqami shutin “yapachikuq”, kayshuypaqa “chayqa”.(Este signo quiere decir “más”. Señala el signo “+”, Y este significa “es igual”. Señala el signo “=”.)

Rubén tiende a usar palabras en castellano para designar los números.

Espontáneamente, Rosa cuenta al docente la estrategia que utilizó para responder a las preguntas planteadas. La niña nombra los números cuatro y seis en caste-llano.

El docente utiliza también un préstamo del castellano para nombrar el número “seis”.

Observa y revisa las respuestas que los niños representan en sus cuadernos y los orienta indivi-dualmente mientras Luisa dibuja en la pizarra.

El docente utiliza dos préstamos para nombrar los números: “cuatro” y “seis”. Tendría que utilizar los nom-bres de los números en quechua: cusku y suqta, respectivamente.

Luego, cuando el docente se refiere al signo “más” y al signo “igual”, señala sucesivamente a cada uno de ellos.


2 4 6

2 + 4 = 6

30


Reflexiones y comentarios:

El análisis de la sesión de enseñanza y aprendizaje observada nos permite, a la luz de las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB, puntualizar lo siguiente:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: Aun no hay evidencia de una práctica consolidada de la programación, desarrollo

y evaluación que se articule con el calendario comunal.

2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje significativo: La inclusión de la etnomatemática quechua en el desarrollo curricular de Matemá-

ticas desde los primeros grados de EIB, en particular en lo que concierne al uso del sistema de numeración originario en clase de Matemáticas, está todavía en un proceso inicial. En este sentido se observó por ejemplo que, tanto el docente como los niños, en contextos de expresión en lengua quechua, utilizan generalmente el nombre de los números cuatro y seis en castellano. Los números uno, dos y cinco se nombran en quechua.

3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: Se evidenció que el quechua es útil como lengua instrumental en el área Matemáti-

cas de EIB. Facilita el proceso de comunicación entre docente y niños, y entre pares.

4. Naturaleza lúdica: Se busca que los niños se sientan cómodos, se atrae su atención y se posibilita su

bienestar a través de una historia que el docente cuenta, contextualizada en su realidad. Se da un espacio para expresar su originalidad cuando se les pide que dibujen la estrategia que usaron para responder a la pregunta planteada en la historia.

5. Uso de material educativo diverso: Los niños tienen libertad para usar el material concreto no estructurado disponible

en su aula: piedrecitas, semillas, chapitas, para responder las preguntas que for-mula el docente.

6. Desarrollo de capacidades para investigar: En la práctica se constata que los niños resuelven un problema de estructura aditiva

de cambio, sin necesidad de que el profesor les haya dicho que van a resolver un problema. Lo importante es que a través de la situación que les relata, que involucra una pregunta a la cual los invita a responder, estimula a los niños a pensar por sí mismos y a buscar estrategias personales o colectivas para encontrar una solución, con lo cual propicia el desarrollo de capacidades para investigar.

7. Orientación al logro de competencias: El profesor logra seleccionar o diseñar actividades pertinentes para proponer a los

niños, relacionadas con sus intereses y vivencias, lo cual contribuye a generar en estos actitudes positivas hacia las matemáticas. Asimismo, en la sesión observada la operación de adición surge como una herramienta cuya necesidad se genera a


31

partir de la situación que se ha planteado para resolver. Los niños tienen la libertad de utilizar material concreto y posteriormente representan gráficamente el procedi-miento seguido. El docente introduce el uso de signos convencionales para repre-sentar la operación de adición, y también emplea términos en quechua en proceso de estandarización: “yapachikuq” (signo “más”: +). En otras palabras, los niños han vivido un proceso de construcción del concepto de la operación de adición, a partir de una situación problema que han resuelto. El proceso seguido para hallar la solución permite el desarrollo de la capacidades de resolución de problemas, razonamiento y comunicación matemática.

El trabajo realizado por los estudiantes les ayuda, no solo a construir conocimien-tos y a utilizarlos, sino a desarrollar capacidades y actitudes positivas, es decir, se orienta al logro de competencias.

En estas representaciones se observa la nota personal en la estrategia utilizada. Así por ejemplo, el niño llamado Aldair, para responder la pregunta del problema, repre-sentó tres monedas de 2 nuevos soles, una que tenía Dorita y dos que le dio su mamá después.

Esta vez se presenta la transcripción de una sesión de trabajo en aula orientada a que los niños inicien la construcción de la sucesión de números naturales y el concepto de valor posicional. La información registrada se basa en la observación de la experiencia realiza-da en la sección de primer grado de la institución educativa de EIB de Patacancha (UGEL Urubamba, Región Cusco) durante 65 minutos.

3.2. Sesión de clase en Patacancha: construcción de los tres primeros números naturales, usando la yupana como soporte:

Algunos trabajos realizados por los niños en el marco de la sesión de clase desarrollada en Cañaris.

32


La profesora responsable de la sección de niños de primer grado ha empezado a aplicar en sus clases los principios de la propuesta pedagógica, en quechua. Evita decir a los niños que van a resolver problemas de Matemática, es decir, no utiliza la palabra “problema” a fin de condicionar positivamente el estado emocional de los niños, aún cuando en la práctica conduce el proceso de aprendizaje a partir de preguntas que plantea de modo sistemático. Ella cuida de que todos participen, observa sus reacciones y orienta sobre todo a quienes necesitan su apoyo.

He aquí una aproximación de la clase observada en Patacancha el 14 de julio de 2010, luego de que la profesora propiciara, entre otras, el desarrollo de las capacidades comuni-cativas y de ubicación en el tiempo, conversando con los niños sobre la fecha y la asistencia de los alumnos ese día.

Mural del aula de 1º grado de la I.E. de Patacancha

Niños de 1º grado de la I.E. de Patacancha


33

Ese día se filmó el proceso de enseñanza y aprendizaje, que condujo la profesora Nancy. Los niños están organizados en cuatro grupos de trabajo: chawlla, waka, llama y uwija.

El grupo “Chawlla” tiene cuatro integrantes, pero en la clase del 14 de julio solo asistieron tres de ellos. Este hecho, entre otros, fue utili-zado por la profesora como contexto para apoyar proce-sos de aprendizaje significa-tivo en el área Matemáticas, siempre estimulando el pen-samiento de los niños a tra-vés de preguntas formuladas en función del propósito de la clase.

8:30 Profesora Kunanmi kay yupanawan tablachakunawan pukllasun-chik. (Hoy vamos a jugar con la yupana y estas tablitas).Escribe en rojo en la pizarra la palabra:

Yupana

En la pizarra, la profesora ha colocado una cartulina en la cual ha representado la yupa-na así:

La profesora muestra y entrega yupanas a cada grupo. Asi-mismo les entrega piezas en-cajables en los hoyitos de las yupanas y cinco tablitas nume-radas rectangulares pequeñas, de tamaño 3,5 cm x 4 cm. En cada una de estas tablitas está escrita una de las cifras: 1, 2, 3, 4, 5. Es importante que cada niño tenga una yupana, y que tenga disponible suficiente cantidad de piezas encajables y tablitas numeradas.


P CH S

Dibujo realizado por niños de 1º grado de la I.E. de Patacancha

34


8:35

8:40

8:45

8:55

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Yupanata qhawaychik.¿Imatam yupanapi qhawachkankichik?(Fíjense cómo es la yupana. ¿Qué observan en ella?)

T’uquchakuna kachkanchu… chuntakunari.(Hay hoyitos... hay rectángulos...)

Hayk’ataq yupanaq wachunri?(¿Cuántas columnas tiene la yupana?)

Uk, iskay, kimsa!(Uno, dos, tres!)

Allinmi.(Muy bien.) Yupana qusqaykichik kimsa wachuyuqchu . Sapanka wachuqa sutiyuqmi, kunanqa sapankuna wachukunallawanmi pukllasunchik. Kay qillqayqa muyu-pim kachkam chayqa sapankuna wachukunamanmi uma-llin, ¿ima qillqayri kay?(Las yupanas que les he dado tienen tres columnas.Cada columna tiene un nombre. Por ahora solo vamos a jugar en la columna de las unidades. Esta letra que está en este círculo quiere decir que en esta columna se repre-sentan las unidades. ¿Qué letra es?)

“S” qillqaymi kay.(Es la letra “s”.)

¿Ima ninantataq kay “s” qillqayri nin?(¿Qué quiere decir “s”?)

Sapankuna.(Unidades.)

Dibuja un diente y escribe la palabra kiru (diente) en la pizarra.Luego pregunta a los niños :¿Hayk’ataq Juanapa kirunkuna urmarqun? ....(¿Cuántos dientes se le cayeron a Juana?)

Uk!(Uno!)

Allinmi.(Muy bien.)Tapachakunawan huk yupayta sapam wachupi churay.(Utilizando las tapitas representen “huk” en la columna de las unidades de la yupana.)

Los niños tratan de colocar la tapita en uno de los hoyitos de la columna de las unidades de la yupana.

Allinmi.(Muy bien.)

Los niños muestran interés cuando se les entregan las yupanas y las tablitas numeradas.

Señala las columnas de la yupana que tiene en sus manos.

La profesora aprovecha una si-tuación significativa que se dio en el aula: a una niña se le ha-bía caído un diente, pues estaba mudando. Hace notar esta situa-ción a la clase y les formula la pregunta .

La docente observa que hay diferencia en la ubicación de



35

8:58

9:00

Niños

Profesora

Martina

Profesora

Profesora

Wayta

Profesora

“Huk” yupayta sapam wachupi llapaykichikchu churarankichik.(Todos colocaron “uno” en la columna “unidades” de la yupana.)Kunanmantaqa tapachakunata churayta qallarisun, chun-taq uranpi lluq’i t’uquchapi.¡Kunanqa 1 yupayta kikillanta churay!(Sin embargo, en adelante vamos a empezar colocando las tapitas siempre en el rectángulo de abajo, en el hoyito de la izquierda. ¡A ver, representen “uno” de este modo!)

Adoptan el acuerdo colocando la tapita en el hoyito de la izquierda del rectángulo de la parte inferior de la columna.

Martina, kunanqa 1 yupayta pizarra yupanapi muyupi siq’ispa kaqninman churay.(A ver, Martina, representa “uno”, ahora en la yupana de la pizarra, y pinta un círculo donde corresponde.)

Pinta el círculo de la izquierda de la primera fila del rec-tángulo inferior de la columna de las unidades de la yupa-na que está dibujada en la pizarra:

Tablachakunata 1 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik.(Coloquen la tablita en la que está escrito el número “1” debajo de la columna de las unidades.)

Wayta, kunaqa 1 yupanata pizarra yupanapi qillqay.(A ver, Wayta, escribe el número “1” en la yupana de la pizarra.)

Escribe “1” según lo indicado:

Les invita a hacer ejercicios físicos para que se relajen un poco.

la tapita en las yupanas de los niños; sin embargo, todos acer-taron en colocarla en uno de los hoyitos de la columna de las unidades.

Fue acertado que los niños efec-tuaran la dinámica dirigida por la profesora.


P CH S

1

P CH S

36


9:05 Profesora

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Arturo

Profesora

Arturo

Niños

Escribe en la pizarra y verbaliza la pregunta:¿Hayk’a yachachiqkunataq kaypi kanku?(¿Cuántas profesoras hay aquí?)

Iskay.(Dos)

Pide a los niños:Tapachakunawan 2 yupayta sapankuna nisqa yupanaq wachumpi churay.(Utilizando las tapitas representen “iskay” en la columna de las unidades de la yupana.)

Cada niño coloca dos tapitas, una en cada hoyito de la columna de las unidades de la yupana.

Arturo, kunanqa 2 yupayta pizarra yupanapi churay, mu-yuwantaq siq’iy.(A ver Arturo, representa el número “dos” ahora en la yupa-na de la pizarra pintando dos círculos donde corresponde.)

Pinta dos círculos, empezando por la izquierda de la primera fila del rectángulo inferior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra:

Indica a los niños:“2” yupaywan qillqasqata sapankuna nisqa yupanaq wachunpi churaychik.(Coloquen la tablita en la que está escrito el número “2” debajo de la columna de las unidades de la yupana.) Qanri Arturo 2 yupayta, sapankuna nisqa yupanaq wachunpi qillqay.(Y tú Arturo, escribe el número “2” debajo de la columna de las unidades en la yupana de la pizarra.)

Escribe en la pizarra el número “2”, de acuerdo con lo indicado:

Dibuja en la pizarra el rostro de cada profesora y escribe el número “2”.

La profesora les orienta a fin de que respeten el acuerdo de empe-zar colocando las tapitas desde la última fila del rectángulo inferior de la columna de las unidades.

Colocan la tablita con el número “2”, según lo indicado.


P CH S

P CH S

2


37

9:10 Profesora

Niños

Profesor

Niños

Profesora

Niños

Profesora

Raquel

Profesora

Raquel

¿Mayqin t’aqakunapi pisi irqikuna hamunku?(¿En cuál de los grupos han venido hoy menos niños?)

Chawlla t’aqamanta.(En el grupo “Chawlla”).

¿Hay’ka irqikunataq challwa t’aqamanta kunam p’unchaw hamunku?(¿Cuántos niños del grupo “Chawlla” han venido hoy ?)

Kimsa. (Tres.)

Dibuja en la pizarra el rostro de cada niño que integra el grupo “Chawlla” y escribe el número “3”.Pide a los niños:Tapachakunawan kimsa yupayta, sapan wachukunapi churay.(Utilizando las tapitas representen “tres” en la columna de las unidades de la yupana.)

Cada niño coloca tres tapitas, una en cada hoyito de la columna de las unidades de la yupana.

Raquel, kunanqa 3 yupayta pizarra yupanapi churay, mu-yuwantaq siq’iy.(A ver, Raquel, representa el número “tres” ahora en la yupa-na de la pizarra pintando los círculos donde corresponde.)

Indica a los niños:Tablachata 3 yupay qillqasqapi churay, yupanaq sapan wachu urayninpi.(Coloquen la tablita en la que está escrito el número “3” debajo de la columna de las unidades de la yupana.) Qamri Raquel kimsa yupayta sapan wachukunaq uraynin-pi pizarrapi qillqay.(Y tú, Raquel, escribe el número “3” debajo de la columna de las unidades en la yupana de la pizarra.)

Escribe 3 debajo de la yupana en la pizarra:

La docente siempre cuida de for-mular a los niños preguntas que toman en cuenta su entorno.

La profesora les orienta a fin de que respeten el acuerdo de em-pezar colocando las tapitas en la última fila del rectángulo inferior de la columna de las unidades.

Raquel pinta los tres círculos de la última fila del rectángulo inferior de la columna de las unidades de la yupana que está dibujada en la pizarra.

Simultáneamente, la docente revisa el trabajo que cada niño realiza y orienta prioritariamen-te a quienes tienen dificultad.


P CH S

P CH S

3

38


9:20

9:35

Niños

Profesora

Niños

Colocan la tablita con el número “3” según lo indicado.

Pide a los niños:Yupanapi rurasqaychichikta Cuadernuykichikpi churaychik.(Representen en su cuaderno lo que han contado y representa-do en la yupana y escriban el número respectivo cada vez.)

Cada niño dibuja y escribe en su cuaderno de acuerdo a lo indicado por la profesora.

Muestran a la profesora lo que representaron en sus cuadernos.Se observa que los niños están acostumbrados a copiar lo que está en la pizarra, pues reprodu-cen lo que ven allí.



Tomando como referente las características de la Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB, el análisis de la programación curricular y de las actividades de la sesión de enseñanza y aprendizaje de primer grado observada en Patacancha, es posible puntualizar lo siguiente:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: La programación, desarrollo curricular y evaluación de los aprendizajes se enmarca

en el calendario de la comunidad, a través de proyectos y unidades de aprendizaje. La lengua instrumental utilizada es el quechua, en la variedad Cusco Collao.

2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje significativo: La inclusión de la etnomatemática de la comunidad está dada por el uso del sistema de

numeración en quechua, lengua materna de los niños. Asimismo, como material concre-to de soporte para el trabajo conceptual de la etnomatemática andina se usa la yupana, con lo cual se reconoce el valor que tiene el ábaco utilizado en el Imperio Incaico.

Se usan términos en quechua Cusco Collao y Ayacucho Chanka, propuestos en el dic-cionario elaborado con participación de educadores, especialistas de Matemáticas de Institutos Superiores Pedagógicos24. Tales términos están en proceso de estandari-zación: yupana (ábaco), sapankuna (unidades), lluq’i (izquierda), wachu (columna), huk (uno), iskay (dos), kimsa (tres). Se usan también términos propuestos para estan-darización: pisi (pocos) cuando se refiere a “menos”, y ura (abajo) en urayninpi (de-bajo). Por otro lado, se observa que en lugar de los términos por estandarizar: yupa (número), chutarisqa tawa kuchu (rectángulo), chiqan muyu (círculo), propuestos en el diccionario referido, se utilizaron: yupay, chunta y muyu, respectivamente.

3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: Dado que la lengua materna de los niños es el quechua Cusco Collao, se utilizó esta

lengua durante las actividades realizadas.

24 PROEDUCA-GTZ. Diccionario de Matemática Yupa awa simi taqi. Lima: GTZ. 2004.


39

4. Naturaleza lúdica: A fin de que las actividades de los niños respondan al interés lúdico que ellos tienen, se

les invita a jugar con la yupana y, progresivamente, se les va planteando preguntas que suponen el respeto de ciertas reglas de juego, en función de los propósitos de la clase.

La docente también propone a los niños otras dinámicas que propician su bienestar y el agrado por las actividades que se le proponen.

5. Uso de material educativo diverso: Se usa el material concreto estructurado, esto es, el ábaco andino (yupana), con

piezas encajables auxiliares y tablitas numeradas.

6. Desarrollo de capacidades para investigar: El hecho de que se formulen preguntas a los niños considerando el contexto y cier-

tas reglas de juego asumidas, los estimula a buscar estrategias de solución. Este espacio es propicio para que los niños desarrollen las capacidades para investigar, es decir, que identifiquen o formulen situaciones problema, y que sean capaces de elaborar y aplicar estrategias que permitan responder a las preguntas que se les plantea. Son los niños quienes dan las respuestas, cuya corrección es validada por sus mismos compañeros conjuntamente con el docente.

7. Orientación al logro de competencias: Se posibilitan aprendizajes en el área Matemáticas, al proponer a los niños activida-

des generadas por situaciones significativas extraídas de su entorno. Un aspecto rele-vante en la sesión de clase es la pertinencia de las preguntas que formula la docente a los niños, aprovechando estratégicamente las situaciones que el contexto le ofrece. De esta manera propicia que el significado cuantitativo de los números vaya siendo com-prendido por ellos, con el apoyo de su representación concreta en la yupana, como respuesta a las preguntas formuladas, y que los niños desarrollen su pensamiento pues, para poder responder, tienen que observar, reflexionar, establecer correspon-dencias y localizar objetos en el espacio, entre otros procesos.

En la sesión de enseñanza y aprendizaje de la clase transcrita se evidencia también que se puede plantear y resolver problemas cuando se utiliza material concreto adecuadamente, hecho que facilita el aprendizaje comprensivo y la representación simbólica. En efecto, se posibilita que los niños pasen de la representación concreta a la representación gráfica y simbólica, cuando se les pide que dibujen lo que hicieron en clase con la yupana y que escriban cada número, del 1 al 3 respectivamente. Asimismo los niños empiezan a cons-truir el concepto de valor posicional, pues la representación concreta y simbólica de los números debe hacerse en la columna unidades (sapankuna, en quechua Cusco Collao).

Por otro lado, la comprensión de los niños de lo que hacen y expresan en la sesión de trabajo en el área Matemáticas genera en ellos un sentimiento de seguridad y, por ende, una actitud positiva para la realización de las actividades que se les propone.

En resumen, la operativización de la PPM-EIB permite que los niños construyan conocimientos y desarrollen capacidades, principalmente de investigación y reso-lución de problemas, y que asuman actitudes positivas hacia las matemáticas. Es decir, esta operativización se orienta al logro de competencias.

40


A continuación presentamos el registro de la observación de una sesión de enseñanza y aprendizaje realizada en un aula de primer grado de EIB, en Patacancha. La sesión se realizó el 5 de noviembre de 2010, tuvo una duración de dos horas y en ella se empleó el quechua Cusco Collao.

3.3. Resolución de un problema abierto, en una sección de primer grado de EIB

9:30 Profesora

Niño

Niña

Profesora

Profesora

Niños

Profesora

Profesora

Niña

Ima raymitaq qayna p’unchaw rurakurqam?(¿Qué fiesta se ha celebrado ayer?)

Wañuqkunaq raymin.(La fiesta de los muertos.)

Todo santuspa raymin.(La fiesta de Todos los Santos.)

Todo santuspa raymipiri, ¿ima mikhunakunatataq wasinku-pi ruranku?(En la fiesta de Todos los Santos, ¿qué es lo que preparan para comer en sus casas?)

¿Imatataq qillqana qatapi siq’irqani?(¿Qué es lo que he dibujado en la pizarra?)

Wawakuna.(Son wawas…)

¿Hayk’a wawakunatataq siq’arqani? (¿Cuántas wawas he dibujado en la pizarra?)

Mama Ruperta wawakunata qhatun, imaymana waliqni-yuqmi wawankunapa.(La señora Ruperta vende wawas. Tiene wawas de dife-rentes precios.)¿Qamkuna, riqsinkichikchu qullqita?¿Ustedes conocen las monedas?)

Arí.Huk solis, iskay solis pichqa solis qullqiita. (Sí. Monedas de 1 sol, de dos soles, de 5 soles…)

La docente formula preguntas relacionadas con las vivencias de los estudiantes. En la comu-nidad se ha celebrado la fiesta de Todos los Santos.

La docente dibuja wawas de pan en la pizarra.

En la fiesta de Todos los Santos se acostumbra hacer wawas en la comunidad. Las wawas son un tipo especial de pan que se pre-para principalmente en pueblos andinos.



41

9:50 Profesora

Profesora

Profesora

Profesora

Qullqita qusaykichik, mañakusqaymanhina qhawachiwan-kichik.(Les voya a dar monedas para que me las muestren de acuerdo a lo que les vaya pidiendo.)

Iskay solis qullqita qhawachiwaychik.(Muéstrenme las monedas de dos soles…)Kunanqa huk sol qullqita.(Ahora, las monedas de un sol…)Pichqa solis qullqita qhawachiwaychik.(Muéstrenme las monedas de 5 soles… )

Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin(El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles.)¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman?(¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?)

Kimsa sulisman pichqa sulista yapaykun chaymanta iskay sulistawan yapaykun.(A tres soles le aumenta cinco soles, y luego aumenta dos soles.)

El docente les entrega monedas de papel que ha recortado pre-viamente.

La docente se acerca a cada grupo y pide a los niños que le muestren monedas de diferente clase.

La profesora no dejó a los ni-ños un tiempo prudencial para que buscaran cómo encontrar la respuesta a la pregunta que les formuló respecto a las monedas con las cuales puede pagar An-tenor los 10 soles que le costó la wawa. Ella les dio la respues-ta casi enseguida.

Hubiera sido interesante que los niños utilizaran sus propias estrategias para responder a la pregunta. Es necesario estimular a los niños para que piensen por ellos mismos para responder.

La docente va representando con dibujos en la pizarra lo que va diciendo oralmente.

De este modo la docente da una respuesta a la pregunta que planteó a los niños sobre las monedas con las cuales el papá de Antenor puede pagar la wawa.


42


10:10

10.30

Profesora

Niña

Profesora

Niños

Profesora

Profesora

Profesora

Niños

Profesora

Niños

¿Maypitaq rantinkuma pukllanata?(¿Dónde se pueden comprar juguetes?)

Tiendapi.(En la tienda.)

¿Tiendapi pukllayta munawaqchikchu?(¿Les gustaría jugar a la tienda?)

Ariiii(Sííííí...).

Kunanqa tiendapi pukllasunchik.(Ahora, van a jugar a la tienda.) Tiendapin iskay pukllanakuna qhatukun, uk carro hinalltaq 1 lámpara (En la tienda se venden estos dos objetos: un carro y una lámpara.)

Iskay irqikuna qhatunqaku, Juanita hinallataq Johnny hamuychik, qamkunan kay iskay pukllanakunata qhatunkichik.Carrun walin chunka solis, lamparapis waklinchunka solis.(Dos niños son los vendedores. Vengan aquí Juanita y Johnny, ustedes son los que venderán estos dos juguetes. El carro cuesta diez nuevos soles y la lámpara también cuesta diez nuevos soles.)

¿Imatataq kay t’aqa rantiyta munam? ¿Carrotachu utaq lamparatachu?(¿Qué quiere comprar este grupo?, ¿el carro o la lám-para?)

Carruta.(El carro.)

Hayk’ataq carruri walin?(¿Cuánto cuesta el carro?)

Chunka.(Diez ...)

La docente les muestra dos ob-jetos: un carro y una lámpara, y los coloca sobre la mesa en la que los niños van a jugar a la tienda.

Los niños escuchan con aten-ción y asumen los roles que se les asigna para jugar “a la tienda”.

La profesora se acerca a cada grupo para preguntar a sus in-tegrantes cuál juguete quieren comprar y con qué monedas pueden pagar el juguete que compran.

En la pregunta la docente utiliza explícitamente el conectivo “o”.



43

10.40Profesora

Niños

Profesora

Niño

¿Ima qullqiwantaq carruta pagankuma sichus 10 solis walin chayri?(¿Con qué monedas pueden pagar los 10 soles que cues-ta el carro?).

Kay rapipi sapanka t’aqan ima puklantam rantiyta munan chayta siq’inkichik, hinallataq ima qullqiwanmi rantinki-chik chaytapas, ¿allinchu?(En este papelote cada grupo va a dibujar el juguete que quiere comprar y también las monedas con las cuales van a pagar los 10 soles, ¿entendido?)

¿Kay t’aqari imatataq rantiyta munan? ¿ carrutachu, lam-paratachu?(¿Este grupo qué quiere comprar?: ¿el carro?, ¿la lám-para?)

Lamparata.(La lámpara.)

¿Hayk’ataq lámpara walin nirqanchik?(¿Cuánto hemos dicho que cuesta la lámpara?)

Diez solis.(Diez soles ...)

La pregunta planteada por la do-cente estimula el pensamiento de los niños.Hay varios modos de res-ponderla correctamente. Es decir, es una situación para resolver que no tiene una única solución.

La profesora entrega un papelote y plumones de colores a cada grupo.Luego hace el seguimien-to y orienta a los niños a partir de preguntas, a fin de que reali-cen la tarea que les ha indicado.

La profesora continúa preguntan-do separadamente a cada grupo sobre cuál juguete es el que quie-ren comprar y con qué monedas pueden pagar el juguete que compran.

En la segunda pregunta el co-nectivo “o” está implícito.

La profesora dialoga con los ni-ños y les orienta para que partici-pen en la realización de la tarea asignada, que implica la respues-ta a la pregunta sobre las mone-das que utilizarán para comprar la lámpara de 10 nuevos soles.

Uno de los niños responde en castellano.


44


11:25

11.30

Profesora

Niño

Profesora

Profesora

Runasimipi.(En quechua...)

Chunka solis.(Diez soles ...)

Ñachu rapipi, t’aqapi munasqaykichik pukllana rantisqa-ykichikta siq’inkichikña, hinallataq qullqikunawan paga-naykichik chunka solista ima? (¿Ya han empezado a dibujar en el papelote el juguete que quiere comprar el grupo y también las monedas con las cuales van a pagar los 10 soles?)

Tukunkichik chayqá, qhatapi k’askachinkichik, llapanchik qhawanachikpaq.Una vez que haya terminado, cada grupo pegue el pape-lote en la pared para que todos podamos ver.

La docente anima a los niños a realizar la tarea grupal que les propuso.Ella ayuda a cada grupo de niños a encontrar una solución a la situación problema que les planteó.

La docente propicia la sociali-zación de las respuestas que los niños encontraron grupalmente.

Las respuestas de cada uno de los grupos fueron dadas en pa-pelotes, tal como se muestra en las fotos.

Un grupo respondió, mediante el papelote, que pagaría el carro con una moneda de 5 soles, tres de 1 sol y una de 2 soles.

El otro grupo respondió en su papelote que pagaría la lám-para con tres monedas de 2 soles, dos monedas de1 sol y una moneda de 2 soles.

Los niños se mostraron un poco cansados. No fue posible que cada grupo de niños, a través de un representante, expusiera al resto la solución que encontró.

Los niños salieron a recreo.



45


Considerando las características de la PPM-EIB. al analizar la sesión se observa:

1. Programación, desarrollo y evaluación, articulados con el calendario comunal: Se constata que la programación y desarrollo curricular se enmarca en las activida-

des del calendario agrofestivo de Patacancha, lo cual propicia la conexión de las matemáticas con otras áreas. Se toman en cuenta las costumbres de la comunidad en ese periodo de tiempo, y sus experiencias durante la fiesta de Todos los Santos.

2. Inclusión de la etnomatemática para el aprendizaje significativo: Se utilizan conceptos etnomatemáticos en la propia lengua (adición, números naturales).

Los vocablos en proceso de estandarización propuestos en el diccionario de Matemática Yupa awa simi taqi25 son utilizados: yapay (adición); iskay, kimsa, pichqa, chunka; utaq (conectivo “o”); qullqi (moneda). En una de las preguntas el conectivo “o” está implícito.

Se usa la expresión qayna punchaw (todo el día de ayer) de la etnomatemática propia, para ubicarse en el espacio tiempo.

3. Uso de la lengua originaria y el castellano como lenguas instrumentales: La lengua instrumental de enseñanza y aprendizaje es la lengua materna origi-

naria de la mayoría de los niños: el quechua Cusco-Collao, lo que posibilita una comunicación fluida entre docente y estudiantes.

4. Naturaleza lúdica: Se juega “a la tienda” y se realizan acciones de compra y venta de juguetes. Esto

suscita interés en los niños. Así, se posibilita que los niños se familiaricen con las monedas y su valor correspondiente.

5. Uso de material educativo diverso: Se utiliza material concreto no estructurado (la lámpara y el carrito), y estructurado

(monedas de papel pegado en cartulina).

6. Desarrollo de capacidades para investigar: El juego de la tienda abre un espacio para que los niños puedan desarrollar su

pensamiento numérico, al resolver problemas cuya solución implica el manejo de cantidades y la realización de operaciones. Tales problemas son creados por los mismos niños durante las relaciones de compra venta de artículos o productos di-versos. En el caso observado se trata de la compra venta de dos juguetes.

Por otro lado, la docente plantea una situación-problema abierta, es decir, que tiene varias soluciones posibles. No se dice a los niños que van a resolver un problema, aun cuando en la práctica eso es lo que hacen. A partir de la historia contextualizada sobre la compra de una wawa de pan, se formula una pregunta que los niños deben responder: Antenorpa taytan chunka soliswan wawata rantin ¿Ima qullqiwantaq chunka solista pagakuman?

(El papá de Antenor compró una wawa de 10 soles. ¿Con qué monedas puede pagar los diez soles?).

25 PROEDUCA-GTZ. Diccionario de Matemática: Yupa awa simi taqi. Lima: GTZ. 2004.

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Los niños averiguan entre ellos cómo responder la pregunta formulada y ensayan posibilidades de solución, manipulando las monedas de cartón que tienen dispo-nibles. La docente observa y monitorea el trabajo de los niños. Les brinda apoyo cuando lo requieren.

El problema planteado a los niños es de alto nivel de demanda cognitiva, en rela-ción con las experiencias de aprendizaje que han tenido a la fecha.

7. Orientación al logro de competencias: A través de las actividades desarrolladas los niños no solamente consolidan el

aprendizaje de los primeros números y su significado; sino que aquellas también les permiten tener un soporte concreto para la construcción del concepto de adición de números naturales. Esto corresponde a la dimensión de construcción y manejo de conceptos etnomatemáticos y matemáticos.

Asimismo desarrollan capacidades, principalmente de identificación, formulación y resolución de problemas numéricos en situaciones de la vida cotidiana. En el contexto de resolución de problemas, los niños también desarrollan capacidades de razona-miento y comunicación matemática, cuando contrastan y explican sus resultados, tanto oralmente como con el apoyo de representaciones gráficas y simbólicas.

Simultáneamente los niños desarrollan actitudes de respeto a las respuestas de sus pares, y de valoración de la etnomatemática propia al comunicarse en su lengua y utilizar conceptos que se manejan en su comunidad. Asimismo, se promueve el trabajo en equipo. Aprender a trabajar dialogando y respetando a los pares son objetivos muy importantes para la vida.

En resumen, en la clase observada el trabajo se orienta tanto a la construcción y uso de conocimientos, como al desarrollo de capacidades y actitudes positivas de los niños.

Las reflexiones y comentarios sobre cada una de las sesiones de clase presentadas ponen en evidencia que en las aulas de algunas instituciones educativas de EIB ya se han gene-rado procesos innovadores, que difieren de la rutina no muy atractiva que generalmente se ofrecía en un gran porcentaje de aulas rurales. Asimismo, ello nos permiten tomar con-ciencia de que docentes y especialistas de EIB estamos aprendiendo, progresivamente, a reflexionar sobre las prácticas que ejecutamos en nuestras clases de EIB con niños cuya lengua materna y cultura son originarias.

El desafío es grande pues sabemos que falta mucho por investigar, para poder contri-buir eficientemente a una transformación de la educación, en particular, para lograr una educación matemática de calidad de los niños de sociedades originarias. Estamos con-vencidos de que el enfoque intercultural y bilingüe ayuda a lograr un cambio de estruc-turas sociales que permita asegurar el desarrollo humano sostenible en nuestro país y en el mundo; pero solo haciendo sinergias podemos continuar avanzando, conjuntamente, para alcanzar tales propósitos en el menor plazo posible.

3.4. Puntos críticos en la aplicación de la PPM-EIB


47

En esta línea debemos señalar que, además de los aspectos positivos, se han identificado también los siguientes puntos críticos:

1) La creencia de que siempre hay que enseñar todo al estudiante, en particular, las es-trategias de resolución de un problema.

En las clases observadas hemos notado que hay una práctica docente arraigada: dar-le al estudiante una muestra de lo que quiere que aprenda. Ello pone en evidencia la creencia antes mencionada. Así por ejemplo, si se trata de la resolución de un proble-ma, primero el docente trata de “enseñar” al niño la estrategia que debe utilizar para responder a la(s) pregunta(s) que se formula(n), y luego pide que este la aplique para resolver un problema similar. Esta manera de proceder del docente limita el esfuerzo que cada estudiante puede desplegar para responder a una pregunta, y genera el há-bito de la espera y recepción pasiva de lo que el docente le puede ofrecer, dificultando así el desarrollo de su capacidad de iniciativa y potencialidad creativa. Es necesario superar tal creencia.

El papel del docente en el área Matemáticas de EIB es, principalmente, provocar la necesidad de pensar, planteando una situación acorde con las posibilidades de respuesta del estudiante, es decir, considerando los conocimientos de este y dándole un tiempo prudencial para que busque y halle la solución cuando esta existe. Luego debe orientársele, sobre todo, si requiere apoyo. El desarrollo de la capacidad de resolución de problemas solamente se puede lograr si se da a los estudiantes la oportunidad de hallar la solución de problemas mediante la búsqueda, selección y/o elaboración de sus propias estrategias, así como la posibilidad de identificar o formular problemas.

2) Hay una tendencia en el docente a no cuidar lo suficiente la secuencia de las situacio-nes problemas que plantea a los estudiantes y, por tanto, a no considerar una gradua-ción adecuada del nivel de dificultad de las mismas.

En efecto, en una de las sesiones observadas y analizadas era notorio que no se había planteado anteriormente a los niños un número de problemas más sencillos, cuyos procesos de solución les hubiesen podido servir de base para resolver el pro-blema planteado, sin necesidad de requerir de tanta ayuda de parte de la docente. La mayoría de preguntas planteadas a los niños en las sesiones anteriores, según la programación curricular correspondiente, eran del tipo “¿cuántos objetos hay?”; pero luego, sin haber logrado aún la preparación suficiente, se pidió a los niños que resol-vieran un problema abierto que, por lo tanto, tenía más de una solución. Para que los estudiantes puedan lograr esto es necesario graduar la dificultad de las situaciones problemas que se les propone, en la lengua que ellos entienden.

3) Los niños de primer grado de EIB, casi al finalizar el año escolar, aún no manejan automatismos básicos de la adición de números naturales cuya suma es menor o igual a 10.

48


Automatismos tales como 2+3 = 5; 5+3 = 8 ó 6+4=10 deben ser adquiridos y con-solidados mediante actividades atractivas para los niños, que hayan sido cuidadosa-mente seleccionadas con tal propósito. Por ejemplo, mediante juegos como los de las yupakartas26, previa construcción del concepto de adición en el contexto de resolución de situaciones problema.

4) Los niños de primer grado EIB, casi al finalizar el año escolar, no han construido el significado del número diez y de las cifras que lo representan en el sistema de nume-ración decimal.

5) No hay la suficiente confianza sobre la potencialidad pedagógica de la etnomatemá-tica en la propia lengua materna originaria de los niños.

El análisis de los cuadernos de los estudiantes de primer grado nos permite confirmar que aún se pretende que los niños construyan conceptos matemáticos en una lengua que no dominan, a pesar de los bajos niveles de logro obtenidos a la fecha. Esto evi-dencia que no hay claridad suficiente en el tratamiento de lenguas en lo que respecta al área Matemáticas. Es indudable que los niños deberán conocer también el sistema de numeración en castellano; pero es recomendable que este aprendizaje sea com-prensivo, significativo y realizado de modo progresivo, en contextos de aprendizaje y desarrollo de competencias en castellano como segunda lengua.

6) Los docentes no tienen todavía la competencia profesional que requieren para brin-dar un servicio de calidad en la docencia del área Matemáticas, con estudiantes cuyas lenguas y culturas son originarias. Los docentes no han recibido formación inicial en EIB. Necesitan de un sistema de formación continua en EIB, que sea soste-nido y descentralizado.

Además, hacemos notar que una de las razones del relativo atraso que hemos cons-tatado en Matemáticas en el primer grado EIB podría ser el escaso tiempo que en las secciones de primer grado de EIB observadas se asigna al desarrollo de competencias en el área Matemáticas. Esto se comprueba, en la práctica, en el análisis de las progra-maciones curriculares y de los cuadernos de los niños. Señalamos pues la necesidad de trabajar más tiempo con los niños de EIB, en particular, en el área Matemáticas.

Esperamos continuar publicando documentos como el presente, que nos ayuden a analizar críticamente nuestra práctica pedagógica en Matemáticas, a fin de contribuir al mejoramiento de la calidad de la educación que los estudiantes de instituciones de EIB esperan obtener. Ello será posible si continuamos identificando los puntos críticos que dificultan los procesos de aprendizaje de nuestros estudiantes y trabajamos con-juntamente para superarlos.

26 MINISTERIO DE EDUCACIÓN. DEIB. Propuesta Pedagógica de Matemáticas en EIB. Lima: MINEDU. 2011, p. 121,

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Etnomatematicas y Sesiones BAJA[1]

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