Estudios Generales -...

Estudios

Generales

CDIGO: 89001293

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

Matemtica T.O.

Parte 02

DIRECCIN NACIONAL

GERENCIA ACADMICA

MATEMTICA T.O. Parte 02

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 2

MATERIAL DIDCTICO ESCRITO

CICLO : ESTUDIOS GENERALES

CURSO : MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02

Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formacin profesional en el Ciclo de

Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo,

se autoriza la APLICACIN Y DIFUSIN del material didctico escrito referido a

MATEMTICA BSICA T.O. PARTE 02

Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formacin Profesional son los

responsables de su difusin y aplicacin oportuna.

AUTORIZACIN Y DIFUSIN

DOCUMENTO APROBADO POR EL

GERENTE ACADMICO DEL SENATI

N de Pginas:.............261..............

Firma: ...

Lic. Jorge Chvez Escobar

Fecha: ....



INDICE

UNIDAD 08. Longitud ............................................................................................... 4

UNIDAD 10. Razones y Proporciones ....................................................................... 57

UNIDAD 11. Magnitudes Proporcionales ................................................................ 73

UNIDAD 12. Regla de Tres ...................................................................................... 92

UNIDAD 13. Porcentaje ........................................................................................ 103

UNIDAD 14. Angulos ............................................................................................ 123

UNIDAD 15. Paralelas .......................................................................................... 145

UNIDAD 16. Circunferencia y Circulo .................................................................... 163

UNIDAD 17. Polgonos ......................................................................................... 175

UNIDAD 18. Permetro .......................................................................................... 197

UNIDAD 19. Superficie y volumen ........................................................................ 220

UNIDAD 09. Medidas de Tiempo ............................................................................ 37



UNIDAD 08

MEDIDAS DE LONGITUD



8.1. MEDIDAS DE LONGITUD.

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como unidad

de medida

Cientos de aos atrs, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo.

Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un

pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo

hasta la punta del otro), eran 6 pies.

Cuando los Britnicos comenzaron a establecerse en Norteamrica las colonias

usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. An haba confusin

entre medidas que llegaron hacerse hasta ms confusas despus de la Revolucin

Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma

uniforme de pesas y medidas.

Tambin los Franceses, Espaoles y Holandeses tenan sus propias normas y nadie

estaba de acuerdo. Es as que en el ao 1832, el Departamento de Tesorera dispuso

que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas, y en el ao

1836, el Congreso oficialmente cre la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler escogi el

Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema mtrico. Sin embargo, el Sistema

Internacional (SI) de Unidades (Sistema Mtrico), es aceptado como la norma de

medidas.

8.1.1. Unidad Fundamental (EL METRO).

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental

de la magnitud longitud es el METRO.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD

Longitud metro m

Longitud del trayecto recorrido en el vaco, por un

rayo de luz en el tiempo de

s 458 792 299

1



8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I.

Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los mltiplos y submltiplos

de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades bsicas o

derivadas.

1.1 PREFIJO SMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR

NUMRICO

Para formar

mltiplos

decimales

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hecto

deca

E

P

T

G

M

k

h

da

10 18

10 15

10 12

10 9

10 6

10 3

10 2

10

trilln

mil billones

billn

mil millones

milln

mil

cien

diez

Para formar

submltiplos

decimales

deci

centi

mili

micro

nano

pico

femto

atto

d

c

m

n

p

f

a

10 -1

10 -2

10 -3

10 -6

10 -9

10 -12

10 -15

10 -18

Dcima

centcima

milsima

millonsima

mil millonsima

billonsima

mil billonsima

trillonsima

En el caso de la medida de longitud:

Mltiplos Submltiplos

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_b%C3%A1sicas_del_SIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_derivada_del_SI



kilmetro 1.2 HECTMETRO decmetro metro decmetro centmetro milmetro

X 1000 1.3 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000

1000 m 1.4 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

1 km 1.5 1 HM 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm

Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.

Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centmetro y el milmetro.

Largo ....................... cm ... ........................ mm

Ancho ...................... cm ........................... mm

Alto ........................... cm ........................... mm

Sin embargo, el centmetro y el milmetro, no son las nicas unidades de medida, si se

toman 10cm, se tiene 1 decmetro.

1 decmetro = 10 centmetros

Y si se toman 10 decmetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de

medida de longitud.

Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados.

a) Un libro

b) Un saln de clase

c) Un lpiz

Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene:

10 m forman 1 decmetro dam

10 dam forman 1 hectmetro hm



1 Largo = unidades

Observar, con atencin, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los

cuerpos recibe, en geometra, el nombre de segmento de recta. Medir algunos

de ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas

veces una unidad est contenida en l.

2

3

4 Ancho = . Unidades Altura = .

Unidades

5 Muy Importante:

El nmero es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA.

Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.

Ejemplo:

La longitud de la regla es de seis pulgadas.

La broca de tres cuartos est sobre la bancada.

Compr mil milmetros de alambre de cobre.

Esta caja contiene doce docenas de pernos.

La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.

En los dibujos de la pgina anterior, los segmentos medidos representan: Largo,

ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centmetro (cm).

Notar que cada centmetro est dividido en partes iguales, cada una de las

cuales se llama milmetro (mm).

En la medicin de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm.



Se puede comprobar que: 10 veces 1 milmetro es igual a 1 centmetro

10 x 1 mm = ........ mm = 1 .......

Completar: Ancho = 2,5 u = 2,5 cm = .......... mm

alto = 1 u = 1 cm = .......... mm

Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de unidades

de medidas de longitud. Observar el cuadro:

8.1.3. MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO.

MLTIPLOS UNIDAD SUBMLTIPLOS

km 5.1 HM dam m dm cm mm

kilmetro 5.2 HECTMETRO decmetro metro decmetro centmetro milmetro

1000 m 5.3 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observacin:

Es preciso aclarar que:

Existen mltiplos mayores que el kilmetro.

Existe submltiplos menores que el milmetro.

Por ejemplo:

En mecnica de precisin y en trabajos cientficos, se usan otros

submltiplos del metro, como por ejemplo la millonsima parte ( micra) del

metro que se denomina micra ( m).

Resumiendo se tiene:



Medidas mayores que el metro, o sea, mltiplos del metro:

decmetro dam 1 dam = 10 m

hectmetro hm 1 ....... = 100 ........

kilmetro km 1 .........= ........

5.4

5.5 1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M

Medidas menores que el metro, o sea submltiplos del metro:

decmetro dm 1 dm = 0,1 m

centmetro cm 1 ....... = ......... m

milmetro mm 1 ....... = .............

5.6 1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M



EJERCICIOS

Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente:

1. Completar:

a) 5 dam = cinco decmetros

b) 18 mm = ...................................................

c) ........................... = doce kilmetros

d) ........................... = nueve hectmetros

e) 35 cm = .....................................................

f) . .....................dm = siete ..........................

2. Completar:

a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m

b) 13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y .... m

c) ............dam = 19 dam, 5m y 3dm

d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm

e) 8,25 dm = ............. y .............

3. Se sabe que:

1 dam = 10 m

Entonces, completar:

a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m

b) 28 dam = ............................ = .......................... m

c) 3,4 dam = ........................... = . m

d) 53 m = 53 10 = 5,3 dam

e) 156 m = . = . dam

f) ,90 m = .. = . dam

4 Tambin se sabe que:

1 hm = 10 dam



Completar entonces:

a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam

b) 0,8 hm = ......................... = ........................ dam

c) 58 hm = ......................... = .. dam

d) 30 dam = 30 10 = . hm

e) 48 dam = .. = .... hm

f) 0,08 dam = .. = .... hm

5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,

completar:

a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm

b) 72 km = ........................... = . hm

c) 0,8 km = . = . hm

d) 5 m = 5 x 10 = 50 dm

e) 3,8 m = .... = . dm

f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm

g) 52 dm = ... = .... cm

8.1.4. CONVERSIN DE UNIDADES.

La unidad escrita se refiere a la cifra que est a la izquierda de la coma

decimal, que usted debe haber observado.

Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm.

Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeracin decimal.

Por consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene:

M dm cm Mm 4,587 m

4 5 8 7 que se lee, 4 metros y 587 milmetros



Observar con atencin, la escalinata con sus carteles.

Pues bien:

Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.

Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.

Realizar ahora los ejercicios que siguen:

6. De las equivalencias:

1 dam = ........... m 1dm = .............. m

1 hm = .m 1cm = ....m

1 km = .m 1mm = ... m

7. Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden

colocado inmediatamente antes de la coma decimal.

Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm 2,5 mm = .....................................

802,7cm = ................................... 1,520 km = ....................................

7,28 dm = .................................... 0,85 m = ....................................

8. Completar, observando el ejemplo:

a) Nueve metros y treinta centmetros = 9,30 m

b) Doce centmetros y doce milmetros = .............................................

c) Cuarenta y ocho centmetros y siete milmetros = ...........................

d) Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de mm = ..........................

km

hm

dam

m

dm

cm

mm



9. Complete el cuadro, observando los ejemplos:

Ejemplo:

m dm cm mm

a) 7 mm a 7

b) 14,5 dm b 1 4 5

c) 4,5 m c

d) 20,1 cm d

e) 0,2 m e

f) 12,5 cm f

g) 3 m g

h) 0,8 dm h

10. Responder:

a) Cul es mayor? 5cm 25 mm? .............................................

b) Cul es menor? 2dm 12 cm? ...............................................

c) Cuntos dm hay en 1 metro? ....................................................

d) Cuntos cm hay en 1 metro? ....................................................

e) Cuntos mm hay en 1 metro? ...................................................

11. Completar:

a) En 1 km hay ........................................ metros

b) En 1 hm hay ........................................ metros

c) En 1 dam hay ...................................... metros

d) En 3 m hay ...........................................decmetros

e) En 5 m hay ...........................................centmetros

f) En 10 m hay ........................................ milmetros

12. Completar:

6m = .................................. dm 23 dm = ......................... m



9,7m = .. dm 80 dm = m

88,53 m = . dm 8,2 dm = ... m

0,44 m = .. dm 33,4 dm = ........ m

13. Colocar convenientemente los smbolos en las siguientes conversiones:

a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 .............

b) 45,67 m = 4567 .. h) 300,7 mm = 3,007 ...

c) 45,67 m = 45 670. i) 0,7 km = 0,007 .

d) 45,67 m = 4,567 . j) 10 hm = 100 000

e) 45,67 m = 0,4567 ... l) 9,47 cm = 94,7 ............................

f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 .

14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes:

a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm = ...................... dam

b) 17 m = . mm h) 38 cm = ..... m

c) 9,5 m = cm i) 680 cm = .. m

d) 0,16 m = . dm j) 77,5 cm = hm

e) 0,007 m = .. km l) 6,91 cm = ......................... dm

f) 2800 m = .................... cm m) 0,25 cm = .. mm

15. Efectuar, haciendo la conversin de unidades conveniente:

80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m

4,8 dam 1 000 mm + 85 cm = cm

274,6 m 1,360 dam = ... m

Solucionario:

1. b) Dieciocho milmetros

c) 12 km



d) 9 hm

e) Treinta y cinco milmetros

f) 7 dm = siete decmetros

2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m

c) 19,53 dam

d) 9,5 m

e) 8 dm, 2 cm y 5 mm

3. b) 28 x 10 = 280 m

c) 3,4 x 10 = 34 m

d) 156 : 10 = 15,6 dam

e) 90 : 10 = 9 dam

4. b) 0,8 x 10 = 8 dam

c) 58 x 10 = 580 dam

d) 30 : 10 = 3 hm

e) 48 : 10 = 4,8 hm

f) 0,08 : 10 = 0,008 hm

5 b) 72 x 10 720 hm

c) 0,8 x 10 8 hm

d) 3,8 x 10 38 dm

c) 52 x 10 = 520 cm

6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 km = 1000 m 1 mm = 0,001 m



7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm

7,28 dm = 7dm y 28 mm

2,5 mm = 2 mm y 5 dcimos de mm

1,520Km = 1 Km y 520 m

0,85 m = 85 cm

8. Doce centmetros y doce milmetros = 12,12 dm

Cuarenta y ocho centmetros y siete milmetros = 48,7cm

Treinta y dos milmetros y ocho dcimos de mm = 32,8 mm

9.

m dm Cm mm

.......... ........ .......... ............ ..........

c 4 5

d 2 0 1

e 0 2

f 1 2 5

g 3

h 0 8

10. a) 5 cm b) 12 cm c) 10 dm d) 100 cm e) 1000 mm

11. a) 1000 m d) 30 dm

b) 100 m e) 500 cm

c) 10 m f) 10 000 mm

12. 6m = 60 dm 23 dm = 2,3 m

9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m



88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m

0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm = 3,34 m

13. a) . = 456,7 dm g) . = 29 905 dam

b) . = 4567 cm h) . = 3,007 dm

c) . = 45 670 mm i) .. = 0,007 km

d) . = 4,567 dam j) .. = 100 000 cm

e) . = 0,4567 hm l) .. = 94,7 mm

f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm

14. a) .. = 800 cm g) .. = 0,004 dam

b) .. = 17 000 mm h) .. = 0,38 m

c) .. = 950 cm i) = 6,80 m

d) .. = 1,6 dm j) = 0,00775 hm

e) .. = 0,000 007 km l) = 0,691 dm

f) = 280 000 cm m) . = 2,5 mm

15. 0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m

4800 cm 100 cm + 85 cm = 4785 cm

27,6 m 13,6 m = 14 m

Observacin:

Unidades que permiten medir a seres microscpicos o distancias

inapreciables por los seres humanos:

1 micra 0,001 milmetros.

1 nanmetro 0,000 001 milmetros.

1 angstron (A) 0,000 000 1 milmetros.



Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia

de los planetas:

1 ao luz 9,461 mil millones de kilmetros.

(distancia que recorre la luz en un ao)

1 unidad astronmica 149 600 000 km de longitud.

8.2. SISTEMA INGLS.

Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que adems se emplea en las

especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada.

En la industria, las medidas de mquinas, herramientas, instrumentos e instalaciones,

se utiliza tambin otra unidad de medida, denominada PULGADA.

8.2.1. PULGADA.

La pulgada se representa simblicamente por dos comillas () colocadas a la derecha

y un poco encima de un nmero.

La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con

atencin:

Dos pulgadas se abrevia

Tres pulgadas se abrevia

2

3



La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en ingls significa pulgadas.

8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS.

Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milmetros y cuatro dcimos,

aproximadamente.

Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:

En NMEROS ENTEROS

Ej.: 1; 2; 17

1pulgada = 1 = 25,4 mm

1

25,4 mm

Adems: 1pie = 1 = 12 pulgadas

1yarda = 3 pies = 3 = 36

1 pie = 0,3048 m

1 yarda = 0,9144 m

1 m = 3,28 pies 1 pie = 1

1



1 3

4

En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej.: 8

"5

4

"3

'2

"1;;

En NMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendr, tambin, como denominador

2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej: 64

"137

4

"31

'2

"12 ;;

OBSERVACIN.

Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal.

Ej.: "25,0"4

"1"5,0

2

"1 "75,0

"4

"3"125,0

8

"1

Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las

divisiones de la regla:

1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto cada

divisin es 1/8 (un octavo de pulgada).

3 4



2. Cada pulgada fue adems dividida en 16 partes iguales (la menor divisin es 16

1);

excepto una parte de 1 cuya menor divisin es 32

1 (de 1 a 32)

Ver la medida de la longitud AB

La regla indica:

3. La pulgada est dividida en 8 partes iguales.

De A hasta B se tienen .......... partes iguales. .

Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se estn tomando 5 partes,

luego: La medida de A hasta B es

Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que siguen,

comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.

Medida A = 2 Medida B = 8

"51 Medida C =

2

"12

Medida D = 4

"33 Medida E =

16

"1 Medida F =

16

"13



Ejercicio:

Medida G = 2

"12 Medida H =

8

"7 Medida I =

4

"13

Medida J = 32

"17 Medida L =

16

"15 Medida M =

32

"71

Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:

8.2.3. TRANSFORMACIN DE PULGADAS EN MILMETROS.

Para transformar pulgadas en milmetros, usted debe multiplicar el nmero

presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fcil llegar a esta conclusin:

1. Si 1 es igual a 25,4 mm

5 ser igual a 5 veces 25,4 mm Cierto?

5 = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm

2. 4

34,25

4

3

4

"3 xx .. mm

3. 0,8 = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm

4. ...................................8

11

8

"31 x



Observar los ejemplos del cuadro y compltelo convenientemente.

Pulgada Nmero x 25,4 mm mm

1 1 x 25,4 mm 25,4 mm

3 3 x 25,4 mm 76,2 mm

5 5 x 25,4 mm .............

10 10 x ................................. .............

2

"1

2

mm 25,4

1

4,25

2

1

mmx 12,7mm

4

"3 mmxx

4

4,253

1

mm 25,4

4

3 19,05

8

"72

8

4,2523

1

mm 25,4

8

23 mmxx ..............

16

"11 ....................

16

"11x ..............

Se ver ahora cmo se hace el problema inverso, esto es.

8.2.4. TRANSFORMACIN DE MILMETROS A PULGADAS.

Para transformar milmetros en pulgadas, usted debe dividir el nmero presentado en

milmetros entre 25,4 y despus multiplicar el resultado por 1 o fraccin equivalente,

es decir:

128

"128

64

"64;

32

"32;

16

"16;

8

"8;

4

"4;

2

"2

Hacer esta multiplicacin para obtener la fraccin de pulgada.

Observar con atencin los ejemplos y completar:



1. Transformar 50,8 mm a pulgadas:

24,25

8,50

8,50

4,25"1

mm

mm

mmx

mm

2.1 = 2

Rpta. = 50,8 mm = .......................

2. Transformar 12,7 mm a pulgadas:

5,04,25

7,12

mm

mm

0,5 . 1 = 0,5 = 2

"1

2

"1

64

64:

128

64

128

"128.5,0 Rpta. = 12,7 mm = ...........................

3. Transformar 10 mm a pulgadas:

mm

mm

4,25

10....................

....................... x 1 = .......................

................................ x _________......

"50

128

"128x

Rpta. = 10 mm = 64

"25

Resolver los ejercicios siguientes:

Transformar:

a) 21,2 mm a fraccin irreductible de pulgada.

mm

mm

4,25

2,21 ................ x 1 = ............................



............... x 128

"128................... Rpta. = 21,2 mm = .............

b) 2 mm a fraccin irreductible de pulgada:

Rpta. = 2mm = ....................

Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver:

TRANSFORMAR MILMETROS A PULGADAS (NMERO DECIMAL)

En este caso, se tendr que dividir el nmero de milmetros entre.........

Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por 4,25

1 , De

acuerdo?

Como: 03937,04,25

1 , se puede escribir la primera regla prctica:

Para transformar milmetros a pulgadas representadas por nmeros

decimales, se multiplica los milmetros por .........................

obtenindose el resultado en pulgadas (decimales).

Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en nmero decimales.

10 x 0,03937 = 0,3937

Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fraccin decimal de pulgada.

Rpta. .......................



TRANSFORMAR MILMETROS A FRACCIN ORDINARIA DE PULGADA.

Ahora multiplicar por 04,54,25

128,

128

128

4,25

1comoperox se tiene la segunda regla

prctica. Luego:

Para transformar milmetros a fraccin ordinaria de pulgada, se

multiplica los milmetros por 5,04 (numerador), y se coloca el

resultado sobre el denominador 128.

Observar el ejemplo con atencin, que se entender mejor la segunda regla prctica.

Ejemplo: Transformar 10 mm a fraccin de pulgada:

64

"25

128

"50

128

04,510

x

Rpta. .....................

Resolver ahora aplicando la regla prctica.

1. Transformar 21,2 mm a fraccin ordinaria de pulgada

128

"107

128

04,52,21

x

2. Transformar 2 mm a fraccin de pulgada:

Rpta. ...................



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una

carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. Cuntos

hectmetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?

km hm dam m dm

3 0

3 0 8

1 4

3 4

Es decir 34,82 hm

2. Cuntas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de madera

de 5 m 6dm?

hm dam M dm cm

0, 0 5 0 0

6 0

Es decir 560 cm, luego el nmero de varillas = 2028

560

cm

cm

3. Una lmina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.

Cul es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del

material?

Para obtener 12 partes se deber hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde

0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perder:

0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm.

Entonces quedar: 29,343 cm 1,023 cm = 28,32 cm



Por lo tanto, la longitud de cada parte ser: cmcm

36,212

32,28

4. Cuntos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas

son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho?

Largo 20 cm = 200 mm

Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm

rea de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2

rea del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2

Por lo tanto, el nmero de cuadraditos ser = 800

25

000202

2

mm

mm

5. El permetro de un rectngulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, Cunto

mide el largo del rectngulo, expresar la respuesta en dm?

Permetro del rectngulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm

Como el ancho mide 250 mm, el largo medir:

750 mm 250 mm = 500 mm.

6. Convertir a fraccin de pulgada 92,075 mm.

Aplicando la regla de conversin: 8

53

8

29

128

464

128

04,5075,92 pulgadas.

7. Una cinta metlica esta graduada en pies, pero en forma errnea, de tal manera

que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. Cul es

la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?

Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg



15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg

18 pies = 18 x 12 pulg = 216 pulg

Aplicando regla de tres simple directa, se tendr:

180 pulg _________ 216 pulg

75 pulg _________ x

Luego: x = 90 pulg

8. A qu es equivalente 4

37 pulgadas en metros.

lg75,775,074

37

4

37 pu , que convertidos a mm dar:

7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

CONVERSIN DE UNIDADES DE LONGITUD

1. Convertir en cm:

0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm

2. Convertir en dm:

3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm

3. Convertir en mm:



2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm

4. Convertir en m:

2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm

5. Sumar en mm:

3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm

6. Sumar en cm:

3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm

7. Restar en m:

86, 4m 8,2 cm 3,45 cm 0,87 dm 0,0034m 0,082 dm

8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. Qu longitud

tiene la pieza restante (en m)?

9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope

entre s. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.

10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de dimetros

respectivos es de 318,5 mm. Cunto material queda entre las perforaciones?

11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres distancias

iguales Qu longitud tienen los espacios?

12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual

distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Efectuar y expresar en metros la respuesta:

1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm

A) 52,554 m B) 16,554 m C) 46,56 m D) 26,45 m E) 12,954 m

2. Efectuar y expresar en milmetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m 240 mm

A) 367 mmB) 20,5 mm C) 2040 mm D) 205 mm E) 248 mm

3. Cuntas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrn obtener de una varilla de 5m 6 dm?

A) 36 B) 18 C) 20 D) 40 E) 48

4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, Qu longitud queda?

A) 7,8 m B) 0,078 8 m C) 780 dm D) 7800 mm E) 78,8 dm

5. Cierta persona compr 123,45 dam de cable elctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. Cunto le queda?

A) 116,5 dam B) 1184,04 m C) 11,84 dm D) 1184 cm E) 116,52 m

6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, Cul ser la suma de las medidas de todas sus aristas?

A) 31,2 dm B) 20,8 dm C) 41,6 dm D) 42,7 dm E) 62,4 dm

7. El permetro de un hexgono regular mide 450 cm, Cunto mide cada lado?

A) 0,75 cm B) 0,007 5 m C) 0,075 m D) 75 dm E) 0,75 m



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A

1. Calcular en centsimas de hectmetro: 200 + 205,25m + 0,45km

a) 660,33m b) 660,33cm c) 660,033mm d) 606,30m e) 660,33hm

2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm

cada una. Qu longitud falta para completar un trozo ms, si en cada corte

se pierde 1cm?

a) 5,02cm b) 2,6cm c) 28,98cm d) 29,98cm e) 310,2cm

3. Del grfico hallar: a+b+c+d.

a) 123cm b) 20,23cm c) 19,8mm d) 10,2cm e) 310,2mm

4. Reducir a milsimas de dam: 12dam 6cm 20dm 11,5cm

a) 12,620m b) 122,175cm c) 12217,5cm d) 12217,5mm e) 122,75cm

5. Si: A= 45,8cm 0,0428m;

B= 0,82dm + 14,3cm.

C= 2(A B)/3.

Hallar el exceso de A sobre C.

a) 28,84cm b) 10,2cm c) 2,16cm d) 24,12cm e) 48,24c



6. Hallar el permetro de la figura:

a) 158,342mm b) 159,524mm c) 162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B

1. A cuntos centmetros equivale "

4

13 ?

a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm d) 6,72cm e) 9,28Cm

2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.

I. 13,56dm < > 1m 35cm 6mm

II. 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm

III. 5,608Hm < > 56Dm 8m

IV. 2,24dm < > 0,2m 24cm

a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF

4. Cuntas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de 14,696dm

de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material?

a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87



5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm 0,025m 4,269dm

a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm

6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de sta ha disminuido

en 124cm. Cul era la longitud de la varilla en centmetros?

a) 140 b) 120 c) 160 d) 144 e) 158

7. Cuntos centsimos de milmetro estn contenidos en cuatro dcimos de metro?

a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d) 200 000 e) 20

8. Al dividir un listn de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo

menor mida los de la longitud del mayor. Dar la medida, en centmetros, del trozo

mayor.

a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43

9. Hallar el permetro de la figura en fraccin de pulgadas. 14,3

a) "

128

53

b)

"

32

53

c)

"

8

1

d)

"

128

25 e)

"

32

21

10. Convertir 2,04mm a fraccin ordinaria de pulgada.

a)

"

8

1 b)

"

16

1 c)

"

64

7 d)

"

64

5 e)

"

8

3

0,24 mm 0,24 mm

2,34 mm

2,34 mm



11. Hallar el permetro de la regin sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3

a) 31/64

b) 25/64

c) 29/32

d) 43/64

e) 19/32

12. Hallar la longitud del contorno de la figura.

a) 370,44mm.

b) 342,32mm.

c) 387,35mm.

d) 328,52mm.

e) 387,24mm.

13. Hallar el radio de la circunferencia:

a) 1/32

b) 19/128

c) 7/16

d) 11/64

e) 7/32

14. 98 006 dm se puede expresar como:

a) 9 Km 7 Hm 6dm

b) 8 Km 8 Hm 8dm

c) 8 Km 7 Hm 8dm

d) 9 Km 8 Hm 6dm

e) 9 Km 6 Hm 6dm

r

r R

8

13

2

14



UNIDAD 09

MEDIDAS DE TIEMPO



9.1. MEDIDA DE TIEMPO.

En la antigedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua

o de arena, carecan de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta

principios del siglo XVIII los relojes no tenan minutero, pero a comienzos del siglo XIX

aparece ya hasta el segundo.

Qu puede ocurrir en una milsima de segundo? Muchas cosas! Es verdad que, en

este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centmetros, pero el sonido

recorre ya 33 centmetros; un avin cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo

de tiempo, recorre 30 metros de su rbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilmetros.

En la actividad laboral y acadmica, por lo general, establecemos un registro del

tiempo empleado en la confeccin de un artculo, en los trabajos de taller, para la

investigacin, la elaboracin de un informe, la atencin al cliente, etc. En Informtica

hablamos de tiempo de acceso; en fotografa, tiempo de exposicin; en el deporte,

tiempo muerto; en astronoma, tiempo sideral; en religin, tiempo litrgico; en

lingstica, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras

magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.

Unidad Fundamental.

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental

de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DEFINICIN DE LA UNIDAD

Tiempo segundo s

Es la duracin de 9 192 631 770 perodos de

la radiacin correspondiente a la transicin

entre los dos niveles hiperfinos del estado

fundamental del tomo de cesio 133



9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO.

Se tiene al MINUTO y a la HORA.

El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................

El tiempo es la nica magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora

local utilizando el segundo y sus mltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente:

1. En la representacin numrica del tiempo se emplearn las cifras arbigas (0;

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearn nicamente los siguientes smbolos:

h hora

min minuto

s segundo

2. El tiempo se expresar utilizando dos cifras para indicar los valores numricos

de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los smbolos de

estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden:

Primero: HORA Segundo: MINUTO y Tercero: SEGUNDO

Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s

3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y

minutos, puede omitirse el ltimo smbolo respectivo.

Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20

00 h 39 min 08 s 00 h 39 min 08

23 h 42 min 18 h 42

15 h 15 h

4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del da siguiente.

Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del da martes.

5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el

modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.

Ejemplo:



Denominacin recomendada Denominacin antigua

08 horas 8 a.m.

15 h 30 min 15:30 h 15:30 p.m. 3 p.m.

12 h 12 m

23 h 42 23:42 h 11:30 p.m.

24 h 12 p.m.

6. Cuando se escriba una cantidad acompaada de una unidad del SI, se

recomienda escribir la cantidad seguida del smbolo de la unidad y no del

nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos tcnicos.

Ejemplo: Correcto Incorrecto

47 s cuarenta y siete s

27 min veintisiete min

RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMRICA

a) En la representacin numrica de fechas se utilizarn las cifras arbigas, es

decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

b) Para expresar el ao se utilizarn cuatro cifras, las que se escribirn en bloque.

Cuando no exista riesgo de confusin podr utilizarse slo dos cifras.

Ejemplo: 2007 07

1998 98



Para expresar el mes se utilizarn dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar

el da se emplear dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa,

se respetar el orden siguiente:

Primero: AO Segundo: MES y Tercero: DA

Adems se usar preferentemente un guin para separarlos, tambin se

puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusin.

Ejemplo: 2005-03-17 2005 03 17

98-09-23 98 09 23

c) Ejemplos de escritura de fechas numricas

Correcto Incorrecto

20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007

25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98

28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821

30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30

15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003

9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.

El tiempo se mide de la unidad ms grande a la ms pequea en:

Milenio 1000 aos.

Siglo 100 aos.

Dcada 10 aos.

Lustro 5 aos.

Ao 12 meses, 365 das o 366 en los aos bisiestos.

(una vez cada 4 aos el mes de febrero tiene 29 das)

Semestre 6 meses.

Trimestre 3 meses.

Bimestre 2 meses.



Mes 30 das (abril, junio, septiembre y noviembre).

31 das (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre).

Quincena 15 das.

Da 24 h 1440 min 86 400 s

Hora 60 min 3600 s

Minuto 60 segundos

9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.

ADICIN

Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min +

02 h 14 min 04 h 50 min

09 h 59 min 11 h 65 min 12 h 05 min

Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min

Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min

Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min

El resultado ser: ..

SUSTRACCIN.

Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - 17 h 90 min -

12 h 30 min 17 h 45 min 17 h 45 min

04 h 20 min 00 h 45 min

Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de

pedir prestado una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.

Observacin:

05 h 30 min es diferente de 5,30 h

Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min



MULTIPLICACIN.

Operar: 06 h 14 min 29 s

5__

30 h 70 min 145 s 31 h 12 min 25 s

03 h 12 min 25 s

______ 18__

54 h 216 min 450 s 57 h 43 min 30 s

Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s 12

el resultado es: ........................................................

DIVISIN.

Dividir: 28d 09h 35min 7

Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s

Dividir: 4d 13h 30min 20s 5

El resultado es: .................................................

EJERCICIOS

Marcar las respuestas correctas:

1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min

2. Restar 17 h de 12 h 30 min



3. Utilizar los smbolos de acuerdo al ejemplo:

Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min

a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos

b) Dieciocho horas y cinco minutos

c) Treces horas y media

d) Doce horas y media

4. Escribir conforme al ejemplo:

Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos.

a) 05 h 45 min

b) 18 h 30 min

5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:

Ejemplo: 08 h 480 min 28 800 s

a) 05 h 30 min 330 min

b) 04 h 10 min

c) 02 h 50 min

d) 09 h 15 min

6. Desarrollar:

a) 05 h 40 min + 03 h 35 min

b) 03h 35 min + 02 h 40 min

c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min

d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min

e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min

f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s

7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30

min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.

8. Realizar las siguientes sustracciones:

a) 18 h 30 min 13 h 15 min

b) 12 h 45 min 07 h 30 min

c) 04 h 15 min 30 min



d) 03 h 20 min 50 min

e) 12 h 07 h 30 min

9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo

hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h 45

min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y el

tiempo previsto.

10. Completar el cuadro:

01 min s

01h s

01h min

1d ..................... h

1 semana ..................... d

1 ao ..................... d

1 dcada ..................... aos

11. Colocar el signo igual (=) o diferente ()

a) 07 h 45 min .................. 07,45 h

b) 07, 45 h ... 07 h 27 min

c) 12,30 h . 12 h 18 min

d) 12 h 30 min . 12,30 h

e) 17,15 . 17 h 15 min

f) 17 h 15 min . 17,25 h

12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el

total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en das y horas (1 da laborable es

8 horas)



13. Una pieza fue fabricada en 4 perodos iguales. Si cada perodo fue de 06 h 50 min,

Cul es el tiempo empleado en la pieza?

14. Un instalador hidrulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y desde las

13 h hasta las 15 h. Despus de 6 das de trabajo. Cunto debe recibir, si por hora

cobra S/. 6?

15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min

16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha trabajado

la tercera parte de este perodo, Qu tiempo ha trabajado el segundo obrero?

(Trabajan 8 horas diarias)

17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demor 15 d 6 h 30 min. Qu

tiempo emplearn en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?

Muy Importante:

Sera necesario memorizar las equivalencias de los mltiplos del tiempo, segn esto,

numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:

(1) 1 ao ( ) 30 minutos

(2) media hora ( ) 100 aos

(3) 3 minutos ( ) 3 meses

(4) 1 siglo ( ) 180 segundos

(5) 1 bimestre ( ) 365 das

(6) 1 trimestre

Escribir los meses que tienen 31 das:



Escribir (V) (F), si es verdadero o falso:

Febrero tiene 31 das ( )

Un trimestre tiene 3 aos ( )

Un da tiene 24 horas ( )

Una hora tiene 3600 segundos ( )

Un da tiene 1440 segundos ( )

Una semana tiene156 horas ( )

Un ao tiene 4 trimestres ( )



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el da es igual al

tiempo transcurrido. Qu hora es?

Da = 24 h

x24rtranscurrifaltanquehoras

xdastranscurrihoras

Luego: 85372)24(5

3 xxxxx

Es las 9 de la maana

2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de

este periodo. Qu tiempo trabaja Palmira?

min9060

min30551

3min301615

mi

hdh

hd

Palmira trabaja 5d 5 h 30 min

3. Un mnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40 min.

Cuntos metros recorre por minuto en dicho tramo?

2h 40 min = 160 min

120 km = 120 000 m

Recorre por minuto min/750min160

000120m

m

4. A qu es igual 121 207 segundos?

121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto

2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto

33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto

9 h 40 min 7 s



5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:

Pedro: 15 aos 5 meses 6 das, Marisol: 7 aos 4 meses 8 das

Roberto: 4 aos 18 das, Cunto suman las tres edades?

15 aos 5 meses 6 das

7 aos 4 meses 8 das

4 aos 18 das

26 aos 9 meses 32 das = 26 aos 10 meses 2 das

6. Un mecangrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. Cunto

necesitar para hacer 7 veces ms el mismo trabajo?

3 h 16 min 18 s x

8

24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )

1 d 2 h 10 min 24 s

7. En una fbrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos labor 25 d 4 h 35 min.

Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?

25 d 4 h 35 min x

14

350 d 56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)

358 d 10 min

8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, despus de 6 d de trabajo se

retiran 2 de ellos. Con qu atraso se entregar la obra?

xobr

hhdobr

hdobr

4

78696

6156

(como trascurren 6 d)

hdhobr

hobrx 514117

4

786

14 d 5 h 9 d 6 h = 4 d 7 h



9. Una persona naci el 15 de setiembre de 1986. En qu fecha cumplir 36 aos 8

meses y 20 das de edad?

1986 aos 9 meses 15 d +

36 aos 8 meses 20 d

2022 aos 17 meses 35 d = 2023 aos 6 meses 5 d

10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este

empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si

prosigue su labor a las 15 h 17 min , A qu hora deber acabar su trabajo?

15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio

Hora de inicio 8 h 20 min +

Duracin del trabajo 12 h 18 min

Refrigerio 37 min

20 h 75 min = 21 h 15 min




1) Convertir en:

a) horas: 312min; 6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min

b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h

c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h

d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s

e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h

f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s

2) Convertir en:

a) grados: 240' ;35' ; 4200; 31,2' ; 0,68' ; 0,42 ; 425'

b) minutos: 360 ;38 ;4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86

c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2 ; 0,45 ; 0,012; 15

d) decimales: 64' ; 28; 12627'42 ; 3638'18 ; 42 12' 48

e) , ' , : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75

f) sumar: 1446'+18134+378' + 9 12' 32

3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo

a decimales.

4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo

para una pieza de trabajo.

5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. Cunto tiempo fue

necesario para dar una vuelta?



6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14 12' 56. Para el

ajuste se requiere el ngulo en decimales.

7) La suma de los dos ngulos de un triangulo es de 139 37' 4. Calcular el tercer

ngulo.

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Me despert a las 7 h 32 min 14 s e ingres a Estudios Generales 12 432 segundos despus. A qu hora ingres a estudiar?

A) 9 h 59 min 27s

B) 7 h 32 min 43 s

C) 3 h 29 min 50 s

D) 10 h 59 min 26s

E) 13 h 2 min 59 s

2. Cada da de lunes a viernes, gan S/. 6 ms de lo que gan el da anterior. Si el viernes gan el quntuple de lo que gan el lunes, Cunto gan el jueves?

A) 30 B) 25 C) 28D) 27 E) 24

3. La bajada de una montaa se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona baj desde la cspide en 1 h 56 min y subi a razn de 50 m cada 5 min, Calcular la altura de la montaa?

A) 860 m B) 1160 m C) 1450 m D) 950 m E) 1830 m

4. Un elstico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, Cunto tiempo despus volver a su estado primitivo?

A) 30 s B) 3 s C) 0,3 s D) 5 s E) 4 s

5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, Qu hora es?

A) 23 h 25m 51 s

B) 23 h 25min 52 s

C) 24h 25 min 52 s

D) 22 h 32 min 25 s

E) 21 h 23 min 35 s

6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 das, En qu fecha se acaba la obra, si la avenida tiene



43 cuadras?

A) 05-26 B) 06-26 C) 07-26 D) 04-26 E) 07-25

7. Expresar en das, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s

A) 114 d 22 h 07 min

B) 360 d 22 h 07 min

C) 360 d 20 h 07 min 05 s

D) 866 d 20 h 07 min 05 s

E) 368 d 22 h 07 min

8. Si a la mitad de los das transcurridos en el ao, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el nmero de das transcurridos. En qu fecha estamos?. Considerar ao no bisiesto.

A) 05-25

B) 05-26

C) 05-27

D) 04-26

E) 04-27

9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos labor 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo.

A) 357 d 05 h

B) 358 d 40 min

C) 358 d 10 min

D) 357 d 49 min

E) 358 d 06 h

10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, Cunto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz?

A) 3 d 02 h 15 min

B) 5 d 01h 40 min



C) 3 d 04 h 40 min

D) 4 d 02 h 50 min

E) 5 d 01 h 50 min

11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en 05 h 30

min. Si el barco tiene una superficie total de 347 760 m2, En cunto tiempo estar listo el barco?

A) 11 meses 2 d 01 h 30 min

B) 11 meses 15 d 03 h 25 min

C) 11 meses 04 d 15 min

D) 10 meses 3 d 02 h 10 min

E) 11 meses 28 d 10 h 15 min

12. Un cao llena un depsito en dos horas, y estando lleno el desage lo vaca en tres horas. En cunto tiempo se llenar el depsito si se abre el desage dos horas despus de abrir el cao?

A) 02 h

B) 03 h

C) 04 h

D) 05 h

E) 06 h



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

Medida de tiempo

1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ; lo

que efecta en 16 horas y 40 minutos. Qu velocidad debe llevar un segundo

tren, que parte 2 horas y 58 minutos despus que el primero, para que alcance a

ste en una estacin situada a 156Km. Del punto de partida?

a) 20Km/h b) 30Km/h c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h

2. Un caracol sube por una pared, cada da logra ascender un metro, pero cada

noche baja 600 mm. Cunto tardar en llegar a lo alto de la pared que mide 10m

de altura?

a) 22 das b) 23 das c) 24 das d) 25 das e) 26 das

3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12,

en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la ltima campanada.

Cunto dura la aparicin del fantasma, si adems el reloj tarda 6 segundos en

dar las 6?

a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg

4. A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarn en direcciones

opuestas?

a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s

d) 2h 43min 28s e) 2h 43min 18s

5. Qu tiempo tardar un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad de 60

Km/h?

a)2,69h b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s



6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio

Cunto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio?

a)18min b)36min c)15min d)27min e)24min

7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ,1/3y 1/4 de su casa

respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa En que tiempo lo

haran?

a) 12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min

8. Un ladrn arrebata una cartera a una seora escapndose con una velocidad

de 8 m/s y la seora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrn ha sacado

120 m de ventaja, lo atrapa un polica Qu tiempo demor la fuga del

ladrn?

a) 32s b)15s c)24s d)18s e)30s

9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantaln y

3 camisas, o dos pantalones y una camisa En cunto tiempo puede

confeccionar un pantaln y una camisa?

a)3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h

10. A cunto equivale 3,5 trimestres:

a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 1m 15d e) 6m 2d

11. Un padre tiene 30 aos y su hija 3 Dentro de cuntos aos la edad de padre

ser el cudruple de la edad de su hija?

a)15aos b) 3aos c) 5aos d) 6aos e)10aos



UNIDAD 10

RAZONES Y PROPORCIONES



10.1. RAZN.

Es la comparacin que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante

las operaciones de sustraccin o divisin.

10.2. TIPOS DE RAZONES.

RAZN ARITMTICA.

Es la comparacin de dos cantidades que se obtiene mediante la sustraccin, y

consiste en determinar en cunto excede una de las cantidades a la otra.

APLICACIONES:

1. Hallar la razn aritmtica de:

a) Las edades de Adn y Eva que son de 20 aos y 11 aos.

Rpta. 9 aos.

b) Los precios de dos artculos son S/. 1,40 y S/. 3,60.

Rpta. S/. 2,20



2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20 C, si la menor

temperatura marca 50 C, cul es la mayor temperatura?

Rpta. 70C

3. La edad del padre excede en 24 aos a la edad del hijo, y ste tiene 40 aos.

Hallar la edad del hijo.

Rpta. 16 aos.

4. La razn aritmtica de dos nmeros es 15, si el menor es 30. Hallar el nmero

mayor.

Rpta. 45.

RAZN GEOMTRICA.

Es la comparacin de dos cantidades mediante el cociente.

APLICACIONES:

1. La diferencia de dos nmeros es 280 y estn en la relacin de a 3. Hallar el

mayor nmero.

Rpta. 490.

2. Las edades de dos personas son: 20 aos y 12 aos, En qu relacin estn

sus edades?

Rpta. 5 / 3.

3. De dos nmeros, cuya razn aritmtica es 19, y su suma es 35. Hallar la razn

geomtrica.

Rpta. 27/ 8.



4. La razn aritmtica de dos nmeros es 26, y la razn geomtrica es

3. Hallar el menor nmero.

Rpta. 13.

10.3. PROPORCIN.

Es el resultado de comparar dos razones.

10.4. CLASES DE PROPORCIONES.

PROPORCIN ARITMTICA (P.A.) (Equidiferencia).

A) PROPORCIN ARITMTICA DISCRETA .

Los cuatro trminos de la proporcin son diferentes: a b c

d.

El 4 trmino (d) de la proporcin se llama:

CUARTA DIFERENCIAL.



B) PROPORCIN ARITMTICA CONTINUA.

Los trminos medios son iguales.

El 3 trmino (c) de la proporcin se llama:

TERCERA DIFERENCIAL.

MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMTICA b a + c

2

Trminos 1 2 2 3

a b = b c = r

PROPORCIN GEOMTRICA (P.G.) (Equicociente).

A) PROPORCIN GEOMTRICA DISCRETA.

Los cuatro trminos son diferentes: a b c d

El 4 trmino (d) de la proporcin se llama:

CUARTA PROPORCIONAL

B) PROPORCIN GEOMTRICA CONTINUA.

Los trminos medios de la proporcin son iguales.

El 3 trmino (c) de la proporcin se llama:

TERCERA PROPORCIONAL.



____

MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMTRICA b = a. c

10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.

10.6. ESCALAS GRFICAS.

La ESCALA es la razn entre la longitud representada en un plano y la longitud en

tamao real.



La ESCALA es una fraccin con numerador unitario. El denominador indica las veces

que se repite el numerador para obtener la medida o dimensin real.

ESCALA = Longitud en el plano

Longitud del tamao real

Tamao real =4,50 m Tamao en el plano = 0,09 m

REPRESENTACIN.

1 :100 indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real

1/100 indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real

1 indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real

100

PROBLEMAS DE APLICACIN:

1. Cuntos centmetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el

dibujo se hace a una escala de 1 : 750?

Rpta. 6 cm



2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio

son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. Cules son las dimensiones reales

del dormitorio?

Rpta. 1,5 m.; 2,0 m.

3. La distancia grfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500 es

20 cm. Hallar la distancia grfica en otro plano a Escala 1 : 10 000.

Rpta. 5 cm

4. Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades

medidas:

N ESCALAS DISTANCIA

GRFICA

DISTANCIA

REAL

1 1 : 20 X mm 2,40 m

2 1 : 25 5 cm Y m

3 1 : 50 5 cm Z cm

4 1 : 75 W mm 0,02 km

5 1 : 100 6,5 m P cm

6 1 : 150 4 cm Q km

7 1 : 200 R mm 0,54 m

Solucin de la aplicacin, completando el cuadro:

N ESCALAS DISTANCIA

GRFICA

DISTANCIA

REAL

1 1 : 20 120 mm 2,40 m

2 1 : 25 5 cm 1 3/8 m

3 1 : 50 5 cm 262,5 cm

4 1 : 75 3 750 mm 0,020 km

5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm

6 1 : 150 4 cm 0,006 km

7 1 : 200 27 mm 0,54 m



PROBLEMAS RESUELTOS.

1. La razn de dos nmeros es 6/5, y la suma de dichos nmeros es igual a 33.

Cules son estos nmeros?

A) 20; 13 B) 18; 15 C) 16; 17 D) 30; 3 E) 16; 13

2. En un concurso de tiro, Antonio acert 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre 90

tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. Quin logr mayor razn de tiros

acertados?

A) Pepe B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos.

3. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya

diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro

es de S/. 8.

A) 352 B) 216 C) 208 D) 360 E) 192

4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino

respectivamente. Cuntos litros de vino se debe de pasar del primer al

segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estn en la

relacin de 2 a 3?

A) 68 B) 30 C) 80 D) 40 E) 100

5. Cuntos centmetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo,

si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm

6. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se

desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, Cul ser su altura?

A) 80 cm B) 40 cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm

7. S: A = B = C y A+B=30 Cuanto vale C? 2 8 7

A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42



8. La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin

que los nmeros 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos nmeros.

A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24

9. El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y el

producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. Cul es la suma de los

consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21?

A) 42 B) 90 C) 91 D) 32 E) 62

10. Un empleado ahorra S/. 5 940 por da; si lo que cobra y lo que gasta

diariamente est en la relacin de 13 a 7. Determinar en cuntos soles debe

disminuir sus gastos diarios para que la relacin entre lo que cobra y lo que

gasta sea de 9 a 2.

A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040 D) S/. 4 505 E) S/. 6 015

SOLUCIN DE LOS PROBLEMAS

1. Sean A y B los nmeros

2. A : Antonio ; P : Pepe ; R : Ricardo



3. Sean A y B las dos partes de la tela

4. 400 X = 2 X=40 Rpta. D

500 + X 3

5. Escala = Longitud en el plano

Longitud de tamao real

6. H = altura real del objeto ; X = tamao del objeto en el dibujo

7. A = B = C = k

2 8 7

8. A + B = A B = A x B = k

11 5 144



9. A = C = E = k

B D F

10. Sea: C = cobra ; G = gasta ; A = ahorra




1. En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el nmero de patos es a N

como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. Cul ser

la relacin entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?

A) 4 : 3

B) 2 : 1

C) 3 : 4

D) 3 : 20

E) 2 : 3

2. En una reunin hay 60 adultos, y por cada 5 jvenes hay 7 nios. Luego

llegan a la reunin 50 jvenes, 40 nios y cierto nmero de adultos.

Cuntos adultos llegaron al final, si los jvenes nios y adultos son

ahora proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente?

A) 150

B) 160

C) 170

D) 180

E) 190

3. La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A

le da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta

parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. Cunto de dinero

tena A al principio?

A) S/. 2 800

B) S/. 3 000

C) S/. 3 200

D) S/. 3 500

E) S/. 4 000

4. En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le gan a B

por 1/2 vuelta; y B le gan a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la

meta, hallar la fraccin de vuelta con que B aventaja a C.



A) 1 / 4

B) 3 / 16

C) 1 / 5

D) 3 / 8

E) 1 / 8

5. La suma de los cuadrado de los 4 trminos de una proporcin geomtrica

continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de

extremos es 75.

A) 85

B) 55

C) 80

D) 10

E) 20

6. En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino, se

extraen 22 litros del contenido y se aade al recipiente N litros de vino

para tener finalmente una mezcla cuya relacin es de 1 a 3

respectivamente. Hallar el valor de N.

A) 80

B) 60

C) 110

D) 119

E) 120

7. A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de

56, 7 y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta

proporcional de B, A y C.

A) 16

B) 18

C) 20

D) 24

E) 25

8. Cierto nmero de canicas se divide en tres grupos, cuyos nmeros

son proporcionales a los nmeros 5, 7 y 11 respectivamente. Si del

tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda

el doble de lo que hay en el primer grupo, Cuntas canicas hay

finalmente en el segundo grupo?



A) 50

B) 54

C) 58

D) 62

E) 64

9. Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16,

B es la media proporcional de 1 y 81. La correcta relacin de orden entre

A y B es:

A) A < B

B) A = B

C) A > B

D) A +1= R

E) A2 < B

10. Se desea preparar una solucin utilizando los componentes lquidos A, B

y C en la proporcin de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solucin le faltan 2

litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son

remplazados por el componente A, siendo la proporcin final obtenida de

2; 3; X. Hallar X.

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

1. Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razn directa de 2:3.

Calcular las longitudes parciales.

2. El dimetro y la longitud de un eje estn en razn directa de 2:7. El dimetro del

eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje.

3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud estn en relacin directa de

3:7. Cul es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.?

4. Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo en

la proporcin de 1:20 Qu longitud tendrn los lados en el dibujo?

5. La escala de un mapa automovilstico es de 1:500 000. Qu longitud natural

corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?

6. Un trayecto de 2,875 Km de longitud est representado en un mapa con 11,5 cm.

Determinar la escala del mapa.

7. Un letrero advierte Pendiente de 5% en 1200 m . Calcular la altitud a superar.

8. El dimetro y la longitud de un cono estn en razn directa de 1:10. Calcular el

dimetro correspondiente a la longitud de 150 mm.

9. Una chaveta tiene una razn de inclinacin de 1:20. Qu altura corresponde a

una longitud de chaveta de 140 mm?


ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TCNICO OPERATIVO 73

UNIDAD 11

MAGNITUDES PROPORCIONALES



11.1. MAGNITUD.

Es todo aquello susceptible de variacin (aumento o disminucin) y que puede ser

medido.

11.2. CANTIDAD.

Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor

numrico y unidad.

MAGNITUD CANTIDAD

Tiempo 60 h

Longitud 15 m

Temperatura 35 C

Masa 40 kg

11.3. CLASIFICACIN DE MAGNITUDES.

11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ). Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto ms gasolina se coloque en

el tanque, ms soles pagar. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de

abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galn sea de S/. 8.

GASOLINA (GALONES)

PRECIO

(S/.)

1 8,00

2 16,00

5 40,00

10 80,00

15 120,00

30 240,00

Al colocar 1 galn de gasolina, se pagar S/. pero, si se colan 15

galones de gasolina, el precio ser 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual

a S/. ..



As, si se aumenta la magnitud gasolina, la otra magnitud precio (soles)

aumentar el mismo nmero de veces, o sea, las magnitudes varan en el mismo

sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:

Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud tambin aumentan o disminuyen en la misma proporcin.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:

Nmero de libros y costo total.

Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de

libros el costo total ser mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo

total ser menor.

Adems, se verifica que la razn entre el nmero de libros y el costo total es

CONSTANTE, esto es, la razn tiene siempre el mismo valor (0,25).

25,04

1 25,0

16

4 25,0

96

24 25,0

12

3

Entonces se puede escribir:

25,012

3

96

24

16

4

4

1

Interpretacin geomtrica.



Conclusin. Si:

I. La grfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de

coordenadas.

II. En cualquier punto de la grfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente

de cada par de valores correspondiente resulta una constante.

III. La funcin de proporcionalidad directa ser:

F(X) = K x K: pendiente (constante)

11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P 1 ).

Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al

aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes

en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporcin.

Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo

empleado en recorrer una misma distancia:

Disminuyendo la velocidad del auto, aumentar el tiempo empleado, luego la

velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)

es siempre el mismo.

90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180

VELOCIDAD TIEMPO

90 km/h 2 horas

60 km/h 3 horas

45 km/h 4 horas

36 km/h 5 horas



x

K ) x ( F

Se puede finalmente concluir que: Interpretacin Geomtrica: Conclusin.

Si: B"I.P." "A" B de valor x A de valor Constante

Importante:

I. La grfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hiprbola equiltera.

II. En cualquier punto de la grfica el producto de cada par de valores

correspondientes, resulta una constante.

III. La funcin de proporcionalidad inversa ser:

K: constante PROPIEDADES: I. Si : A D.P. B B D.P. C A D.P. C

II. Si: A I.P. B A D.P. 1

B o: A D.P. B A I.P. 1

B



tetanConsdificultad x obra

h/d x das N x eficiencia x obreros N

III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante)

A K B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante)

A x B x C = K



PROBLEMAS RESUELTOS

1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el

valor que toma B, cuando A = 34.

Resolucin:

Se debe plantear:

2

2

1

1

B

A

B

A

x

34

3

51 X = 2

2. Del siguiente grfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)

Resolucin: Se debe plantear:

5

3

85

5124

10

b

a

a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46



Das I.P. Rapidez

3. La magnitud A es I.P. a B , adems cuando A es igual a 6 entonces B

es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.

Resolucin:

Se debe plantear:

2211 BABA

x4166 x = 36 4. El precio de una casa es directamente proporcional al rea e inversamente

proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a

65 Km cuesta S/. 135 000. Cunto costar una casa del mismo material,

si su rea es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?

Resolucin:

krea

distanciaprecio

)(

))((, ( k = constante )

Entonces:

2s

(120) . )(

s

(65) . 000) 180( x x = 295 000

5. Si A es el triple de rpido que B. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en

12 das. Cunto tiempo le tomar a A hacerlo slo?.

Resolucin: Sea R rapidez: RA = 3 RB

(Das) . (Rapidez) = cte

Reemplazando valores:

( RA + RB ) x 12 = RA x X

( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X

4 RB x 12 = 3 RB x X

Simplificando: X = 16



EJERCICIOS DE REFUERZO

Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesin de

nmeros directa o inversamente proporcionales:

a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1

Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240

b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18

Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108

Resolver los ejercicios para fijar lo que estudi sobre magnitudes proporcionales. 1. Observar los ejercicios siguientes y responder: Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4

Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100 Cmo se denominan las magnitudes x e y? 2. Completar: Valor de magnitud A : 7 3 5 9

Valor de magnitud B : 28 12 .. .. Cmo se denominan las magnitudes A y B?

3. En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes

directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso:

a) Valor de magnitud y : 10 25 2 . 5

Valor de magnitud z : 20 8 . 4 . b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7

Valor de magnitud y : 6 9 . . . . . . c) Valor de magnitud A : . . 7 . . . . .

Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15



d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 ...

Valor de magnitud R : 4 . 3 . 240 Corregir respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40

Rpta.: inversamente proporcional. 2. 5 9

20 36 Rpta. directamente proporcional

3. a) 2 50 5

100 4 40 b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1

11.4. REPARTO PROPORCIONAL.

Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos nmeros

llamados ndices del reparto; ya sea en forma directa o inversamente

proporcional.

11.4.1. TIPOS DE REPARTO.

A. REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son

proporcionales a los ndices.

Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.



Resolucin: Las partes sern: 2k , 3k y 5k las cuales deben sumar

400, entonces:

2 k + 3 k + 5 k = 400

K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40

Suma de ndices Constante de reparto

Ahora, damos lo que le toca a cada uno:

2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200

Mtodo Prctico: PARTES D.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k

10k Luego:

A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5 (40) = 200

Observacin:

Si a los ndices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo nmero

positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.

Ejemplo:

Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los nmeros: 5 ; 3 ; 3

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