Estudios EconómicosEl Colegio de México, A.C.jsempe@colmex.mx ISSN (Versión impresa): 0188-6916MÉXICO

2005 Francisco Venegas Martínez

POLÍTICA FISCAL, ESTABILIZACIÓN DE PRECIOS Y MERCADOS INCOMPLETOS Estudios Económicos, enero-junio, año/vol. 20, número 001

El Colegio de México, A.C. Distrito Federal, México

pp. 3-25

Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal

Universidad Autónoma del Estado de México

http://redalyc.uaemex.mx

¶ ¶P O L IT IC A F IS C A L , E S T A B IL IZ A C IO N

D E P R E C IO S Y M E R C A D O S

IN C O M P L E T O S

¤F r a n c isc o V e n e g a s M a rt¶³n e z

In stitu to T ecn o l¶ogico y d e E stu d io s S u perio res d e M o n terrey

S e p resen ta u n m o d elo esto c¶a stico d e esta b iliza ci¶o n tem p o ra l d e p re-R esu m en :cio s en d o n d e el tip o d e ca m b io a ct¶u a co m o a n cla n o m in a l d e la ta sa d ein ° a ci¶o n . E l m o d elo p resen ta cred ib ilid a d im p erfecta y reco n o ce, ex -p l¶³cita m en te, la in certid u m b re ta n to en la d in ¶a m ica d el tip o d e ca m b ioco m o en el co m p o rta m ien to esp era d o d e la p o l¶³tica ¯ sca l. S e su p o n eq u e el tip o d e ca m b io es co n d u cid o p o r u n a m ezcla d e p ro ceso s es-to c¶a stico s, esp ec¶³ ca m en te, u n p ro ceso d e d ifu si¶o n y u n o d e sa lto s.A sim ism o , se su p o n e q u e la ta sa im p o sitiva so b re la riq u eza sig u e u nm ov im ien to g eo m ¶etrico b row n ia n o . B a jo ta l esq u em a , se su p o n e q u en o ex iste u n m erca d o d e p ro d u cto s d eriva d o s p a ra cu b rirse co n tra u n ad eva lu a ci¶o n fu tu ra , d e esta m a n era lo s m erca d o s ¯ n a n ciero s so n in co m -p leto s. T a m b i¶en se ex a m in a n la s d ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio d eu n co n su m id o r rep resen ta tiv o en el eq u ilib rio , cu a n d o se in stru m en tael p la n d e esta b iliza ci¶o n y la p o l¶³tica ¯ sca l es in cierta . P o r ¶u ltim o , seeva l¶u a n lo s efecto s d e ch o q u es ex ¶o g en o s, ta n to d e la p o l¶³tica ca m b ia r¶³aco m o d e la ¯ sca l, so b re el b ien esta r eco n ¶o m ico .

T h is p a p er d ev elo p s a sto ch a stic m o d el o f tem p o ra ry sta b iliza tio n o fA bstra ct:p rices w ith th e ex ch a n g e ra te a ctin g a s a n o m in a l a n ch o r o f in ° a tio n .T h e m o d el p resen ts im p erfect cred ib ility, a n d ex p licitly reco g n izes th eu n certa in ty in th e d y n a m ics o f th e ex ch a n g e ra te a n d in th e ex p ectedb eh av io r o f ¯ sca l p o licy. It is a ssu m ed th a t a m ix ed d i® u sio n -ju m psto ch a stic p ro cess d riv es th e ex ch a n g e ra te. A lso , th e m o d el su p p o sesth a t th e ta x ra te o n w ea lth fo llow s a g eo m etric B row n ia n m o tio n . U n -d er th is fra m ew o rk , it is a ssu m ed th a t a d eriva tiv es m a rk et to h ed g ea g a in st fu tu re d eva lu a tio n d o es n o t ex ist, th a t is, ¯ n a n cia l m a rk ets a rein co m p lete. C o n su m p tio n a n d p o rtfo lio d ecisio n s o f a rep resen ta tiv eco n su m er, in eq u ilib riu m , a re ex a m in ed w h en th e sta b iliza tio n p la n isim p lem en ted a n d ¯ sca l p o licy is u n certa in . F in a lly, th e e® ects o f ex -o g en o u s sh o ck s in th e ex ch a n g e-ra te p o licy a n d eco n o m ic w elfa re a rea ssessed .

C la si ca ci¶o n J E L : F 3 1 , F 4 1 , H 3 1

P a la bra s cla ve: po l¶³tica ¯ sca l, esta biliza ci¶o n tem po ra l y m od ela ci¶o n estoc¶a stica .

F ech a d e recepci¶o n : 1 6 I 2 0 0 4 F ech a d e a cep ta ci¶o n : 1 1 X 2 0 0 4

¤ D irecto r d el C en tro d e In v estig a ci¶o n en F in a n za s, fv en eg a s@ itesm .m x

3

¶4 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

1 . In tro d u c c i¶o n

El impacto que la pol¶³tica ¯scal tiene en los programas de estabi-lizaci¶on in°acionaria, cuando el tipo de cambio se utiliza como anclanominal, ha sido durante mucho tiempo un tema central para losdise~nadores de pol¶³tica econ¶omica. Sin embargo, la gran mayor¶³a dela literatura sobre esta preocupaci¶on utiliza esquemas deterministas,sin considerar factores de riesgo. En el modelo propuesto se suponeque los agentes tienen expectativas de devaluaci¶on conducidas por unproceso combinado de difusi¶on con saltos. En dicho contexto, los pe-que~nos movimientos del tipo de cambio, que est¶an siempre presentes,se modelan con un movimiento browniano y una devaluaci¶on extremay repentina, que ocasionalmente ocurre, se modela con un proceso dePoisson.

La mezcla de un proceso de difusi¶on con uno de saltos propor-ciona colas pesadas y sesgo en la distribuci¶on del tipo de cambio, loque permite producir din¶amicas de in°aci¶on que no pueden ser gene-radas utilizando ¶unicamente el movimiento browniano. Este hecho,no s¶olo es una so¯sticaci¶on te¶orica, sino un aspecto relevante que in-corpora mayor realismo en el modelado de estabilizaci¶on temporal. Elmodelo supone que no existen activos contingentes (productos deriva-dos) en el mercado para cubrirse contra una devaluaci¶on futura. Enun ambiente estoc¶astico, a¶un m¶as rico, se supone una tasa imposi-tiva incierta sobre la riqueza. En particular, la tasa impositiva dela riqueza sigue un movimiento geom¶etrico browniano. En contrastecon los modelos deterministas de estabilizaci¶on temporal, la presen-cia de incertidumbre en la pol¶³tica ¯scal puede conducir a cambioscuantitativos y cualitativos signi¯cativos en las variables relevantes.

En esta propuesta, los impuestos recaudados, incluyendo el se~no-riaje (impuesto in°acionario) , se gastan en compras improductivas delgobierno. Bajo el supuesto de agentes adversos al riesgo, se examina ladin¶amica de equilibrio del consumo y la riqueza cuando un programade estabilizaci¶on se pone en marcha y la pol¶³tica ¯scal es incierta. Ental contexto, tambi¶en se discuten varios temas espec¶³¯cos de pol¶³ticaecon¶omica. Por ejemplo, se estudian los efectos sobre el consumo y elbienestar econ¶omico de cambios permanentes en los par¶ametros quedeterminan las expectativas, a saber: la tasa media esperada de deva-luaci¶on, la volatilidad instant¶anea del tipo de cambio, la probabilidadde una posible devaluaci¶on, el tama~no medio esperado de una posibledevaluaci¶on, el impuesto medio esperado a d va lo rem al consumo y elimpuesto medio esperado sobre la riqueza.

Los programas de estabilizaci¶on de la in°aci¶on que se llevarona cabo en Argentina, Brasil, Chile, Uruguay, Israel y M¶exico entre

¶P O L IT IC A F IS C A L 5

las d¶ecadas de los setenta y los noventa han sido ampliamente do-1cumentados. Existe una extensa literatura que estudia una serie

de regularidades emp¶³ricas asociadas a dichos programas, ver, porejemplo, Helpman y Razin (1987) , Kiguel y Liviatan (1992) y V¶egh(1992) . Existe tambi¶en un n¶umero creciente de modelos que propor-cionan explicaciones de dichas regularidades emp¶³ricas. Modelos quepueden ser clasi¯cados en varias categor¶³as, a saber: falta de credi-bilidad (Calvo, 1986; Calvo y V¶egh, 1993 y Reinhart y V¶egh 1993 y1995) ; inercia in°acionaria (Rodr¶³guez, 1982 y Calvo y V¶egh, 1994) ;efectos por el lado de la oferta (Roldos, 1995; Uribe, 1997; Lahiri,2001 y Rebelo y V¶egh, 1995) y bienes duraderos (Matsuyama, 1991y de Gregorio, Guidotti y V¶egh 1998) .

Aunque la incertidumbre es un elemento clave cuando un pro-grama de estabilizaci¶on temporal de precios es instrumentado, exis-ten pocos estudios bajo un planteamiento estoc¶astico. Por ejemplo,Drazen y Helpman (1988) examinan los efectos de un tipo de cambioincierto, Calvo y Drazen (1997) contemplan incertidumbre en refor-mas econ¶omicas, Mendoza y Uribe (1996) y (1998) modelan proba-bilidades ex¶ogenas y end¶ogenas de devaluaci¶on, Venegas y Gonz¶alez-Ar¶echiga (2000) y Venegas (2000a) , (2000b) y (2001) estudian el papelde la incertidumbre en la din¶amica del tipo de cambio y sus implica-ciones cuantitativas. Todos estos modelos comparten semejanzas im-portantes: 1) los mercados de productos derivados son inexistentes,2) la recaudaci¶on de impuestos no es retribuida a los agentes y 3) lasvariables de pol¶³tica econ¶omica son estoc¶asticas.

El modelo propuesto en la presente investigaci¶on tiene varias ca-racter¶³sticas distintivas en el estudio de los efectos de la incertidumbreen programas de estabilizaci¶on in°acionaria basados en el tipo decambio: 1) considera todos los factores de riesgo en la din¶amica deltipo de cambio, proporcionando un ambiente estoc¶astico m¶as realista;2) obtiene soluciones anal¶³ticas, haciendo m¶as f¶acil la comprensi¶on delos temas centrales en el an¶alisis de estabilizaci¶on temporal y 3) exami-na los efectos sobre planes de estabilizaci¶on temporal de un impuestoincierto sobre la riqueza.

El trabajo se ha organizado de la siguiente manera. En la secci¶ondos se desarrolla el marco te¶orico de un modelo estoc¶astico del tipode Ramsey para una econom¶³a peque~na y abierta que consume unsolo bien y tiene una restricci¶on ca sh -in -a d va n ce . Los agentes tienenexpectativas de devaluaci¶on conducidas por un proceso combinadode difusi¶on con saltos y pagan impuestos sobre la riqueza de acuerdo

1 S e rem ite a l lecto r a la s referen cia s co n ten id a s en C a lv o y V ¶eg h (1 9 9 9 ).

¶6 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

con un movimiento geom¶etrico browniano. En la tres se resuelve elproblema de decisi¶on del consumidor, en la cuatro se realizan experi-mentos de est¶atica comparativa. En la secci¶on cinco se examinan lasimplicaciones de la estabilizaci¶on temporal en el bienestar econ¶omico,en la seis se estudia el comportamiento din¶amico de la riqueza y delconsumo y se tratan varios temas de pol¶³tica cambiaria. En la ¶ultimasecci¶on se presentan conclusiones y limitaciones del trabajo, y se es-tablece la agenda para investigaci¶on futura. Dos ap¶endices contienenalgunos detalles t¶ecnicos del problema del consumidor.

2 . M a r c o te ¶o r ic o d e l m o d e lo

Con el prop¶osito de obtener soluciones anal¶³ticas en un modelo es-toc¶astico del tipo de Ramsey se mantendr¶a la estructura de la eco-nom¶³a, tan simple como sea posible. Algunos de los principales su-puestos del modelo se establecen, de tal manera, que los aspectosrelevantes de la estabilizaci¶on temporal sean m¶as f¶aciles de compren-der.

2.1 . D in ¶a m ica d el n ivel d e p recio s

Se considera una econom¶³a peque~na y abierta con agentes id¶enticosde vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un solo bien pere-cedero. Se supone que el bien es comerciable internacionalmente y elnivel general de precios dom¶esticos, P , es determinado por la condi-t ¤ ¤ci¶on de poder de paridad de compra, a saber, P = P e , donde Pt tt tes el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y

¤e el tipo de cambio nominal. Se supone, por simplicidad, que P est tigual a 1. Tambi¶en se supone que el valor inicial del tipo de cambio,e , es conocido e igual a 1.0

Se supone que el n¶umero de devaluaciones esperadas, i.e. , lossaltos en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, siguen un procesode Poisson N con intensidad ¸ , de tal manera quet

(N ) (N )IP fun salto unitario durante dtg = IP fdN = 1gt

= ¸ dt + o (dt); (1)

mientras que

(N ) (N )IP fningn salto en dtg = IP fdN = 0gt

¶P O L IT IC A F IS C A L 7

= 1 ¡ ¸ dt + o (dt): (2)

(N ) (N )

As¶³, E [dN ] =Var [dN ] = ¸ dt. El n¶umero inicial de saltost t

se supone igual a cero, es decir, N = 0.0

Consid¶erese un proceso de Wiener (Z ) de¯nido en un espaciot t¸ 0de probabilidad ¯jo con su ¯ltraci¶on aumentada

(Z )(Z ) (Z ) (Z )

(− ;F ;(F ) ;IP ) :t¸ 0t

Se supone que el consumidor percibe que la tasa de in°aci¶on esperada,dP = P y, por lo tanto, la tasa esperada de devaluaci¶on, de = e , siguet t t t

un movimiento geom¶etrico browniano con saltos de Poisson descritopor

dP det t= = ¼ dt + ¾ dZ + ´ dN ; (3)t tPP et t

donde ¼ es la tasa media esperada de devaluaci¶on condicionada a queno se presenten saltos, ¾ la volatilidad instant¶anea del nivel general

P

de precios y ´ el tama~no medio esperado de un salto en el tipo decambio. El proceso Z se supone independiente de N . En lo que set t

sigue, ¼ , ¾ , ¸ y ´ son constantes positivas.P

2.2. S a ld o s m o n eta rio s rea les

El agente mantiene saldos monetarios reales, m = M = P , donde Mt t t t

es el acervo nominal de dinero. La tasa de retorno estoc¶astica por latenencia de saldos reales, dR , est¶a dada por el cambio porcentualm

en el precio del dinero, en t¶erminos de bienes. Al aplicar el lema deIto para procesos de difusi¶on con saltos al inverso del nivel de precios,con (3) como el proceso subyacente (ver ap¶endice A, f¶ormula (A.2) ) ,se obtiene Á³ ´ ³ ´ ³ ´M M ´t t 2dR = d = (¡ ¼ + ¾ )dt ¡ ¾ dZ ¡ dN : (4)m t tPPP P 1 + ´t t

2.3. B o n o s in tern a cio n a les

El agente tambi¶en tiene acceso a un bono internacional, b , que pagat

una tasa de inter¶es real libre de riesgo, r , constante para todos losplazos. En este caso, se satisface

¶8 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

db = r b dt; b dado: (5)t t 0

Es decir, el bono paga r unidades del bien de consumo por unidadde tiempo. Los agentes toman r como dada. La ecuaci¶on (5) se puedeinterpretar como una cuenta bancaria en la que se realiza un dep¶ositoinicial con valor b al tiempo cero y que gana a una tasa instant¶anea0

libre de riesgo, r , en cada instante t.

2.4. Im p u esto s so bre la riqu eza

Se considera ahora un proceso de Wiener (U ) , de¯nido en unt t¸ 0espacio de probabilidad ¯jo equipado con su ¯ltraci¶on aumentada

(U )(U ) (U ) (U )

(− ;F ;(F ) ;IP ) . Se supone que el consumidor represen-t¸ 0ttativo percibe que su riqueza es gravada a una tasa incierta, ¿ , det

acuerdo con la ecuaci¶on diferencial estoc¶astica siguiente:

d¿t e= ¹¿ dt + ¾ dZ ; ¿ > 0; (6)¿ t 0¿t

con p2eZ = ½ Z + 1 ¡ ½ U (7)t t t

y p¡ ¡ ¢¢2Cov dZ ;d ½ Z + 1 ¡ ½ U = ½ dt; (8)t t t

donde ¹¿ es la tasa media esperada de crecimiento del impuesto sobrela riqueza, ¾ la volatilidad de la tasa impositiva en la riqueza y ½ 2¿

(¡ 1;1) la correlaci¶on entre los cambios en la in°aci¶on y los cambiosen los impuestos sobre la riqueza. Observe que un incremento en eltipo de cambio deprecia los saldos monetarios reales, lo que, a su vez,reduce el valor real de los activos, situaci¶on que puede llevar a laautoridad ¯scal a modi¯car su pol¶³tica ¯scal. Los procesos N , Z yt t

U se suponen independientes por pares.t

2.5. R estricci¶o n d el tipo ca sh -in -a d va n ce

Considere una restricci¶on del tipo ca sh -in -a d va n ce de la forma Clower-Lucas-Feenstra:

¶P O L IT IC A F IS C A L 9

m = ® c ; (9)t t

donde c es el consumo y ® > 0 el tiempo que se mantiene el dinerot

para ¯nanciar el consumo. La condici¶on (9) es cr¶³tica para ligar lapol¶³tica cambiaria con el consumo. De est¶a forma, la devaluaci¶onact¶ua como un impuesto estoc¶astico en los saldos monetarios reales.

3 . P r o b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r

En esta secci¶on se caracterizan las decisiones ¶optimas de consumo yportafolio de un agente representativo.

3.1 . R estricci¶o n p resu p u esta l in tertem po ra l

La acumulaci¶on de la riqueza del consumidor en t¶erminos de las de-cisiones de portafolio, w = m = a , 1 ¡ w = b = a , y de consumo, c ,t t t t t t t

est¶a dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶as-ticas:

(da = a w dR + a (1 ¡ w )dR ¡ (¿ a + (1 + b¿ )c ) dt;t t t m t t b t t tp (10)¡ ¢

2d¿ = ¹¿ ¿ dt + ¾ ¿ ½ dZ + 1 ¡ ½ dU ; ¿ > 0;t t ¿ t t t 0

donde dR = db = b y b¿ es una tasa impositiva a d va lo rem al consumo.b t t

Si se sustituyen la ecuaciones (4) , (5) y (9) en la primera ecuaci¶on delsistema (10) , se tiene que

" #³ ´´da =a (r ¡ ¯ w ¡ ¿ ) dt ¡ w ¾ dZ ¡ w dN ; (11)t t t t t t t tP 1 + ´

¡ 1 2donde ¯ = (1 + b¿ )® + r + ¼ ¡ ¾ .P

¶3.2. In d ice d e sa tisfa cci¶o n

La funci¶on de utilidad del tipo von Neumann-Morgenstern al tiempot, V , del consumidor competitivo y adverso al riesgo est¶a dada port

¶10 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

¯½ ¾Z 1 ¯¡ r s ¯V = E log(c ) e ds F ; (12)t s t¯t

(Z ) (U )

donde F = F − F representa la informaci¶on disponible en t.t t tObserve que la tasa subjetiva de descuento del agente ha sido igualadaa la tasa de inter¶es, r , para evitar di¯cultades t¶ecnicas, innecesarias enla din¶amica de equilibrio. Se emplea la funci¶on de utilidad logar¶³tmicacon el prop¶osito de generar soluciones anal¶³ticas que hagan m¶as simpleel an¶alisis posterior.

3.3. L a ecu a ci¶o n d e H a m ilto n -J a co bi-B ellm a n

La ecuaci¶on de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control¶optimo estoc¶astico, en el que se maximiza la utilidad esperada delagente sujeto a su restricci¶on presupuestal intertemporal, es:

1 2 2¸ I (a ;¿ ;t) ¡ I (a ;¿ ;t) ¡ I (a ;¿ ;t) ¹¿ ¿ ¡ I (a ;¿ ;t) ¿ ¾t t t t t ¿ t t t ¿ ¿ t t t ¿2(¡ 1 ¡ r t¡ I (a ;¿ ;t) a (r ¡ ¿ ) = max log(® a w )e ¡ I (a ;¿ ;t)a ¯ wa t t t t t t a t t t t

w

1 2 2 2+ I (a ;¿ ;t)a w ¾ ¡ I (a ;¿ ;t) a ¿ w ¾ ¾ ½a a t t a ¿ t t t t t ¿t t PP2 )³ ³ ´ ´1 + ´ (1 ¡ w )t+¸ I a ;¿ ;t ; (13)t t

1 + ´

donde ¯½ ¾Z 1 ³ ´ ¯¡ 1 ¡ r s ¯I (a ;¿ ;t) = max E log ® a w e ds Ft t t s s t¯w t

es la funci¶on de utilidad indirecta (o funci¶on de bienestar econ¶omico)del consumidor, e I (a ;¿ ;t) es la variable de coestado.a t t

3.4. R ed u cci¶o n d e la d im en si¶o n d el p ro blem a

Dado el factor de descuento exponencial en la utilidad indirecta, sede¯ne I (a ;¿ ;t) en forma separable en el tiempo comot t

¶P O L IT IC A F IS C A L 11

¡ r tI (a ;¿ ;t) ´ F (a ;¿ )e : (14)t t t t

Por lo tanto, la ecuaci¶on (13) se transforma en

1 2 2(¸ + r ) F (a ;¿ ) ¡ F (a ;¿ ) ¹¿ ¿ ¡ F (a ;¿ )¿ ¾ ¡ F (a ;¿ )a (r ¡ ¿ )t t ¿ t t t ¿ ¿ t t a t t t tt ¿2(1¡ 1 2 2 2= max log(® a w ) ¡ F (a ;¿ )a ¯ w + F (a ;¿ ) a w ¾t t a t t t t a a t t t t Pw 2 )³ ³ ´ ´1 + ´ (1 ¡ w )t¡ F (a ;¿ ) a ¿ w ¾ ¾ ½ + ¸ F a ;¿ : (15)a ¿ t t t t t ¿ t tP 1 + ´

Se postula como posible candidato de soluci¶on de (15)µ ¶a t

F (a ;¿ ) = ± + ± log + H (¿ ; ± ;± ) ; (16)t t 0 1 t 2 3¿t

donde ± , ± y H (¿ ) se tienen que determinar de la ecuaci¶on (15) . Al0 1 t

sustituir la ecuaci¶on (16) en (15) , se obtiene

µ ¶1 2 0r (± + ± log (a ) ) + ± ¹¿ ¡ r ¡ ¾ + r H (¿ ) ¡ H (¿ )¿ ¹¿0 1 t 1 t t t¿2 (

1 00 2 2 ¡ 1¡ H (¿ ) ¿ ¾ ¡ r ± log(¿ ) + ± ¿ = max log(® a w ) ¡ ± ¯ wt 1 t 1 t t t 1 tt ¿w2 )³ ´1 1 + ´ (1 ¡ w )t2 2¡ ± w ¾ + ¸ ± log : (17)1 1t P2 1 + ´

3.5. C o n d icio n es d e p rim er o rd en y d eterm in a ci¶o n d e coe¯ cien tes

Las condiciones de primer orden del problema de optimizaci¶on in-tertemporal del agente representativo conducen a una proporci¶on deriqueza asignada a la tenencia de saldos reales invariante en el tiempo,w ´ w , as¶³ como a la relaci¶ont

¶12 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

1 ¸ ´ ¡ 1 2 2¡ = (1 + b¿ )® + r + ¼ ¡ ¾ + w ¾ : (18)P P± w 1 + ´ (1 ¡ w )1

Ahora se tiene que determinar H (¿ ) como soluci¶on de la ecuaci¶ont

diferencial ordinaria de segundo orden

0 00 2 21r H (¿ ) ¡ H (¿ ) ¿ ¹¿ ¡ H (¿ ) ¿ ¾ ¡ r ± log(¿ ) + ± ¿ = 0: (19)t t t t 1 t 1 tt ¿2

Los coe¯cientes ± y ± son determinados de (15) , despu¶es de0 1¤ ¡ 1sustituir el valor ¶optimo w . As¶³, ± = r , lo que produce que el1

coe¯ciente de log(a ) en la (17) sea cero yt

"1 1¡ 1 ¤ ¡ 1 2 ¤± = log(® w ) ¡ ((1 + b¿ )® + r + ¼ ¡ ¾ )w0 P2r r #³ ´¤1 1 1 + ´ (1 ¡ w )¤ 2 2+ (w ¾ ) + ¹¿ ¡ r ¡ ¾ ¡ ¸ log : (20)¿P2 2 1 + ´

El supuesto de utilidad logar¶³tmica conduce a que w dependa,solamente, de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas es-toc¶asticas de la econom¶³a y, por lo tanto, w es constante. Es decir, laactitud del consumidor hacia el riesgo cambiario es independiente desu riqueza, i.e. , el nivel de riqueza que resulte en cualquier instanteno tiene relevancia para las decisiones de portafolio. M¶as a¶un, debidoa la utilidad logar¶³tmica, el coe¯ciente de correlaci¶on, ½ 2 (¡ 1;1) , nojuega papel alguno en las decisiones del consumidor. Por ¶ultimo, esimportante se~nalar que la ecuaci¶on (18) es c¶ubica, por lo que tiene,al menos, una ra¶³z real.

La soluci¶on de la ecuaci¶on (19) es (ver ap¶endice B)

1° °1 2H (¿ ) = ± ¿ + ± ¿ + log(¿ )t 2 3 tt t ¹¿µ ¶ µ ¶22 1 ¾ ¿1 + ¿ + 1 ¡ (21)t2(¾ + 2¹¿ ) ¹¿ 2¹¿¿

donde4rp° =1

2 2 2 2(2¹¿ ¡ ¾ ) + (2¹¿ ¡ ¾ ) + 8r ¾¿ ¿ ¿

¶P O L IT IC A F IS C A L 13

y4rp° = :2

2 2 2 2(2¹¿ ¡ ¾ ) ¡ (2¹¿ ¡ ¾ ) + 8r ¾¿ ¿ ¿

Los coe¯cientes ± y ± se determinan, de tal manera, que H (¿ ) = 0 y2 3 00H (¿ ) = 0 (ver ap¶endice B) . La primera condici¶on inicial, H (¿ ) = 0,0 0

asegura que el bienestar econ¶omico, µ ¶1 a 0

W ´ I (a ;¿ ;0) = F (a ;¿ ) = ± + log ;0 0 0 0 0r ¿0

sea independiente de la selecci¶on de H . La segunda condici¶on inicial,0H (¿ ) = 0, garantiza que la funci¶on de bienestar sea decreciente0

respecto al impuesto a la riqueza, esto es,¯@ I 1¯

= ¡ < 0;¯@ ¿ r ¿¿ = ¿0 0

y tambi¶en asegura que H sea la ¶unica soluci¶on de la ecuaci¶on (19) .

3.6. U n a a sign a ci¶o n via ble d el po rta fo lio

La ecuaci¶on (18) es c¶ubica, con una ra¶³z negativa y dos positivas. Estopuede verse si se intersecta la l¶³nea recta de¯nida por el lado dere-cho de la ecuaci¶on (18) con la gr¶a¯ca de¯nida por su lado izquierdo.En este caso, hay solamente una intersecci¶on que proporciona un es-tado estacionario ¶unico de la riqueza, que el consumidor asigna a la

¤tenencia de saldos reales w 2 (0;1) .

4 . E x p e rim e n to s d e p o l¶³tic a e c o n ¶o m ic a (e st¶a tic a c o m p a r a -tiv a )

En esta secci¶on, se obtienen los primeros resultados relevantes delmodelo propuesto. Un aumento permanente en la tasa de devalua-ci¶on da como resultado un incremento en el costo de oportunidadfuturo de comprar bienes, lo cual, a su vez, conduce a una disminu-ci¶on permanente de la proporci¶on de la riqueza destinada al consumofuturo. Para ver esto, se calcula la derivada de la ecuaci¶on (18) conrespecto de ¼ , lo cual conduce a

¤@ w ¡ 1= ¡ ª < 0; (22)@ ¼

¶14 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

donde · ¸2r ¸ ´ 2ª = + + ¾ : (23)

P¤ 2 ¤ 2(w ) [1 + ´ (1 ¡ w ) ]

El segundo resultado es la respuesta de los saldos monetarios¤reales de equilibrio, w , a cambios permanentes en el par¶ametro de

intensidad, ¸ . Un aumento en el n¶umero esperado de devaluacionespor unidad de tiempo ocasiona un incremento en el costo de oportu-nidad futuro de la compra de bienes. Esto, a su vez, disminuye deforma permanente la proporci¶on de la riqueza dedicada al consumofuturo. De hecho, despu¶es de calcular la derivada de la ecuaci¶on (18)con respecto de ¸ se obtiene

¤@ w ´= ¡ < 0: (24)¤@ ¸ ª[1 + ´ (1 ¡ w ) ]

Un efecto equivalente se logra por un cambio en el tama~no medioesperado de un salto:

¤@ w ¸= ¡ < 0: (25)¤ 2@ ´ ª[1 + ´ (1 ¡ w ) ]

Por ¶ultimo, un aumento en el impuesto a d va lo rem al consumoproducir¶a una reducci¶on permanente en la proporci¶on de la riquezaasignada al consumo futuro, ya que

¤@ w 1= ¡ < 0: (26)

@ b¿ ® ª

5 . Im p a c to e n e l b ie n e sta r e c o n ¶o m ic o

Aqu¶³ evaluamos los impactos de choques ex¶ogenos en el bienestarecon¶omico. Como siempre, el criterio de bienestar, W , del individuorepresentativo es la utilidad indirecta, con una riqueza real inicial, a ,0y una tasa impositiva inicial de la riqueza, ¿ . Por lo tanto, en virtud0

de la ecuaci¶on (14) , el bienestar est¶a de¯nido por:

1W (¼ ;¸ ;´ ; ¹¿ ;b¿ ; a ;¿ ) ´ I (a ;¿ ;0) = F (a ;¿ ) = [1 + log(a = ¿ )0 0 0 0 0 0 0 0

rh1 1¡ 1 ¤ ¡ 1 2 ¤ ¤ 2+ log(® w ) ] ¡ ((1 + b¿ )® + r + ¼ ¡ ¾ ) w + (w ¾ ) + ¹¿PP2r 2

¶P O L IT IC A F IS C A L 15³ i¤1 1 + ´ (1 ¡ w )2¡ ¾ ¡ ¸ log ; (27)¿2 1 + ´

donde se ha considerado el hecho de que H (¿ ) = 0.0

5.1 . Im pa cto d e ca m bio s perm a n en tes d el tipo d e ca m bio en el bien es-ta r

Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶omico de cam-bios permanentes en la tasa media esperada de devaluaci¶on, la pro-babilidad de devaluaci¶on y el tama~no esperado de una devaluaci¶on.Primero, obs¶ervese que un incremento en la tasa media esperada dedevaluaci¶on reduce el bienestar econ¶omico. En efecto, al calcular laderivada de la ecuaci¶on (27) con respecto a ¼ tenemos que

¤@ W w= ¡ < 0; (28)

2@ ¼ r

An¶alogamente, un choque ex¶ogeno en la probabilidad de deva-luaci¶on tiene que reducir el bienestar econ¶omico. Para ver esto, essu¯ciente calcular la derivada de la ecuaci¶on (27) con respecto a ¸µ ¶¤@ W 1 1 + ´ (1 ¡ w )

= log < 0; (29)2@ ¸ r 1 + ´

Por ¶ultimo, un incremento en el tama~no esperado de una deva-luaci¶on reduce el bienestar econ¶omico, ya que· ¸¤@ W 1 ¸ w

= ¡ < 0: (30)¤2@ ´ r (1 + ´ ) (1 + ´ (1 ¡ w ) )

5.2. Im pa cto d e la po l¶³tica ¯ sca l en el bien esta r eco n ¶o m ico

Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶omico producidospor cambios permanentes en la tasa impositiva media esperada a lariqueza y el impuesto esperado a d va lo rem al consumo. En este caso,se tiene

@ W 1= ¡ < 0; (31)

2@ ¹¿ r

¶16 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

y

@ W 1 ¡ 1 ¤= ¡ ® w < 0: (32)2@ b¿ r

Por lo tanto, un aumento en la tasa impositiva media esperadasobre la riqueza y la tasa impositiva en el consumo llevar¶a a unareducci¶on en el bienestar econ¶omico.

6 . R iq u e z a y c o n su m o

Ahora se obtiene el proceso estoc¶astico que genera la riqueza real delconsumidor cuando se aplica la regla ¶optima. Despu¶es de sustituir¤w en la ecuaci¶on (11) tenemosh³ ´¤¸ ´ w ¤ 2da = a + (w ¾ ) ¡ ¿t t tP¤1 + ´ (1 ¡ w )³ ´ i¤1 + ´ (1 ¡ w )¤dt ¡ w ¾ dz + ¡ 1 dN ; (33)t tP 1 + ´

donde n op21¿ = ¿ exp (¹¿ ¡ ¾ ) t + E ¾ t ; (34)t 0 ¿2

y E » N (0;1) . La funci¶on densidad de probabilidad de ¿ , dado ¿ ,t 0

satisface

1pf (x j¿ ) =0¿ j¿t 0 2¼ t¾ x¿( )µ ¶21 2log (x = ¿ ) ¡ ( ¹¿ ¡ ¾ ) t1 0 ¿2pexp ¡ (35)2 ¾ t¿

Adem¶as, se tiene

¹¿ tE[¿ j¿ ] = ¿ e (36)t 0 0

y ¡ ¢22 2 ¹¿ t ¾ t¿Var[¿ j¿ ] = ¿ e e ¡ 1 : (37)t 0 0

¶P O L IT IC A F IS C A L 17

La soluci¶on a la ecuaci¶on diferencial estoc¶astica (33) , condicio-nada por a , es (ver ap¶endice A, f¶ormula (A.3) )0

»ta = a e ; (38)t 0

2donde

¤ ¤» = µ + Á ; µ j¿ » N [[F (w ) ¡ ¿ ] t;G (w )t] ; (39)t t t t t t

¤Á = L (w )N ; (40)t t

y

N » P (¸ t): (41)t

Los componentes estacionarios de los par¶ametros de las distribu-ciones antes mencionadas son:

¤ ¤ 2¸ ´ w (w ¾ )P¤F (w ) = + ;¤1 + ´ (1 ¡ w ) 2

¤ ¤ 2G (w ) = (w ¾ ) ;P

y ³ ´¤1 + ´ (1 ¡ w )¤L (w ) = log :1 + ´

Adem¶as, observe que

¤ ¤E[» j¿ ] = [F (w ) ¡ ¿ + L (w ) ¸ ] t (42)t t t

y¤ ¤ 2Var[» j¿ ] = [G (w ) + [L (w ) ] ¸ ] t: (43)t t

M¶as a¶un, se sigue que

¤ ¹¿ t ¤E[» ] = EfE[» j¿ ] g = [F (w ) + ¿ e + L (w )¸ ] t; (44)t t t 0

yVar[» ] = VarfE[» j¿ ] g + EfVar[» j¿ ] gt t t t t¡ ¢22 2 2 ¹¿ t ¾ t ¤ ¤ 2t= t ¿ e e ¡ 1 + [G (w ) + [L (w ) ] ¸ ] t: (45)0

2x » P (a ) d en o ta u n a va ria b le a lea to ria d e tip o P o isso n x co n m ed ia a .

¶18 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

Estas dos ¶ultimas ecuaciones, de acuerdo con (38) , determinanla media y la varianza de la velocidad a la que crece la riqueza realdel individuo.

6.1 . D in ¶a m ica d el co n su m o

En virtud de las ecuaciones (9) y (38) , el proceso estoc¶astico para elconsumo se puede escribir como

¤ ¡ 1 ¤ »tc = ® w a e : (46)0t

Lo que indica que, en ausencia de mercados de productos deriva-dos, el riesgo de devaluaci¶on tiene un efecto en la riqueza mediante laincertidumbre en » , es decir, la incertidumbre cambia el conjunto det

oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otra parte, el riesgode devaluaci¶on afecta de igual manera la composici¶on del portafolio

¤a trav¶es de sus efectos en w . De este modo, un cambio en la pol¶³ticaecon¶omica estar¶a acompa~nado, tanto del efecto riqueza como del desustituci¶on. De la ecuaci¶on (46) es posible calcular la probabilidad deque, en un intervalo de tiempo dado, ocurran ciertos niveles de con-sumo. Es tambi¶en importante observar, al considerar las ecuaciones(12) y (46) , que el supuesto de la tasa sub jetiva de descuento delagente, igualada a la tasa de inter¶es mundial, no asegura un nivel deestado estacionario en el consumo. Sin embargo, se tiene un estadoestacionario de la riqueza asignada al consumo.

Se puede concluir que la incertidumbre es un elemento clave pararacionalizar din¶amicas del consumo m¶as realistas, que no podr¶³an serobtenidas a trav¶es de modelos deterministas. Por ¶ultimo, en virtudde (46) , las ecuaciones (44) y (45) determinan la media y la varianzade la velocidad a la que crece el consumo.

6.2. A u ges en el co n su m o

Ahora se analizar¶a una pol¶³tica econ¶omica de la forma:(¼ para 0 · t · T ;1

¼ = (47)t¼ para t > T ;2

donde T se determina ex¶ogenamente y ¼ < ¼ , como en Calvo (1986) .1 2

Observe que hay falta de credibilidad, incluso si no se cambian los

¶P O L IT IC A F IS C A L 19

par¶ametros, ya que los agentes siempre asignan alguna probabilidadal evento de la devaluaci¶on. De la ecuaci¶on (46) se puede escribir

¤ ¤ ¤c w wT + ¢ 2 2lim = expf ¡ (» (¼ ) ¡ » (¼ ) )g = :t 1 T + ¢ 2¤ ¤ ¤+ c w w¢ ! 0 1 1T

El l¶³mite signi¯ca que, aunque los componentes estacionarios dela variable aleatoria » son diferentes antes y despu¶es del tiempo T ,t

+

tal diferencia llega a ser tan peque~na como se desee cuando ¢ ! 0 .Por lo tanto,

¤w 2¤ ¤lim c = c : (48)T + ¢ T ¤+ w¢ ! 0 1

¤ ¤Tambi¶en se observa que w = w < 1, junto con la ecuaci¶on (48) ,2 1implica que

¤ ¤c > lim c ;T T + ¢+¢ ! 0

lo cual indica un salto (auge) en el consumo al tiempo T . Es de-cir, si se espera que el plan de estabilizaci¶on sea temporal, entoncesexiste un salto en el consumo en T . Un an¶alisis similar puede seraplicado a cualquiera de los par¶ametros restantes que determinan lasexpectativas de devaluaci¶on, a saber ¸ y ´ .

7 . C o n c lu sio n e s

La investigaci¶on documentada, se ha orientado a una clase de modelosdetermininistas dirigidos a explicar efectos impositivos en un marcode estabilizaci¶on temporal. La mayor¶³a de los modelos existentes igno-ran la incertidumbre, proporcionando justi¯caciones elaboradas paramenospreciar factores de riesgo. Despu¶es de todo, lo que hace que losplanes de estabilizaci¶on sean temporales es la incertidumbre misma.Se ha presentado un modelo estoc¶astico de estabilizaci¶on basado enel tipo de cambio y con credibilidad imperfecta. Una caracter¶³sticaimportante de esta formulaci¶on es que existe falta de credibilidad, in-cluso si no se cambian los par¶ametros que determinan las expectativasde la devaluaci¶on.

Se han considerado varias formas de impuestos distorsionantes,un impuesto a la riqueza real y un impuesto a d va lo rem al consumo.

¶2 0 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

Se ha mostrado que una pol¶³tica ¯scal incierta puede conducir a cam-bios cuantitativos signi¯cativos, en contraste con el marco determi-nista. La consideraci¶on de los impuestos permite analizar din¶amicastransicionales m¶as complejas, pero los resultados fueron ciertamentem¶as ricos. En esta propuesta, la incertidumbre ha sido la clave pararacionalizar din¶amicas de consumo m¶as realistas en el estudio de laestabilizaci¶on temporal.

Por ¶ultimo, es importante mencionar que el trabajo desarrolladorequiere, en una etapa posterior, de una calibraci¶on o simulaci¶on conel ¯n de replicar algunas de las regularidades emp¶³ricas observadas enlos episodios de estabilizaci¶on in°acionaria.

B ib lio g r a f¶³a

C a lv o , G . A . (1 9 8 6 ). T em p o ra ry sta b iliza tio n : P red eterm in ed ex ch a n g e ra tes,J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y , 9 4 , 1 3 1 9 -1 3 2 9 .

| | y A . D ra zen (1 9 9 7 ). U n certa in d u ra tio n o f refo rm : D y n a m ic im p lica tio n s,M a croeco n o m ic D yn a m ics, 2 , 4 4 3 -4 5 5 .

C a lv o , G . A . y E . G . M en d o za (1 9 9 6 a ). M ex ico 's b a la n ce o f p ay m en ts crisis:A ch ro n icle o f a d ea th fo reto ld , J o u rn a l o f In tern a tio n a l E co n o m ics, 4 1 ,2 3 5 -2 6 4 .

| | (1 9 9 6 b ). P etty crim e a n d cru el p u n ish m en t: L esso n s fro m th e M ex ica nd eb a cle, A m erica n E co n o m ic R eview , 8 6 , 1 7 0 -1 7 5 .

C a lv o , G . A . y C . A . V ¶eg h (1 9 9 9 ). In ° a tio n sta b iliza tio n a n d b a la n ce-o f-p ay m en tscrises in d ev elo p in g co u n tries, en J . T ay lo r a n d M . W o o d fo rd (co m p s.),H a n d boo k o f m a croeco n o m ics, N o rth H o lla n d , v o l. 1 C , p a rte 7 , ca p . 2 4 .

| | (1 9 9 4 ). S ta b iliza tio n d y n a m ics a n d b a ck w a rd -lo o k in g co n tra cts, J o u rn a l o fD evelo p m en t E co n o m ics, 4 3 , 5 9 -8 4 .

| | (1 9 9 3 ). E x ch a n g e ra te b a sed sta b iliza tio n u n d er im p erfect cred ib ility, en H .F risch a n d A . W o rg o tter (co m p s.) O pen eco n o m y m a croeco n o m ics, M a cM il-la n , L o n d res, 3 -2 8 .

D ra zen , A . y E . H elp m a n (1 9 8 8 ). S ta b iliza tio n w ith ex ch a n g e ra te m a n a g em en tu n d er u n certa in ty, en E . H elp m a n , A . R a zin y E . S a d ka (co m p s.), E co n o m ice® ects o f th e go vern m en t bu d get, M IT P ress, C a m b rid g e.

G reg o rio , J . d e, P . E . G u id o tti y C . A . V ¶eg h (1 9 9 8 ). In ° a tio n sta b iliza tio n a n dth e co n su m p tio n o f d u ra b le g o o d s, E co n o m ic J o u rn a l, 1 0 8 , 1 0 5 -1 3 1 .

G ih m a n , I. y A . V . S k o ro h o d (1 9 7 2 ). S toch a stic d i® eren tia l equ a tio n s, S p rin g er-V erla g , B erl¶³n .

H elp m a n , E . y A . R a zin (1 9 8 7 ). E x ch a n g e ra te m a n a g em en t: In tertem p o ra ltra d e-o ® s, A m erica n E co n o m ic R eview , 7 7 , 1 0 7 -1 2 3 .

K ig u el, M . y N . L iv ia ta n (1 9 9 2 ). T h e b u sin ess cy cle a sso cia ted w ith ex ch a n g e-ra te-b a sed sta b iliza tio n . T h e W o rld B a n k E co n o m ic R eview , 6 , 2 7 9 -3 0 5 .

¶P O L IT IC A F IS C A L 21

L a h iri, A . (2 0 0 1 ). E x ch a n g e ra te b a sed sta b iliza tio n u n d er rea l frictio n s: T h e ro leo f en d o g en o u s la b o r su p p ly, J o u rn a l o f E co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l,2 5 , 1 1 5 7 -1 1 7 7 .

M a tsu y a m a , K . (1 9 9 1 ). D eva lu a tio n : O n ex ch a n g e-ra te sta b iliza tio n , J o u rn a l o fE co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l, 1 5 , 7 -2 6 .

M en d o za , E . G . y M . U rib e (1 9 9 8 ). T h e bu sin ess cycles o f cu rren cy specu la tio n s:A revisio n o f a M u n d ellia n fra m ew o rk, In tern a tio n a l F in a n ce D iscu ssio nP a p er, n ¶u m . 6 1 7 , B o a rd o f G ov ern o rs o f T h e F ed era l R eserv e S y stem .

| | (1 9 9 6 ). T h e syn d ro m e o f exch a n ge-ra te-ba sed sta biliza tio n a n d u n certa ind u ra tio n o f cu rren cy pegs, In tern a tio n a l F in a n ce D iscu ssio n P a p er, n ¶u m .5 4 8 , B o a rd o f G ov ern o rs o f T h e F ed era l R eserv e S y stem .

P ress, W . H ., et a l. (1 9 9 2 ). N u m erica l recip es in C : T h e a rt o f scien ti c co m -p u tin g , 2 a . ed ., C a m b rid g e U n iv ersity P ress, C a m b rid g e.

R eb elo , S . y C . A . V ¶eg h (1 9 9 5 ). R ea l e® ects o f exch a n ge ra te ba sed sta biliza tio n :A n a n a lysis o f co m petin g th eo ries, W P , 5 1 9 7 , N B E R .

R ein h a rt, C . M . y C . A . V ¶eg h (1 9 9 5 ). N o m in a l in terest ra tes, co n su m p tio n b o o m sa n d la ck o f cred ib ility : A q u a n tita tiv e ex a m in a tio n , J o u rn a l o f D evelo p m en tE co n o m ics, 4 6 , 3 5 7 -3 7 8 .

| | (1 9 9 3 ). In tertem po ra l co n su m p tio n su bstitu tio n a n d in ° a tio n sta biliza tio n :A n em p irica l in vestiga tio n , IM F , W a sh in g to n (m im eo ).

R ip ley, B . D . (1 9 8 7 ). S toch a stic sim u la tio n , W iley, N u eva Y o rk .R o d r¶³g u ez, C . A . (1 9 8 2 ). T h e A rg en tin e sta b iliza tio n p la n o f D ecem b er 2 0 th ,

W o rld D evelo p m en t, 1 0 , 8 0 1 -8 1 1 .R o ld o s, C . A . (1 9 9 5 ). S u p p ly -sid e e® ects o f d isin ° a tio n p ro g ra m s, In tern a tio n a l

M o n eta ry F u n d S ta ® P a pers, 4 2 , 1 5 8 -1 8 3 .U rib e, M . (1 9 9 7 ). E x ch a n g e-ra te-b a sed in ° a tio n sta b iliza tio n : T h e in itia l rea l

e® ects o f cred ib le p la n s, J o u rn a l o f M o n eta ry E co n o m ics, 3 9 , 1 9 7 -2 2 1 .V ¶eg h , C . A . (1 9 9 2 ). S to p p in g h ig h in ° a tio n : A n a n a ly tica l ov erv iew , In tern a -

tio n a l M o n eta ry F u n d S ta ® P a pers, 3 9 , 6 2 6 -6 9 5 .V en eg a s M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 1 ). T em p o ra ry sta b iliza tio n : A sto ch a stic a n a ly sis,

J o u rn a l o f E co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l, 2 5 , 1 4 2 9 -1 4 4 9 .| | (2 0 0 0 a ). O n co n su m p tio n , in v estm en t, a n d risk , E co n o m ¶³a M exica n a , 9 ,

2 2 7 -2 4 4 .| | (2 0 0 0 b ). U tility, lea rn in g , a n d sta b iliza tio n , G a ceta d e E co n o m ¶³a , 1 0 , 1 5 3 -

1 6 9 .| | y B . G o n z¶a lez-A r¶ech ig a (2 0 0 0 ). M erca d o s ¯ n a n ciero s in co m p leto s y su

im p a cto en lo s p ro g ra m a s d e esta b iliza ci¶o n d e p recio s: el ca so m ex ica n o ,M o m en to E co n ¶o m ico , 1 1 1 , 2 0 -2 7 .

¶22 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

A p ¶e n d ic e A

3En este ap¶endice se establecen sin demostraci¶on dos resultados ¶utilesen el desarrollo del presente trabajo:

1) El lema de Ito para procesos combinados de difusi¶on y saltos dePoisson, el cual puede ser enunciado de la siguiente manera. Dada laecuaci¶on diferencial estoc¶astica lineal y homog¶enea

dx = x (¹ dt + ¾ dz + ´ dq ); z » N (0;t) ; q » P (¸ t) : (A:1)t t t t t t

y una funci¶on g (x ) continua y dos veces diferenciable, entonces lat

diferencial estoc¶astica de g (x ) est¶a determinada port

2 21dg (x ) = [g (x )¹ x + g (x )¾ x ] dtt x t t x x t t2

+g (x )¾ x dz + [g (x (1 + ´ ) ) ¡ g (x ) ] dq : (A:2)x t t t t t t

2) La soluci¶on a la ecuaci¶on (A.1) est¶a dada por

½ ¾Z Zt t21x = x exp (¹ ¡ ¾ )t + ¾ dz + log(1 + ´ ) dq : (A:3)t 0 u u2

0 0

Es importante tener presente, al usar (A.3) , que para t ¸ 0 laspropiedades para z y q son:t t

" #· ¸ µ ¶ · ¸Z Z Z Z2t t t t

E dz = 0; E dz = d u = t; y E dq = ¸ t:u u u0 0 0 0

A p ¶e n d ic e B

En este ap¶endice se resuelve la ecuaci¶on diferencial ordinaria lineal desegundo orden no homog¶enea, la cual aparece en la ecuaci¶on (20) . SeaH = H (¿ ) y consid¶erese la ecuaci¶on diferencial ordinaria de segundoorden no homog¶enea del tipo de Euler-Cauchy

3 V er G ih m a n y S k o ro h o d (1 9 7 2 , ca p . 2 ).

¶P O L IT IC A F IS C A L 23

2¹¿ 2r 2 22 00 0¿ H + ¿ H ¡ H = ¡ log(¿ ) + ¿ ; (B:1)2 2 2 2¾ ¾ ¾ r ¾

donde r y ¾ son constantes positivas. A continuaci¶on, la ecuaci¶on(B.1) se transforma en una ecuaci¶on diferencial con coe¯cientes cons-tantes, para ello se aplica el m¶etodo de Euler en el que se utiliza el

tsiguiente cambio de variable ¿ = e . As¶³, t = log(¿ ) ,

@ H 1 @ H= ; (B:2)

@ ¿ ¿ @ t

y µ ¶2 2@ H 1 @ H @ H

= ¡ : (B:3)2 2 2@ ¿ ¿ @ t @ t

Despu¶es de sustituir las ecuaciones (B.2) y (B.3) en la ecuaci¶on(B.1) , se obtiene

µ ¶2@ H 2¹¿ @ H 2r 2 2 t+ ¡ 1 ¡ H = ¡ t + e : (B:4)2 2 2 2 2@ t ¾ @ t ¾ ¾ r ¾

La soluci¶on general es de la forma:

H (t) = H (t) + H (t) ; (B:5)c p

donde H es la soluci¶on complementaria asociada a la ecuaci¶on ho-c

mog¶enea y H es una soluci¶on particular de la ecuaci¶on no homog¶enea.p

Para determinar H , se requiere resolver la siguiente ecuaci¶on carac-c

ter¶³stica: µ ¶2¹¿ 2r2° + ¡ 1 ° ¡ = 0:2 2¾ ¾

De aqu¶³ que la soluci¶on complementaria es

° t ° t1 2H (t) = ± e + ± e ; (B:6)c 2 3

donde las dos ra¶³ces est¶an dadas por

4rp° =12 2 2 2(2¹¿ ¡ ¾ ) + (2¹¿ ¡ ¾ ) + 8r ¾

y

¶24 E S T U D IO S E C O N O M IC O S

4rp° = :22 2 2 2(2¹¿ ¡ ¾ ) ¡ (2¹¿ ¡ ¾ ) + 8r ¾

Enseguida se determina H , para ello se utiliza el m¶etodo dep

coe¯cientes indeterminados. Se supone que la soluci¶on es de la forma:

tH (t) = A t + B + C te : (B:7)p

0 t 00 tPor lo tanto, H (t) = A + C (t + 1) e y H (t) = C (t + 2)e .p p

Despu¶es, se sustituye la ecuaci¶on (B.7) en la ecuaci¶on (B.4) , lo cualconduce a µ ¶ µ ¶

2¹¿ 2r 2¹¿ 2rt t¡ C te + 1 + C e ¡ A t2 2 2 2¾ ¾ ¾ ¾µ ¶2¹¿ 2r 2 2 t+ ¡ 1 A ¡ B = ¡ t + e :2 2 2 2¾ ¾ ¾ r ¾

Al resolver t¶ermino a t¶ermino se tiene que los valores de A , B yC , est¶an dados por

¡ ¢1 1 22A = ; B = 2¹¿ ¡ ¾ ; y C = ;2 2r 2r r (¾ + 2¹¿ )

de donde para una soluci¶on particular se cumple que ¹¿ = r . Por lotanto,

21 ¾ 1 2 tH (t) = t ¡ + + te : (B:8)p 2 2¹¿ 2¹¿ ¹¿ ¹¿ (¾ + 2¹¿ )

Al sustituir las ecuaciones (B.6) y (B.8) en la ecuaci¶on (B.5) setiene que

21 ¾ 1 2° t ° t t1 2H (t) = ± e + ± e + t ¡ + + te :2 3 2 2¹¿ 2¹¿ ¹¿ ¹¿ (¾ + 2¹¿ )

tComo ¿ = e , la soluci¶on general de la ecuaci¶on (B.1) , en t¶ermi-nos de ¿ , est¶a dada por

1° °1 2H (¿ ) = ± ¿ + ± ¿ + log(¿ )2 3¹¿

¶P O L IT IC A F IS C A L 25µ ¶ µ ¶22 1 ¾

1 + ¿ + 1 ¡ : (B:9)2¾ + 2¹¿ ¹¿ 2¹¿

Los valores de ± y ± que satisfacen las condiciones iniciales2 30H (¿ ) = H (¿ ) = 0 son0 0 " µ ¶¡ ° 1 2¿ ¾0± = ° log(¿ ) + 1 ¡2 2 0¹¿ (° ¡ ° ) 2¹¿1 2 #2¿0¡ (1 + log(¿ ) (1 ¡ ° ) ) + 10 22¾ + 2¹¿

y " µ ¶¡ ° 2 2¿ ¾0± = ¡ ° log(¿ ) + 1 ¡3 1 0¹¿ (° ¡ ° ) 2¹¿1 2 #¡ ¢2¿0

+ 1 + log(¿ ) (1 ¡ ° ) + 1 :0 12¾ + 2¹¿