Estudio y representación de funciones 4º ESO

DesarrolloDefinición, dominio y recorrido

Definición de función:

Una función f es una relación entre dos conjuntos A y B, de manera que a cada valor del primero, A le hace corresponder un único valor del segundo, B.

f: A→B

x→f(x)

Dominio de la función:

Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

Recorrido:

Es el conjunto de valores que toma la función.

DesarrolloDefinición, dominio y recorrido

EJERCICIOS PARA CLASEC1. ¿Cuál de estas gráficas son funciones?

DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones

Raíces. Puntos de corte con los ejes. El eje de abscisas es la recta de ecuación y=0.

Para hallar los puntos de corte de una función y=f(x) con el eje de abscisas, basta resolver la ecuación f(x)=0. Estos puntos se denominan también raíces.

El eje de ordenadas es la recta de ecuación x=0.

El punto de corte de una función con el eje de ordenadas, si existe, es (0,f(0)), ya que cada x puede tener, a lo sumo, una imagen f(x), el corte con el eje OY es, a lo sumo, uno.

Monotonía. f(x) es creciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≤f(a)≤f(a+h) f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x entre X1 y X2. f(x) es decreciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≥f(a) ≥f(a+h) f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x de él.

DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones

Máximos y mínimos. f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h) f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)

Continuidad. Discontinuidad.Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se produce una

discontinuidad.En todos los puntos en los que f no está definida se produce una discontinuidad, un

salto de su gráfica.

DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones

Funciones escalonadas.Son funciones definidas a trozos, constantes en cada trozo y discontinuas en los puntos de división de los intervalos.

Simetrías: pares e impares. Una función es par si f(x)=f(-x) para todo x de su dominio.

Las funciones pares son simétricas respecto del eje OY. Una función es impar si f(x)=-f(-x) para todo x de su dominio.

Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Periodicidad.Una función es periódica si hay algún número k tal que f(x+k)=f(x) para todo x. Esto significa que su gráfica se repite cada k unidades. El menor de los valores de k que cumpla esa condición es el periodo de la función.

Asíntotas.Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.

Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).

DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de las funciones

DesarrolloFunciones polinómicas

Funciones polinómicas: Constantes: f(x)=a

Se representa mediante una recta horizontal. Lineales: f(x)=mx+n

Se representan mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n).A la función lineal también se le llama función afín.

Cuadráticas: f(x)=ax²+bx+c, a≠0 Se representan mediante parábolas.Sus ejes son paralelos al eje Y.Su vértice es X0=-b/2a.Su forma depende del valor de a: Si a>0, las ramas van hacia arriba.

Si a<0, las ramas van hacia abajo.

De proporcionalidad directa: f(x)=kxk indica la razón de proporcionalidad.Su gráfica es la de una recta que pasa por el origen.

Otras: f(x)=

El dominio de existencia de las funciones polinómicas es .Si el polinomio es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas.Se representan mediante una línea “continua”.

DesarrolloFunciones polinómicas

Representa gráficamente la función y=-x²+3, estudia su dominio y

comportamiento.Dominio: (por ser un polinomio)Vértice: =0

y=0+3(0,3)

Corte con los ejes: Si x=0 y=3 (0,3)Si y=0 (√6,0),(-√6,0)

Monotonía: - Creciente (-∞,0) - Decreciente (0,+ ∞)Extremos relativos: -Máximo (0,3) -No tiene mínimo.Es una función continua.Tiene simetría par f(x)=f(-x)

a

b

2

DesarrolloFunciones racionales

Funciones racionales:

Son de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos que anulan el denominador.

Su dominio de existencia es excepto en los puntos que anulan al

denominador Q(x).

Si el polinomio del numerador P(x) es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que

son los cortes con el eje de abscisas.

La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos

que anulan al denominador.

Si los polinomios P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, al dar valores muy grandes

a x la función f(x) se “acerca” la recta y=a/b, donde a es el coeficiente principal

de P(x) y b el de Q(x).

DesarrolloFunciones racionales

Representa gráficamente la función y=3x²/(x²-1), estudia su dominio y

comportamiento.

Dominio: -{1,-1}, ya que x²-1=0; x²=1; x=√1; x=1 y x=-1Cortes con los ejes: x=0, y=0 (0,0)

y=0, x=0Monotonía: Creciente (-∞,0) Decreciente (0,+ ∞)Extremos relativos: Máximo: (0,0)

No tiene mínimo.Es una función discontinua.Tiene una asíntota vertical en los puntos donde se anula el denominador, es decir, en x=1 y en x=-1, ya que la función tiende hacia infinito en esos puntos.

DesarrolloFunciones radicales

Funciones radicales:

Son de la forma y=n√f(x) (raíz n-ésima)

Su dominio depende del índice de la raíz. Si el índice es impar, el dominio será todo

, y si el índice es par, el dominio será aquellos valores de x para los cuales, el

radicando sea positivo.

Si el índice de la raíz es n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de

abscisas.

Se representan mediante un línea “continua”.

DesarrolloFunciones radicales

Representa gráficamente la función y=3+√(x-4), estudia su dominio y comportamiento.

Dominio: [4,+∞), ya que x - 4>0; x>4Puntos de corte con los ejes: x=0, no existe solución real.y=0, x=13 (13,0)Monotonía: Creciente [4,+∞)No tiene extremos relativos.Es una función continua.

DesarrolloFunciones a trozos

Definidas a trozos:

Aquellas definidas por expresiones distintas en intervalos distintos.

Se representan, tramo a tramo, prestando atención a su comportamiento en los puntos de empalme.

DesarrolloFunciones a trozos

Representa gráficamente la función y= 1 si x≥2 x si x<2

estudia su dominio y comportamiento.

Dominio: Puntos de corte con los ejes: x=0 y=0

y=0 x=0Monotonía: Creciente (-∞,2]No tiene extremos relativosDiscontinua en x=2.

DesarrolloFunciones a trozos

EJERCICIOS PARA CLASE

C6. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su comportamiento:a) f(x)= 4-x si x<1

x+4 si x>5

b) f(x)= x+1 si xЄ[-3,0) x²-2x+1 si xЄ[0,3] 4 si xЄ(3,7)

C7.Una agencia de viajes organiza un crucero por el Mediterráneo. El precio del viajes es de 1000 € si reúne entre 30 y 60 pasajeros; para un menor número de pasajeros el crucero se suspende. Pero si supera los 60, hace una rebaja de 10 € a cada participante por cada nuevo pasajero.

a) Halla la función que da el precio del crucero dependiendo del número de viajeros. Represéntala gráficamente.

b) Calcula la función que da el ingreso total que obtiene la agencia organizadora en función del número de viajeros. Represéntala gráficamente.

Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

Simetrías: -f(x) y f(-x) La función –f(x) cambia de signo todos los resultados de f(x).

Las gráficas de f(x) y –f(x) son simétricas respecto del eje OX. La función f(-x) se obtiene sustituyendo x por –x en la fórmula de f(x).

Esta función es la simétrica respecto del eje OY, de la función f(x).

f(x) = x²-3x+1- f(x) = -x²+3x-1 f(-x) = x²-3x+1

DesarrolloAlgunas transformaciones de funciones

Valor absoluto: |f(x)| La función |f(x)| cambia de signo los resultados negativos de f(x) y deja

iguales los resultados positivos.

Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX.

Si la definimos a trozos, sería:

f(x)=x²-3x+2

|f(x)|= x²-3x+2 si x<1 ó x>2

-x²+3x-2 si 1≤x≤2

Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

Traslaciones: k+f(x) y f(x+k) La función k+f(x) suma el número k a los resultados de f(x).

Si k es positivo, la gráfica se desplaza k unidades hacia arriba;

si k es negativo, se desplazará k unidades hacia abajo. La función f(x+k) es la misma que f(x), pero trasladada k unidades a la

izquierda si k es positivo y a la derecha si k es negativo.

f(x)=x²-3x+1

2+f(x)=x²-3x+3

f(2+x)=(2+x)²-3(2+x)+1

Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

Dilataciones y contracciones: f(kx) y kf(x) La función f(kx) contrae o dilata la función f(x).

Si k>1, se contrae; si 0<k<1, se dilata. La función kf(x) multiplica por k todos los resultados de f(x).

f(x)=x²-3x+1 f(x)= x²-3x+1

g(x)=2f(x)=2x²-6x+2 g(x)=(1/2)x²-(3/2)x+1/2

h(x)=f(2x)=4x²-6x+1 h(x)=x²/4-(3/2)x+1

Desarrollo Funciones exponenciales

Funciones exponenciales: Para comprenderlas mejor, resolvamos la siguiente actividad:

Un laboratorio quiere saber en cualquier instante el número de bacterias presentes en su estudio en función de las horas transcurridas. Para ello, en el laboratorio saben que en el instante inicial solo tienen una bacteria y que ésta se duplica por mitosis en una hora. Determina:

a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de una hora?

b) ¿Y al cabo de 3 horas? ¿Y al cabo de 5 horas?

c) ¿Podrías dar la función que expresa el número de bacterias que habrán en el laboratorio al cabo de x horas?

Desarrollo Funciones exponenciales

La función que expresa el número de bacterias presentes en el laboratorio en función de las horas transcurridas es f(x)= 2x y su representación es la siguiente:

Las funciones exponenciales son de la forma y= ax, siendo a>0 y

a≠1.

El dominio de las funciones exponenciales es .

Son funciones continuas, y todas pasan por el punto (0,1) y el (1,a).

Si a>1, son funciones crecientes.

Si 0<a<1, son decrecientes.

El eje OX, la recta y=0,

es asíntota horizontal ,

hacia - ∞ si a>1 o

hacia + ∞ si 0<a<1.

DesarrolloFunciones logarítmicas

Funciones logarítmicas: Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si tenemos la función exponencial y=a x su función inversa es y=log a x, siendo a>0 y a≠1.

Su representación es la siguiente:

El dominio de las funciones logarítmicas es aquel en el que su argumento es >0.

Son continuas en su dominio y pasan por (1,0) y (a,1).

Si a>1 son crecientes.

Si 0<a<1 son decrecientes.

El eje OY, la recta x=0, es asíntota vertical de su curva.

DesarrolloFunciones trigonométricas

Función seno La función seno es la función que asigna a cada número el valor de su seno,

donde la variable independiente x es un número real. ƒ(x)=sen x

La representación gráfica de la función seno es:

Las características fundamentales de esta función son: Está definida para todo número real, Dom= . Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica para p=2π, es decir, sen (x)=sen (x+2π). Máximos relativos: π/2 + 2kπ. Mínimos relativos: 3π/2 + 2kπ. Puntos de corte con el eje OX (y=0): π + kπ.

DesarrolloFunciones trigonométricas

Función coseno La función coseno es la función que asigna a cada número el valor de su coseno,

donde la variable independiente x es un número real.

Dado que para cualquier número x sabemos que cos x= sen (x + π/2).

La función ƒ(x)=cosx será idéntica a la del seno pero desplazada horizontalmente π/2 a la izquierda, así la representación gráfica es:

Las características fundamentales de esta función se deducen de la del seno: Está definida para todo número real, Dom= . Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica para p=2π, es decir, cos (x)=cos (x+2π). Máximos relativos: 2kπ. Mínimos relativos: π+ 2kπ. Puntos de corte con el eje OX (y=0): π/2 + kπ.

DesarrolloFunciones trigonométricas

Función tangente: Como ya sabemos

Como conocemos las funciones de seno y coseno podemos sacar la función de la tangente a través de su tabla de valores.

Una vez representada gráficamente, veamos sus características fundamentales: Está definida para todo número real, excepto para los que el cos x = 0

(denominador de la fracción), Dom= - π/2 + kπ. Su recorrido es el intervalo (-∞, ∞ ). Es periódica para p=π, es decir, tg (x)=tg(x+π). Tiene asíntotas verticales para las rectas x=π/2 + kπ. Puntos de corte con el eje OX (y=0): π + kπ y en x=0.

Ejercicios de GeoGebra

A continuación realizaremos una serie de ejercicios con Geogebra, además de aquellos que se han ido realizando en cada etapa de esta unidad.

G1. Dibuja las gráficas de f(x)=2X y g(x)=3X. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Estas gráficas se cortan en un punto, ¿cuál es?

b) La gráfica de f está por debajo de la de g en un intervalo, ¿cuál es?

c) La gráfica de f está por encima de la de g en un intervalo, ¿cuál es?

G2. Dibuja las gráficas de f(x)=log 2 x y g(x)=log 3 x. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Estas gráficas se cortan en un punto, ¿cuál es?

b) La gráfica de f está por debajo de la de g en un intervalo, ¿cuál es?

c) La gráfica de f está por encima de la de g en un intervalo, ¿cuál es?

Ejercicios propuestos

P1. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) √(x²-9) c) -1/(x³-x²)

b) 1/√(4-x) d) 2x/(x4 -1)

P2. Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones:

a) y=x²-2

b) y=-0,25x²

c) y=(x+3)²

d) y=-2x²

Gráficas