Estudio y aplicación de diferentes metodologías de cálculo ...

Estudio y aplicación de diferentes metodologías de cálculo para el conocimiento gradual del

proceso constructivo y comportamiento mecánico de una arquería de la Mezquita de Córdoba

María Escalada Marco-Gardoqui

Advances in Building Education / Innovación Educativa en Edificación | ISSN: 2530-7940 |

http://polired.upm.es/index.php/abe

| Cod. 0021 | Septiembre - Diciembre 2017 | Vol. 1. Nº 3 | pp. 80/106 |

| 80 |

María Escalada Marco-Gardoqui 1*

1 MUCTEH – Máster Universitario en Construcción y Tecnología de Edificios Históricos.

Escuela Técnica Superior de Arquitectura. Universidad Politécnica de Madrid.

* Corresponding author email: [email protected]

Recibido: 23/02/2017 | Aceptado: 27/11/2017 | Fecha de publicación: 31/12/2017

DOI:10.20868/abe.2017.3.3671

TITULARES

Aprendizaje autónomo con software básico de programación matemática

Planteamiento constructivo como fundamento básico del cálculo estructural

Resolución de un problema con diferentes técnicas graduadas en complejidad

Apoyo gráfico que facilita la compresión del cálculo complejo

HIGHLIGHTS

Self-learning using basic mathematical programming software

Constructive approach as a basis for structural calculation

Solving a problem with different techniques increasing complexity

Graphic support that facilitates the understanding of complex calculation

Estudio y aplicación de diferentes metodologías

de cálculo para el conocimiento gradual del

proceso constructivo y comportamiento mecánico

de una arquería de la Mezquita de Córdoba

Study and application of different calculation methodologies for the gradual knowledge of

the construction process and mechanical behavior of an arcade of the Mosque of Cordoba







| 81 |

RESUMEN

La mecánica de las estructuras de fábrica ha sido durante mucho tiempo de alguna manera abandonada en la

enseñanza universitaria durante la licenciatura de arquitectura, en comparación con otros campos del

conocimiento, como el hormigón armado, el acero y la madera. Una parte importante de nuestro patrimonio

arquitectónico se erigió empleando estas técnicas ampliamente difundidas antaño, pero ahora olvidadas tanto

en la práctica constructiva como en el marco teórico de la universidad, más centrado en tecnologías

contemporáneas e innovadoras. Los avances del software computacional como son los modelos macro/micro

de elementos finitos nos permiten realizar un análisis extremadamente complejo de estructuras de

mampostería, pero paradójicamente, al mismo tiempo, se distancian de las limitaciones y la forma en que los

antiguos concibieron y entendieron la arquitectura. Los maestros canteros fueron capaces de construir

perfectamente sin la ayuda de tales pruebas precisas sobre los materiales. Por lo tanto, la mentalidad que hay

que adoptar a la hora de abordar la enseñanza del comportamiento de las estructuras de mampostería es

aquella en la que se estimule al alumnado a apropiarse del conocimiento no solo de la geometría, sino también

y principalmente de las fases del proceso constructivo y de las técnicas acordes al período histórico. Solo una

vez elaboradas ciertas hipótesis sobre ellas, se deberá comenzar con el cálculo gráfico-numérico. El objetivo

del presente trabajo es exponer una metodología de enseñanza basada en programas de optimización y

ejemplificada con el estudio de un caso concreto: el análisis de las arquerías de la Mezquita de Córdoba y de

los posibles sistemas de contrarresto provisionales de empujes mediante tirantes y apeos, buscando la

rentabilidad material de los mismos. Se plantea un recorrido progresivo, con un gradiente de conocimiento, a

través de un estudio gráfico-numérico que engloba cuatro programas de diferente complejidad: Geogebra,

Autocad + Excel, Maple y Sap2000, partiendo siempre de una hipótesis constructiva razonada. De esta manera,

se resuelve el mismo problema de maneras diferentes para entender la estática gráfica desde varias

perspectivas y ver cómo agilizar y “sistematizar” el cálculo de este tipo de estructuras mediante modelos

elaborados con software de optimización matemática y programación simbólica, aprendiendo a la vez, cuáles

son sus limitaciones y dificultades.

Palabras clave: Educación universitaria de posgrado, aprendizaje autónomo, proceso constructivo, arquerías

Mezquita de Córdoba, estática gráfica, optimización matemática.

ABSTRACT

The mechanics of masonry structures have been for a long time pushed aside in university teaching during the

bachelor degree of architecture in comparison with other fields of knowledge, such as reinforced concrete, steel

and wood. An important part of our building heritage is raised using techniques once widely spread but now

forgotten in the construction practice as well as in the theoretical university framework, more focused on

contemporary and innovative technologies. Developments regarding computational software like FEM

macro/micro modelling and discrete element methods allow us nowadays to carry out extremely complex

analysis of accomplished masonry structures. Paradoxically, at the same time, this distances itself from the

limitations and the way ancients conceived and understood architecture. Master bricklayers and stonemasons

were able to build wonderfully without the help of such precise tests on the materials. Therefore, the mind-set

when tackling the teaching of masonry structures should be that one where it is forced to the student body to

take ownership of the knowledge of the geometry, constructive techniques and processes according to the

precise historic period, keeping the tradition alive.







| 82 |

The purpose of this work is to present a teaching methodology mainly based on optimization programs for

masonry structures. It is illustrated with the analysis of the construction process of the colonnaded portico with

double arches of the Great Mosque of Cordoba. The requirement of hypothetical auxiliary resources, such as

wood props for the fixation of the capitals and tightening structures will also be considered. This methodology

should be understood as a progressive path with a knowledge gradient through a graphical-numerical study

that involves the use of four programs: Geogebra, Autocad + Excel, Maple and Sap2000. In this way, the same

problem of the thrust line falling within the boundaries of the archery is solved in various ways to understand

graphic statics from different perspectives. Moreover, creating a personal optimization model sheet will be taught

as a way of accelerating and “systematizing” the calculation. The study will be followed by more complex

analysis using symbolic calculation programs. As a result of the learning process described, the limitation and

difficulties of each way of approaching the stability problem of the archery will be understood. Not only that, but

also students will take advantage of the freedom offered when proceeding to the limit analysis suited to their

own interests, always having graphical support.

Key words: Postgraduate university education, self-learning, constructive process, arches Mosque of Cordoba,

graphic statics, mathematical optimization

1. INTRODUCCIÓN

En el proceso constructivo de una fila de

arquerías de la mezquita de Córdoba, el

problema principal es mantener la estabilidad

de un sistema que solo acaba de equilibrarse

una vez que se ha completado todo su

desarrollo y construido todos los arcos, hasta

entrar en contacto con los muros perimetrales

y sus contrafuertes. El objetivo del presente

trabajo es el estudio de los sistemas de

contrarresto provisionales de empujes

mediante tirantes y apeos, buscando la

eficiencia de los mismos desde el punto de

vista de economía de material y de

reutilización. Para ello, se ha elaborado un

estudio gráfico-numérico que engloba los

siguientes programas: Geogebra,

Autocad+Excel, Maple y Sap2000, trazando

así un hilo conductor del trabajo de menor a

mayor complejidad para la resolución del

mismo problema y poder entender mejor las

limitaciones y capacidades de cada uno. [1]

La hipótesis que se maneja es la de un orden

de ejecución por tramos, principalmente, para

poder utilizar un apoyo común para las

cimbras de cada uno de los niveles, en el

primero, para un arco de herradura, y en el

segundo, para un arco de medio punto.La

misma estructura de puntales serviría para

apoyar las dos cimbras de un vano, logrando

así una simplificación de los medios auxiliares

y una reducción del plazo de ejecución. Se ha

planteado una posible estructura de madera

de dos pisos (figuras 1 y 2), con una parte

inferior arriostrada con diagonales. Debido a

que el arco superior es más grueso que el

inferior, los puntales suben a ambos lados del

primer arco sin interferir en su cimbra.

Exteriormente a los dos castilletes de madera,

se dispondrían los tirantes provisionales

necesarios para el contrarresto abrazando las

pilastras. El desmontaje de los mismos debería

ser independiente del de las cimbras, y como

mínimo, se considera que deberían atirantarse

dos vanos seguidos, el que se está

construyendo y el anterior, sobre el que aún no

se ha dispuesto el muro y la cubierta. Una

medida de seguridad (habría que determinar el

coste una vez estimadas las secciones) es la

de mantener el atirantado de todos los vanos

hasta contrarrestar los empujes con un

extremo de muro o contrafuerte pertenecientes

a los cerramientos de la mezquita, una vez

completada la arquería.







| 83 |

Fig. 1. Alzado con medios auxiliares de construcción propuestos. Elaboración propia.

Fig. 2. Sección con medios auxiliares de construcción propuestos. Elaboración propia







| 84 |

Además del apuntalamiento, soporte de

cimbras y otras plataformas, es posible que

existiera un andamiaje paralelo para los

propios constructores, probablemente móvil,

con sus correspondientes sistemas de

polipastos para la elevación de materiales. Se

considera que la elevación del muro de ladrillo

sobre el segundo nivel de arcos se realizaría de

seguido e iría avanzando progresivamente una

vez completado cada vano. De este modo, se

podría ir componiendo la cubierta de madera

apoyándose en dos arquerías, e ir protegiendo

los muros recién construidos del sol y de la

lluvia. Al mismo tiempo, la estructura de

cubierta colaboraría en el atado entre dos

arquerías paralelas y mejoraría su estabilidad

en el sentido transversal.

A partir de este análisis inicial personal de la

construcción de las arquerías, se enumeran

una serie de posibles pasos a seguir, que

ayudan a pensar dónde y cuándo podrán

surgir problemas y necesidades de

contrarresto. A la vez, esto ayuda a mejorar el

planteamiento de la cimbra y de los propios

tirantes y puntales, para que no entorpezcan la

construcción de los arcos colindantes.

Fases

1. Apuntalamiento de la siguiente columna

2. Colocación del castillete de la cimbra

inferior

3. Elevación de la pilastra sobre la columna

4. ¿Colocación del tirante? - Comprobar su

necesidad en el cálculo

5. ¿Colocación de plataformas laterales de

trabajo?

6. Construcción del arco de herradura

7. Levante del segundo piso del castillete y

de la cimbra superior

8. Colocación de las piezas de arranque del

arco de medio punto

9. ¿Apuntalamiento de la coronación de la

pilastra y a continuación retirada del

mismo apuntalamiento del tramo anterior?

Valorar, - Comprobar su necesidad en el

cálculo

10. Construcción del arco superior de medio

punto

11. Apuntalamiento de la siguiente columna

12. Colocación del castillete de la cimbra

inferior del siguiente vano

13. Elevación de la pilastra

14. ¿Colocación del tirante? - Comprobar su

necesidad en el cálculo

15. ¿Colocación de plataformas laterales de

trabajo?

16. Construcción del siguiente arco de

herradura

17. Avance en la construcción del muro sobre

el arco de medio punto del tramo anterior

18. Construcción de la cubierta sobre este

muro levantado.... y así, sucesivamente.

Se ha intentado reflejar las dos fases descritas

en los planos adjuntos a continuación (sin

sistemas de contrarresto) y en el apartado de

cálculo, incluyéndose las soluciones más

adecuadas consideradas y otras hipótesis

valoradas mediante croquis a mano.

2. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

2.1 GEOGEBRA

Para una primera toma de contacto con el

funcionamiento de una arquería y un trabajo

más intuitivo [2] y sencillo, se propone una

modelización de la geometría mediante el







| 85 |

programa Geogebra. Su facilidad de manejo

permite abordar el problema planteado desde

la experimentación [3] y la deducción de

resultados en base a la modificación de los

diferentes elementos (vectores, rayos polares y

geometría) que en él participan. A

continuación, se muestra la mecánica seguida

exclusivamente para el arco de herradura [4].

Se dibujan los polígonos de cada una de las

dovelas (figura 3), y demás piezas, y se sitúan

a continuación, su centro de gravedad y las

líneas de acción perpendiculares a la línea de

tierra. Los vectores del peso propio son valores

invariables de acuerdo con el planteamiento de

este ejercicio y su módulo se encuentra a una

escala de 1/10 (m), y poder tener una mejor

visualización del gráfico. Se dibujan los

vectores equipolentes del polígono de fuerzas

en un ligar cualquiera del plano. Una vez

colocados en vertical, se sitúa a su izquierda

un punto focal móvil desde el que van a salir

los rayos polares.Primero, se trazan las rectas

que pasan por ese punto focal y por el inicio y

fin de cada uno de los vectores. A

continuación, se dibujan las resultantes

inclinadas del sumatorio de fuerzas que actúan

en el arco. En la línea de acción de la dovela

D4, se coloca un “punto en objeto” que se

denomina DES, para establecer la restricción

de que este solo pueda desplazarse a lo largo

de esa línea. Por él se traza una “recta paralela”

al segundo de los rayos polares hasta que

intersecte con la línea de acción de la dovela

d5 y así sucesivamente, hasta lograr trazar la

línea de empujes completa, que se intentará

contener en el núcleo central de inercia. El

criterio vendrá explicado en apartados

posteriores.

Fig. 3. Gráfica de Geogebra con el proceso de trazado de la línea de empujes. Elaboración propia.







| 86 |

2.2 EXCEL + AUTOCAD

Partiendo de las conclusiones que se han

podido extraer del modelo de Geogebra sobre

la necesidad o no de sistemas de contrarresto

de empujes para los arcos, se busca afinar en

el trazado de la trayectoria sin renunciar a esa

ventaja del software de encontrar las infinitas

soluciones posibles, variando simplemente

dos parámetros: el punto de paso inicial de la

línea de empujes por la clave y la posición del

foco que determina los ángulos de las fuerzas.

Por ello, se ha planteado un modelo de trabajo

personal en Excel pensado para implementar

la herramienta SOLVER [5], ofreciéndose esta

como una alternativa a los programas

especializados de optimización, como puede

ser Maple, que requieren del aprendizaje de un

lenguaje específico. Los pasos seguidos se

especifican a continuación y su descripción

permite comprender el contenido organizado

de las tablas de resultados que se presentan

en los apartados siguientes. Se tomará como

modelo a explicar el caso del arco de

herradura.

2.2.1. Trazado en Autocad de una línea de

empujes cualquiera

A lo largo del trabajo pueden distinguir 3

apartados diferenciados: base, mínimo y

máximo. Este punto 1 se refiere a la línea de

empujes cualquiera [6] mostrada en la sección

de “base” (figuras 4 y 5).En la línea de acción

del peso propio de la clave, se escoge un

punto cualquiera como origen del trazado. Al

suponer la simetría total de la estructura de

arcos, tanto geométrica como de acciones

supuestas, se piensa llevar a cabo el estudio

exclusivamente de la mitad del de herradura.

Dándole un ángulo aleatorio a la fuerza que

sale de ese nudo, se realiza el esquema de

fuerzas actuantes en ese punto D4, de tal

forma que se obtenga el primer dibujo

mostrado en la página siguiente.

Cuando esa resultante inclinada intersecta con

la línea de acción vertical de la dovela siguiente

d5, se hace el equilibrio en el nudo, incluyendo

el nuevo peso propio y obteniéndose, por

tanto, una resultante de mayor pendiente. Se

repite este proceso hasta llegar al riñón del

arco, que se corresponde con la dovela d7.

Es importante entender que, de acuerdo con el

planteamiento de este ejercicio, no importa si

la línea de empujes primera que se traza se

sale de la geometría del arco. Lo que interesa

son las formulaciones matemáticas de las

ecuaciones de:

1. Las fuerzas inclinadas Fn y fn

(nomenclatura que varía según se trate de

una dovela de piedra o de ladrillo)

2. Las rectas verticales que pasan por los

centros de gravedad de cada dovela, es

decir, las líneas de acción de los pesos

propios.3. Los puntos de intersección

entre ambas, cuya unión dará lugar al

trazado de la línea de empujes.

2.2.2. Obtención de las ecuaciones base

PASO 1

Ecuación de la recta F4 (figura 6). Se busca la

formulación paramétrica de la recta F4 (a partir

de la continua), que pasa por un punto A

(0,1.988) y sirve de origen para el trazado de la

línea de empujes (en este caso, límite superior

del núcleo central de inercia).







| 87 |

Fig. 4. Equilibrios en los nudos para línea de empujes de partida (I)







| 88 |

Fig. 5. Equilibrios en los nudos para línea de empujes de partida (II)







| 89 |

Datos:

x1=0;

y1= 1.988;

vx= -3.942;

vy= 0.695

PASO 2

Ecuación de la recta c.d.g. d5 (línea de acción).

Se trata de una recta vertical que pasa por el

punto P (0, 0.255), por lo que:

x= 0.255;

x - 0.255= 0

(Ax + By + C = 0)

De donde:

A= 1;B= 0;C= - 0.255

PASO 3

Punto de intersección entre recta F4 y línea de

acción d5. Se trata de resolver un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas:

Ec1: 0.695x + 3.942y -7.837 = 0

Ec2: x - 0.255= 0

Punto intersección:

P (0.255, 1.943)

Fig. 6 Trazado de una línea de empujes cualquiera

Ecuación de la recta F4

x − x1

vx=

y − y1

vy

x − 0

−3.942=

y − 1.988

0.695

0.695x = -3.942 (y - 1.988)

0.695x = -3.942 y + 7.837

0.695x + 3.942y -7.837 = 0

(Ax + By + C = 0) De donde:

A= 0.695;B= 3.942;C= -7.837







| 90 |

Este proceso habría que repetirlo dovela por

dovela hasta llegar a trazar la línea de empujes

completa para poder continuar con el

problema. Tal y como se podrá observar más

adelante, con conocimientos matemáticos

básicos a partir de sencillos cortes de rectas en

el plano se da solución a un problema gráfico

bastante más complejo.

2.2.3. Construcción del modelo de

optimización en Excel

Una vez obtenida la formulación matemática

de las rectas y puntos de intersección, hay que

buscar una forma de establecer las relaciones

entre ellas, de determinar cuáles son los

parámetros fijos o condicionantes, cuáles son

las variables de decisión que nos permiten

obtener infinitos resultados y, por último, cuál

es la función objetivo, ese valor que se quiere

optimizar (maximizar o minimizar).

Por un lado, se crea una tabla de tres grandes

columnas en la que se definen las condiciones

geométricas (figura 7). La central se reserva

para las coordenadas X e Y de cada punto,

fruto de la intersección entre cada fuerza

inclinada y la línea de acción siguiente. A

ambos valores se les fijan una serie de

condicionantes (límites) de desplazamiento, es

decir, se delimita un rango de soluciones

posible que permita al programa obtener

exclusivamente las infinitas líneas de empujes

dentro del núcleo central de inercia. En X, solo

se permite un movimiento a lo largo de la línea

de acción, de ahí que la abscisa de los puntos

de intersección pueda tener un único valor. En

Y, sin embargo, el límite superior y el inferior

son distintos puesto que esa cota de altura

puede variar. ¿Cuánto? Siempre que entre

dentro del tercio central. Estos valores

máximos y mínimos se han extraído de la figura

3b y reciben el nombre de n1y n2.

Este problema podría desarrollarse de la

misma manera acotándolo a la anchura total

del arco para trabajar con la teoría del análisis

límite.

Fig. 7. Equilibrios en los nudos para línea de empuje mínimo (ya optimizado) (I)







| 91 |

Se proponen las siguientes relaciones entre las

ecuaciones matemáticas para cada una de las

subdivisiones de la tabla que tienen por

nombre 1, 2, 3, 4 en color granate. Para la

dovela D4:

INICIO:

Descomposición de la resultante

Celda de N= Peso propio de la dovela D4, con

signo negativo (Valor invariable)

Celda de F4 = F4v/ Seno (Radianes) (Ω)

Celda de F4h = F4 · Cos (Radianes) (Ω)

Celda de F4v = - N

Ángulo = 350˚

PASO 1:

Ecuación de la recta F4

A (valor que multiplica a la x) = F4v

B (valor que multiplica a la y) = - F4h

C (término independiente) = -(Coordenada x

del P. inicial D4) · F4v + (Coordenada y del P.

inicial D4) · F4h

PASO 2:

Ecuación de la recta c.d.g . d5 (línea de acción)

(Valores invariables)

A (valor que multiplica a la x) = 1

B (valor que multiplica a la y) = 0

C (término independiente) = - 0.255

PASO 3:

Punto de intersección d5 entre recta F4 y línea

de acción d5

x= 0.255 (Valor del límite de coordenadas en

x, que es invariable)

Fig. 8. Equilibrios en los nudos para línea de empuje mínimo (ya optimizado) (II)







| 92 |

y= - A (ec. recta F4) · x (punto intersección d5)

- C (ec. recta F4) / B (ec. recta F4)

Una vez obtenidos todos los datos de los

puntos intersección, estos se colocan en su

posición correspondiente de la columna

central de la tabla Condiciones Geométricas

igualando celdas.

2.2.4. Solver

Introducidos los datos, el problema se resuelve

ejecutando el comando Solver. Lo que se

quiere conocer es el dato del mínimo y máximo

empuje para determinar si es posible

contenerlo dentro de la geometría del machón

lateral y no tener la necesidad de disponer de

un contrarresto provisional durante el proceso

constructivo. Por ello, se establece como celda

objetivo la f7h, esto es, la componente del

empuje horizontal cuyo valor se piensa

optimizar hacia máximos o mínimos.Las

celdas variables son dos, tal y como se ha

comentado ya con anterioridad y

asemejándose al funcionamiento de la

propuesta en Geogebra: el ángulo Ω inicial,

que se había fijado en 350º, y la coordenada

en Y del punto inicial D4. Serán los únicos

valores que se podrán modificar en el punto de

partida a la hora de optimizar el problema

matemático.

El siguiente paso a seguir es la definición de

las restricciones a las que están sujetas todos

los puntos intersección, es decir, que no se

salgan nunca del núcleo central de inercia.

Para ello, se agregan condiciones exigidas

para cada coordenada en X e Y de los puntos

de la columna central de la tabla base de

Condiciones Geométricas. Se señala la

referencia de celda, se especifica el signo de la

inecuación <= o >=, y a continuación la

restricción, que son los límites inferior e inferior

de la intersección de cada línea de acción con

los arcos de circunferencia del núcleo central

de inercia. Por ello, habrá para cada punto, 4

condiciones que restrinjan su movimiento.

Solo con todo esto listo, es posible mandar

ejecutar la opción “Resolver”.

2.3 MAPLE

Una aportación notable del modelo en Maple

frente al trabajo previo realizado consiste en la

introducción del coeficiente de rozamiento [7]

necesario para la comprobación de la

estabilidad de la arquería de fábrica.A la hora

de obtener los resultados, se verificará que

aquellos que demanda la estructura para

permanecer en equilibrio según el programa,

entran dentro del margen que se puede

esperar encontrar en un sistema de este tipo

(siempre teniendo en cuenta que los arcos

siguen en pie hoy en día, por lo que cualquier

resultado teórico que contradiga esta

evidencia habrá de ser revisado).

Ante la imposibilidad de realizar ensayos

precisos sobre los materiales de las dovelas y

demás piezas que configuran la estructura

objeto de análisis, se toma un rango de datos

aceptable obtenido de la bibliografía clásica de

referencia sobre el tema.Citando a Huertas,

“Una última propiedad fundamental de las

piedras es su elevado coeficiente de

rozamiento. Esta característica, como se verá

más adelante, es fundamental para dar

cohesión a las fábricas. Este dato no se

encuentra fácilmente en los modernos

manuales de resistencia de materiales. Para

los puentes de fábrica se suele tomar en casi

todos los manuales μ = 0,5 (Φ = 27), valor que

incluye un cierto coeficiente de seguridad”.







| 93 |

Los valores que se pueden apreciar en la Tabla

1 de Coeficientes y ángulo de rozamiento entre

las piedras, van a ser tomados como límites

superiores a respetar a la hora de variar el

parámetro en Maple [8].

La restricción a definir, por tanto, será la

siguiente:

rstRoz:=rozamiento(miModelo,Pi/x)

donde Pi/x tendrá que tomar un valor siempre

inferior a 39˚. Una vez acotado dicho máximo,

solo queda comenzar a ejecutar el algoritmo

de programación lineal que resuelve el

problema para la obtención del mínimo

esfuerzo necesario (función objetivo) a

introducir en la estructura para lograr la

estabilidad del conjunto, de acuerdo con el

método Simplex del BBMI.

En el apartado de la introducción se definió de

acuerdo con un criterio de construcción previo

al cálculo, la necesidad de apear los pilares. En

el caso de la mezquita, debido a los entrantes

cuadrangulares en las cuatro esquinas de los

en los cimacios, se ha considerado acertado

suponer que los puntales podrían apoyar en

dichos rincones. Ahora bien, se trata, como

bien se acaba de describir, de una decisión no

fundamentada en resultados de cálculo y no

abordada en los estudios parciales de estática

gráfica llevados a cabo con Excel, por lo que

se cree que es un buen momento para valorar

cómo varía el comportamiento global de la

estructura en caso de prescindir de ellos [8].

Fuente Piedra Φo μ(=tanΦ)

Rondelet piedra caliza grano fino 30 0.58

Boistard piedra caliza sup. picada 38 0.78

Regnier madera sobre piedra 30 0.58

Perronet piedra (sin especificar) 39 0.81

Rennie granito 33 0.65

Tabla 1. Coeficientes y ángulo de rozamiento entre las piedras

CASO ESTUDIO A:

Con cimacios apeados, calcular el empuje

mínimo

Caso A1:

El método plástico establece, a través de sus

teoremas (cinemático y estático) que una línea

adecuada de empujes que equilibre la carga

(que en este caso es exclusivamente el peso

propio de los elementos) y esté contenida

dentro de la fábrica garantiza la estabilidad de

la arquería para dichas acciones actuantes.

Por ello, bajo este criterio de coeficientes de

seguridad geométricos de 1 en soportes y

arcos, se intenta conocer cuál es el ángulo de







| 94 |

Fig. 9. CASO A1. Trayectoria de cargas para

CSG= 1, Ángulo de rozamiento: Pi/9.95 (Fx=0)

rozamiento mínimo necesario para lograr la

estabilidad del conjunto. Se parte del límite

inferior de 30o, es decir Pi/6 y viendo que existe

una solución factible al problema, se intenta

optimizar dicho ángulo hacia mínimos,

obteniendo un valor límite de Pi/9.95 = 18.09˚

= 0.315 rad.Se trata de un valor muy bajo que

casi con total seguridad pueden

proporcionarlo los propios lechos de la

estructura con un acabado superficial con

gradina.

Nota 1: Si se observan comparativamente las

líneas de empujes fruto de la variación del

coeficiente de rozamiento en las juntas, se

observa que, en el segundo caso, a pesar de

que el coeficiente de seguridad geométrico

impuesto sea de 1, la trayectoria no es

tangente al intradós y al extradós. ¿Por qué

motivo? Porque no es posible encontrar una

línea de empujes que se ajuste a dicho CSG

sin provocar antes la rotura de los otros arcos

o machones implicados.

Nota 2: Tampoco es posible encontrar un

mecanismo de colapso. ¿Por qué? La

estructura para un CSG de 1 es estable por sí

misma hasta un valor de Pi/9.95 para el

rozamiento (figura 9).

Caso A2:

Como en el cálculo manual se había adoptado

la hipótesis de ceñir la trayectoria de cargas al

núcleo central de inercia (suponiendo que las

posibilidades de trabajo a tracción de la fábrica

son despreciables), por tratarse de una

solución más conservadora que trabajar con

un análisis plástico puro o análisis límite en el

que la resistencia a compresión de la fábrica se

considera infinita, se retoma esta opción en

Maple para comparar los resultados de la

trayectoria de empujes con el cálculo manual.

Por ello, bajo este criterio de CSG de 1 en

soportes (resultante de acciones dentro del

espesor del machón) y 3 en arcos, se intenta

conocer cuál es el ángulo de rozamiento

mínimo necesario para lograr la estabilidad del

conjunto.

Se aprecia que, al aumentar las exigencias de

seguridad geométrica del arco, aumentan

también las exigencias del coeficiente de

rozamiento en la junta. No obstante, resulta

tranquilizador observar que tanto los CSG

adoptados como los ángulos entran dentro de

los estándares de este tipo de construcciones.

Al igual que en el caso A1, se parte del límite

inferior de 30˚, es decir Pi/6, y se constata que

para este valor la estructura es estable por sí

misma sin necesidad de atirantado, es decir

Fx=0 (figura 10). Sin embargo, a partir de ese

momento y si se continúa decreciendo el

denominador hasta llegar al límite de Pi/6.6, el







| 95 |

Fig. 10. CASO A2. Trayectoria de cargas para

CSG= 3-arcos, Ángulo de rozamiento: Pi/6.6 (Fx=5.4614)

problema sigue teniendo solución, pero Fx es

distinto de 0. Podría decirse que se genera un

pequeño margen entre el valor de rozamiento

para el que la arquería es autoestable y para

aquel que demanda la presencia de una fuerza

horizontal en la tercera piedra del machón de

un valor de 5.41 KN.

No obstante, algunas razones para emplear el

tirante sería:

1) El rozamiento que se puede esperar

obtener en las juntas podría presentar una

gran dispersión de valores dependiendo de

la perfección de la talla de las piedras y ser

ocasionalmente muy inferior al requerido.

Tal y como se ha podido constatar en el

taller de cantería, cualquier irregularidad

debida a un lecho con cierta concavidad o

convexidad que provoca que dos dovelas

colindantes sean “tangentes”

exclusivamente en unos puntos, afecta

directamente al planteamiento.

2) Si se considera la posibilidad mencionada

previamente de emplear el arco como

apoyo total o parcial del andamiaje,

necesariamente habrá que contar con algún

coeficiente de seguridad adicional mayor

que 1 para absorber las cargas generadas

con este uso, con lo que tiene sentido

emplear un contrarresto.

3) Aunque se prefiera personalmente el

enfoque del análisis límite planteado en

clase y en la bibliografía de referencia

(Huertas y Heyman) que utiliza el coeficiente

de seguridad geométrico de 1, existen

autores que recomiendan por varias

razones mantener la trayectoria de cargas

dentro del núcleo central de inercia

(coeficiente de seguridad geométrico de 3

para arcos), como Valentín Quintas, tal y

como lo expone en su publicación en

Informes de la Construcción “Sobre los

teoremas de rotura, sus corolarios y su

aplicación al cálculo de arcos de fábrica”.

Para valores inferiores a un ángulo de

rozamiento de 30˚ la estructura presenta

mecanismos de rotura “clásicos” por tracción

en la junta de los machones (figura 11) al salir

la trayectoria de empujes de sus límites

geométricos.Se puede apreciar que, a raíz de

formarse la correspondiente rótula en el

machón, el segmento superior de este se

desplaza hacia el exterior y ocasiona que el

arco del segundo nivel se abra formando el

mecanismo de rotura típico para los de medio

punto. El arco de herradura cuya construcción

acaba de finalizar se ve empujado hacia la

izquierda (por su derecha) y encuentra la

resistencia opuesta por el puntal y tirante en el

otro arranque, experimentando una rotura más

cercana a la típica en arcos apuntados.







| 96 |

Fig. 10. CASO A2. Mecanismo de rotura para

CSG= 3-arcos, Ángulo de rozamiento: Pi/6.6 (Fx=0)

Con la trayectoria de cargas representada por

el programa, aparentemente solo se formaría

inicialmente una rótula en la junta mencionada,

así que se hace la suposición de que a partir

de una estimación de giro que pueda

producirse en dicho punto e implementando

condiciones de contacto en el resto de lechos

es como el programa determina la sucesión de

mecanismos de colapso mencionados.

CASO ESTUDIO B:

Con cimacios sin apear, calcular el empuje

mínimo.

Bajo el criterio de coeficientes de seguridad

geométricos de 1 en soportes y arcos, se

intenta conocer cuál es coeficiente de

rozamiento mínimo necesario para lograr la

estabilidad del conjunto, llegándose a

determinar que es Pi/4.3.

Como se puede apreciar, se trata de un ángulo

elevado de 41.8˚, ligeramente por encima del

límite superior del rango que se ha supuesto

razonable al inicio de este apartado. Aunque

quizás pueda alcanzarse con un tratamiento

cuidadoso de los lechos en taller de cantería

no parece particularmente prudente ni acorde

con la filosofía de la construcción de la

mezquita, donde primaban valores como la

economía de medios y rapidez de

construcción, centrando la atención en todo

momento al detalle en los acabados visibles,

no en la superficie interior de las juntas. Esto

lleva a validar la hipótesis inicial adoptada de

un modo intuitivo de que en algún momento de

la construcción (como he planteado en el

apartado 1) sería de recibo disponer de algún

tipo de apuntalamiento provisional en los

cimacios. Visto que el ángulo de rozamiento

necesario resulta irreal de entrada, no merece

la pena ajustar para esta hipótesis el

dimensionado de un posible tirante.

Fig. 11. CASO B. Trayectoria de empujes para CSG=1,

Ángulo de rozamiento: Pi/4.3







| 97 |

2.4 SAP2000

Una limitación que tiene Maple es la dificultad

para el cálculo de las tensiones en los lechos,

para lo cual es necesario extraer los valores de

axiles y cortantes y continuar por otras vías. Se

propone un modelo de elementos finitos en

SAP2000, donde los parámetros más

relevantes a definir de los materiales son el

módulo de elasticidad y la resistencia a

compresión. Debido a los límites de extensión

del trabajo y teniendo en cuenta que era la

primera vez que se funcionaba con el

programa, no se vio posible precisar mucho en

el modelado, y se procedió a simplificarlo. En

la imagen siguiente se puede apreciar el

resultado del cálculo del primero modelado y

todos los errores cometidos que se han ido

identificando se describen a continuación.

Esto significa que en un primer momento no se

han desarrollado micromodelos que recreen

con detalle las diferentes propiedades de las

juntas de mortero y de las piezas de fábrica y

que el modelo de homogeneización de los

materiales tampoco entra en un gran

refinamiento. Se emplea la formulación lineal-

elástica del método de los elementos finitos

que lleva implementado SAP2000 por defecto

sobre el conjunto de piezas de fábrica y juntas

de mortero consideradas como único material

homogéneo e isótropo. Sí se diferencia entre

fábrica de ladrillo y piedra, y se intenta, en la

medida de lo posible, acercarse al

comportamiento de las juntas diseñando el

mallado de los elementos finitos de tal manera

que los nodos de estos coincidan alineados

sobre ellas, discretizando cada dovela en 4

unidades.

Se analiza la estructura cuando está construido

el arco de herradura del segundo vano

(sometido únicamente a su propio peso) y los

dos contiguos (sometidos a las cargas del

muro y de la cubierta), empleando los límites

inferiores en los módulos de elasticidad de los

materiales (figura 12).

Debido a la forma de trabajo del programa, si

bien se pueden definir elementos tipo Frame o

Barra con un comportamiento no lineal, es

decir, entre otras propiedades, que trabajen

solo a tracción o a compresión, este no permite

proceder igual con elementos tipo Shell o Área,

que son los que constituyen el modelo de

fábrica de las arquerías de la Mezquita. Debido

a esto, SAP2000 trabaja sobre hipótesis

lineales y supone que los citados elementos

funcionan tanto a tracción como a compresión,

por lo que sobre todo en el tramo central del

arco, aparecen trabajando de forma similar a

una viga, con esfuerzos de flexión en el lecho

(con una parte comprimida y otra traccionada).

Aunque adoptando una hipótesis elasto-

plástica como se ha venido haciendo en

Fig. 12. Diagrama de tensiones primero-erróneo

5C

Tensiones según criterio de rotura de Von Mises

A

Punto Tensión (N/mm2)

A 0.7565

B 0.5716

C 0.2184

D 0.1093

E 0.5471

B

C

D

E

En el diagrama de tensiones se puede

apreciar cómo la estructura funciona

perfectamente como un continuo, los arcos

trabajan de forma similares a las vigas, no

refle

j

ándose la forma de trabajo de las

arquerías de fábrica.

Las tensiones, a pesar de los

errores del modelo, sí que

se puede apreciar que son

pequeñas.

A la hora de continuar corrigiendo el modelo

y representando el material de las juntas, se

va a centrar el ejercicio en las dovelas de un

único arco: el de medio punto.







| 98 |

apartados anteriores se suponer a la fábrica

cierta resistencia a tracción y comprobar que

esta no se supera en el modelo, al no encajar

bien las hipótesis de partida con las

suposiciones del análisis límite que sí se han

venido usando para el cálculo manual (incluso

cuando suponemos una distribución lineal de

tensiones en los lechos y comprobamos

dichas tensiones sobre hipótesis elástica con

valores de resistencia tracción-compresión

distintos de 0- infinito la trayectoria de cargas

la hemos trazado previamente suponiendo que

los materiales trabajan predominantemente a

compresión), el análisis que arroja el programa

no resulta lo bastante representativo de la

forma de trabajo real de la estructura.

Además, el programa no permite reflejar bien,

tal como lo se ha modelado, los efectos de las

juntas entre piezas, sencillamente supone todo

como un continuo, impone la compatibilidad

de deformaciones en los nodos que sirven de

unión entre elementos y resuelve el problema

en régimen elástico (figura 13). Hay que

corregir el modelo y modelizar de alguna

manera la junta para extraer conclusiones

fiables [9].

A grandes rasgos, el método de elementos

finitos relaciona las fuerzas aplicadas y para las

condiciones de contorno, impone las

condiciones de compatibilidad en los nodos

intermedios del modelo, y lo que ocurre dentro

de los elementos lo saca mediante funciones

de interpolación.

3. RESULTADOS

3.1 GEOGEBRA

Se termina de trazar la línea de empujes hasta

la cota de la cara superior del cimacio, y

mediante el desplazamiento del punto focal se

llega a la situación límite que se presenta en la

imagen. Se puede determinar que, a priori, es

posible contener dentro de la geometría del

arco una trayectoria de mínimo empuje (con un

coeficiente de seguridad igual o mayor que 3

para el arco), por lo que el arco sería

autoestable y no necesitaría de elementos

auxiliares de contrarresto durante el montaje.

Sí que es verdad que la trayectoria de cargas

llega bastante excéntrica al pilar, por lo que

afirmar esto no resulta del todo del lado de la

seguridad. Habría que afinar más en el cálculo

y considerar el Geogebra como una

herramienta orientativa, ya que cualquier

mínimo deslizamiento de los puntos FOCO y

DES (inicio de la trayectoria de empujes en el

eje central de la clave del arco) tiene

consecuencias gráficas sustanciales. Por ello,

se continua con un estudio más detallado.

Fig. 13. Deformaciones de un elemento finito







| 99 |

Fig. 14. Línea de empujes ajustada al núcleo central de inercia

BREVE CONCLUSIÓN

Se termina de trazar la línea de empujes hasta la cota de la cara superior del cimacio,

y mediante el desplazamiento punto focal se llega a la situación límite que se presenta

en la imagen. Se puede determinar que, a priori, es posible contener dentro de la

geometría del arco una trayectoria de mínimo empuje (con un coefici ent e de seguridad

igual o mayor que 3 para el arco), por lo que el arco sería autoestable y no necesitaría

de elementos auxiliares de contrarresto durante el montaje. Sí que es verdad que la

trayectoria de cargas llega bastante excéntrica al pilar, por lo que afirm a r esto no resulta

del todo del lado de la seguridad. Habría que afina r más en el cálculo y considerar el

Geogebra como una herramienta orientativa, ya que cualquier mínimo deslizamiento de

los puntos FOCO y DES (inicio de la trayectoria de empujes en el eje central de la clave

del arco) tiene consecuencias gráfica s sustanciales. Por ello, se continúa con un estudio

más detallado en el apartado 03.

A1

Trayectoria de mínimo empuje para el arco de herradura

3.2. EXCEL

Para el esquema de cargas aplicado se puede

trazar una trayectoria de mínimo empuje (Fh =

4.427 KN) que quepa dentro de la geometría

del machón, por lo que en principio, el arco de

herradura es estable por sí mismo y no

necesita de elementos auxiliares de

contrarresto de empujes durante el montaje (la

carga llega al cimacio bastante excéntrica

como en la propuesta de Geogebra).

Sin embargo, también existe la posibilidad de

considerar que una vez construido el arco, este

pudiera servir para el apoyo total o parcial de

plataformas de trabajo que facilitaran la

construcción del superior de medio punto con

el empleo del mínimo andamiaje posible. Una

hipótesis puede apreciarse en el croquis

adjunto. Aunque se es consciente de que

diferirá enormemente de la solución adoptada

en la época, se ha considerado positivo

ejemplificar el concepto para la justificación de

la solución adoptada. En un caso como este,

en el que se incrementan las cargas actuantes

en el sistema, podría ocurrir que la línea de

empujes se saliera de la geometría del

machón, como sucede en el dibujo de la

máxima fuerza horizontal, Fhmáx= 11.27 KN,

por lo que se estima oportuno la colocación de

un tirante en el punto donde la línea de







| 100 |

empujes se sale fuera (o en un punto superior)

para verticalizar la carga. Se considera también

oportuno el apuntalamiento del pilar a la altura

del cimacio (aprovechando los entrantes de las

esquinas) para evitar inestabilidades durante la

puesta en obra de las piezas que constituyen

el machón y el arco de herradura (figura 15).

Es imposible determinar a ciencia cierta no

solo qué tipo de tirantes o puntales se

disponían en obra en la época, ya que una vez

aventurada una hipótesis sobre el particular,

tampoco es sencillo establecer sus

dimensiones exactas. Esto es debido a que,

aunque es posible calcular el coeficiente de

seguridad para un conjunto de cargas dadas

en el arco, pequeñas variaciones de

geometría, materiales, etc. podrían alterar

dicho valor de forma significativa, a pesar de

que la construcción siguiera siendo estable.

Así, solo se puede afirmar la necesidad de

disponer o no tirantes cuando no se logra

encajar la trayectoria de cargas a partir del

arranque arco dentro de los machones.

Además, la cuantía del tirante puede variar

significativamente según el coeficiente de

seguridad con el que se quiere que este

trabaje. En la actualidad, funcionando con

valores entre 1.5 y 3 para los medios de

ejecución auxiliares, estadísticamente se ha

logrado reducir el número de accidentes

laborales en obra a un margen que nuestra

sociedad considera tolerable. Resulta difícil

aventurar con qué margen les parecía

razonable trabajar en el periodo de ejecución

de la mezquita. Por tanto, lo que se hará en

este ejercicio es ofrecer el rango, desde el

valor mínimo indispensable para garantizar la

estabilidad hasta aquel que suponga que se

aprovechan al máximo las posibilidades de la

estructura, empleando el mismo coeficiente de

seguridad que el arco [10].

Cálculo del tirante:

Caso 1

Se predimensiona la estructura de

contrarresto auxiliar empleando el coeficiente

de seguridad 1 (que ya lleva implícito un

coeficiente de seguridad 3 del arco por haber

calculado la línea de empujes dentro del

núcleo central de inercia) para una clase de

madera C24, correspondiente al pino común

por desconocimiento de aquella empleada en

la época y una fuerza horizontal Fh de 9.172

KN, de acuerdo con la trayectoria descrita en

el apartado del mínimo empuje.

Área = N/σ

Área = 9.172KN/ 2.4KN/cm2

= 3.822 cm2

Sección cuadrada de √ 3.822 cm2

= 1.95 cm

de lado

Caso 2

Se predimensiona la estructura de contrarresto

auxiliar empleando el mismo coeficiente de

Fig. 15. Línea de empujes máxima







| 101 |

seguridad que el arco cuando solo está

sometido a su peso propio, esto es:

γ= ereal/ elímite = 0.5416m/ 0.1115m= 4.86

Área = N/σ

Área = (9.172KN x 4.86)/ 2.4KN/cm2

= 18.57

cm2

Sección cuadrada de √ 18.57cm2

= 4.31 cm

de lado

Como se puede ver en ambos casos, las

escuadrías de los tirantes son bastante

reducidas, por lo que la cantidad de madera a

emplear para lograr la estabilidad del arco con

este medio auxiliar de contrarresto de empujes

no supondría un gasto sustancial, más si

diseñaron algún sistema de uniones que

permitía la reutilización de los mismos.

3.2. MAPLE

CASOS A1 y A2:

Hay que tener en cuenta que fuerzas que

colaboran en el equilibrio de forma importante

como el posible esfuerzo que desarrolle el

tirante, o los apeos, o el rozamiento entre las

piezas, se consideran por lo general a lo largo

de este trabajo como fuerzas pasivas, es decir,

que solo actúan en la medida de lo necesario

para restaurar el equilibrio cuando se

producen los movimientos adecuados en las

estructuras que pueden movilizarlas.

Respecto a esto en particular, se puede

comentar una pequeña diferencia del

planteamiento entre el análisis realizado en

Maple y aquellos llevados a cabo previamente

mediante la estática gráfica en Autocad y

Excel.En Maple, se realiza el análisis límite de

forma que se encuentre aquel esfuerzo

máximo que los elementos auxiliares que se

quieren dimensionar podrían llegar a ejercer

ocasionando la rotura de la estructura, es

decir, se optimiza con el algoritmo BBMI

(método simplex) el empuje que podría

provocar el tirante. Aunque como se ha

mencionado, estos elementos desarrollan

esfuerzos pasivos, aunque este planteamiento

lleve a resultados perfectamente aplicables

(para dimensionado de medios auxiliares)

resulta algo contraintuitivo: el mecanismo de

rotura que se produciría así y que se puede

apreciar en la figura resulta muy poco habitual

en arcos de herradura o de medio punto,

siendo más común en arcos apuntados donde

los apoyos están sobrecoaccionados y no

existe peso suficiente sobre la clave. Sin

embargo, es el que parece más probable al

cambiar el comportamiento resistente con la

inclusión de tirantes y/o apeos.

En el análisis previo, se lleva a cabo el análisis

límite centrado en la estabilidad de la

estructura y a partir del rango de empujes

obtenido y las cargas necesarias para

equilibrarlo se dimensionaban los elementos

auxiliares, es decir, se optimizaba hacia

máximos el empuje que puede provocar el

arco para el sistema de cargas considerado.

Este enfoque puede resultar un poco más

farragoso pero, a cambio, encaja mejor a priori

con una idea intuitiva del problema [11]. Así, el

mecanismo de rotura que se produce resulta el

más habitual para arcos de medio punto o

herradura cuando se forman rótulas

permitiendo la caída de la clave a favor de la

gravedad.

En cualquier caso, los dos enfoques llevan a

similares resultados. El empuje mínimo

obtenido con el cálculo de Autocad y Excel

para el arco de herradura es de 4.427KN y en

Maple, considerando el rozamiento y

analizando la estructura en su globalidad, de

5.41KN. Se podría concluir que no es una

diferencia significativa y que esta puede venir

derivada de la simetría ideal de cargas que se

propuso en el ejercicio del apartado anterior.







| 102 |

CASO B:

Para poder predimensionar el apeo resulta

necesario conocer los esfuerzos en los

cimacios para CSG= 1 para Pi/9.95 (figura 16).

Para obtener los valores numéricos de las

fuerzas en los nodos y una gráfica de la pieza

estudio, es necesario escribir lo siguiente en

Maple:

nd:=75:miModelo[2][nd];

dibujoD(miModelo,dov=nd..nd);

dibujoEsf(miModelo,nd);S; (así se obtienen

los módulos)

Se predimensiona la estructura (cálculo a

pandeo) empleando CSG =1e intentando

conseguir una sección cuadrada. La longitud

estimada del apeo es de 3.5m,

considerándose el caso más desfavorable de

no contar con elementos de rigidización

intermedios que acortaran la longitud de

pandeo. Para el cálculo de la compresión, la

resultante del empuje mínimo de 26.98 KN se

divide entre 2, por suponerse dos puntales a

45˚ en planta.

Lado: 80

Inercia: 3413333.3

Área: 6400

Radio de giro: 23.0940

Longitud: 3500

Esbeltez. Mecánica: 151.554

X: 0.14

fc,0,k: 22

Compresión: 13490

σc,0,d: 2.107

Comprobación: 0.68

(medidas en mm y N)

Se descompone la fuerza F=-29.472 KN en los

ejes de acuerdo con la inclinación que se

quiere dar al apeo. Se “desprecia” la

componente horizontal que serviría para

dimensionar la resistencia cortante del apeo y

se tiene en cuenta para el predimensionado

únicamente el axil, de 26.98 KN.

3.3. SAP2000

Para conseguir que el modelo de cálculo por

método de los elementos finitos refleje mejor la

realidad, se puede proceder de varias maneras

en SAP2000:

1. Definiendo los elementos con un

comportamiento no lineal (por capas)

2. Definiendo las juntas entre elementos con

un comportamiento no lineal (resistencia

muy elevada a compresión y nula a

tracción).

Debido a que resultaba más fácil de modelar y

para intentar incorporar la corrección

comentada en clase, se ha optado por la

segunda. No obstante, debido a lo trabajoso

de esta opción y a la falta de tiempo, se ha

llevado a cabo solo en las dovelas del arco de

medio punto. Se ha entendido este ejercicio

como una introducción al trabajo de los

elementos finitos que espero que en un futuro

próximo me pueda servir para abordar

problemas más complejos en el trabajo de fin

de máster.

Así, las diferentes dovelas se modelan

internamente con elementos tipo Shell lineales

como los que se han venido utilizando, pero las

juntas entre ellas se modelan mediante

Fig. 16. CASO B1. Esfuerzos en cimacio izquierdo







| 103 |

elementos tipo Gap (figura 17). Estos últimos

son sencillamente del tipo “spring” (muelle)

pero se comportan de forma no lineal porque

solo trabajan a compresión. Aunque no tiene

mayor relevancia para el trabajo, señalar que

su nombre procede del hecho de que se

puede definir un hueco entre los nodos que

une el Gap y que este solo empieza a trabajar

cuando la distancia entre los dos puntos es

menor al hueco definido inicialmente.

Generalmente y por lo que he podido observar

en internet sobre el tema, esta opción se utiliza

para simular la interacción entre estructuras y

el terreno o cierto tipo de elementos de

amortiguación o relleno dispuestos en juntas

entre edificios en caso de sismo.

El comportamiento del Gap en los demás

aspectos es idéntico al de un muelle, siendo

dada la relación entre la tensión aplicada y la

deformación que experimenta el elemento

según cada uno de sus grados de libertad en

ejes locales por una constante de rigidez. LEY

DE HOOKE: la relación entre la fuerza y

deformación es lineal:

Ut tensio sic vis F= -k·δ

donde k es la constante de rigidez del muelle,

δ la deformación y F la fuerza aplicada.

Cuando se define el comportamiento de los

Gap estableciendo como fija su longitud en los

tres grados de libertad correspondientes a su

desplazamiento en los ejes locales (U1, U2,

U3) y movimiento libre en los grados de

libertad correspondientes a su rotación

entorno a estos ejes, funcionan simplemente

como un artificio para sacar, en la medida de

lo posible, los esfuerzos de tracción del

modelo. Aunque internamente los elementos

tipo Shell siguen modelados de forma elástica

y pueden presentar alguna tracción, al no

poder transmitirse estas por las juntas, su valor

es bajo y el comportamiento global del modelo

Fig. 17. Dovelas arco de medio punto con Gap en las juntas

1

21

21

1

21

1

Sección A

Sección B

Sección C

SECCIÓN A

Nodo Tensión (N/mm2)

1 -8.919

2 -9.159

3 -11.306

4 -13.666

5 -16.117

6 -18.610

7 -21.125

8 -23.668

9 -26.246

10 -28.870

11 -31.557

12 -34.320

13 -37.181

14 -40.167

15 -43.296

16 -46.635

17 -50.206

18 -54.112

19 -59.025

20 -63.381

21 -93.932

Valores en

N y mm

SECCIÓN B


1 -17.269

2 -19.118

3 -20.784

4 -21.207

5 -21.562

6 -22.465

7 -23.446

8 -24.451

9 -25.418

10 -26.304

11 -27.064

12 -27.662

13 -28.065

14 -28.149

15 -28.067

16 -27.746

17 -26.889

18 -25.905

19 -24.850

20 -23.615

21 -28.701

SECCIÓN C


1 -37.316

2 -33.643

3 -30.963

4 -28.585

5 -26.593

6 -25.052

7 -23.452

8 -21.975

9 -20.491

10 -19.059

11 -17.499

12 -15.875

13 -14.176

14 -12.281

15 -10.452

16 -8.385

17 -6.133

18 -3.665

19 -0.941

20 0.535

21 0.624

Diagrama de tensiones máximas según criterio de Mohr-Coulomb (Resultant Forces - Fmin)

5D







| 104 |

Fig. 18. Orientación de los ejes locales y gaps

ELEMENTO GAP

Orientación de

los ejes locales

Dovela ladrillo

Dovela piedra

Para evitar ese diagrama sinuoso en los

lechos de las dovelas, ha incorporado un

elemento gap en los nodos intermedios. Se

podría seguir afina ndo el modelo ajustando

el valor del parámetro “ k” , pero se considera

que resulta complejo y excede los objetivos

del trabajo de la asignatura.

Diagrama de tensiones del arco completo (Resultant Forces - Fmin)

Modific

a

ci ones de los Ga p en Li nk Supor t Pr operties (Sap2000)

Defin

i

ci ón de la geome t ría en Sap2000

se corresponde en gran medida con lo

esperado.

Otras mejoras que no se han mencionado pero

que sí que se han incorporado al modelo son

por ejemplo, la orientación de los ejes locales

(figura 18), buscando un paralelismo a las

directrices del perímetro de cada dovela para

facilitar la lectura de la U1 y U2. Además, cada

una de las dovelas se ha dividido en más

elementos finitos (en el primero eran

exclusivamente 4) para una mayor precisión de

los resultados. (El análisis se ha hecho en 2D)

Se podría afinar quizás más con las

características de los Gap hasta representar de

una manera muy realista las propiedades de la

junta de mortero y comprobar si el modelo va

bien con los valores de rozamiento que exigía

Maple. Sin embargo, se decide continuar en

este apartado con los datos obtenidos de los

diagramas de tensiones anteriores.

Se escoge un punto próximo al apoyo del arco

(figura 19). Se dibujan las posibles líneas de

resistencia intrínseca L.R.I., que representan lo

que aguanta el material según los parámetros

de cohesión y ángulo de rozamiento interno. Al

igual que pasaba con el módulo de elasticidad

E (para el Sap2000), el ángulo de rozamiento

entre piezas (para el Maple), determinar estos

parámetros a ciencia cierta es muy difícil, así

que habría que acotar razonablemente un

rango de valores.

En verde: Un material sin cohesión y con

ángulo de rozamiento interno de 53˚ resiste

este estado de tensiones.

En azul: Un material con cohesión = 8.79

KN/m2

aprox. =0.009 MPa y con ángulo de

rozamiento interno de 40˚ resiste este estado

de tensiones.

En rojo: Un material con cohesión =14.3

KN/m2

aprox. =0.014 MPa y con ángulo de

rozamiento interno de 30˚ resiste este estado

de tensiones.

Este círculo incluye varias combinaciones de

tensión equivalentes entre sí, a saber (figuras

20 y 21):

- En tensiones principales (las dos normales),

las citadas Smáx=-8.43 y Smín= -74.59

- Una tensión normal de -41.32 y una

tangencial de 33.2

- Una tensión normal de -22.88 y una

tangencial de 27.3, etc.

Choca un poco que sean equivalentes estados

de tensión como los aquí citados, en los que

los valores de tensión de un estado son

Fig. 19. Punto escogido para el dibujo de tensiones







| 105 |

Fig. 21. Círculo de Mohr - tensiones

menores que los del otro. Pero es que, a

menos tensión normal, menos resistencia a

tensión tangencial.

4. CONCLUSIONES

El proyecto docente planteado, basado en una

organización del conocimiento estructural

progresivo sobre un mismo ejercicio y en un

entendimiento de la realidad constructiva del

edificio (arquerías de la mezquita de Córdoba),

supone un cambio en la manera de abordar la

enseñanza de estas materias a escala

universitaria, donde a menudo no existe esa

transversalidad de disciplinas y se obvian

conceptos imprescindibles de la concepción

arquitectónica de los antiguos que dificultan la

posterior comprensión de los resultados. Esto

es, tiene implicaciones que trascienden el

mero ámbito del cálculo numérico.

Aunque el proyecto contempla el empleo de

software específico para el análisis de

estructuras, también se busca capacitar al

alumno para crear su propio modelo de

optimización matemática, mucho más sencilla,

a partir de hojas de cálculo Excel, favoreciendo

así el trabajo autónomo, y promoviendo la

búsqueda de planteamientos diferentes y

ampliables para la resolución del mismo

problema y extrapolables a otros casos.

Agradecimientos

A José Ignacio Hernando, Fernando

Magdalena y Joaquín Antuña, profesores de

las asignaturas de Estabilidad y Métodos de

Análisis I y II del master MUCTEH, por haber

ayudado en la elaboración del modelo de

Maple.

Fig. 20. Círculo de Mohr y líneas L.R.I







| 106 |

REFERENCIAS

[1] Carl E. Wieman, “Large-scale comparison

of science teaching methods sends clear

message”, PNAS –Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of

America, vol.111 nº 23, pp. 8319 - 8320, 2014

[2] G. Torregosa Gironés, “El desarrollo del

sentido geométrico como una relación entre la

visualización y el razonamiento configural”,

vol.70, pp.16-20, 2015

[3] L. Rubio, J. Prieto, J. Ortiz, “La matemática

en la simulación con Geogebra. Una

experiencia con el movimiento en caída libre”,

Revista Internacional de Investigación e

Innovación Educativa, nº 5, pp.93 - 94, 2016

[4] D. Mencías Carrizosa, “Verificación de la

estabilidad de estructuras de fábrica mediante

Geometría Dinámica”, Sociedad de la

Información nº 47, pp. 1-7, 2014

[5] N. Tripathi, N. Srivastava, “Optimization

problems solved by different platforms say

optimum tool box (Matlab) and Excel Solver”,

International Research Journal of Engineering

and Technology (IRJET), Volume: 04 Issue: 09,

pp. 1284 –1287, 2017

[6] S.Huerta, “Mecánica de las estructuras de

fábrica: el enfoque del equilibrio”, Informes de

la Construcción, Vol. 56, nº 496, pp. 74-88,

2005

[7] F. Magdalena Layos, “El problema del

rozamiento en el análisis de estructuras de

fábrica mediante modelos de sólidos rígidos”,

PhD Tesis. Dir. Huerta Fernández, Santiago y

Hernando García, José Ignacio, 2013

[8] S.Huerta, “Arcos, bóvedas, cúpulas.

Geometría en el cálculo tradicional de

estructuras de fábrica”, pp. 14-17, 75-77, 2004

[9] A.J. Mas-Guindal, “Mecánica de las

estructuras antiguas o cuando las estructuras

no se calculaban”, pp. 73-80, 2011.

[10] J. Heyman, “El esqueleto de piedra”, pp.

17-31, 1997.

[11] J. Antuña, “Creación de herramientas

interactivas para la enseñanza de estructuras

de edificación: Modelos virtuales de bóvedas

nervadas” Proyecto de innovación educativa

IE1415- 03015, financiado por la Universidad

Politécnica de Madrid, 2014-2015

Estudio y aplicación de diferentes metodologías de cálculo ...

Documents

Transcript of Estudio y aplicación de diferentes metodologías de cálculo ...