Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción...

Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción Trifásico.

Simulación en Régimen Dinámico

AUTOR: Jordi Vidal Bort

DIRECTOR: Luis Guasch Pesquer

Data: Junio / 2002.

Índice

- Página 3 -

Índice

1. Memoria.............................................................................................................. 8

1.1 Objeto del Proyecto........................................................................................ 8 1.2 Antecedentes ................................................................................................... 8 1.3 Solución Adoptada ......................................................................................... 9 1.4 Descripción General..................................................................................... 11 1.5 Planteamiento del Problema del Modelado Matemático ............................. 13 1.6 Aplicaciones.................................................................................................. 15 1.7 Documentos que Integran el Proyecto ....................................................... 16 1.8 Estructura y Planificación ........................................................................... 16

2. Introducción..................................................................................................... 21

2.1 Historia de la Máquina de Inducción Trifásica......................................... 21 2.2 Principio de Funcionamiento del Motor de Inducción............................. 29

3. Modelado Matemático........................................................................................... 42

3.1 La Máquina Eléctrica como Transductor................................................... 42 3.2 Estudio de la Formulación de la Máquina de Inducción Trifásica......... 43 3.3 Máquina de Inducción de Jaula Sencilla ................................................... 44 3.4 Planteamiento de la Transformada KU...................................................... 49 3.5 Ecuaciones Transformadas de Ku .............................................................. 51 3.6 Ecuaciones y Esquema de Régimen Permanente...................................... 56 3.7 Análisis de un convertidor electromecánico en régimen dinámico ................ 59 3.8 Solución de un sistema lineal de e.d.o. de coeficientes constantes ................ 59 3.9 Planteamiento de la Resolución Matemática .................................................. 60 3.10 Elección de una Referencia ............................................................................ 62 3.11 Algoritmo de Cálculo ..................................................................................... 65 3.12 Pasos a Seguir para la Obtención del Transitorio ........................................... 65 3.13 Planteamiento de los Seis Pasos sobre el Lenguaje de Programación............ 66

Índice

- Página 4 -

4. Software de Simulación................................................................................. 81

4.1 Implementación del Cálculo Numérico Sobre Matlab............................. 81 4.2 Software de Simulación del Motor de Inducción ..................................... 82

5. Simulación........................................................................................................ 98

5.1 Simulación del Motor de Inducción en Régimen Dinámico. Motor en vacio ................................................................................................................ 98

5.2 Simulación del Motor Mediante Variación del Par Resistente.............. 102 5.3 Simulación del Motor “Arranque por Variación de la Tensión de

Alimentación”. ............................................................................................. 105 5.4 Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de Corriente Contínua. ..

...................................................................................................................... 109 5.5 Simulación del Motor. Variación de la Frecuencia de la Tensión Vs de

Alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)..................................................... 112 Referencias .................................................................................................................. 119

Capítulo 1 Memoria del Proyecto

Memoria del Proyecto

- Página 8 -

1. Memoria

1.1 Objeto del Proyecto

El objeto del presente proyecto es la elaboración de una aplicación informática

que permita la simulación del comportamiento en régimen dinámico de un motor de inducción trifásico. Se adaptará un modelo matemático de la máquina de inducción trifásica para el estudio del comportamiento en régimen dinámico en funcionamiento como motor.

Para ello se han de resolver las ecuaciones diferenciales que definen el modelo matemático de la máquina de inducción. Estas ecuaciones no presentan solución analítica, lo que implica una resolución numérica en la que es necesario realizar una transformación previa de las ecuaciones originales. De las posibles transformaciones se ha escogido la transformación de KU

Esta Simulación permitirá ver el desarrollo en tiempo real del motor para distintas maniobras de funcionamiento.

1.2 Antecedentes

Los cambios tecnológicos experimentados por la ingeniería eléctrica en los últimos años están relacionados con el desarrollo de la electrónica de potencia y de los computadores y de su incorporación a los sistemas eléctricos.

La máquina de inducción es uno de los componentes más importantes de las instalaciones eléctricas por su bajo costo y mantenimiento y sus altas prestaciones. Se utiliza ampliamente en todos los sectores, desde el industrial al doméstico.

En la última década, el motor de inducción se ha vuelto el accionamiento de velocidad variable por excelencia.

Si a las características ya tradicionales del motor de inducción, como podría ser su robustez, su bajo coste, y la bajísima necesidad de mantenimiento, se le añade


- Página 9 -

las altas prestaciones dinámicas que se obtienen con las innovadoras estrategias de control aplicadas a los variadores que alimentan a los motores de inducción, se obtiene que este es el accionamiento a velocidad variable que mas presente y futuro tiene en los campos típicos de aplicación de estos accionamientos dentro de la industria.

La progresiva automatización de los procesos ha sido un factor decisivo en el desarrollo industrial de las últimas décadas. Hasta hace unos años, cuando se requería un control de velocidad, de posición, de par, de tensión, u otros, se utilizaba casi exclusivamente la máquina de continua, pero últimamente ha sido desplazada por las máquinas de alterna.

Este tipo de controles se está extendiendo de forma rápida. En aplicaciones donde se requiere una rápida respuesta en el par, se debe aplicar el principio del control por orientación de campo, más conocido como control vectorial.

Aunque este control es mucho más complicado que el de las máquinas de

continua, su complejidad se ha superado por el continuado avance de la microelectrónica. Las máquinas con el rotor en jaula de ardilla son las más utilizadas porque éste le confiere sencillez, robustez y economía.

El estudio del comportamiento dinámico de las máquinas tiene especial importancia tanto en su propio diseño como en el de sus elementos y algoritmos de control. No obstante, la eficacia de un controlador no depende únicamente de su diseño.

En gran parte depende de la exactitud con que el modelo elegido se ajusta a la realidad, por lo que se deberá tener un modelo adecuado de la máquina, así como el valor correcto de los parámetros del mismo. Por este motivo, la estimación de parámetros se encuentra de actualidad, siendo habitual realizar el procedimiento de estimación mientras la máquina está funcionando y, preferiblemente, en tiempo real.

1.3 Solución Adoptada

Los modernos algoritmos de control necesitan un conocimiento preciso de los parámetros del modelo de la máquina para su correcto funcionamiento. Aunque esta estimación de parámetros se puede realizar utilizando medidas de régimen permanente es más usual utilizar medidas de régimen transitorio.


- Página 10 -

Representar el modelado matemático del motor de inducción trifásico para el estudio del comportamiento diná mico de la máquina implica un estudio analítico de los parámetros a tener en cuenta y las posibles opciones de resolución de algoritmos obtenidos.

Para trabajar con las ecuaciones de costoso cálculo hay que tener en cuenta una

serie de consideraciones previas a la realización de una transformación matemática que permita obtener una solución mediante herramientas de cálculo de forma rápida y sencilla. Esta herramienta debe ser capaz de solucionar el problema planteado en espacios de tiempo reducidos.

Po r este motivo, a las ecuaciones se les aplica una transformación que las convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Existen múltiples transformaciones matemáticas que permiten resolver estos sistemas de ecuaciones mediante algoritmos de cálculo rápido, dos de ellas son:

• La transformación de Park , que presenta un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cuarto orden en variables reales.

• La transformación de Ku, que presenta un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en variables complejas.

Ambas transformaciones son paralelas puesto que la transformación de Ku es la transformación de variables reales de Park pero tratada con variables complejas, disminuyendo de esta manera el número de ecuaciones a la mitad.

En concreto, se analizará un solo tipo de modelo, el modelado por transformada KU puesto que al proporcionar un sistema de segundo orden, este es más cómodo de manejar que el de cuarto orden en variables reales que se habría tenido si se emplearan las de Park aunque su complejidad aumente debido al tratamiento de las variables complejas.

La transformación de Ku tiene como principal cualidad que diagonaliza matrices

circulantes, ya que tiene incorporada la transformación de Fortescue o de componentes simétricas. El algoritmo tiene especial interés cuando la máquina se alimenta con tensiones constantes a tramos, tipo PWM.


- Página 11 -

1.4 Descripción General

A continuación se presenta una descripción general de las cuatro partes en que se ha divido el estudio realizado.

1.- Memoria

Se describen de forma general los objetivos del proyecto sobre los antecedentes

del mismo.

En la memoria se plantean las bases del proyecto, los métodos posibles y las

soluciones adoptadas finalmente.

Se expone además una síntesis del planteamiento del problema del modelado

matemático de la máquina, de las ecuaciones que definen el modelo, y del tratamiento a realizar sobre las ecuaciones para obtener una solución valida según las necesidades.

2.- Introducción

Se introduce al lector en la fase histórica de los motores asíncronos de inducción y se explican los principios de funcionamiento del motor asíncrono de Jaula de Ardilla.

3.- Modelado Matemático

Se plantean los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de jaula

de ardilla. Se plantean las técnicas y ecuaciones que llevan a describir de una forma dinámica al motor de inducción, todo él sobre una visión sistemática.

Se desarrollan los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de jaula de ardilla.

Con una forma sistemática de operación sobre las ecuaciones tradicionales del motor de inducción, permite llegar a una nomenclatura globalizadora, que unifica las expresiones de estas ecuaciones para cualquier referencia y para cualquier definición que se desee.


- Página 12 -

§ Referencia de Sincronismo

§ Referencia de estator

§ Referencia de rotor

Se estudia analíticamente el régimen transitorio de la máquina de inducción

trifásica. Y se plantea la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes.

Inicialmente se presenta un algoritmo para la integración del sistema no lineal de ecuaciones diferenciales que forman las ecuaciones dinámicas de la máquina cuando varía la velocidad mecánica. Como el sistema mecánico suele tener una variación más lenta que el eléctrico, se puede considerar que la velocidad mecánica es constante a tramos.

Las ecuaciones eléctricas de cada uno de estos tramos de velocidad pseudo constante se pueden resolver analíticamente, con la consiguiente elevada velocidad de cálculo, es decir, se supone la velocidad mecánica constante y que el circuito magnético es lineal.

4.- Software de Simulación

Se desarrolla un software para la resolución del modelo matemático expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un entorno gráfico que simula el comportamiento en régimen dinámico del motor de inducción trifásico.

Este entorno gráfico es desarrollado sobre el Software de cálculo matemático Matlab R12 Versión 6.0 y permite al usuario realizar un conjunto de simulaciones del motor en régimen dinámico con un entorno de ventanas de opción.

5.- Simulación

Se realiza la simulación del motor para distintas maniobras de funcionamiento, como son:

• Simulación del motor de inducción en régimen dinámico

• Variación del par resistente


- Página 13 -

• Arranque por variación de la tensión de alimentación

• Maniobra de frenado con inyección de corriente continua

• Arranque con variación de la frecuencia de la tensión de alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)

Finalmente se desarrolla un análisis de los resultados obtenidos en cada una de las

simulaciones de las maniobras.

6.- Referencias

Se resume toda la bibliografía referente al tema o a temas parcialmente tratados en el presente proyecto.

1.5 Planteamiento del Problema del Modelado Matemático

El análisis de un convertidor electromecánico tiene por objeto determinar el comportamiento del mismo ante cualquier variación de las variables de entrada.

Se presentan a continuación los pasos fundamentales para el análisis del problema.

a ) Descripción Física del Dispositivo.

La Descripción física del dispositivo comprende aspectos constructivos, configuración topológica de los elementos fijos y móviles, especificación de la estructura del circuito magnético, datos de los devanados e identificación de los terminales de entrada y salida. Es decir, la necesidad de conocer con detalle los elementos que componen la máquina y sus propiedades físicas (propiedades electricas, magnética, etc.).

b) Elección de un Modelo Matemático.

Para la elección del tipo de método a desarrollar es necesario observar de que variables depende el problema planteado frente al tipo de problema que vaya a estudiarse y del grado de precisión deseado.


- Página 14 -

Por ejemplo: en una máquina eléctrica rotativa, en una primera aproximación

pueden despreciarse las pérdidas en el hierro del circuito magnético y el fenómeno de la saturación, además de considerar estator y rotor lisos (entrehierro constante). Cabe también, considerar la permeabilidad del hierro como infinita, y consecuentemente, aceptar que toda la energía del campo magnético está en el aire del entrehierro.

Suponer una máquina sin desviaciones, es decir, una máquina de inducción trifásica equilibrada y simétrica (bobinas del estator iguales entre sí y bobinas del rotor iguales entre sí) permite que el modelo a estudiar no resulte un sistema matemático que fuese imposible de manejar, no debiendo de arrastrar procesos de cálculo demasiado complejos para su estudio, disminuyendo de forma notable los tiempos de cálculo.

c) Evaluación Correcta.

Evaluación correcta y lo más exacta posible de los parámetros de la máquina: resistencias e inductancias (sistema eléctrico) y momentos de inercia, coeficientes de elasticidad y rozamiento viscoso (sistema mecánico).

Estudio y revisión de los parámetros antes mencionados de la forma mas concreta,

planteada sobre los pilares de la teoría clásica del modelado matemático de señales y sistemas

d) Formulación de las Ecuaciones Diferenciales.

Formulación y nomenclatura de las ecuaciones diferenciales electro-dinámicas del sistema. Planteamiento de las ecuaciones obtenidas como un sistema de ecuaciones diferenciales ya sea un variables reales o en variables complejas.

Estas ecuaciones relacionan el campo magnético con tensiones y corrientes por

una parte, y pares y velocidades por otra mediante un sistema de valores que dependen de las propiedades físicas de la máquina como conjunto.

e) Planteamiento de la Resolución de las Ecuaciones Anteriores.

Dado que a menudo estas ecuaciones diferenciales no son lineales, y en alguna ocasión de coeficientes variables, la resolución de las mismas constituye uno de los pasos más difíciles.


- Página 15 -

Se emplearan estrategias para desplazar estas ecuaciones sobre otros espacios, ya

sea mediante una transformación Ku o una transformación Park donde aparezcan sistemas linealizados, a su vez, mediante aproximaciones de cálculo intentaremos obtener un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

f) Elección del Algoritmo. Obtención de Resultados.

Es posible mediante algoritmo de programación resolver de forma numérica un sistema como el anterior. La elección de un método numérico adecuado permite que el sistema tenga tiempos de simulación relativamente bajos, para su implementacion en aplicaciones tecnológicas.

1.6 Aplicaciones

Mediante el modelo matemático del motor de inducción es posible realizar

simulaciones de comportamiento del mismo.

El modelo del motor evoluciona a partir de las variables de entrada como puedan

ser tensiones y corrientes de distintas características.

Las variaciones de las variables de entrada se transmite sobre variaciones de las

variables de salida. Es posible pues, estudiar el motor en distintas situaciones que reflejen maniobras de trabajo reales, pudiendo visualizar de forma gráfica el desarrollo , ya no tan solo de las variables externas, si no también el desarrollo de las variables internas de la máquina. Esto permite realizar estudios sobre el funcionamiento de distintas máquinas en condiciones extremas sin necesidad de construir físicamente la máquina.

En general el modelo puede ser útil en cualquier cálculo que involucre la

evolución de la conducta real del motor. Ejemplos típicos son los observadores de estado y la identificación y adaptación de parámetros en las estrategias de control avanzadas en máquinas alimentadas con inversor, donde la velocidad mecánica se supone constante en cada intervalo de muestreo.

Además el modelo puede ser transportado a otras aplicaciones para su evaluación conjunta con otros sistemas electro-mecánicos. Algunas aplicaciones como programas de simulación, Simulink, Psim, etc., hacen uso de este tipo de modelos para la construcción de sistemas.


- Página 16 -

1.7 Documentos que Integran el Proyecto

El presente proyecto viene acompañado de un CD- ROM donde se adjuntan:

• Una copia del mismo en formato *.doc para el software de tratamiento de textos Microsoft Word

• Una copia en formato *.pdf para el software de intercambio de documentos Acrobat Reader

• El software Acrobat Reader Versión 5.0 para la visualización del mismo.

• El software de simulación del modelado matemático del motor de inducción para versiones de Matlab R12 o superiores. Esta aplicación se ejecuta con el fichero de inicio “mmi.m” que contiene la carpeta de software de matlab. Para un correcto funcionamiento es necesario que se redirijan los caminos (Path) dentro del programa Matlab a todas y cada una de las carpetas y subcarpetas existentes

• Documentación relacionada con el proyecto que pudiera ser de interés para el lector, ya sean manuales de programación en Matlab, estudios paralelos, etc.

1.8 Estructura y Planificación

El trabajo se ha estructurado de la siguiente forma:

§ Fase 1: Se describe de forma general los objetivos del proyecto

§ Fase 2.1: Se introduce al lector en la fase histórica de los motores asíncronos de inducción


- Página 17 -

§ Fase 2.2: Se explican los principios de funcionamiento del motor asíncrono de Jaula de ardilla.

§ Fase 3.1: Se plantean los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de jaula de ardilla. Se plantean las técnicas y ecuaciones que llevan a describir de una forma dinámica al motor de inducción, todo el sobre una visión sistemática.

§ Fase 3.2: Se desarrollan los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de jaula de ardilla. Con una forma sistemática de operación sobre las ecuaciones tradicionales del motor de inducción, permite llegar a una nomenclatura globalizadora, que unifica las expresiones de estas ecuaciones , para cualquier referencia y para cualquier definición que se tome de la intensidad magnetizante.

§ Fase 3.3: Se estudia analíticamente el régimen transitorio de la máquina de inducción trifásica. Se plantea la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes.

§ Fase 4: Se desarrolla un software para la resolución del modelo matemático expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un entorno gráfico que simula el comportamiento en régimen dinámico del motor de inducción.

§ Fase 5: Se realiza la simulación del motor para distintas maniobras de funcionamiento.

Capítulo 2 Introducción

Historia de la máquina de inducción trifásica

- Página 21 -

2. Introducción 2.1 Historia de la Máquina de Inducción Trifásica

2.1.1 Desde los Orígenes

Los principios básicos del electromagnetismo se empezaron a desarrollar en el siglo XIX, con los experimentos de Oersted, Faraday, Henry, Lenz, Barlow y la sintetización que hizo Maxwell en 1879. Dentro de los trabajos que realizaron los científicos anteriores, se puede considerar como punto de partida para el estudio de las máquinas eléctricas, el principio de inducción electromagnética descubierto por Michael Faraday en 1831. Los experimentos posteriores de este gran investigador demuestran de un modo fehaciente el principio de conversión de la energía eléctrica en mecánica y viceversa (principio dinamo-eléctrico).

La ley de inducción de Faraday fue el detonador para que muchos científicos e

ingenieros buscaran una máquina eléctrica que generase electricidad de un modo diferente al que se conocía en aquellos tiempos como era la pila de Volta. La ingeniería eléctrica se puede decir que nace en aquel momento.

En estos casi ciento setenta años de historia, se han producido grandes transformaciones y la ingeniería eléctrica que originalmente comprendía la conversión de energía: máquinas eléctricas, el a1umbrado, la telegrafía y la telefonía, se ha desarrollado tan espectacularmente, que hoy día ha dado lugar a nuevas áreas, que incluyen aspectos tan diversos como la electrónica y las telecomunicaciones, los ordenadores, el control automático de máquinas y procesos.

Durante la primera época de desarrollo de esta rama de la técnica, las máquinas eléctricas desempeñaron un papel rector, que determinaba el movimiento de toda la Ingeniería Eléctrica, merced a su aplicación en los campos de la generación, transformación y utilización de la energía eléctrica.

Los perfeccionamientos en el diseño de máquinas eléctricas contribuían a nuevas posibilidades de su empleo práctico y estimulaban el progreso ulterior y las más diversas aplicaciones de la energía eléctrica, lo que explica el hecho de que los científicos e ingenieros le prestasen especial atención, y de que ésta adquiriese rápidamente la perfección técnica de sus formas constructivas que poseen actualmente.


- Página 22 -

Las máquinas eléctricas se plantean como convertidores de energía mecánica a energía eléctrica: generadores; o a la inversa, como convertidores de energía eléctrica a mecánica: motores. Una máquina eléctrica es un convertidor de energía de una forma a otra, una de las cuales al menos es eléctrica, y de acuerdo con ello se clasifican en:

a) Generadores: Que transforman la energía mecánica en eléctrica

b) Motores: Que transforman la energía eléctrica en mecánica

c) Transformadores: Que transforman una energía eléctrica

2.1.2 Generadores de C.C.

Los primeros generadores de energía eléctrica fueron las pilas químicas de Volta, que producían una f.e.m. de amplitud constante denominada corriente continua, por esta razón, los físicos e ingenieros de la primera mitad del siglo XIX que trabajaban con estos elementos galvánicos, pretendían conseguir también una máquina eléctrica rotativa que suministrara corriente continua. El período fundamental de desarrollo del generador eléctrico, en el curso del cuál éste obtuvo todos los rasgos de la máquina moderna, abarca el tiempo comprendido entre los años 1831 y 1886.

En este período de tiempo la máquina e1éctrica, que inicialmente representaba

una experiencia de laboratorio se va transformando hasta conseguir un modelo semi- industrial con aplicaciones en e1ectroquímica y a1umbrado. Faraday tras descubrir el principio de inducción magnética en el otoño de 1831, realizó experiencias con bobinas y solenoides; en Noviembre de 1831, construyó una nueva máquina eléctrica.

Era un disco de cobre de doce pulgadas de diámetro (l pulgada = 25,4 mm) y 1/5 de pulgada de espesor que giraba sobre un eje horizontal, dentro del campo magnético de un potente e1ectroimán. Al colocar una banda conductora rozando la periferia del disco y otra sobre el eje comprobó con un galvanómetro unido a estas bandas que se obtenía una desviación del mismo.

De este modo Faraday demostraba la producción de electricidad mediante imanes permanentes. A finales del 1832 Hippolyte Pixii de Paris construyó la primera máquina magnetoeléctrica generadora que producía corriente alterna (había nacido el alternador), sin embargo a esta señal alterna no se le veían aplicaciones prácticas porque tenía una forma de onda diferente, a la que se conocían de las pilas de Volta, Pixii mejoró más tarde esta máquina asesorado por Ampére e ideó un conmutador primitivo para rectificar la onda resultante y convertirla en una onda unidireccional.


- Página 23 -

2.1.3 Generadores de C.A. (Alternadores)

Debe destacarse que la máquina de corriente continua, después de adquirir un fuerte grado de desarrollo entre los años 1870 y 1890, reveló también una serie de dificultades técnicas relacionadas con la obtención de grandes potencias unitarias y altas tensiones entre sus terminales. Aunque se hicieron grandes esfuerzos de investigación para conseguir un transporte de energía eficiente en corriente continua, fundamentalmente por el francés Marcel Deprez, se vió enseguida la ineficacia de la dinamo.

Con el descubrimiento del transformador en el año 1885, se planteará el diseño de generadores de corriente alterna o alternadores que se habían dejado abandonados por la búsqueda de una máquina que diera una señal análoga a la de las pilas de Vo1ta.

La introducción de la corriente alterna estuvo llena de grandes disputas, en las

que se reflejaban motivos tanto técnicos como económicos. En Europa estaban a favor de la corriente contínua: Lord Kelvin, Crompton, A.W. Kennedy y J.Hopkinson, y a favor de la corriente alterna: Ferranti, Gordon, W M.Mordey y Silvanus Thompson.

En Estados Unidos, defendía la corriente continua: Edison y la corriente alterna: Westinghouse, Tesla, Sprague y Steinmetz.

El que el Proyecto de la Central a instalar en las cataratas del Niágara fuera adjudicado a la Compañia W estinghouse en 1893 fue el declive de la corriente continua a favor del auge de la corriente alterna (esta Central tenía una potencia de 50.000 CV con un salto neto de 54 m; disponía de 10 turbinas tipo Fourneyron, que movían alternadores bifásicos de 3.500 kV A con eje vertical y que generaban una tensión de 2.300 V /fase, la velocidad de giro era de 250 r.p.m.; el inducido de cada alternador era interior y fijo, mientras que el inductor estaba situado en el exterior y era móvil con los polos radiales mirando hacia dentro de la estructura; componían un total de l2 polos, de tal modo que la velocidad tangencial en los mismos alcanzaba los 40 m/s y se obtenía una frecuencia de 25 Hz).

Al descubrirse el transformador alrededor de 1885, la experiencia acumulada por los ingenieros en el desarrollo de la máquina de corriente continua, hace que el progreso en el diseño de generadores de corriente alterna ó alternadores, se efectúe con gran rapidez. Y a se ha indicado que Nollet en 1849 proyectó una máquina de corriente alterna pero que en aquel momento se abandonó en pro de la dinamo.


- Página 24 -

Las frecuencias de los alternadores variaban en principio entre los 25 Hz y los 135 Hz; finalmente se procedió a una normalización y se eligieron los valores de 50 Hz (Europa) y 60 Hz (EEUU), que se utilizan

2.1.4 Motores de C.C.

Paralelamente a la construcción de generadores eléctricos se llevaba a cabo la construcción de motores eléctricos. Hasta los años l860-70 los desarrollos de motores y generadores eran independientes unos de otros. El principio de la transformación de energía eléctrica en mecánica (rotación electromagnética) formu1ado en 182l por Faraday sirvió de base para la construcción del motor eléctrico.

En l83l, Henry escribió un artículo: On a Reciprocating Motion Produced by Magnetic Attraction and Repulsion (sobre el movimiento recíproco producido por atracción y repulsión magnética, publicado en el Silliman's Journal. Vol 20, pag. 340-343 ), en el que se exponía el principio de funcionamiento de uno de los primeros motores construidos.

E1 principio de reciprocidad de la máquina eléctrica, fue formulado por Lenz en 1838 y demuestra que la máquina eléctrica es reversible y que puede funcionar como generador o como motor.

La comprobación práctica de este principio se debe a Fontaine y Gramme que

demostraron en la Exposición Internacional de Viena de 1873, el principio del transporte de energía desde una dinamo a un motor de c.c., una dinamo Gramme actuaba como generador y otra como motor la reconvertía nuevamente en potencia mecánica.

A partir de este momento, los fabricantes comenzaron la construcción de motores eléctricos destinados a la tracción eléctrica. En 1882, Ayrton y Perry patentaron regu1adores o controladores automáticos para motores.

Más tarde en l887, Frank Julian Sprague construyó un tranvía en Richmond, Virginia, habiendo resuelto los problemas de control de velocidad, suspensión y transmisión de fuerza mediante cajas de engranajes y también dio una forma apropiada a la toma de corriente del trolley Con el sistema Sprague se puede decir que comenzó la tracción eléctrica.


- Página 25 -

2.1.5 Motores Asíncronos o de Inducción.

En cuanto a los motores de c.a. de tipo asíncrono o de inducción, en 1879 W alter Baily demostró ante la Physical Society de Londres, la posibilidad de producir una rotación mediante las corrientes inducidas en un disco de cobre. Ferraris en 1885 descubrió el campo magnético giratorio, utilizando dos corrientes alternas independientes de igual frecuencia pero diferente fase. El mismo descubrimiento fue hecho casi a la vez por Nikola Tesla que fue el primero que construyó y patentó este tipo de motores en Octubre de l887 y por lo que se le considera como el inventor de los mismos

Todos ellos disponían de un estator en forma de anillo. el primer tipo tenía un

rotor con cuatro polos salientes, dando lugar a un motor de reluctancia que no poseía cualidades de auto arranque, pero que giraba a la velocidad de sincronismo, el segundo motor era un verdadero motor asíncrono, tenía el rotor devanado que podía arrancar pero que giraba a una velocidad por debajo de la correspondiente al sincronismo y el tercero era motor síncrono, que funcionaba suministrando corriente continua al devanado del rotor.

Debe destacarse que los primeros motores asíncronos eran bifásicos y con polos

salientes en el estator, alimentados con dos corrientes desfasadas 90° en el tiempo y utilizando dos devanados desfasados 90° en el espacio.

George Westinghouse compró las patentes de Tesla y utilizó a este ingeniero como consultor de su Empresa; con la ayuda de C.F. Scott y B.G. Lamme, la Empresa Westinghouse desarrolló un motor bifásico con devanados distribuidos tanto en el estator como en el rotor, lográndose un motor práctico alrededor de 1892. En la Feria Mundial de Chicago de 1893, la fábrica de Westinghouse presentó un motor bifásico de 300 CV, 12 polos a 220V, que era una gran hazaña para esa época; la alimentación de este motor se lograba mediante dos alternadores monofásicos de 500 CV, 60 Hz, acoplados mecánicamente en el mismo eje, pero que estaban desplazados 90° eléctricos en el espacio para poder generar una tensión bifásica.

En l891 la Compañía americana Thomson-Houston comenzó la construcción de motores de inducción trifásicos bajo la dirección de H.G. Reist y W.J. Foster. Por otra parte en Europa, Dolivo-Dobrowolsky, ingeniero de la Empresa alemana AEG, sugirió la utilización de circuitos trifásicos pero no independientes entre sí, sino mutuamente conectados; la expresión alemana Verkettung der Phasen (encadenamiento de fases ), traduce esta dependencia mutua de las tres corrientes que constituyen un sistema trifásico. Este sistema lo bautizó con el nombre Drehstrom (que significa corriente giratoria ) alrededor de 1890. Para el año 1893 Dolivo- Dobrowolsky había construído motores asíncronos de doble jaula de ardilla que mejoraban las cualidades de arranque de estos motores, también sugirió la construcción del motor de inducción con rotor devanado o con anillos deslizantes, para regular la velocidad del mismo, para ello es preciso conectar a


- Página 26 -

los anillos un reóstato de arranque y regulación de un modo equivalente al de los motores de c.c.

En EEUU, se unieron las Compañías Westinghouse y la Thomson-Houston para

fabricar motores asíncronos trifásicos, para ello resultó de gran utilidad en aquel momento el invento del ingeniero C.F. Scott de la Empresa Westingouse para transformar un sistema bifásico en trifásico y poder alimentar estas máquinas. El rotor de jaula de ardilla construido mediante barras de aluminio, fue patentado en 1916 por H.G. Reist y H. Maxwell de la Compañía General Electric.

El motor asíncrono o de inducción es el motor que se utiliza con más frecuencia en el accionamiento industrial. Para comprender la evolución tecnológica de estas máquinas, sirva el dato comparativo de que un motor de 100 CV diseñado en la actualidad ( l992), ocupa el mismo espacio que otro de 7.5 CV construido en l897.

2.1.6 Desarrollos Tecnológicos en la Construcción de Maquinas Eléctricas

Los desarrollos de las máquinas eléctricas en el siglo XX se refieren a la mejora en los materiales constructivos, fundamentalmente las chapas magnéticas y los aislamientos. Las primeras máquinas eléctricas se construían con hierro macizo, más tarde se emplearon chapas de hierro sueco de alta calidad.

En 1900, Hadfield y su equipo de la Universidad de Dublín, publican un trabajo

sobre la tecnología de las chapas magnéticas laminadas en caliente, en el que demuestran que al añadir una pequeña cantidad de silicio al hierro se consiguen reducir las pérdidas un 75%. Este tipo de chapa representó un enorme avance en la construcción de las máquinas durante más de treinta años, lográndose aumentar ostensiblemente el rendimiento de las mismas.

Al desarrollarse la teoría de los dominios magnéticos que explicaba el ferromagnetismo, N.P. Goss en 1934 descubre la técnica del laminado en frío, que es esencialmente la base del proceso de fabricación de las chapas de grano orientado que se emplean en la actualidad. Las investigaciones modernas más avanzadas intentan sustituir las chapas magnéticas por aleaciones amorfas (78% de hierro, 13% de boro y 9% de silicio) que tienen una resistividad muy elevada y una excelente resistencia mecánica.

En lo que se refiere a los aislamientos, estos también han sufrido grandes cambios; desde el hilo de cobre recubierto de algodón, pasando por los barnices, hasta las modernas resinas sintéticas, que soportan mayores tensiones dieléctricas. Otros avances se refieren a la refrigeración que inicialmente era por aire y que aún se usan en máquinas de potencia media y pequeña, pasando por la refrigeración con hidrógeno que utilizan los grandes turboalternadores.


- Página 27 -

2.1.7 Regulación de Velocidad de los Motores de C.A.

Como se acaba de señalar, el motor de c.a. de inducción o asíncrono es más barato en su construcción que el motor de c.c. y no requiere apenas mantenimiento. Es por ello que los ingenieros han intentado, a lo largo de la historia, buscar procedimientos de regulación de velocidad fiables y seguros para este tipo de motores. Los convertidores más empleados son:

a) los grupos rectificador- inversor que transforman primeramente la c.a. de la red en c.c. (módulo rectificador) y que luego cambian la c.c. en una c.a. de amplitud y frecuencia variables (módulo inversor). ,

b) los grupos ciclo convertidores, que son cambiadores directos de frecuencia y que transforman una potencia de c.a. en otra de frecuencia diferente, sin el paso intermedio por c.c.

El motor de inducción al funcionar con c.a. presenta unas fmm. de estator y rotor muy acopladas, lo que ha hecho muy difícil la regu1ación de su velocidad hasta épocas muy recientes. La forma de regular la velocidad consistió inicialmente (en los motores en jaula de ardilla), en variar la tensión de alimentación al estator mediante triacs; este método se caracterizaba por una pobre respuesta tanto estática como dinámica, se empleaba en el accionamiento de ventiladores y bombas centrífugas que ofrecen un pequeño par resistente en el arranque. Un método mejor era regular la frecuencia de alimentación, ya que la velocidad de giro es cercana a la de sincronismo, pero tampoco se lograba una respuesta satisfactoria y 1os equipos eran caros.

El mejor método era regular el flujo de la máquina, lo que se conseguía con un

control simultáneo de la tensión y la frecuencia de alimentación, era la regulación del cociente tensión/frecuencia, que requería el uso de sistemas de encendido de los tiristores bastante complicado.

La técnica más avanzada en la aplicación de la electrónica de potencia a los motores de inducción, la constituye el control vectorial. Este sistema introducido a comienzos de la década de 1970 por F. Blaschke, ingeniero de la Casa Siemens, fue desarrollado en sus bases teóricas por el profesor alemán Leonard e "implementadoI' más tarde con microprocesadores.

La idea se basa en el funcionamiento de una máquina de c.c.; en el motor de

inducción (de jaula de ardilla), a diferencia con el motor de c.c. solamente existe un devanado accesible: el del estator, y tanto el campo magnético como la fmm del entrehierro son móviles y no permanecen fijas en el espacio sino que giran a la velocidad de sincronismo. , para complicar más el asunto, el ángulo espacial


- Página 28 -

entre el campo y la fmm no es necesariamente 90° eléctricos como en los motores de c.c.; por analogía con estas máquinas, se puede descomponer la corriente del estator Is en dos componentes: una paralela al eje del campo Id (eje d) y la otra perpendicular al mismo Iq (eje q). La componente en el eje d es responsable de la generación de flujo, mientras que la componente en el eje q es la que produce la fmm y por lo tanto el par.

La componente Id es equivalente a la corriente de excitación de los polos en 1os motores de c.c., mientras que la componente Iq es equivalente a la corriente del inducido. Desgraciadamente las componentes anteriores no se encuentran en los terminales del motor de inducción; sin embargo, la corriente del estator Is se puede descomponer en dos componentes Ia e Ib respecto a las coordenadas móviles del flujo giratorio del estator (que forma un ángulo θ con el del campo resultante en el entrehierro). En definitiva es posible calcular Id e Iq si se conocen Ia' Ib y el ángulo θ y este cálculo debe hacerse constantemente en tiempo real, por lo que es necesario el uso de un microprocesador (y de ahí el retraso en aparecer este sistema de control en la ingeniería).

Se requiere por ello un bloque funcional que al tomar como parámetros de

entrada las corrientes Ia e Ib nos dé lugar a las salidas Id e Iq (campo magnético y par). Este bloque funcional representará la transformación de las coordenadas del estator a las coordenadas del campo orientado que tiene lugar en el interior de la máquina. Cualquier cambio en las componentes Ia e Ib dará lugar a un cambio en las salidas Id e Iq, determinadas por la realimentación del ángulo θ que se incluyen en el lazo de contro1 mediante otro bloque funcional, que se obtiene mediante un codificador o detector de posición situado en el eje de la máquina.

Para conseguir el control vectorial se necesita también compensar la transformación anterior en el interior de la máquina. Esta descripción simplificada del control vectorial, darán una idea al lector de la complejidad cada vez mayor que toman los accionamientos de las máquinas eléctricas, haciendo bien patente la tecno1ogías interdiscip1inares que se incluyen en ella.

En la actualidad se graban programas en memorias tipo PROM (Programmable

read only memory o memorias programab1es de sólo lectura) o EPROM (Erasable programmable read only memory, es decir memorias de sólo lectura grabadas por el usuario y que pueden borrarse), que incluyen no solamente la definición de las ecuaciones de 1os bloques funcionales, sino que permiten realizar los arranques de un motor asíncrono contro1ando la rampa de aceleración y la corriente de arranque.


- Página 29 -

2.2 Principio de Funcionamiento del Motor de Inducción En este apartado comenzaremos analizando los aspectos constructivos de los

motores asíncronos. Se estudia luego el principio de funcionamiento de los motores asíncronos trifásicos, detallando que la acción de las fuerzas en el rotor se produce en las ranuras, no en los conductores. Se calculan las relaciones de f.e.m.s. y corrientes en los devanados del estator y del rotor y se define el concepto de deslizamiento.

2.2.1 Aspectos Cons tructivos

La máquina asíncrona o de inducción al igual que cualquier otro dispositivo de

conversión electromecánica de la energía de tipo rotativo, está formada por un estator y un rotor. En el estator se coloca normalmente el inductor, alimentado por una red mono o trifásica. El rotor es el inducido, y las corrientes que circulan por él aparecen como consecuencia de la interacción con el flujo del estator. Dependiendo del tipo de rotor, estas máquinas se clasifican en:

a) rotor en jaula de ardilla o en cortocircuito

b) rotor devanado o con anillos.

El estator está formado por un apilamiento de chapas de acero al silicio, disponen de unas ranuras en su periferia interior en las que se sitúa un devanado trifásico distribuido, alimentado por una corriente del mismo tipo, de tal forma que se obtiene un flujo giratorio de amplitud constante (ver epígrafe 2.8.3.) distribuido senoidalmente por el entrehierro. El estator está rodeado por la carcasa, disponiéndose en ésta las correspondientes patas de fijación y los anillos o cáncamos de elevación y transporte.

Figura 2.1. Estator de la máquina de inducción


- Página 30 -

El rotor está constituído por un conjunto de chapas apiladas, formando un cilindro, que tiene unas ranuras en la circunferencia exterior donde se coloca el devanado. En el tipo en forma de jaula de ardilla se tienen una serie de conductores de cobre o aluminio puestos en cortocircuito por dos anillos laterales (el nombre de jaula proviene del aspecto que tomaría este devanado si se omitiera el apilamiento de hierro); en la actualidad, en las máquinas pequeñas, se aplica un método de fundición de aluminio, con el que se producen al mismo tiempo las barras del rotor y los anillos laterales, resultando un conjunto.

En el caso de rotor devanado o con anillos, se tiene un arrollamiento trifásico similar al situado en el estator, en el que las tres fases se conectan por un lado en estrella y por el otro se envían a unos anillos aislados entre sí. Esta disposición hace posible la introducción de resistencias externas por los anillos para limitar las: corrientes de arranque, mejorar las características del par y controlar la velocidad.

Figura 2.2 Rotor bobinado de la máquina de inducción

2.2.2 Principio de Funcionamiento

Generalmente la máquina asíncrona suele funcionar como motor y a este régimen de funcionamiento nos referimos en lo sucesivo, mientras no se diga lo contrario.

El devanado del estator está constituido por tres arrollamientos desfasados 120° en el espacio y de 2p polos, al introducir por ellos corrientes de una red trifásica de frecuencia f1 , se produce una onda rotativa de fmm distribuida senoidalmente por la periferia del entrehierro, que produce un flujo giratorio cuya velocidad viene expresada por:

pf

n 11

60 ⋅= r.p.m. (2.1)


- Página 31 -

que recibe el nombre de velocidad de sincronismo. Este flujo giratorio inducirá fem en los conductores del rotor y si está su circuito eléctrico cerrado, aparecerán corrientes que reaccionarán con el flujo del estator. En la fig. 2.3a se muestra en un determinado instante, el sentido de la inducción B en el entrehierro producida por el devanado del estator, cuya distribución es senoidal, lo que se representa por medio de una diferencia en la concentración de líneas de B.

De acuerdo con la ley de Faraday, la fem inducida en un conductor de longitud L que se mueve a la velocidad V dentro de un campo B, tiene un valor:

LBVdlBVe ⋅×=⋅×= ∫ )()( (2.2)

para determinar su sentido en la fig. 2.3a, debe considerarse que el rotor gira en sentido contrario al campo para tener en cuenta el movimiento relativo mutuo entre ambos sistemas. El sentido de la fuerza que aparecerá en los conductores del rotor se obtiene aplicando la conocida ley vectorial (ley de Laplace):

)( BLiF ×⋅= (2.3)

Figura 2.3 Sentido del campo la fuerza en el entrehierro

cuyo sentido se muestra en la fig.2.3b, donde se ha mostrado la deformación que se produce en el campo inductor debido a la corriente que circula por e1 conductor.


- Página 32 -

Multiplicando la fuerza por el radio del rotor y el número de conductores existentes en el mismo se obtendrá el par total de la máquina que tenderá a mover el rotor siguiendo al campo giratorio del estator.

Este razonamiento tan simple, aunque da los resultados correctos no es del todo cierto, debido a que en la realidad y como muestra la siguiente, los conductores del rotor están situados dentro de una ranuras, de tal forma que el campo B no atraviesa al conductor y en consecuencia la fuerza resultante es nula. La explicación de esta paradoja debe buscarse en la deformación de las líneas de B al circular corriente por los conductores.

En la fig. 2.4a se muestra el reparto de la inducción en la ranura y e1 diente

cuando la intensidad en el conductor es cero, se observa que debido a la menor reluctancia de los diente, las líneas de B tienden a concentrarse en ellos sin atravesar apenas al conductor.

Figura 2.4 Deformación de las líneas de campo en el entrehierro

En la fig. 2.4b se muestran la forma de las líneas de inducción producidas únicamente por el conductor llevando corriente.

En la fig. 2.4c se representa la resultante de ambos campos, se observa que la deformación de las líneas de inducción es similar a la que se obtenía para el caso de un conductor “aislado”, apareciendo una fuerza resu1tante en el sentido indicado, pero con la diferencia fundamental de que esta fuerza actúa realmente en los dientes y no en los conductores (lo que constituye un hecho afortunado, ya que si la fuerza actuara sobre los conductores comprimiría los aislamientos de éstos sobre los dientes, lo que sería perjudicial para la vida de los aislantes).


- Página 33 -

El momento total de estas fuerzas origina el par de rotación de la máquina que obliga a girar al rotor siguiendo el movimiento del campo giratorio, de tal forma que cuanto más se aproxima a la velocidad n1 del campo, tanto menor resulta la fem inducida en los conductores del rotor y en consecuencia, resultan también reducidas las corrientes en el mismo, esto provoca una disminución del par interno o par electromagnético del motor.

Si como caso límite, el rotor girase a la ve1ocidad, de sincronismo n1 , no habría entonces movimiento del campo giratorio respecto del rotor, desapareciendo con ello la fem inducida y como consecuencia de esto se anularía la corriente y el par.

De este modo la velocidad de sincronismo n1 constituye el límite teórico al que

puede girar el rotor. El motor debe girar a una velocidad inferior a la de sincronismo (n < n1), es decir su velocidad de régimen es asíncrona.

Se conoce con el nombre de deslizamiento al cociente:

1

1

nnn

s−

= (2.4)

cuyo valor está comprendido en los motores industriales entre el 3% y el 8% a plena carga. Al aumentar la carga mecánica del motor, el par resistente se hace mayor que el par interno y el deslizamiento aumenta, esto provoca un aumento en las corrientes del rotor, gracias a lo cual aumenta el par motor y se establece el equilibrio dinámico de los momentos resistente y motor.

Las frecuencias de las corrientes del rotor, están relacionadas con la frecuencia del estator por medio de la expresión:

12 fsf ⋅= (2.5)

En el caso de que el rotor esté parado, se cumple n = 0, es decir s = l, lo que indica que en estas circunstancias, las frecuencias del estator y del rotor coinciden, es decir:

12 ff = (2.6)


- Página 34 -

Si se denomina E2 el valor eficaz de la fem por fase del rotor, N2 al nº de espiras por fase, mΦ al flujo máximo que lo atraviesa y al coeficiente del devanado, se cumplirá:

mNfKE Φ⋅⋅⋅⋅= 2122 44,4 (2.7)

y de una forma simi1ar, si se denomina E l al valor eficaz de la fem inducida por fase en el estator, se tendrá:

mNfKE Φ⋅⋅⋅⋅= 1112 44,4 (2.8)

donde Nl es el nº de espiras por fase y K1 el factor de devanado correspondiente. Las dos expresiones anteriores recuerdan las que se obtienen en un transformador donde el primario es el estator y el secundario es el rotor.

La diferencia estriba en que en los motores aparecen unos coeficientes de devanado K1 y K2 que representan factores reductores (cuyos valores son menores, pero muy cercanos a la unidad) para tener en cuenta que las fem de las diversas espiras del devanado, al estar distribuido en ranuras por las periferias del estator y del rotor, llevan un desfase entre sí, lo que obliga a realizar una suma geométrica (fasorial) de las fem inducidas en las diferentes bobinas, cosa que no ocurre en el caso de los transformadores, donde las fem de todas las espiras van en fase, por tratarse de un devanado concentrado y la fem total se obtiene evidentemente como suma aritmética de las fem individuales.

Cuando el rotor gira a la velocidad n, en el sentido del campo giratorio, el deslizamiento ya no es la unidad y las frecuencias de las corrientes del rotor son iguales a f2.

Denominando E2 s a la nueva fem inducida en este devanado, se cumplirá:

mNfKE S Φ⋅⋅⋅⋅= 2222 44,4 (2.9)

y por analogía se obtiene:

22 EsE S ⋅= (2.10)


- Página 35 -

expresión que relaciona las fem inducidas en el rotor, según se considere que está en movimiento: E2 s ó parado: E2 . La fem. anterior E2 s producirá unas corrientes en el rotor de frecuencia f2, de tal forma que éstas a su vez crearán un campo giratorio, cuya velocidad respecto a su propio movimiento será:

pf

n 22

60 ⋅= (2.11)

ya que el rotor está devanado con el mismo número de polos que el estator. Como la máquina gira a n r.p.m. , la velocidad del campo giratorio del rotor respecto a un referencial en reposo será n2+n en consecuencia, la velocidad absoluta del campo del rotor será:

( )6060

11

1

112

nnpnpn

nnfsf

−⋅=

⋅⋅

−=⋅= (2.12)

nnn −= 12 (2.13)

112 )( nnnnnn =+−=+ (2.14)

lo que indica que el campo del rotor gira en sincronismo con el campo del estator.

Realmente, son las fmm de ambos devanados, las que interaccionan para producir el flujo resultante en el entrehierro.

Debe hacerse notar que esta interacción sólo es posible si las fmm. están enclavadas sincrónicamente, es decir si las ondas de fmm de estator y rotor giran a la misma velocidad nl, lo que requiere que el número de polos con el que se confeccionan ambos arrollamientos sean iguales, lo que representa una exigencia constructiva de estas máquinas.


- Página 36 -

No es necesario sin embargo, que el número de fases del estator y del rotor deban ser iguales, ya que el campo giratorio dentro del cual se mueve el rotor es independiente del número de fases del estator.

Los motores con rotor devanado o con anillos se construyen normalmente para tres fases, es decir igual que las del estator, sin embargo el motor en jaula de ardilla está formado por un gran número de barras puestas en cortocircuito, dando lugar a un devanado polifásico, en general de m2 fases.

Lo anterior es fácil de comprender: si se considera por ejemplo un rotor trifásico de dos polos y 6 barras o conductores en total, se habrá formado un devanado trifásico en el que cada fase consiste en una sola espira (dos barras opuestas formarían la espira).

Si considerando una máquina bipolar, el rotor tienen 10 barras, podemos decir

que se ha logrado un devanado pentafásico con 1 espira por fase. En general se podrá decir que si el rotor tiene B barras y 2p polos se tendrán m2 fases:

pB

m⋅

=22 (2.15)

donde cada fase está formada por una única espira.

Debe destacarse que cuando el rotor es de jaula de ardilla, las leyes del bobinado del estator son las que determinan el número de polos del motor.

En el rotor se obtienen corrientes por inducción, por lo que las diferencias de fase que aparecen entre las corrientes de las diversas barras del rotor coinciden con el ángulo eléctrico que forman las mismas. Así si el rotor tiene 36 barras y el estator tiene 2 polos, se habrán formado 18 fases, pero la misma jaula de ardilla en el interior de un estator de 4 polos daría lugar a 9 fases, etc.

En resumen una jaula de ardilla es equivalente a un devanado rotórico de m2 fases de l espira/fase, donde m2 viene expresado por la relación anterior. Cuando el rotor está bobinado (o con anillos) se disponen entonces de m2 fases (normalmente m2 = 3) con N2 espiras por fase. En ambas situaciones, el estator siempre está formado por ml fases (generalmente ml = 3) con N l espiras por fase.

Como quiera que el sentido de transferencia de la energía en un motor asíncrono

se produce de estator a rotor por inducción electromagnética de un modo similar al que se obtenía entre el primario y el secundario de un transformador, esto hace que la analogía se traslade no solamente a la simbología de las magnitudes


- Página 37 -

implicadas sino incluso también, en algunos autores, a las propias denominaciones.

De ahí que al estudiar motores asíncronos se consideren homónimas las

expresiones: estator y primario, rotor y secundario. Esta es también la causa de que todos los parámetros que aparecen en el estator lleven el subíndice 1 y los que aparecen en el rotor tengan el subíndice 2. De el circuito equivalente desarrollado para el transformador será la guía para deducir el circuito equivalente del motor.

Si se desean establecer las ecuaciones de comportamiento eléctrico del estator y del rotor, será preciso tener en cuenta que los arrollamientos tienen unas resistencias R1 y R2 ohmios/fase y que además existen flujos de dispersión en los devanados del estator y rotor que dan lugar a las autoinducciones Ld1 y Ld2.

En consecuencia, las reactancias de los arrollamientos en reposo, cuando la pulsación de la red es w1 = 2π f1 serán:

11111 2 fLwLX dd ⋅⋅⋅=⋅= π (2.16)

12122 2 fLwLX dd ⋅⋅⋅=⋅= π (2.17)

Sin embargo al girar el rotor, la frecuencia secundaria cambia al valor f2 , dando lugar a la reactancia X2 S, que en función de X2 vale:

222222 2 XsfLwLX ddS ⋅=⋅⋅⋅=⋅= π (2.18)

En la figura siguiente se muestra un esquema simplificado por fase del motor, donde se han introducido los parámetros anteriores.


- Página 38 -

Figura 2.5 Esquema simplificado por fase del motor

Se observa que el primario está alimentado por la red de tensión V1 y debe vencer las caídas de tensión en la impedancia de este devanado, el flujo común a estator y rotor induce en los arrollamientos fem E1 y E2s.

La impedancia del rotor está formada por la resistencia R2 y la reactancia X2 S,

estando este devanado cerrado en cortocircuito. Las ecuaciones eléctricas correspondientes, se obtendrán aplicando el 2° lema de Kirchoff a las mallas de primario y secundario, resultando:

111111 IjXIREV ⋅+⋅+= (2.19)

22222 IjXIRE SS ⋅+⋅= (2.20)

debe tenerse en cuenta además, que las frecuencias de ambos circuitos son

diferentes y de valores f1 y f2 respectivamente.

Capítulo 3 Modelado Matemático

Modelado Matemático

- Página 42 -

3. Modelado Matemático

3.1 La Máquina Eléctrica como Transductor

Un convertidor electromecánico puede considerarse, en general, como un transductor y como tal, determinar los modelos matemáticos que ligan las magnitudes eléctricas y mecánicas que interviene en el fenómeno de conversión.

Figura 3.1 Diagrama de conversión electro-mecánica Esquemáticamente, un transductor electromecánico tiene una entrada eléctrica,

donde se quedan implicadas las tensiones y corrientes, y una salida mecánica con fuerzas y desplazamientos (movimiento lineal) o ángulos y pares (movimiento giratorio).

La conversión tiene lugar gracias al acoplamiento e interacción de los campos

eléctricos y magnéticos. De forma mas simple, un transductor electromecánico es un dispositivo que

tiene n accesos eléctricos y m mecánicos (figura 3.2).


- Página 43 -

Figura 3.2. Diagrama de accesos 3.2 Estudio de la Formulación de la Máquina de Inducción

Trifásica Se presentaran y desarrollaran a continuación modelos matemáticos que

reflejan el comportamiento dinámico de las máquinas de inducción, en particular los de las máquinas de simple jaula de ardilla.

Se presentarán las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del

motor de inducción. Estas serán extensamente utilizadas a lo largo de todo el trabajo, por lo que se

ha intentado sintetizarse su obtención, así como la presentación final de las mismas.

Además de presentar las ecuaciones anteriores, también se presentaran las

ecuaciones que describen al motor de inducción en régimen permanente eléctrico, así como las ecuaciones de estado que nos permitirán la simulación del mismo en un instante de tiempo cualquiera.

Mediante el modelo matemático en régimen permanente es posible obtener las

condiciones iniciales de simulación de la máquina para un instante inicial “to” mayor que cero, en el que el motor se encuentre ya en régimen permanente.


- Página 44 -

El rotor de una máquina de inducción puede estar bobinado o puede estar constituido por barras de cobre o aluminio embebidas en ranuras, resultando una máquina con rotor en jaula de ardilla.

3.3 Máquina de Inducción de Jaula Sencilla

La máquina de inducción trifásica posee tres devanados en el estator y tres en el rotor, estos últimos pueden ser reales o ficticios.

Para poder establecer las distintas estrategias que permiten el control de los

motores de inducción, se considera adecuado recordar y ordenar de forma sistemática las ecuaciones que rigen el funcionamiento de estas máquinas eléctricas.

Tal y como es habitual se distinguirán dos tipos de ecuaciones, aquellas

englobadas con el nombre genérico de Ecuaciones de Tensión y de Par en variables de la máquina , y un segundo tipo, que se diferenciaran de las anteriores , por el hecho de encontrarse expresadas en unos ejes de referencias variables.

Con tal de simplificar la presentación de estas relaciones , se han realizado una

serie de hipótesis habituales en toda la literatura que rodea sobre el mismo. Las simplificaciones que se suelen realizar para obtener las ecuaciones de la misma son las siguientes:

Ø Estator y rotor lisos (entrehierro constante), Ø Máquina de inducción trifásica equilibrada y simétrica

(bobinas del estator iguales entre sí y bobinas del rotor iguales entre sí),

Ø Comportamiento magnético del hierro lineal

prescindiendo de la saturación del hierro, Ø Permeabilidad magnética del hierro elevada (reluctancia

magnética despreciable frente a la del entrehierro), Ø Distribución senoidal del campo en el entrehierro. Tanto

el devanado del estator como el del rotor, aunque se presentan como un único devanado diametral de múltiples vueltas, en realidad representan devanados distribuidos que en toda momento crean una distribución senoidal de campo magnético en el entrehierro (distribución centrada en los ejes magnéticos de las respectivas fases).


- Página 45 -

En la siguiente figura, se ha representado una sección transversal de un motor de inducción, que nos servirá como esquema para su posterior modelado matemático.

Figura 3.3. Máquina de inducción trifásica

Con todas las hipótesis realizadas con anterioridad, y con el modelado del motor de inducción representado por el esquema anterior, las ecuaciones que rigen el comportamiento eléctrico de la máquina de inducción trifásica de la Figura 3.31 son:

(3.1)

(3.2)


- Página 46 -

Donde siΦ =flujo que atraviesa la espira “i” del estator, y riΦ =flujo que

atraviesa la espira “i” del rotor .

Donde sis ir ⋅ =caída de tensión óhmica en la espira “i” del estator, y

rir ir ⋅ =caída de tensión óhmica en la espira “i” del rotor.

pudiéndose escribir en notación matricial como:

(3.3)

Donde cada uno de los términos de la ecuación anterior representa una matriz de 3x3 o en su caso un vector de 3x1, siendo:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Vectores todos ellos de dimensión 3 que representan, las tensiones de alimentación de los devanados de las tres fases del estator y del rotor así como las corrientes que circulan por cada uno de los devanados.

Puesto que nos referimos a un motor de inducción con rotor de jaula de ardilla,

las tensiones y corrientes que se generan són nulas. Las matrices 3x3 són función de parámetros internos del motor.


- Página 47 -

Las relaciones entre los flujos y las intensidades son:

(3.8)

La matriz de coeficientes de acoplamiento, M, está formada por:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

En paralelo con las ecuaciones anteriores, que suelen tomar el nombre de

Ecuaciones de las tensiones en variables de la máquina, es necesario introducir la ecuación del par desarrollado por el motor.

La expresión del par electromagnético se puede calcular a través de la energía o

de la coenergía como:

(3.12)


- Página 48 -

La teoría de la conversión electromecánica nos proporciona la ecuación que expresa el par desarrollado por el Motor de inducción en todo momento, en función de las intensidades instantáneas que circulan por cada uno de los seis devanados, y del ángulo de separación entre el devanado “a” del estator y el devanado “a” del rotor. Teniendo en cuenta que nos referimos a un sistema lineal.

(3.13)

Donde M es la matriz de acoplamientos del motor de inducción definida

anteriormente como:

=

MrrMrsMsrMss

M (3.14)

Teniendo en cuenta que la matriz de acoplamientos entre las bobinas del estator , y la matriz de acoplamientos entre las bobinas del rotor, no dependen en absoluta del ángulo θ (ángulo entre la bobina “a” del estator y la bobina “a” del rotor, ver figura 3.3), es decir, son constantes y por tanto su derivada respecto al ángulo será nula, tenemos que

(3.15)

Teniendo en cuenta también que la matriz Msr (matriz de coeficientes de acoplamiento de los flujos creados por las bobinas del rotor y concatenados por las bobinas del estator ) es igual a la traspuesta de Mrs (matriz de coeficientes de acoplamiento de los flujos creados por las bobinas del estator y concatenados por las bobinas del rotor) Msr = Mrst, entonces

(3.16)

Que es la expresión con la que se obtiene el par eléctrico instantáneo del motor en función de las intensidades del rotor y del estator.

El conjunto de ecuaciones anteriores, principalmente las ecuaciones de las

tensiones en variables de la máquina, forman un sistema de ecuaciones


- Página 49 -

diferenciales, no lineal y con coeficientes no constantes, lo que complica su resolución numérica, y totalmente imposible su resolución analítica (a no ser que se considere la velocidad constante, es decir, en régimen permanente mecánico).

3.4 Planteamiento de la Transformada KU

En la práctica, las ecuaciones que se utilizan están referidas a uno de los devanados, en esta máquina se reducen al devanado del estator. Para ello simplemente se han de multiplicar las ecuaciones tensión-corriente de dichos devanados por la relación de espiras entre el estator y el devanado correspondiente.

Aunque no se diga explícitamente, siempre se supone que las ecuaciones están

reducidas al estator. Como ya hemos mencionado, trabajar con las ecuaciones mostradas hasta ahora

sería costoso de cálculo por su dependencia con el ángulo mecánico, θ , ya que aún suponiendo lineal el comportamiento magnético de la máquina (li y mij constantes) y que la velocidad mecánica es constante, se tiene un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes no constantes (periódicos).

Por este motivo, a las ecuaciones anteriores se les aplica una transformación

que las convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, suponiendo constante la velocidad mecánica y que el circuito magnético es lineal.

Si la velocidad mecánica no es constante o el circuito magnético no es lineal, se

tendrá un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. Una de las transformaciones más utilizadas es la de Ku. La transformación de

Ku tiene como principal cualidad que diagonaliza matrices circulantes, ya que tiene incorporada la transformación de Fortescue o de componentes simétricas. Está definida por

(3.17)

siendo a el operador complejo a = 3/2πje .


- Página 50 -

Se define a su vez, la transformada inversa de Ku, K-1(Ψ ) como:

(3.18)

siendo a el operador complejo a = 3/2πje . Se observa que K-1(Ψ ) = (KT(Ψ ))*. La transformación que se aplica a las ecuaciones de la máquina de inducción,

que en el caso trifásico son 6 ecuaciones, se compone de dos matrices de transformación de dimensión 3x3, de la forma

(3.19)

donde Ψ s y Ψ r son dos ángulos arbitrarios. Para eliminar la citada dependencia con la

posición angular del rotor, θ , deben cumplir que

(3.20)

La transformación compuesta también se puede escribir como:

(3.21)

Las tres referencias más utilizadas son:

Ø referencia fija al estator: Ψ = 0, Ø referencia fija al rotor:Ψ – θ = 0 Ψ = θ ,


- Página 51 -

Ø referencia en sincronismo (o fija al campo): Ψ = ω st, y en general, dtts ⋅= ∫ )(ωψ ?? siendo ω s la pulsación de las

tensiones del estator. Es evidente que

(3.22)

3.5 Ecuaciones Transformadas de Ku Si se utiliza la transformación de Ku, la matriz de transformación compuesta es

(3.23)

Aplicando la transformación de Ku a las ecuaciones de la máquina de inducción trifásica se tiene:

(3.24)

Por tener igual resistencia las tres bobinas del estator (rsa = rsb = rsc = rs) y las tres del rotor (rra = rrb = rrc = rr),

(3.25)

Definiendo las variables transformadas como

(3.26)


- Página 52 -

(3.27)

(3.28)

Si el sistema es lineal (no hay saturación),

(3.29)

Por último podemos definir la matriz

(3.30)

Esta matriz es constante (no depende de θ ). La de esta máquina, por ejemplo, vale

(3.31)

El sistema se puede escribir como

(3.32)


- Página 53 -

Operando y representando el operador derivada como p, se llega a:

(3.33)

siendo:

(3.34)

(3.35)

(3.36)


- Página 54 -

(3.37)

(3.38)

Y la expresión del par electromagnético:

(3.39)

Las variables transformadas son:

§ homopolar (subíndice 0), § forward (subíndice f), § backward (subíndice b).

Se puede observar que las componentes forward y backward, ambas complejas,

son conjugadas entre ellas:

(3.40)

motivo por el que sólo es necesario tener en cuenta la ecuación forward del estator y la del rotor, o las backward correspondientes.

Como además las bobinas del rotor están cortocircuitadas, no hay tensión

homopolar, luego al no haber excitación, la corriente homopolar del rotor es cero, y esa ecuación no hace falta estudiarla.

En resumen, para estudiar el comportamiento dinámico de la máquina de

inducción


- Página 55 -

trifásica, se han de estudiar:

ü la ecuación homopolar del estator, que está

desacoplada del resto de ecuaciones,

ü la ecuación forward del estator y la del rotor (o las

backward respectivas), que están acopladas entre

ellas,

ü la ecuación mecánica.

En función de la conexión de las bobinas del estator, la ecuación homopolar del

estator tampoco hará falta tenerla en cuenta. Por ejemplo, cuando se conecten en triángulo o en estrella con el neutro aislado.

Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales de orden 1, en

variables complejas, más una ecuación diferencial de orden 1, la homopolar, las cuales definen completamente el comportamiento eléctrico de la máquina.

Las ecuaciones de régimen permanente se pueden representar mediante el

circuito eléctrico de la siguiente forma.

Figura 3.4. Representación de las ecuaciones de régimen transitorio de la máquina de inducción trifásica.

Como las bobinas del rotor están cortocircuitadas, la tensión transformada del

rotor es nula, vrf = 0. Se utilizan las inductancias de dispersión de estator y rotor, definidas como

(3.41)


- Página 56 -

y las componentes forward de los flujos quedan

(3.42)

3.6 Ecuaciones y Esquema de Régimen Permanente Las ecuaciones y el esquema de régimen permanente son aquellos que definen

el comportamiento de las máquinas cuando se ha alcanzado el régimen permanente eléctrico y mecánico.

A pesar de que la velocidad mecánica de algunas máquinas en régimen

permanente eléctrico y mecánico no es rigurosamente constante (la velocidad tendrá un pequeño rizado en máquinas cuyo par de régimen permanente sea pulsante, como en máquinas monofásicas o en trifásicas con alimentación no simétrica.), las ecuaciones y el esquema de régimen permanente se obtienen en el supuesto de que permaneciera constante.

Para deducir las ecuaciones de régimen permanente de la máquina de inducción

trifásica utilizaremos las ecuaciones transformadas de Ku. Si la velocidad mecánica permanece constante y se elige una pulsación

ωψ ?constante, se tiene un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Las variables de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales tienen en régimen permanente la misma forma que las excitaciones.

Veamos como son las excitaciones de nuestro sistema. Si a limentamos la

máquina con un sistema simétrico de tensiones de secuencia directa: Para la fase “a”

(3.43)

Para la fase “b”

(3.44)


- Página 57 -

Para la fase “c”

(3.45)

La tensión del estator transformada, vsf, es

(3.46)

siendo a el operador complejo a= 3/2πje . Sustituyendo las tensiones de las tres fases y operando se llega a

(3.47)

Esta tensión es constante en la referencia en sincronismo, ss t ωωωψ ψ == ,

(3.48)

Como las excitaciones del sistema son constantes o nulas:

• vsf = cte,

• vsb = vsf* = cte,

• vs0 = 0, porque la alimentación es simétrica,

• vrf = vrb = 0, por ser nulas las tres tensiones del rotor,

• vr0 = 0, ídem,

las variables en régimen permanente serán constantes o nulas:

(3.49)


- Página 58 -

(3.50)

Nos interesaremos solamente por las ecuaciones forward . Como las variables en régimen permanente son constantes, sus derivadas son nulas. Las ecuaciones quedan

(3.51)

siendo s el deslizamiento

(3.52)

Dividiendo la ecuación del rotor por s,

(3.53)

Sumando y restando a la primera sfs iMjw ⋅ y a la segunda rfs iMjw ⋅ tendremos:

(3.54)

Estas ecuaciones se pueden representar con el conocido esquema de la Figura 2.3. Los fasores del mismo están relacionados con las variables de Ku mediante

(3.55)


- Página 59 -

Las reactancias son:

Figura 3.5 Esquema equivalente por devanado de la máquina de inducción trifásica válido para régimen permanente senoidal.

3.7 Análisis de un convertidor electromecánico en régimen dinámico Como ya hemos dicho, la máquina eléctrica se comporta como un convertidor de

energía. En nuestro caso esta conversión se realiza en el sentido motor. La conversión de energía, como convertidor electromecánico, se realiza transformando la energía eléctrica en energía mecánica.

El análisis de un convertidor electromecánico tiene por objeto determinar el

comportamiento del mismo ante cualquier variación de las variables de entrada. En este apartado plantearemos los pasos a seguir para y resolver de forma aplicada el

modelo matemático planteado en el capítulo anterior. Seguiremos punto por punto cada uno de los pasos ha realizar para resolver el

problema matemático y poder-lo transportar a un sistema de simulación programada. Plantearemos en primer lugar y de forma general, la metódica de resolución del

algoritmo usado. En segundo lugar se aplica el algoritmo al estudio directo de transitorios periódicos como, por ejemplo, la respuesta periódica de la máquina cuando se alimenta con tensiones trifásicas.

3.8 Solución de un sistema lineal de e.d.o. de coeficientes constantes La solución de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.) de

coeficientes constantes en la forma de ecuación de estado


- Página 60 -

(3.56)

está dada por

(3.57)

Donde eAt es la denominada exponencial matricial o matriz de transición. Este último nombre es debido a la idea de que cuando no hay excitación, u = 0, la transición del instante t0 al instante t, viene dada por eA(t-to).

El principal problema de este método es la evaluación de la exponencial matricial que

de forma analítica resulta un método demasiado costoso , o podríamos decir que casi imposible de resolver. Es pues, que haremos uso de herramientas de cálculo ya que existen programas que implementan algoritmos para la resolución de estos sistemas.

Matlab R12, es un programa de cálculo que lleva implementados distintos algoritmos

para la resolución de sistemas ecuaciones diferenciales. Algunos de ellos son simples funciones que de forma iterativa resuelven un sistema planteado con una resolución suficientemente aceptable.

Dicho algoritmo se va a aplicar a la resolución de las ecuaciones dinámicas de la

máquina de inducción trifásica, en el supuesto de que su velocidad permanezca constante.

La superioridad del algoritmo en cuanto a rapidez, precisión y estabilidad numérica

permite realizar simulaciones del motor de inducción en tiempos relativamente cortos sin necesidad de un gran procesador.

3.9 Planteamiento de la Resolución Matemática Se presenta a continuación la forma más general de resoluc ión del sistema, sin una

referencia específica. Muchos han estudiado con anterioridad la respuesta temporal de la máquina de

inducción, aunque con diferentes métodos y enfoques.


- Página 61 -

Aplicando la transformación de Ku a la máquina de inducción trifásica, en una referencia genérica1, y tomando como variables de estado las intensidades del estator y del rotor, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

(3.58)

Se ha omitido la componente backward por ser igual a la complejo conjugado de la forward y estar ambas desacopladas.

Las componentes homopolares también están desacopladas y, en caso de existir, cada

una de ellas es una ecuación diferencial de orden 1. Por lo tanto queda un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en

variables complejas. Si se supone que la velocidad mecánica, ω m, es constante y que el

ángulo del estator, ψ , se elige para que su pulsación, ψω , también lo sea, el sistema de e.d.o. tiene coeficientes constantes.

En la referencia fija al estator, ψω ? es constante por valer cero. En la fija al rotor, si la

velocidad mecánica es constante, ψω ?también lo es. Y en la referencia en sincronismo, ha de serlo la pulsación ω s.

Más adelante se concretará la referencia a utilizar ya que, dependiendo del tipo de

excitación, los cálculos resultarán más sencillos en una determinada referencia. Escribiendo estas ecuaciones en la forma de ecuación de estado se tiene

(3.59)


- Página 62 -

Siendo

(3.60)

(3.61)

Para un sis tema de tipo

(3.62)

Estas ecuaciones son la base del sistema y a partir de ellas se aplicará un método de resolución mediante un algoritmo de cálculo.

3.10 Elección de una Referencia En el apartado anterior se han obtenido las ecuaciones del motor de inducción trifásico

expresado en variables de KU en unas referencias a priori cualesquiera, es decir sψ y

rψ pueden tomar cualquier valor restringidas siempre a la igualdad rs ψθψ += . Donde sψ y rψ són los ángulos girados en las transformaciones de KU de las variables del estator y del rotor respectivamente, i θ es el ángulo de giro mecánico.


- Página 63 -

3.10.1 Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia del Estator Como se ha explicado anteriormente las ecuaciones están expresadas en una

referencia cualquiera, es decir, no se ha asignado ningún valor a sψ ni a rψ , la única condición que debían cumplir era que rs ψθψ += .

Las referencias que cumplan las condiciones anteriores son infinitas, pero solamente

una pequeña parte de ellas tienen interés desde el punto de vista del control del motor de inducción.

La referencia más natural, y a su vez en la que las ecuaciones del motor de inducción

quedan de una forma mas compacta, es la referencia fija al estator. Es en esta referencia en la que se trabaja el control directo del par. Para encontrar las ecuaciones del motor de inducción en esta referencia solamente se

a de tener en cuenta que la velocidad instantánea de giro de la transformación del estator es nula, mientras que la velocidad de giro de la transformación del rotor es mω− .

Esto parte del concepto de que

0=ψ (3.63)

y por lo tanto

0==dt

dw

ψψ (3.64)

con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de ψw por cero.

3.10.2 Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia de Sincronismo Sin ninguna duda , la referencia más utilizada en el control de par y velocidad del

motor de inducción , es la conocida referencia de sincronismo (igualmente conocida como la referencia orientada respecto al campo magnético).

Esta referencia corresponde a dos ejes perpendiculares d i q que giran a la misma

velocidad del campo magnético. Al igual que en la obtención de las ecuaciones del motor de inducción en la referencia

fija al estator, para obtenerlas en la referencia en sincronismo, únicamente se debe aplicar que la velocidad instantánea de giro de la transformación de KU del estator es ws


- Página 64 -

(velocidad de sincronismo), mientras que la velocidad instantánea de giro del rotor es ws-wm.


tws ⋅=ψ (3.65)

y por lo tanto

ss w

dttdw

dtd

w === ψψ (3.66)

con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de sww =ψ con

.2 frecws ⋅⋅= π (3.67)

3.10.3 Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia del Rotor Otra de las referencias mas comunes es la que se realiza frente al rotor. En este caso el

rotor parte como referéncia frente al desplazamiento θ . De la misma manera que en la obtención de las ecuaciones del motor de inducción en

la dos referencias anteriores, para obtenerlas en la referencia del rotor, únicamente se debe aplicar que la velocidad instantánea de giro de la transformación de KU del estator es wm (velocidad del rotor), mientras que la velocidad instantánea de giro del rotor es nula.


mθψ = (3.68)

y por lo tanto

mm w

dtd

dtd

w ===θψ

ψ (3.69)

con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de mww =ψ


- Página 65 -

3.11 Algoritmo de Cálculo Como ya hemos dicho todo el sistema de resolución matemática de las ecuaciones

diferenciales ordinarias de coeficientes constantes se realiza mediante el software de simulación Matlab R12. Algunos de los algoritmos que incorpora este tipo de software son:

ODE 45, ODE23, ODE113, ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB. Estos algoritmos se usan para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias ya

sean lineales o no en función del método. Lo que se plantea en este caso es la resolución de un sistema de ecuaciones ordinarias

de coeficientes constantes y solución lineal. Para la resolución de este tipo de sistemas se hace uso de la aplicación ODE45.

ODE45 resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, por

el método de la bisección [T,Y] = ODE45(ODEFUN,[T0 TFINAL],CI) integra el sistema de “n” ecuaciones

diferenciales desde un tiempo inicial ”to” a un tiempo final “tf” teniendo en cuenta las condiciones iniciales “CI”. La función ODEFUN(T,Y) debe devolver un vector columna correspondiendo a f(t,y). Cada fila en la serie de la solución corresponde a un valor de tiempo que retorna un valor en el vector de la columna T. para obtener las soluciones en los tiempos específicos tiempos T0,T1,... ,TFINAL (todo creciente o todo decreciente).

El algoritmo elegido se va a aplicar a la resolución analítica del régimen transitorio de

la máquina de inducción trifásica, suponiendo que la velocidad mecánica permanece constante, al menos, durante el paso de integración.

El algoritmo resulta especialmente interesante cuando la máquina está alimentada por

tensiones constantes a tramos, tipo PWM. Se utilizarán las ecuaciones transformadas de Ku, esto facilita de forma notable la

solución del sistema.

3.12 Pasos a Seguir para la Obtención del Transitorio Los pasos generales para obtener el transitorio en el caso de la máquina de inducción

son:


- Página 66 -

Paso 1: Elección de una referencia fija, ya sea la referencia de rotor, de estator o de sincronismo

Paso 2: Determinación de las tensiones de Ku, vsf y vrf a partir de las

tensiones de fase de entrada del motor Vsa, Vsb y Vsc (tensiones de estator).

Paso 3: Planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias según la referencia elegida después de realizar la transformación.

Paso 4: Obtención de las intensidades de régimen permanente en cada

tramo iso, iro, isf, irf y de las variables dependientes del ángulo de rotación. Resolución del sistema de ecuaciones lineales a partir de una referencia dada, mediante un algoritmo de cálculo.

Paso 5: Transformación de las intensidades de Ku a valores reales,

isa(t), isb(t), isc(t), ira(t), irb(t), irc(t). Paso 6: Representación de los datos obtenidos.

3.13 Planteamiento de los Seis Pasos sobre el Lenguaje de Programación

Paso 1 Elección de una Referencia Fija. La elección de una referencia nos permite tener un punto de partida para la resolución

del sistema. Hemos planteado tres tipos de referencias de entre las mas interesantes:

Ø referencia fija al estator: Ψ = 0, Ø referencia fija al rotor:Ψ – θ = 0 Ψ = θ , Ø referencia en sincronismo (o fija al campo): Ψ = ω st, y en

general, dtts ⋅= ∫ )(ωψ ?? siendo ω s la pulsación de las

tensiones del estator. Cada una de estas referencias plantea un sistema de ecuaciones diferenciales

paralelas, sobre la matemática del motor de inducción.


- Página 67 -

Para la referencia del estator,

0=ψ 0==dt

dw

ψψ (3.70)

para la referencia de sincronismo

tw s ⋅=ψ ss w

dttdw

dtd

w ===ψ

ψ (3.71)

y para la referencia de rotor

mθψ = mm w

dtd

dtd

w ===θψ

ψ (3.72)

Esto se transporta sobre programación en Matlab mediante un menú de elección de una de las tres referencias, escritas en código de la siguiente forma:

% Referencia Estator % t_phi = 0; w_phi = 0; Código 1. Referencia Estator % Referencia Sincronismo % t_phi = ws*t; w_phi = ws; Código 2. Referencia Sincronismo % Referencia Rotor % t_phi = p*y(6); w_phi = p*y(5); Código 3. Referencia Rotor donde se define p*y(6) y p*y(5) como el ángulo de desplazamiento del rotor y la

velocidad de este respectivamente, en función del número de pares de polos de la máquina.

La elección de una referencia en los pasos previos al cálculo define de forma explicita

el sistema de ecuaciones diferenciales.


- Página 68 -

Paso 2 Determinación de las Tensiones Transformadas Ku. Se considera como variables de entrada el sistema de tensión trifásica de alimentación

del estator que viene definido por. Para la fase “a”

(3.73)

Para la fase “b”

(3.74)

Para la fase “c”

(3.75)

Este Sistema planteado sobre programación queda representado por % Tensiones de estator Vsa = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs); Vsb = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs-a120); Vsc = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs+a120); Código 4. Tensiones de Estator A partir de las tensiones de entrada del motor Vsa, Vsb, Vsc (tensiones de

estator) se realiza la determinación de las tensiones transformadas (tensiones Ku) Vsf, Vrf por la relación siguiente:

La tensión del estator transformada, vsf, es

(3.76)

siendo a el operador complejo a= 3/2πje .


- Página 69 -

Planteado sobre la hoja de programación, % Constantes a = exp(i*2*pi/3); a120 = 2*pi/3; Código 5. Constantes de Cálculo % Tensiones transformadas Vso = (Vsa + Vsb + Vsc) / sqrt(3); Vsf = (Vsa + a*Vsb + a^2*Vsc)*exp(-i*t_phi) / sqrt(3); Vro = 0; Vrf = 0; Código 6. Tensiones Transformadas Donde Vs0 = 0, porque la alimentación es simétrica En cuanto a las tensiones del rotor se consideran nulas al estar el rotor en cortocircuito

puesto que estamos hablando de un motor con el rotor en jaula de ardilla. Paso 3: Planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Puesto que la referencia fija ha sido ya elegida en pasos previos, el sistema de

ecuaciones diferenciales queda ya establecido a partir del sistema de ecuaciones general. Las ecuaciones planteadas en función del conjunto de corrientes del motor son:

[ ]000

0 1sss

s

s irvLdt

di⋅−⋅= (3.77)

[ ]000

0 1rrr

r

r irvLdt

di⋅−⋅= (3.78)

(3.79)


- Página 70 -

i consideraremos además dentro del sistema las ecuaciones siguientes,

) (1

resistmm -

Jdtdw

ΓΓ= (3.80)

mm w

dtd

=θ

(3.81)

Donde se considera J=Jm+Jres (momento de inercia del rotor de la máquina mas momento de inercia de la carga), y se define el par desarrollado por la máquina como par mecánico tal y como se había planteado en el desarrollo matemático,

)Im(2)( *rfsf iiMt ⋅⋅=Γ (3.82)

Existen múltiples formas de definir el par resistente al que se somete la máquina. Una de estas formas puede ser aproximando el comportamiento de la carga por medio de un polinomio de grado “n”. En este caso se define el par resistente debido a carga que arrastra la máquina como:

2

21)( mwmwwomresis wBwBBw ⋅+⋅+=Γ (3.83)

Esta aproximación se hace mediante un polinomio de segundo grado con coeficientes Bw0, Bw1 y Bw2. El valor que toman estos coeficientes describen en todo momento la trayectoria del par en función de la velocidad de giro del motor.

Considerando como,

§ iso = y(1)

§ iro = y(2)

§ isf = y(3)

§ irf = y(4)

§ w = y(5)

§ θ = y(6);

Este sistema de ecuaciones diferenciales se traspasa a Matlab de la siguiente forma:

% Ecuaciones diferenciales % iso=y(1); iro=y(2); isf=y(3); irf=y(4); w=y(5); ang_mec=y(6);


- Página 71 -

dy(1,1) = 1/Lso * (Vso - Rs*y(1)); dy(2,1) = 1/Lro * (Vro - Rr*y(2)); dy(3:4,1) = - [Lr -M; -M Ls] / (Lr*Ls-M^2)*( [Rs+i*w_phi*Ls i*w_phi*M ; i*(w_phi-wm)*M Rr+i*(w_phi-wm)*Lr]*[ y(3) ; y(4) ] - [Vsf ; Vrf]); dy(5,1) = 1/mdi * (par_mec - par_res); dy(6,1) = y(5);

Código 7. Sistema de Ecuaciones Diferenciales % Par motor y par resistente par_mec = 2 * p * M * imag(y(3) * conj(y(4))); par_res = Bw0 + Bw1 * y(5) + Bw2 * y(5)^2; Código 8. Ecuaciones de Par

Recordemos que este sistema de ecuaciones diferenciales representa las ecuaciones tras haber aplicado la transformada Ku.

Paso 4: Obtención de las Intensidades de Régimen Permanente en Cada

Instante Una vez escogido de forma definitiva el sistema de ecuaciones diferenciales con una

referencia elegida a priori, ya solo cabe aplicar el algoritmo de cálculo para obtener una solución numérica en función de los parámetros temporales.

Paso 4.1: Variables de Inicio Antes de la aplicación del algoritmo de cálculo es necesario definir las variables de

entrada del mismo.

a) El “vector tiempo” que define el tiempo de simulación y el incremento del paso de integración.

b) Las condiciones iniciales en que se encuentra el motor

justo antes de iniciar la simulación. a) Vector tiempo. Para la aplicación del algoritmo es necesario predefinir el tiempo de simulación y el

paso de integración que deberá usarse para realizar las iteraciones de cálculo. Este vector viene definido por el tiempo inicial de simulación “to”, por el incremento

de muestreo (longitud del vector) y por el tiempo final de simulación “tf”.


- Página 72 -

Estos tres parámetros marcan un vector de tiempo de longitud (tf-to)/incremento desde to hasta tf. Expresado sobre Matlab,

% Vector de tiempo t=[to:inc:tf];

Código 9. Vector de Tiempo b) Condiciones Iniciales. Otro de los parámetros de entrada del algoritmo, hace referencia al estado en que se

encuentra el motor antes de iniciar la simulación y depende básicamente de si el motor en el instante inicial está en una posición de reposo o si por el contrario, este ya ha alcanzado el estado de régimen permanente.

Si el motor se encontrara en reposo solo cabe considerar como condición inicial, el

ángulo del motor, es decir, el ángulo de desplazamiento mecánico del rotor con respecto al estator justo en el momento del encendido, puesto que el valor de las corrientes y tensiones son nulas en el instante t0=0 y a su vez lo son la velocidad de rotación del motor y el par desarrollado en el eje puesto que la máquina se encuentra aún en estado de reposo.

Si por el contrario el motor ya ha alcanzado el régimen permanente será necesario

calcular inicialmente (para t0=0) los valores iniciales de las corrientes del estator y del rotor y a su vez la velocidad de giro del eje motriz.

Para el cálculo de dichos parámetros se hace uso del esquema del circuito equivalente

del motor en régimen permanente. Paso 4.2 Resolución Numérica El conjunto de pasos referente a la elección de la referencia , cálculo de las tensiones

transformadas y planteamiento de las ecuaciones se engloba dentro de una función básica. Esta función será la base para la aplicación del algoritmo de cálculo y tiene la siguiente estructura:

% KU_SINC % Funcion que realiza la transformacion KU de los parametros

del motor en la referencia de Sincronismo function dy=ku_sinc(t,y) % Variables Globales global nmotor In Mn Vrms frec p Rs Ls Rr Lr M mdi Bw0

Bw1 Bw2 ws Vmax Lso Lro global t_phi w_phi wm phi_Vs a120 a p_resis


- Página 73 -

% Referencia Sincronismo % t_phi = ws*t; w_phi = ws; wm = p*y(5); % Tensiones de estator Vsa = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs); Vsb = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs-a120); Vsc = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs+a120); % Tensiones transformadas Vso = (Vsa + Vsb + Vsc) / sqrt(3); Vsf = (Vsa + a*Vsb + a^2*Vsc)*exp(-i*t_phi) / sqrt(3); Vro = 0; Vrf = 0; % Par motor y par resistente par_mec = 2 * p * M * imag(y(3) * conj(y(4))); par_res = (Bw0 + p_resis) + Bw1 * y(5) + Bw2 * y(5)^2; % Ecuaciones diferenciales % iso=y(1); iro=y(2); isf=y(3); irf=y(4); w=y(5);

ang_mec=y(6); dy(1,1) = 1/Lso * (Vso - Rs*y(1)); dy(2,1) = 1/Lro * (Vro - Rr*y(2)); dy(3:4,1) = - [Lr -M; -M Ls] / (Lr*Ls-M^2)*(

[Rs+i*w_phi*Ls i*w_phi*M i*(w_phi-wm)*M Rr+i*(w_phi-wm)*Lr]*[ y(3) ; y(4) ] - [Vsf ; Vrf]);

dy(5,1) = 1/mdi * (par_mec - par_res); dy(6,1) = y(5);

Código 10. Ecuaciones transformadas para una Referencia de Sincronismo Esta función es el tercero de los parámetros introducidos en el algoritmo de cálculo,

junto con el vector tiempo y las condiciones iniciales del motor. Todo esto se resuelve en una línea en la que se genera la acción del algoritmo y viene escrita como:

% Calculo del sistema de ecuaciones ordinarias (funcion ode45) [t,y] = ode45('ku_sinc',[to:inc:tf],[0 0 is ir y5 ang_meco]); Código 11. Aplicación del Algoritmo de Cálculo ODE45 sobre Matlab


- Página 74 -

Esta función retorna dos valores matriciales. El vector de tiempo de la simulación y la matriz de valores calculados en función del vector anterior.

La matriz de valores corresponde al sistema de variables de forma correlativa y en el

mismo orden en el que se plantean las ecuaciones. De esta forma tenemos un conjunto de vectores fila que corresponden de la siguiente forma.

§ y(:,1) = vector de valores de iso

§ y(:,2) = vector de valores de iro

§ y(:,3) = vector de valores de isf

§ y(:,4) = vector de valores de irf

§ y(:,5) = vector de valores de w

§ y(:,6) = vector de valores de θ

Cada vector representa el valor de la variable en cada uno de los instantes de tiempo

de simulación, reflejando la respuesta del motor en un espacio transformado. Paso 5: Transformación de las intensidades de Ku a valores reales. En el paso anterior hemos obtenido mediante el algoritmo de cálculo , el valor de las

variables transformadas Ku para cada instante de simulación. El paso siguiente consiste en deshacer la transformación para obtener los valores de

las corrientes como variables reales, isa(t), isb(t), isc(t) para las corrientes de estator y, ira(t), irb(t), irc(t) para las corrientes del rotor.

Esto se resuelve deshaciendo la transformación inicial mediante la transformada

inversa de Ku, K -1(Ψ ):

(3.84)

siendo a el operador complejo a = 3/2πje . Se observa que K-1(Ψ ) = (KT(Ψ ))*.


- Página 75 -

Las variables transformadas son:

§ homopolar (subíndice 0), § forward (subíndice f), § backward (subíndice b).

Se debe observar que las componentes forward y backward, deben tratarse

como complejas y que son conjugadas entre ellas:

(3.85)

Teniendo en cuenta que la componente backward es igual al complejo conjugado de la

forward por estar ambas desacopladas y se obtienende la variable isf calculada anteriormente. De la misma forma se realiza sobre las variables del rotor.

La transformación que se aplica a las ecuaciones de la máquina de inducción,

que en el caso trifásico son 6 ecuaciones, se compone de dos matrices de transformación de dimensión 3x3, definidos como

⋅

=

−

−

−

sb

sf

so

jj

jj

jj

sc

sb

sa

iii

eaaeaeeaee

iii

ψψ

ψψ

ψψ

2

2

111

31

(3.86)

⋅

=

−

−

−

rb

rf

ro

jj

jj

jj

rc

rb

ra

iii

eaaeaeeaee

iii

ψψ

ψψ

ψψ

2

2

111

31

(3.87)

Al mismo tiempo es posible obtener los valores reales del par mecánico y el par resistente a partir de las nuevas variables.


- Página 76 -

Toda esta transformación se engloba tambíen en una función sobre software, de la siguiente manera:

% MÁQUINA DE INDUCCIÓN TRIFÁSICA ROTATIVA % Antitransformación de Ku referencia SINCRONISMO function [ist,irt,iso,isf,isb,par_mec,par_res] = no_ku_sinc(t,y) % Declaracion de variables globales global Lr M mdi Bw0 Bw1 Bw2 ws Vmax Lso Lro global t_phi w_phi wm phi_Vs a120 a % Referencia de Sincronismo t_phi = ws*t; w_phi = ws; %Transformación inversa de las intensidades %Referencia KU SINCRONISMO iso=y(:,1); isf=real(y(:,3)); isb=imag(y(:,3)); ist = zeros(length(y),3); irt = zeros(length(y),3); %Variables del estator ist(:,1)=(y(:,1)+exp(i*t_phi).*y(:,3)+exp(-i*t_phi).

*conj(y(:,3)))/sqrt(3); ist(:,2)=(y(:,1)+a^2*exp(i*t_phi).*y(:,3)+a*exp(-i*t_phi).

*conj(y(:,3)))/sqrt(3); ist(:,3)=(y(:,1)+a*exp(i*t_phi).*y(:,3)+a^2*exp(-i*t_phi).

*conj(y(:,3)))/sqrt(3); %Variables del rotor irt(:,1)=(y(:,2)+exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+exp(-i*(t_phi-

p*y(:,6))). *conj(y(:,4)))/sqrt(3); irt(:,2)=(y(:,2)+a^2*exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+a*exp(-

i*(t_phi-p*y(:,6))).*conj(y(:,4)))/sqrt(3); irt(:,3)=(y(:,2)+a*exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+a^2*exp(-

i*(t_phi-p*y(:,6))).*conj(y(:,4)))/sqrt(3); %Cálculo del par par_mec = 2*p*M*imag(y(:,3).*conj(y(:,4))); par_res = (Bw0+p_resis) + Bw1 * y(:,5) + Bw2 * y(:,5).^2;

Código 12. Transformación Inversa para una Referencia de Sincronismo


- Página 77 -

Hay que tener en cuenta que las variables obtenidas del algoritmo són vectores de la misma longitud que el vector tiempo y por lo tanto es necesario tratarlos de forma adecuada.

Las operaciones con dichos vectores producen un sistema de nuevos vectores

que describen de forma real el comportamiento de las variables de la máquina en cada instante.

Paso 6: Representación de los datos obtenidos. Para obtener la solución gráfica del sistema solo es necesario representar cada

una de las variables en función del tiempo de simulación. Cabe recordar que la transformada Ku es una transformación que se realiza

sobre variables complejas, por lo tanto, un algunos casos será necesario desdoblar cada uno de los valores obtenidos, en parte real y parte imaginaria para la obtención de variables específicas.

plot(t,real(ist(:,1)),'r',t,real(ist(:,2)),'b',t,real(ist(:,3)),'k') title('isa, isb, isc') plot(t,real(irt(:,1)),'r',t,real(irt(:,2)),'b',t,real(irt(:,3))) title('ira, irb, irc')

Código 13. Representación Gráfica de las Corrientes de Rotor y Estator

plot(t,y(:,1),'r',t,real(y(:,3)),'b',t,imag(y(:,3)),'k') title('iso, isf, isb')

Código 14. Representación Gráfica de las corrientes homopolar (subíndice 0), forward (subíndice f), backward (subíndice b).

plot(t,y(:,5)*60/2/pi,'r') title('Velocidad') ylabel('[r.p.m.]')

Código 15. Representación Gráfica de la Velocidad de giro del rotor [r.p.m]

plot(t,par_mec,'r',t,par_res,'b') title('Par mecánico (rojo) - Par resistente (azul)') ylabel('[Nm]')

Código 16. Representación Gráfica del Conjunto de Pares [r.p.m]

Capítulo 4 Software de Simulación

Software de Simulación

- Página 81 -

4. Software de Simulación

4.1 Implementación del Cálculo Numérico Sobre Matlab

El proceso de cálculo que se ejecuta sobre el software de programación de Matlab se realiza de una forma totalmente transparente para el usuario que decide hacer una simulación del motor de inducción en régimen dinámico.

Esta transparencia es debido a que todo el proceso se hace en un entorno visual con la ayuda de una serie de diálogos que permiten desplazarse entre las distintas opciones de simulación.

Este sistema de ventanas ha sido realizado mediante una aplicación de

programación que viene incorporada en el software de programación de Matlab y que lleva por nombre GUI (Graphical User Interfaces).

Con todo esto, el resultado final es un software de simulación que interactúa con el usuario de forma visual y muy simple.

A continuación vamos a exponer el funcionamiento de este programa en cada uno de sus pasos.

Nota:

En ningún caso se hará referencia a como se ha realizado la programación de todo este sistema de ventanas y opciones, puesto que además de que todo el conjunto se sumerge en un laberinto de líneas de código, acciones y funciones, bastante extenso hemos creído que aprender a programar en un entorno como este no es la finalidad del presente proyecto.

Si el lector quisiera aprender este sistema de programación o realizar alguna consulta sobre este lenguaje, hemos adjuntado dentro del Cd-Rom que acompaña al documento algunos manuales de programación en Matlab que le ayudaran a introducirse en este tipo de lenguajes de una forma clara y concisa.


- Página 82 -

4.2 Software de Simulación del Motor de Inducción

El software que a continuación se presenta, es una aplicación para la simulación del motor de inducción trifásico en régimen dinámico a partir de un modelo matemático.

Este software permite hacer simulaciones del motor de inducción para distintas maniobras de funcionamiento a partir del ajuste de varios parámetros como por ejemplo el tiempo de simulación, el estado del motor, tensiones de arranque, par resistente, etc.

4.2.1 Instalación del Programa

Para la instalación del software de simulación, solo es necesario configurar el

sistema de “direccionamiento” (Path) del programa Matlab desde la opción “Set Path” del menú “File” introduciendo las nuevas direcciones para cada una de las subcarpetas que se encuentran en la carpeta de Software Matlab del Cd-Rom.

Figura 4.1. Set Path


- Página 83 -

Una vez realizado este proceso solo será necesario teclear la palabra “mmi” sobre la línea de comandos del Matlab R12.

4.2.2 Funcionamiento de la Aplicación de Simulación

La aplicación de simulación del motor de inducción es lanzada desde la pantalla de comandos del Matlab R12 mediante la instrucción “mmi”.

4.2.2.1 Pantalla de Presentación

Lo primero que aparece una vez lanzada la aplicación, es la ventana de presentación que permanecerá sobre la pantalla durante unos instantes.

Figura 4.2. Pantalla de Presentación

4.2.2.2 Menu Principal

Después de la pantalla de presentación aparece rápidamente el menú inicial desde el cual parten todas y cada una de las simulaciones de las distintas maniobras de funcionamiento del motor aquí contempladas.


- Página 84 -

Figura 4.3. Menú Principal

Las maniobras de simulación son cinco:

1.- Simulación del Motor de Inducción en Régimen Dinámico. Motor en Vacio.

2.- Simulación del Motor Mediante Variación del Par Resistente.

3.- Simulación del Motor “Arranque por Variación de la Tensión de Alimentación”.

4.- Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de Corriente Contínua.

5.- Variación de la Frecuencia de la Tensión de Alimentación (Relación Vs/frec=ctte).

La elección de una de las opciones se realiza seleccionando con el ratón sobre uno de los cinco círculos de la banda izquierda. Haciendo un “click” con el botón izquierdo del ratón sobre el botón de “Siguiente = =>” permitirá pasar al tipo de simulación escogida.

El botón de “Fin” permite terminar con la aplicación, restaurando todo el sistema y cerrando todas pantallas.


- Página 85 -

4.2.3 Simulación del Motor de Inducción en Régimen dinámico

La simulación del motor de inducción en régimen dinámico se realiza desde este menú. En él, es posible ajustar todos los parámetros de simulación. A continuación haremos una descripción de todos y cada uno de los parámetros de ajuste junto con su aplicación con el correspondiente menú.

Figura 4.4. Parámetros de Simulación

1.- Descripción del Motor: La simulación se realiza sobre un motor de inducción trifásico de 7’5 caballos de potencia, alimentado a una tensión de 220 Voltios. Este motor lleva asociado una serie de características eléctricas y mecánicas, se incluyen en estos valores algunos parámetros nominales del motor como corriente nominal “In”, tensión nominal “Vrms”, par nominal “Mn”, frecuencia “f”, número de par de polos “f”, resistencia e inductancia del rotor y estator coeficiente de inducción mutua, momento de inercia del rotor etc.

Figura 4.5. Descripción del Motor

2.- Tipo de Transformación: Tal y como se explicó en el capítulo anterior, antes de la simulación es necesario escoger una referencia fija para poder definir el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cada una de estas referencias es apta para distintos tipos de simulación, ya sea con alimentaciones mediante tensiones PWM, o simulaciones de par y velocidad.

1

6

5

4 2

7

8

3


- Página 86 -

Figura 4.6. Menú de Selección de Referencia

Desplegando el menú de “Tipo de Transformación” nos permitirá elegir una transformación u otra.

3.- Vector de Tiempo: Cada una de las simulaciones vendrá marcada por la

elección del instante en el que se inicie la simulación, el instante final y el incremento de muestreo que utilizará el algoritmo de cálculo.

Figura 4.7. Parámetros del Vector Tiempo

Cabe recordar que el vector de tiempo viene estrictamente fijado por estos parámetros y que la elección de un incremento de muestreo demasiado pequeño o de un espacio de tiempo de simulación demasiado elevado provoca que los tiempos de cálculo del procesador se eleven de forma desmesurada.

La elección inadecuada de alguno de estos parámetros puede llegar a colapsar el procesador. Para evitar este efecto se ha limitado la longitud máxima de este vector, incluyendo una señal de aviso que aparece sobre la pantalla durante un breve instante de tiempo en caso de que se produjese una situación de este tipo.


- Página 87 -

Figura 4.8. Error de Tiempo de Simulación

Recordemos que el vector de tiempo se genera desde “to” tiempo inicial hasta “tf” tiempo final, y a su vez tiene una longitud de ./)( incrementott of −

4.- Desfase de Tensión: La simulación del régimen dinámico del motor depende a su vez, del instante exacto en el que se produce la conexión del motor a la red de alimentación trifásica. Esto condiciona el estado de desfase de la fase “a” con respecto al cero de referencia de la onda trifásica, y como consecuencia el desfase de las otras dos fases, fase”b” y fase “c” de alimentación del estator, que vienen desplazadas 120º y 240º respectivamente respecto a la fase “a”.

Figura 4.9. Ajuste del Desfase Inicial

del Sistema trifásico de Tensiones

5.- Ángulo mecánico: Al igual que el desfase de tensión, otro de los parámetros importantes en la simulación, es la situación de giro en la que se encuentra el rotor justo en el instante del arranque del motor.

Figura 4.10. Ajuste del Desfase Inicial del Ángulo Mecánico


- Página 88 -

6.- Simulación: El inicio de la simulación se realiza desde este botón, una vez escogidos todos los parámetros del menú.

Figura 4.11. Inicio de la Simulación

7.- Menú Inicio: La ejecución de esta opción nos devuelve al menú inicial de selección de maniobra donde aparecerá la pantalla del Menú Principal, lista para realizar la simulación de otra maniobra del motor.

Figura 4.12. Botón de Retorno al Menú Inicio

8.- Salir: El botón de salir permite terminar con la simulación actual, cerrando todas las ventanas y restaurando todo el sistema.

Figura 4.13. Salir de la Simulación

Estas ocho opciones son estándar en todas las ventanas de ajuste de parámetros de simulación de todas las simulaciones de maniobras que se han implementado.

Resultados Obtenidos

Para una primera simulación es aconsejable escoger las configuraciones que se muestran por defecto.


- Página 89 -

El proceso de simulación genera mediante dos bloques de gráficos, una representación de los resultados obtenidos por la simulación.

El primer bloque donde se representan el conjunto de corrientes del estator isa,

isb e isc, el conjunto de corrientes que se generan en el rotor ira, irb e irc, y el conjunto de corrientes transformadas, corriente homopolar (iso), corriente forward (isf) y corriente backward (isb).

Figura 4.14. Representación Gráfica de Corrientes

En el segundo bloque se representa una gráfica de la velocidad de giro del rotor del motor expresada en revoluciones por minuto, y una gráfica del par desarrollado por la máquina junto con el par resistente.


- Página 90 -

Figura 4.15. Representación Gráfica del Par y la Velocidad del Motor

4.2.4 Simulación del Motor de Inducción Mediante Variación del Par Resistente.

Las respuestas dinámicas del motor dependen en gran parte del par que debe

desarrollar el mismo. No olvidemos que estamos hablando de una máquina que transforma energía eléctrica en energía mecánica y su función principal es desarrollar un par suficientemente elevado para superar las condiciones exigidas en funcionamiento normal.

Esta opción de simulación permite ver como se comporta el motor en una situación de trabajo en la que se encuentra sometido a la acción de un par externo que debe arrastrar en toda la maniobra.

En este caso la máquina no se encuentra en vacío si no que se le suma un par de carga [Nm] sobre el eje del rotor. El par de carga no es siempre un par constante, si no que depende de del tipo de aplicación que se le de al motor.


- Página 91 -

Existen múltiples formas de definir el par resistente al que se somete la máquina. Una de estas formas puede ser aproximando el comportamiento de la carga por medio de un polinomio de grado “n”. En este caso se define el par resistente debido a carga que arrastra la máquina como:

2

21)( mwmwwomresis wBwBBw ⋅+⋅+=Γ (4.1) Esta aproximación se hace mediante un polinomio de segundo grado con coeficientes

Bw0, Bw1 y Bw2. El valor que toman estos coeficientes describen en todo momento la trayectoria del par en función de la velocidad de giro del motor.

La simulación permite variar el valor de estos coeficientes para expresar la ecuación

de par.

Figura 4.16. Simulación a Par Variable

4.2.5 Simulación del Motor de Inducción “Arranque por Variación de la Tensión de Alimentación”

Mediante esta pantalla es posible realizar una simulación del motor de inducción trifásico que es arrancado mediante una rampa de tensión aplicada en bornes del motor (tensión de estator).

La tensión aplicada varía de forma incremental desde un valor de tensión eficaz inicial hasta un valor de tensión eficaz final en un espacio de tiempo acotado durante toda la maniobra de arranque del motor.


- Página 92 -

Figura 4.17. Arranque por la Variación de la Tensión de Alimentación

Esta simulación permite variar los valores de tensión que toma la rampa a partir de los valores de tensión inicial y final, introduciendo los parámetros siguientes en las casillas adecuadas para tal fin.

1.- Tensión inicial de arranque del motor.

2.- Tensión final de régimen permanente

3.- Tiempo de Rampa. Espacio de tiempo desde que arranca el motor con tensión inicial hasta llegar a la tensión final

4.2.6 Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de Corriente Continua

Se denomina frenado dinámico y consiste en desconectar el estator de la red y aplicar un corriente continua por medio de una fuente auxiliar, de esta forma se produce un campo de amplitud constante que es fijo en el espacio y que al reaccionar con el campo giratorio del rotor provoca un frenado de la máquina.

Este tipo de frenado se utiliza en los trenes de laminación de plantas

siderúrgicas y se emplea para conseguir una parada rápida y exacta reduciendo el tiempo de paro de los accionamientos principales. Esta pantalla permite realizar la simulación de una maniobra de este tipo.


- Página 93 -

Figura 4.18. Frenado por Inyección de Corriente Contínua

Además de los típicos valores de simulación, es necesario ajustar los valores de

tensión continua aplicados a cada una de las fases del estator (fase a, fase b, fase c), e indicar en que instante de tiempo a partir del momento de arranque del motor, se producirá la ejecución de la maniobra.

Hay que tener en cuenta que esta simulación está diseñada para simular un frenado por aplicación de corriente continua cuando el motor se encuentre ya en funcionamiento en régimen permanente, y no antes.

4.2.7 Variación de la Frecuencia de la Tensión Vs de Alimentación

(Relación Vs/frec.=ctte)

Lo que se pretende simular en este apartado, es el arranque del motor de

inducción trifásico realizado mediante una rampa de tensión con una variación de la frecuencia de la misma manteniendo en todo instante una relación tensión-frecuencia constante.


- Página 94 -

Figura 4.19. Arranque por Variación de la Frecuencia (Vs/frec=ctte)

Para el ajuste de los parámetros de simulación, se dispone de un panel que

permite variar los valores de frecuencia que toma la rampa a partir de los valores de frecuencia inicial y final, introduciendo los parámetros siguientes en las casillas adecuadas para tal fin.

1.- Frecuencia inicial de arranque del motor.

2.- Frecuencia final de régimen permanente

3.- Tiempo de Rampa. Espacio de tiempo desde que arranca el motor con frecuencia inicial hasta llegar a la frecuencia final

Los valores de tensión se ajustan automáticamente a partir de los valores de frecuencia con una relación de proporcionalidad entre Tensión-Frecuencia igual a la que se establece en los valores nominales del motor.

Capítulo 5 Simulación

Simulación

- Página 98 -

5. Simulación

5.1 Simulación del Motor de Inducción en Régimen Dinámico. Motor en vacío.

En este capítulo se pretende realizar un análisis de valores sobre cada una de las simulaciones hechas por medio de las opciones que nos permite el software, y en general un análisis de los resultados obtenidos.

Se detalla en cada uno de los apartados una breve descripción de la maniobra a simular. Además, para cada una de estas maniobras, se relacionan una serie de características de comportamiento que suelen ir asociadas a las mismas. De esta forma se intenta ligar los resultados de la simulación, con el comportamiento real del motor, verificando así el correcto funcionamiento del modelo planteado.

La simulación en régimen dinámico tiene su mayor interés sobre el estudio del motor, en el momento de la conexión del mismo.

La maniobra de arranque directo se emplea únicamente en los motores de pequeña potencia. Este método se aplica a máquinas de una potencia inferior a 5 kW, cuando se trata de instalaciones conectadas a la red urbana (de esta forma no se sobrepasan los valores máximos admitidos por el reglamento). En las grandes industrias que tienen una gran potencia instalada recibiendo energía en A.T. y disponiendo de subestación transformadora puede llegarse a arranques directos con motores de hasta 100 CV.

La simulación en régimen dinámico se realiza sobre un motor de inducción trifásico que en condiciones de trabajo se encuentra en vacío, es decir, sin carga de arrastre sobre el eje del mismo.

Simulación

- Página 99 -


Los parámetros usados para esta simulación son los que se presentan sobre la

figura 5.1.

Esta simulación se ha ejecutado sobre un motor de 7 CV de potencia con

tensión nominal de 220 Voltios a una frecuencia de 50 Hz. La referencia escogida es la referencia de rotor y toda ella se realiza en el tiempo de arranque del mismo.

Además se supone que el motor ha estado conectado a la red trifásica de entrada de tensión en un momento de desfase de 100º y con los polos del rotor desplazados 20º respecto a los del estator.

Resultados de la simulación

Gráfico de Corrientes

Los resultados obtenidos vienen representados por un bloque inicial donde se dibujan las formas de las corrientes trifásicas del motor isa, isb, isc, ira, irb, irc, junto con el sistema de corrientes transformadas, corriente homopolar iso, corriente backward isb y corriente fordward isf.

Simulación

- Página 100 -

Figura 5.2. Gráfico de corrientes

Como es habitual en una máquina eléctrica rotativa aparece un consumo de corriente en los primeros instantes de la maniobra de arranque que disminuye a medida que la máquina se acerca a las condiciones de régimen permanente.

Según el Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión en su Instrucción MIBT

034, aptdo 1.5, fija los límites de la relación entre la corriente de arranque y la corriente de plena carga son:

Potencia Nominal del Motor Iarranque/Inominal

De 0’75 kW a 1’5 kW 4’5

De 1’5 kW a 5’0 kW 3

De 5’0 kW a 15 kW 2

De más de 15 kW 1’5

Tabla 5.1 Relación Iarranque /Inominal Según R.B.T.

Simulación

- Página 101 -

Estos valores no deben sobrepasarse en ningún de los casos si dicha máquina se encontrase conectada a una red urbana de consumo eléctrico.

En este caso la relación Iarranque /Inominal se sitúa muy por encima de los mismos.

Gráfico Velocidad, Par.

Figura 5.3 Gráfico Velocidad, Par.

Observando el desarrollo de la curva de velocidad en función del tiempo, podemos decir que el motor acelera en espacios de tiempo relativamente cortos siempre en función de sus características, hasta llegar a la velocidad nominal puesto que se trata de un motor de medianas dimensiones y media potencia.

Al igual que el sistema de corrientes, el par de arranque es inicialmente elevado puesto que el motor debe vencer en primera instancia el momento de inercia.

Simulación

- Página 102 -

A medida que se acerca a la velocidad de sincronismo, el par desarrollado tiende a ser nulo, puesto que el motor se encuentra en situación de vacio. En ese momento se fija la velocidad de régimen permanente del motor.

5.2 Simulación del Motor Mediante Variación del Par Resistente.

Algunos de los mecanismos que llevan acoplados un motor para aprovechar la

energía mecánica, arrastran cargas con par resistente constante independiente de la velocidad. Este tipo de par resistente lo poseen las grúas, ascensores, cintas transportadoras en las que permanezca constante el material que se desplaza y otros tipos de mecanismos en los que el par resistente principal sea el de rozamiento.

Otro tipo de mecanismos son aquellos en el que el par resistente es función del cuadrado de la velocidad y por ello presentan una curva de tipo parabólico. Este tipo de par se presenta en las bombas centrífugas, ventiladores, hélices, etc. Es decir en el movimiento de flluidos. Se conocen tambien como cargas de par resistente tipo ventilador.

Bajo la existencia de los pares, electromagnético M y resistente o de carga Mr se producirá el comportamiento dinámico del motor, que responderá a la ecuación clásica de la mecánica.

dtd

JMrMω

⋅=− (5.1)

Donde J es el momento de inercia de las partes giratorias del motor mas el mecanismo de accionamiento, y w es la velocidad angular (en rad./seg.).

En algunos casos el par de carga es combinación de ambos; recordemos que

hemos definido el par resis tente debido a la carga como:

221)( mwmwwomresis wBwBBw ⋅+⋅+=Γ (5.2)

Simulación

- Página 103 -

La simulación se realiza con un par resistente de tipo combinado (par constante + par parabólico) con coeficientes Bwo=2 (par constante) y Bw2=0.005 (par cuadrático con la velocidad).


Los valores de la simulación se muestran en la figura 5.5 y 5.6



Los valores de consumo de corriente son mayores y por tanto la relación Iarranque /Inominal sigue estando por encima de los valores máximos permitidos.

En esta simulación se analiza un motor sometido a un esfuerzo mayor. Las corrientes absorbidas son mayores cuanto mayor es el par de carga (Mr) puesto que el esfuerzo mecánico aumenta y como consecuencia el esfuerzo eléctrico.

Simulación

- Página 104 -



Todo el sistema electromecánico se encuentra sometido a fuerzas de arrastre que son proporcionales al par de carga tanto en el instante del arranque como en instantes posteriores.

Esto produce que el motor deba desarrollar un par superior al par resistente suma de ambos, para poder girar durante toda la maniobra. En el momento del arranque el sistema en régimen permanente se estabiliza en un convenio entre el par resistente total y el par desarrollado por la máquina que permanece mientras las condiciones no varíen.

En ese momento se establece la velocidad de giro en régimen permanente y

consiguientemente el deslizamiento producido por el campo asíncrono.

Simulación

- Página 105 -

Figura 5.6. Gráfico Velocidad, Par.

El tiempo de arranque del motor asíncrono también aumenta de forma proporcional al par resistente debido a que el motor se encuentra más forzado en toda la maniobra.

De la misma manera podemos justificar la disminución de la velocidad de

régimen permanente y como consecuencia el aumento del deslizamiento del motor.

5.3 Simulación del Motor “Arranque por Variación de la Tensión de Alimentación”.

Este tipo de arranque consiste en intercalar un transformador de tensión

variable entre la red de alimentación y el motor, de tal forma que la tensión aplicada en el arranque sea solo una fracción de la nominal. El proceso se realiza en una rampa de tensión desde un valor inicial de tensión de arranque hasta un

Simulación

- Página 106 -

valor final. Los valores de tensión suelen ser no inferiores al 40, 60 y 75% de la tensión de la línea. La velocidad de la máquina va aumentando a medida que aumenta la tensión de alimentación del propio motor hasta situarse en los valores nominales.

Todo el sistema depende en todo momento del valor de la tensión de estator para cada instante.

Figura 5.7.. Parámetros de Simulación

En este caso la simulación se ejecuta mediante una rampa de tensión que varía entre 100 y 220 Voltios de valor eficaz en un espacio de tiempo de medio segundo.

Rampa de Tensión

0

50

100

150

200

250

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Vector tiempo

Ten

sió

n d

e E

stat

or

Figura 5.8. Rampa de Tensión de Arranque

Simulación

- Página 107 -

Esta rampa esta representada como un sistema trifásico equilibrado de amplitud como en la mostrada en la siguiente figura y forma parte de los resultados obtenidos de realizar la simulación.

Figura 5.9. Rampa de Tensiones Trifásicas




Simulación

- Página 108 -

Este proceso de arranque produce un efecto directo sobre las corrientes iniciales absorbidas por el motor sobre la red trifásica disminuyendo de forma apreciable el valor de las mismas.

Esto tiene su explicación si tenemos en cuenta que, puesto que el valor de las tensiones iniciales es mucho menor las corrientes que se generan en el interior del motor en el instante inicial de la maniobra, se reducen de forma proporcional a la relación entre la tensión nominal y la tensión aplicada en cada instante.


Cabe recordar que el par desarrollado por la máquina depende de forma cuadrática con la tensión aplicada en bornes del motor.


Al mismo tiempo se aprecia como el tiempo de arrancada del motor está en acorde con el tiempo de la rampa de tensión. El motor no alcanza la velocidad de régimen permanente hasta que la tensión de estator no llega a su valor final. Este efecto permite regular el tiempo de arranque del motor y a su vez los valores de las corrientes iniciales teniendo siempre en cuenta la relación entre corrientes, tensiones y par máximo.

Simulación

- Página 109 -

5.4 Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de Corriente Contínua.

Esta maniobra se conoce como frenado dinámico. En la maniobra de frenado dinámico, encontrándose el motor en una situación de funcionamiento en régimen permanente, una vez que se ha desconectado la tensión de alimentación del estator, se le aplica una tensión de carácter continuo deteniendo el campo eléctrico generado por las fem’s, produciendo como consecuencia un frenado rápido del movimiento de giro inercial del motor hasta llegar a una situación de bloqueo del eje.

Este régimen de frenado se utiliza en la práctica cuando se desea parar rápidamente un motor.

El régimen de frenado de la máquina asíncrona se produce para deslizamientos superiores a la unidad, lo que corresponde a velocidades negativas. En esta situación el rotor sigue girando, frente a un campo eléctrico fijo.


En la maniobra que aquí se simula se le aplica una tensión de carácter continuo

de 75 VDC sobre una de las fases del estator (fase b) mientras se conectan las

Simulación

- Página 110 -

otras dos a masa, produciendo una diferencia de potencial de 75 Voltios de uno de los devanados respecto a los otros dos.



El consumo elevado de corrientes en el instante de frenado esta patente en la

simulación.

Cabe recordar que una vez que el motor haya alcanzado el estado de reposo es

necesario desconectarlo de la fuente de corriente continua, evitando así que se produzca un calentamiento excesivo del motor debido al consumo excesivo de corriente y como consecuencia un deterioro de los devanados del mismo.


Simulación

- Página 111 -

Durante todo el periodo de frenado de la máquina recibe energía mecánica por el eje y también energía eléctrica por la red. Esto origina grandes corrientes rotóricas con las consiguientes pérdidas por efecto Joul.


En esta gráfica se aprecia como el motor estando en un estado de régimen permanente se encuentra afectado por el efecto de un contrapar que le obliga a detenerse en un espacio de tiempo relativamente corto. El tiempo de frenada es proporcional a la diferencia de potencial aplicada en bornes del estator en el momento de ejecutar la maniobra.


El gran esfuerzo mecánico realizado se ve reflejado en esta gráfica, puesto que

se traduce en un esfuerzo electromecánico de gran importancia, al menos en los instantes iniciales donde el par giratorio y el contrapar de frenado distan de forma máxima.

Simulación

- Página 112 -

5.5 Simulación del Motor. Variación de la Frecuencia de la Tensión Vs de Alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)

La variación de la frecuencia de alimentación puede realizarse por medio de

convertidores de frecuencia rotativos, por ejemplo un alternador movido por un mecanismo regulable cuya tensión generado se aplica al estator del motor de inducción.

Sin embargo hoy día la conversión de realiza estáticamente por medio de SRC (rectificadores controlados de silicio o tiristores).

Lo que se genera aquí, es el arranque del motor de inducción mediante una rampa de frecuencia variable. La simulación se realiza entre unos valores de frecuencia entre la mitad de la frecuencia nominal y la misma.


En este caso la rampa de frecuencia viene relacionada de forma directa con la rampa de tensión por una constante que es la relación Vs/frecuencia para valores nominales del motor.

Simulación

- Página 113 -




Al igual que en el arranque por variación de la tensión de alimentación se

produce una disminución de las corrientes absorbidas al inicio de la maniobra que son proporcionales a la frecuencia, pero en este caso la reducción de corriente es debido además, a la baja frecuencia de la tensión de alimentación.

Esta frecuencia tan baja produce un giro del campo magnético muy lento que hace que el motor arranque a bajas revoluciones. Puesto que la velocidad de giro inicialmente es menor, el motor realiza la maniobra de arranque de forma menos brusca y de ahí la reducción notable de las corrientes en los instantes iniciales del arranque.

Simulación

- Página 114 -

Rampas de Tensión-Frecuencia

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2

Vector tiempo

V- Hz

Tensión Frecuencia

Figura 5.16. Rampas de Tensión-Frecuencia

Durante la regulación de la velocidad por medio de la frecuencia se debe mantener el flujo constante para que el par se conserve y la máquina disponga de una capacidad de sobrecarga suficiente; si despreciamos las caídas de tensión en el estator, la condición anterior se satisface si se mantiene constante la relación Vs/frecuencia, dando lugar a unas curvas de par en función del deslizamiento bastante rígidas en toda la zona de trabajo.


La maniobra de arranque se produce de forma más progresiva en todos los sentidos. El consumo de corriente es regulable en función de las necesidades al igual que el par desarrollado a una frecuencia dada, teniendo en cuenta siempre la dependencia de ambos parámetros.

Puesto que la velocidad del motor depende de forma directa de la frecuencia de la tensión de alimentación por la relación,

pf

n⋅

=60 (5.3)

Simulación

- Página 115 -

Entonces la rampa de frecuencias se encuentra reflejada sobre la rampa de aceleración del motor, puesto que ambas son directamente proporcionales.


A la vez manteniendo la relación Tensión/frecuencia constante el par de arranque de la máquina puede llegar a tomar valores de par máximo tal y como se expresa en las curvas de Par-Velocidad referidas a este tipo de maniobras.

Referencias

Referencias

- Página 119 -

Referencias

[1] E. Levi, “Impact of iron loss on behaviour of vector controlled induction machines,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 31, no. 6, págs. 1287-1296, nov./dic. 1995.

[2] F. Córcoles, J. Pedra y M. Salichs, Transformadores. Barcelona: Ed. UPC, 1996.

[3] J. Lesenne, F. Notelet y G. Seguier, Introduction a l'Electrotechnique Approfondie. Paris: Technique & Documentation, 1981.

[4] F. Córcoles, J. Pedra y M. Salichs, “Analytic algorithm for real-time induction machines control,” Proc. ICEM, Vigo, jul. 1996, vol. I, págs. 169-174.

[5] C. Moler y C. Van Loan, “Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix,” SIAM Review, vol. 20, no. 4, págs. 801-835, 1978.

[6] N. Balabanian, T.A. Bickart y S. Seshu, Teoría de Redes Eléctricas. Barcelona: Reverté, 1969.

[7] N.R. Namburi y T.H. Barton, “Time domain response of induction motors with PWM supplies,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. IA-21, no. 2, págs. 448-455, mar./abr. 1985.

[8] L. Ben-Brahim y A. Kawamura, “Digital current regulation of field-oriented controlled induction motor based on predictive flux observer,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 27, no. 5, págs. 956-961, sep./oct. 1992.

[9] S.R. Bowes y J. Clare, “Steady-state performance of PWM inverter drives,” IEE Proc., vol. 130-B, no. 4, págs. 229-244, jul. 1983.

[10] P. Vas, Electrical Machines and Drives. New York: Oxford University Press, 1992.

[11] D.J. Atkinson, P.P. Acarnley, y J.W. Finch, “Observers for induction motor state and parameter estimation,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 27, no. 6, págs. 1119- 1127, nov./dic. 1991.

[12] R. Nilsen y M.P. Kazmierkowski, “Reduced-Order observer with parameter adaptation for fast rotor flux estimation in induction machines,” IEE Proc., vol. 136-D, no. 1, págs. 35-43, ene. 1989.

[13] J. Böcker, “Discrete-time model of an induction motor,” ETEP, vol. 1, no. 2, págs. 65-71, mar./abr. 1991.

[14] O. Vainio, S.J. Ovaska, y J.J. Pasanen, “A digital signal processing approach to real-time ac motor modeling,” IEEE Trans. Ind. Electronics, vol. 39, no. 1, págs. 36-45, feb. 1992.

[15] L. Loron y G. Laliberté, “Application of the extended kalman filter to parameters estimation of induction motors,” Proc. EPE, Brighton, sep. 1993, págs. 85-90.

Referencias

- Página 120 -

[16] G. Pfaff, H. Segerer y A. Lelkes, “Resistance corrected and time discrete calculation of rotor flux in induction motors,” Proc. EPE, Aachen, 1989, págs. 499-504.

[17] N.S. Gehlot y P.J. Alsina, “A discrete model of induction motors for real-time control applications,” IEEE Trans. Ind. Electronics, vol. 40, no. 3, págs. 317-325, jun. 1993.

[18] G.E. Forsythe, M.A. Malcolm y C.B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977.

[19] E.A. Klingshirn y H.E. Jordan, “Polyphase induction motor performance and losses on nonsinusoidal voltage sources,” IEEE Trans. on PAS, vol. PAS-87, no. 3, págs. 624-631, mar. 1968.

[20] J. Pedra y M. Salichs, “Análisis del régimen permanente de motores de inducción alimentados con onduladores de tensión tipo PWM,” Actas de las 1as JHLIE, Vigo, jul. 1990, vol. I, págs. 127-137.

[21] J. Pedra, A. Fernández y H. Altelarrea, “Determinación del par instantáneo en máquinas de inducción alimentadas con onduladores de tensión tipo PWM,” Actas de las 2as JHLIE, Coimbra, jul. 1991, vol. I, págs. 90-97.

[22] S.R. Bowes y R.R. Clements, “Steady-state performance of PWM inverter drives,” IEE Proc., vol. 130, Pt. B, no. 4, págs. 229-244, jul. 1983.

[23] S.R. Bowes y R.R. Clements, “Computer aided design of PWM inverter systems,” IEE Proc., vol. 129, Pt. B, no. 1, págs. 1-17, ene. 1982.

[24] S.R. Bowes y R.R. Clements, “Digital computer simulation of variable-speed PWM inverter-machine drives,” IEE Proc., vol. 130, Pt. B, no. 3, págs. 149-160, may. 1983.

[25] F. Córcoles, J. Pedra y Ll. Guasch, “Algoritmo para el estudio de los huecos de tensión sobre las máquinas de inducción,” Actas de las 5as JHLIE, Salamanca, jul. 1997, vol. I, págs. 409-416.

[26] R.C. Dugan, M.F. McGranaghan y H.W. Beaty, Electrical Power Systems Quality. New York: McGraw-Hill, 1996.

[27] J.C. Das, “Effects of momentary voltage dips on the operation of induction and synchronous motors,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 26, no. 4, págs. 711-718, jul./agos. 1990.

[28] M.H.J. Bollen, “The influence of motor reacceleration on voltage sags,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 31, no. 4, págs. 667-674, jul./agos. 1995.

[29] IEEE Std. 446-1987, IEEE Recommended Practice for Emergency and Standby Power Systems for Industrial and Commercial Applications.

Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción...

Documents

Transcript of Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción...