Estudio de la formación de vórtices - U-Cursos vórtices espontáneos son producidos de forma...

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología IQ5802 – Laboratorio de Ingeniería Química II

Estudio de la

formación de vórtices

Alumno: Paulo Arriagada

Colaboradores: Soy Paz Allende

Christian Sagredo

Profesor guía: Juan Ramón Riquelme

Profesor: Jorge Castillo

Fecha realización: miércoles 30 de abril a

miércoles 14 de mayo de 2014.

Fecha entrega: miércoles 11 de junio de

2014.

Resumen Ejecutivo

El siguiente informe presenta el estudio realizado en el Laboratorio de Fluidodinámica de la FCFM

sobre vórtices. Se estudia la formación de dos tipos: espontáneos y forzados. Para el estudio se

realiza un análisis de los datos y se comparan con lo que ofrecen los modelos teóricos.

Se determinó que los datos experimentales se ajustan bastante a los valores teóricos. Sin

embargo, existe una correlación entre ellos de acuerdo a las constantes de los modelos, por lo que

los resultados están ajustados entre sí. A pesar de eso, los comportamientos de las curvas teórica y

experimental son muy similares.

Se logró determinar que con una boquilla de mayor diámetro el perfil del vórtice espontáneo es

más abierto que el que se genera con una boquilla de menor tamaño. Además, la velocidad

angular decrece a medida que la distancia desde el eje de rotación aumenta.

Para un vórtice forzado, se observó que un vórtice de mayor altura genera una velocidad angular

mayor, pues necesita trasladar agua hacia la parte superior.

De esta forma, se puede decir que los objetivos de la experiencia fueron cumplidos, pues se

comprendió y estudió la formación de los vórtices.

Finalmente, existen errores de instrumentación y humanos. Sin embargo, existen posibilidades de

mejorar y minimizar el impacto de los problemas de medición con los instrumentos del equipo.

Para ello se recomienda enderezar las agujas de medición para vórtices espontáneos.

Índice

1.- Introducción ................................................................................................................................... 4

1.1.- Antecedentes .......................................................................................................................... 4

1.2.- Marco Teórico ......................................................................................................................... 4

1.3.- Objetivos.................................................................................................................................. 7

1.4.- Metodología ............................................................................................................................ 7

1.5.- Resultados Esperados .............................................................................................................. 8

2.- Resultados ...................................................................................................................................... 9

2.1.- Vórtice espontáneo ................................................................................................................. 9

2.2.- Vórtice forzado ...................................................................................................................... 12

3.- Discusiones ................................................................................................................................... 16

4.- Conclusiones ................................................................................................................................ 18

5.- Anexos .......................................................................................................................................... 19

5.1 Datos Experimentales ............................................................................................................. 19

5.2 Ejemplos de cálculo ................................................................................................................. 20

a. Linealización de datos experimentales para vórtice espontáneo ......................................... 20

b. Cálculo de B y 𝑧∞ de la Ecuación 3 ....................................................................................... 21

c. Cálculo de velocidad angular a partir de las revoluciones por segundo ............................... 22

5.3 Nomenclatura .......................................................................................................................... 22

5.4 Bibliografía .............................................................................................................................. 22

1.- Introducción

1.1.- Antecedentes

Cuando la masa de un fluido adquiere un movimiento de rotación alrededor de un eje, aparecen

diversas fuerzas reales que provocan un gradual hundimiento de la masa del fluido en la zona

cercana al eje, produciendo un menisco, en donde la parte central está a menor altura que la parte

más alejada del eje. Ejemplos de estos fluidos en rotación son los remolinos de agua, los ciclones,

tornados y huracanes.

Un ejemplo cotidiano de la formación de vórtices es cuando se revuelve algún líquido, como té o

café. Mientras se mueve la cuchara en círculos a velocidad angular constante, se puede observar

que el vórtice se mantiene. Esto quiere decir que la diferencia de altura “z” para dos distancias “r”

al eje de rotación es constante. Por lo tanto, corresponde a un vórtice estacionario.

Si se deja de revolver, el movimiento de rotación del líquido va disminuyendo y la altura total del

vórtice decrece en función del tiempo, debido a la pérdida de energía debido a diversas fricciones.

Esta disipación de energía que se produce corresponde a los llamados vórtices no estacionarios.

En esta experiencia se procedió a estudiar la formación de vórtices hidrodinámicos, es decir,

formados en un cilindro que contiene agua.

1.2.- Marco Teórico

Además de la clasificación de los vórtices en estacionarios y no estacionarios, es posible obtener

otra clasificación, a partir de la definición de la vorticidad. Esta magnitud física es usada para

cuantificar la rotación de un fluido, es decir, indica la curvatura del vector velocidad en un punto

dado. La descripción matemática de este concepto se muestra en la Ecuación 1.

𝛺=∇ x V Ecuación 1

Donde:

𝛺: vorticidad.

∇: operador diferencial Nabla.

V: vector velocidad.

Bajo esta magnitud, se pueden diferenciar dos tipos de vórtices: espontáneos y forzados.

http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla#.C3.81lgebra_del_operador_.E2.88.87

Los vórtices espontáneos son producidos de forma natural cuando un contenedor se desagua por la

parte inferior a través de una obertura. Su vorticidad es nula, es decir, es un fluido irrotacional.

Los vórtices forzados se producen por la acción de un agente externo que mueva el cilindro

contenedor y genere un movimiento circular del líquido. Su vorticidad es no nula, por lo que se

comporta como un fluido rotacional.

Estos conceptos de pueden apreciar en la Figura 1, en las letras c) y d) para cada uno de los vótices.

Por otro lado, la Ecuación 2 muestra un modelo general que describe el comportamiento de los

vórtices. Ésta es la ecuación de Euler.

−𝑑

𝑑𝑟(𝑝 + 𝛾 ∙ 𝑧) = −𝜌

𝑉

2𝑟 Ecuación 2

Donde:

𝑝: presión sobre la superficie del fluido.

𝛾: producto de la densidad por la aceleración gravitacional.

z: altura.

ρ: densidad del fluido.

V: velocidad del fluido.

r: distancia al eje de rotación (radio).

A partir de esta ecuación, se llega a dos modelos matemáticos que describen el comportamiento de

ambos tipos de vórtices, espontáneos y forzados, mostrados por las Ecuaciones 3 y 4,

respectivamente. Éstas muestran una relación entre la altura y el radio.

𝑧(𝑟) = 𝑧∞ − 𝐵2

2𝑔𝑟2 Ecuación 3

Donde:

𝑧∞: altura máxima del vórtice; corresponde a la altura en la mayor distancia al eje de rotación.

B: constante del modelo.

g: aceleración de gravedad.


𝑧(𝑟) =ω2

0

2𝑔𝑟2

Ecuación 4

Donde:

ω0 : velocidad angular inicial del vórtice.

g: aceleración de gravedad.


El comportamiento de ambos vórtices se observa en la Figura 1, letras a) y b).

Figura 1: perfil de vórtice forzado (a) y espontáneo (b). Además, vorticidad en vórtice forzado (c) y en vórtice espontáneo (d). Se observa una vorticidad positiva para el vórtice forzado, y una vorticidad nula para el vórtice espontáneo.

Por otro lado, la velocidad angular para un vórtice espontáneo viene dado por la Ecuación 5, y para

un vórtice forzado viene dado por la Ecuación 6.

ω=ω0𝑟0

2

𝑟2 Ecuación 5

Donde:

ω: velocidad angular del vórtice.


𝑟0: distancia al eje de rotación en el punto más alejado del eje (radio máximo).


ω=ω0 Ecuación 6

Donde:

ω: velocidad angular del vórtice.


Esto implica que la velocidad angular para el vórtice espontáneo disminuye conforme se aumenta

el radio, por lo que en radios mayores los puntos del fluido giran más lentos. Por otro lado, para un

vórtice forzado la velocidad angular es constante en cada punto del fluido, por lo que en todos lados

giran a la misma velocidad.

Para el cálculo de la velocidad angular en la superficie del vórtice, se utiliza la Ecuación 7, que

relaciona el número de revoluciones por segundo en que un punto del fluido gira con la velocidad

angular en ese punto.

ω = 2 ∗ π ∗ n Ecuación 7

Donde:

ω: es la velocidad angular.

n: es el número de revoluciones por segundo que un punto gira alrededor del eje.

1.3.- Objetivos

General

- Estudiar el comportamiento de los vórtices forzados y espontáneos.

Específicos

- Comparar el modelo teórico con los datos experimentales.

- Establecer una relación entre tamaño de apertura, perfil de vórtice y velocidad angular.

1.4.- Metodología

Para estudiar un vórtice espontáneo:

1. Encender el equipo.

2. Configurarlo para generar un vórtice espontáneo.

3. Seleccionar un diámetro de orificio para la salida.

4. Generar el vórtice.

5. Medir la altura del fluido respecto al radio.

6. Medir las revoluciones por segundo respecto al radio.

7. Apagar el equipo.

8. Repetir pasos 3 a 7 para otro diámetro de boquilla.


Para estudiar un vórtice forzado:

1. Encender el equipo.

2. Configurar el equipo para generar un vórtice forzado.

3. Generar el vórtice para una altura máxima determinada.

4. Medir la altura del fluido respecto del radio.

5. Calcular las revoluciones por segundo de las aspas.

6. Repetir pasos 3 al 5 para otras alturas máximas.


1.5.- Resultados Esperados

Se espera que los datos obtenidos tengan las formas descritas en la Figura 2.

Figura 2: perfiles esperados para vórtice espontáneo (izquierda) y para vórtice forzado (derecha).

Además, se espera que la velocidad angular para el vórtice espontáneo disminuya con el radio y que

para el vórtice forzado sea constante.

2.- Resultados

2.1.- Vórtice espontáneo

A continuación se presentan los gráficos (1 al 4) obtenidos de radio v/s altura de vórtice para cada

una de las boquillas, comparadas con la teoría.

Gráfico 1: comparación entre datos experimentales y el modelo teórico para una boquilla de salida de 2,4 [cm].


0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Boquilla 2,4 [cm]

Datos Experimentales

Teoría

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Boquilla 1,5 [cm]


Teoría

Gráfico 3: comparación entre datos experimentales y el modelo teórico para una boquilla de salida de 1,2[cm].


El siguiente Gráfico 5 muestra la comparación del perfil obtenido para cada una de las boquillas.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Boquilla 1,2 [cm]


Teoría

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Boquilla 0,8 [cm]


Teoría

Gráfico 5: Comparación entre los distintos diámetros de boquilla para un vórtice espontáneo.

Por otro lado, el Gráfico 6 muestra la variación de la velocidad angular ω experimental respecto al

radio para cada boquilla, y la comparación con ω teórica.

Gráfico 6: velocidad angular para las distintas boquillas respecto al radio del vórtice espontáneo, y la comparación entre

los datos obtenidos experimentalmente y la teoría.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Comparación entre boquillas

2,4 [cm]

1,5 [cm]

1,2 [cm]

0,8 [cm]

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160

w [

1/s

]

Radio [mm]

Velocidad angular téorica y experimental

w (2,4) Teórico

w (2,4) Experimental

w (1,5) Teórico


w (1,2) Teórico


w (10,8) Teórico


2.2.- Vórtice forzado

Los Gráficos del 7 al 12 muestran la comparación entre los datos experimentales y la teoría asociada

a un vórtice forzado para cada vórtice estudiado de distintas alturas máximas.

Gráfico 7: comparación entre datos experimentales y el modelo teórico para una altura máxima de 12,6 [cm].


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Altura máxima 4,8 [cm]


Teoría

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]



Teoría



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Atura máxima 4,9 [cm]


Teoría

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]



Teoría



El Gráfico 13 a continuación muestra la comparación de los perfiles obtenidos para cada uno de los

vórtices de distintas alturas máximas.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]



Teoría

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]



Teoría

Gráfico 13: Comparación de perfiles entre los vórtices forzados de distintas alturas máximas.

La Tabla 1 corresponde a una comparación de la velocidad angular ω entre los datos experimentales

obtenidos y la teoría para cada uno de los vórtices forzados estudiados.

Altura [cm] 4,8 5,2 4,9 4,4 3,9 3,7

ω teórico [1/s] 11,2 11,3 11,0 10,8 10,6 10,5

ω experimental [1/s] 12,0 11,8 11,3 11,5 9,9 10,9 Tabla 1: Comparación de w teórico y experimental para cada uno de los vórtices forzados de distintas alturas máximas.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

Alt

ura

[m

m]

Radio [mm]

Comparación de alturas máximas

4,8 [cm]

5,2 [cm]

4,9 [cm]

4,4 [cm]

3,9 [cm]

3,7 [cm]

3.- Discusiones

Los Gráficos 1 al 4 muestran la comparación entre los datos experimentales y la teoría. Como se

observa, las dos curvas en cada gráfico se corresponden bien, llegando a ser bastante similares. Si

bien esto es bastante bueno, es necesario recalcar una cosa: las constantes de la Ecuación 3, vale

decir, B y 𝑧∞, fueron calculadas a partir de una linealización de los datos experimentales, tal como

se describe en Anexo 5.2.a y 5.2.b. Esto implica que el modelo teórico está ajustado por sí mismo a

los datos experimentales, por lo que tendrá una forma similar a esos datos, por lo que su error será

mínimo.

Por otro lado, el Gráfico 5 muestra la comparación entre los perfiles obtenidos por las boquillas. Se

observa que con una boquilla de diámetro pequeño el perfil es más cerrado, es decir, el punto de

inflexión, donde se genera la curva, se produce más cerca del eje de rotación. Esto se debe a que el

desagüe del cilindro contenedor se hace más cerca del eje de rotación, lo que empuja el agua hacia

abajo más cerca de ese eje en comparación con una boquilla más grande. Luego, la acción de las

fuerzas en el fluido tratan de mantenerlo cercano al eje, hasta que en un punto el peso del fluido es

mayor que el empuje centrífugo de las partículas, por lo que se produce el punto de inflexión y el

fluido se aleja del eje de rotación.

Como se observa en el Gráfico 5, este punto de inflexión se produce en una menor altura cuando

mayor es la boquilla. Esto puede ser debido a que, como la boquilla es más grande, arrastra más

masa de agua, por lo que el peso es mayor. De esta forma, el punto de inflexión se genera a una

menor altura.

El Gráfico 6 muestra la variación de la velocidad angular ω respecto al radio, para cada boquilla.

Como se observa, la velocidad disminuye a medida que el radio crece, es decir, en las cercanías del

centro de rotación la velocidad angular es máxima, y cerca del borde del contenedor es mínima. Por

otro lado, se observa que los datos experimentales se acercan a las curvas del modelo teórico. Sin

embargo, no es del todo bueno, pues, como indica la Ecuación 5, se debe determinar la velocidad

angular en el radio que corresponde a la altura máxima, es decir, en el lugar más alejado del eje de

rotación (𝜔0). Esta medida solo se puede realizar de forma experimental, por lo que la parte teórica

se correlaciona con los valores experimentales cercanos a ese radio. Esto último se observa en el

gráfico, donde los datos en el radio de 150 milímetros coinciden, pues en ese lugar se determinó

experimentalmente la velocidad angular 𝜔0. Este valor se encontró a través de la cantidad de

vueltas que realiza un cuerpo en ese radio máximo por determinado tiempo, obteniéndose un valor

que usado en la Ecuación 7 da el valor de 𝜔0 [ver Anexo 5.2.c].

Los gráficos del 7 al 12 muestran las comparaciones entre los datos experimentales y la teoría para

vórtices forzados con distinta altura máxima. Cabe mencionar que al decir “altura máxima”, se

refiere a la altura medida en el laboratorio que se observó era la mayor que alcanzaba el vórtice. Al

igual que los vórtices espontáneos, se observa una correlación bastante buena entre ambas curvas,

pues son bastante similares. Sin embargo, nuevamente es necesario aclarar que, como indica la

Ecuación 4, el modelo teórico depende de un parámetro que es solo determinable

experimentalmente. Este parámetro (𝜔0), se determina a través de la rotación de las aspas de la

rueda móvil, obteniéndose un parámetro que es usado en la Ecuación 7 para determinar la velocidad

angular buscada [ver Anexo 5.2.c]. A pesar de ello, la comparación con el modelo teórico es más

confiable que en el caso de vórtices espontáneos, pues solo se debe determinar una constante

experimentalmente, que no depende directamente de los datos obtenidos, al contrario de lo que

sucede en los vórtices espontáneos, donde ambas constantes se determinan a partir de la

experiencia.

El Gráfico 13 muestra la comparación entre los distintos vórtices forzados estudiados. Se puede

observar que un vórtice más bajo, es decir, de menor altura máxima, genera una mayor apertura de

la curva. Esto se debe a que, para alcanzar esa altura en el borde del contenedor, se necesita

desplazar menos agua, de tal forma que la altura disminuya. Esa agua se transfiere a las zonas bajas

del vórtice haciendo que la curvatura de este sea más suave, con menor pendiente. En caso

contrario, para llegar a una mayor altura, se ocupa agua de las zonas bajas para aumentar la masa

de agua, lo que produce mayor pendiente en la curva y, por ende, menor suavidad.

Por otro lado, la Tabla 1 muestra la comparación de la velocidad angular teórica y experimental para

cada uno de los vórtices. Se observa que las velocidades angulares se parecen bastante entre sí,

particularmente las teóricas. Se verifica, de esta forma, que una mayor altura del vórtice en el

contenedor genera una mayor velocidad angular del fluido. Esto tiene sentido pues, para levantar

un líquido que está girando, se debe aumentar la velocidad de rotación. Esto se puede apreciar

cuando se revuelve agua en un vaso con una cuchara: mientras más rápido se haga ese giro, más se

levanta el fluido, hasta rebosar del vaso. Este aumento en la velocidad es resultado del aumento de

la fuerza centrífuga que dirige al vórtice, que hace que se desplace agua hacia arriba, lo cual

aumenta la altura máxima que alcanza ese vórtice.

Por último, existen errores instrumentales y humanos en el proceso de toma de datos. En el caso de

los vórtices espontáneos, las agujas para medir la distancia desde el centro están deformadas, lo

cual complica las mediciones. Esto se suma a que el sistema de medición depende fuertemente de

la visión particular de la persona que está observando, pues solo se tiene la graduación que está en

el equipo. Para los vórtices forzados, no se necesitan las agujas antes mencionadas, por lo que el

sistema de medición es más confiable. Sin embargo, aún depende de la persona que mide.

Una fuente de error importante que es menester comentar, es la estabilidad del vórtice. La altura a

la que se mantiene el vórtice durante la experiencia debe ser constante, y eso es difícil de lograr con

una llave que se abre o cierra dependiendo de lo que se requiere. Como este manejo se realiza

manualmente, está sujeto también a la persona que lo hace, lo que no permite que la altura del

vórtice sea fácil de manejar.

4.- Conclusiones

A través de la experiencia se logró estudiar el comportamiento de los vórtices espontáneos y

forzados. Se pudo correlacionar de buena manera los datos experimentales con la teoría. Si bien los

parámetros utilizados en el modelo teórico dependen de la experiencia, muestran los ajustes

necesarios para establecer una comparación entre ellos, pues se comportan de forma muy similar.

Para los vórtices espontáneos se logró establecer una relación entre el tamaño de la abertura de la

boquilla con el perfil del vórtice. Además, se logró comprobar la relación inversa entre la velocidad

angular y el cuadrado del radio del vórtice.

En los vórtices forzados, se relacionó la velocidad angular con la altura máxima del vórtice y la forma

de la curva de la superficie. Si bien esta es una conclusión buena, es necesario realizar más

experimentos al respecto, pues los datos obtenidos se tornan difusos cuando se quiere estudiar esta

relación, tal como lo muestra el Gráfico 5, donde las líneas se entrecruzan y se acercan bastante

entre sí. Por ello hay que aumentar el rango de alturas máximas de estudio, con el fin de disminuir

la incertidumbre de los datos.

Los errores experimentales son inevitables. Sin embargo, se debe disminuir su ocurrencia. Una de

las sugerencias que se hace es que se arreglen las agujas de medición de los vórtices espontáneos,

de tal forma de poder medir con mayor precisión las distancias al eje de rotación.

5.- Anexos

5.1 Datos Experimentales

Radio [mm] Altura [mm]

Radio [mm] Atura [mm]

11 80 6 80

12 85 6 85

12,9 90 6,5 90

14 95 7 95

14,5 100 8 100

16 105 8,5 105

19 110 10 110

22 115 11 115

25 120 13 120

31,5 125 17 125

44 130 23 130

36 135

Tabla 2: Datos obtenidos para vórtice espontáneo para boquilla de 2,4 [cm] (izquierda) y 1,5 [cm] (derecha) de diámetro.

Radio [mm] Atura [mm]

Radio [mm]

Atura

[mm]

5 110 5 125

6 115 6 127,5

7 120 7 130

9 125 9,5 135

12,5 130 11 137,5

22 135 17 140

29 137 28 142,5

Tabla 3: Datos obtenidos para vórtice espontáneo para boquilla de 1,2 [cm] (izquierda) y 0,8 [cm] (derecha) de diámetro.

R [mm] 50 100 150

n (2,4) 3,96 1,03 0,49

n (1,5) 3,23 0,56 0,33

n (1,2) 1,93 0,49 0,25

n (0,8) 1,89 0,48 0,21 Tabla 4: Revoluciones por segundo para distintas boquillas en diferentes radios.

Radio [mm] Altura [mm] (3,7 [cm])

Altura [mm] (3,9 [cm])


0 126 114 102

30 134 119 107

50 142 129 118

70 154 141 130

90 169 158 149

110 197 184 175

Tabla 5: Datos experimentales obtenidos para vórtices forzados de altura máxima de 3,7 [cm], 3,9 [cm] y 4,4 [cm].

Radio [mm] Altura [mm] (4,9 [cm])



0 91 83 78

30 96 89 81

50 107 100 89

70 119 113 101

90 140 135 124

110 166 162 155

Tabla 6: Datos experimentales obtenidos para vórtices forzados de altura máxima de 4,9 [cm], 5,2 [cm] y 4,8 [cm].

Altura [cm] 4,8 5,2 4,9 4,4 3,9 3,7

n [Revoluciones/s] 1,9 1,9 1,8 1,8 1,6 1,7

Tabla 7: Revoluciones por segundo obtenidas para vórtice forzado en diferentes alturas máximas.

5.2 Ejemplos de cálculo

a. Linealización de datos experimentales para vórtice espontáneo

Tomando los datos experimentales para la boquilla de 2,4 [cm] de diámetro de la Tabla 2 izquierda,

se obtiene el inverso del radio al cuadrado:

Radio [mm] Altura [mm]

1/Radio^2 [1/mm^2]

11 80 0,0083

12 85 0,0069

12,9 90 0,0061

14 95 0,0051

14,5 100 0,0048

16 105 0,0039

19 110 0,002770083

22 115 0,002066116

25 120 0,0016

31,5 125 0,001007811

44 130 0,000516529

Luego, graficando en el programa Microsoft Excel 2013 la altura versus el inverso del cuadrado del

radio, y trazando una línea de tendencia lineal y obteniendo su ecuación, se genera el siguiente

gráfico:

De esta forma, se obtiene la siguiente ecuación que relaciona la altura con el radio:

𝑧(𝑟) = −6475,23 ∗1

𝑟2+ 130,28

b. Cálculo de B y 𝑧∞ de la Ecuación 3

Como se obtiene de la linealización la ecuación anterior, el valor que acompaña al inverso del

cuadrado del radio es:

y = -6.475,23x + 130,28R² = 0,99

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009

Alt

ura

[m

m]

1/R^2 [1/mm^2]

Datos

𝐵2

2 ∗ 𝑔= 6475,23

Despejando B, y usando 𝑔 = 9800 [𝑚𝑚

𝑠2 ] se tiene:

𝐵 = √6475,23 ∗ 2 ∗ 9800 = 11265,63 [𝑚𝑚2

𝑠]

𝑧∞ corresponde al valor que suma en la ecuación. Por lo tanto:

𝑧∞ = 130,28 [𝑚𝑚]

c. Cálculo de velocidad angular a partir de las revoluciones por segundo

Tomando el primer par de valores (d,n) de la Tabla 7 (4,8 , 1,9), se tiene según la Ecuación 7:

𝜔 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 1,9 = 12 [1

𝑠]

5.3 Nomenclatura

ρ: densidad del fluido (agua) [𝐾𝑔/𝑚3].

ω: velocidad angular del fluido [1/𝑠].

𝜴: vorticidad de un fluido [1/𝑠].

g: aceleración de gravedad [𝑚𝑚/𝑠^2].

n: revoluciones por segundo de un punto en la superficie de un fluido [revoluciones/s].

p: presión sobre la superfice del fluido [𝑁/𝑚^2].

r: distancia al eje de rotación, radio [mm].

V: vector de velocidad del fluido.

Z: distancia en el eje vertical de un fluido, altura [mm].

5.4 Bibliografía

- [1] Riquelme, J. R. Estudio de la formación de vórtices. Presentación vórtices. 2014.

- [2] Manjón, F. J. Vórtices no estacionarios en un vaso de agua. Revista Braileira de Ensenio

de Física, v. 35, n. 3, 3304. 2013.

- [3] Algunas características hidrodinámicas de un vórtice en un cilindro inducido por una

corriente de agua. Premio Fabio Chaparro. 2012.

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