Estudiar Matemática 9

Santillana

EstudiarMatemática.–NAP9.º;ES3.º;CABA2.º–.es.una.obra.colectiva,

creada.y.diseñada.en.el.Departamento.Editorial.de.Ediciones.Santillana,

bajo.la.dirección.de.Herminia.Mérega,.por.el.siguiente.equipo:

Coordinación.de.la.serie:.Claudia.Broitman

Autoría:.María.Mónica.Becerril,.Verónica.Grimaldi.y.Mónica.Urquiza

Asesoramiento.didáctico:.Horacio.Itzcovich

Lectura.crítica:.Andrea.Novembre

Editoras:.Raquel.S..Kalizsky,.Laura.Spivak.y.Ana.V..Veltri

Jefa.de.edición:.María.Laura.Latorre

Gerencia.de.gestión.editorial:.Mónica.Pavicich

Estudiar Matemática

LIBRODELDOCENTE

1.257 : 589 = 2,134

83

+ 5 X =( 79 + X2) - X

3.805.047 km

37 + ∏=

( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

( 79 + X2) - 321X+ X2 586 + 89258 32

( 58 - 3 X ) + 10 X

9X

3.805.047 km9X

9X

1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134

+ 5 X =+ 5 X =) - X) - X

( 85 Y - 3 X ) + 10 X( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

89 89258 32258 32

( 58 - 3 X ) + 10 X( 58 - 3 X ) + 10 X

9X9X3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 79 + X

3.805.047 km9X

1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134

3.805.047 km

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

) - 321X+ X2 586

9X258 329X258 32

1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

) - 321X+ X2 586 + 89258 32

( 58 - 3 X ) + 10 X

9X258 329X258 32

883

+ 5 X =+ 5 X =) - X

3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X

3.805.047 km

+ 5 X =( 79 + X

3.805.047 km

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

( 79 + X2) - 321X+ X

1.257 : 589 = 2,134

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

) - 321X+ X

3.805.047 km

Preliminares docente (001-016).i1 1 12/2/08 5:34:52 PM

La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por:

Jefa de Arte: Claudia Fano.

Diagramación: Diego Ariel Estévez.

Tapa: 2martini•estudiodediseño.

Corrección: Juan Sosa.

Gráficos matemáticos Pablo J. Kaczor.

Documentación fotográfica: Ariadna Demattei, Leticia Gómez Castro y Nicolás Verdura.

Fotografía: Archivo Santillana.

Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea re-prográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C100 1AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN-978-950-46-2078-5

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: diciembre de 2008.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2008, en Encuadernación Aráoz S.R.L., Av. San Martín 1265, (1704) Ramos Mejía, República Argentina.

Estudiar matemática. Libro para el docente : NAP 9.º, ES 3.º, CABA 2.º / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 192 p. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-46-2078-5

1. Matemática. 2. Educación Secundaria. 3. Libro para el Docente. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. CDD 371.1

Preliminares docente (001-016).indd 2 12/12/08 3:48:10 PM

�

1. AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspropuestasdeEstudiar Matemática ..............................................5

1.1 El.rol.de.los.problemas.................................................................................................5 •. Secuenciación.de.los.problemas...................................................................................7 •. Diversidad.de.procedimientos.......................................................................................81.2 La.exploración.como.parte.del.trabajo.matemático.......................................................91.3 Los.modos.de.representación.......................................................................................91.4 La.validación.como.parte.de.la.responsabilidad.del.alumno........................................101.5 El.uso.de.las.letras..................................................................................................... .11. •. Las.letras.y.la.generalización.......................................................................................11. •. Las.letras.para.estudiar.procesos.................................................................................121.6 Diferentes.organizaciones.del.trabajo.en.la.clase....................................................... .13

2. LaorganizacióndecontenidosenEstudiar Matemática ...........................13

2.1EJE:Losnúmerosysusoperaciones......................................................................13Cap.I: Números.naturalesCap.II: Números.enterosCap.III: Números.racionales.y.reales

2.2EJE:Geometríaymedida.......................................................................................14Cap.IV: Geometría.y.medida.I.Cap.V: Geometría.y.medida.II.

2.3EJE:Relacionesentrevariables..............................................................................15Cap.VI: Función.lineal.Cap.VII: Introducción.al.estudio.de.la.función.cuadrática.Cap.VIII:Probabilidad.y.estadística

3. Bibliografía............................................................................................................16

Aportes.para.la.enseñanzaÍndice


�

1.AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspro-puestasdeEstudiar Matemática.

La.intención.de.este.apartado.es.hacer.explícitas.algunas.ideas.sobre.la.enseñanza.de.la.Mate-mática.que.fundamentan.las.decisiones.adoptadas.para.la.elaboración.de.este.libro..Intentaremos.comunicar,.por.una.parte,.algunas.características.del.tipo.de.trabajo.que.se.pro-picia.desplegar.con.los.alumnos.y,.por.otra,.los.criterios.que.han.sustentado.la.selección,.or-ganización.y.secuenciación.de. los.contenidos..Ambos.aspectos.se. identificarán.con.algunos.ejemplos.de.cómo.se.esbozan.estas.cuestiones.en.las.páginas.del.libro.

1.1Elroldelosproblemas

Se.parte.de. la. idea.de.que.es.necesario.que. los.alumnos.se.enfrenten.a.nuevos.problemas.que. favorezcan.procesos. constructivos.a.partir.de.poner.en. juego.conocimientos. iniciales. y.se.evidencie.la.necesidad.de.producir.nuevos..Para.que.los.alumnos.puedan.ir.construyendo.una.idea.acerca.del.trabajo.matemático.precisan.enfrentarse.a.situaciones.que.les.presenten.cierto.grado.de.dificultad,.que.sean.verdaderos.desafíos..La.dificultad.de.la.situación.propicia.el.despliegue.de.formas.de.resolución.a.partir.de.usar.ciertos.conocimientos.y.posibilita.elabo-rar.nuevos..Las.estrategias.usadas.inicialmente.no.serán.“expertas”.ni.muy.económicas,.pero.constituirán.el.punto.de.partida.Estos.desafíos.se.presentan.de.diferentes.maneras..Veamos.algunos.ejemplos.

Discutir.la.validez.de.ciertas.afirmaciones;.por.ejemplo:

Aportes.para.la.enseñanza

Estudiar Matemática

�.a.A.un.número.natural.a.se.lo.divide.por.6.y.el.resto.que.se.obtiene.es.2..A.otro.número.natural.b.también.se.lo.divide.por.6.y.se.obtiene.resto.1..¿Cuál.será.el.resto.de.dividir.por.6.el.producto.de.a.×.b?

b.A.un.número.natural.a.se.lo.divide.por.6.y.el.resto.que.se.obtiene.es.3..A.otro.número.natural.b.también.se.lo.divide.por.6.y.se.obtiene.resto.2..¿Será.cierto.que.el.resto.de.dividir.por.6.el.producto.de.a.×.b.es.0?.Si.creés.que.sí,.explicá.por.qué..Si.creés.que.no,.proponé.algún.contraejemplo.


�

Transformar.figuras.para.comparar.áreas.o.perímetros;.por.ejemplo:

Anticipar.la.cantidad.de.soluciones.de.un.problema;.por.ejemplo:.

2.a.Si.en.un.rectángulo.se.duplican.su.base.y.su.altura,.¿su.área.se.duplica?.¿Por.qué? b.Y.si.se.triplican.su.base.y.su.altura,.¿su.área.se.triplica?.¿Por.qué?

8.a.Encontrá.al.menos.3.números.naturales.que.cumplan.la.siguiente.condición:.al.dividirlos.por.5,.el.cociente.y.el.resto.son.iguales.

b.¿Se.podrán.encontrar.más.números.que.cumplan.la.misma.condición?.¿Cuántos?

Interpretar.o.producir.demostraciones.de.ciertas.propiedades;.por.ejemplo:

ParatenerencuentaEn.el.dibujo.siguiente.se.cumple.que.AC.=.AD.+.DC.y.BC.=.BE.+.EC,.y.DE.es.paralela.a.AB.

Como.se.verifica.que.AC

DC

BC

EC= ,.reemplazando.la

relación.anterior.en.esta.igualdad,.resulta.que:

AC

DC

AD DC

DC=

+ ,.que.es.lo.mismo.que.

AD

DC

DC

DC

AD

DC+ = + 1.

De.manera.similar:.BC

EC

BE EC

EC=

+ .que.es.lo.mismo.que.

BE

EC

EC

EC

BE

EC+ = + 1..

Por.lo.que:.AD

DC

BE

EC+ = +1 1,.entonces.

AD

DC

BE

EC= .

Esta.relación.que.se.acaba.de.demostrar.podría.escribirse.así:.Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, los otros lados quedan partidos en segmentos proporcionales.O.bien.enunciarse.de.la.siguiente.manera:.Si.dos.paralelas.(AB.y.DE).son.cortadas.por.dos.transversales.(AC.y.BC),.los.segmentos.determinados.sobre.una.de.ellas.(AD.y.DC).son.proporcionales.a.los.segmentos.correspondientes.determinados.sobre.la.otra.(BE.y.EC).Estas.enunciaciones.son.diferentes.formas.de.expresar.un.teorema.conocido.con.el.nombrede.TeoremadeTales.que.también.se.lo.puede.expresar.de.lasiguiente.manera:.Si tres o más paralelas son cortadas portransversales, los segmentos determinados sobre una deellas son proporcionales a los segmentos correspondientesdeterminados sobre la otra.En.el.dibujo.las.rectas.a,.b.y.c.son.paralelas,.y.las.rectas

t.y.p.son.transversales,.AB

BC

A B

B C=

´ ´

´ ´.


�

Usar.o.construir.modelos.para.estudiar.procesos;.por.ejemplo:

1.Una.sustancia.se.encuentra.a.15.°C,.pero.a.partir.del.comienzo.de.un.experimento.su.temperatura.disminuye.de.manera.uniforme.a.razón.de.2.°C.por.minuto.

a.¿Qué.temperatura.alcanzó. la.sustancia.15.minutos.después.del.comienzo.del.experimento?

b.¿Cuánto.tiempo.deberá.pasar.para.que.alcance.los.0.°C? c. ¿Cuál.de.estas.fórmulas.representa.mejor.la.situación?.(T.representa.la.tempera-

tura.y.M,.los.minutos.transcurridos.desde.el.comienzo.del.experimento).. T.=.–2.M.+.15............T.=.–2.M.+.17............T.=.–2.M.+.15............T.=.2.M.+.17

Establecer.relaciones.entre.expresiones.algebraicas.que.aparentan.ser.diferentes;.por.ejemplo:

•. Intenten.verificar.si.es.cierto.que..................................

Paradebatir

mn

mn

mn

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=

−−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠

11

1⎟⎟⎟⎟⎟

•SecuenciacióndelosproblemasEn. este. libro. las. diferentes. propuestas. se. organizan. en. pequeñas. secuencias. en. las. que. se.visitan.los.mismos.tipos.de.problemas.una.y.otra.vez.para.favorecer.avances..Pero.a.su.vez.se.incorporan.nuevas.situaciones.que.agregan.nuevos.desafíos..Por.ejemplo,.en.la.página.20.se.propone.una.colección.de.problemas.que.apunta.a.un.mismo.conocimiento,.pero.de.comple-jidad.creciente:

1.Sin.hacer.la.cuenta,.establecé.si.la.siguiente.división.tiene.resto.0.o.no. . . . . . 35.×.24.....5

2.Mirá.esta.cuenta:.35.×.12.=.420;.sin.hacer.ninguna.otra,.decidí.si.son.verdaderas.o.falsas.cada.una.de.las.siguientes.afirmaciones.

a.420.:.35.=.12...........b.421.:.35.tiene.resto.1...........c.421.:.12.tiene.resto.1.

�.Sin.hacer.la.cuenta,.averiguá.si.el.resultado.de.35.×.48.×.27.+.1.es.múltiplo.de.5.

4.Sin.hacer.la.cuenta,.encontrá.el.resto.de.24.×.16.×.31.+.3,.dividido.por.6.

Pararevisarlorealizado

•. El.siguiente.razonamiento.puede.ser.útil.para.pensar.algunos.de.los.proble-mas.anteriores:.“Como.35.es.múltiplo.de.5,.entonces.35.multiplicado.por.cualquier.número.natural.también.va.a.ser.un.múltiplo.de.5”.

. ¿Para.cuál.de.los.problemas.podría.servir?


8

•DiversidaddeprocedimientosLa.variedad.de.formas.de.resolución.es.un.buen.indicador.de.que.los.problemas.inicialmente.propuestos.no.son.tan.simples.como.para.que.todos. los.resuelvan.del.mismo.modo,.ni. tan.complejos.como.para.que.no.los.puedan.resolver..Pero.por.supuesto.se.espera.que.luego.de.un.tiempo.los.mismos.problemas.puedan.resolverse.con.estrategias.más.homogéneas.e.incluso.más.convencionales..Por.ejemplo:

1.Un.profesor.de.Educación.física.registró.la.altura.de.todos los.alumnos.que.participaron.de.un.torneo.intercolegial. Este.es.el.gráfico.que.confeccionó.con.los.datos.que obtuvo. a..Completá.la.tabla.referida.al.conjunto.anterior.de datos.

b..¿Cuál.es.la.altura.promedio.de.este.grupo.de.alumnos?


•. Para.responder.el.problema.2..ítem.b.,.algunos.alumnos.pensaron.así:

Estatura(m) 1,48a1,50 1,50a1,52 1,52a1,54 1,54a1,56 1,56a1,58

Frecuenciaabsoluta

60

Frecuenciarelativa

0,10 0,20

. ¿Les.parecen.correctos.esos.razonamientos?.¿Por.qué?

Alumno1Es.la.estatura.in-termedia.entre.1,48.m.y.1,58.m:

Alumno2Considero.que. los.60.alumnos.que.miden.entre.1,48.m.y.1,50.m.miden,.en.promedio,.1,49.m.y.hago.el.cálculo.con.esos.valores.intermedios..La.cuenta.queda.así:

Alumno3Como.hay.60.alumnos.entre.1,48.m.y.1,50.m,.puedo.suponer.que.30.miden.1,48.m,.y.otros.30.miden.1,49.m..Si.pienso.de.esa.forma.para.todas.las.categorías,.la.cuenta.me.queda.así:

30 148 30 149 60 150 60 151 36 152 36⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅, , , , , 1153 51 154 51 155 123 156 123 157

600

, , , , ,+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= 115368,

•. Si.en.el.procedimiento.del.tercer.alumno.se.consideraran.3.grupos.de.10.alumnos.cada.uno.para.el.primer.intervalo;.3.grupos.de.20.alumnos.cada.uno.para.el.segundo.interva-lo,.etc.,.¿se.podría.obtener.así.el.promedio.de.alturas.de.todos.los.alumnos?.Expliquen.por.qué.

60 149 120 151 72 153 102 155 246 157

6

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅, , , , ,

00015418= ,

148 158

2153

, ,,

+=


�

1.2Laexploracióncomopartedeltrabajomatemático

Frecuentemente,.en.la.resolución.de.un.problema,.un.primer.intento.no.siempre.conduce.a.“buen.puerto”..Es.necesario.realizar.varios.ensayos,. identificar.en.qué.consisten.los.errores.que.impiden.arribar.a.la.solución,.buscar.cierta.información.previa.que.puede.estar.involucra-da.en.el.trabajo.que.se.propone..Se.trata.de.un.juego.entre.la.anticipación.de.la.resolución.y.los.efectos.de.las.decisiones.que.se.han.ido.tomando,.de.manera.de.sistematizar.la.búsqueda..Hay.un. interjuego.entre.explorar,.probar,.ensayar,.por.una.parte,.y. reordenar. la.búsqueda,.sistematizar,.por.la.otra..Por.ejemplo:

4.a.. Encontrá.dos.números.primos.entre.los.cuales.haya.cinco.números.compuestos. b.. Encontrá.dos.números.primos.entre.los.cuales.haya.trece.números.compuestos.

1.3Losmodosderepresentación

Durante. la.exploración.de.un.problema.nuevo. los.alumnos.suelen.recurrir.a.dibujos,. repre-sentaciones.gráficas.simbólicas,.cálculos.y.diagramas..Las.diferentes.formar.de.representación.abonan.al.proceso.exploratorio..Y.el.mismo.proceso.demanda,.en.ciertas.circunstancias,.variar.los.modos.de.representación.pues.informan.–o.permiten.identificar–.diferentes.aspectos.de.las.relaciones.que.proponen.las.situaciones..Por.ejemplo:

Estas.representaciones.pueden.dar.pistas.acerca.de.qué.ocurre,.pero.avanzar.hacia.otro.tipo.de.representaciones.podrá.permitir.comprender.y.explicar.por.qué.ocurre.lo.que.ocurre..Las.primeras. formas.de. representación.que.usan. los. alumnos.podrán. ser. un.punto.de.partida.interesante.para.iniciar.el.trabajo.y.se.espera.poder.avanzar.sobre.ellas,.así.como.propiciar.la.interpretación.de.representaciones.más.convencionales..Por.ejemplo,.en.la.misma.página.se.propone.una.cuestión.en.esta.dirección.

2.Los.mismos.cinco.amigos.se.sientan.en.una.mesa.redonda.para.comer.y.otra.vez.tienen.problemas.con.las.ubicaciones..¿De.cuántas.formas.diferentes.se.podrán.sentar,.de.ma-nera.que.no.todos.tengan.los.mismos.vecinos.a.la.izquierda.y.a.la.derecha?

1.Cinco.amigos.quieren.fotografiarse.parados.uno.al.lado.del.otro..Como.no.se.ponen.de.acuer-do.en.cómo.ubicarse,.deciden.sacarse.varias.fotos.en.las.que.aparecen.en.distinto.orden.

¿Cuántas.fotos.necesitan.para.todas.las.ubicaciones.posibles?

ErnestoLisandroJoaquínJuanCamilo LisandroCamiloJuanJoaquínErnesto


10

1.4Lavalidacióncomopartedelaresponsabilidaddelalumno

Parte.del.quehacer.matemático.involucra.determinar.la.validez.de.lo.producido..En.este.sentido.se.apunta.a.un.trabajo.matemático.en.la.clase.en.el.que.los.alumnos.puedan,.progresivamente,.“hacerse.cargo”.por.sus.propios.medios.de.la.validez.de.los.resultados.que.encuentran.y.de.las.relaciones.que.establecen...Este.aspecto.es.quizá.el.más.complejo.de.tratar.en.el.desarrollo.de.las.clases..Se.espera.que.algunas.explicaciones.provengan.de.una.experiencia.más.intuitiva,.en.tanto.se.trate.de.avanzar.hacia.explicaciones.más.argumentativas..Por.ejemplo:


El.esquema.siguiente. representa.una.situación. relacionada.con.el.problema.2.;.en.él. se.identifica.a.Camilo.con.la.letra.C,.a.Lisandro.con.la.L,.a.Joaquín.con.Jo,.a.Juan.con.Ju.y.a.Ernesto.con.E.

•. El.procedimiento.siguiente.fue.desarrollado.por.un.alumno.para.resolver.uno.de.los.proble-mas.anteriores:.5.×.4.×.3.×.2.=.120..¿Cuál.de.los.cuatro.problemas.trataba.de.resolver?

•. ¿Ambos. esquemas. representan.una.misma.forma.de.sentarse?

•. ¿Será. cierto. que. las. respuestas. a.los.problemas.1..y.2..son.diferen-tes?.¿Por.qué?

E

Ju C

Jo L

C

E L

Ju Jo

Los.modos.de.comparar.las.áreas.podrán.ser,.en.un.principio,.“a.ojo”,.mediante.expresiones.del. tipo:.“este rectángulo es más grande que este”..Progresivamente.se.apuntará.a.que. los.alumnos.encuentren.en.el.conocimiento.matemático.herramientas.que.permitan.estar.seguros.de.que.lo.que.se.hizo.o.se.afirma.es.correcto.

1.Comparen.cada.par.de.figuras.y.determinen.si.una.tiene.mayor,.menor.o.igual.área.que.la.otra..Expliquen.los.motivos.de.su.decisión.

Parahacerenparejas

a. c.

b. d.


11

Si.bien.los.alumnos.podrán.iniciar.su.resolución.a.partir.de.casos.particulares,.asignándole.algu-nos.valores.a.n,.para.representar.en.la.recta.deberán.establecer.cierta.generalidad..Y.para.ello.las.letras.desempeñan.un.papel.preponderante..En.otros.problemas.se.busca.que.los.alumnos.se.inicien.en.el.tratamiento.de.las.letras.como.variables..Un.caso.es.el.de.algunos.problemas.en.los.que.se.trata.de.producir.fórmulas,.por.ejemplo:

Los.conocimientos.matemáticos.permitirán.dar.razones,.argumentar,.justificar,.sin.necesidad.de.constatar.empíricamente.

Parahacerenparejas

�.En.la.recta.numérica.se.ubicó.la.fracción.1n

.(n.es.un.número.natural).0 1

n

1.5Elusodelasletras

Muy.probablemente,. la.principal.marca.del. trabajo.en.este.nivel.de.escolaridad.viene.dada.por.el.inicio.de.los.alumnos.en.el.trabajo.con.las.letras..Es.decir,.se.trata.de.acompañar.a.los.alumnos.en.el.pasaje.desde. los.problemas.que. involucran.una.actividad.aritmética.hacia. los.que.demandan.un.trabajo.algebraico..El.uso.de.las.letras.comienza.a.dotar.a.la.Matemática.de.nuevas.particularidades..En.este.libro.las.letras.funcionan.desde.dos.perspectivas:.para.tratar.cuestiones.generales.y.para.estudiar.procesos.que.varían.

•LasletrasylageneralizaciónEl.trabajo.con.las. letras.habilita.a.volver.a.pensar.algunas.propiedades.de. los.objetos.mate-máticos,.ya.no.en.términos.de.sus.casos.particulares..Se.trata.de.promover.el.inicio.en.su.uso.para.pensar.cuestiones.más.generales.y.poder.encontrar.modos.de.representar.relaciones.que.valen.en.colecciones.infinitas.de.objetos..De.esta.manera,.los.alumnos.contarán.con.nuevas.herramientas.para.profundizar.el.estudio,.incluso,.de.conceptos.que.ya.fueron.tratados.en.años.anteriores.de.la.escolaridad..Por.ejemplo:

1.a..Para.preparar.mezcla,.un.albañil.uti-liza.6.baldes.de.arena.cada.2.baldes.de.cemento..Si.quiere.hacer.la.mezcla.usan-do. 4. baldes. de. cemento,. ¿cuántos. de.arena.necesita?.¿Y.si.usara.3.de.arena?

. b..Completá.la.tabla

c.. ¿Cuáles.de.estas.fórmulas.permiten.determinar.la.cantidad.de.baldes.de.are-na.(A),.conociendo.la.cantidad.de.bal-des.de.cemento.(C).que.se.usan,.para.obtener.siempre.la.misma.mezcla?

. 6.C.=.2.A.......2.C.=.6.A.......C A=26

. ...........C.=.3.A...........C A=13

Baldesdecemento 2 8 5 13

Baldesdearena 6 60 7

¿Dónde.ubicarían.el.número.12n

?.¿Y.1

4n?


12

Este.tipo.de.situación.tiene.diferentes.finalidades..Por.un.lado,.usar.las.letras.para.dar.cuenta.de.una.relación.entre.magnitudes..Por.otro,.identificar.que.hay.expresiones.que.parecen.ser.di-ferentes.pero.son.equivalentes..Por.último,.involucra.considerar.la.letra.como.representante.de.una.cantidad.susceptible.de.sufrir.variaciones.que.impactan.sobre.los.resultados.obtenidos.

•LasletrasparaestudiarprocesosUno.de.los.modos.principales.de.estudiar.problemas.en.los.que.se.producen.variaciones.incluye.las.funciones..La.elaboración.de.modelos.funcionales.demanda,.casi.indefectiblemente,.apelar.a.las.letras.para.representar.los.procesos.que.se.pretende.estudiar.Si. bien.es. esperable.que. los. alumnos.puedan. tratar. los.problemas,. en.un. inicio.desde.una.perspectiva.aritmética,.apelando.a.cálculos,.hay.expectativa.de.que.puedan.pasar.a.identificar.relaciones.más.generales,.que.puedan.tratarse.mediante.representaciones.algebraicas.y.permi-tan.hacerse.cargo.de.la.variación..Por.ejemplo:

Hay.un.juego.permanente.entre.los.cálculos.que.podrían.hacer.los.alumnos.y.las.fórmulas.que.colaboran.en.la.modelización.de.la.situación..Estas.relaciones,.a.su.vez,.como.ya.se.ha.mencio-nado,.invitarán.a.otros.modos.de.representación.(tablas,.gráficos,.etc.).para.poder.avanzar.en.la.escritura.e.interpretación.de.la.información.proveniente.de.expresiones.algebraicas.que.dan.cuenta.de.los.procesos.que.se.están.estudiando..Una.decisión.que.se.ha.tomado.es.que.las.ecuaciones.se.propongan.asociadas.al.trabajo.con.funciones.a.partir.de.la.búsqueda.de.valores,.en.los.contextos.de.los.problemas..Por.ejemplo:.

Se.trata.de.considerar.la.ecuación.lineal.como.parte.del.estudio.de.la.función.lineal.y.la.ecua-ción.de.la.recta...Por.otro.lado,.sin.perder.de.vista.la.perspectiva.adoptada,.las.letras.también.se.proponen.para.estudiar.otros.procesos..Es.el.caso.del.siguiente.ejemplo:

1.La.fórmula.que.permite.calcular.la.temperatura.T.de.una.sustancia.(en.°C).a.medida.que.pasa.el.tiempo.t.(en.minutos).desde.que.comienza.un.experimento.es.T=15+2·t.

a.. ¿Cuál.es.la.temperatura.de.esa.sustancia.al.iniciarse.el.experimento? b.. ¿Aumenta.o.disminuye.la.temperatura.de.la.sustancia.a.lo.largo.del.experimento?.

¿Cómo.te.das.cuenta? c.. ¿Cuánto.cambia.la.temperatura.por.minuto?

1.En.el.detalle.de.la.factura.de.luz.se.puede.leer.que.el.gasto.total.está.integrado.por.un.gasto.fijo.de.$.16,30.al.que.se.le.suma.un.costo.de.$.0,04.por.cada.kwh.que.se.consu-me..A.este.monto.se.le.suman.diferentes.impuestos,.que.no.serán.considerados.en.esta.oportunidad..

a.. Si. una. familia. consumió.1.153.kwh,.¿qué.monto.aparecerá.en.el.detalle.de. la.......factura?

b.. Si.una.familia.nota.que.en.el.detalle.de.su.factura.figuran.$.20,30,.¿cuántos.kwh.habrá.consumido?


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En.este.ejemplo.se.trata.de.apelar.al.estudio.de.la.variación.de.una.fórmula.para.anticipar.la.variación.de.un.área.

1.6Diferentesorganizacionesdeltrabajoenlaclase

En.función.de.las.formas.que.puede.adquirir.el.trabajo.matemático,.del.nivel.de.conocimientos.que.involucra.el.problema.y.del.tipo.de.interacciones.que.se.pretenda.promover,.serán.necesa-rias.diversas.modalidades.de.organización.de.la.clase..Para.muchos.problemas.es.necesario.un.momento.de.exploración.desde.el.trabajoindividual,.como.punto.de.partida.para.un.análisis.colectivo.posterior..También.hay.propuestas.de.trabajo.individual.en.las.páginas.de.Paraestudiarlosprimerosproblemasdel capítulo. y. en. las.páginas.de.Paraestudiar losproblemasdel capítulo..Se.trata.de.un.tiempo.individual.de.estudio,.de.sistematización,.de.enfrentarse.a.las.propias.dificultades.que.aún.presenta.el.tema.tratado..En.el.caso.del.título.Estudiar.los.problemas.del.capítulo,.se.propone.que.sean.hojas.recortables,.inclusive.con.la.intención.de.que.puedan.en-tregarse.al.docente.para.su.corrección,.como.“tarea.para.el.hogar”,.como.preparación.para.la.evaluación.escrita,.etcétera..Cuando.la.actividad.requiere.un.trabajo.exploratorio.y.no.se.espera.que.la.puedan.resolver.en.forma.autónoma,..se.sugiere.abordar.el.problema.enparejas,.de.manera.que.las.interacciones.entre.los.alumnos.posibiliten.su.resolución..Se.prevén.instancias.de.trabajocolectivo,.bajo.los.títulos.Paradebatir.o.Pararevisarlorea-lizado,.que.tienen.la.finalidad.de.poner.en.discusión.algún.aspecto.central.de.lo.que.se.viene.tratando.o.reflexionar.sobre.resoluciones.elaboradas.por.los.alumnos.Bajo.el.título.Paratenerencuenta.se.presentan.vocabulario,.propiedades.y.demostraciones..Esta.información.está.pensada.para.su.lectura.colectiva.y.como.fuente.de.consulta.en.diferen-tes.oportunidades.

2.LaorganizacióndecontenidosenEstudiar Matemática.

Este.libro.está.organizado.en.ejes.y.el.interior.de.cada.eje,.en.capítulos..EJE:NúmerosyoperacionesEJE:GeometríaymedidaEJE:Relacionesentrevariables

2.1EJE:Losnúmerosysusoperaciones

Este.eje.está.conformado.por.tres.capítulos.

1.Cuatro.triángulos.tienen.una.altura.de.15.cm.y.sus.correspondientes.bases.son:.. a,.a.+1,.a.+.2.y.a.+.3..Analicen.cómo.varían.las.áreas.de.estos.triángulos.

Parahacerenparejas


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El.capítulo1.se.ocupa.de.losnúmerosnaturales..Se.presentan.diferentes.problemas.cuyo.desafío.principal.es.determinar.una.cantidad.de.elementos.de.una.colección...Pero.no.solo.se.trata.de.contarlos,.sino.también.de.organizarlos.de.alguna.manera.para.asegurarse.de.no.con-tar.más.de.una.vez.el.mismo.elemento.ni.omitir.ninguno..A.la.luz.de.este.tipo.de.situaciones,.las.fórmulas.aparecen.como.un.recurso.de.conteo..Un.apartado.especial.lo.constituye.el.trabajo.con. los. juegos.de.azar.más.reconocidos.socialmente,.en.el.marco.de.establecer. la.cantidad.de.jugadas.que.se.requieren.para.ganar,.aspecto.que.se.recupera.en.el.capítulo.8.al.tratar.la.probabilidad.El.capítulo2.aborda.losnúmerosenteros..En.este.capítulo.se.estudian.diferentes.problemas.que.involucran.la.multiplicación.y.la.división,.así.como.las.ideas.de.múltiplos.y.divisores..El.de-safío.principal.es.encontrar.el.resultado.de.ciertos.cálculos,.pero.sin.hacer.las.cuentas..Se.trata.de.aprender.a.leer.“qué.informa”.un.cálculo.y.usarlo.en.la.búsqueda.de.resultados.de.otros.cálculos..A.la.luz.de.este.estudio,.las.expresiones.algebraicas.aparecen.para.dar.cuenta.de.la.posibilidad.de.generalización.y.a.su.vez.se.proponen.como.herramientas.útiles.para.acompañar.el.establecimiento.de.algunas.propiedades.En.el.capítulo3.se.aborda.el.estudio.de.losnúmerosracionales.y.una.primera.noción.de.los.númerosreales..Se.inicia.con.la.resolución.de.diferentes.problemas,.asociados.principalmente.a. la. idea.de.proporción,.y.se.continúa.con.un.trabajo.en.torno.del.orden,. lo.que.habilita. la.exploración.de.ciertas.condiciones.para.que.se.verifiquen.algunas.igualdades.o.desigualdades..Se.proponen.situaciones.de.aproximación.de.fracciones.por.decimales,.el.uso.de. la. recta,.y.también.aparecen.las.potencias.y.las.raíces..Este.andamiaje.habilita.la.discusión.sobre.un.nuevo.campo.numérico:.los.númerosirracionales.

2.2EJE:Geometríaymedida

La.actividad.geométrica.no.se.concibe.como.principalmente.perceptiva..Es,.por.el.contrario,.una.actividad.intelectual..Para.que.este.tipo.de.trabajo.se.pueda.desarrollar,.es.necesario.que.los.problemas.vayan.incorporando.características.diferentes..En.algunas.oportunidades.es.ne-cesario.–dada. la.complejidad.de. la.entrada.de. los.alumnos.en.este.tipo.de.trabajo–.realizar.una.actividad.más.exploratoria,.más.intuitiva,.apelando.a.mediciones,.dibujos,.en.los.cuales.la.validez.de.los.resultados.obtenidos.tendrán.un.“tinte”.más.empírico,.ya.que.la.dificultad.de.ciertas.demostraciones.así.lo.requiere..En.otros.casos.deberá.ser.el.docente.quien.exponga.las.razones.por.las.cuales.un.resultado.es.el.que.se.obtuvo,.ya.que.los.alumnos.por.sus.propios.medios.quizá.no.puedan.elaborarlas.por.completo..Los.problemas.presentados.abordan.diferentes.tipos.de.prácticas..En.algunos.se.busca.que.los.alumnos.tomen.conciencia.de.propiedades.sobre.las.que.no.suelen.prestar.particular.atención,.propiedades.provisoriamente.“no.tan.visibles”..En.otros.casos.la.intención.es.que.los.alumnos.puedan.“poner.en.palabras”.esas.propiedades,.es.decir,.pasar.de.su.reconocimiento.implícito.a.su.explicitación..En.otras.situaciones.la.tarea.de.los.alumnos.,.consiste.en.tomar.decisiones.por.anticipado.–apoyándose.en.ciertas.descripciones.o.características–.para.luego.verificar.su.validez.a.partir.de.la.elaboración.de.argumentos.racionales..El.capítulo4.se.centra.en.el.estudio.del.áreadefiguras.asociado.a.sus.propiedades..Pero.a.su.vez.se.analiza.cómo.cambia.el.área.en.la.medida.que.lo.hacen.algunos.de.sus.elementos..Aparece.entonces.una.práctica.tal.vez.poco.conocida.por.los.alumnos:.la.transformación.de.


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una.figura.en.otra.para.poder.comparar.las.áreas..Se.trata.de.identificar.relaciones.entre.dos.figuras.que.permitan.comparar. sus.áreas.sin.medirlas,.analizando.cuáles.han.sido. las.varia-ciones.de.una.en.relación.con.la.otra..En.este.tipo.de.problemas.se.produce.un.juego.entre.composición.y.descomposición.de.figuras,.para.dar.cuenta.de.la.existencia.o.inexistencia.de.posibles.superposiciones..Es.decir,.cómo.desarmar.una.figura.para.que.pueda.superponerse.a.otra.y.así.comparar.las.áreas..Esta.“manipulación”.de.la.figura.favorece.la.aparición.de.algunos.de.los.elementos.que.de-terminan.su.área:. lados,.alturas,.etc..Por.último.se.proponen. las. fórmulas.para.profundizar.el.estudio.de.comparación.entre.áreas,.a.partir.de. lo.que.se.puede.percibir.en.términos.de.variaciones..En.el.capítulo5..se.proponen.algunos.problemas.que.tienen.por.finalidad.identificar.ciertas.relaciones.geométricas.que.se.pueden.establecer.entre.figuras,.cuando.se.trata.de.ampliarlas.o.reducirlas.preservando.la.forma..Se.estudia.a.su.vez.qué.ocurre.con.sus.lados,..ángulos,.períme-tros.y.áreas..Este.recorrido.se.inicia.con.los.triángulos,.en.el.marco.de.lasemejanza,.pasando.por.el.teorema.de.Tales.y.finalizando.en.la.elaboración.de.algunas.condiciones.que.permitan.dar.cuenta.de.la.semejanza.entre.cuadriláteros..Una.vez.más,.los.dibujos,.las.construcciones,.la.elaboración.de.conjeturas.y.la.búsqueda.de.argumentos.que.las.expliquen.o.las.“destierren”.son.el.motor.del.trabajo..Se.proponen.algunas.demostraciones.más.formales.para.que.sean.interpretadas.por.los.alumnos,.como.aporte.a.la.construcción.de.una.noción.más.próxima.a.la.demostración

2.3EJE:Relacionesentrevariables

Este.eje.contempla.fundamentalmente.el.tratamiento.de.las.funciones..El.capítulo6.se.ocupa.del.estudio.de. lafunciónlineal.como.modelo.para. la.resolución.y.estudio.de.procesos.que. crecen.de.manera.uniforme.. Las.diferentes. representaciones. y,. en.particular,.la.fórmula.y.el.gráfico.de.la.recta.abonan.la.idea.de.modelo.lineal..Se. propone. un. juego. constante. entre. problemas,. representaciones. gráficas. y. fórmulas. que.aspira. a. colaborar. en. la. conceptualización. sobre. este. modelo.. La. ecuación. de. la. recta. y. la.resolución.de.ecuaciones.se.encuadran.dentro.del.mismo.tipo.de.tratamiento,.apelando.a.los.gráficos.y.las.fórmulas.como.soporte.para.la.identificación.de.las.variables.que.se.relacionan,.la.determinación.de.la.cantidad.de.soluciones.y.el.modo.en.que.se.reflejan.estas.cuestiones.en.las.fórmulas.y.los.gráficos...En.el.capítulo7.se.presentan.problemas.cuyo.objetivo.es.el.inicio.al.estudio.de.lasfuncionescuadráticas..Se.trata.de.poner.en.evidencia.las.diferencias.entre.procesos.lineales.y.cuadráticos,.no.solo.en.los.gráficos.sino.también.en.las.razones.por.las.cuales.su.crecimiento.es.de.naturaleza.distinta..Los.variados.problemas.visitan.diferentes.marcos.(geométrico,.algebraico,.etc.).de.ma-nera.de.generar.mejores.condiciones.para.la.comprensión.de.este.tipo.de.procesos..Por.último,.en.este.eje.se.incluye.el.trabajo.con.laestadística,.en.el.capítulo8,.considerada.también.una.herramienta.para.representar.u.organizar.información.con.la.finalidad.de.anticipar.o.estudiar.el.desarrollo.de.algunos.procesos..Aquí.nuevamente.los.gráficos.son.un.objeto.de.trabajo.primordial,.así.como.la.posibilidad.de.manipular.la.información.para.poner.en.evidencia.algunos.aspectos.y.ocultar.otros.


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Estudiar Matemática 9

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