ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y ...

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA DE MADRID

TESIS DOCTORAL

ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES,

ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO,

por

LINA PUERTAS DEL RIO

A r q u i t e c t a

D i r e c t o r : RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS

D o c t o r A r q u i t e c t o

T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL

D o c t o r A r q u i t e c t o

Madr id , Noviembre de 1989

T E S I S DOCTORAL

ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES.

ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO.

p o r

L i n a P u e r t a s d e l Río

D i r e c t o r : RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS

T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL

TRIBUNAL CALIFICADOR

P r e s i d e n t e :

V o c a l e s :

A c u e r d a o t o r g a r l a c a l i f i c a c i ó n d e :

M a d r i d , d e d e 19

RESUMEN

La presente tesis estudia las realizaciones del arquitecto Emilio Pérez

Pinero, todas dentro de las estructuras espaciales de barras desmonta

bles y desplegables, elabora la documentación que hace transmisible su

investigación y generaliza el estudio del comportamiento en la parcela-

de las desplegables. La obra de este arquitecto forma un conjunto ori

ginal, atractivo y sin continuadores, y por otra parte, no abundan las"

investigaciones sobre este tipo de estructuras ( mucho menos las reali

zaciones), en las que hay que resolver tanto su definición como su movi

lidad y comportamiento estructural.

El contenido de la parte correspondiente a las estructuras desmontables

se limita a las cúpulas reticuladas de una capa, con el sistema de reti

culado y montaje ideado por Pinero, por considerar que se debe documen

tar su aportación pero no incidir mas en un campo de investigación que

cuenta con abundantes estudios. Se aporta la solución matemática y un -

programa de ordenador para la definición geométrica completa del reticu

lado empleado.

Las estructuras desplegables se caracterizan por el empleo de barras dis

puestas en "x" en el espesor de la estructura, con generación de super

ficies tanto planas como curvas. En ambos casos se analiza la movilidad

en fase de mecanismo, tanto a las soluciones de Pinero como a las comple

III

mentarlas que se exponen. Se estudian las relaciones geométricas que de_

ben de cumplirse para que sea posible el movimiento de las barras, rela±-

ciones particularmente complejas en las desplegables según superficies

esféricas, y que determinan su definición geométrica.

En la fase de estructura, además de analizar lo realizado por Pinero, do_

cumentando y definiendo sus componentes, se proponen varias estructuras

posibles para cada mecanismo, y se desarrolla en detalle el tipo de los

emparrillados de canto constante, donde se incluye un estudio comparati

vo de nueve variantes distintas. Se muestra el amplio campo de uso posi

ble para estas estructuras.

IV

ABSTRACT

The • present doctoral dissertation studies the work of de spanish architect

Emilio Pérez Pinero, all of it within de field of spatial demountable and

deployable structures. This contribution compiles the necessary documenta-

tion for research in this field and, besides, generalizes the theoretical

background for the analysis of this type of structures. Pérez Pinero's con

tributions are original and attractive, but, so far, he has not any folio-

wers ; on the other hand research in this field is scarce (much less actual

realizations).

In the part corresponding to demountable structures the research is limi-

ted to reticulated domes of only one layer, following Pérez Pinero's sys~

tem, trying to give a comprenhensive documentation of it. The mathematical

solution is given and so is a computer program for the complete definition

of the geometry of the structure.

One characteristic of deployable structures is the use of struts placed -

formix "X" in the thickness of the structure, making possible the genera-

tion of plañe as well as curved surfaces. In both cases, the operation in

the phase of mechanism is studied, both fot Pinero's solution and for the

other schemes presented. The geometrical relationships that must be main-

tained in order to guarantee strut's movements, are studied; these rela-

V

tionships are particularly complex in the case of spherical surfaces,

and, in this last casey determine completely its geometrical definition.

In regard of the structure behaviour, besides analysing Pinero's works,

a variety of solutions are proposed for each mechanism. Particularly, the

configuration for doüble layer grids of constant thickness is developed

with great detall, and a cornparative study of nine different solutions of

this special case is included. A wide range of the possible appications of

this structural type is shown.

VI

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento a la viuda de Pérez Pinero, Dña. Consuelo

Belda, quien puso a mi disposición toda la documentación que obra en su po_

der, asi como a Emilio Pérez Belda por el seguimiento de dicha documenta—

ción y el aporte de la biografía de su padre. ""•

También agradezco al Arquitecto Félix Candela, testigo de excepción en

algunas etapas del trabajo de Pérez Pinero, su información y sus juicios

de valor, expresados con su talante animado y sincero.

Agradezco al Catedrático José Luis de Miguel la documentación técnica que

me ha prestado y sus sugerencias, y a José Ignacio Gozález, Ingeniero de

Caminos, el haberme permitido usar sus medios informáticos.

Por último, agradezco el continua!:ánimo que me han dedicado mis compañe

ros, Profesores del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.M., a Ri

cardo Aroca, la atenta lectura de mis borradores y sus comentarios, y a

Valentín Quintas, la atención y el entusiasmo qué me ha mostrado durante

el desarrollo de esta tesis.

Vil

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN GENERAL

PRELIMINARES - DOCUMENTACIÓN EXISTENTE - BIOGRAFÍA - Capítulo I: CATALOGO DE REALIZACIONES--

1.1 - Teatro ambulante para 500 espectadores 1.2 - Cúpula rebajada desplegable 1.3 - Cúpula reticular transportable y desple

gable desde un helicóptero í.4 - Teatro ambulante desplegable 1.5 - Pabellón transportable para exposiciones 1.6 - Estructura reticular plana 1.7 - Diversos estudios de cúpulas 1.8 - Teatro desmontable para "Festivales de Es

paña " 1.9 - Cúpula reticular de directriz esférica:sa_

la de proyección "Cinerama" 1.10- Cúpula reticular desplegable para grandes

luces 1.11- Cubierta para las excavaciones del Museo

Paleocristiano de Tarragona 1.12- Cúpula reticular poliédrica para el Museo

"Dalí" de Figueras 1.13- Vidriera hipercubica desplegable 1.14- Módulo desplegable automático 1.15- Tienda de campaña 1.16- Cubrición del velódromo Anoeta de San Se

bastián

PARTE 15 - ESTRUCTURAS DESMONTABLES - INTRODUCCIÓN

VIII

87 87

Capítulo II¡RETICULACIÓN DE LA ESPERA A PARTIR DE UN ICOSAEDRO

2.1 - Icosaedro:lados, vértices °^ 2.2.1 - Coordenadas de los vértices

2.2 - Triángulo esférico 2.3 - Procedimiento de reticulado 8 8

2.4 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian guio plano ° *•

2.5 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian guio esférico

2.6 - Coordenadas de los nudos como intersección de meridianos

2.7 - Longitudes de las cuerdas (barras), ángulos *07 2.8 - Agrupaciones de barras para el montaje; macro

piezas

97

101 107

113

- Capítulo III: OBRAS REALIZADAS 3.1 - Teatro desmontable para "Festivales ds España" 1 2 J 3.2 - Cúpula de proyección "Cinerama" ^ -* 5 3.3 - Museo "Dalí" en Figueras ^ '* -3.4 - Museo Paleocristiano de Tarragona J-56 3.5 - Cálculo de las cúpulas reticuladas i 7l 3.6 - Estudio de acciones y solicitaciones 17v

3.6.1 - Acciones 1"? 6 3.6.2 - Solicitaciones 3-78

3.6.3 - Esfuerzos en las barras l 8 ^ 3.7 - Otro sistema de reticulado: Velódromo Anoeta - 9 6

- CONCLUSIONES A LA PARTE 1.a 2 0 0

PARTE 2a -ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPER FICÍE PLANA

- INTRODUCCIÓN 203

Capítulo IV: MOVILIDAD 4.1 - Mecanismos

4.1.1 - Movilidad en el plano 2^9 4.1.2 - Movilidad en el espacio ^14

4.2 - Criterio para el diseño de mecanismos 2 1 r>

IX

4.3 - Unidad móvil básica de los mecanismos de Emilio Pérez Pinero 2 17

4.4 - Ejemplos 221

- Capítulo V; TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE 5.1 - Descripción general 2 23 5.2 - Descripción de los elementos 225

5.2.1 - Cubierta 225 5.2.2 - Soportes 2 28

5.3 - Mecanismo "229 5.3.1 - Variantes sobre el mecanismo 231

5.4 - Montaj e 233 5.5 - Estruc tura 234

5.5.1 - Viga componente tipo 235 5.5.2 - Comparaciones con otras vigas triangu

ladas 23 9 5.5.3 - Comportamiento del emparrillado 241 5.5.4 - Características del material y de la

sección 24 9 5.6 ~ Proceso de cálculo del autor 251

- Capítulo VI:PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES 6.1 - Descripción general 2 58 6.2 - Descripción de los elementos

6.2.1 - Cubrición 2 59 6.2.2 - Malla estructural 2 60 6.2.3 - Soportes 266 6.2.4 - Cerramientos 266 6.2.5 - Cargas y pesos 267

6.3 - Montaje 269 6.4 - Mecanismo 27T

6.4.1 - Variantes del mecanismo 2 74 6.5 - Algunas estructuras posibles 277

6.5.1 - A¡Estructura del proyecto¡mecanismo base y algunos cordones y montantes 279

6.5.2 - BrMecanismo base y cordones ambas caras 282 6.5.3 - C:Mecanismo base y cordones a 45° en am

bas caras 28 5

6.5.4 - DrMecanismo base, cordones cara superior a 452 , cordones cara inferior 288

6.5.5 - E:Mecanismo simplif ¿sido y cordones en ambas caras 2 91

6.5.6 - F:Mecanismo simplificado,cordones cara

superior a 45°, cordones cara, inferior 294

6.5.7 - Mecanismos base y montantes en los nudos

de contorno 2 9 7

6.6.8 - G:Mecanismo simplificado y montantes de contorno 301

6.5.9 - H.-Mecanismo simplificado, cordones a 45° •y cordones contorno ambas caras, y mon— tan tes 3 06

6.5.10- I .-Mecanismo de proyecto y montantes de -contorno 3 0 9

6.6 - Resumen de las estructuras posibles 317

- Capitulo VII: VIDRIERA DESPLEGABLE

7.1 - Descripción general 320 7.2 - Descripción de los elementos

7.2.1 - Cubrición 3 22

7.2.2 - Malla estructural 3 26

7.2.3 - Soporte 3 28

7.3 - Montaje 3 29

7.4 - Mecanismo 3 30

7.5 - Otro mecanismo posible 3 30 7.6 - Estructura 332

- Apéndice a la Parte 2§: MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DES_ PLEGABLE SEGÚN UNA SUPERFICIE _ PLANA

a.l - Mecanismo 3 37 a.2 - Variante del mecanismo 341 a.3 - Estructuras 3 42

- CONCLUSIONES A LA PARTE 2a 344 /

XI

PARTE 3§ - ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS

- Capítulo VIII:ESTPUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFI CIÉ ESFÉRICA

8.1 - Tipos básicos 3 54 8.2 - Planteamiento de la compatibilidad geométrica 3 57 8.3 - Condiciones de compatibilidad para mecanismos

triangulados de un grado de libertad 3 59 8.3.1 - Compatibilidad en el estado de desplega

do final 3 59 8.3.2 - Compatibilidad en los estados interme—

dios 361 8.3.3 - Estructura procedente de este mecanismo 36 3

8.4 - Condiciones de compatibilidad geométrica para -el mecanismo de Emilio Pérez Pinero 3 64 8.4.1 - Compatibilidad en el estado de desplega_

do final 364 8.4.2 - Compatibilidad en los estados interme—

dios 37 3

- Capítulo IX:TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES 9.1 - Descripción general 3 74 9.2 - Descripción de los elementos 375 9.3 - Mecanismo 3 78 9.4 - Estructura 380

- Capítulo X:CUPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES 10.1 - Descipción general 381 10.2 - Descripción de los elementos 3 84 10.3 - Mecanismo 398 10.4 - Estructura ,401 10.5 - Variante de mecanismo debida a Emilio Pérez —

Pinero: módulo desplegable automático 405 10.6 - Otras variantes de mecanismo y estructura 4 08

- Capítulo XI: ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE CILINDRICA

11.1 - Mecanismo generado a partir de una cuadrícula 4 09

XII

11.1.1 - Condiciones geométricas en el estado desplegado 4 10

11.1.2 - Compatibilidad en los estados interine dios 412

11.2 - Mecanismo generado a partir de una retícula de triángulos rectángulos 413 11.2.1 - Compatibilidad en el estado desplegado 413 11.2.2 ~ Compatibilidad en los estados interme

dios 4 15 11.3 - Mecanismo cuyos nudos forman una retícula de

triángulos isósceles 4 15 11.3.1 - Compatibilidad geométrica en el esta

do desplegado 415 / 11.3.2 - Compatibilidad en los estados interme_

dios 418 11.3.3 - Variante de mecanismo cuyos nudos for

man una retícula de triángulos escalenos 419

11.4 - Mecanismo de dobles pirámides 420

- CONCLUSIONES A LA PARTE 3§ 423

- BIBLIOGRAFÍA 430

- ANEXO 438

INTRODUCCIÓN GENERAL

.básicamente el objeto de esta tesis es el estudio, documen

tación, valoración y generalización de soluciones,.de los -.-

trabajos realizados durante diez años de actividad profesio

nal (1962-72) por el arquitecto Emilio Pérez Pinero, gasta

dos en un tema casi monográfico: las estructuras espaciales

de barras. Dentro de- ellas, el 90% se adjetivan además de -

dos formas: desmontables y desplegables.

Los años 60 son la frontera del cá:lculo sin/con ordenador -

para la élite investigadora. Sobre el estado concreto del -

tema puede servir de resumen ei contenido del volumen SPACE

STRÜCTURES, que recoge todas las ponencias presentadas al -V

Primer Congreso Mundial sobre Estructuras Espaciales, cele

brado en 1966, en Surrey (Inglaterra). Generalizando, para

el cálculo de cúpulas y bóvedas, se emplean modelos de asi

milación a las continuas, completamente resueltas en muchos

estados de carga y forma; para emparrillados y placas haüílan

los desplazamientos más relevantes (descensos verticales) -

por el método de las diferencias finitas.

Respecto al campo del diseño, durante los años 50 y 60 hubo

1

una verdadera fiebre en patentar soluciones correspondientes

a disposiciones geométricas, sistemas constructivos y dise

ño de componentes (sobre todo piezas de nudo) cada vez más

complejos de ejecución pero de uso más racional y versátil.

Como exponentes de este campo de las estructuras en esos -

años se puede citar a, Stephane du Chateau, R. Bucminster -

Fuller, F. Lededer, Y. Tsuboi, R. Le Ricolais, F. Matsushi-

ta y el gran animador Z.S. Makowski.

En España, Florencio del Pozo como enseñante y proyectista

fue el introductor de este campo de las estructuras. Pablo

Bueno remató sus estudios de ingeniería con una investiga

ción sobre mallas planas; después junto con José Calavera -

proyectó y construyó varias de estas placas. También Ignacio

Alvarez Castelao y Francisco Rius fueron pioneros en dar so

luciones de estructuras espaciales en sus proyectos. A prin

cipios de los años 70 aparece-. Las"- mallas espaciales en ar

quitectura, de Juan Margarit y Carlos Buxadé, y Félix Can

dela desde México y USA, siempre ejerció influencia sobre

los estudiosos españoles. Todos estos iniciadores están -

ligados al mundo académico y contrastan o aprenden de él -

sus soluciones.

Emilio Pérez Pinero no parte de investigar modelos teóricos

2

tanto hablando de diseño como de cáculo. De principio los

fabrica, en parte porque no dispone de bagaje aportado por

otros en que apoyarse, ya que su diseño es completamente -

nuevo. También se puede decir que no le es una tarea difí

cil: construye sus diseños aprovechando que tiene tanto ha»-

bilidad manual como visión espacial. Desarrolló su trabajo

en solitario, protegiendo sus hallazgos mediante patentes -

intentando comercializar sus estructuras, dedicaiüo por ente

ro a su vida profesional.a esto.

De sus realizaciones, la información que se suele plasmar -

en planos, no es abundante ni precisa. Existen sin embargo

maquetas y modelos a escala o trozos de ellos. Para poder k

hacer transmisibles sus realizaciones es necesario dibujar

las y definirlas en gran parte pues, aunque se pudienran. ma

nejar las maquetas y modelos, es la mejor forma de hacerlo

con^exactitud y rigor.

En este trabajo, por la particularidad de ser un estudio de

la obra de una persona, exije que se reúna toda la informa

ción sobre ella. Se inicia ordenando trabajos y documenta—

ción existente; esta consiste básicamente en la producida -

o controlada por el propio autor, pues dado el poco tiempo

transcurrido, no hay otros estudios sobre sus trabajos; so

lo existen referencias bibliográficas y comentarios en los

3

estudios de investigadores de estructuras desplegables.

Por la naturaleza de las estructuras, emparrillados y -

cúpulas, y de su carácter móvil, es necesario acometer

estudios complementarios matemáticos y geométricos para

poder dar su definición exacta y comprender su funciona

miento.

Si en la Parte lton se presenta el objeto y la información

de partida, en la 1 a se agrupan las estructuras fijas y des

montables, casi todas definidas desde el mismo procedimienr-

to matemático no particularizado por ningún autor. Como es

te campo está lo suficientemente estudiado desde los años

50 hasta ahora, con abundante información escrita, aqui so

lo se considera necesario documentar lo realizado por Pine

ro, deslindando y valorando su aportación.

Las partes 23. y 32 se dedican a las estructuras desplegables

cuya directriz final es plana (2§) o curva (3a), iniciándo

se con un estudio común sobré la movilidad y dedicándose

también un capitulo dentro de la 3a a los condicionamientos

geométricos para la movilidad en las estructuras curvas.

El campo de los diseños desplegables está poco explorado por

lo que no solo se van a documentar las realizaciones de Pi—

4

ñero. Se intentará generalizar en términos de diseño em

pleando el sistema que admite la posibilidad de plegado -

ideado por éste, y se propondrán otros diseños estructura

les.

Las estructuras espaciales de barras son de difícil repre

sentación en dos dimensiones. Se ha hecho un gran esfuerzo

porque ésta sea de lectura sencilla tanto en los dibujos -

que acompañan las explicaciones como los planos que se van

intercalando y se espera que ayuden a la compresión de lo -

que se expone.

5

PRELIMINARES

DOCUMENTACIÓN EXISTENTE

BIOGRAFÍA

Emilio Pérez Pinero nace en Valencia (España) el 27 de Agosto de - -

1.935.

A los tres meses de edad, sus padres se transladan a Calasparra, peque

ño pueblo de la Provincia de Murcia, de donde era originaria toda su -

familia. Allí transcurre su 'infancia y primera juventud, durante los -

años 40.

Cuando acaba .la primera enseñanza, se encargan de su educación, por un

lado su padre, ingeniero militar republicano, que le imparte discipli

nas de ciencias y por otro' D. Ricardo López, maestro amigo de su padre

que después de finalizar la guerra, sé dedica a impartir clases parti

culares.

Cursa el Bachillerato Superior, en un pueblo cercano que dispone de -

equipamiento docente adecuado.

En junio de 1.952 obtiene el titulo de Bachiller con nota de Sobresa

liente y'en el Examen de Estado en la Universidad de Murcia obtiene

premio Extraordinario.

El dilema de que carrera seguir se resuelve del siguiente modo:

7

Dado que siempre se había sentido atraído por el dibujo y la pintura —

(existen varios cuadros pintados en su adolescencia), se plantea la pq

sibilidad de ingresar en Bellas Artes- Para desviar esta decisión, in

terviene su padre, preocupado por el futuro incierto que se le puede —

presentar como pintor. Le propone que intente ingresar en la Escuela -

Superior de Arquitectura, argumentando que, esta profesión le puede

ofrecer un porvenir más desahogado, además de ser una profesión artís

tica.

Aceptando la proposición de su padre, se translada a Madrid, donde em

pieza a preparar el examen de ingreso en la Escuela. En 1,957, ingresa

en la Escuela obteniendo Matricula de Honor en las asignaturas de Aná

lisis matemático de la Facultad de Ciencias de Madrid. Acaba la carre—

ra en cinco años.

Siendo estudiante de cuarto curso en 1.961, se le presenta la opor

tunidad de desarrollar un tema sobre las estructuras para cubrir gran

des espacios.

En este año, coincidiendo con su Congreso de Londres, 1-a Unión Interna_

cional de Arquitectos, convoca un concurso internacional para estudian

tes de Arquitectura, al que se presentan alumnos de Facultades y Escue

las de 54 paises. El tema del concurso, es proyectar un teatro ambulan

te para 500 espectadores.

8

La Escuela Superior de Arquitectura de Madrid propone el proyecto

como ejercicio de curso a los alumnos de cuarto,y se seleccionan

dos propuestas: Una, realizada por Ricardo Urgoiti, resuelve el

problema con una cúpula formada por tubos de plástico que se trans

portan enrollados. Una vez extendidos y unidos entre si, se inflan

con aire comprimido, quedando la cúpula montada.

La otra, realizada por Emilio Pérez Pinero, consistía en una estruc

tura reticular estérea plegable que se transportaba y desplegaba

hasta su total instalación desde un camión. La inclinación del sue

lo para conseguir una visión adecuada también se lograba mediante

grupos de estructuras reticulares estéreas desplegables.

Tras la selección llevada a cabo en la Escuela, los dos estudiantes

son presentados a D. Carlos De Miguel, entonces director de la re

vista "Arquitectura". Los dos proyectos se publican en el n° 30

Sel mes de Junio de 1961 de la citada revista, a la vez que D. Car

los De Miguel se ofrece para organizarles el viaje y acompañarles

al congreso de Londres.

Cuenta Carlos De Miguel, que desde un principio se quedo atónito

por lo fantástico que era el proyecto de Pérez Pinero. Es curioso

señalar que, según De Miguel la timidez de Emilio era tal, que su

proyecto tuvo que explicárselo Urgoiti.

Una vez en Londes, y siempre según palabras de Carlos De Miguel el

Proyecto de Pérez Pinero causaba sensación, cada vez que se exhibía.

9

Finalmente, el jurado concede el primer premio al proyecto ele Emilio

Pérez Pinero y asimismo, en la resolución final del Congreso, se con

sidera a la estructura desplegable diseñada por Emilio para su tea

tro como una aportación técnica de primer orden. No debemos olvi

dar que la labor investigadora en estructuras espaciales de barras,

estaba en esos años en auge, mas cerca de sus inicios que de su apo

geo. Años más tarde, el arquitecto Félix Candela, que formaba par

te del jurado junto Buckmister Fuller y Ove Arup entre otros, dice

que entre los muchos proyectos qae se presentaron, el de Emilio Pé

rez Pinero era realmente extraordinario, concediéndole el premio sin

discusión alguna.

Tras este éxito en el Congreso de la O.I.A. en Londres, Emilio tiene

ofertas para vender su invento, o bien desarrollarlo en varios pai-

ses, como Estados Unidos y Brasil, pero deciSe continuar por su cuen

ta. Compagina entonces sus estudios de 52 y ultimo año de carrera,

con el desarrollo y perfecionamiento de la estructura que haJDia di

señado. Y se encuentra entonces con el problema, según reconocería

tiempo después, de que, en realidad, sabia menos de lo que se podía

pensar, teniendo por tanto, que empezar a estudiar y a ponerse ai

día en cuanto a conocimientos sobre estructuras- se refiere, ya que,

según él, los conocimientos que sobre el tema se impartían en la

escuela, pronto se le quedaron cortos.

En este tiempo hasta que acabo la carrera su diseño de estructura

es presentado en varios certámenes internacionales. En el mes de

10 -

octubre siguiente al Congreso de Londres, se presenta en la Bienal de -

Arte-Arquitectura y Teatro de Sao Paulo (Brasil), donde se le concede --

la Medalla de Oro. En febrero de 1962, y aún sin acabar la carrera, se

realiza una exposición de sus maquetas en Munich, acompañada de comferen_

cias en la Facultad de Arquitectura y el Instituto Español de esta ciu

dad alemana.

En abril, junto con otros españoles, se presenta a la Exposición Inter

nacional de Patentes de Bruselas, obtiene una medalla de oro y la feli

citación especial del jurado.

La prensa diaria y la especializada recogen estos hechos. Es objeto de

varios homenajes tanto a nivel nacional como local, con la participa—

ción de las autoridades políticas del momento.

En julio de 1962, termina la carrera de Arquitectura con sobresaliente

y "Premio Anibal Alvarez" como alumno más destacado de su promoción.

Estos hechos son recordados muy especialmente por sus compañeros como

sucesos extraordinarios dentro de la vida escolar.

Terminados los estudios decide dedicarse en exclusiva al estudio de las

estructuras desplegables. A la dificultad de unos estudios insuficientes

en el tema de estructuras, se une la inexistencia en aquellos momentos

de unos modelos de cálculos afinados o de unas hipótesis especificas de

funcionamiento estructural aplicables a sus diseños. Recurre a la cons-

11

trucción de modelos reducidos a escala; como le cuesta un dinero del que

no dispone, tiene que fabricarse él mismo las maquetas y modelos, como

lo había hecho con el proyecto del teatro ambulante. De esta forma sólo

tiene que pag.ar los materiales que necesita, aunque a la vez tiene el -

inconveniente de necesitar mucho tiempo para obtener soluciones válidas.

Paralelamente, no pierde oportunidad de monstrar sus trabajos. En el

mes de agosto de 1962, participa en una exposición de estructuras que -

se celebra en Tokio.

En Calasparra continua desarrollando sus estructuras en un casi comple

to aislamiento. Empieza a preocuparse un poco más por la teoría general

y ver en"la forma" la variable fundamental a tener en cuenta a la hora

de diseñar una estructura para cubrir un espacio de grandes luces; de

dica más atención a las formas esféricas.

Durante, este mismo año 1963, realiza varias exposiciones de maquetas y

modelos, entre las que cabe citar las llevadas a cabo en el entonces -

Ministerio de la Vivienda, Sala Biosca y Ateneo de Madrid.

A principio de 1964 desarrolla y pone a punto un tipo plano de estruc—

tura reticular desplegable, con la cual proyecta y construye su primera

obra real. Se trata de un pabellón transportable para exposiciones, que

debía albergar una exposición de carácter oficial donde el Gobierno que

12

ría mostar los logros conseguidos en los 25 años transcurridos desde

la Guerra Civil. Se instala por primera vez, en la explanada de los -

Nuevos Ministerios de Madrid y es inagurado el 1964, por el Gobierno,

que le es concedida la Encomienda y Gran Cruz de Isabel la Católica.

En el mes de octubre se estrena en un cine de Madrid, un corto de 30 -

minutos sobre el diseño y desarrollo de las estructuras desplegables.

Durante 1965, construye varios modelos desplegables a escala y empie

za, a la vez, a profundizar en el estudio de las cúpulas geodésicas -

no desplegables.

Como se verá, en este tipo de estructura poliédricas consigue diseñar

una división del poliedro esférico en base a un número; pequeño de mó

dulos poligonales distintos, consiguiebdc, por tanto simplificar el

montaje, desmontaje y transporte de la estructura.

Si hay algo para lo-que Pérez Pinero no encuentra casi nunca problemas,

como él mismo afirma, es para dar a conocer sus avances.

Sus nuevos diseños, nada más realizarse, son reflejados en revistas es

pecializadas tanto nacionales como extranjeras, acompañadas de algún -

pequeño comentario. Son estas publicaciones unas de las principales fuen

tes para conocer sus diseños dada la casi inexistencia de documentación

gráfica previa a la construcción.

13

En el año 1966 es nombrado miembro del Comité Organizador de la Confe

rencia Internacional de Estructuras Espaciales que se celebró en Ingla___

térra.

Con este motivo conoce y se relacciona con diversos estudiosos de pres

tigio mundial en el campo de las estructuras. A éste Congreso el espa

ñol José Calavera presentó una ponencia sobre placas realizadas con es_

tructuras espaciales ds barras.

Durante este año, el entonces Ministerio de Información y Turismo le -

encarga la construcción de un teatro transportable para Festivales de

España. En esta ocasión construye la estructura en Caiasparra. {El en

cargo anterior se construyó entero en C.A.S.A.).Para ello tiene que am

pliar el pequeño taller de que dispone, donde ha ido construyendo sus

modelos y maquetas a escala.

Este encarga supone tener que adiestrar a una serie de artesanos loca

les en una ejecución de obra a la que no están acostumbrados, por la

precisión que requiere la fabricación de las distintas piezas que in

tegran la estructura.

A la vez que continua con estudios teóricos sobre modelos, construye

una cúpula desmontable para albergar las instalaciones necesarias para

proyectar películas por el sistema Cinerama, entonces en auge, capaz

14

SÍCtlCü© ÍP12GB32 LFIISSLM)

MI. PRIMER ENCUENTRO CON* EMILIO TUVO LUGAR EN LONDRES. DURANTE EL CONGRESO DE LA UNION INTERNACIONAL DE ARQUITECTOS, EN JULIO DF 1961. ME TOCO ESTAR. JUNTO CON BUCKY FULLER v OVE ARUP. EN EL JURADO PARA EL CONCURSO DE PROYECTOS DE ESTUDIANTES QUE SIEMPRE SE LLEVA A CABO EN ESOS CONGRESOS. ESE ANO, EL TEMA ERA UN TEATRO DESMONTABLE Y. ENTRE LOS MUCHOS PROYECTOS PRESENTADOS. HABÍA UNO REALMENTE EXTRAORDINARIO. AL QUE, NATURALMENTE, CONCEDIMOS EL PREMIO SIN MAYOR DISCUSIÓN. SU AUTOR ERA EMILIO PÉREZ PINERO, ENTONCES ESTUDIANTE DE LA ESCUELA DE MADRID.

SEME PRESENTO ATRAVES DE VIEJOS AMIGOS, A QUIENES, POR AZARES DE LA VIDA, NO HABÍA VISTO EN CERCA DE 25 ANOS. CON SU INTENSO ENTUSIASMO NOS DEMOSTR.O EN LA SOLEADA" PLAZA.EL FUNCIONAMIENTO DE UN MODELO.POR EL FA3R1CADO.PE LA CÚPULA PLEGABLE QUE LE HIZO GANAR EL CONCURSO. RÉCUEPJX) QUE BUCKY FULLER. QUE ESTABA A MI LADO DURANTE LA PRESENTACIÓN, ME DIJO EN UN APARTE, NO SIN CIERTO REMUSGUILLO DE CELOS: "YO TENCO UNA P VTENTE SEMEJANTE. DESDE HACE VARIOS AÑOS". A PESAR DE ESTA AFIRMACIÓN. PUDE COMPROBAR CON ORGULLO - Y A QUE DESDE ENTONCES EMPECE A CONSIDERAR LOS TRIUNFOS DE EMILIO COMO S! FUERAN MÍOS O, MEJOR DICHO, NUESTROS- QUE LA PATENTE DE FULLI.ER, TAL COMO APARECÍA EN UNO DE SUS LIBROS QUE ME MANDO AL HOTEL ANOTADO DE SU PROPIA MANO TENIA MUY POCO QUE VER CON LA SOLUCIÓN DE LA ARTICULACIÓN O NUDO DE BARRAS QUE EMILIO HABÍA DISEÑADO. ESTA ARTICULACIÓN, DESPUÉS PERFECCIONADA EN SUCESIVAS EXPERIENCIAS. ERA EL VERDADERO TOQUE GENIAL DE LA SORPRENDENTE ESTRUCTURA.

PERDÍ CONTACTO PERSONAL CON EMILIO DURANTE VARIOS AÑOS. AUNQUE SABOREE SUS ÉXITOS F.N ARTÍCULOS Y REPORTAJES DE LA REVISTA DEL COLEGIO DE MADRID Y NO DEJE DE APROVECHAR. M!S INFLUENCIAS Y AMISTADES PARA HACER QUE SE PUBLICARAN SUS

PROYECTOS EN REVISTAS DE OTROS PAÍSES. COMO EL -'PROGRESSIVE ARCHITECTURE". DE F..U.. Y "ARCHITECTURAL DESIGN", DE LONDRES, PERO NO VOLVÍ A ENCONTRÁRMELE HASTA 1968 EN QUE DECIDIÓ VENIR- A MÉXICO' A VISITARME. COMO NO SE TOMO "LA MOLESTIA DE ANUNCIARME SU VIAJE, LLEGO A MÉXICO AL DÍA SIGUIENTE DEL QUE YO SALÍ PARA UNA GIRA DE CONFERENCIAS POR E.U.. VENEZUELA Y COLOMBIA. QUE UTILICE COMO PRETEXTO PARA QUITARME DE EN MEDIO POR UNA TEMPORADA Y ALIVIAR UN« SITUACIÓN INCOMODA Y. HASTA CIERTO PUNTO, PELIGROSA EN QUE MI FORZADA INTERVENCIÓN COMO PROFESOR DE LA ESCUELA Y MI INVETERADA PROPENSIÓN A METERME EN LÍOS ME HASIA COLOCADO CON MOTIVO DE LA REBELIÓN ESTUDIANTIL ORGANIZADA POR EL GOBIERNO. MEXICANO EN AQUELLAS FHCHAS.

• ES UNA MUESTRA DEL CARÁCTER DE EMILIO Y DE SU INDOMABLE TENACIDAD. QUE ESPERO PACIENTEMENTE DURANTE TRES SEMANAS. HASTA MI RECRESO.

EL PROPOSITO DE SU VIAJE ERA PEDIRME AYUDA PARA COLOCAR SUS PATENTES EN F..U. UNAS PATENTES QUE QUIEN SABE CUANTO DINERO Y ESFUERZOS LE HABÍAN COSTADO CONSEGUIR. ME OFRECIÓ GENEROSAMENTE LA MITAD DE LO QUE PUDIÉRAMOS OBTENER POR LA VENTA O EXPLOTACIÓN DE SUS INVENTOS E JNIUAMuS NUESTRA PEREGRINACIÓN POR I.AS • COVACHUELAS DE WASHINGTON. VISITAMOS IOS DEPARTAMENTOS DE CONSTRUCCIÓN DML EJERCITO. LA MARINA, LA FUERZA AEREA Y LA NASA. EN TODOS ELLOS SE MOSTRARON INTERÉS ADISiSMOS POR LAS POSIBILIDADES DEL SÜTfcMA CONSTRUCTIVO Y SU INDUDABLE UTILIDAD PARA RESOLVER NECESIDADES URG ENTESAD £ LAS FUERZAS ARMADAS AMERICANAS. P"RO. AL MISMO TIEMPO. COMPROBAMOS CON DCSCfiNSUi-LO I.AS ESCASAS OPORTUNIDADES QUE ESTE MUN1X1 OFRIXR - lYlRA^Et / i

0 '

para 1.200 espectadores. La mejora más sensible respecto al Teatro pa

ra Festivales de España, radica en<(que también diseña expresamente la -

grúa de montaje; con lo cual la instalación y desmontaje ganan en rapi

dez y sencillez.

Para dar la idea de la celeridad con que podían realizarse estas manio

bras, puede decirse que durante el año 1957, además de proyectarse y -

construirse la Sala, se exhibió en Barcelona, San Sebastián y Sevilla,

permaneciendo instalada alrededor de 70 días en cada una de estas ciu

dades .

Habiendo realizado ya tres obras reales, Emilio empieza a darse cuenta

de que no logrará poner en práctica la mayoría de las ideas y diseños -

nuevos que realiza. El mismo va dejando anticuados sus propios sistemas.

Pero los a dejado anticuados de una forma teórica, ya que la mayoría de

nuevos sistemas no pasan de ser un modelo de estudio.

Posiblemente, todo lo anterior le hace dejar un poco aparte la investi

gación teórica, ocupándose más del campo de realizaciones prácticas.

En 1963, coincidiendo con los preparativos de la Olimpiada, Pérez Pine

ro viaja a México con la intención de entrevistarse con Félix Candela,

ai que no ha visto desde 1961, cuando formaba parte del jurado que le

otorgó el premio en el Congreso de Londres.

Emilio le ofrece el intentar colocar en Estados Unidos algunas de sus -

15

DESARROLLO DEL ESFUERZO INDIVIDUAL. TRATAR. DE VENDER TALENTO. INGENIO Y HABILIDAD A UNA GRAN CORPORACIÓN, COMO EL EJERCITO AMERICANO, CALECE TOTALMENTE DE SENTIDO. PARA UNA CORPORACIÓN. LAS PERSONAS FÍSICAS NO EXISTEN Y SOLO PUEDE PONERSE DE ACUERDO Y HACER NEGOCIOS CON OTRA CORPORACIÓN. ANTES DE EMPEZAR A HABLAR EN SERIO, NECESITABAN TENER VARIOS MODELOS A ESCALA NATURAL. RESULTADOS DE ENSAYOS DE CARGA EN UN LABORATORIO OFICIALMENTE "RECONOCIDO POR ELLOS Y PRUEBAS FEHACIENTES DE NUESTRA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN. COMO ESTA SE REDUCÍA A LO QUE PUDIERAN DAR DE SI LOS ARTESANOS DE CALÁSPARRA, CUANDO LA AUTORIDAD QUE EMILIO HABÍA LOGIIADO TENER EN EL PUEBLO, A PESAR DE SUS POCOS AÍ50S. CONSEGUÍA QUE OLVIDARAS POR UNA TEMPORADA SUS RENCILLAS Y ENEMISTADES PERSONALES Y SE PUSIERAN A TRABAJAR PARA EL. DECIDIMOS ENTRAR EN CONTACTO CON FABRICANTES AMERICANOS. HABLAMOS CON ALCOA, U.S. STEEL Y ALCUNAS DE SUS SUBSIDIARIAS, LO CUAL SIRVIÓ ÚNICAMENTE PARA CONFIRMARNOS OTROS PRINCIPIOS QUE RIGEN LA OPERACIÓN DE LAS CORPORACIONES.

A PESAR DE LA CREENCIA POPULAR, UNA CORPORACIÓN BIEN ORGANIZADA NO TIENE ÍNTERES ALGUNO EN INTRODUCIR 0 DESARROLLAR MODIFICACIONES TÉCNICAS, AUNQUE ESTAS TIENDAN A MEJORAR SU PRODUCTO. SI LO HACE, ES FORZADA POR LAS CIRCUNSTANCIAS Y RESPALDADA, GENERALMENTE, FOR SUBSIDIOS GUBERNAMENTALES 0 CONTRATOS PARA INVESTIGACIÓN PROVINENTES DE OTRAS CORPORACIONES ESTATALES EN CARACTERÍSTICA Y LUCRATIVA SIMBIOSIS. SI COMPRA PATENTES ES PARA ENCERRARLAS EN CAJAS FUERTES Y EVITAR QUE OTROS LAS APROVECHEN O LAS EXPLOTEN. SUS EMPLEADOS NO DEBEN TENER INICIATIVA ALGUNA Y LIMITARSE A CUMPLIR CON SU FUNCIÓN, DE ACUERDÓ CON LAS NORMAS ESTABLECIDAS, PUESTO QUE CUALQUIER CAMBIO DE ESTAS INTERFIERE NECESARIAMENTE CON LA FLUIDEZ DE LA LINEA DE PRODUCCIÓN Y SU EFICACIA CUANTITATIVA. EN OTRAS PALABRAS. LA CANTIDAD ES MAS

. DESEABLE QUE LA CALIDAD Y LOS MEDIOS SE VUELVEN MAS IMPORTANTES QUE LOS FINES.

.EN ESTAS CIRCUNSTANCIAS, LAS CONTESTACIONES QUE RECIBIMOS FUERON MUY SEMEJANTES. TENDRÍAN QUE HACER, PREVIAMENTE, UNA INVESTIGACIÓN DE MERCADO Y, POR SUPUESTO. REUNIR JUNTA DE DIRECTORES PARA QUE LA EVENTUAL DECISIÓN Y RESPONSABILIDAD RESULTARA DEBIDAMENTE DILUIDA. NI QUE DECIR TIENE QUE NUESTROS POBRES ESFUERZOS NO DIERON MAYORES RESULTADOS.

PARA MAYOR ESCARNIO, UNA CARTA QUE ME DIRIGIÓ ÉL DEPARTAMENTO DE MARINA AMERICANO, INTERESÁNDOSE POR CONSTRUIR UNA DE LAS CÚPULAS DE EMILIO EN EL CONTINENTE, ANTARTICO, FUE INTERCEPTADA EN MÉXICO POR ALGUNA DE LAS AGENCIAS LLAMADAS "DE INTELIGENCIA" Y LLEGO A MIS MANOS CON TRES SEMANAS DE F.ETRASO. CUANDO, POR FIN. PUDIMOS CONTESTARLA. YA ERA TARDE, SEGÚN NOS DIJERON, PUESTO QUE ALGUIEN MAS AFORTUNADO LES HABÍA RESUELTO EL PROELEMA.

UN ARO MAS TARDE SE VOLVIÓ A PRESENTAR OTRA MAGNIFICA OPORTUNIDAD. EN UNA ESTANCIA MÍA EN HOUSTON COMO PROFESOR VISITANTE Y AL COMENTAR CON OTRO PROFESOR LAS REALIZACIONES DE EMILIO. DIJO AQUEL CONOCER A ALGUIEN EN LA ESTACIÓN QUE LA NASA TIENE EN LAS AFUERAS DE LA CIUDAD. LLAMAMOS POR TELEFONO Y AL COMENZAR A DESCRIBIR EL FUNCIONAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS. LA PERSONA QUE ESTABA AL OTRO EXTREMO DE LA LINEA ME INTERRUMPIÓ CON GRAN EXCITACIÓN PIDIENDO QUE ME PRESENTARA DE INMEDIATO EN SUS OFICINAS, ALLÍ ME FUI, ACOMPAÑADO DE MI ESPOSA DOROTHY, SIENDO RECIBIDOS POR VARIOS CIENTÍFICOS ALLÍ E M P L E A D O S . ENTRE ELLOS, UN BIÓLOGO Y UN BOTÁNICO ESTABAN EXTRAORDINARIAMENTE INTERESADOS POR CONTINUAR EN LA LUNA UN EXPERIMENTO INICIADO EN TIERRA. PARA ELLO NECESITABAN CONSTRUIR UN INVERNADERO EN NUESTRO

patentes de estructuras. Juntos van a aquel país e inician una serie de

gestiones, en entidades oficiales y privadas, que al final no dan ningún

resultado práctico.

No obstante, de este viaje, surge, entre Candela y Pérez Pinero, una re

lación, que si bien al principio solo es profesional pronto se convier

te en una profunda amistad, como se desprende de posteriores declarado

nes, tanto de Emilio como de Félix Candela.

Antes de regresar Emilio de México, deciden asociarse y abrir un estudio

en Madrid y tras su vuelta a España, inicia las gestiones necesareas.

Candela queda encargado de seguir intentando introducir en Estados Uni

dos alguno de los sistemas estructurales plegables diseñados por Emilio.

Se presentaron varias oportunidades, entre ellas, la posible colocación

de un invernadero en la Luna, y la posibilidad de construir unas naves

para la Marina Americana en el continente Antartico. Después de todas -

las gestiones llevadas a cabo, y por motivos ajenos a los dos socios,-

ninguna de las posibilidades se llevo a cabo.

El trabajo de Emilio en España estaba encaminado a iniciar contactos ~

con varias empresas de construcción. El motivo era poder concurrir a -

concursos y subastas de obras apoyadas por una entidad que fuera de rea

lízarle físicamente la obra.

En 1971, coincidiendo con una estancia en Madrid de Félix Candela se -

16

SATÉLITE, PUES ACABABAN DE DESCUBRIR. QUE EL POLVO LUNAR, FOR ALGUNA RAZÓN TODAVÍA DESCONOCIDA, HACIA CRECER CON UNA RAPIDEZ CUATRO O CINCO VECES MAYOR DE LO NORMAL A LAS PORCIONES DE UN CULTIVO VEGETAL CON LAS QUE ENTRABA EN -CONTACTO. LA IDEA "DE AQUELLOS JÓVENES CIENTÍFICOS -CUYA VIABILIDAD NO ESTOY CAPACITADO PARA J U Z G A R - CONSISTÍA EN EDIFICAR EN LA SUPERFICIE LUNAR UN RECINTO CERRADO PARA INICIAR EN SU INTERIOR EL CICLO ORGÁNICO DE LA VIDA VEGETAL. TRATANDO DE CREAR. A LARGO FLA20, UNA INCIPIENTE ATMOSFERA. LAS CÚPULAS DESFLEGABLES SE ADAPTA3AN PERFECTAMENTE A LAS CARACTERÍSTICAS DEL PROBLEMA. CONCENTRADAS EN UN COMPACTO HAZ, PODRIAN ACOMODARSE EN LA NARIZ DEL MODULO LUNAR Y ABRIRSE CON UN MÍNIMO DE ESFUERZO O, INCLUSO, AUTOMÁTICAMENTE CON LA AYUDA DE MUELLES, SISTEMA YA INICIADO POR EMILIO EN ALGUNOS PROTOTIPOS.

NOS ENSEÑARON CON TODO DETALLE LOS LABORATORIOS DE LA NASA, INCLUYENDO EL De CARTOGRAFÍA, DONDE NOS DIERON MAPAS, QUE ENVIÉ DE INMEDIATO A MADRID, PARA QUE PUDIÉRAMOS ELEGIR CRÁTERES DEL TAMAÑO ADECUADO •( cL ENTUSIASMO DE TODOS IBA CRECIENDO. EL ÚNICO PEQUEÑO PROBLEMA ES QUE HABÍA QUE ENTUSIASMAR Y CONVENCER TAMBIÉN A LOS JEFES. UN DIBUJANTE DE LA NASA QUEDO ENCARGADO DE HACER UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA CON FOTOS Y DIBUJOS. PARA MOSTRARLOS A AQUELLOS EN UNA PRÓXIMA JUNTA, UNO DE LOS ARGUMENTOS QUE SE UTILIZARON FUE EL DE LAS VENTAJAS PUBLICITARIAS DE UNA COOPERACIÓN INTERNACIONAL EN UN PROYECTO DE ESE TIFO. PERO NOS ROGARON, POR SUPUESTO, QUE NO DIVULGÁRAMOS EL ASUNTO HASTA QUE ESTE HUBIERA SIDO APROBADO EN PRINCIPIO POR LAS AUTORIDADES. HAERIA SIDO ESTUPENDO QUE LA PRIMERA ESTRUCTURA ERIGIDA EN L>. LUNA SE HUBIERA CONSTRUIDO EN CALASPARRA. PERO TOPAMOS DE NUEVO CON LA IMPENETRABLE BARRERA DE "LA ORGANIZACIÓN. LA PRESENTACIÓN A LAS ALTAS JERARQUÍAS NO DIO RESULTADO POSITIVO Y EL ENTUSIASMO SE FUE APAGANDO, A JUZGAR POR LA CORRESPONDENCIA POSTERIOR. '

. PUEDO IMAGINARME LA DESILUSIÓN DE EMILIO ANTE ESTE NUEVO FRACASO. Y NO PUEDO EVITAR UN CIERTO SENTIMIENTO DE CULPABILIDAD. PUES MIS ESCASAS HABILIDADES COMO VENDEDOR Y HOMBRE DE NEGOCIOS TUVIERON INDUDABLEMENTE MUCHO QUE VER CON LA FALTA DE ÉXITOS.

ME HE REFERIDO CON CIEF.TO DETALLE A ESTAS ANDANZAS AMERICANAS DE LA VIDA DE EMILIO. PORQUE QUIZA FUERON FOCO CONOCIDAS EN ESPAÑA, PERO QUISIERA DEDICAR ALGÚN ESPACIO A SU PERSONALIDAD. DF.SDE EL PUNTO DE VISTA DE MIS RELACIONES CON EL. A PARTIR. DE SU VISITA A MÉXICO. ESTAS SE VOLVIERON MUY SEMEJANTES A LAS DE PADRE E HIJO, PERO, ENTIÉNDASE BIEN. UN H!!0 YA CRECIDO Y MADURO QUE NO SOLO NO ACEPTA LOS CONSEJOS DEL PADRE. SINO QUE DICE A ESTE LO QUE HA DE HACERSE.

PORQUE EMILIO- ERA UNA-, PERSONA EXTRAORDINARIAMENTE DESARROLLADA PARA SU EDAD. CONSECUENCIA. SIN DUDA, DE QUE LA VIDA NUNCA LE FUE FÁCIL. PARAFRASEANDO

. LO QUE EN OTRA OCASIÓN DIJE DE FREÍ OTTO, EN EL PROLOGO A UNO DE SUS LIBROS. REPETIRÉ: "Y ELLO NOS LLEVA A PENSAR QUE LAS- DI FICULTADES DE TODO ORDEN PUEDEN SER UNA DE "LAS CONDICIONES QUE ESTIMULAN EL GENIO CREATIVO. Y QUE LA SOCIEDAD, CON INHUMANA PERO EFICIENTE CRUELDAD, DEBIERA, QUIZAS. COLOCAR A SUS EJEMPLARES MAS EXCELSOS EN UN MEDIO ADVERSO Y HOSTIL, PARA QUE SU ANltfO*'íE¿., TEMPLE EN LA DESESPERADA LUCHA". Y BIEN QUE LO HIZO EN ESTE CASO, PUES" EMiLIO-*\ COMENZÓ A SUFRIR DESDE PEQUEÑO Y NO DEJO DE LUCHAR DESESPERADAMENTE HASTÍ EL W-HNAI. _ M Í i l B l i Ü ^

presentan junto con la empresa CALTECNICA S.A., a un concurso interna

cional en Camerún, donde obtienen el segundo premio.

También por estas fechas, Emilio construye una estructura para cubrir -

las excavaciones de un Cementerio Paleocristiano en Tarragona. Se trata

de una serie de casquetes de esfera, cortados por planos verticales y -

triangulados, colocados sobre soportes de acero.

Es también, a principios de 1971, cuando aparece Salvados Dalí en la vi

da profesional del arquitecto. El pintor encarga a Pérez Pinero, que di

señe dos estructuras distintas entré.sí.

Por una parte, Dalí quiere una cúpula que cubra lo que fué escenario de

un teatro de Figueras, que ahora quiere convertir en museo.

Esta obra no llegó Pérez Pinero a verla acabada. A consecuencia de su -

muerte, que le sobrevino con la cúpula a medio prefabricar en Calasparra

la estructura tuvo que acabarse y montarse, en Figueras, bajo la diré

cción técnica de José María Pérez Pinero, hermano de Emilio, que desde

el principio había colaborado con el.

Por otro lado había que diseñar y construir una vidriera para cerrar la

boca del escenario del antiguo teatro, ya que la s;ala de butacas pensa

ba dejarse como patío descubierto.

Pérez Pinero no quería construir una vidriera tradicional, plana y adap

tó la idea, que había tenido tiempo atrás, de construir antenas desple-

gabies para satélites. Emilio diseña una maqueta que entusiasma i.al pin-

7

EMILIO APECHUGO VALIENTEMENTE CON TEMPRANAS RESPONSABILIDADES DE JEFE DE FAMILIA QUE LE CAYERON ENCIMA. LA RELACIÓN QUE DE ESTA AGOBIAN TE SITUACIÓN RECIBÍ DE SUS LABIOS ME HIZO RECORDAR CIERTAS PARTES DE LA BIOGRAFÍA DE MIGUEL ANGEL.1GUAL-MENTE ASEDIADO POR INAGOTABLES OBLIGACIONES FAM1L!ARE3.T£NG0 ENTENDIDO QUETA.U BIEN PASO DIFICULTADES DURANTE SUS ESTUDIOS. ESPECIALMENTE EN SL¡ LUCHA FINAL POR GANARSE EL DERECHO DE LLEVAR A LONDRES EL PROVECTO ESTUDIANTIL QUE LE VALIÓ SU PRIMER PREMIO Y, RECONOCIMIENTO INTERNACIONAL. DE TODOS ES CONOCIDA SU TENAZ AGONÍA Y PERSEVERANCIA POR LLEVAR A CABAL REALIDAD, YA UNA VEZ GRADUADO, ALGUNOS DE SUS GENIALES PROYECTOS.

Y NO ES DE EXTRAÑAR QUE ASI OCURRIERA, PUES EN UNA SOCIEDAD QUE SE OBSTINA EN ENCASILLARNOS COMO ESPECIALISTAS EN UNA DETERMINADA ACTIVIDAD, LA SUYA NO ENCAJARA EN NINGUNA DE LAS CLASIFICACIONES ESTABLECIDAS. A CABALLO ENTRE LAS PROFESIONES DE ARQUITECTO E INGENIERO, DEAMBULABA EN ALTANERA SOt EDAD POR TIERRA DE NADIE, JUZGADO COMO EXTRAVAGANTE "RARA AV¡S" POR LAS HUESTES DE

-ADOCENADOS PROFESIONALES EN AMBAS MARGENES.

YA HE RELATADO PARTE DE LA OBSTINADA EATALLA, QUE SU MUERTE DEJO INACABADA. CONTRA EL BLOQUE MACIZO DE LA OP.GANIZACON CORPORATIVA AMERICANA. EN 51' ULTIMA CARTA. DE SOLO KA-CE UNAS SEMANAS, CON EXTRAÑA PRESCIENCIA QUE NOS LLENO DE ALARMA, DABA YA MUESTRAS DE DESALIENTO ANTE LOS IMPLACABLES GOLPES DEL DESTINO. EL ULTIMO DE" ESTOS TUVO LUGAR CON MOTIVO DE LA MAQUETA QU£ CONSTRUYO l'ARA EL MUSEO DE DALÍ EN FIGUERAS. EN ELLA SE MOSTRABA UNA NUEVA INVENCIÓN D E . S U FÉRTIL INCSNIO, YA QUE EL PAQUETE DE LA CÚPULA PLEGADA ¡NCORl'ORAEA, NO SOLO LA Ar^MADURA DE BARRAS, SINO TAMBIÉN LAS PLACAS RÍGIDAS DE CUBIERTA. LA PRESENTACIÓN QUE DE ELLA HIZO, CON DALÍ. EN PARÍS DEBIÓ SER UN ÉXITO, PUES ME LLAMO POR TELEFONO A CHICAGO, ROGÁNDOME QUE HABLARA CON DAL! PARA COMPROBAR QUE ESTE SE HABÍA TRAÍDO LA MAQUETA A NUEVA YORK, COMO AMBOS HABÍAN PLANEADO. NO FUE AS!, POR DIFICULTADES DE TRANSPORTE Y EMPAQUE, V SE MALOGRO, UNA VEZ MAS, LA OPORTUNIDAD DE DAR UN GRAN GOLPE PUBLICITARIO EMILIO ESTADA LISTO PARA VENIR A NUEVA YORK DE INMEDIATO Y NO HUBIERA SIDO DIFÍCIL CONSEGUIRLE UNA ENTREVISTA EN TELEVISIÓN, QUE NOS HUBIERA ABIERTO EL CAMINO PARA NUEVAS GESTIONES CON FABRICANTES Y COMPAÑÍAS CONSTRUCTORAS.

SU NUEVO DESCUBRIMIENTO VENIA COMO ANILLO AL DEDO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS SATÉLITES ARTIFICIALES O ESTACIONES ESPACIALES DE QUE SE VIENE HABLANDO HACE TIEMPO. UNA DE SUS ESTRUCTURAS RÍGIDAS PLEGABLES, DEBIDAMENTE INSTRUMENTADA, HUBIERA PEPJ.ÍITIDO COLOCAR EN ÓRBITA, EN" UN DOS POR TRES Y SIN INTERVENCIÓN HUMANA, UNA PLANTA TRANSFORMADORA DE ENERC1A SOLAR, COMO EL MISMO ME HIZO NOTAR.

PERO NO LE FUE DADO VER REALIZADO ESTE SUEÑO. SUV1DA FUE TRUNCADA EN FLOR, CUANDO YA ESTABA TOCANDO LA ANSI.ADA META. SU TEMPRANA DESAPARICIÓN. COMO LA DE MOZART/Y TANTOS OTROS. NOS ESCALOFRÍA IMAGINANDO UNA MISTERIOSA CONJURA DE FUERZAS CÓSMICAS. EMPEÑADAS EN EVITAR QUE LOS MEJORES DE ENTRE NOSOTROS TRANSCIENDAN A UN NIVEL SUPERIOR Y REALICEN EN SI MISMOS LA ANHELADA ASPIRACIÓN METAFÍSICA.

tor hasta tal punto, que cuando Pérez Pinero la lleva para mostrárse

la, Dali la monta en un camión y la pasea por toda la ciudad.

Fundamentalmente, el diseño consiste en una serie de cristales, que, —

colocados sobre una de las estructuras plegables, eran capaces de ple

garse solidariamente con la estructura. En la idea original, los crista

les eran paneles solares.

La vidriera no llegó a realizarse. Con la muerte del arquitecto, todo -

quedó en la maqueta, que actualmente se encuentra expuesta en el Teatro

Museo Dalí de Figueras.

Otro de los proyectos, que ilusionaron a Pérez Pinero, se le presenta a

principios de 1972. En colaboración con la empresa de construcción encar

gada de la cimentación, se presenta al concurso de cubrición del Veló

dromo Anoeta de San Sebastián.

En un momento dado, y por motivos ajenos al arquitecto, la empresa se *=

retira y el anteproyecto de Pérez Pinero no puede entrar en concurso.

En abril de 1972, la Unión Internacional de Arquitectos, que en Septiem

bre de ese año celebra su Congreso en Bulgaria, le concede el premio

" Auguste Perret", a la labor que venía realizando en el campo de las -

estructuras.

18

PERO NO HACE FALTA RECURRIR. A IMAGINARIAS CONJURAS. LA VIDA ENTERA DE EMILIO-ES UNA ESCARAMUZA VIBRANTE DE LA FORMIDABLE LUCHA ENTRE LA CRECIENTE TENDENCIA A LA UNIFICACIÓN Y EL CONFORMISMO, POR UN LADO, Y EL MENGUANTE PENSAMIENTO INDIVIDUAL, POR EL OTRO. ESTA LUCHA VA ADQUIRIENDO CARACTERES TRÁGICOS PARA LOS QUE AUN CONSERVAMOS UNA LUMBRECITA DE FE EN EL HOMBRE COMO ENTE INDIVIDUAL. Y VEMOS DESAPARECER O DOBLEGARSE A MUCHOS DE NUESTROS COMPAÑEROS, INCAPACES DE RESISTIR POR MAS TIEMPO LA TREMENDA TENSIÓN.

EN OTROS TIEMPOS, SE DECÍA QUE LOS DIOSES TIENEN ENVIDIA DE LOS MORTALES PRIVILEGIADOS Y SE LAS ARREGLAN PARA .ACABAR CON LAS FRÁGILES VIDAS DE ESTOS, ANTES DE QUE SU NATURAL EVOLUCIÓN LES CONVIERTA EN COMPETIDORES DE LOS MITOLÓGICOS SERES SOBREHUMANOS.

PERO LOS TIEMPOS HAN CAMBIADO. NUESTROS DIOSES YA NO SE LLAMAN APOLO Y VENUS. JÚPITER O MINERVA, SINO TECNOLOGÍA, MECANIZACIÓN. PRODUCCIÓN, PROCRESO, CONSUNCIÓN -TERMINEMOS CON TODO CUANTO ANTES- ; Y ES POR ESO QUE, EN LUGAR DE USAR FLECHAS Y LANZAS, ASESINARON A EMILIO USANDO UNA DE SUS ARMAS MAS MORTÍFERAS: EL AUTOMÓVIL QUE, A VECES VIOLENTAMENTE Y SIEMPRE POCO A POCO. VA ACABANDO CON NOSOTROS Y NUESTRAS CIUDADES. EL TAMBIÉN CAYO EN EL EMBRUJO DE LA ILUSIÓN DE PODER QUE AQUEL PROPORCIONA .Y QUE TAN BIEN UTILIZAN SUS MERCADERES.

DICE ORTEGA QUE "EN CADA ÉPOCA, UNOS HOMBRES PRIVILEGIADOS. COMO CIMAS DE MONTES, LOGRAN DAR A LO HUMANO-UN NIVEL MAS DE INTENSIDAD". EMILIO PERTENECÍA A ESTA CASTA DE HOMBRES SELECTOS, QUE LO SON, SIMPLEMENTE, PORQUE SE EXIGEN A SI MISMOS MAS QUE LOS DEMÁS. MAS DE LO QUE ELLOS MISMOS CREEN QUE PUEDEN, Y ACUMULAN SOBRE SI DIFICULTADES Y DEBERES. PERO LA CONTIENDA POR LOGRAR SUS TEMARIOS PROPÓSITOS ES SIEMPRE DESIGUAL. ELLOS OPERAN AISLADOS, EN LO ALTO, PREOCUPADOS TAN SOLO POR SUS ARRISCADAS QUIMERAS, MIENTRAS LAS LABORIOSAS CHUSMAS DE LA MEDIOCRIDAD. COMO HORDAS DE ROEDORES. SOCAVAN LA BASE DE SUS ATALAYAS PARA OBLIGARLOS A CAER EN EL SÓRDIDO NIVEL COMÚN. CONVERTIDOS EN FÁCIL PRESA DE SU MONTONERA ENVIDIA. UNOS POCOS, COMO PICASSO, LOGRAN ELUDIR LA TRAICIONERA TRAMPA, BRINCANDO GALANAMENTE DE CIMA EN CIMA Y PROVOCANDO LA IMPOTENTE RABIA DE SUS PERSEGUIDORES, PERO LOS MAS SUCUMBEN DESANGRADOS EN LA DISPAR FRIEGA.

Comenta el propio Pérez Pinero en una entrevista, publicada en el -

número 163 de la revista de arquitectura que: "esta distinción hace

que, a nivel internacional, deje de considerarse como un individuo -

más o menos exótico, que trabaja en estructuras, para pasar a ser ofi

cialmente, una autoridad mundial en el tema".

El diploma del Premio, que le iba a ser entregado oficialmente en el -

Congreso de Septiembre, no pudo ya recogerlo personalmente; tienen que

recogerlo su viuda y su hijo mayor, porgue Emilio Pérez Pinero, muere

en accidente de carretera el 8 de Julio de 1972, a los 37 años de edad,

cuando regresaba de Figueras de entrevistarse con Dalí, Termina así una

trayectoria profesional que prometía ser interesante.

NO LLOREMOS POR ELLOS. SIN EMBARGO, BIENAVENTURADAS VICTIMAS DE SU EXCELSA PASIÓN. EMILIO ENCONTRÓ MUERTE Y TRIUNFO AL MISMO TIEMPO. GLORIOSO TRANSITO DE LOS ELEGIDOS, A LOS QUE SE DISPENSA DEL. FINAL IGNOMINIOSO QUE ESPERA A LOS QUE QUEDAMOS ARRASTRÁNDONOS POR ESTA DULCE CLOACA DE QUE HABLO EL CÍNICO AL ABANDONARNOS. Y EN LA QUE NO HAY LUGAR PARA LOS GENIOS.

DESCANSE EN PAZ, QUIEN NO TUVO UN MOMENTO DE REPOSO EN SU CORTA, PERO FECUNDA Y EJEMPLAR VIDA. Vi*---

FÉLIX CANDELA

13

19

CAPITULO I :

CATALOGO DE REALIZACIONES. DOCUMENTACIÓN ENCONTRADA

1.1 - TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES

PROMOTOR:

La Unión Internacional de Arquitectos. Esta entidad convocó un concur

so entre estudiantes de Arquitectura de todo el mundo con motivo del -

Congreso de Londres, en 1961. El tema fué el indicado arriba como deno-

ión.

io Pérez Pinero, concursó siendo estudiante de.4° curso de la Escue

Madrid. Su solución fue el primer premio del concurso.

FECHA DE EJECUCIÓN:

Durante el curso 1960-61.

Si:

NIVEL DE REALIZACIÓN:

Consistió en planos, definidos a nivel de anteproyecto, y maqueta de la

estructura con torre'de montaje.

CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:

La solución de Pérez Pinero consistía en una distribución en arcos de -

20

Below: drawings showing íhe adaplalion of Ihc syslcm lo Ihe problom ofthe mobile thcatre

:-'ú¿- - ;^MMW^^^^^îiîtÛ

•x?¿

circulo concéntricos, disponiendo el programa de necesidades mínimas -

necesario para el uso pedido.

Lo novedoso y espectacular residió en el diseño de la cubrición de sus

espacios; era una cúpula de barras metálicas en forma de malla espacial

de doble capa, que para dar la mayor facilidad al condicionamiento de -

"ambulante", tenía la particularidad de transportarse empaquetada ente

ra, y desplegarse fácilmente desde el camión de traslado. Se cubría con

una lona que se fijaba a los nudos de la malla.

La cúpula es un casquete esférico definido por 6 arcos de meridiano igua_

les tres a tres.

Probablemente no se planteó el apoyó de la cúpula seriamente, es decir,

no abordó todos los problemas que tiene un proyecto real. Al menos en -

la maqueta que se conserva no está específicamente referenciado. Se pre

ocupa más de definir el sistema reticular y su funcionamiento.

La característica fundamental de la cúpula es que se pliega y se desplie

ga, y plegada mantiene todas sus barras, unas son de sección circular -H

hueca y otras son cables. Las huecas se colocan formando "x" en el "es

pesor" de la cúpula y los cables, en las superficies exteriores y entre

cada nudo de estas superficies.

Los cables de las superficies esterior e interior son de longitud fija

y posibilitan el giro de las barras tubulares desde que están juntas -

hasta su abertura máxima. Forman en cada cara retículas triangulares.

Los cables que unen nudos de ambas superficies, se fijan después de -

íesplegado e impiden el movimiento anterior en sentido contrario.

La curvatura se consigue, colocando el nudo del "espesor" a distancia -

22

distinta de cada extremo • de las barras tubulares. Si se colocan -

en el centro, desplegada, sería una superficie plana.

SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y IX

DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:

/ La familia Pérez Pinero, conserva la maqueta de la estructura descrita

e: incluso la torre desde la que se despliega.

Tratándose de un concurso, por lo menos existió documentación gráfica,

con definición a nivel de anteproyecto pero no se conserva: solamente -

aparecen reproducidos dos planos de ella en la revista "Architectural -

Desing".

Inmediatamente formalizó la patente N° 266801 , en cuya descripción que

da encuadrado este caso. También se encuentra el detalle de nudo con su_

jección de cables.

PUBLICACIONES;

- "Dos proyectos de la E.T.S. de Arquitectura de Madrid al VI Congreso

de la U.I.A.^en Londres".

Revista Arquitectéctura n° 30 de Junio 1961 pag. 27 a 35.

- "Proyect for a mobile Theatre" Emilio Pérez Pinero.

Revista Arquitectual Design n° 12 diciembre 1961 pag. 570.

- The Architects"Journal, Agosto 1961.

- The student Architect n2 1. 1962.

22

1 . 2 . --CÚPULA REBAJADA DESPLEGABLE

PROMOTOR:

Emilio Pérez Pinero.

FECHA DE EJECUCIÓN;

Hacia el año 1962.


Es un modelo de ensayo a una escala bastante apreciable. Fundamental

mente se construye como ensayo de nudos y movimientos.


Fué el primer intento de ejecutar mas seriamente lo definido o pensa

do en el proyecto de teatro ambulamte comentado anteriormente.

Se mantiene en cada nudo la concurrencia de tres barras según tres d i —

recciones del espacio y de una a otra superficie de la cúpula, y cables

en ambas superficies de manera que las barras giran hasta un cierto lí*

mite de desplegado consiguiendo la curvatura de la manera ya explicada.

La variación que introduce está en la forma de fijar la posición de des

23

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plegado, es decir, dejar inmóvil cada nudo girado: para ello sustitu

ye el cable que se iba montando entre nudos correspondientes a ambas -

superficies, por una presa de fijación que se mueve sobre un vastago -

roscado hasta que tres dientes del extremo se encajan en los huecos en

tre cada dos barras.

En esta misma pieza se colocan ranuras de paso para los tres cables de

las superficies que pasan por cada nudo, y el tornillo que luego las fi

ja. En la patente n2 266801 se encuentra un dibujo del nudo.

Es un modelo de estudio en forma de casquete esférico de unos 8 ra. de -

diámetro máximo y de 1,0 m. de altura.

Las barras tubulares tienen una longitud entre ejes de nudos exteriores

de 1,46 m. El eje del nudo central está a o,715 del extremo, es decir,-

hay una diferencia de longitud entre los dos segmentos de 3 cms.

Este modelo está realizado a una escala bastante importante, suficiente

para advertir el correcto o incorrecto funcionamiento de los componentes

temas de fijación para eliminar todo movimiento y el diseño de -

barras que pensó para la cúpula del proyecto del teatro.

Los esfuerzos de las barras de las caras, en una cúpula de doble capa -

son tracciones o compresiones procedentes de solicitaciones de momentos

y normales, por lo que los cables con que se diseñan no son el tipo de

barra adecuado.

Después de construir este modelo abandonó esta vía de investigación que

en maquetas a escala mucho mas pequeña y con hilos continuos sí parece

que funcionaba.

DOCUMENTACIÓN EXIXTENTE:

Se conserva esta maqueta - modelo, incompleta, con una circunferencia

máxima del casquete menor que la original. Custodia familiar.

PUBLICACIONES:

*• "Cúpulas desplegables"

Revista Arquitectura n° 112 abril 1968 pag. 15.

25

1,3. - CÚPULA RETICULAR TRANSPORTABLE Y DESPLEGABLE DESDE UN HELICÓPTERO.

PROMOTOR:



Hacia los años 1962-1963.


Modelo de ensayo de entramado, nudos y movimientos.


•i

*Pérez Pinero, ensaya una nueva disposición de barras. Ahora no hay nin

guna barra en las superficies exterior e interior.

Las que hay son todas de sección circular hueca, y colocadas en el "esp

pesor", consiguiendo canto constante.

Modifica estas barras, dándoles la mitad más de la longitud que tenían

en módulos anteriores y creando otro nuevo nudo interior: antes había -

3 nudos: uno en cada extremo y otro interior; y ahora hay otro más, apro

26

ximadamente estos dos últimos a parecida distancia de los extremos ( sal_

vo lo necesario para la consecución de la curvatura). Sigue colocando-

tres barras por nudo, en tres direcciones del espacio. Pero los arcos —

que ahora quedan son muy especiales pues tienen un canto fijo H medida

en la vertical entre cada dos barras inclinadas; estas varían de posi

ción desde el nudo superior al inferior con una altura de 3/2 H.

Cada nudo correspondiente a los extremos, estaba unido por un montante

telescopio, es decir, una barra hueca, de altura 3/2 H con una barra in

terior maciza que se desliza por ella en el movimiento de plegado-des--

plegado hasta que en la estructura empaquetada, alcanzan entre los dos,

la longitud de la inclinada 3/2 H.

Si los cuatro enlaces de giro de cada barra inclinada, dividen a esta -

en tres partes iguales, al desplegarse queda una estructura reticular-

plana.

Tiene las limitaciones de ser un modelo, y solo se estudian cualidades

como la comodidad y facilidad de movimiento, que se puede efectuar el

paso del mecanismo a estructura con seguridad, es decir, que el resulta

do sea una estructura resistente. No se plantea ni luces, ni tipos de -

apoyos, ni la resistencia de piezas especiales que forman el nudo para

luces y esfuerzos reales.

El tipo de mecanismo se refleja en la siguiente 1:4.

27

frr?


'tíPff-M%i'i' ~ Modelo, propiedad de la familia Pérez Pinero, que usó como variante -

de estructuras transportables y desplégatele sobre ruedas.

- Tres fotografías en la documentación que presentó el Consejo de Cole-

- "Cúpula desplegables"

Revista arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 15

| - "Estructuras reticulares".

Revista L"Architecture d"Aujourdñui, n°141 diciembre 1968

"Sobre la investigación arquitectónica".

"Metodo";Libro editado por la 116 promoción de la ETSAM, pag. 126,

Madrid 1968.

/

1.4.- TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE

PROMOTOR:

Desconocido, pero a juzgar por la documentación existente, no

fue de motu propio; tuvo que existir alguna razón para llegar

Pérez Pinero a definirlo tan detalladamente, como figura en el

proyecto Plasma en planos construibles lo que ensaya en los dos

modelos anteriores. Quizas la única razón para elaborarl.o ele

esta forma, es que después tuviera que responder a una finan-

ción estatal para investigación, que le seria concedida', después

de tan clamororsos éxitos.


La fecha que figura en la pequeña memoria es 1.10.1963


Proyecto de ejecución completo a nivel de defición de planos.

Es el ünico de toda su obra que se ha encontrado de su mano,

con contenido coherente. Este proyecto no está realizado.

29


Es una cubierta plegable plana formada por vigas trianguladas

planéts de canto constante se encuentran empaquetadas en el pie

gado, apoyada en soporte de celosia. SE ESTUDIA EN DETALLE EN EL CAPITULO V.

DOCUEMNTACION EXISTENTE:

Los dieciseis planos DIN-A 1 que se muestran reducidos a medio

DIN-A4 en las páginas que siguen.

PUBLICACIONES:

-"Teatros desmontables"-

Revista: INformes de la construcción n° 231- Junio 1971, pag.

37 y 38.

30

JEAJRO AMBULANTE DESfíE&SBLE

Arqütiecio

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DEL CAPITEL APO-

APOTO SQPCfITE

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X~r5.r PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES.

PROMOTOR:

El Ministerio de Información y Turismo, con motivo de la exposi^

ción conmemorativa de los "25años de la paz" desde la guerra c_i

vil.

PECHA DE EJECUCIÓN:

En el año 1964.


Proyecto de ejecución y obra terminada.

La Administracción convocó el concurso para la cubrición de -

la Exposición en Enero de 1964, y en Mayo estaba montada en la

explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid.

Z9


Los pabellones se montan de diversas formas con módulos casi ig^a

les colocados en dientes desierra en dos sentidos.

No se sabe con que fin se adopta esta solución, si porque se -

montaba un minimo de luz interior pues los cerramientos de con

torno sean casi todos opacos o sí es que se evacúan mejor rce--

jor pequeñas superficies de agua de lluvia o simplemente porque

al usar en los módulos interiores un solo soporte por módulos -

el espacio será diáfano. La cubierta de cada modulo es una e s

tructura plana asimilable a unas cuantas cerchas. SE ESTUDIA EN

DETALLE EN EL CAPITULO VI..


Localizada:

-Maqueta de dos módulos a escala aproximada 1:10, desmontable y

en poder temporal de la autora de esta Tesis Doctoral, por ama

ble colaboración de Construcciones Aeronáuticas, S.A. Esta ma

queta es una versión exacta, incluso piezas de unión, de la -

real. Fué realizada por los alumnos de la Escuela Oficiales de

CASñ.

-Documental sobre estructuras desplegables: tiene filmación de

montaje de la exposición, con explicaciones de Pérez Pinero.

Su familia conserva una copia de esta filmación.

-22 fotografias y pequeña descripción en la documentación pre—

sentada ai premio "Auguste Perret". Propiedad de la familia

Pérez Pinero.

-Resultados de la realización de ensayos de carga y viento en

CASA, contiene tres fotografías del proceso, plano de ubica—

ción en la explanada de los Nuevos Ministerios, E 1:1000 con

exposición del número de módulos y número de soportes,.y plano

de situación de los valores de las cargas de ensayo.

-20 DIM-A3 con esquenas en alzado de las cotas e inclinaciones

de los módulos.

-11 planos con esquenas de montaje de los diversos módulos.

Todos ellos propiedad del Servicio de Actos Públicos del Minis

terio de Cultura.

No Localizada:

-Toda la documentación del proyecto de ejecución redactado, se

dibujó por el servicio de delineación de CASA, que fue minucio

so y extenso, según expresan operarios realizadores de la obra.

Debe conservarse en CASA, pero difícilmente localizable.

41

-Algunos módulos almacenados probablemente en la XII Brigada r-

Acorazada, Zapadores, en Madrid.

PUBLICACIONES:

- "Pabellón desmontable y extensible, estructura tubular de alu

minio".

Revista.-Arquitectura n8 110 Febrero 1968, pag. 54 y 55.

-"Notas sobre las- estructuras" Emilio Pérez Pinero.

Rev. arquitectura Pag. 22 a 25 Mayo 1964..

-"Pabellón transportable de exposiciones".

Revista:Arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 5.

-"Gtructures reticuleés".

Revista:L"Architecture d"Aujourd"hui n° 141 Diciembre 1968

pag. 76 a SI.

-"Space estructuras".

Rev.: The Architect Building News n2 15, octubre 1966.

42

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1,6.- ESTRUCTURA RETICULAR PLANA

PROMOTOR:



Entre los años 1964 y 1966.


Modelo de ensayo, consistente en una malla espacial de caras pía

ñas.

Es un modelo distinto, que aparece en la tres primeras hojas de

la documentación para el "ñuguste Perret".


En estas fotos que se conservan se observa la secuencia de movi

mientos y montaje final de la estructura horizontal.

43

El paquete plegable es del mismo tipo que el de los módulos del -

Pabellón anterior, pero sin embargo, puede ser un modelo pos

terior a él por el némero y disposición de las barras;en la ca

ra superior une nudos de ella, pero de un mismo nudo no par

ten barras en las dos direcciones ortogonales, con este tipo de

estructuras es usual. Aquí la disposición es de tal forma que si

a los nudos de una fila los unen barras en una dirección, visto

desde cualquier lado del cuadrado. Hay que decir que los nudos -

que enlazan no son el corte de una cuadricula trazada paralela -

al contorno, sino de dos.

Estas barras se montan cuando la malla esta desplegada.

F-n la cara inferior no hay barras complementarias en e? pia

no de la cara ; hay igual número de nudos que en la supe

rior, pero hay que pensar que se montarían.

No se puede precisar si ios montantes triangulan el espesor, ca

so de ser así, se mantiene cuando la malla esta plegada. Tiene

que ser telescópico y al menos estar compuestos de dos barras de

igus1 longitud.

Las barras inclinadas dispuestas formando "X" unen nudos de am-.-r

bas caras'; tienen tres por barra, dos de los extremos y uno -

central, equidistando de ambos extremos.

44


La maqueta que aparece en la fotografía no se conserva, solo

existen las 4 fotos de la docuemntacion presentada en la U.I.A.

PUBLICACIONES:

-"Teatros desmontables".

Revista;Informes de la Contracción n2 231 JUnio 1971 pag. 34.

45

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1,7.- DIVERSOS ESTUDIOS DE CÚPULAS

PROMOTOR:



Hacia el año 1.965


Son modelos de ensayo de cúpulas esféricas reticuladas, formadas

por una sola capa de barras de acero.

Para ser modelos tienen unas dimensiones generosas. Cada una

de ellas se ha vuelto a reciclar para otros usos: una plaza pú

blica, y parte del techo de una sala de baile.

Ambos modelos son el punto de partida de una serie de otros pos

teriores que se estudian extensamente.


Los dos modelos no llegan a ser media esfera. La retícula es

triangular realizada con barras de acero de sección hueca, cua

drada, en un caso, y con perfil laminado en T en el otro.

46

En arabos modelos el proceso de subdivisión de la esfera se rea

liza a partir de un icosaedro inscrito en ella. Cada lado del

triángulo esférico que tiene de proyección un triángulo del ico

saedro, se subdivide en un numero par de partes.

No efectúa el montaje barra a barra, triángulo a triangulo, si

no que lo agrupa en exágonos.

Las uniones entre exágonos eran atornilladas en el mismo plano

de la superficie esférica, soldando cada tres barras de exágono

a una pieza en forma de medio cilindro hueco. Dos medios cilin

dros de estos se atornillaban por sus lados planos formando la

unión un cilindro completo. Era una unión incómoda de manejar

y más adelante se verá el nuevo diseño.


Se conservan parte de estos dos modelos. Uno como soporte de

enredadera en una plaza publica de Calasparra (Murcia) y otro

como cubierta de una sala de baile apoyada en otra superficie

curva reticulada.

PUBLICACIONES:

- "Cúpula reticulares".

Revista: Arquitectura n2 112 Abril 1.968 pag. 6 y 10

47

1,8.- TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA

PROMOTOR:

Antiguo Ministerio de Información y Turismo. Es un teatro de

1.800 butacas, para representar los festivales de verano sub.

vencionados por este Ministerio.


Durante el verano de 1.966


Obra terminada, propiedad de la Administración del Estado. Fue

realizada por el propio Peres Pinero como técnico y contratis

ta, en el taller que creo en Calasparra (Murcia)


Es un teatro portátil con escenario y patio de butacas montado

sobre una estructura reticular desmontable. De la primera fi

la a la ultima hay dos metros de desnivel.

48

La cubierta esta formada por dos casquetes de esfera que se cor

tan en un circulo paralelo. Son dos trozos iguales de icosaedro

esférico triangulado, concretamente comprenden cinco caras{tria.n

gulos) de los veinte, los que forman la pirámide pentagonal supe_

ricr. No obstante al borde de apoyo lo forman dos circuios para

lelos que se cortan en una cuerda, borde no coinciden con una li_

nea continua de la geometría del icosaedro.

La condición de transportabilidad afecta a las butacas y a la -

plataforma, las butacas se fabrican en filas enteras de doce uni

dades plegables. SE ESTUDIA CON DETALLE EN LOS CAPÍTULOS II Y III


Existe la levantada en planes por un aparejador del servicio de -

Actos Públicos, actualmente del Ministerio de Cultura, que cons

ta de:

-Planta de replanteo E 1:100.

-Planta y sección para colocación de escena y butacas, solución

A.E 1:200.

-Planta y sección para colocación de escena y butacas. Solución

B.E 1:2

-Esquina y montaje de los módulos. Referente a los ocupantes.

49

-Distrioución de lonas.

De su mano eKisten un par de croquis DIN-A3 con estudios de vis_i

bilidad.

La Administracción no conserva este teatro. En 1987 era propie

dad del Ayuntamiento de L'Hospitalet de Llobregat.

PUBLICACIONES:

-"Cúpulas reticulares desmontables".

Revista:Arquitectura n2 112 Abril 1968 pag. 6, 1 y 12.

-"Teatro desmontables"

Revista¡Informes de la Construcción nO 231, Junio 1971 pag. 40 y

41.

-Documentación para el premio "Augusto Perret" que consta de

ocho fotografías.

-MARGARIT, J./ BUXADE, C .

"Las mallas especiales de la arquitectura" pag. 60 y 61. Gustavo

Gili. Barcelona 1972.

__"Space Structuras"

Revista: the Architect & Building News n2 15 octubre 1966.

50

1.9.- CÚPULA RETICULAR DE DIRECTRIZ ESFÉRICA: SALA

DE PROYECCIÓN "CINERAMA".

PROMOTOR:

Es el mismo Emilio Pérez Pinero. La conservaba de su propiedad,

alquilando el uso, transporte y montaje para proyección de pelí

cúlas por medios especiales.


Durante el año 1967.


Es una obra terminada. Se construye en el taller que montó en -

Calasparra. Es la cuarta estructura que ejecuta,contando los dos

modelos de ensayo de que hablamos en (1,7) .

Para el uso de la sala de cine, tenia una capacidad de 1.200 si

llas.

Actualmente se usa como cubrición de una pista de circo; la pro-

51

piedad actual es del "Circo de los Muchachos" que tienen su sede

en Amposta (Orense) .


La parte fundamental es la cubierta en forma de media esfera. La

definición geométrica comprende medio isosaedro esférico trian

guiado de la misma forma que en el Teatro Desmontable anterior.

Como en él, se cubre con unas simples lomas cortadas adecuadamen

te . SE:: ESTUDIA CON DETALLE EN: LOS CAPÍTULOS II Y III.


-Existen planos con definición a nivel de anteproyectos, en el -

Colegio de Arquitectos de Murcia.

1- Planta con el patio de butacas y pantalla, secciones según un

meridiano de la clave con estudio de visibilidad y colocación de

pantalla, E 1 :100.

2- Planta cubierta. Alzado de acceso, E 1:94

Aparece la cúpula con retícula triangular pero no procedente de

la subdivisión de las caras del icosaedro, que es como fue ejecu

tado. Simplemente se secciona por planos en tres direcciones de

manera que en todas las intersecciones (nudos) hay seis vértices

52

de triángulos.

Esto nos dice como pensó la descomposición de la superficie esfé

rica, pero per la complejidad de definición y ejecución no la ll¡s

vó a cabo.

-Documentación premio "Auguste Perret". Contiene seis fotografías

del montaje y una de la maqueta, más los dos planos antes descri

tos.

-Cinco planos para corte y confección de la lona de cubricción -

de posesión de su familia.

PUBLICACIONES:

-Cúpula reticular de directriz esférica".

Revista:Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 8, 9 y 13.

- "Teatros desmontables"

Revista:Informes de la Construcción n9 231, Junio 1971, pag- 38r

40.

- "Método". Publicación de la 116 promoción de la ETSAM. Pag. 124

125 y 127.

53

1.10.- CÚPULA RETICULAR DESFLEGABLE PARA GRANDES LUCES

PROMOTOR:

Emilio Pérez Pinero


El año probable fue 1.966, pues lo presento en la "Conferencia

Internacional sobre Estructuras tridimensionales, celebrada en

Londres en Septiembre de 1.966.


Es un modelo de estudio para el ensayo de soluciones,, fundamen

talmente del movimiento de nudos, diseño de plegado y embalaje

de los diversos trozos que la componen.


Es un modelo en forma de cúpula de unos. 2.CLm, de diámetro, hecho

para comprobar sus características con vista a la construcción

de una cúpula de 60 metros. El modelo esta formado por siete

partes, seis de borde y uno central, ejecutados por separado,

formando paquetes plegados distintos. Se montan uniendo sus

nudos comunes para formar la cúpula. Se pensó con estas par-

54

tes porgue caso de ser de 60 metros de diámetro en un solo paqu&

te de barras resultarla inmanejable.

La forma exterior es la misma que la desarrollada para el Concur

so de la u.I.A en 1961.

En este modelo nos situamos casi al final de la evolución en cuan

to a los modelos desplegables se refiere.

Desde la forma Inicial curva de barras tubulares y cables, llega

a esta, con la misma intención: desplegable y sin tener que aña—

dir barras una vez desplegada, aunque haya que seguir fijando los

nudos uno a uno, para hacerlos estructura.

Entre medias ha diseñado mallas planas, siempre con las barras in

cunadas conteniendo tres (o cuatro) ejes de giro, pero con la -

idea, fija en la cúpula del concurso de 1961 , las planas eran un -

tema menor.

SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y X


No existen planos de ejecución. La familia Pérez Pinero conserva

tres de las siete partes que componen el módulo.

Existen nueve fotografías en la docuemntación "Augusto Perret" -

y es el modelo más generosamente reproducido en las revistas es

pecializadas .

55

PUBLICACIONES:

- "A survey of recent three dimensional structures" Z.S.

MAKOWSKI.

Revista: Architectual Desing n° Enero 1966, pag. 29 y 39.

Cúpula reticular desplegable para grandes luces".

Revista: Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 16, 17 y 18.

-"Estructuras reticulares".

Revista: L'Architecture d~Aujourd'hui n9 141, Diciembre 1968 pag.

80 y 81.

-"Cúpula desplegable integral".

Revista: Nueva Forma Junio 1970, pag. 58 y 59.

-"Cúpula reticular parabólica de grandes luces"

Revista: Hogar y Arquitectura nE 89 Julio 1970, pag. 84 y 89.

-"Método" Publicación de la 116 Promoción de la ETSAM, pag. 120,

a 127.

-MARGARIT J./ BUXADE C.

Las mallas espaciales en Arquitectura pag. 61.

Ed. Gustavo Gili. Barcelona 1972.

- "Space structures"

Revista:the Architec & Building Neus n° 15 Octubre 1966.

- "Conference des structures Spatiales a Lenches"

L'Architecture d"Aujourd~húi n.2 128.

- "'Space structures,pag.4'& short review of therir development"

Z.S. MAKOWSKI

56

1.11.- CUBIERTA PARA EXCAVACIONES EN EL MUSEO PALEO-: CRISTIANO DE TARRAGONA.

PROMOTOR:

La Dirección General de Bellas Artes del Ministerio de Cultura.


Entre los años 1970 a 1972


Es una obra acabada. Según las fuentes consultadas no parece

probable que existiera proyecto, aunque generalmente es una do

cumentación que la Administración pide para aprobar el gasto.

Hay reproducciones de planos en publicaciones a nivel de ante

proyecto. Probablemente no desarrollo toda la, documentación

usual, porque Emilio Pérez Pinero actuó de técnico y contratis

ta.

La obra es simplemente un techo para proteger de la lluvia unas

importantes excavaciones. Solo consta de material de cubierta

(fibrocemento) apoyado sobre casquetes esféricos reticulados de

una sola capa, que cubren plantas rectangulares de 15 x 11 me

tros

5 7

En el suelo solo se implantan las zapatas de la poca cantidad

de pilares- El agua tiene caida libre excepto cuando se unen

por más de un lado, que se colocan los imprescindibles elemen

tos para su recogidas.

SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN EL CAPITULO íII.


En la revista Arquitectura aparece reproducido un plano paro

ai igual que las otras obras, no se encuentran en el archivo

familiar.

La única documentación son las cuatro fotografías efectuadas

durante la construcción, que incluye la documentación "Augusto

Perret", además de la obra ejecutada.

PUBLICACIONES:

- "Cubierta en el Museo Paleocristiano de Tarragona"

Revista Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 20

y 21.

58

1 .12 , - CÚPULA RETICULAR POLIÉDRICA F-12 PARA EL

MUSEO DALÍ EN FIGUERAS.

PROMOTOR:

Salvador Dalí con cargo a la Dirección General de Arquitectura

del antiguo Ministerio de la Vivienda. Dalí quiso tener una

cúpula como la que habla visto a Fuller en EE.UU. y se lo ex

presó al Director General de Arquitectura- Este conocía la

labor de Pérez Pinero. Dalí quedo encantado cuando el propio

Fuller ahoga por Emilio, al que conoció en el Congreso de la

U-I.A. en 1961. Lo imagen que Dalí quiso lograr, que" la

cúpula luciese como un gigantesco diamente tallado en el per

fil de la ciudad de Figueras.


Entre los años 1970-1972- Murió antes de verla completamente

terminada. Actuaba también en este caso como dirección técni

ca y contratista.


Obra acabada. Es una parte especifica de una obra más amplia:

la correspondiente a la adaptación del Teatro Municipal de Fi

gueras, semidestruido, para Museo Dalí. También los arquitec-

59

tos fueron distintos: mientras que de la obra general se encar

gaban los mismos que acondicionaron el palacio que alberga el

Museo Picasso en Barcelona, la cubrición del escenario del tea

tro con una cúpula, lo realiza Pérez Pinero.

Se ha convertido en un elemento característico de Figueras.

SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN LDS.CAF2MJL0S.il Y III.


- La obra ejecutada, en Figueras (Gerona).

- Memoria descriptiva, presupuesto y nueve planos. Se encuentra

en el archivo del Departamento de Supervisión de Proyectos de

la Dirección General de Arquitectura y Vivienda del MOPU y co

rresponden a la documentación entregada para aprobación del

proyecto y el gasto. También existe, memoria, plano y presu

puesto de mejoras introducidas.

El contenido de la documentación gráfica es el siguiente :

1.- Plano y alzado de la cúpula y el casquete con los muros de

apoyo. Modelos de reticulado E. 1:66,66

2.- Planta general de la estructura de la cúpula E 1:20.

(No se corresponde con el objeto real)

3.- Planta de la determinación de la lamina superior sobre la

triangulación de la esfera E 1:20. (No se corresponde con

la realidad)

4.- Determinación de los nudos de la estructura sobre la triari

gulación de la esfera.

60

http://LDS.CAF2MJL0S.il

/

5.- Planta de cubierta de la hoja superior y detalle de cubier_

ta (No corresponde con el objeto real).

6.- 7,- y 8.- Planos en que se desarrolla una hipótesis de cá_l

culo, explicada en uno de ellos, nudo a nudo. Pero no co

rresponden a la cúpula de Figueras sino a otra similar,

como lo explica en la Memoria del proyecto.

9.- Plano con modificaciones y mejoras; contiene detalles de

apoyo y anclaje de la cúpula y casquete a los muros de car

ga del teatro.

PUBLICACIONES :

- "Cúpula para el Museo Dali"

Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972. pag. 22.

- "Emilio Pérez Pinero 1939-1972" por Carlos de Miguel

Revista: L'Architecture d'ñujourd'hui n2 164, Octubre-Noviembre

1972, pag. V

61

1 , 1 3 . - VIDRIERA HIPERCUBICA DESPLEGABLE

PROMOTOR:

El pintor Salvador Dalí. El modelo de funcionamiento lo estudio

Emilio Pérez Pinero, hacia 1965. La decisión de efectuar una

vidriera la debieron tomar conjuntamente arquitecto y pintor.


Año 1971.


Anteproyecto y maqueta, a 1/3 de la escala real.


Esto se pensó para cerrar la embocadura de la escena en el tea

tro de Figueras, una estructura portante de vidrieras pintada

por Dalí. La vidriera se plegaba, quedando un cubo, y de des

plegaba hasta tapar la embocadura en forma de arco de medio

punto, de 18 metros de altura por 10 de ancho.

La estructura portante se ha - visto ya en la cubrición del Pa

bellón transportable para exposiciones de 1964.

Las diferencias son : solo la constituyen las barras tubulares

inclinadas que unen nudos de cada cara. No hay ninguna barra

en las caras paralelas. Sobre los nudos de una cara, se mon-

62

tan soportes análogos para recibir las vidrieras. Desplegada

define un plano vertical.

Este se realiza de forma automática, tirando de cuatro puntos

situados aproximadamente al centro de los ejes de simetría, ma

terializados por una cruz. Es accionado por un motor y lleva

incorporados dos relojes para delimitar los tiempos, en posición

plegada y desplegada. SE ESTUDIA CON DETALLE EN EL CAPITULO VII


- Maqueta a escala 1:3 expuesta y funcionando en el Museo Dalí,

en Figueras.

- Croquis de los mecanismos a mano alzada.(Ver anexo).

PUBLICACIONES:

- "Vidriera hipercübica desplegable".

Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 23 y

24

- "Emilio Pérez Pinero 1.936-1.972!

Revista-. L 'Architecture d 'Aujourd'hui , n2 162 , Octubre-Noviem

bre 1972, pag. V.

63

1 . 1 4 . - MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO

PROMOTOR:



Hacia el año 1.970.


Es un modelo de estudio que realizó para intentar llegar al au

tomatismo total, es decir, además de no tener que añadir ninguna

barra a la estructura desplegada, conseguir que se desplegara

sola'.

Los usos que le preveía eran muy especiales: antenas de satéli

tes espaciales y colocación de invernaderos en la luna.


La motivación para realizar este modelo de investigación es la

que narra con detalle Félix Candela, referente a sus conversa

ciones con un biólogo y un botánico que estudiaban la posibili

dad de colocar una invernadero en la luna (ver Biográfia) .

La disposición de las barras es la misma que empleó en la (1.10).

64

Cúpula reticular para grandes luces": nudos en dos superfi

cies curvas media con barras en la superficie exterior y sin

barras en las superficies interior.

Para que pueda desplegarse solo, la diferencia con 10/0 está

en la colocación de dispositivos que contienen un muelle al

rededor de una barra vertical con tope. Se disponen en cada

tres nudos de la malla exagonal situada en la superficie ex

terior.

Con este modelo se cierra la investigación sobre estructuras

espaciales desplegables. No llegó a poder ejecutar ninguna -

obra real y perdimos el diseño de los nudos resultante del -

cambio de escala.

-SE VUELVE SOBRE EL EN EL CAPITULÓ X.

DOCEMENTACION EXISTENTE:

-El contenido de la documentación "Auguste Perret", consis—

tente en tres fotografías.

-El modelo en posesión de su familia.

65

1,15.- TIENDA DE CAMPAÑA

PROMOTOR:



Año 1971.

NIVEL DE REALIZACIÓN.

Es un modelo de tienda de campaña desplegable, a escala no ma

yor de 1/3.


El modelo consiste en el armazón metálico de una tienda de -

campaña plegable, con un desplegado automático. Tiene el inte

rior diáfano. Los seis soportes son los vértices de un exágo

no.

66

El mecanismo utilizado para que su despliegue sea automático

es el definido en el módulo comentado anteriormente, colocado

en el centro del exágono. Los nudos se fijaran una vez desple

gado, impidiendo todo movimiento. También se colocan barras -

uniendo los nudos de apoyo, es decir, se matrializaba el exáe*

gono del piso.


El modelo en posesión de la familia.

67

1.16.- CUBRICIÓN DEL VELÓDROMO ANOETA EN SAN SEBASTIAN

PROMOTOR:

Fue un concurso de proyecto y construcción/ promovido por el -

Excmo. Ayuntamiento de San Sebastián.


Año 1972.


Maquetas, planos de definición1general y memoria descriptiva

correspondiente a la documentación presentada al concurso.

No se llegó a realizar. El concurso fue fallado poco antes —

de ocurrir el accidente que le costaría la vida a Pérez Piñe

ro, y probablemente antes de la noticia sobre la concesión -

del premio "Auguste Perret". Con estos dos sucesos, hubo las

suficientes presiones para que se estudiara el anteproyecto

realizado por Pérez Pinero. Se encarga de ello a la empresa

a la que estaba ligada la solución ganadora y al arquitecto

68

Félix Candela. Las razones que cuenta este último, por lo que

no llegaron a ejecutarlo, son: que el sistema de desagüe de -

las cubiertas parciales no tenía el funcionamiento deseable,

y la solución estructural era por lo menos tan competitiva co

mo ia que se adjudicó en primer lugar.


Se plantea una solución con la superficie mínima de alzado, ~

casi todo es cubierta y con la intención expresa de no copiar

otra realizada.

La estructura consiste en una vieja aspiración, reticular la

esfera sin ayuda de poliedros. Su forma de casquete de esfera

de 30 a 40 metros de diámetro y 9 metros de altura máxima,

(incluidos los soportes). Se realiza en acero, pero no expli

ca como sería la sección de las barras, ni su longitud, ni el

tipo de nudos, ni su forma de unión.

El casquete se corta donde interesa y los bordes contienen

terminaciones de nudo y de barras de magnitudes variables, in

distintamente. Recoge todos estos finales con una viga de bor

de, que tampoco aparece comentada.

Describe con más detalle el número de puntos de apoyo, entre

soportes y apoyos directos (el terreno está en desnivel): Ca

da dos soportes llegan a un punto de cimentación, realizándo

os

se esta con pilotaje.

Propone dos tipos de forma y material de cubrición: una, mon

tando una estructura auxiliar sobre los exágonos y triángulos

que forman los arcos, de forma que quedan pirámides de base -

exágonal y tetraedros; coloca encima material de cubrición

convencional , En el diseño de la otra toma un exágono y dos

triángulos: queda un paralelogramo para el que se diseña un -

paraboloide, quedando paños verticales, por lo que conseguía

iluminar todo el casquete en su interior.

EL RETICULADO COMENTADO APARECE AL FINAL DEL CAPITULO III.

Su diseño es semejante a la cubrición de la piscina de Dracy

de Stephne du Cháteau.


Ninguna. La información más abundante se encuentra en la p u

blicación reseñada en lo que sigue, donde se reproduce memo

ria, dos planos y fotografías de las maquetas de estructura y

aspesto general.

PUBLICACIONES:

- "Anteproyecto de cubrición de velódromo Auseta de San Sebas

70

tián". Revista: Arquitectura n° 162-163. Julio-Agosto 1972 pag. 16 a

19.

71

DOCUMENTACIÓN EXISTENTE ESCRITA POR EMILIO PÉREZ PINERO:

- Patente n2 266.801 de 1961 sobre "Estructura reticular estérea ple

gable". Ver anexo.

- Patente n° 283.206 de 1962, sobre "Mejora introducidas en el objeto

de ""la patente anterior, 266.801". Ver anexo.

- Patente n° 311.901 de 1965, sobre "Sisteraa de montaje de una estruc

tura resistente esférica triangulada". Ver anexo.

- Patente n° 397.963 de 1971, sobre "Sistema de pianos articulados

cubriendo una estructura reticular estérea desplegable".Ver anexo.

- "Material, estructura, forma".

Revista: Hogar y Arquitectura n2 40 pag. 25 a 30. 1962

- "Notas sobre las estructuras"

Revista: Arquitectura, Mayo 1964, pag. 22 y 23.

- "Estructuras reticuladas"

Revista: Arquitectura n2 112. 1968

- "Cubiertas de grandes espacios"

Revista: Hogar y arquitectura n° 101 pag. 82 a 85. 1972.

?2

EN RESUMEN, la documentación existente es muy desigual y a veces

casi simbólica.

La documentación escrita más extensa corresponde al contenido

de las tres patentes de estructuras y de la patente de cubri—

ción plegable. La documentación gráfica coherente corresponde

a un solo proyecto. La fuente documental más abundante y de fa_

cil consulta la constituyen las fotografías de revistas acompa_

nadas de textos de pie de foto, pero es la información menos -

rigurosa.

Hay un total de cinco obras realizadas, cuatro cúpulas esféri

cas y una estructura plana plegable. De ellas dos son fijas, -

pero las demás, (y muchos modelos), al contrario que en cual—

quier otra construcción, su uso no solo no es pemanente, sino

muy esporádico o nulo por no conocer sus dueños . la informa

ción necesaria de montaje.

No hay documentación gráfica ni escrita intrisecamente, solo -

su realidad, afortunadamente poco compleja en el sentido de es_

tar hecha por pocos componentes distintos y todos a la vista.

Todo lo que dejó, excepto el "Pabellón..." construido en CASA,

sallo casi físicamente de sus manos: maquetas, obras completas

y algunas herramientas necesarias.

Pudo ser en parte obligado, por mantener el secreto bajo patente

y la dificultad en el entendimiento de planos del personal au

xiliar con que fácilmente podia contar. Realmente estas obras fue_

7Z

iÍQrr posibles porque prácticamente solo requirió un oficio de la

construcción.

En lo que sigue se estudian los trabajos de mayor interés,

dando información más completa de esas obras, analizando el -

funcionamiento de sus componentes y aportando variantesy otras

veces soluciones que completan el grupo de tipos bajo los mis

mos patrones de diseño.

74

COMO DOCUMENTACIÓN COMPLEMENTARIA SE ADJUNTA UN Í N D I C E DE

DIARIOS, EN LOS QUE SE RECOGEN ENTREVISTAS Y REFERENCIAS

DE EMILIO PÉREZ PIÑERO, . ENTRE 1961 Y 1967.

- HOJA DEL LUNES de Murcia 17 Julio 1961. Pag. 6

- YA. 17 Julio 1961. Pag. 31

'- NOTICIERO UNIVERSAL, 17 Julio 1961. Pag. 10

- MADRID. 17 Julio 1961. Pag. 22

- LA VANGUARDIA ESPAÑOLA. 18 Julio 1961. Pag. 9

- ABC. 18 Julio 1961. Pag. 70

- YA. 23 Julio 1961.

- YA. 24 Julio 1961

- LA VERDAD de Murcia. 26 Julio 1961. Pag. 8

- ARRIBA. 30 Julio 1961. Suplemento dominical

- MADRID. 31 Julio 1961

- ÍNDICE DE ARTES Y LETRAS. Agosto. 1961. Publicación mensual

- LA VERDAD de Murcia. 9 de Agosto 1961. Pag. 15

- DIARIO JAÉN. 10 Agosto 1961

75

MADRID. 28 Septiembre 1961. Pag. 9

Revista TIEMPO NUEVO. n° 91 Septiembre 1961

TÉCNICA E INVENCIÓN. n° 87

LA VERDAD de Murcia. 16 Diciembre 1961

MADRID. 21 Diciembre 1961. Pag. 15

PUEBLO. 21 Diciembre-1961. Pag. 15

LA VERDAD de Murcia. 31 Diciembre 1961. Pag.11

EL ALCÁZAR. 1 Mayo 1962

MADRID. 17 Abril 1962. Pag. 9

PUEBLO. 4 Abril 1962. Pag. 15

ABC. 23 Marzo 1962. Pag. 57

ARRIBA. 23 Marzo 1962. Pag. 8

YA. 22 Marzo 1962. Pag. 6

MADRID. 22 Marzo 1962. Pag. 2

LA VOZ DE CASTILLA. 16 Marzo 1962

PUEBLO. 15 Marzo 1962. Pag. 16

ABC. 1 Febrero 1962. Pag. 46

ARRIBA. 14 Marzo 1964. Pag. 15

YA. 15 Marzo 1964.

PUEBLO. 17 Marzo 1964

- YA. 20 Marzo 1964. Pag. 17

- YA 1 Mayo 1964. Pag. 1§ a 11

- ARRIBA. 2 Mayo 1964

- INFORMACIONES. 2 Mayo 1964

- YA. 2 Mayo 1964

- YA. 2 Mayo 1964-

- ABC. 2 Mayo 1964

- EL DIARIO VASCO. 6 Agosto 1964

- LA VOZ DE ESPAÑA. 19 Agosto 1964

- UNIDAD. 19 Agosto 1964

- EL DIARIO VASCO. 19 Agosto 1964

- EL IDEAL GALLEGO. 7 Agosto 1966

- EL ALCÁZAR. 21 Abril 1965

- ABC. 10 Diciembre 1966

- YA. 10 Diciembre 1966

- ARRIBA. 10 Diciembre 1966

- EL ALCÁZAR. 8 Diciembre 1966

- LA NOCHE DE GALICIA. 4 Agosto 1966

- LA VOZ DE GALICIA. 2 Agosto 1966

- EL IDEAL GALLEGO. 2 Agosto 1966

ABC. 1 Agosto 1966

YA. 1 Agosto. 1966

MADRID. 1 Agosto 1966

LA NOCHE. 1 Agosto 1966

PUEBLO. 1 Agosto 1966

HOJA DEL LUNES de La Coruña. 1 Agosto 1966

LA VERDAD de Murcia. 28 Junio 1966

LA VOZ DE ESPAÑA. 28 Julio 1967

EL DIARIO VASCO. 28 Julio 1967

LA VOZ DE ESPAÑA. 30 Julio 1967

EL DIARIO VASCO. 30 Julio 1967

PARTE 1A:

CÚPULAS TRIANGULADAS DESMONTABLES Y FIJAS

/

INTRODUCCIÓN

En esta parte se va a analizar el grupo de estruc

turas que realizó Emilio Pérez Pinero, definidas co

mo fijas o fácilmente desmontables y que provienen

de la manipulación de un poliedro regular: el icosa

edro. En este estudio se razona cual es el proceso

seguido para su total definición, y se emplea pasa

dar todos los datos necesarios como si fueran a ser

construidas; se documentará gráficamente cada una -

de ellas.

Para empezar vamos a transcribir las definiciones —

del propio proyectista, dadas a través de sus escri

tos más extensos: las definiciones de las patentes.

La patente nQ 311.901 de Emilio Pérez Pinero, co

rresponde al reticulado y montaje de estructuras es

fericas trianguladas de barras. Nos acerca al mode

lo de división elegido en los siguientes párrafos:

En la segunda página:

"Las dimensiones y formas de los elementos de la estructura

78

/

se obtienen mediante la proyección de las caras de un polie

dro, que puede ser por ejemplo, un icosaedro, o también un -

poliedro resultante de trucar los vértices de un poliedro re

gular, sobre una superficie esférica base, de forma que ésta

queda dividida mediante arcos de círculo mayor, para obtener

un poliedro esférico.

Las caras de dicho poliedro esférico se cortan mediante' haces

de planos, preferentemente tres o cuatro haces de planos, que

de acuerdo con unas condiciones matemáticas apropiadas deter

minan una triangulación tal que los círculos de arco mayor -

que marcan la disposición y direcciones de las barras hace

que estas varíen lo menos posible, es decir, que exista el me

ñor número de variantes posible, en dirección y forma, con el

fin de reducir al mínimo el costo de fabricación y que las ba_

rras resultantes trabajen mecánicamente dentro de unos coefi

cientes muy semejantes".

En la página sexta:

"Para obtener la disposición de las barras componentes de la

estructura se corta dicha superficie esférica por tres haces

de planos, de manera que dividan cada arco lateral de cada

triángulo esférico en un número de partes que sea múltiplo de

dos o de tres, o de dos y tres simultáneamente, en el caso -

que nos ocupa este número de seis y doce.

79

(1) "An history of the developement of domes and a review of crecent achievements world-wide" Z.S.Makowski Ar.alysis, design and construcción of braced domes, pgs: 1 a 85 Granada Publishing. London 1984

Los ángulos entre planos de cada haz han de ser tales que el

número de barras distintas sea el mínimo así como la forma de

las divisiones triangulares...."

En la página 7:

"Las condiciones de semejanza de las barras y formas antes -

citadas se obtienen, en términos generales, haciendo que los

arcos en que quedan divididos los lados de los triángulos es

féricos equiláteros, subtienden ángulos distintos, que dismi

nuyen a medida que las divisiones se acercan a los vértices.

En particular En caso de doce divisiones son de:

4Q 28' 3"80 ; 4Q 51* 25"14 ; 5® 13* 14"65

5° 3r52"76 ; 5o 41* 34"85 ; 5o 52* 51"80

siendo también iguales dos a dos, simétricamente las seis res

tantes."

Desde principios de siglo se está procediendo a -

resolver estructuras reticuladas según superficies

esféricas con barras de acero, a partir de distin

tos tipos de reticulado. Baste recordar que las pa

tentes de las cúpulas tipo Schwedler y "lamella" -

son de la primera década del siglo-' . En la biblio

80

grafía citada se puede ver, qunque resumibles en -

unas pocas familias, la gran variedad de procedi—

mientos con reticulados no siempre triangulados.

La idea de reticular una esfera a partir de pólice-

dros regulares inscritos en ella, o más concreta—

mente empleado el poliedro que de entrada da más -

subdivisiones, el icosaedro, fue un recurso emplea_

do en la linea de investigación principal en la op_

tica alemana Cari Zeiss: Estaban desarrollando el -

proyectormóvil y necesitaban una superficie esferal

ca para monstrar a una audiencia numerosa el movi

miento de los astros en la bóveda celeste, es d e —

cir, el primer planetario. Para el. tamaño del espa

ció disponían en el centro de la esfera, 32 proyec

tos que iluminaban 32 campos fijos de estrellas.

Conseguían 32 áreas iguales tomando los vértices -

de un icosaedro (T2 pentágonos y 20 exágonos de ca

sa igual área).

Para hacerlos construibles, triangulaban cada polí_

gono y a su vez cada triángulo. Los ópticos cons—

truyeron media esfera de barras de acero con las -

uniones que se muestran (y una precisión de 2 milé

81

simas) en la azotea de la fábrica de Jena en 1922.

Del resto de la obra {cálculo y construcción) se -

encargaron Franz Dischinguer y Ulrich Finsterwalder

El esqueleto de los ópticos sirvió de cimbra al en

cofrado de madera sobre el que proyectaron hormi—

gón, pues sobre la azotea se .colocó una solución -

de poco peso. La estructura resistente era la lámi

na de hormigón.

Con los años 50 aparece el icosaedro de la mano de

R.B. Fuller.

La patente es de 29 de Junio de 1954, y se aporta

una reticulación de las caras del icosaedro con lí

neas "paralelas" a las alturas del triángulo. La -

adjetivación de "geodésica" le corresponde. No usó

Fuller solamente este proceso de reticulado. En la

cúpula "Radon" y en la cara exterior del pabellón

USA en la EXPO de Montreal de 1967, emplea un reti

culado del triangulo con líneas "paralelas" a las

caras, semejante a la de Zeiss y a las que emplea

Pérez Pinero.

Puede no ser muy erróneo pensar de los ópticos pu-

82

June 29, 1954

TtlKl D M . l í . 1931

R. a. FULLER 2,682,235

• S>**t*-¿b*<t 1

% / .

I'-'i fw,

ATTOXNCT

Váyina l de la patente americana de H. B. Fuller.

dieron tomar las ideas de los astrónomos, empeña

dos en situar los cuerpos celestes.

De cualquier forma, corresponde al icosaedro el es

tudio mas detallado y más interesante, por ser cía

ramente muy repetitivo, por la poca dispersión de

los valores de las longitudes de. barras, aunque en

cúpulas grandes la triangulación fuera compleja.

Fuller defendía por esto una más uniforme distribu

ción de tensiones: Aunque paralelamente (o algo -

posteriores) se realizaron otros estudios de reti-

culados de esos mismos criterios, como por ejemplo

los realizados con arcos de meridiano continuos en

tres direcciones, o variaciones trianguladas del -

tipo "lamella", la correspondientes al icosaedro -

esférico alcanzó gran difusión y popularidad, en -

gran parte por el esfuerzo de Fuller en su consoli

dación, y se fueron aportando diversos tipos de re

ticulado del triángulo equilátero base del icosae

dro .

La patente que estamos comentando de Emilio Pérez

Pinero es de 15 de Abril de 1965, (probablemente -

no conocía los estudios alemanes, y el icosaedro -

83

de Jena fué un hecho aislado entre los posterio-

resplanetarios), pero bien podria conocer estudi

os de Fuller y con toda seguridad muchas de las re

alizaciones a pesar de estar bajo patente, la difi

cuitad de estar en otro idioma y la escasa canti—

dad de "interesados" en el país como para que fue

ra fácil y frecuente el intercambio de información.

84

h - 1 , MERIDIANO

CAPITULO I I :

RETICULACIÓN DE LA ESFERA A PARTIR DE UN ICOSAEDRO

2.1 - ICOSAEDRO: LADO. VÉRTICES

Primero vamos a hallar todos los parámetros sinificativos para

poder definir mejor el problema: ángulo que abarca la cuerda-la

do del icosaedro, valor del lado en función del radio, coorde

nadas de los vértices y algunos otros.

Lamamos h a la altura de las pirámides con base pentagonal re

gular (que contienen 5 triángulos equiláteros cada una), y h ,

a la altura de la corona entre ambas (que contiene 10 triángu

los equiláteros). Dando una sección a la esfera por un plano que

contiene al eje OZ con el vértice A, y otro vértice del icosae

dro, es decir, conteniendo una arista de la pirámide, tenemos:

c = Rcosa ; h = 2Rcosa

T h = R - Rcosa ; h = R(l - cosa) P P

T f-y , —„•—„•••

— = Rsen— ; L = R /2(l-cosa)

Si determinamos el valor de a, tenemos los anteriores datos solo

en función del radio R de la esfera. También podremos conocer

las coordenadas de los 20 vértices, que son puntos de la esfera

85

circunscrita.

Para determinar a, partimos de una de las pirámides: tienen to

das las aristas de la misma longitud L, y la base íes un pentágc)

no regular inscrito en un paralelo de radio r. ex '

r = Leos™ y también

L 1 L 1 r = 2 senct/5 2 sen 36

Igualando ambas expresiones

L eos ~ = ^ r o = 1/ 2 x 0,59 = 0,85 2 ¿ sen Jo

a = 2 a r c c o s 0,85 = 63,434948° = 63,43°

También de l a misma f i g u r a , tenemos

tga = t g 63,43? = —^7- = 2 ; r = h 3 ^ • .h / 2 c c

es decir, cualquier sección proyectada de la corona, está en la

proporción de 2 a 1.

= ftll - CUS OJilJ

p h_ = R(l - eos 63,43ü) = R(l - ¿- )

h = 2R - 2h = 4r c p v5

t, = 2 R sert = 2R sen 31,7° = 1,051 R

2,3r ~ COORDENADAS DE LOS VÉRTICES

A=l

BH2

CH3

4

5

6

7

S

9

10

11

12

R

R

-R

-R

-R

-R

- R

-R

-R

R

0

•sen63,43°sen54°/

sen63,43°sen54°/

sen63,43°senl8°,

sen63,43°

sen63,43°senl8°,

sen63,43°

sen63,43°senl8°,

sen63,43°sen54°,

sen63,43°sen54?,

sen63,43°senl8°/

0

-R

R

R

-R

R

R

~R

-R

0

sen63,43°cos54°,

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sen63,43°cosl8°,

0

sen63,43°cosl8°,

.0.

sen63,43°cosl8°,

sen63,43°cos54°,

sen63,43°cos54°,

sen63,43°cosl8°,

0

R

R

R

R

R

-R

-R

-R

-R

-R

R

cos63,43°

cos63,43°

00363,43°

00363,43°

cos63,43°

cos63,43°

cos63,43°

cos63,43°

cos63,43°

cos63,43°

-R

2.2 - TRIANGULO ESFÉRICO

El triángulo plano, cara del icosaedro, se proyecta en la esfera,

con tres arcos de meridianos iguales, que abarca el ángulo a=63,43

El triángulo esférico proyección es equilátero de lados Ra y án

gulos 360°/5 = 72? Para calcular su altur,- H = Ra, / conocemos dos

lados y los ángulos del triángulo rectángulo esférico del que for_

ma parte. Por las formulas de Bessel, tenemos:

sena, = sena :sen27r/5 = sen63,43°sen72° = O, 8506

87

23 - PROCEDIMIENTO DEiRETICULADO

Solamente nos basta con coger un veinteavo de la superficie de

la esfera, la parte correspondiente a la superficie de una cara-

La patente de Emilio Pérez Pinero,:-de élló, únicamente nos da

los ángulos de subdivisión de a, que para un número de partes

(frecuencia) de 12, son los que se muestran en la figura.Suma

dos todos dan una diferencia con a, de 0o 13' 42".

Vamos a describir el proceso de reticulado a seguir, con el que

salen estos mismos valores, para los ángulos de división en par

tes de cada lado del triángulo esférico.

12- Se dividen los lados del triángulo equilátero

plano, en un número de partes iguales (por ejem

pío, 12).

22- Por cada punto de subdivisión, se trazan rectas

paralelas a los otros dos lados.

32- Del reticulado plano así obtenido, se traslada

cada punto a la esfera, haciendo pasar un radio.

42- Se halla la longitud de las cuerdas (barras) co

mo distancia entre ¡dos puntos en el espacio.

Al trasladar los puntos 1 a n de cada lado L del triángulo plano,

se transforma en una división de arcos desiguales en el lado Ra

del triángulo esférico. Existe eje de simetría en el punto medio

del arco, punto a donde llega la altura del triángulo esférico.

Asi con cada lado.

Al coger la primera recta paralela al lado L, ocurre lo mismo,

siendo el eje de simetría el punto donde esta recta corta a la

altura del triángulo (punto medio otra vez de ese arco), y lo

mismo con las rectas paralelas a cada lado. Y así sucesivamente.

Por consiguiente las tres alturas son ejes de simetría de las

mismas características, y los espacios que delimitan con los me

dios lados correspondientes, son seis triángulos rectángulos i-

guales, en los que las condiciones de traslado de cada punto del

plano a la esfera, se repiten. Por consiguiente, con trasladar

los nudos contenidos en 1/6 de la superficie {queda 1/6 de 1/20),

y unirlos, tenemos las barras distintas que lo componen.

Con una frecuencia de 12, los puntos que tenemos que trasladar

son los que figuran como intersección de lineas continuas en la

figura. La retícula procedente de la división del triángulo pla

no del icosaedro, nos da triángulos equiláteros de lado 1 - L/12,

todos iguales.

89

TRIANGULO EQUILÁTERO DEL ICOSAEDRO: RETÍCULA 1(1.13.13

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

(i.j.k) . - l ^ i ^ j ^ k s l S

90

2.5 - COORDENADAS CARTESIANAS DE CADA NUDO DEL PLANO

Tomamos el triángulo A B C , del que conocemos las coordenadas de

sus tres vértices:

A E 1 { 0 0 1 )R

B = 2 ( 0,7236 -0,5257 0,4473 )R

CE 3 ( 0,7236 0,5257 0,4473 )R

Tenemos que dividir los lados AB, BC y AC en doce partes iguales.

Las coordenadas de cualquier punto de la división son:

::. x -x V Y A V Z B ( X + i , Y„ + i , Z, i )

A n ' A n A n

con las rectas en las posición y pendiente de la figura (caso de

AB y AC).

Para la recta AB, con 12 divisiones iguales, tenemos las siguien

coordenadas cartesianas de los puntos:(para la esfera de R = L)

X y z

1

2

3

4

5

6

13

13

13

13

13

13

13

12

11

10

9

8

0

0,06030057

0,12060113

0,18090170

0,24120227

0,30150283

0

0,04381093

0,08762185

0,13143278

0,17524370

0,21905463

1

0,95393446

0,90786893

0,8618034

0,81573786

0,76967233

O (0,0,0)

1 (x1,y1,z1)

2 (x2,y2,z2)

V * V = V * V * eos 6

7.13.7

8.13.6

9.13.5

0,36130340

0,42210397

0,48240453

0,26286555

0,30667648

0,35048741

0,72360680

0,67754126

0,63147573

ANTES DE CONTINUAR con los nudos interiores, vamos a comprobar

que ángulos a', abarcan estos doce trozos de recta.

Si tenemos tres puntos: 0, 1 y 2, el ángulo enfrentado al segmera

to T2 es: aa' + bb' + ce'

eos y = / 2 . 2—2~/—,2 , ,2 ^1 /a +b +c / a ' +b +c '

donde a = XJ-XQ; b = Y^YQJ etc.

Con nuestra notación particular, y siendo o(0,0,0), tenemos

cosa,=

f (x . -0) (x. , -0 )1 + y . y . , + z . z . , L i i+l J Jri+1 i i+l

.£ i 2 z n—~2 Á . + y . + z . vx. , + y. „ + z . , i i i i + l í + l í + l

por lo que aplicado', a las coordenadas que acabamos de hallar,

nos quedan los siguientes ángulos,que comparamos con los dados

en la patente:

92

a 1

°s a 3

%

S a *

a 7

a8

eos a. i

0,9969

0,9964

0,9958

0,9953

0,9949

0,9947

0,9947

0,9949

a. i

4,467724754

4,856984014

5,220727893

5,531314713

5,759674114

5,881048549

5,881048549

5,759674114

= 4°

~ 4o

E 5°

= 5°

= 5°

= 5o

= 5 o

E 5°

28' 3"89

51*25"14

13*14"62

31'52"73

45'34"83

52,51"77

52'51"77

45'34"82

i

4°

4o

5°

5°

5°

5°

PATENTE

28' 3"80

51'25'14

13'14"65

31'52"76

41'34"85 *

52'51"80

1 2 2 a. = (a1+a„+c¿-+a.+a r+c0 2 = 63,434948° i i 1 2 3 4 5 6

Salvo error por parte de Pérez Pinero del valor de ángulo entre

la 55 y 65 división ( y entre la 75 y 85), o al menos en la trans

cripción que se encuentra repetidamente en la patente n° 311901,

se puede decir que lo expuesto es el procedimiento de reticulación

que usó para determinar los ángulos de los haces de planos que

menciona. Como los haces de planos cortan en meridianos a la es

fera, mas adelante comprobaremos si todos los puntos (nudos) es

tán contenidos en arcos de meridiano, es decir, están determina

dos por corte de tres meridianos.

93

A

/

Para hallar las COORDENADAS DE LOS NUDOS INTERIORES DEL TRIAN

GULO PLANO, nos basta con hallar las coordenadas de las divisio

nes de longitud 1 en las rectas paralelas al lado BC, paralelo

a OY, y por consiguiente con las mismas coordenadas X,Z, a lo lar_

go de cada linea i,1pues cualquiera de las tres direcciones de

rectas paralelas, contiene todos los nudos.Cada fila i contiene

i divisiones de longitud 1.

le la fila i ^ ifi¿, con

I" |Y A B| + \YAC:\ X. , ' i ' ' i ' . i 3

líián:

, Z J.

con l£j£i

E: Í3 F7 EE Fí I^I D H F í í ^ O I O U N I D A D

PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VÉRTICES: 1 3 (i , j ,k,X,Y,Z)

1 2 3 4 5 6 7 a 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ia

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6

13 12 13 11 12 13 10 11 12 13 9 10 1 1 12 13 8 9 10

13 13 12 13 12 11 13 12 1 1 10 13 12 1 1 10 9 13 12 11

0 6.030058E-02 6.030058E-02 . 1206012 . 1206012 . 1206012 . 1B09017 . 1B09017 . 1809017 . 1809017 .,2412023 .2412023 .2412023

' .£412023 .2412023 .3015029 .3015029 .3015029

0 -4.381093E-4.3B1093E-

-8.762184E-0 B.762184E-

.-.1314328 -4.381093E-4.331093E-. 1314328

-. 1752437 -8.7621S4E-0 8.762184E-.1752437

-.2190546 -. 1314328' -4.381093E

-02 -02 -02

-02

-02 -02

-02

-02

-oa0

i .9539345 .9539345 .9078689 .9078689 .9078689 .8613034 .8618034 .8618034 .8618034 .8157379 .8157379 .8157379 .8157379 .8157379 .7696723 .7696723 .7696723

94

to o ^ o - t > £ > i > i > i > í > m u i £ J i u i u i u ! t ^ L n ( j : u i - c - - c - ^ 4 > ^ ^ ^ 4 > ^ 4 > t o t o L d t ü c o r j W ü ] C O ü j r u r u r u r u r u r u r ü r u r u r u * - ' ^ s i o , u i í , ü n j ^ o - o c D s ! o , í J i j > t i ) r u > - 0 ' O C D ' j ^ u i 4 > w r u ^ o ^ c o ^ r j - u ] 4 > u J r u > j o ^ f i i - - o i > ü i - f > L u n j < — o -o

o o o o o o o o o o -0-0-0-0-00-a-OOCDCO(l)tDCOIIICD03-^]-ON3-s]s]-J-JI>£>l>

cu ru >- o LO ru •-• o cu ru >~* o LO ru •- o cu ru •- o .10 ru ^

10 - o >-* ru tu o ^ r o u o >- ru co o <- ru tu o >-* ro u o

D i o o o o o o o o o o o í - 4 > - P 4 > - p - j > f ' í - í - , f C D t D C D c o c D c o o J t o a ) n ] r ü i \ ) n ) n ] r a f \ ) n ) [ M M > a , a - o , o , o o o u ü J u u ü u u u i o u i ü i i i r a r a i v i i i r a r a ^ r a r u n i r o i i j n i r ü r a n j n i r a n i r u n i i u i i J i í i i i J r a n j H H K . M P M P H H M uooooooooooO'J^-o^<ivi-J^<i--i-ft^í--t>í-j>í-j>i-fi-'i-H«i-i-|]]üj[Da)[oniiDUiu)Ui o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O U 1 U 1 U 1 L / 1 U 1 U 1 U 1 U 1 Ü 1 U 1 U 1 U 1 U I U 1 U 1 U 1 U 1 U 5 U 1 Ü\:U\ J > 4 > J > J > J > 4 > 4 > 4 > 4 > J > ^ 4 > ^ 4 > 4 > 4 > 4 > U } C O L O L O U ! t i 3 C O r U r u r U

ucoco i i i íBcocococQco tomru ru ry fu ruFu ru ru ru:ru o t > i > o - i > i > i > t > o - ' - ' ' - ' ' - ' - ' > - ' - * i - - ' - * u i u i u i u i u i u i u j - o o ~ o

I ¡ I 1 ! I I ! ] 1 - I | CÜOC0 • * > • ! > • ' • . • . • C D O C Ú

•j? J> Ü) ru >-* • • * - n j L ú j > t O ü j r c i ^ ' • ••- ru LU y LO ni •-• • CDOJUlO-OsJ N I N I O U 1 H J - O O I - [ Ü I O [ J O J K 0 1 O U I O . S ¡ N | ^ m o r a ü i o - o u i n j o c o - P o - o - o m ^ - o o,j> o ru ui o-• o t - i - c o r u n j r u r u c D - i > i - r u o o - P ' j ' ^ - i > o t > n ) í - c o n j r x ) ru O CO -f H. i - 4 > O C D O ~ O s ] U ! U O O t O U l s l 4 ] | i i o . í M o -o -si m Ü) m r D L o u i ^ - o c a o - p - r u - o - o r i i í - O t o ^ J u i Q j i D ru ru -P u- -J J> 4 > - o r > - r > r u ü J u i r > c o a ) w c o i > m i J j í - o-.^j j>

m m m m m m i i i i I I

o o o o o o ru ru ru ru ru ru

i i i i i i i • -C--E- COO

. >- ru tu tu ru •- • • >- ru cu ru i- .

o c j i r u o t > r u u i O " -n j r u c o j > r > o j > i - t - ' 4 > o i > c D r u n j <--f>D-eOvJLÍlLUOOCOLIIx]Cí--P'i-^ C D w m - o o - - i > a ) o ^ i r u j > o - u i í j i D -P-0r>4>Uil>CDüJL0CDOtJlí>-0-C-

rn m m o o ru ru

i ! i co • • • • J> . i - fu n j »-» • -o -u o »- ü) UJ o- ui ru <¡ •-* cu rurüff l o j> i-i-- -F O U! U) O m LO ui -c- ru -o j> -o o- r> co cu m m i i o o ru ru

^ a ü i u i u i ^ u i u i u i ü i u i u i U J a u í r j u i L n u i u i u i i j i ^ o ^ ^ ^ ^ o ^ ^ a ^ C h ^ ^ c ^ < J t o w a j f J U í i J a ¡ L ú u ) í d u i m c c r a c o c D m C D r o 0 3 o 3 t o w u L u w L u c u t u u ^ ^

r ü W O J ^ J [ J ü ! ü l | J Ü ^ J U U Í 4 ^ J > 4 > ^ ^ ^ P ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^ J ^ J > f ' í 4 > 4 ^ ^ J l U l l J l l J L ^ U l U l U I [ ^ [ ^ l ^ O ~ í > I ^ C ^ D • C ^ ( ^ g ^ ^ J > X - J > J > 4 > r ' Í ^ J M - H ^ M M M M M ^ ) J g N ¡ g g N 5 N j ^ s ) s ; í í . _ p . í l í 4 > í , j > 0 0 o 0 0 0 0 g s ] N J

r ü ^ v j s j v j N j s i v i N i v j ^ ^ L o c u c j J L O U L d L o u j W Q j f f i ^ c o c o c o m a i r i i O D u u

68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

1E 12 12 12 1E 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 ó 7 8 9 10 1 1 12 13

1E 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 13 1E 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.6633063

.7236069

.7E36069

.7E36069 -.7236069 .7236069 .7236069 .7236069 .7E36069 .7236069 .7236069 .7236069 .7236069 .7236069

-.3942983 -.3066765 -.2190546 -. 13143E8 -4.381093E-02 4.3S1093E-02 . 1314328 .2190546 .3066765 .3942983 .¿•819202

-.5257311 -.¿•381092 -.3504874 --26E8Ó56 -.1752437 -8.762184E--02 0 8.76Ei84E~0£ . 175E437 .E6E8656 .3504874 .4381092 .5E57311

.493E79E

.493E79E

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4932792

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

.4472136

..4^72136

.4472136

.4472136

96

l

2.5 - COORDENADAS DE LOS NUDOS DEL TRIANGULO ESFÉRICO

Los.; puntos 0,A,C, determinan un plano, que al cortarse con la

esfera da el arco de meridiano AC. Con los extremos de los radios

contenidos en este plano, trazados desde O a las divisiones 1,2,

3, n, tenemos determinados los nudos del lado AC del trián

gulo esférico. Del mismo modo, la recta BC pasa a ser el arco BC,

y sus divisiones iguales se llevan a través del radio correspon

diente hasta la superficie de la esfera.

Para la recta i - i , tenemos trasladados sus puntos extremos;

en el arco de meridiano que pasa por ellos, intersección del pla

no O iaTai,_ con la esfera,están el resto de los nudos, siempre

abarcando arcos desiguales, con las simetrías oportunas.

Para hallar las coordenadas de todos los nudos, nos basta con

hallar la intersección de una recta que pase por dos puntos (el

origen de coordenadas y los puntos hallados antes) y la esfera.

recta x-xQ v-y0 z-zQ

xrxo" Vy(T Vz0

2 2 2 2 esfera x +y +z - R

que siendo x =0, yn=0 y z =0, nos queda:

9?

X

R

/ 2 2 l + ( y 1 / x 1 ) + (z / x )

Y = 1

x.

z = x.

E S F E R A D E R A D I O U N I D A D

79 80 81 82 83 84 85 36 87 88 09 90 91

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,Z,FI ,TETA)

0 O 4 . 467692 324 4 .467692 35.99999 9.324707 324 7 .56686 0 9.324707 3 5 . 9 9 9 9 9 ' 14.54543 3E4 12.18746 346 .3862 12.18746 13.61382 14.54543 35.99999 20 .07675 324 17.46315 340 .0354 16.47223 0 17.46315 19.96463 20 .07675 35 .99999 25.S3643 324 23 .13854 336.4464 21.59579 351.7323 21 .59579 8 .267699 23.13854 23 .55361 25 .33643 35.99999 31 .71747 324 29 .05499 334.1562 27 .22375 346.3862

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0 6.302041E-02 6.302041E-02 ,1310845 . 131683 ,1310845 .2031828 .2051797 .2051797 .2031828 .2777183 .2820579 .2835503 .2820579 .2777183 .3525724 .3602172 .3642309 .3642309 .3602172 .3525724 .4253255 .4370771 .4446135

0 -4.578701E-4.578701E-

-9.523842E-0 9.523842E-

-.1476209 -4.969059E-4.969059E-,1476209

-.2017741 -.1024635 0 .1024635 .2017741

-.2561588 -.1570278 -5.292584E 5.292584E . 1570278 .2561588

-.309017 -.2117034 -. 1076769

•02 -02 •02

-02

-02 -02

-02 -02

1 .9969614 .9969614 .9867859

' .9912919 .9867859 .9679488 .9774621 .9774621 .9679488 .9392337 .9539102 .9589573 .9539102 .9392337 .9000419 .9195574 .9298036 .9298036 .9195574 .9000419 .8506509 .8741541 .8892269

98

79 • 80 81 82 83 84 85 86 87 8B 89 90 91

25 26 27 £3 29 30 31 32 33

34 35 36 37 38 39 40 41 4 a 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5E 53 54

/ 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

.4472137

.4446135

.4370771

.4253255

.4936014

.5099233

.5217493

.5279794

.5279794

.5217493

.5099233

.4936014

.5554366

.5763475

.592818

.603405

.6070621

.603405

.592318

.5763475

.5554 366

.6095483

.6346303

.6556156

.6708205

.6788306

.6789306

.6708205

.6556156

.6346303

.6095483

.6554223

.6839324

.7088757

.7284618

.7410225

.745356

.7410225

.7284618

.7088757

.6839324

.6554223

.6932246

.7242566

.7523256

.7756591

.7924778

.801308

0 . 1076769 .2117034 .309017

-.3586223 -.2646292 -.1624598 -5.479992E-02 5.4799922-02

.1624598

.2646292

.3586223 -.4035482 -.3140557 -.2153537 -. 1095998 0 .1095998 .2153537 .3140557 .4035482

-.4428627 -.3586223 -.2646292 -.1624598 -5.479991E-02 5.479991E-02 . 1624598 .2646292 .3586223 .4428627

-.4761921 -.3975247 -.309017 -.2117033 -. 1076768 0 . 1076768 .2117033 .309017 .3975247 .4761921

-.5036571 -.4305299 -.3478341 -.2561588 -.1570278 . -5.292584E-02

.8944272

.8892269

.8741541

.8506509

.7923055

.8185046

.B374871 ..8474873 .8474873

.8374871

.8185046

.7923055

.7270758

.7544486

.7760088

.7898673

.7946545

.7898673

.7760088

.7544486

.7270759

.6575132

.6845689

.7072055

.7236068

.7322473

.7322473

.7236068

.7072055

.6845689

.6575132

.5862275

.6117276

.6340377

.6515559

.6627906

.6666666

.6627906

.6515559

.6340377

.6117276

.5862275

.5155284

.538606

.5594799

.5768323

.5393397

.5959065

26. 27. 29. 31 . 37. 35. 33. 32. 32. 33. 35, 37. 43, 41 . 39, 37. 37. 37. 39, 41 . 43, 48. 46, 44, 43 42, 42 43. 44 46, 48. 54, 52 50 49 48. 48 48 49 50 52 54 58 57 55 54. 53 53

56506 22375 05499 71747 .59852 06463 . 1243 06058 .06058 .1243 .06463 .59852 .3582 .02579 . 10341 .82689 .37737 ,82689 . 10341 .02279 .3582 .88951 .79829 .99201 .64693 .92488 .92488 .64693 .99201 .79B29 -8B951 . 11025 .29548 .65136 .34099 .48696 ' .18969 .48696 .34099 .65136 .28548 .11025 .96723 .41121 .98017 .77196 .88984 .42273

0 13.61382 25.B4377 35.99999 324 332.5726 342.7047 354.0744 5.925613 17.2953 27.42746 35.99999 324 331.4137 340.0354 349.7053 0 10.29472 19.96463 28.58627 35.99999 324 330.5297 338.0193 346.3362 355.3847 4.615304 13.61382 21.98071 29.47029 35.99999 324 329.8334 336.4464 343.7952 351.7323 0 8.267698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 324 329.2709 335.1868 341 .7244 348.7922 356.2211

99

73 74 75 76 77 7S 79 80 ai 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

.801308

.7924778

.7756591

.7583256

.7242566

.6938246

.7236069

.7562448

.7865068

.812731

.8331547

.8461736

.8506508

.8461736

.8331547

.812731

.7865068

.7562448

.7836069

79 80 81 82 83 84 85 86 87 89 90 91

100

5 . 8 9 2 5 8 4 8 - 0 2 . 1 5 7 0 8 7 8 " . 2 5 6 1 5 8 8 . 3 4 7 8 3 4 1 . 4 3 0 5 2 9 9 .5036571

-.5857311 -.45787 -.3809537 -.2952418 -.2017741 -. 1024635 0 .1024635 .2017741 .295241B .3809537 .45787 .5257311

.5959065

.5893397

.5768323

.5594799

.538606 ,5155284 .4472136 .467385 .4860879 .5082954 .5149179 .522964 .525731 .522964 .5149179 .5022954 .4860879 .467385 .4472136

53, 53. 54, 55. 57, 58. 63. 62. 60. 59. 59 58. 58 58. 59 59. 60 62, 63.

.42273

.88984

.77196

.98017

.41121

.96723

.43495

. 13533

.91623

.84803

.00804

.46872

.88254

.46872

.00804

.84803

.91623

. 13533

.43495

3.778858 11 .80786 18.27563 24.81383 30.7291 35.99999 324 32S.B071 334.1562 340.0354 346.3868 " 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1929 35.99999

2.6" - COORDENADAS DE LOS NUDOS COMO INTERSECCIÓN DE ME

RIDIANOS

Retomando lo que se dejó dicho en la hoja n°79:Emilio Pérez Pinero

según la patente n° 311.901, busca tres haces de planos en tres

direcciones cuyas intersecciones con las esfera son meridianos que

al cortarse definen los nudos del reticulado.

Según se ha ido definiendo el procedimiento de traslado de puntos

del plano a la esfera, parece que resulta obvio que los nudos del

reticulado están en el punto de intersección de meridianos en tres

direcciones. No obstante, para comprobarlo, vamos a hallar las de

uno,de la siguiente manera:

- definimos cada uno de los tres meridianos como Ínter

sección de un plano que pasa por el centro de la es

fera, con ella.

- Definimos cada plano con las coordenadas de tres de

sus puntos, en el que uno de ellos es el 0( 0,0,0) y

los otros dos, de los lados del triángulo del icosa

edro, con la división conocida

x~x 0 y - y o z - z 0

Vxo yryo zr2o X 2 " X 0 y 2 ~ y 0 Z 2 " Z 0

= 0

es una ecuacuion en x,y,z sin ternimo independiente.

101

- Para tres meridianos tenemos el siguiente sistema de

ecuaciones

plano ax+by+cz=0

plano a'x+b'y+c'z=0

plano a"x+b"y+c"z=0 2 2 2 2

esfera x +y +z =R

- Cada dos planos definen una recta, que al cortarse con

la esfera nos da un punto

- Para que dá un solo punto, los tres planos se tienen

que cortar en la misma recta, es decir, la solución i

del sistema de tres ecuaciones (homogéneo)

X = Y= Z =

D D

tiene que tener una solución distinta de x=y=z=0.

Como el numerador es siempre igual a cero por ser un

sistema homogéneo, tiene que ser |D¡=0 para que exis

tan infinitas soluciones:todos los puntos de la rec

ta de la que hablábamos.

Vamos a comprobar esto para el nudo 9.9.9; vamos a ver si nos da

las mismas coordenadas que con el procedimiento anterior, y des

pués intentaremos averiguar el proceso que pudo seguir Emilio

Pérez Pinero.

Las coordenadas de los puntos con los que vamos a determinar los

1 02

tres planos son:

O: (0,0,0)

5.13.9:(0,2412 , 0,1752437 , 0,81573786}R

5.9.13:(0,2412 ,-0,1752437 , 0,81573786)R

9.13.5:(0,4824 , 0,3504874 , 0,63147573)R

9.5.13:(0,4824 ,-0,3504874 , 0,63147573)R

13.9.5:(0,7236 , 0,1752437 , 0,4472136)R

13.5.9:(0,7236 ,-0,1752437 , 0,4472136)R

La ecuación de los tres planos, cuya traza sobre el triángulo

equilátero son las rectas de la figura,y que pasan por el origen

de coordenadas, son:

X Y Z

0,2412 0,1752437 0,81573786

0,7236 -0,1752437 0,4472136

0,22132x + 0,4824y - 0,1691z = 0

-0,22132x +0,4824y + 0,1691z = 0 y

0,2213243x + 0 - 0,1691z = 0

La intersección de estos tres planos tiene que ser una sola recta,

que al cortarse con la esfera, de las coordenaeas del nudo.El de

terminante de los coeficientes tiene que ser cero

0,2213 0,4824 -0,1691

D = -0,2213 0,4824 0,1691

0,2213 0 -0,1691

Para hallar las coordenadas del nudo, tomamos dos de los tres pía

es efectivamente = 0

103

nos y la ecuación de la esfera:

Con 0,2213x + 0f4824y - 0,1691z = 0

0,2213x - 0,1691z = 0 2 2 2 2

x + y + z = R nos da:

x = '2213 z = 0,764121z = 0,607157 R

0,1691 - 0,2213 °'169í

^ 2 1 ^ z = 0

0,4824

Z = R = 0,794582 R /0,764121 + 0 + 1

iguales que las del mismo punto en el listado de ordenador.

SIGUIENDO LA DESCRIPCIÓN DE LA PATENTE, nos podemos imaginar el

proceso que pudo seguir, de la siguiente manera:

Todos los meridianos que se emplean en el reticulado forman par

te de tres familias de planos que pasan por el 0(0,0,0); se ge

neran a partir del plano que contiene cada lado del triángulo,

girando n veces un ángulo Y., empleando i = n/2 valores distintos

(siendo n la frecuencia de división). Bajo n ángulos y. se ven n

divisiones de las cuerdas que forman la poligonal de la altura CH,

y también la altura recta del triángulo del icosaedro, por trozos

de longitud 1/3/2 todos iguales. Recordamos que desde los ángulos

dados en la patente, que llamábamos a,, se ve la cuerda del arco

Ra., barra del reticulado, y la recta de longitud 1 = L/n en el

104

triángulo del icosaedro.

Los tres haces de planos que determinamos girando y., tienen sus

versores en los planos OCH > OAH y OBH respectivamente, que

contienen las tres alturas del triángulo. El versor del plano

OAB está contenido en el plano XY, y es V {sen 36 , eos 36 , 0} .A.D

Para determinar las componentes del resto de los versores de ese

haz, se van girando los ángulos Y dentro del plano OCH desde el

origen de coordenadas, y determinando sus componentes x,y,z. El

plano i se expresa como producto escalar igualado a cero, de su

versor con una recta OP |O(0,0,0), P(x>y,z)} contenida en él:

= 0.

_J. 1 V

AB1 X

-¥•

OP

Para el haz de planos OAC, los versores tienen las mismas compo

nentes x,z; la componente y es del mismo valor y signo opuesto ,

por ser los planos OCH y OBH simétricos.

Para el haz de planos OBC, como contiene el eje OY, sus versores

están en el plano (-x) (+z) : V {eos {y.+yn+•-)r 0,seníy+Y~+•- - 0 BC 1 <£ 1 Z

y su ecuación : X = tgüy. Z-¡

x i

Con cada tres planos, uno de.cada haz, y la esfera, podemos despe

jar las coordenadas de un solo nudo. Para que esto pase, el deter

minante que forman los coeficientes de las icognitas x,y,z, del

sistema, tiene que ser igual a cero. Este determinante está forma_

do por las componentes de los versores, es decir, seno, coseno, y

tangente del y. correspondiente; por consiguiente queda una reía

10$

/

ción de valores trigonométricos igualada a cero que se cumple pa

ra determinados y ,. Hay que empezar pues decidiendo en concreto

los y.. Después pasar a determinar los a,, único dato dado en la

patente.

Este camino es con mucho, mas tortuoso que el descrito aquí, antes,

y se llega a que hay que decidir los y.. A pesar de que es el pro

cedimiento que describe, no tiene que ser el procedimiento que uti

lizó, sino una manera de explicarlo para hacer más fácilmente com

prensible lo que estaba patentando, y de paso dejar claro que cum

plía con las razones de diseño a que se había llegado en esos años,

que reticulando con meridianos, se empleaban menores longitudes to

tales de barras para igual superficie, por ser líneas geodésicas.

106

23 - LONGITUD DE LAS BARRAS, ÁNGULOS

Coniciendo las coordenadas de 2 puntos, (x ,y ,z ') y (x ,y ,z ) ,

la longitud de la recta que los une es:

_ _ _

d =/ (x2-x ) + (y2-yp + íz2~2i)^

Hablamos quedado en que las barras diferentes son las contenidas

en 1/6 de lr/20 de esfera. Como se va a> ver la variación de longi^

tud es poca. De las longitudes medias a las extremas hay una va

riación de un 12%.En comparación con otros reticulados, la red

de triángulos es casi uniforme, y comparando los esfuerzos a que

puedan estar sometidas las barras, resultarán diferentes pero no

desproporcionados, de unas a otras zonas de esfera.

Para n=12 él número de barras es 42, que con dos iguales por si

metría, hacen 41 longitudes diferentes. Mirando los valores que

se dan para una esfera de radio unidad, si contamos con 7 cifras

decimales tenemos 36 barras de distinta longitud, si con 4 o 5

decimales, tenemos 30 y si con 3, 19 barras. Para una esfera de

radio R=20 m., la barra más larga nos daría unas longitudes de:

2.195,3 mm. con 7 cifras decimales

2.195,2 mm. " 5

2.194,- mm. " 4

2.180,- mm. " 3

es decir, que para este caso (n=12 y R=20m.) hay precisión de

1 mm. tomando los factores por los que hay que multiplicar el ra

10?

1.13.13

NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS /

,2.13.12

7.13.7

.12.7

i.9.9 ^9.10.8

dio con cuatro cifras decimales.

Conocidas las longitudes de los lados, se hallan los ángulos de

los triángulos por las fórmulas de Briggs. Si los lados son a,b

Y c, el ángulo opuesto a "a" es:

3 =2arc tg /jS=^US=Sl

siendo p e l semiperimetro del t r i á n g u l o . Por r o t a c i ó n en l a nota

ción se t i e n e n l o s o t r o s dos .

t S F E R « DE RADIO UNIDftD

, n n TRIANGULO i

R J P 2 N G U L ° S D E L D S TRIÁNGULOS DE BARRAS BARRA

1 - 2 2 - 3 3 ~ 1

2 - 3 3 - 5 5 - 2

3 - 5 5 - 6 ó - 3

5 - 8 8 - 9 7 - 5

5 - 6 6 - 9 9 - 5

LONGITUD

7.795675E-02 .09157^

7.795675E-02

• 09157Í+ B.272333E-02 8.272333E-02

8.272333E-02 7 . 5 3 ^ 6 8 ^ - 0 2 .08<+7¿*¿t9 •

8.97896¿tE-02 9.938118E-02 B.97B964E-02

9.53<^684E-02 8.7¿+7368E-02 8.97896¿tE-02

ÁNGULO OPUESTO'

5^ .0316^ 71 .9367^ 5<+.0316£*

67.21^35 56.392B¿* 56.3928íf

5^.3028 69.39673 56.300^

5 6 . 3 9 B 6 5 6 7 , 2 0 2 7 1 5 6 . 3 9 B 6 5

6 5 . 0 6 3 8 8 5 6 . 2 9 í t 6 5 5 8 . 6 ^ 1 ^ ?

108

1.13.13

NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS

.2.13.12

,3.13.11

4.13.10

5.13.9

7.13.7

9.9.9 ^9.10.8

él -

9 -10

B -9 -13

9 -13 14

9 -10 14

10 14 15

13 IB 19

13 14 19

14 19 20

14 15 EO

15 EO

El

18 19 E5

19 E5 26

9 10

- ó

9 - 13 - B

• 13 - 14 - 9

- 10 - 14 - 9

- 14 - 15 - 10

- IB - 19 - 13

- 14 - 19 - 13

- 19 - EO - 14

- 15 - EO - 14

- 20 - 21 - 15

- 19 - 25 - 18

- E5 - 26 - 19

8.74736BE-02 9.B41156E-02 9. 108747E-02

9.93B118E-0E 9.462309E-02 9.462309E-02

9.468309E-0E .1025986 9.617658E-02

9.B4Í156E-02 9. 196499E-02 9.61765BE-02

9.19Ó499E-02 . 100483 9.650E19E-OE

.100799

. 1058517

.100799

.10259B6 9.893183E-02 .100799

9.893183E-02 .10468E .1013EE5

.100483 9.5B929EE-0E ,1013EE5

9.589292E-02 . 10132E5 . 1004B3

.1058517

. 1045886

.1045886

. 10458B6

.1078337

.1053826

54.81655 66.8544B 58.32899

63.35565 5B.3EE1B 5B.3E218

56.74EE9 65.05E46 58.E0525

63.03025 56.39407 60.57569

55.6173E 64.38555 59.99714

58.32752 63.34495 58.32752

61 .81073 5B. 19992 59.98936

57.37447 63.01984 59.6057

61 . 18878 56.73967 6E.07155

56.73967 6E.07153 61 . 18881

60.80062 59.59969 59.59969

5B.7371E 61 .80171 59.46118

109

1.13.13

NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS

.2.13.12

,3.13.11

4.13.10

7.13.7

.12.7

'9.9.9 ""-^9.10.8

1 9 - 2 0 20 - 26 5 6 - 1 9

20 - 26 86 - 27 27 - 20

2 0 - 2 1 2 1 - 2 7 27 - 20

21 - 27 27 - 28 2 8 - 2 1

28 - 32 32 - 33 33 - 28

25 - 32 32 - 33 33 - 25

25 - 26 26 - 33 33 - 25

26 - 33 33 - 34 34 - 26

26 - 27 27 - 34 34 - 26

27 - 34 34 - 35 35 - 27

27 - 28 28 - 35 35 - 27

32 - 33 3 3 - 4 1 41 - 32

110

.104682

.1023631

.1053826

.1023631

.1053826

.104682

.1013225 9.893183E-02 .104682

9.B93183E-02 .100799 .1025986

.3780352 ,1095998 .2741791

.1083027

.1095998

. 1083027

.1078337

. 1071822

. 1083027

.1071822

. 1083027

.1078337

.1053826

.1045886

.1078337

.1045886. ..

.1045886

.1058517

.100799

. 100799

. 1058517

. 1095998

.1097653

. 1097653

60.49528 58.32451 61.18021

58.32451 61 . 1802 60.49529

59.60569 57.37447 63.01984

58.19992 59.98935 61 .81074

158.0016 6.234537 15.76392

59.60302 60.79397 59.60302

60.05335 59.45785 60.48879

59.45785 60.48879 60.05335

59.46118 58.73712 61 .80171

59.59969 59.59967 60.80064

58.32751 58.32753 63.34497

59.90031 60.04986 60.04986

/ I

3 3 - ¿ti 41 - 42 4 2 - 33

33 - 34 34 - 4E 42 - 33

.1097653

. 1097653

.1095998

.10830E7

.10B3027

.109599B

60.04986 60.049B4 59.90032

59.60301 59.60302 60.79397

111

I S F E

ONGITtJE BñRR 1 -2 -3 -3 -5 -5 -6 -ó -a -9 -9 -

9 -10 10 13 14 13 14 14 15 15

ia 19 20 19 19 EO 20 21 21 25 26 27 28 25 26 26 27 27 28 2B 32 33 34 35 33 33 34 34 35

FíCA

ES DE A 3 3 5 6 6 9 9 10 9 10 13

14 - 14 - 15 - 14 - 15 - 19 - 19 - 20 - 20 - 21 - 19 - 20 - 21 - 25 ~ 26 - 26 - 27 - 27 - 22 - 26 - 27 - 28 - 33 "- 33 - 33 - 34 - 34 - 35 - 35 ~ 36 - 33 - 34 - 35 - 36 - 41 - 42 - 42 - 43 - 43

D E R A D I O U f M I D A D

TRIANGULO BARRAS. ÁNGULOS, CENTRAL

LONGITUD 7.795675E-02 .091574 8.272333E-.0847449 9.534684E-8.978964E-S.74736QE-9. 10B747E-9.9321IBE-9.841156E-9.462309E-

9.617658E 9. 196499E 9.650219E-.1025986 . 1004Q3 . 100799 9.8931B3E _. 1013225 9.589292E-. 10O483 .1058517 .1046B2 .1013S25 .1045886 .1053826 .1023631 . 104682 9.B93183E . 1025986 .1078337 .1053826 .100799 .2741791 .1083027 . 1071822 ' .1078337 . 1045886 .1058517 .100799 .1025986 .1095998 .1083027 .1045986 9.893L82E .1097653 . 1095?9B . 10B3027 .1078337 .1053827

-02

-02 -02 •02 -02 -02 -02 -02

-02 -02 -02

-02

-02

-02

-02

1 2 3 Y DE BARRA CON RADIO

ALFAI 4.467725 5.248639 4.74105 4.85698 5.465043 5. 146297 5.013472 5.220733 5.696469 5.640845 5.423528

5.512638 5.271065 5.531316 5.881048 5.759675 5.777807 5.67069 5.807837 5.496367 5.759676 6.067689 6.000579 5.807836 5.995219 6.040778 5.867536 6.000579 5.67069 5.881049 6.181414 6.040778 5.777807 15.75893 6.208326 6. 144032 6.181414 5.995219 6.067691 5.777808 5.881049 6.282755 6.208326 5.995218 5.67069 6.292249 6.282755 6.208326 6. 181414 6.040779

DELTA 87.76614 87.37568 87.62947 87.57151 87.26748 87.42635 87.49326 S7.3B963 87.15176 8 7 . 17958 87.28B24

87.24363 07.36447 87.23434 87.05948 87.12016 87.1111 87.16466 87.09609 87.251B2 87.12016 86.96616 86.99971 87.09609 87.00239 86.97961 87.06623 86.99971 87.16466 B7.05948 86.90929 86.97961 B7 . 1 1 1 1 8 2 . 12054 86.89584 86.92798 86.90929 87.00239 86.96616 87.1111 87.05948 86.85862 86.89584 87.00239 87.16466 86.85388 86.85862 86.89584 86.70929 86.97961

112

2 . 8 . - AGRUPACIÓN DE'BARRAS PARA'EL-MONTAJE: f'AOROPIEZAS

Emilio Pérez Pinero se planteó una prefabricación en taller de ma~

cropiezas compuestas de una docena de barras con uniones soldadas

en taller. Con 12 barras (o 10 en los vértices del icosaedro) se

construye una pirámide de muy poca altura, de base exagonal (pen

tagonal).

Los datos necesarios para prefabricar estas pirámides son la Ion

gitud de las barras y los tres ángulos de cada triángulo. Los pun

tos de la base generalmente no están en el mismo plano. Solo los

podemos colocar en dos casos: en los "vértices" del icosaedro,

las pirámides de base pentagonal regular solo tienen dos longitudes

distintas de barras, y en la pirámide que tiene el baricentro del

triángulo esférico como vértice, que por simetrías, le ocurre lo

mismo. Vamos a comprobar cuanto les falta al resto de los nudos.

Con tres puntos de la base no adyacentes, se determina un plano.

Para la pirámide elegida:

x - 3.6423 y - 0,52 z - 9,298

0,7277 1,5877 -0,557

1,6375 0,0187 -0,823

= 1,2963 x + 0,3132 y + 2,5863 z - 28,932 = 0

es el plano en que se encuentran los puntos 6.11.10, 7.12.8 y 8.10.9

113

para una esfera de radio R = 10 metros.Ahora se halla la distan

cia entre este plano y cada uno de los otros tres puntos restan

tes. Con el nudo 7.10.10:

d = 1/2963x4,47 + 0 + 2,5863^8.944 - 28,932 = Q Q Q g 2 ^

/T7-—2 2 2 .2963 + 0,3132 + 2,5863'

9,2 M . , es decir, un milavo del radio, la centésima parte de una

barra.

Con el nudo 6.12.9, d = 0.0026 m. =2,6 mm., es decir, R/4*10 ,v

a/400. Asi que al ejecutar la pirámide exagonal con los puntos

de la base en un plano, la variación de la longitud de las aris

tas es menos apreciable que los errores de manipulación (medición,

corte y soldadura).

Para montar el reticulado completo se unen las pirámides mediante

tornillos ordinarios colocados en chapas dispuestas en la direc

ción del radio. Para que la unión resulte conveniente necesitamos

conocer el ángulo 5 que forman el radio con cada una de las bar

ras que van al vértice de la pirámide; será el dato más fiable

para colocar las chapas de unión.

a i . d / 2 0 d/2 sen -r~ = ; a, = 2 are sen

6. = i

2 R i R

180 -a±

114

El montaje :J-J la cúpulas a veces es el mayor inconveniente. En

las estructuras que se resuelven por medio de familias planas

en jerarquías de trabajo (correas-vigas-rvigas mas grandes o ar

cos-soportes) cualquier error en su lugar de colocación o en su

tamaño solo compete al elemento mismo, sin afectar a los otros,

y se percibe y subsana con facilidad porque es "unidireccional".

En las cúpulas ( en general en todas las estructuras espaciales)

sus barras colaboran en el trabajo con el mismo rango, todas im

portan lo mismo. Para lograr un buen montaje, las barras tienen

que tener medidas muy exactas y una colocación en su sitio per

fecta, pues un error en un elemento "descoloca" a los siguientes

y es muy dificil averiguar de qué forma y en qué grado afecta a

cada uno. El procedimiento que más 3 errores daría sería colocar

cada vez una barra en su sitio definitivo soldándola a tope en

el nudo.

En las cúpulas que estamos estudiando, los errores se cometen o

eliminan en el ángulo final de las uniones atornilladas y en los

triángulos que no se replantean y que son los adicionales que

van apareciendo al montar las pirámides, en número de 6 rodeando

a cada una.

[87,76614^] ( 108*)

(108*) [87,766l4fl

2.12.13 (108°)

[87,766143

(108*) [87,766143

9,157 2.13.12 (108a)

[87,766i4fj

ALTURA DE 1.13-13 SOBRE EL PLANO DE LA BASE: 0,304 cm.

00.00.00

00,000

(000,0000°)

Ico.oooo11!

NUMERACIÓN DE NUDOS

LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.

ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA DASE

ÁNGULO <5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE

PIRÁMIDE N2: 1

116

[87, 2675o] (112,5599a)

3.12.12 (112,5605°) [87,26753

(123,2976°) ¡87,4932f|

4.12.11 (123,2974°) [87,4932f¡

9,841 4.13.10 (109,5688°) [87,3896°]

* 00.00.00

* 00,000

* (000,0000°)

* |oo ,oooo° |



ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE

ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE

ALTURA DE 3 . 1 3 . 1 1 : 0 , 3 7 3 cm.

PIRÁMIDE N2: 2

11?

[87,2882*3 1123,2785a)

4.11.12 9,938

[87,28825 (123,2785°)

4.12.1!

5.10.12 (116,6702°) ¡87,0595°]

5.12.10 (¡16,6702*) [87,0595°]

6.10.11 (120,048') [87, II! | ° ]

10,558 6.11.10 (120,048°) [87,1111°]

00.00.00 :NUMERACIÓN DE NUDOS

00,000 :LONGITUD EN CM. PARA UflA ESFERA DE R = 1 M.

(000,0000°) ¡ÁNGULO ENTEE LAS DOS BARRAS DE LA DASE

¡00,0000°! :ANGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA I3EL VÉRTICE

ALTURA DE 5 . 1 1 . 1 1 : 0 , 4 9 3 cm

PIRÁMIDE N9: 3

118

\

5.12.10 (116,678°) [87,1202^

[ 8 7 , 2 3 4 3 3 (128,6786°)

\ 4.13.10

[87,1202^ (116,6732°)

(122,2751°) [87,2518^]

6.12.9 (¡2£,275¡°} [87,2518°]

10,132 6.13.8 (113,4181°) [87,12023

* 00.00.00

* 00,000

* (000,0000°)

* |oo,oooo c¡



ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE

ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE

ALTURA DE 5 . 1 3 . 9 : 0 , 4 6 2 c m .

PIRÁMIDE N9: ¡i

219

7.10.10 (118,8314°) ¡86,9093°]

[86,97963 (120,0364°) • 6.11.10 10,46*8

[87,0662°] ( 122,2564°)

6.12.9

7.12.8 (120,0364°) [86,9796°]

8.10.9 (120,0071") [86,9280f]

10,830 8.11.8 (118,8314°) Q86,9093f¡

* 00.00-00 ¿NUMERACIÓN DE NUDOS

* 00,000 :LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.

* (-000,0000°) :ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE

* j00,0000°¡ :ÁNGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE

ALTURA DE 7 . 1 1 . 9 : 0 ,562 era.

PIRÁMIDE N2: 5

120

\

7.12.8 (120,048°) [87,1 Hit]

P T p l [87,0 595t) / • (119,9038°)

\ 6.13.8 9,893

[87,1111*] (120,0477°)

(120,0477°) [87,111!°]

8.12.7 (120,048°) [87,fll¡e]

8.13.6 (119,9037°) [87,05953

00.00.00 -NUMERACIÓN DE NUDOS

00,000 ¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R - 1 M.

(000,0000°) :ANGUL0 ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE

¡00,0000°I :ANGUL0 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE

ALTURA DE 7 . 1 3 . 7 : 0 , 5 1 4 cm.

PIRÁMIDE N°: 6

i SI

9.8.10 (120o)

[8 6,8536f]

¡86,8536^] (120°) 8.9.10 10,960

[86,853SfI (¡20°) 8.10.9

10.8.9 (120°)

[86,8536f]

10,960 10.9.8 (I20°J

[86,8536f]

9.10.8 ÍI20°)

§5 ,8536^

00.00.00 ¡NUMERACIÓN DE NUDOS

00,000 ¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE 11=1 M.

(000,COCO5)¡ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE

|_00,0000°[ :ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA SARRA DEL VÉRTICE

ALTURA DE 9 . 9 . 9 : 0 , 6 0 2 cm

PIRÁMIDE N2: 7

122

CAPITULO I I I . OBRAS REALIZADAS.

3,1 - TEATRO DESMONTABLE PARA "FESTIVALES DE ESPAÑA"

Consta de dos casquetes de esfera simétricas que solo acogen la

pirámide de base pentagonal superior del icosaedro.

Este teatro es la primera obra real con la que se enfrenta so_

lo, después de tener construidos dos modelos en los que ensa

ya la prefabricación y los nudos {ver número 1.7 del capitulo

1®, para llegar a acomodar las condiciones de facilidad de

montaje, transportabilidad y poco peso.

En el proyecto de esta primera cúpula, utiliza todos los con

ceptos razonables en el proceso de diseño: la sección del tu

bo redondo que consume menos material para un gran porcentaje

de piezas de compresión, la geometría, es decir, el casquete

de esfera que opone poca resistencia al viento, un tamaño de

piezas razonablemente grandes con longitudes de barras entre

1,5 y 2,0 ,etros y unas uniones muy simples de ejecutar.

No parece que llegue a lograr simplificarse las cosas en el -

montaje de la plataforma inclinada en que se apoyan las buta

cas. Aunque simplifica éstas, conserva la idea butacas-teatro

123

- T E S f t - T F i O D E S M O N T A B L E P A R A F E S T I V A L E S ÜEE E S P A K A c:orvi R A D i a O E : I ^ _ ¿+ M E T R H S

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LGS PUNTOS : 1 , 2 , 3 EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,2,FI,TETA>

1

a 3

4 3 éi

7

B 9 10 1 1 12 13 14

15 16 17

ía 19 20 El 22

23 24

25 26

27 2B 29

30 31 32

33 34 35

36 37 38 39 40 ¿ti '.2 43 44 45 46 47 49 49 50

51 52 53 54

55 56 57 58

59 60

61

0

1.033535 1 .033535

2.149785 2.159602

2.149785 3.33219B 3.364947 3.364947

3.332198 4.55458 4.62575 4.650225 4.68575 4.55458 5.7821B7

5.907562 5.973387 5.973387 5.907562

5.7B2187 6.97533B 7. 168064

7.291661 7.334304

7.291661 7. 168064

6.975338 0.095063 8.36274 1

8.556683 8.658BÓI

8.658861 B.5566S8 8.362741 8.095063 9. 109159 9.452099 9.722216 9.B95841 9.955818 9.89584 1 9.722216 9.452099 9.109159

9.996592 10.40794 10.7521 1 1 .00145 11.13282 1 1 .13282 11.00145 10.7521

10.40794 9.996592 10.74893 1 1 .21649 11.62556 1 1 .94677 12.15277

12.22384

0 -.7509068

.7509068 -1.56191 0 1.56 191

-2.420983 -.8149256 .B149256 2.420983

-3.309095 -1 .680402 0 1.6BO402

3.309095 -4.201004

-2.575256 -.8679838 .8679838 2.575256 4.201004

-5.067879

-3.471935

-1.7659 0 1.7659

3.471935 5.067879

-5.BB140Ó -4.339919 -2.664341

-.89871B6 .8987186 2.664341

4.339919 5.881406

-6.6Í819 -5.150513 -3.531801 -1.797437 0 1.797437 3.53180 1

5.150513 6.61819

-7.262948 -5.881406 -4.339918 -2.664341

-.8987185 .8987185 2.664341 4.339918

5.881406 7.26294B

-7.809551 -6.519405 -5.067878 -3.471935 -1.7659

0

16, 16 16.

16 16. 16 15. 16.

16. 15 15. 15. 15. 15. 15. 14. 15.

15. 15, 15. 14.

13.

14. 14. 14,

14. 14.

13. 12. 13.

13, 13.

13 13 13.

12 1 1 . 12 12. 15 13 12 12. 12 1 1 . 10 1 1 . 1 1 . 11 . 12 12. 11 . 11 .

11 ,

10,

,4 .35017

.35017

.18329

.25719

.18329

.87436

.0303B

.03038

.87436

.40343

.64413

.7269

.64413

.40343

.76069

.08074

.24878

.24878

.08074 ,76069 .95067

.33613

.58332

.66861

.58332

.33613

.95067

.99381

.42347

.73479

.89879

.89879

.73479

.42347

.99381

.92404

.37296

.72655

.95382

.03233

.95382

.72655

.37296

.92404

.78322

.22693

.59817

.86715

. 00BB5

.00885

.86715

,59817 .22693

,78322 9.614131 10. 10.

10. 10.

ÍO.

.03233

. 39B22

.66552

.86976

.93333

0 4.467717 4.467717 9.: 324714

7.566859 9.: 14 12

12 14 20 17 16 17

20. 25 23 21 21 . 23 25. 31

29. 27

26. 27

29. 31 37.

35

'33. 32 3 2

33 35 37

43 41 39 37

37 37 39 41 43 48 46 44 43. 42

42. 43. 44.

46. 48. 54. 52. 50. 49. 4B.

48.

3247 14

. 5¡t544

.18747

. 18747

.54544

.07676

.46315

.47222

.46315

.07676

.83643

. 13B53

.59579

.59579

.13B53

.83643

.71747

.05498

.22375

.56506

.22375

.05498

.71747

.59852

.06463

. 1243

.06059

.06059

. 1243

.06463

.59852

.3582 .

.02279

.10341

.02689

.37737

.82689

.10341

.02279

.3532

.88952

.79829

.99201

.64694

.92489

.92489

.64694

.99201

.79829

.88952

. 11025

.28543

.65136

.34099

.48696

. 18969

0 324

35.99999 324 0 35.99999 324

346.3862 13.61382 35.99999 324 340.0354

0 19.96463 35.99999 324 336.4464

351.7323 B.26769B 23.55361 35.99999 324

334.1562

346.3B62 0

13.61382 25.84377

35.99999 324 332.5726

342.7047 354.0744

5.925613 17.2953 27.42746 35.99999

324 331.4137

340.0354 349.7053 0

10.29472 19.96463. •2B.58627 35.99999 324 330.5297

338.0193 346.3862 355.3B47 4.615304 13.613B2 21 .98071

29.47029

35.99999 324 329.8334 336.4464 34 3.7952 351.7323

0

61 62 63 64 65 66 67 6B 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7B 79 SO 81 82 83 B4 SS S6 87 8B 89 90 91

Li

12 12 11 1 1 11

10 11 11

ia. 12 12 13

13 12 12 12 1 1 . 11 1 1 . 12 12. 13 13.

13 13 13 13.

13 12.

12 11 .

.22384

. 15277

.94677

.62556

.21649

.74893

.36BBB

.B77S1

.33B14

.72081

.99664

. 14145

.14145

.99664

.720B1

.33814

.87781

.36SBB

.86715

.40242

.89871

.32879

.66374

.87725

.95067

.B7725

.66374

.32879

.89071

.í'0242

.E16715

0

1 3. 5 6.

7 -B. - 7 . - 5 . - 4 .

- 2 .

.7659

.471935

.067878

.519405

.809551

.259976

.06069

.704479

.201004

.575256 -.8679838 .8679838 2. 4. 5. 7,

8 - 8 . -7 -6.

- 4 . - 3 . -1 . 0 1 . 3. 4.

6. 7.

a.

iS V ÁNGULOS DE LOS BARRA

1 -2 -3 -

2 -3 -5 -

3 -5 -6 -

5 -a -9 -

6 -9 -10 •

8 -9 -13 •

9 -13 • 14 •

9 -

10 • 14 •

10 -14 -1S -

2 3

1

3 5 2

5 6 3

a 9

5

9

10 - 6

9

13

- a

13 - 14

- 9

10 - 14 - 9

- 14 - 15 - 10

.575256

.201004

.704479

.06069

.259976

.621989

.509067

.24764

.841965

.309095

.680401

.680401

.309095

.841965

.24764

.509067

.621989

TRIANGULO

TRIÁNGULOS LONGITUD

1 .27S491 1 .501814

1.278491

1.501814 1 .356663 1 .356663

1.356663 1.563683 1.385816

1.47255 1.629B51 1.47255

. 1.4345Ó8

1.61395 1.493835

1.629B51 1.551819

1 .551819

1.551B19 1.682617 1 .577296

1.61395 1 .508226 1.577296

1.506226 1.64792 1.5B2636

10.93333 10.86976

10.68552 10.39822

10.03233 9. 8.

8. 9.

9. 9. 9. 9.

9. 9. 9.

8. 8. 7. 7. 7,

8. 8.

a. ' 8.

a. B. 8. 7.

7. 7.

.614131

.454665

.833138

. 175469

.460049

.665171

.772866 ,772866 ,665171 ,460049 . 175469 .833138 .454665 .334303

,665114 .971841

.237643 ,444652 .576609 ,621989 .576609 ,444652 .237643 .971841

.665114

.334303

1 DE BARRAS

2

48.

4B. 49.

50. 52. 54.

58, 57. 55. 54.

53. 53. 53. 53. 54. 55. 5 7 . 58. 63.

62. 60. 59. 59. 58. 53. 58. 59. 59.

60. 62. .63.

3

. 1B969

.48696

.34099

.65136 ,28548 .11025 ,96723

.41121 ,98017 .77196

.889B4

.42272 ,42272 . 889B4 .77196 .98017 .41121 .96723 ,43495

, 13533 ,91623 .84803 ,00804 .46873 .28254 .46873 .00804

.84803

.91623

. 13533

.43495

ÁNGULO OPUESTO

54. 71 . 54.

67. 56,

56.

54. 69. 56.

56. 67.

56.

54.

66. 5B.

63. 5B. 58.

56. 65. 58.

63. 56. 60.

55, 64. 59,

.03164

.93674

,03164

.21432

. 392B4

.39284

.3023

. 39677

.30044

.39865

.2027

.39865

.81655

.854 48

.32899

.35565

.32218

.32218

.74229

.05246

.20526

. 03025

.3940B

.57569

.61733

.3B555

.99713

0

B.£67698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999

324 329.2709 335.1868

341 .7244 348.7922

356.221I 3.77885B 11.207B6 IB.27563 24.81323 30.7291 35.99999 324

328.8071 334.1562 340.0354 346.3862 353.0957 0 6.904354 13.61382

19.96463 25.B4 377

31 . 1929 35.99999

13 - 18 18 - 19 19 - 13

13 - 14 14 - 19 19 - 13

14 - 19 19 - 20 20 - 14

14 - 15 1 5 - 2 0 20 - 14

15 - 20 2 0 - 2 1 21 - 15

IB - 19 1 9 - 2 5 25 - 18

19 - 35 25 - 26 36 - 19

19 - E0 50 - 56 26 - 19

20 ~ 26 36 - 57 27 - 20

5 0 - 8 1 51 - 27 27 - 20

51 - 27 27 - 2B 2B - 21

25 - 32 32 - 33 33 - 55

25 - 26 26 - 33 33 - 25

26 - 33 33 - 34 34 - 86

26 - 27 27 - 34 34 - 26

27 - 34 34 - 35 35 - 27

27 - 28 28 - 35 35 - 27

35 - 33 33 - 4i 41 - 35

1 .653104 1.735968 I.653104

1.682617 1.625482 1.653104

1.6224B2 1.716785 1.6616B9

1.64792 1.572644 1.6616B9

1.572644 1.661689 1.647921

1.73596B 1.715253 í.715553

1.715253 1.768473 1.728275

1.716785 1.678754 1.728275

1.678754 1.758575 i.716785

1.661689 1.6224B2 1.716785

1.622482 1.653104 1.682617

1.776165 1.797437 1.776165

1.768473 • 1.757788 1.776165

1.7577B8 1.776:64 1.768473

1.728275 1.715253 1.768473

1.715253 1 .715252 1.73596B

1.653104 1.653104 1.735968

1.797437 1.B0015 1 .80015

58.32755 63.34496 58.35755

61 .81073 58.19992 59.9B936

57.37447 63.01984 59.6057

61.18878 56.73966 62.07156

56.73966 62.07155 61 . 1BBB

60.80062 59.59969 59.59969

58.73712 61 .80171 59.461 IB

60.49528 58.32451 61.18021

58.35451 61.1802 60.49528

59.6057 57.37447 63.01984

58.19992 59.98935 61 . B1074'

59.60302 60.79397 59.60302

60.05335 59'. 457,85 60.4888

59.45785 60.48879 60.05337

59.46118 58.73712 61.80171

59.59969 59.59967 60.80064

58.32751 58.35755 63.34497

59.90031 60.049B6 60.04986

33 - 41 41 - 42 42 - 33

33 - 34 34 - 45 42 - 33

1.80015 1 .B0015 1.797437

1.776164 1.776165 1.797437

60.04986 60.04985 59.90031

59.60301 59.60308 60.79397

12?

ACCESO

PLANTA.

TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES 9 l 2 3 4 5 6 7 8 9 1 p I 1 I I I I I L_J I I m.

DE ESPAÑA.

ACCESO ACCESO

ALZADO.

TEATRO PARA FESTIVALES

1 2 3 4 ^ 6 7 8 9 1 0

J m.

15,50

ACCESO

DE ESPAÑA.

ALZADO INCLUYENDO EL PARALELO DE INTERSECCIÓN DE LOS DOS CASQUETES. TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA.

O 1 2 3 4 ^ e 7 8 9 10 i i i i i I ¡ i ) i, I m.

y ^ ^ T t t - - J

\ / \

7\ / tf \ /

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DESPIECE

/ \ / \

\ J i- V /

/ \ >•* """^^^T^*,

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N.V/ \ /

i

DEL TRIANGULO TIPO

-%• UNION SOLDADA

- ^ - UNION ATORNILLADA

TIPO DE PERFIL: OHUEC0

* \

y \

• £K

\ / '' \ *

^

UNION ATORNILLADA ENTRE PIRÁMIDES. CÚPULAS PARA CINERAMA Y FESTIVALES DE ESPAÑA.

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•>}»j»»?»»»jjjtjj»»»i

DOS TORNILLOS ORDINARIOS POR CADA UNION.

Seaun dibujo de E.P.Pinero

3,2.- CÚPULA PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA

Emplea todos los datos de la anterior geometría, tipos de b a —

rras, uniones y cubricción. Únicamente diseña un espacio dis—

tinto: único, evolvente como la pantalla para los tres proyec

tores de Cinerama y con una esclusa cortavientos de entrada.

No pudo explotar el teatro anterior como contratista de monta

jes de espectáculos para la Administracción, y esta cúpula co

rresponde a este intento de obtener ingresos de esta forma.

La cantidad de esfera usada podría estar decidida en función -

de la superficie del círculo capaz de obtener un número deter

minado de espectadores (1.200 aquí, contra 1.800 de los dos -

casquetes anteriores) adecuado para que fuera viable la explo

tación y fuera el montaje más sencillo al tratarse solamente -

de un casquete.

A los actuales propietarios (un circo) les conviene la pendien

te casi vertical de la media esfera para levantar las gradas -

en círculos concéntricos: quedando próximos a los espectadores

la planta del redondel y el espacio superior de trapecistas y

equilibristas, desarropándose todo en un espacio más concentra

do que en lase-arpas ordinarias.

135

C ; L J F » U I _ , Í ^ F ' Í - ^ F Í * ^ P R O Y E C C I Ó N T>I=. C ; I I V J C £ F Í * = > M « C T O M ' F Í CAO I O J 3 E 1 "7 r i E T R D S

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SDN LOS PUNTOS : 1. , 2 , 3 EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA)

1

a 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1

18 13 t ¿*

15

!& 17

18 19 80 21 22 23 24 25 26 27 29 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4 4 45 46 47 4S 49 50 51 52 53 54 55 56 5 7 58 59 60

0 I .071347 1.071347 8.828436 2.23B612 2.228436 3.454107 3.488055 3.488055 3.454107 4.72121I 4.794985 4.820355 4 . 794985 4.721211 5.993731 6. 123692 6. 191926 6. 191926 6. 123692 5.993731 7.230534 7.4 3031 7.558429 7.602632 7.559429

7.43031 7.230534 8.391223 8.66B696 8.869737 8.975649 8.975649 8.969737 8.668696 B.391223 9.442421 9.797907 10.O7791 10.25788 10.32006 1 0.25788 10.0779 1 9.797907 9.442421 10.36232 10.78872 11.14547 1 1 .40395 11 .5401S 1 1 .54012 1 1 .40395 11.14547 10.73372 10.36232 11 . 14218 1 1 .62685 12.05089 12.3B3S5 12.59738

0 -.778379 .77B379

-1 .619053 O 1 .6 19053

-2.509555 -.84474 .84474 2.509555

-3.43016 -1 .74188 0 1.74 188 3.43016

-4.354699 -c.669473 -.8997392 .8997392 2.669473 4.354699

-5.2532B9 -3.598957 -1 .B30507 0 1 .B30507 3.598957 5.253289

-6.096579 -4.498697 -2.761817 -.9315985 .93159S5 2.761817 4.498697 6.096579

-6.860319 -5.338946 -3.661013 -1.863197 0 1.863197 3.661013 5.338946 6.B60319

-7.528666 -6.096579 -4.49B696 -2.761817 -.9315984 .9315984 S.761817 4.498696 6.096579 7.528666

-8.095266 -6.75792 -5.2532B9 -3.593957 -1.830506

17 16. 16. 16. 16. 16. 16. 16. 16. 16. 15. 16. 16. 16. 15. 15. 15. 15. 15. 15, 15. 14. 14. 15. 15. 15. 14. 14. 13 13. 14 14. 14. 14. 13. 13. 12 12. 13 13 13 13. 13 12. 12 1 1 . 11 12.

ia 12. la 12. 12. 1 i . 11.

94B34 .94834 .77536 .85196 .77536 .45513 .61696 .61686 .45513 .96697 .21647 . 3022B .21647

.96697

.30071

.63248

.80666

.80666

.6324B

.30071

.46107

.86062

. 11666

.80526

. 11686

.86062

.46107

.46919

.9145B

.2372B ,40728 .40728 .23728 .91459 .46919 .36029 .82563 .19215 .42774 .50913 .42774 .19215 .82563 .36089 . 17772 .63767 .02249 .30131 .4482 .4482 .30131 .02249 .63767 .17772

9.965867 10. 10. 1 1 11 .

.39937

.77864

.07645

.26744

0 4.46773 4.46773 9.324716 7.566837 9.324716 14.54543 12.1B748 12.1B748 14.54543 20.07676 17.46314 16.47222 17.46314 20.07676 25.83643 2 3 . 13354 21 .5957B 21.5957B 23.13354 85.83643 31 .71747 89.054 99 27.22375 26.56506 27.22375 29.05499 31 .71747 37.59B52 35.06463 3 3 . 12431 32.06059 32.06059 33.12431 35.06463 37.59B52 43.3582 41 .02279 39.10342 37.B2689 37.37737 37.82689 39.10342 41 .02279 43.3582 48.88958 46.79889 44.99201 43.64694 42.92439 42.92439 43.64694 44.99201 46.79829 48.88952 5 4 . 1 1025 52.28548 50.65136 49.34099 48.48696

0 324 35.99999 324 0 35.99999 324 346.3B62 13.61382 35.99999 324 340.0354 0 19.96463 35.99999 324 336.4464 351.7323 8.867698 23.55361 35.99999 324 334.1562 346.3B62 0 13.61388 25.84377 35.99999 324 332.5726 348.7047 354.0744 5.925613 17.2953 27.42746 35.99999 384 331 .4137 •340.0354 349.7053 0 10.29472 19.96463 28.58627 35.99999 324 330.5297 33B.0193 346.3862 355.3847 4.615304 13.613B2 SI.9B071 29.47089 35.99999 324 389.8334 336.4464 343.7952 351.7323

61 62 63 64 65 66 67 6B 69 70 71 ?a 73 74 75 76 77 7B 79 B0 SI 82 B3 84 83 B6 B7 8S 89 90 91

12.67105 13.59738 12.383B5 12.05099 11.62605 1 1 . 142X8 11 .7B4B2 13.31236 12.78954 13.1B621 13.47212 13.62224 13.65224 13.47212 13.1B621 12.7B954 12.31236 1 1 .73482 12.30132 12.B5616 13.37062 13.81643 14.16363 14.38495 14.46106 1^.36495 14.16363 13.81643 13.37062 I2.B3616 12.30132

0 1.830506 3.598957 5.253209 6.75792 8.095266

-8.562169 -7.319008 -5.913 IB -4.354699 -2.669473 -.8997392 .3997392 2.669473 4.354699 5.91318 7.319008 8.562169

-8.737429 -7.783789 -6.476213 -5.01911 -3.4301S9 -1.741879 0 1.74 1879 3.430159 5.0191 1 6.476213 7.7837B9 B.937429

11.33333 11.26744 11.07645 10.77864 10.39937 9.965867 B.763982 9.156301 9.51 U S B 9.B06149 10.01B7S 10.13041 10.13041 10.01878 9.806149 9.511158 9.156301 8.763982 7.602632 7 . 94554,4 8.263494 B.539021 8.753604 8.890388 8.93742S 8.890388 8.753604 8.539021 8.263494 7.945544 7.602632

4B.18969 48.48696 49.34099 50.65136 52.28548 54.11025 58.96723 57.4 1121 55.98017 54.77196 53.88984 53.42273 53.42273 53.839B4 54.77196 55.9B017 57.4 1121 58.96723 63.43495 62.13533 60.91623 ' 59.84803 59.00804 58.46873 58.2e254 58.46873

.59.00804 59.S4803 60.91623 62.13533 63.43495

0 B.367698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 324 329.2709 335.1868 341.7244 34B.7922 356.2211 3.778858 11.20786 18.27563 24.81323 30.7291 35.99999 324 328.B071 334.1562 340.0354 346.3862 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1929 35.99999

TRIANGULO 1 LADOS Y ANGULGS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS

BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO

1 -2 -3 -

2 -3 -5 -

3 -5 -6 -

5 -a -9 -

5 -6 -9 -

6 -9 -10 •

8 -9 -13 -

9 -13 • 14 •

9 -10 • 14 -

2 3 1

3 5 2

5 6 3

8 9 5

6 9 5

9 10

- 6

9 13

- 8

13 - 14 - 9

10 - 14 - 9

1.325265 1 .356758 1.325265

1.556758 1 .406297 1 .406297

1 .«06297 1.620B96 1 .440663

1 .526424 1 .68948 1.526424

1.620896 1.4B7053 1 .526424

1.487053 1 .672997 1 .54B4B7

1.68948 1.608592 1.608592

1.608592 1.744176 I .635002

1 .672997 1.563405 1.635002

54.03163 71 .93674 54.03163

67.21433 56.39284 56.39584'

54.302B 69.39678 56.30044

56.39865 67.2027 56.39865

65.06388 56.29465 58.64147

54.81655 66.85448 58.32899

63.35565 5B. 32218 58.32218

56.74229 65.05246 58.20526

63.03025 56.39408 60.57567

10 - 14 14 - 15 15 - 10

13 - ia IB - 19 19 - 13

13 - 14 14 - 19 19 - 13

14 - 19 19 - SO 20 - 1*

14 - 15 15 - 20 20 - 14

15 - 20 20 - 21 21 - 15

18 - 19 1 9 - 2 5 25 - 18

19 - 25 25 - 26 26 - 19

19 - 20 20 - 26 26 - 19

SO - 26 26 - 27 27 - 20

20 - 21 21 - 27 27 - 20

2 1 - 2 7 27 - 28' 2S - 21

25 - 32 32 ~ 33 33 - 25

25 - 26 26 - 33 33 - 25

26 - 33 33 - 34 34 - 26

26 - 27 27 - 34 34 - 26

27 - 34 34 - 35 35 - 27

27 - 28 2B - 35 35 - 27

1.563405 1.70B21 1.640537

1.713584 1.799479 1.713584

1.744176 1.681B41 1.713584

1.681841 1.779594 1.722482

1.70621 1.63018 1.722482

1 .63018 1.722482 1.70821

1.799479 1.778006 1.778006

I.77B006 1.833173 1.791505

1.779594 1.740172 1.791505

1.740172 1.791505 1.779594

1.722482 1.6B1B41 1.779594

1.681B41 1.713584 1.744177

1.841146 1.863197 1.B41146

1.833173 1 -.822098 1.B41 146

1.822098 1.841146 1.833173

1.791505 1.77B006 1.B33173

1.778006 1.778006 1.799479

1.713584 1.7135B4 1.799479

55.61732 64.38555 59.99713

5B.32752 63.34496 5B.32752

61.B1073 58.19992 59.98936

57.37447 63.01984 59.6057

61.18879 56.73967 62.07155

56.73967 62.07154 61 .1888

60.80063 59.59969 59.59969

58.73712 61.B0171 59.46119

60.49527 58.32451 61.18023

58.32451 61.1802 60.49529

59.6057 57.37446 63.01984.

58.19991 59.9B935 61 .81075

59.60302 60.79397 59.60302

60.05335 59.45786 60.48879

59.45735 60.4BB79 60.05335

59.46118 58.73712 61 .80171

59.59969 59.59969 60.80064

58.32751 58.32752 63.34497

32 - 33 33 - 41 <:l - 32

33' - 41 41 - 42 42 - 33

33 - 34 34 - 42 4E -- 33

1.863197 1 .86601 1 .36601

1 .86601 \ .36601 1.863197

1 .(34 1 146 1 .341146 1.863197

59.9003 60.04986 60.04986

60.04986 60.049B5 59.90031

59.60301 59.60301 60.79397

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES 50N LDS PUNTOS EN CARTESIANAS Y POLARES.i X,Y,Z.FI,TETA)

7 . 2 , 3

22 23 04

25 36

a v 28 29 30 31

3a 33 34 35

36 37

38 39

4 0 41 4 2

43 44 45 4 6 47 4 8 49 50

51 52 53 54 5:-; 56 57 58 5 7

60 61 63 63 64

65 66 6 7 68 69 70 71 7 2 73

16.16776

16.4)1463 i 6.«0116 1 7

16.90;16 ¡ó.61466 16.16796

15.79988 16.32233

16.70088 16.9003 16.9003

Í6.700B8

16.32233 ¡5.79988

15.27316 15.85335 16.3064

16.59761 16.6982

16.59761 16.3064 15.35335

15.27816 1 '< . 63 1 33 15.33391 15-737 65 16.10263 16.£9491 16.2949 1 16.10263

15.73-'65 15.£3391

¡4.63183 13.8966Ü 1 4.501 17

15.03003 15.4 4531 13.71162 15.80351 15.71163

15.44531 15.03003 14.50117 13.89668 13.10908 13.6959 14.32669 14.66794 14.98598 15.15296 15.15396

-3". 253289

-3.598957 -I .830507 0 1 .830507 3.598957

5.253289 -6.096579 -4 .498696

-2.761817 -.9315984 .93¡5984 2.761817

4.490696 6.096579

-6.860318

-5.338?'t6 -3.66 1013 -1.863197 0 1.863197

3.661013 5.338946

6.860318 -7.52B66S -6.09657Q

-4 -49R696

-8.761817 -.93)5985 .9315905 2.761817 4.493696 6.096578

7.523665 -8.095366 -6.75792 -5.253233 -3.593957 -1.330507 0 1.830507 3.598957

5.253288 6.75792 8.095266

-8,562169 -7,319008 -5.V13179 -4.354699 -2.669473 -.8997391 .B997391

1.957718E-16 2 . 0 U B 0 9 E - 1 6 2.046498E-16 2.05S467E-16 2.04649SE-16 2.011309E-16 1-95771SE-16 1 .¿181732 1.530728 1.566228 1.58493

1.58493

1.566229 1.530728

1.481732

2.917868 3.02772

3.114 244 3.169861 3.189072

3.169B61 3.1¡4244

3.02772

8.91786B 4.26951 1 4.445194 4.592184 4.693684 4.754791 4.754791

4.698684 4.592184 4.445194 4.269511 5.503996 5.74 863 5.958286 6.128913

6.228488 6.264912 6.2284B8 6.122912 5.958286 5.74863 5.508996 6.621288 6.91769 7.1BS737 7.408657 7.569299 7.65364 7.63364

90 90

90 90 90

90 90 34.99972 84.83393

-.84.71378 84.65048 84.65048 84.71378

84.83393 84.99973

80.11636 "'9.74083

79.4'<4 34 79.2536 79.18763

79.2536 79.^4434'

79.74083 80.11686

75.^5456 74.84 199

74.3281 73.95495 73.75809

73.75309 73.95^95 74.3281

74.34 199

75.45456 71.09146

70.23551 69.4B288 63.88929 6B.50737 68.37533 68.50737 68.88929 69.43238 70.23551 71.09146 67.0774 65.9BB31 64.99526 6 4 . 16353

6 3 . 5 6 Q Í ( B

63.24258

63.2¡i258

3 4 2

347.7778 353.8136 0 6.131413 12.22219

18 333.9003

344.591 350.61 356.8449 3.155133 9.389998

IS.^0906 21.09973

335.SI 86 341.383

347.34 61 353.595 0

6.405036 12.65337

• 18.61203 24.18141

332.7724 338.1883 34 4.0471 350.2677 356.7279 3.272103

9.7323 15.95288 21.81119 27.22764

329.7778 335.0133 340.7345 346.8834

353.3546 O

6.645371 13.11661

19.26551 24.98674 30.22219 326.3495 331.8802

337.4303 343.4646 349.8998 356.6019 3.398068

74 75 76 7 7

ve 79

80 81 82 B3 84

85

Sé. B7

88 89

90 91

14. 14. Ib. 13. 13.

IB.

ie, 13 13. 14

Ib. Ib ib. Ib

. 13 13

1S. 15

,98598 .66794 ,22669

.6959

.10908

.30132

.85616

. 37065

.81643

. 16363

.38495

.46106

.38495

.16363

.81643

.37062

.85616

.30132

PUNTOS DEL ICOSAE EN CARTESIANAS Y

1

5 3 b 5 6 7

a 9 10

11 12 13

Ib 1S 16

17 1S 19 SO

£1 £2 23 3b £5 26 27 28

12. 13.

12. 13. 13. 1 1 .

1'*, 13.

12, 11 .

15. ib. 13. 12

1 l . 15

15 1*4 13.

11 . 10. 16 15. 14 13. 12 1 l .

.30132

. 10908

. 19404

.89668

.00413

.99337

.63183

.78259

.78953

.68167

,27816

. 49304

. 54046

.44534

. 24576

.79988

.09642

.20692

.14921

.95826

.68062

.16796

.55697

.74927

.75329

.59738

.32614 9.992349

140

2.669473 4.354699 5.913179

7.319008 B.562169 •8.937429

•7.783789 -6.476213 •5.0191 1 -3.430159 •1 .741879 0

1.74 1979

3.430139 5.01911 6.476213 7.783789

8.937429

7.569299 7.408657 7. 1B57S7 6.91769

6.621288 7.602632 7. 945544

S.263494 8.539021 8.753604

8.890383 B.937423

8.890383 8.753604 B.539021 8.263494 7.945544

7.602632

63. 64. 64. 65. 67.

63

62. 60. 59. 59

58. 5B

59. 59

59 60 62

63

.56048

.16358

.99526

.9BB31

.0774

.43495

. 13533

.91623

.84803

.OO804

.46973

.28254

.46973

.00804

.84803

.91623

. 13533

.43495

10.10023

16.53539 22.56972 28.1197B 33.15049 324

32B.8071 334.1562 340.0354 34 6.3862 353.0957

0 6.904354

13.61382 19.96463 25.84377

31 . 1929 35.99999

ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 3 , 7 , 8 .ARES, (X,Y,Z,FI.,TETA)

8.937429 8.562169

9.821612 8.095266 9.44B053 10.71495 7.52B665 8.969478

10.3363 11.58921 6.B6031B 8.37673

9.B37717 1 1 . 19515 12.41043

ó.096579

7.668537 9.20979 1

10.6656

1 1 .98784 13.14263 5.2532B9 6.S54244 B.453341 9.992349 11.41516 12.67748 13.75329

7.602632 6.621290

6.621288 5.508996 5.534152 5.503996 4.269511 4.311473

4.311473 4.269511 2.91786B

2.963463 2.979143

2.963463 2.917868

1.481732

1.513B6 1.530728 1.53072B

1.51396 1 .481732

-1 .95771BE--2.011909E--2.046498E--2.05B467E--2.046498E--2.011809E--1.957718E-

-16 -16 -16 -16 -16 -16 -16

63. 67. 67,

71 ,

?1 • 71 , 75. 75.

75. 75, 80. 79. 79. 79.

BO. 84

B4.

94 B4. 84.

84. 90 90 90 90 90 90 90

,43495 .0774 ,0774

,09146 ,00181 .09146 .45456 .30B41 .3084 1

,45456 , 116B6 .96083 ,90716 .96003

. 11696

.99972

.89101

.83393

.B3393

.89101

.99972

35, 33. 3B. 30,

3 5 , 41 .

27. ' 33.

3B. 44. 24,

30. 36 41 47.

21 .

26.

32. 39.

45.

50. IB 23. 29. 36 42, 48. 54

,99999

. 15049

.8495

,22219 .99999

.777B1

.22764

.0554 1

.94459

.77235 , 18141

.02718

. 972B3

.81859

.09973

.92924

.95376

.04623

.07077

.90028

.77781

. B1B59

. 1B141

.2222

PLANTA. CÚPULA DESMONTABLE PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA.

O í 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j i i i i I i I I 1 I m.

ALZADO. CÚPULA DESMONTABLE PARA PROYECCIONES DE CINERAMA.

° 1 E 3 4 5 6 7 B 9 1 P I i i I I 1 I I I 1 I m.

- & - - " "*""•• - * 4 - ' ^ > S B ( .

143

i

3 , 3 - MUSEO DALrÉN'FIGUERAS (GERONA)

Corresponde a la cubrición del escenario del teatro municipal.

Como se puede ver en los planos la planta tropezoidad recubre

con un casquete procedente de una esfera de R= 17 m.

For el centro de gravedad del trapecio y con el mismo eje a la cla

ve, se levanta en el casquete una cúpula de 14 m. de diámetro y

10 de altura. Pone un volumen regular transparente encima de

una planta irregular. Esta planta irregular aunque no es de

luces muy grande^ fué acertado cubrirla con una superficie curva

de apoyo continuo en los muros, en lugar de plana. El efecto

espacial queda a medio camio entre el de una grandísima linterna

en un trozo de cúpula, y el de una cúpula pequeña de volumen muy

definido que es ayudada a bajar hasta los bordes de apoyo por

otras superficies curvas.

El casquete deja ver al interior su reticulado. Apoya sobre él

una cubrición de rasilla, hormigón e impermeabilizante. La

cúpula de tres cuartos de esfera está cubierta con metacrilato

transparente (opal en los pentágonos que marcan los vértices del

icosaedro), apoyado en perfiles en te (-A-) que acumulan agua,

simplemente sellados con silicona.

144

C: U F* U U . &i F» í^ F 2 C-í» EE U. M U S E O O ¿* L - J EE M í - XC3LJEZFÍA3 CZ arví R A D I O r > ^ -y M E T R O S

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYGS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 1 , 8 , 3 EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,Z„FI,TETA)

1 5 3 4 5 6 7

e 9 10

l 1 12 13 1 ** 15 16 17

IB 19 80 SI

22 83 84 25

26 27 28 29 30 31 32

3 3 34 35

36 37

3B 39 ¿•0 41 42 U3 44 45 46 47

48 Í.9

50 51 52 53 54

55 56 57 58 59 60

0

.4411429

.4411429

.9175912

.9217813

.9175913 1 .422279

1 .436259

1.436258 1 .422279 1.944028

1.9744 05 1-984B52 1 .974405 1 .944028 2.468007 2.52152

2.5496 16 2.549616 2.52152 2.468007

5.977579 3.05954 3.112295

3.130496 3. 1 12295 3.05954

2.977S79 3.45521

3.569463 3.658845 3.695856 3.695856 3.652245 3.5694 63 3.45521

3.888056 4.034433 4.149736 4.223835 4.249435 4.223835 4. 149726 4.034433

' 3.888056

4.866838 4,442412

4.5B9309 4.695743 4.751814 4.7518 1 4 4.695743 4.589309 4.442412

4.266838 4.587957 4.787526 4.96213 5.099232 5.187157

0 -.320509 .320509

-.666669 0 .666669

-1.033346 -.3478341 .3478341

1 .033346 -1.4124 19

-.7172446 0

.7178446 1.418419

-i.793112

-1 .099195 -.3704809 .3704809 1.099195 1.793112

-2.163119 -1 .481924 -.753733

0 .753738 1.481924

8.163119 -2.510356 -1 .852404

-1.137819 -.3B35994 .3835994 1 .i 37219 1.852404

2.51Ü356 -2.82f-.83B -2.19839 -1.507476 -.7671987 0 .7671987 1 .507^76 8. 19839

2.B84S38 -3.100039 -8.510356 -1.852404 -1.137819 -.3835994 .3835994 1 . 137219 1 .B52404 2.510356 3.100039

-3.333345 -2.788673 -2.163119 -1 .4B1923 -.7537378

7 6.97873 6.97873 6.9O7501 6.939044 6.907501 6.775642

6.848235

6.842235 • 6.775642

6.574636 6.677371

6.718708 6.677371 6.574636 6.300293 6.436902

6.508625 6.508625 6.436902 6.300293

5.954556 6.119078 6.824588 6.26099

6.224588 6.119078

5.954556 5.546138

5.729532 5.868409 5.938412

5.9324 12 5.862409 5.729532

5.546138 5.089531 5.28114 5.438061 5.589071

5.568598 5.529071 5.432061 5.2B114

5.089531 4.608592

4.79 1982 4.950439 5.065848 5. 185731 5. 125731 5.065248 4.950439 4.791982

4.602598 4.103593 4.282093 4.438264 4.560892 4.639534

0

4.467723 4.467723 9.324783 7.56683 9.324723 14.54544

12.18745 18.18745 14.54544

20.07675 17.46317 16.47888 17.46317 20.07675

25.83643 23.13B54 81 .59579

81.59579 23.13854 25.83643

31.71747 89.05499

27.28375 86.56506 27.22375 29.054 99

31 .71747 37.59852 3 5 . 0 6 4 6 3

33.1243 32.06058 38.06058 33.1243 35.06463

37.59858 43.3588 41.02279

39.10343 37.8869

37.37737 37.8869 39.10343 41.02879 43.3588

48.88958 46.7983 44.998 43.64693 48.98488 42.92488 43.64693 44.992 46.7983

48.88958 5 4 . 11085 52.28548 50.65136 49.34099 43.48696

0 324 35.99999 324 0 35.99999

384

346.3868 13.61382 35.99999 324 340.0354

0 19.96463 35.99999 324

336.4464 351.7383 8.267698 23.55361 35.99999 324

334.1568 346.3862 0

13.61388 25.B4377 35.99999 324

338.5786 348.7047 354.0744

5.985613 17.8953 87.42746 35.99999 324 331.4137 340.0354

349.7053 0 10.29472 .19.96463 ' 28.5B687 35.99999 324

330.S297 338.0193 346.3868 355.3847 4.615304 13.61382 21 ,98071

29.47029 35.99999 324 329.8334 336.4464

343.7958 351.7383

http://-2.82f-.83B

61 62 63 64

65 66 67 6B 69

70 71 72

73 74

75 76 77

7a 79

80 81

as 83 BÍ»

85 86 B 7 58 89 90 91

5.817492 5. 187157

5.099232 '1.96513

A.787586 -4.587957

4.B52578 5.069797 5.266379 5.439614 5.547344 5.609156

5.609156 5.547344

5.489614 5.86Ó279 5.069797 4. 852578 5.065848 5.293714 5.505547 5.ÓB9117 5.8320B3

5.983216 5.954556 5.923816 5.3320B3 5.689117 5.50554 7

5.293714 5.0658'tS

0 .7537378

1 .431983 8. 1631 19

E.7S2673

3.333345 -3.525599 -3.013709 -8.434B39 -1 .793111 -1 .099195 -.3704808 .370480B

1.099195 1.793111

2.434839 3.013709 3.585599

-3.6B0117 -3.205089 -2.666676

-8.066698 -1 .418419 -.7172445

0 .7172445 1 .412419 2.066692 2.666676 3.8050S9 3.680117

4.666667 4,639534 4.560B92 4.438864

4.8B3093 4.103593 3.608699

3.770842 3.916359 4.037B26 4. 185378 4.171345

4.171345 4.18537B

4.037886 3.916359 3.770348 3.608699 3. 130495 3.871695 3.402615 3.516067

3.604425 3.660748 3.680117 3.660748 3.604425 3.516067 3.402615 3.271695 3.130495

4B.18969

48.48696 49.34099

50.65136 58.29548

5 4 . 11085 58.96723 57.41121 55.98017

54.77196 53.88984 53.48273

53.42573 53.88984

54.77196 55.98017 57.41121 58.96723

63.43495 6 2 . 13533

60.91683 59.84803 59.00804

58.46S72 58.2B254 58.46872 59.00E104 59.84803

60.91623 62.13533 63.43495

0 8.267698 16.20476 23.55361 30.16661

35.99999 3¡24 329.2709 33S.186B 341.7244 348.7922 356.5211

3.778B58 11 .80786

18.87563 84.81383 30.7291 35.99999 324

328.8071 334.1562 340.0354 346.3868 3S3.0957 O 6.904 354

13.61382 19.96463 25.84 377 31.1989

35.99999

TRIANGULO 1

LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO

1 -

8 -3 -

3 -2 -5 -

3 -5 -6 -

5 -

8 -9 -

5 -6 -9 -

6 -9 -10

B -9 -

13

9 -13 14

9 -10 14

2 3 1

a 5 3

5 6 3

8 9 5.

6 9

5

9 10

- a

9 13

- a

13

- 14 - 9

10 - 14 - 9

.5456978

.6410181

.5456972

.6410181

.5790633

.5790633

.5790633 -667427B .5932143

•62B5875 .6956683 .6885275

.6674278 -612315B .62B5875

.6123158

.6888B1

.6376123

.6956683

.6683616

.6623616

.6623616

.7181902

.673236

.688881

.643755 ,673236

54.03163 71 .93674 54.03163

67.21432 56.39884 56.39884

54.30281 69.39678 56.30044

56.39865 67.2087 56.39865

65.06388 56.39465 58.64149

54.81655 66.85448 53.33897

63.35565 58.32818 58.32218

56.74229 ¿5.05246 58.20526

63.03025 56.39407 60.57569

10 - 14 14 - 15 15 - 10

13 * IB 18 - 19 19 - 13

13 - 14 14 - 19 19 - 13

14 - 19 19 - 50 20 - i 4

14 - 15 15 - 20 20 - ti»

15 - ao 30 - 21 31 - 15

ia - 19 1 9 - 2 5 35 - IB

19 - 25 25 - 26 26 - 19

1 9 - 2 0 20 - 26 26 - 19

20 - 26 26 - 27 27 - 20

2 0 - 2 1 21 - 27 27 - 20

2 1 - 2 7 27 - ae 2B - £l

25 - 32 32 - 33 33 - 25

25 - 26 26 - 33 33 - 25

26 - 33 33 - 3'* 34 - 26

26 - 27 27 - 34 24 - 26

27 - 34 34 - 35 35 - 27

27 - 2B 28 - 35 35 - 27

.643755

.7033807

.6755153

.7055933

.740961B

.7055933

.71B1902

.692522S

.7055933

.692522B

.7327739

.709257**

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.6712505

.7092574

.6712505

.7092574

.7033B08

.74096 IB

.7321201

.7321201

.7321201

.754B359

.7376785

.7327739

.7165415

.73767B5

.7165415

.7376785

.732774

.7092574

.6925228

.732774

.6925228

.7055933

.71 SI 903

.7531191 ,767198a .75B1191

.7548359

.7502756

.7581191

.7502756

.75B119

.754836

.7376785

.73212

.754336

.73212

.73212

.7409618

.7055933

.7055934

.7409618

55.61732 64.38555 59.99713

58.32752 63.34497 58.32752

61.81074 58.19992 59.98935

57.37447 63.01984 59.6057

61.1BBB 56.73967 62.07154

56.73967 62.07153 61.1888

60.80062 59.59969 59.59969

58.73712 61.8017 59.46118

60.4952B 58.32451 61. 18022

5B.32451 61 . 1S02 60.49529

59.6057 57.374 47 63.019B4'

58.1999S 59.9B935 61 .81075

59.60302 60.79397 59.60302

60.05334 59.45736 60.4BBB

59.45787 60.4BB79 60-05335

59.46117 5B.73712 61-80171

59.59969 59.59969 60.80063

58.32751 58.32753 63.34496

32 33 -41

33 41 42

33 34 42

FUN t.N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 ia 13 14 15 16 17 IB 19 30 21 23 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 aa 39 40 "ti 42 43 44 45 46 47 43 49 SO 51 52 53

33 A 1 32

.76719B8

.768357

.763357

59.90031 60.04986 60.04986

41 4 2 33

.768357

.7683568

.7671988

60.04986 60.04984 59.90032

34 42 33

.758119

.758119

.7671988

59.60301 59.60301 60.79398

rilS DEL IC0SAEDRL1 ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS L'.ARI ESlANñS Y P0LñF)E5 , < X , Y , Z , F I , TETA >

26099 43925 43925 5886 17 618702 588617 696381 76219b 762195 6963B1 749923 855403 891675 855403 74992B 738879 88499B

6.961715 6.961715 6.084998 6.730B79 6.657396 6 . 84 1 338 6.959302 7

6.959302 6.84 1338 6.657396 6.505833 6.720961 6.876B32 6.95894 7 6.95B947 6.876832 6.720961 6.505333 6.293 005

527B4 8 71439S 334 309 875729 B34309 714398

6.527B4B 6.291005

024072 278786 48O808 630495 709669 709669

6.630495 6.430208

O -.320509 .320509

-.666669 O .666669

-1 .033346 -.347334 1 .347B341

1 .033346 -1 .4124 19 -.7172446

O .7172446 1 .412419

-1.793111

-1 .099195 -.3704808 .3704808 1 .099195 1 .793111

-2.163119 -1.481923 -.753738 O .753733 1 .481923 2. 163119

-2.510356 -1 .B52404 -1 . 137219

-.3B35994 .3835994 1 . 137219 1.852404

2.510356 -2.324837 -2.19B39 -1.507476 -.7671988 O .7671988 1.5074 76 2. 19B39 2.824337

-3.100039 -2.510356 -1 .852404 - 1 . 137219 -.3335994 .3335994 1.137219 1.352404

•3. 130495 •2.7264 12 •2.72Ó412 •2.26841 •2.27876B •2.26841 •1.758034

1.775312 •1 .775312 •1 .75B034

•1 .201475 1 .220249 1.226706

1.22024 9 •1 .201475 -.6101247

-.623354 -.6302998 •.6302998 -.623354 -.6101247

9.7B859E-17 1.005905E-16 1 .023249E-16 1 .029233b"-16 1-023249E-16 1.005905E-16 9.788592-17 .6101247

.6302997

.6449175 -65261B4 -65261B4 .6449175 .6302997

.6101847 1 .201475 1 .246708

1 .282336 1 .305237 1 .313147 1 .305837

1.2B2336 1 .24670B 1.201475 1.753034 1 .S30374 1.890899 1.934752 1.957855 1.957855 1 .934758 1.890899

116.5651 1 12.9226 112.9226 •108.9086

108.9982 10B.9086 104.5454

104.6916 104.6916 104.5454

99.38315 100.0392 100.0928 100-0392

99.8B315 95.00023 95.10899 95.16607 95.16607 95.10399 95.00028

10 90

90 90 90 9 O 90 -84.99972 34 .B3393

84.71378 34.65048 84.65048 84.71378

84.83393 84.99972 80.11686 79.740B3 79.4 4434

79.8536 79.1B768 79.2536 79.444 34

79.74083

BO.116B6 75.4 54 56 74 .¡"54 199 74.3281 73.95495 73.75809 73.75809 73.95495 74.3281

2 , 3

357.!505 2.B49504 354.2222 O 5.777807 351.2277 357.0554 2.9445BS B.772353 343.1B14 354.0272 O

5.972324 I 1.81859 345.0997 350.9292 356.9538 3.04 683 9.070762 14.90027 342

34 7.7778 353.B186 O

6.131413 12.22219 18 338.9003 344.591 350.61 356.B449 3. 155133 9.389998 15.40906 21 .09973 335.81B6 34 1 .388 347.3461 353.595 O

.6.405036' 12.65387 1B.61203 24.18141 332.7724 338.I 888 344.0471 350.2677 356.7279 3.272103 9.7323 15.952B8

b4 ; is 56 57

ba 5'?

60

61

6a 63 64 65 66 6 7

68 69

70 71 7 2 73

74 75

76 77 79 79

80 01

aa 83 Bit 85 86 B7

89 89

90 91

ó. 272786 6.024872

5.''r.'2162 5.9710f>8 6. 188836

b . 359832 6.4 694 93

6.507327 6.469493

6.359832 6. 188836 5.97106B 5.722162 5.397B55 5.639489 5.B5805 6.039739 6. 170699

6.239455 6.239455

6. 170699 6.039739 5.85805 5.639489 5.397855 5.065243 5.293714 5.505547-5.689117

5.832083

5.933216 • 5.954556 5,923216 5.H32083 5.6B9117

5.505547 5.293714

5.065248

3.510356 3. 100039

-•3.333345

-2.7Í'(2673 -2.163119 -1 .4ÍÍ1923

-.75373B

0

.753738

1 .'«81933 a. 1631 19 2.7B2673 3.333345

-3.525599 -3.013709 -2.434B39 -1.793111

-1.099195 -.3704B0B .3704803 1 .099195 !.793111 2.434839 3.013709

3.525599 -3.680117 -3.2050B9 -2.666676 -2-066692 -1 .412419

-.7172445 " 0

.7172445 l .412419 2.06669E

5.666676 3.205089

3.6B0117

1.830374

1 . 75B034

£.2684 1 2.367083 2.4534 12 2.521199

2.564671 '

a.57967 2.564671

2.531199

3.453412 2.3670B3 2.2684 1

2.726413 2.848461 2.95B854 3.05O624 3. 11677 3.151499 3. 151499 3.11677 3.050624

2.958854 2.84B461 2.726413 3.1304 95 3.271695 3.402615 3.516067

3.604425 3.66074B 3.680117 3.660748

3.604425 3.516067

3.402615 3.S71695

3.130495

7 Í" B Í.199

^•¡:'ó456

^ - l . " M 4 6 7 ° ^ 3 5 3 2 6 ^ - V 8 2 S B 6 0 ' -3B929 6 8 • ¿0737

68.37538 6B.50737 68.88929

69.482B8 70.23552 71.09146 67.0774

65.9BB31 64.99526 6 4 . 16358' 63.5604B 63.2425B

63.24258 63.5604B 6 4 . 16358 64.99526 65.98B31 67.0774

63.43495 62.13533 60.91623

59.84803 59.00804 58.46872 58.28254 5B.46B72

59.00B04 59.84B03

60.91623 62.13533

63.43495

ai -Bl 1-19 27.82764

329.777B 335.0133

340.7345 346.BB34

353.3546

0

6.645371 13.11661

19.26551 24.93674 30.22219

3a6.B495 331.BBOa

337.4303 343.4646 349.899B 356.6019

3.398068 lO.10023 16.53539 22.56972 ai3. 1 1978 33.15049 324

328.8071 334.1562 340.0354

346.3862 353.0957 0 6.9043S4

13.61382

19.96463 25.84377

31 . 1929 35.99999

PUNTOS DtL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 3 , 7 , B EN CARTESIANAS Y POLARES, CX,Y,2 , FI,TETA)

1 2

3 4

5 6 7 8 9 ÍO l l

i a 13 14 15 16 17 IB 19

ao ai 2a 53 24

85

a6 2 7 28

5.065248 5.397855 5.021074

5.72216B 5.35464 3

4.938445 6.024872

5.675183 5.266279 4.8101 6.291005 5.967724

5.575483 5.124552 4.630600 6.505B33 6.216172 5.849909 5.4 1438a 4.92399 4.397904

6.657396 6.4058ia 6.07323 5.663119 5.167157

4.663706 4.114497

3.690117 3.525599 4.044194

3.333345 3.890375 4.412039 3.100039 3.693314 4.256122 4.77202B 2.824837 3.449242

4.050825 4.609768 5. 1 10179 a.510356 3. 157633 3.792267

4.391718 4.936168 5.411672 2. 163119

2.B22336 3.4B0788

4. 1 14496 4.700362 5.220139

5.663119

3.130495 2.7264 13

2.726413 2.2684 1

2.a7876B a.26841 1-758034 1.775312 1.775312 1.75B034

1.201475 1 .22025 1 .226706 1 .220249

1 .201475 .6101247 .623354 .6302998 .6302998 .623354

.6101247 -9.7B839E--1 .005905E -1.023a49E -1 .0a9233E -1.0B3249E ~1.005905E -9.78B59E-

17 -16 -16 -16 -16 -16 17

63.43495 67.0774 67.0774

71 .09Í46 71 .00181

71.09146 75.45456 75.30B41 75.3084 1 75.45457 BO.11686

79.960B3

79.90716 79.960B3 80.11685 B4.99972 84.B9 101 84.83393 84.83393 84.69101 84 .99972 90 90 90

90 90

90 90

35.99999 33.15049

38.8495 30.22219

35.99999 4 1.77781 27.22764 33.05541 38.94459 44.77235 24 . 18141

30.02Í18 36 4 1 .97283 47.B1859 21.09973

26.92924 32.95376 39.04623 4 5.O7077 50.9002B 18 23.77781 29.81B59 36 42.16141 4B.2222 54

30 31 32 33 34 35 36 37 3B 39 40 41 42 43 ¿tí.

«•5 46 47

' 48 49 50 51 53 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 "64 65 66 67 6B 69 70 71 7S 73 74 75 76 77 73 79 80 SI 82 S3 84 85 86 37

aa S9 90 91

150

.738879

.526188 231915 855381 4 04 4 32 895034 348556 7B7779 749928

6.57332H 6.318134 5.980019 5.56253.= 5.078123 4.545989 3.98B959 3.429132

696331 55034 1 331415 038624 653711

5.303768 4.695743

153788 59954

.053066

.588617

.466309

.373322

.016265

.676966

.264538

.790894

.274 159

.735434

. 195081

.670034

.43985

.333856

. 170425

.940216 638391 .2655RB S3O062 346109 8332B7 3O8099 791029 29466. 26099 16661 031514 817364

5.548454 5.313568

317336 370396 883055 38782 886648 398799

4. 3, 3, 6. 6. 6. 6. 5. 5. 4. 4. 3. 3. 2 . 6. 6. 6. 5. 5

5 4 4 3 3 2 2 6 6 6 5

1 .934752

.79311 1

.451855

.128071

.780028

.4 00705

.96213

.449109

.354953

.412419

.058438

.72705

.39642B

.04 1452 4.637783 5. 16619S 0.615507 .983102 .033346 .65613 .310344 .977278 .633506 .254 184

4.817337 5.307598 5.717972 6.049315 .666669 1.258476 1.887706 2.539314 3.192886 .824911 .41246 .937117 .3B7707 .760936

6.060135 .320509 .876666 1.47344 9 2.099412 3.73777B 3.367734 3.967185 4.516313 5.000728 5.413101 5.752951 6.025049 O

.5185946 1 .078693 1.67199 2.285342 2.901316 3.5 4.061843 4.570683 5.015969 5.393466 5.704 54 5.954556

.6101247

.6303998

.6449176

.6526184

.6536183

.6449175

.6302998

.6101246 .201475 .246708 .282336 .305237 .313147 .305237 .282336 .246703 .201475 .758034 .330374 .890899 .934752

-1.957855 -1.957355

-1 -1

-1 -1

.934752

.890899

.330374

.758034 -3.2634 1 -2.367083 -2.453412 -2.521199 -2.564673 -3.57967 -3.564672 -2.521199 -2.453412 -2.367083 -2.26841 -2.726412 -2.S4B461 -2.958854 -3.050624 -3.11677

.151499

.151499

. 1 1677 .050634

-3.95BB54 -S.84S461 -2.726413 - 3 . 130495 -3.271695 -3.402615 -3.516067 -3.604426 -3.660749 -3.680117 -3.660749 -3.604425 -3.516067 -3.403615 -3.271695 -3.130495

-3. - 3 . - 3 . - 3 .

95.00023 95.16607 95.28633 95.34952 95.34952 95.28622 95.16607 95.00058 99.38315 100.2592 100.5557 100.7464 100.8123 100.7464 100.5557 100.5592 99.8B314 104.5454 105. 158 105.6719 106.0451 106.2419 106.2419 106.0451 105.6719 K'S. 158 104.5454 108.9086 109.7645 110.5171 111.1107 U 1 . 4 9 2 6 1 1 1 .6246 1 1 1.4926 111.1107 110.5171 109.7645 IOS.9086 112.9226 114.0117 115.0048 115.8364 116.4395 116.7574 116.7574 116.4395 115.B364 115.0043 114.0117 112.9226 116.5651 117.8647 119.0838 120. 152 120.992

5313 7175 5313

121 121 121

120.992 120.152 1 19.083B 1 17.R647 1 16.5651

14.90037 20.59094 26.61 32.844 37 39.15514

45.39001

51.40906 57.09973

11.81859 17.38797 23.34612 29.59496 36

42.40504

4B.65338 54.61204 60.1B142 8.772353 14. 1BB81 20.04711

26.2677 32.7279 39.2721 45.73231 51 .95339 57.3112 63.22765 5.777307 11 .01325 16.73448 22.88339 39.35463 36 42.64538 49.11663 55.26552 60.98675 • 66.2222 2.349504 7.880316 13.43028 19.46461 25.39977 32.60193 39.39B07 46.10024 52.53541 58.56973 64.1198 69.15051 O 4.B07103 10.15623 16.03537 22.33618 29.09565 36 42.90436 49.61383 55.96464 ' 61.B4 37B 67.1929 72

PLANTA DEL RETICULADO INTERIOR, CUBIERTO.

CÚPULA MUSEO DALÍ EN RGUERAS O 1 l i i . . n i . . t

2 3 4 I i I , I m.

ALZADO DEL MURO POSTERIOR CÚPULA PARA EL MUSEO DAL! EN FIGUERAS.

O 1 2 l i i i i l u í i l i [_

CÚPULA MUSEO DALÍ EN FIGUE'RAS

CUBIERTA. CAPA EXTERIOR DE RETICULADO PARA LIMPIEZA Y MANTENIMIENTO.

LU.JJU.JJ.jJL.

http://LU.JJU.JJ.jJL

[ R O 2 4 O C T U I I E

1 N O V I E M B R E

3,¿f - MUSEO PALEOCRISTIANO EN TARRAGONA

156

M L J S E O P A L E O C R X S T X A N O OEZ T V - ^ F i F Í ^ t ^ O N f t G O M R « O X O D E X '>* M E T R O S

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 1 , 2 , 3 EN CARTESIANAS Y P0LARE5,(X,Y,2,FI,TETA)

1

2

3 4 5 6

7 B 9 10

1 1 1? 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22

23 24 25 26 27 28 ¿9

30

31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43 4 4

45 46 47 4 S

49 50

51 52

53 54 55 56 57 58 59

-Id. 46 i06 -13.85388 -13.853(38 -13.0984 2 -13.15B23 -13.09S42 -12.18164

-1 2. 30136 -12.30136 - 1 2 . IB I 64

-11.10023 -1 1 .27368 -1 1 .33333 -1 I .2736B - 1 1 . 10023 -9.E364473 -10-07836 -10.19066 -10.19066 -10.07R36

-9.864473

-B.5 -8.734852

-8.885466 -8.937429

-8.B85466 -8.734852 -9.5 -7.046052 -7.279044

-7.447858 -7.536791 -7.53679 1 -7.447858 -7.279044

-7.046O58 -5.550 115 -5.759065 -5.933644 -6.029433 -6.065975 -6.029433 -5.923644

-5.759065 -5.550115 -4.060546 -4.227631 -4 .367456 -4.468714

-4.522075

-4.522075 -4.468714

-4.367426 -4.227631 -4.060546 -S.619633 -S.733636 -S.B33333 -3.911618

0

-.7783791

.7733791 -1 .619054 -3.0306E-17

i .619054 -2.509555 -.8447401

.8447401 2.509555

-3.43016 -1 .74 188 -6.525727E-17 1 .74 189

3.43016 -4.3547 -2.669474

-.8997393 .3997393

2.669474

4.3547 -5.253589

-3.598957 -1 .830507 -6.B61555E-17 1 .830507

3.598957 5.253289

-6.09658

-4.498697

-2.761818 -.9315987 .9315987

"2.761818 4.498697 6.09658

-6.86035 -5.333948 -3.661014 -1.863197

6.9B5571E-17 1.B63197 3.661014

5.33B94S 6.86032

-7.528667 -6.09658 -4.493697

-2.761818 -.93159BB .9315988 2.761818 4.498697

6.09658 7.528667

-B.095268 -6.757921 -5.253289 -3.598958

8.937429 9.B31614 9.821614 10.71495 10.7638B

10.71495 11 .58921 11.70312

11.70312 11 .58921 12.41044 12.604 36 12.67105 1S.60436 12.41044

13. 14263 13.4376 13.57732 13.57723 13.4276

13.14363 13.75329 14. 13329 14.37699

14.46106 14.37699 14. 13329 13.75329 14.31917

14.63936

15.03003 15.2095

15.2095 15.03003 14.68936 14.21917 14.53039

15.07743 15.5083 15.78526 15.88093 15.78526 15.5033 15.07743

14.53039 14.69119 15.39571 15.8015 16.16796 16.36102 16.36102 16.16796 15.8015 15.39571 14.69119 14.71747 15.35766 15.91776 16.35757

58.28253

54.70B13 54.70812 50.92339 50.71567

50.92839 47.02194

46.49496 46.49496 47.02194

43.11146 42.14636

41 .81032 42.14636 43.11146 39.36727 37.82767

36.99768 36.99769 37.82767

39.36737

36 33.76029

32.25245 31 .71748 32.25245 33.76029

36 33.23583

'30.22219

27.85664 26.53309

26.53309 27.85664

30.22219 33.23582 31 .27022 27.51281 24 . 18141 21.79091 30.90516 21.79091 2 4 . 1814 1

27.51381 31 .27022 30.2099 1

25.87506 2 1 .64304 18 15.75B91 15.75B91

18 31 .64304

35.87506 30.30991 30.03343 35.39245 20.55445 15.ROÍ 72

270

183.3158 176.7842 187.0464 180 172.9536 191 .6407 183.9284

176.0716 168.3593 197.172 188.7832 180 171.2168 162.B28 203.B192 194.8354

185.0456 174.9544

165.1646 156.1808

21 1 .7175

302.3928 191.6407

180 168.3593

157.6072 14B.3825 220.8679

211.7175

200.345B 187.0464

172.9536 159.6542 148.2825 139.1321 231.0266

• 222.8321 211.7175 197.172 180

162.82S. - 148.2825 137.1679 128.9735 24}.66 235.2609 225.8483 21 1 .7175 191.6407 168.3593

14B.2B25 134.1518 124.7391 118.34

252.0681 247.9763

: 341.66 231.OP66

60

¿1 62 63 64

65

66 67

68 69 70

71 72 73 74

75 76

7 7 78 79

B 0 £31 82 83 84 85 86 87 88

89 90 91

-2.961822 -2.979143 -E.'. 961822 -2.911618 -2.333333

-2.733636

-5-619683 -1 .259444

-1.315883 -1.366818 -1 .¿.0921

-1 .439766 -l .455B09

-1 .'.55809 -1 .4 39766 -1 .40921

- 1 . 3668 1 8 -1.315883 -1 .259444 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0

-1.B30507 6.861556E-17 1.830507

3.598958 5.253289 ó.757981

8.095268 -8.562169

-7.31901

-5.913191 -4.3547 -2.669474 -.B997393

.8997393 2.669474 4.3547 5.913181

7.31901 8.562169

-8.937429 -7.783791 -6.476214 -5.0191l1

- 3 . « 0 1 6 -i.74 isa -1 .95771SE-16 1 .74188 3.43016 5.019111

6.476214 7.733791 8.937429

16.63962

16.73693 16.6396S

' 16.35757 15.91776 15.35766

14.71747 14.63226

15.28727 15.87974

16.37225 16.72725 16.91364 16.91364

16.72725 16.37225 15.87974 15.28727 14.63226

14.46106 15.11333

15.7181 16.24218 16.65035 16.91052 17 16.91052 16.65035 16.24218 15.7181

15.11333 14.46106

11 .81857

10.09283 11.81857 15.80172 20.55445

£5.39245

30.03343 30.60235 25.94017 20.9164 1 15.61892

10.27722

5.777853 5.777B53 10.27722 15.61892

20.9 1641 25.94017

30.60235 31 .71748 27.24975.

22.39277 17.17204 11.64074

5.881082 0 5.881082 11.64074

17.17204 22.39277 27.24975

31.71748

211.7175 180

148.2BS5-128.9735 118.34

1 12.0237

107.9319

261.6322 259.80B2

256.9B4B 252.0681 E41.66 211.7175

148.2B25 118.34 107.9319 103.0152 100.1919 98.36785

90 90

90 90 90 90 90

90 90 90 90 90 90

PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 7 , 2 , 3 EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA)

1 2

. 3 4 5 6 7

8 9 10 1 1

12 13 14

15 16 17

18 19 20 21 22 23 24 25

26 27

28 29

30 31 32 33

14.46106 13.S5388 13.85388 13.09B42 13. 15B23 13.09342 12.1B164 1E.30136 1S.30136 12.18164 11.10023 11.2736B 11.33333 11.27368

11 . 10023 9.864473 10.07836 10.19066 10.19066 10.07836 9.864473 8.5 B.734B52 8.885466 B.937429 8.885466 8.734852

8.5 7.046052 7.279044 7.447853 7.53679 1 7.536791

0 -.7783791 .77B3791

-1.619054 -3.0306E-17 1 .619054

-2.509555 -.8447401 .9447401

2.509555 -3.43016 -1 .741SB -6.525727E-17 1.74183

3.43016 -4.3547 -2.669474 -.8997393 .8997393 2.669474 4.3547

-5.253289 -3.598957 -1.B30507 -6.861555E-17 1.830507 3.598957 5.253289

-6.0965B -4.498697 -2.761818 -.9315987 .9315987

B.937489 9.821614 '9.821614 10.71495 10.7638B 10.71495 11.58921

11.70318 1 1.70312 11.58921 12.41044 12.60436. 12.67105 12.60436 12.41044 13.14263 13.4276 13.57722 13.57722 13.4276 13.14263 13.75329 14.13329 14.37699 14.46106 14.37699 14.13329 13.75329 14.21917

14.68936 15.03003 15.2095 15.2095

58. 54.

54. 50. 50. 50. 47.

46. 46. 47. 43 42. 41 42. 4 3 39. 37 36 36 37. 39

36 33 32. 31 32. 33 36 33 30. 27.

26. 26.

.28253

.70812

.70812

.92839

.71567

.92839

.02194

.49496

.49496

.02194

. 1 1 146

. 14636

.B1032

. 14636

. 1 1 146

. 36727

.82767

. 9976B

.9976B

.82767

.36727

.76029

.25245

.71748

.25245

.76029

.23582

.22219

.85664

.53309

.53309

270 356.7842

3.215778 352.9536 360 7.046407 348.3593 356.0717 3.92836 11.64073 342.B28 351.2168 360 8.783232 17.17204

336.1B08 . 345.164 7 354.9544 5.045594 14.B3536 23.8192 328.2625 337.6073 348.3593 360 1 1 .64073 22.39277

31 .71748 319.1321 32B.2825 339.6542 352.9536 7.046407

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4S 49 50 51 52 53 54 55 56 57 53 59 60 61 65 63 64 65 66 67 63 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7B 79 80 81 B2 B3 84 85 86 87 88 89 90 91

7.447858 7.279044 7.046052 5.550115 5.759065 5.923644 6.089433 6.065975 6.029433 5.923644 5.759065 5.550115 4.060546 4.227631 4.367426 4.468714 4.522075 4.522075 4.468714 4.367426 4.227631 4.060546 2.619683 2.733636 2.833333" 2.911618 2.961832 2.979143 £.961833 S. 911618 2.B33333 £.733636 £.619683 1 .259444 1.315823 1 -366B18 1.40981 1.439766 1.455809 1.455809 i.439766 1.40921 1.366818 1.315823 1.259444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

' 0 0

2.761818 4.498697 6.09658

-6.86033 -5.338948 -3.661014 -1.863197 6.985571E-17 1 .863197 3.661014 5.338948 6.86032

-7.558667 -6.09658 -4.498697 -5.761818 -.9315988 .931598B 2.76181B 4.498697 6.09658 7.528667

-8.095268 -6.757921 -5.253289 " -3.593958 -1.830507 6.861556E-17 1.830507 3.59895B 5.253289 6.757921 8.095263

-8.S62169 -7.31901 -5.9131B1 -4.3547 -2.669474 -.9997393 .8997393 2.669474 4.3547 5.913181 7.31901 8.562169 -8.937429 -7.7B3791 -6.476214 -5.019111 -3.43016 -1.74188 -1.95771SE-16 1.74188 3.43016 5.01911l 6.476214 7.7B3791 8.937429

15.03003 14.68936 14.21917 14.53039 15.07743 15.5083 15.78536 15.88093 15.78536 15.5083 15.07743 14.5303? 14.6911? 15.29571 15.8015 16.16796 16.36102 16.36102-16.16796 15.8015 15.29571 14.69119 14.71747 15.35766 15.91776 16.35757 16.63962 5 6.73693 16.63962 16.35757 15.91776 15.35766 14.71747 14.63226 15.28737 15.87974 16.37225 16.72725 16.91364 16.91364 16.72735 16.37225 15.87974 15.2B727 14.63326 14.46106 15.11333 15.7181 16.24218 16.65035 16.91052 17 16.91052 16.65035 16.24218 15.7181 15.11333 14.46106

27.85664 30.22219 33.23582 31.27022 27.51281 24.1B141 21 .79091 30.90516 El .79091 24.18141 27.51281 31.27022 30.20991 55.87506 21.64304 18 15.75B91 15.75B91 18 21 .64304 25.87506 30.20991 30.03343 25.39245 20.55445 15.B0172 11.81857 10.09283 11 -81B57 15.B0173 20.55445 25.39345 30.03343 30.60335 25.94017 20.91641 15.61892 10.27722 5.777853 5.777853 10.27722 15.61892 20.91641 25.94017 30.60235 31.7174B 27.24975 22.39277 17.17204 11.64074 5.881082 0 5.881082 11 .64074 17.17204 22.39277 27.24975 31 .71748

30.34581 31 .71748 40.B6793 308.9735 317.1679 328.2825 342.B2B 6.59B176E-16 17.17204 31.71748 42.83209 51.03656 29B.34 304.7391 314.1517 328.2835 348.3593 1 1 .64073 31.71748 45.B4835 55.2609 61.66004 2B7.9319 292.023B 298.34 30B.9735 328.2825 1.319635E-15 31.71748 51.03656 61.66004 67.97626 72.06807 378.3679 2B0.191B 283.0152 287.9319 298.34 32B.3835 31.71748 61.66004 73.06807 76.9848 79.80815 81.63215 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 -90 90

TRIANGULO 7 2 3 LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS

BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO

85 - 72 72 - 73 73 - 35

1.713584 1 .799479 1.7135B4

58.32752 63.34497 58.32752

B5 - 86 B6 - 73 73 - 85

1.744177 1.681B41 1 .713584

61.81075 58.19993 59.98933

43 - 34 34 - 35 35 - 43

1.833173 1.778006 1 -79150F5

61 .80171 53.73712 59.Í.A1 ifl

B6 - Q7 87 - 74 74 - 86

B7 - 74 74 - 75 75 - B7

87 - 88 BB - 75 75 - 87

B8 - 75 75 - 76 76 - BB

BB - 89 89 - 76 76 - 89

75 - 73 73 - 61 61 - 78

73 - 61 61 - 62 62 - 73

73 - 74 74 - 62 62 - 73

74 - 6S 62 - 63 63 - 74

74 - 75 75 - 63 63 - 74

75 - 63 63 - 64 64 - 75

75 - 76 / 76 - 64

64 - 75

76 - 64 64 - 65 65 - 76

61 - 50 5 0 - 5 1 51 - 61

6 1 - 6 2 62 - 51'

' 5 1 - 6 1

62 - 51 5 1 - 5 2 52 - 62

62 - 63 63 - 52 52 - 62

63 - sa 52 - 53 53 ~-63 86 - 73 73 - 74 74 - B6

1.708211 1 .63018 1.7224B2

1 .63018 1 .722432 1.70821

1.640537 1 .563405 1.70821

1 .563405 1 .635002 1.672997

1.548487 1 .487053 1.672997

1.7994-79 1.77B006 1 .778006

1 .77B006 1 .833174 1.791505

1 .779594 1.740172 1.791505

1.740178 l". 791505 1.779594

1.7224B2 1.681841 1.779594

1 .681841 1 .713584 1.744176

1.635002 1.608592 1 .744-176

1 .608592 1.608592 1 .6B94B

1.841147 1.863198 1.841147

1.833174 1.822098 1.841147

1.B22098 1.841147 1.833173

1 .791505 1.778006 1 .B33173

1.77B006 1.778006 I .799479

1.681841 1.779594 1.722482

61.18881 56.73965 62.07154

56.73967 62.07155 61 .1BBB

59.99713 55.61732 64.38555

56.39406 60.57568 63.03026

5B.32B9B 54.81653 66.B545

60.80063 59.59969 59.59969

58.7371 61.80172 59.46118

60.49529 58.3245 61.18021

58.3245 61.19023 60.49528

59.6057 S7.37446 63.01984

58.19992 59.98936 61 .81074

5B.80526 56.74228 65.05246

58.32217 58.32218 63.35566

59.60301 60.79398 59.60301

60.05337 59.45785 60.48879

59.457S5 60.48879 60.05335

59.46119 58.7371 61 .80171

59.59969 59.5997 60.80062

57.37446 63.01984 59.6057

63 - 64 64 ~ 53 53 - 63

64 - 53 53 - 54 54 - 64

64 ~ 65 65 - 54 54 - 64

50 - 51 51 - 41 4 1 - 5 0

51 - 41 4 1 - 4 2 43 ~ 51

5 1 - 5 2 52 - 42 43 - 51

52 - 42 42 - 43 43 - 52

52 - 53 53 - 43 43 - 52

53 - 43 43 - 44 44 - 53-

53 - 44 44 - 54 54 - 53

54 - 44 44 - 45 45 - 54

41 - 35 32 - 33 3 3 - 4 1

41 - 42 42 - 33 3 3 - 4 1

42 - 33 33 - 34 34 - 42

42 - 43 43 - 34 34 - 45

43 - 34 34 - 35 35 - 43

43 - 44 44 - 35 35 - 43

44 - 35 35 - 36 36 - 44

1.713584 1..7135B4 1.799479

1.713554 1.681841 1.744176

1.608595 1.635002 1.744176

1.B6319B 1.86601 1.B6601

1.B6601 1.86601 1.863197

1.841147 1.041146 1.863197

1.B41146 1.B2209B 1.B33173

1.77S006 1.791505 1.833173

1.791505 1.740172 1.779594

1.779594 1.7SS482 1.681841

1.732482 1.63018 1.70B21

1.86601 1.863197 1.96601

1 .B6601 1 .863197 1 .B6Ó01

1.B63197 1 .B41147 1.841147

1.B2209B 1.B33173 1.841147

1.833173 1 .778006 I.791505

1.740172 1.779594 1.791505

1.779594 1.6B i 841 1.722482

SB.32753 5B.32751 63.34497

59.98935 58.19992 61 .B1074

56.74229 5B.20525 65.05246

59.90032 60.04985 60.04985

60.049B5 60.04985 59.90032

59.60303 59.60301 60.7939B

60.48879 59.45787 60.05334

58.73712 59.46118 61 .60171

61.1802 58.32453 60.49528

63.01984 59.6057 57.37446

62.07155 56.73967 61 . 1BB79

60.04985 59.90032 60.04985

60.04986 59.90032 60.04984

60.79397 59.60301 59.60301

59.457B7 60.05335 60.48879

61.80171 59.7371S 59.4611B

5B.32451 60.49528 61.1B021

63.019B4 57.37446 59.6057

44 - 45 45 - 36 36 - 44

32 ~ 33 33 - 23 25 - 32

33 - 25 25 - 26 26 - 33

33 - 34 34 - 26 26 - 33

34 - 26 26 - 27 27 - 34

34 - 35 35 - 27 27 - 34

35 - 27 27 - 28 29 - 35

35 - 36 36 - 28 28 - 35

162

1 .63018 1 .70B21 1 .722482

I .863197 1 .841146 1 .841146

1 .841146 1 .833173 1 .322098

1 .841147 1 .833173 1 .822098

1 .833173 1 .791505 1 .778006

1 .77B006 1 .799479 i.778006

1 .799479 1 .713584 1 .713584

1.681841 1 .744176 1.713584

56.73967 61 .18879 62.07155

60.79398 59.60301 59.60301

60.4BB79 60.05337 59.457B5

60.48879 60.05336 59.457B5

61 .80171 59.46118 58.7371

59.5997-60.80062 59.59969

63.34496 5B.38752 58.32752

5B.19992 61.81074 59.98935

11.85 11,85 11,62 11.82 11,81 11,31 11,84 11,80 11,80

CRIPTA

i CRIPTA i l

1

i

15,37

19,61

15,65

I I I f

11 I I l l

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Ü-JÜ EXCAVACIONES ARQUEOLÓGICAS n

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11,80 ,.1.1,80..

•JARDINES

MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA PLANTA GENERAL O 5 10 I i i t i i i r i i I

15 20

m.

UNIONES PERIMETRALES UF. 50.50

RESTO DE BARRAS UF. 40.40

UNION ATORNILLADA

UNION SOLDADA

MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA DESPIECE PLANTA DE UN MODULO 0 1 2 3 ' j " " i 1111 i | L _ J m. ,

12,18

.-/>*:« /.—-X- -X—..\ ^ - ; \ ^

LIMITE TEÓRICO

LIMITE REAL

v\:.v-L^i\ s \ / VI5.60/ - * > / . ' / . ' '

I ' f •* f

MUSEO PALEOCRISTIANO

VV>;K \ ;A—--v--—>c / >x ¿v DE TARRAGONA. PORCIÓN DE RETICULADO DE ESFERA QUE OCUPA CADA MODULO.

ALTURA DE LOS

SOPORTES VARIABLE,

SEGÚN PERFIL DEL

TERRENO.

MÍNIMO 2,60 m.

MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA

ALZADOS DEL MODULO BASE

0 1 2 3 I ' '•• • " " I i I i I m .

2,02

+• 1¿2 1,54 1,55 1,64 1,57 A57. +" 1,64 1,55 + 1,54 1,52 +

"f-1,40 + bfi—+ 1,51 •+ ^ f

1,51 1,51 1,47 1,40

MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA CERCHAS DE BORDES 0 1 2 3 1 " 1 1 1 n r i I i i i i m .

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18 cm.

UNION ATORNILLADA ENTRE PIRÁMIDES. MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA.

ÜF. 50 .50

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(!)

Revista "Hogar y Arquitectura" n° 101/1972

Revista "Arquitectura" n° 112/1968

(2) .

Ver Capítulo V: "Estructuras espaciales articuladas"

Estructuras I: A.G. de Arangoá

Publicaciones de la Delegación de alumnos de la ETSAM.

5-CALCULO DE LAS CÚPULAS TRIANGULADAS

Del proceso de cálculo que utilizó Emilio Pérez Pinero para éstas

cúpulas, solo quedan descripciones someras en los dos artículos

que escribió^y en la memoria de proyecto de cúpula para el Museo

Dalí en Figueras.

Básicamente el proceso consiste en lo siguiente >: halla la acción

exterior en cada nudo (peso propio, viento, etc.) incluida la hi-0.''

pótesis de las que serían las reacciones en los nudos de apoyo.De

alguna forma, hace una hipótesis de acciones en.las uniones atorn_i

liadas entre macropiezas.Empezanzo por los nudos inferiores (de las reacciones) reparte las fuerzas entre las barras que van al

}

rkido, y así sigue ascendiendo por todos los nudos diferentes hajs

tala clave, en que si la hipótesis es correcta tiene que haber

equilibrio, es decir, cumplirse que la suma de fuerzas sea nula.

La herramienta concreta de cálculo que utiliza es el mátodo grá

fico de suma de fuerzas, que como es espacial, proyecta en ver

tical y horizontal, en diédrico.Con este método de análisis no

se pueden tener mas de tres incógnitas en el equilibrio de cada

nudo ( solo sé dispone de tres ecuaciones:ZX.=0, ZY.=0, ZZ.=o). í i i

Siendo l a base de apoyo generalmente un plano h o r i z o n t a l , l a s

l í n e a de contorno es un c i r c u l o parale]©.Para un r e t i c u l a d o a pa r

t i r de l i c o s a e d r o , l o s nudos no quedan en e l c i r c u l o de c o r t e .

171

Materializando el paralelo lo que queda son nudos con cuatro ba

rras de muy diferente longitud.

No se sabe muy bien como empieza pero sí como acaba: en la prime

ra vuelta no hay equilibrio de fuerzas en la clave. Resuelve el

cálculo cómo un proceso iterativo hasta equilibrio, en el que el

primer tanteo le sirve para predimensionar. Esto se comprende pa_

ra el casó del peso propio pues con los tipos de cubrición que

usa, el peso de la estructura puede ser mas del 50% del peso to

tal permanente.

La normativa vigente en los años en que se desarrollaron estos

proyectos era la Norma MV-101:"Acciones en la edificación", en

la que para la sobrecarga de nieve, es obligatorio considerar co 2

mo mínimo 40 kg/m , y que la condición de desmontables de estas

estructuras no es suficiente argumento para no considerarla.De

la acción de viento hay unos planos de su mano en los que nos

muestra el tipo de hipótesis: analiza una zona de casquete com

prendida entre 80 de un ¡total de 360 , y 60 a partir del suelo,

de un total de 90.La acción es de l,2w -0.4w , donde w tiene el 2

valor máximo dado en la Norma MV 101: 150 kg/m .De este valor de

w toma el correspondiente a la componente en la dirección del ra_

dio ( proyecta la acción dos veces, primero en la dirección del

radio del paralelo y después en la de la esfera), no consideran

do las dos componentes que quedarían en el plano tangente en ca

da nudo.

172

De la combinación de acciones, coeficientes de seguridad, etc.

solo se puede saber a lo que obligaba la normativa en los años 60,

y que era a muy poco: el dato más fiable es la tensión de cálculo 2

del acer que se empleaba: 1200 kg/cm .

La respuesta en el diseño de secciones es la siguiente: en las

dos primeras, de los años 1965 a 67, emplea tubos redondos de a ce

ro. Estas dos cúpulas primeras son una semiesfera y dos casquetes

con un arco desde la clave de 30- .En las dos hay un muy alto po£

centaje de barras trabajando a.compresión y el consumo de material 2

es muy bajo: 6 kg/m.En las otras dos posteriores (1970-72) , emplea

secciones en T sobre las que coloca un cerramiento transparente,

y seccines en C para cubrir con placa ondulada de fibrocemento.

Pérez Pinero consideraba sus propios modelos de cálculo poco fia

bles. En sus escritos expresa que verifica la flabilidad del com

portamiento último de la estructura con ensayos de modelos a esca

la, e incluso monta la estructura completa en taller y ensaya su

comportamiento al menos con toda la carga gravitatoria.

El modelo de cálculo descrito básicamente es el que se usaba pa

ra el cálculo de todas las estructuras trianguladas de acero,

planas o espaciales: sumar vectores fuerza y equilibrar. Sin em

bargo en 1960 ya estaba a punto toda la teoría de cálculo de lá-

1) minas delgadas de hormigón, Félix Candela habla realizado casi

todas sus delgadas superficies empleando el modelo de membrana,y

1)

"Schalen und Rippenkuppeln"

Handbuck für Eisenbetonbau

Franz Dischinger

173

el continuo lo discretiza en barras para la cubierta del Pala

cio de los Deportes de Méjico, en 1968, en la que emplea parabo

loides en grupos de cuatro formando una retícula de 11 x 11 m.

sobre dos familias ortogonales de arcos reticulados. Florencio

del Pozo había publicado su "Cubiertas laminares cilindricas fo£

madas por una malla triangular de perfiles de acero" a través del

Instituto E. Torro ja» Tarobién en los años 60, partiendo de estos

estudios de del Pozo, José Calavera aplica la teoría de placas

de hormigón para las mallas de tetraedros. Constituyen las refe

rencias mas cercanas o a las que pudo tener acceso.

•0E VA A ANALIZAR de que magnitud son los esfuerzos a que están

sometidas las distintas cúpulas aplicando la teoría de la membra_

na y discretizando los valores continuos para la reticulación ob_

tenida, para los casos más desfavorables,excepto para las cúpu—

las del Museo Paleocristiano, en que por su tipo de apoyo (cer—

chas y soportes) y la poca cantidad de barras se realiza el aná

lisis mediante cálculo matricial.

174

Teatro desmontable para "Festivales de España"

— \ A ' —

f.üpula para proyección de cinerama

36 cf

175

PORCIÓN DE ESFERA ACUPADA EN CADA PROYECTO

C ú p u l a p a r a e l Museo D a l í en F i g u e r a s

R = 7 , - m-

r = 6 , 3 ni.

h = 1 0 , - m-

ct = 115° = í>

0 S 6 É 3 6 0

R = 1 7 , - m.

a- = 2 1 , 7 ° = <¡>

O S O S 3 6 0 '

/

! ^

Museo Pa l eoc r i s t i ano de Tarragona

R = 1T,9 ra.

/ :^.

\a - 51,3 o . 2 * 2// "•

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~h \ I

y /

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t \ \

-A"

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-V'

,6-ESTUDIO DE ACCIONES Y SOLICITACIONES

6.1-ACCIONES;

Las correspondientes al peso propio en cada una de las realizacig_

nes es la siguiente:

- Cúpula para proyección de cinerama y Teatro desmontable para Fes

tivales de España: Estas son las dos primeras realizadas con idén_

tico criterio. El dato que se usa está recogido de la memoria del

primero de ellos.

2 11.436 kg de tubo redondo/ 27rrh m = 11.436/1.869 =

2 = 6 kg/m

-Cúpula para el Museo Dalí en Figueras:Datos según memoria de pro

yecto : 2

Área media de exágonos = 1,663 m Peso de perfiles empleados = 20 kg

2 El peso propio será =11 kg/m

,. Cubriciones para el Museo Paleocristinao de Tarragona:A partir

de toma de datos en el sitio:

2 Área media de exágonos =73 a 8 m

Peso de perfiles empleados = 56 kg 2

El peso propio será = 8 kg/m

176

El peso de las cubriciones correspondientes es:

- "Cinerama" y Teatro: lona = 1.815 kg/2 rh = 1 kg/m 2

- Museo Dalí: metacrilato moldeado =3,5 kg/m 2

-Museo de Tarragona: placa ondulada de fibrocemento = 13,4 kg/m

De las sobrecargas, la única a considerar sería la de nieve.Nos

atenemos a la Norma MV 1962 en la que se da un valor mínimo de 2

40 kg/m . Para el valor de la acción de viento, tomamos el dado

en la misma norma; según condiciones de altura y exposición, el 2

valor de w =100 kg/m

17?

3-6 .2-SOLICITACIONES

Las acciones que se van a considerar son las evaluadas anterior

mente. Por tanto no se consideran acciones sísmicas (•?! mayor -

grado- sísmico es el VI) ni de gradiente de temperatura (la mayor

cúpula tiene un diámetro de 34 metros y se monta simplemente apo_

yada sobre el suelo) ., tampoco se tienen en cuenta el terreno o

posibles asientos diferenciales.

El procedimiento de cálculo consiste en hallar los esfuerzos cor.

mo si se tratase de membranas continuas y luego discretizar los

esfuerzos por barras. Este procedimiento da unas solicitaciones

muy próximas a las reales y se puede abordar sin tener un predi^

seño de secciones. No vamos a realizar otro cálculo posterior e-

xacto (salvo en un caso ) pUes este modelo nos da muy bien aco

tado el orden de magnitud y por otra parte se sabe muy bien como

trabajah estas estructuras reticulares de una sola capa' con apo_

yo a lo largo de un paralelo.

A partir de las ecuaciones de equilibrio de una membrana, por to

dos conocidas, particualrizando para las de revolución con doble

curvatura, tenemos:

Equilibrio según meridianos:

1 9 ,M ^ 1 9 N N ^

_ ( r) + _ _.^ = _ _¿ pr 3é T r 39 é r

178

Equilibrio según paralelos:

1 8 i 5 V N^6 — lT(N«er) + r ~3e~ = ~pe + ~T^os*

Equilibrio según el radio de curvatura:

N sen$ N + —*- = PP

r p p

Las componentes P,, P y p de acciones exteriores, para cada

casode los que vamos a analizar es la siguiente:

- peso propio P = Pcos^; P, = Psen<í> ; P = 0 p cp tí

~ nieve: P = Pcosé ; P, = Pcosctseni ; P. = 0 P q> y

- viento: P = wsenécosO ; P, = P„ = 0 por conside p Y $ 6 -

rar que las componentes de w en el plano tangente

de la membrana no dan solicitación,aunque esta for

ma de acción se discute si está cerca de la real. Las ecuaciones particularizadas para el caso de la esfera, con p = R constante» r=Rsentf> y apoyo en un círculo paralelo.

P R para peso propio N, = - 1+COSÍ

1 N^ = P R( - COS( 0 p 1+coscp

para la sobrecarga de nieve N, = -P R

n 2

p n R

N8 = - ——— cos2ií>

N,„ = 0

17-9

•> • s ja j , ,, ~ w R (2+cosé) (l~cosé)cosé para la acción de viento N, = * 3 Tcos

3 (1 + c o s 

N g = --wR senc | i cos9 - N

N = _ wR ( 2 i c o 5 A | ( l - c Q 5 ^ s e n e

<t>6 3 ( I+COS<[J) sentfi

r \ S >. i, \ <. J * i ^ "1

3-6 ' .3-ESFUERZOS EÑ LAS BARRAS

Considerando que las barras superior e inferior forman parte de

circuios paralelos, el paso de esfuerzos unitarios, dados para

una superficie continua, N^, N^ , N^g, a esfuerzos en barras vie_

ne dado por las siguientes expresiones, que se obtienen acumulan

do y equilibrando los esfuerzos unitarios en los nudos.

N = * a 2sen6

N ^ * b 2senS

N s N = * c 2tg6

N

2cosB

N *'

2cosB

6 tgS

El reticulado que se usa tiene los nudos be y ac con distinta

"latitud" (|) , por lo que si quisiéramos obtener los esfuerzos

180

con mas precisión en puntos críticos o mas desfavorables, se

pueden obtener las componentes del tensor

rección be ab

N, N

a partir de la de uno de ellos. La mayores dife

para la di

rencias están alrededor de los 2,5

181

"EATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA CÚPULA: ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 16.4 METROS PESO PROPIO: 7 KG/ME Y DE NIEVE: 40 KG/M2

ESFUERZOS EN MERIDIANOS,NFI Fí 0 5 10 15 EO 25 30 35 40 45 50 55 60 65

P.PROPIO -57.4 -57.50942 -57.83935 -58.39438 -59.18463 -60.22113 -61.52113 -63.10632 -65.00403 -67.24823 -69.88122 -72,95483 -76.53333 -80.69628

NIEVE -328 -328 -328 -323 -328 -328 -323 -328 -328

. -328 -328 -328 -32a -388

ESFUERZOS EN PARALELOS,NTETA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

-57.4 -56.85373 -55.. 21 657 -52.49341 -48.69209 -43.82301 -37.89859 -30.93233 -22.93786 -13.92756 -3.910793 7.108257

.19.13334 32.1797

-328 -323.0 3 69 -308.2192 -284.0563 -251.8626 -210.8343 -164 -1 12. 1826 -56.95654 5.343799E-05 56.95664

- 112.1827 164 210.3344

TOTAL -385.4 -385.5094 -385.8394 -386.3949 -337.1846 -388.2211 -389.5211 -391.1063 -393.004 -395.2483 -397.8812 -400.9548 -404.5333 -408.6963

-385.4 -379.8707 -363.4358 -336.5498 -299.9546 -254.6573 -801.8936 -143.1149 -79.8944

53.04585 1 19.2909 183.1334 243.0141

-13.92751

182

La combinación de fuerzas debidas a la carga permanente, más des_

favorable corresponde a la pirámide de la clave/ en que existen

esfuerzos de compresión en ios dos sentidos. La barra más soiic_i

tada es la 2-3, con 619 kg sin mayorar. Precisaría una sección 2

de unos o,9 cm por lo que el perfil empleado ( 0 40.2) cumple

muy sobradamente.

183

CÚPULA: ESFUERZOS EN PESO PROPIO:

DESMONTABLE PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA ESFERA DE RADIO: 17 ME1ROS 7 KG/M2 Y DE NIEVE: 40 KG/M£

ESFUERZOS Ei' FI 0 5 10 15 20 £5 30 35 40 ¿+5

50 55 60 65 70 75 SO 85

M MERIDIANOS,NF P.PROPIO -59.5 -59.61342 -59,95543 -60.53128 -61 .34992 -62.42434 -63.77191 -65. 4 151 -67.38823 -69.70859 '-75. ¿i3785 -75.62391 -79.33334 -83.64858 -88.67229 -94.53305 -101.3933 -109.46

"I NIEVE -340 -340 -340 -340 -3^0 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340' -340 -340

TOTAL -399. -399. -399. -400. -401 . -402. -403. -405. -407 . -409. -412. -415. -419. -423. -428. -434. -441 . -449.

5 6134 9555 5313 3499 4244 7719 4151 3822 7086 4379 6239 3334 6486 6723 5331 3933 46

184

C Ú P U L A : DESMONTABLE PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA ESFUERZOS EN ESFERA DE R A D I O : 17 METROS PESO P R O P I O : 7 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M 2

ESFUERZOS EN P A R A L E L O S , N T E T A 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

. 85 90

-59.5 -58.93375 -57.23669 -54.4139 -50.47351 -45.42629 -39.23512 -32.064 ' -23.77705 -14.43711 -4.053871 7.368315 19.83334 33.35701 47.97191 63.7336 80.72915

, 99.08844 119.0001

-340 -334.8346 -319.4955 -294.4487 -260.4551 -213.5478 -170 -116.2863 -59.04032 5.539304E-05 59.04042 116.2869 170 218.5478 260.4552 294.4487 319.4956 334.8347 340

-399.5 -393.7684 -376.7322 -348.8626 -310.9286 -263.9741 -209.2851 -148.3508 -82.81736

54.9S655 123.6552 189.8334 251.9048 308.4271 353.1823 400.2247 433.9231 459.0001

Los másliaos esfuerzos de compresión e s t án en l a b a r r a 2-3 como

en e l caso a n t e r i o r . En l o s nudos de l a base e x i s t e n unos esfuer

zos de t r a c c i ó n e n t r e 200 y 300 kg, y de compresión e n t r e 300 y

400 kg, en l a s b a r r a s mas h o r i z o n t a l e s y mas v e r t i c a l e s , r e spe£

t ivamente . Por lo t a n t o s i r v e e l p e r f i l 0 40.2 de A37 sobradamen

t e . El borde de apoyo, d i rec tamente sobre e l sue lo , e s t á mater ia

l i z a d o por un a n i l l o de tubo .

185

CÚPULA: MUSEO DALÍ EN FI GÜERAS ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS PESO PROPIO: 14.5 KG/M2 Y DE NIEVE: 40 KG/M2

ESFUERZOS EN MERIDIANOS,NFI FI P.PROPIO NIEVE TOTAL O -50.75 -140 -190.75 5 " -50.84674 -140 -190.8467 10 -51.13846 -140 -191.1385 15 -51.65962 -140 -191.6296 20 -52.32788 -140 -192.3279 25 -53.24429 ~140 -193.2443 30 -54.39369 -140 -194.3937 35 -55.79523 -140 -195.7952 40 -57.47308 -140 -197.4731 45 -59.45733 -140 -199.4573 50 -61.73523 -140 -201.7352 55 -64.50275 -140 -204.5028 60 -67.66666 -140 -207.6667 65 -71.34732 -140 -211.3473 70 -75.63226 -140 -215.6323 75 -80.63113 -140 -220-6311 80 -86.4B249 -L 40 -226.4825 85 -93.3629 -140 -233.3629 90 -101.5 -140 -241.5 95 -111.1909 -140 -251.191 100 -122.8291 -140 -262.B291 105 -136.9436 -140 -276.9436 110 -154.2601 -140 -294.2601 115 -175.7937 -140 -315.7937

186

CÚPULA: MUSEO DALÍ EN FTGUERAS ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS PESO PROPIO: 14.5 KG/M2 Y DE NIEVE: 40 KG/M2

SFUER20S EN PARALELOS,NTETA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 35 90 95 100 105 110 1 15

-50.75 -50.26702 -48.81953 -46.41186 .. -43.05094 -38.74595 -33.5079 -27.34871 -20.28042 -12.31401 -3.457713 6.28474 16.91667 28.45157 40.91722 54.36101 68.85722 84.51661 101 .5 120.0373 140.4544 163.2133 183.9751 218.6895

-140 -137.8731 -131.557 -121.2436 -107.2462 -89.99026 -70 -47.88281 -24.31072 2.28089E-05 24.31076 47.88285 70.00001 89.99026-107.2463 121.2436 131.557 137.8731 140 137.8731 131.557 121.2436 107.2462 89.99019

-190.75 -188.1401 -180.3765 -167.6554 -150.2971 -128.7362 -103.5079 -75.23152 -44.59114 -12.31398 20.85305 54.16759 86.91668 118.4418 148.1635 175.6046 200.4142 222.3897 241 .5 257.9104 272.0113 284.4573 296.2213 308.6797

18?

CÚPULA: FIGUERAS ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS PRESIÓN DE VIENTO 100 KG/M2

TETA

O 10 20 30 40 SO 60 7 0 ÍJO 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

NFI

NTO PARA E

I

-83.16 -81.90 -78.15 -72.02 -63.71 -53.46 -41.53 -28.44 -14.44

0.00 14.44 28.44 41.58 53.46 63.71 72.02 78.15 31.90 33.16

L ÁNGULO. FI =

NFITETA

0.00 -16.67 -32.84 -48.01 -61.72 -73.56 -83.16 -90.24 -94.57 -96.03 -94.5 7 -90.24 -83.16 -73.56 -61.72 -43.01 -32.84 -16.67

0.00

30 GRADOS

NTETA

-266.84 -262.78 -250.75 -231.09 -204.41 -171.52 -133.42 -91.2 6 -46.34

0.00 46.34 91.26

133.42 171.52 .204.41 231.09 250.75 262.78 266.84

rETrt

o 10 2 0 30 4G 5 0 60 70 80 r> t .• ÍJ

100 11 o 120 ¡ 3 0 140 ¡ '3 0 ir. o 1 /'O 130

ENTO PARA

FI

-112.25 -110.56 -105.49 -97.22 -86.00 72.16

-56.13 -38.40 -19.49

0.0 0 19 . •] '•)

3 8 . 4 0 56. 13 72.16 86.00 9 7.22

10 5.49 110.56 112.25

EL ÁNGULO FI=

NFITETA

0.00 -38.99 -76.79

-112.26 -144.32 -172.00 -194.44 -210.98 -221.11 -224.53 -221.11 -210.98 -194.44 -172.00 -144..32 -112.26 -76. 79 -38.99

0.00

60 GRADOS

NTETA

-493.96 -436.45 -464.17 •-427.70 -373.39 -317.51 -246.98 -168.94 -85.77

0.00 85.7/

16 8.94 2 4 6.93 317. 5L 378.39 4 2 7,73 464.17 4 86.45 4 93.96

TETA

O 10 20 30 40 50 6.0 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

NFI

TO PARA EL ÁNGULO FI= 90 GRADOS

"0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00

NFITETA

0.00 -81.04

-159.61 -233.33 -299.97 -357.49 -404.15 -438.52 -459.58 -466.67 -459.58 -438.52 -404.15 -357.49 -299.97 -233.33 -159.61 -81.04

0.00

NTETA

-700.00 -689.37 -657.78 -606.22 -536.23 -44S.95 -350.00 -239.41 -121.55

0.00 121.55 239.41 350.00 449.95 536.23 606,22 657.79 639.37 700.00

ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI= 115 GRADOS

TETA NFI NFITETA NTETA

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

422.87 416.45 397.37 366.22 323.94 271.82 211.44 .14 4.63 73.43 -0.00

-73.43 -144.63 -211.44 -271.82 -323.94 -366.22 -397.37 -416.45 -422.87

0.00 -173.75 -342.23 -500.30 -643.18 -766.51 -866.55 -940.26 -985.41

-1000.61 -985.41 -940.26 -866.55 -766.51 -643.18 -50.0.30 -342.23 -173.75

0.00

-1057.29 -1041.23 -993.53 -915.64 -809.93 -679.61 -528.65 -361.61 -183.60

0.00 183.60 361.61 528.65 679.61 809.93 915.64 993.53

1041.23 1057.29

Las barras son de pequeña longitud ( entre 0,5 y 0,7 m.) for

mando una tupida retícula que, con el modelo de cálculo de asi

milación, acumula fuerzas pequeñas en los nudos: el perfil em

pleado (T 30.35) es suficiente para soportar las solicitacio

nes mas desfavorables de la combinación de cargas permanente,

nieve y viento.

Por otra parte, aunque el diseño de la sección no es el óptimo

para conseguir un radio de giro grande, en la penalización por

pandeo queda compensado por la escasa longitud de l&£¿b.arras.

189

CÚPULA : MUSEO PALEO CRISTIANO DE TARRAGONA

ESFERA DE RADIO : 17 m.

PESO PROPIO : 55 kg/nudo; NIEVE: 110 kg/nudo; VIENTO: 140 kg/m

Para analizar las solicitaciones en las barras de esta cúpula se

ha empleado el modelo de cálculo matricial, en vez de la a^imila-

cbnLa membrana por la porción de esfera analizada y el tipo de

apoyos: en lugar de ser un casquete apoyado en un paralelo, los

nudos están apoyados en cerchas y estas en pilares.

Los movimientos que se han supuesto a los apoyos son-, desplaza

mientos en el sentido del cordón de la cercha e indesplazabili-

dad en las otras dos direcciones, vertical y normal al plano

de la cercha. Esta, aunque es una estructura plana, recibe es

fuerzos normales a su plano.

El apoyo de las barras se materializa probablemente con soldadura

en todo el contorno, sobre el perfil LD-cordon superior, en que

un ala recibe la barra y la otra oculta al exterior su cabeza:

se impide cualquier desplazamiento y se resisten las acciones

inclinadas que vienen de las barras, que como se ve en las

plantas-resumen que siguen, son muy pequeñas.

Las máximas solicitaciones se encuentran en las barras que con

fluyen cerca de los soportes. Solo funciona como membrana la

parte central con exágonos concéntricos comprimidos y algunas

radiales traccionadas.

190

Para la barra comprimida más larga, si el perfil empleado es

UF 40.40.2, soporta a compresión 1.280 kg, y si es un UF 40.

40.3, soporta a compresión 1.870 kg, por lo que resisten los

esfuerzos sobradamente.

191

COMPONENTES DE FUEHZA EN NU005

- f « —

e.oo

- — F y —

DESPLAZAMIENTOS DE LOS NuaOS

da

I 2 3 4 5 6 7 s s

10 n 12 13 (4 15 16 17 ISIS 20 21 22 23 24 25 26 27 25 29 3fl 31 32 33 34 35 35 37 33 39 43 11 42 43 44 45

xxxii-í> ir,

7.93434 3.53592 2-12623 1.67775 1.67760 2.12643 3.53618 7.93443

-18.26639 -1.59326

.09953 3.00080

.09354 -1.5Q32T

-18.26537 0.00003

-I .S4E38 -.61831 - .19763 - .19765 -.E1840

- ! .54669 B.ooaoa - .31938 - .45164 - .23967 a.ooooe - .29975 -.45175 -.31395 0.00003 -.33033 -.33531 - .16987 - .15993 - .30592 --33B9S B.BBOOO -.33023 - .32557 - .21539 a.sesea - . 2 t 520 - .33033 - .33032

rY¥Y>cnsY

3.30030 a.oaoao 3.33330 3.03030 3.30030 3.33330 0.30093 3.03030 8.54635 1.35232

.37135 .03033

- .37191 - I .BE199 -8.S4E1S -2.22033

.38934

.2265! .30838

- .33029 - .22847 - .98523 2.22055 - .53292

.IB42S

.03733

.33005 - .03724 - .13421

.=3306 -1.44158

- .13333 .03346

- .33155 .33173

- .03342 .13339

1.44184 3.83003 3.00303 3.33383 3.03303 3.33030 3.08083 0.00000

m z ( + - i z

0.38080 8.08008 8.08830 0.38003 3.08380 0.03003 0.00000 0.83003

-35.06857 -9.46778 -3.92467 -3.75162 -3.52434 -9.45800

-35.06836 0.83808

-3.63475 -6.4=697 -4.55315 -4.55333 -5.45755 -9.S963S

3.33003 -3 . I439S -5.54383 -5.1BZ16 -3.75474 -5.18280 -5.54453 -3.14431

8.30033 -4.12552 -5.30342 -4.77020 -4.77062 -5.30113 -4.12817 0.33883

-4.73278 -4.72183 -4.57520 -3.74313 -4.57665 -4.72194 -4.73373

3S 3S 37

ESFUERZOS EN LAS 3ARRAS

BARRA i t q d=r

1 2 3 4 5 E 7 ti 9

10 11 12 13 14 Ib 16 17 13 i y 2.0 21 •¿¿ 23 24 25

1 i ? ?. ? 3 3 3 4 4 4

R 5 5 fi 6 G 7 7 7 8 9 3 9

13

? 9 3 3

10 4

10 1 1 5

I I 1? 6

1? 13 7

13 14 B

14 15 15 10 18 17 11

3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3

1.S8 1.72 1.76 1.73 1.73 1.84 1.83 1.84 1.86 1.86 1.87 1.84 I.B7 1.86 1.78 1.84 1.33 1.58 1.79 1.76 1.72 1.74 1.72 1.78 1.82

-165.03 -165.30 -165.30 -185.08 -155.00 -165.33 -155.03 -165.83 -165.03 -165.33 -165.30 -165.30 -185.00 -165.80 -165.00 -155.00 -185.08 -165.00 -165.03 -155.00 -1E5.0B -1E5.00 -155.00 -185.00 -165.03 •165-03 -165,03 -165-08 -165.03 -155.08 -165.BB -165-03 -165.03 -165.08 -165.30 - IS5.33, -155.00 -165.00 -165.08 -165.00 -165.00 -165.00 -165.08

S o l l c l t

22.774 183.750

5.831 155.549

11.802 .795

11.721 1.433 0.300 2.329

.868 .795 .668

2.823 5.831

- 1.493 11.721 22.774 11.833

155.543 183.748 87.683

165.488 81.932

2.087

t ens ión

-8.931 55.682 - I . 5 I S 50.155

3.57E - .241 3.552

.452 -3 .830

.857 .230

- . 2 4 1 .283 .857

-1 .515 .452

3.552 -5 .931

3.577 50.156 55.681 26.571 51.350 24.646

TIPO

3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 '3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

11 15 1Z 13 12 19 12 23 13 14 13 20 13 21 14 15 14 21 14 22 15 22 15 23 16 17 !6 24 17 18 17 24 17 25 SB 13 IB 25 18 26 19 20 19 26 19 27 28 21 20 27 20 28 21 22 21 28 21 29

61 22 30 52 23 30 63 24 25 B4 24 31 65 24 32 66 25 26 67 25 32 53 25 33 63 2G 27 70 25 33 71 26 34 72 27 28 73 27 34 74 27 35 75 28 29 76 28 35 77 28 35 78 23 33 79 29 35 83 23 37 81 30 37 62 38 38

84 31 39 85 32 33 96 32 39 67 32 43 88 33 34 69 33 48 98 33 41 31 34 35 92 34 41 93 34 42 94 35 36 95 35 42 96 35 43 97 36 37 98 35 43 93 36 44

108 37 38 131 37 44 102 37 45 103 38 45 104 39 40 105 43 41 106 41 42 137 42 43 109 43 44

3.3 3.3 3.3

'3.3 3-3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3-3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3

3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3

3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3

1.73 1.63 1.87

" 1.84 1.96 1.87 1.87 I.B7 1.82 1.B5 1.84 1.74 1.83 1.79 1.78 1.72 1.68 1-74 1.7B 1-71 1.80 1.84

I 1.78 1.83 1.86 1.82 1.64 1.84 1.84 1.32 1.78 1.83 1.78 1.5B 1.33 1.71 I .74 1.71 1.61 I .74 1.79 1.BB 1.78 1.83 1.74 1.79 1.93 1.73 1.78 1.79 1.79 1.74 1.71 1.73 1.68 1.74 1.61

1.67 1.72 1.56 I .71 1.78 1.63 1.72 1.80 1.68 1.71 1.78 1.71 1.68 1.72 1.72 I . 5 3 1.64 1.71 1.56 1,67.. I.E4 1.71 1.74 1.74 1.71 I.B4

1.413 .836

2.43B .926 . 4 4 2

2 . 4 8 6 1.513 1.519 2.007

.442

.926 87.879-

.335 I-.410

81.983 169.493

13.033 .518 .572

6.112 . 395 .163 .483 .992 .025 .592 .041 . 169 .041 .932 . 5 7 3 .992 .483

13 .033 .388

S. 114 .518 .453

1.741 I .434

.171 .713

1.674 1.784

.E3I 2.87Z 1.784 1.554 1.554

.171 2.B72

.691

. 4 5 * 1.674

.712 1.493 1.741 - i i ?

3.151 .531 .835 .93B .351 .933

I .967 . .133

1.926 3.238

.3EI 3.237 1.925

.591 1.967

.983 2.273

.997

.005 3.133

.755

.985 I.78B 1.782

.935

.755

- .729 .281 .134

- . 7 2 9 - .460 - . 4 6 0

.608

.134

.28 ! 26.569

.311

.427 24.343 51.361

3.953 - . 1 5 7

.173 1.852

.117 - .351

.146 - .381 - .088 - .301 - . 8 1 3 - .051 - .313 - . 3 8 1

.174 - .301

.146 3.353

.117 1.853 - . 1 5 7

.137

.527 - . 4 5 3 - .052

.216 - .SB7

.541

.289 - . 8 7 3

.541 .471 .471

- .352 - . 8 7 3

.209 .137

- . 5 8 7 .216

- .453 .528

.957 - . 1 7 9 - . 0 3 1 - . 3 0 2 - . 1 0 9

-298 - . 5 3 6

.333

.584

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

.593 - . 1 7 9 - . 5 9 6

.298

.689 - .302 - . 0 3 1

.969

.229

.274 .539 .548 .274 -229

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

¿ \ / 4

TRACCIÓN

COMPRESIÓN

^V

SOLICITACIONES DEBIDAS A LA ACCIÓN GRAVITATORIA

DESPLAZAHIENTQS DE LÜS NUDOS

Nudo KííXXÍ +> JX YYYY>CBSV ZZZZl+ ' IZ

l

2

3 4

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7

a a

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i 2 13 U

15 16 17 13 13

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25 26 2 7 25

zs 3 0 31

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35 35

3 ? 36

3 9

»a 4 ! 4 2

1 3 4 1

45

-1.21159 - .63495 - .53818 - .61610 - .34879

-1.33338 -2.48125 -S.SS997

1.51932 .13427

- .18584 0.80330

.07869 1.18038 7.29020 a.aeaaa

.13492 - .05342 - .06378

.20140 .56972

1.18796 e.eaaoa - .02235 -.12381 - .13343 B.BBBOB

.36561

.49744

.29465 e.eaaea - .17301 - .24539 - .16779

.27651 .49809 .14485

0.00B0O -.11877 - .25356 - .25911 0.00000

.4Z146

.51373

.41562

8.00008 0.20830 O.OBBOB e.aeaae 0.O803B o.00000 0.00000 0.00000

-1.38718 - .25326 -.12535 - .11419 -.B65S7

.66302 5.95243

.17006 - .30075 - .21509 -.2311B -.23336 - .01719

.55123 -1.72685

- .12172 -.18251 - .23213 - .26550 - .28417 -.B9263 - .57267 -.12975 - .09846 - .18804 - .19249 - .19599 - .09239 - .19463

- t . 35213 0.00080 0.B00B0 B.000B0 0.00000 0.000B0 0.00008 0.08030

a.eaaaB a.aseas O.B000B 0.60880 0.00030 0.00000 0.30003 Q.0B00B 5.350B9 1.49682

.82709 1.63419 2.51930 S.E2940

24.74B28 0.B0000 1.45278 1.11157 1.29021 2.56823 4.41105 6.66250 0.00000

.37535

.51214

.90391 I.676SI 3.49595 4.M39S 2.31979 o.saaao - .14523 - .B I571

.E499Q 3.33749 4.24772 3.63989 B.B00BB -.88553 - .75023 -.54525 1.97379 1.45789 1.75320 4.35303

COMPONENTES DE FUERZft EH NUD09

i d o

1 2

3

1

5 5 7

8 5

10

11 12

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2 2 2 3 2 4

25 25 2 7

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45

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29 11

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BB

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52.OB es.«a 50.08 59.00

0.00 O.0O 0.80

50.30 50.80 4 3 . BB 17.00

0.08 8.03 8.03 0.00

37.00 37.00 36.00 35.80

0.00 0.00 ffl.OB

25.00 21.08 23.03

23.38 3.03 3.03 B.0B B.OB

12.00 12.03 12.0B 11.60 0.00 3.03 0.03 0.00 0.00 3.03

. B.OB

F J

e.B0 0.0B 0.30 3.00

125.30 121.00 121.30 117.00

a.80 0.00 0.00

131.00 138.00 128.00 124.30

8.00 0.00 0.00 0.00

135.B0 133.08 130.00 128.00

0.00 0.80 B.B0

136.00 137.80 133.00

131.00 0.00 8.00 0.00 0.80

133.00 13B.80 135.00 131.80

0.88 B.B0 0.00

110.80 133.00 137.00 134.00

ESFUER20S EN LAS BftRRAS

RA

1

2 3 1

S 6 7

8 9

13

11 12 13 14

15 16 17

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22 2 3 24

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l « t

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13 16 17 11

17

a=cc

3 . 3

3 . 3

3 . 3 3 . 3 ; 3 . 3 3 . 3

3 1 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 .3 " 3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3

luce 3

i vse 1.72 1.78 1.78 1.79 1.84 1.83 1 .64 1.86 1.35 1.87 1.81 1.37 1.86 1.78 1 . B4 1.53 1.59 1.79 1.79 1.72 1.71 1.72 1.78 1.92 1.79

S o l l o t t

3.332 _ 5.B17

.393 3.134

.531

.155

.204

.547 ;B0S

1.BB3 1.135

.983

.238 .775

1.194 .855

4.812 19.42B 6.568

77.676 97.745 2.283 3.40' 2.384

.307

.453

1

n n i l ó n

1.010 1.529

.118

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.170 - . 0 4 7 - . 8 6 2

.165

.002 - . 3 0 1

.435 .261 .372 .235

1.271 .259

1.453 S.8B5 1.990 3.539 9-620

.535 1.032

.722

.093 - .135

TIPO

3 3

3 3

3

3 3 3 3 3 3 J

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4 8 4 9

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11

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25

2 8

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27

2 8 28

2 8

29 2 9

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31 31

3 2 3 2

3 2

33

3 3 33 34

31 3 4

35

35 35 36

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3 3 44

45

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4 2 4 3 4 4

45

3 . 3

3 . 3

3 . 3

3 . 3

3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 . 3

3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 . 3

• 3.3 3 . 3

. 3.3 3 . 3 3 . 3 3 . 3

3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3

3 . 3 3 . 3

3.5 • 3 . 3 3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3.3 ' 3 . 3

3 . 3 3 . 3

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3 . 3 3 . 3

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3 . 3 3 . 3

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3 . 3 3 . 3

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3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3

3 . 3 3 . 3 3 . 3

1.83 1.67 1.84 1.85 1.87 1.37 1,87 1.82 1.86 1.84 1.74 1.83 1.79 1.78 1.72 1-68 1.74 1.78 1.71 1.60 1.84 1.78 1.83 1.86 1.82 1.84 1.84 1.84 1.82 1.78 1.33 1.79 1.58 1.88 1.71 1.74 1.71' 1.51 1.74 1.79 1.63 1.78 1.83 1.71 1.79 1.83 1.78 1.73 1.73 1.75 1.74 1.71 1.78 1.69 1.74 1.51 1.64 1.57 1.72 1.55 1.71 1.78 1.63 1.72 1.SB 1.68 1.71 1.78 1.71 1 .63 1.72 1.72 1.63 1.64 1.71 1.56 1.67 1.64 1.71 1.74 1.71 1.71 1.61

.238 1.079

.316

.275 1.254

.235 1.174 3.032

.085

.421 48.361

I.36S .787

43.572 82.848 •

.320

.408

.105

.251

.410

.121

.255

.132 .085 .034 .080 .773 .598 .633

1.313 1 .041

- U 5 E.5BS 2.109 2.511 2.118 •

,0B4 .397 ,427 ,057 .288 .437

-.483 .203 .585 .304 ,30S .377 .336

1.698 .332 ,874

1.173 .090

1.273 .972 .046 .491 .051 .305 .450 .891 .301 .S82 .655 .272 .788 .551

2.799 1.178

.697 1,362

.533 2.111

,726 .575

2.715 .179

1.331 5-603 4.438 1.613 1.817

.072

.327 - .095 - . 0 8 1

,388 .089 .359 .937 .002 .128

U .049 .411

- . 2 3 9 13-325 25.103

.097

.123

.032 - .375

. 121 ,03S

- .051 ,058 ,025 .029

- . 3 2 1 -238 .131 .192 .399 .315

- .044 1.971

-639 .770 .642

- . 0 0 1 - . 1 1 7

-129 - . 0 2 0 - . 0 8 7

,133 - .122 - .061

,177 - .092 - . 0 3 3 - .114

-182 .575

- .101 .204 ,355

- . 0 2 7 .385 .234

- . B U .143

- . 8 1 9 - .053

.137 - . 0 2 7 - . 0 9 2

.152

.198 - .082

.233

.167

.348 - .357

.211

.413 - .162

-540 .220 .174 .823 .145 .484

1.638 -1 .360

- .550 - . 3 1 7

3 3

3

3

3

3

3 3

3 3 3

3 3

3 3 3

3

3

3 3 3

3 3

3

3 3

3 3

3

3 3 3

3 3 3 3 3

3

3

3 3

3

3

3 3

3

3 3

3

3 3

3 3

3 3 3

3 3

3 3

3

3

3 3 3

3 3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

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T T- T v'v

SOLICITACIONES DEBIDAS A LA ACCIÓN DEL VIENTO

3.7.- OTRO SISTEMA DE RETICULADO: VELÓDROMO ANOETA

En estíe anteproyecto para el concurso de cubrición del velódromo

Anoeta, de 1972, dejó croquizado y comentado otro sistema de des

composición de la superficie esférica, también usado en estos

años y reseñado en la introducción.

El método para ejecutar el reticulado del casquete es el transla

do hasta la superficie esférica de la retícula triangular equilá

tera trazada dentro del circulo paralelo correspondiente a la ba

se del casquete, en la que el centro corresponde con el nudo de

la clave y este es el centro del único exágono regular existente.

No se puede saber como pretendió realizar el traslado pero los -

procedimientos más usuales consisten en llevar cada nudo a tra—

vés de una recta que se corta con la superficie esférica, bien -

desde dentro de la esfera (en ese caso las líneas serían poligo

nales de arcos de meridianos) o desde el punto opuesto a la cla

ve (proyección estereográfica).

Existe otra posibilidad, por cada linea del reticulado levantar -

un plano normal al de la base que se corta en la superficie esfé

rica en arco de paralelo. Los primeros comentados, dan retículas

de triángulos escalenos con longitudes de lados y ángulos más ho-

196

mogéneos que este último. En todos los casos, el aspecto es de -

triángulos homogéneos si la pendiente de la esfera con relación -

al plano de la base es pequeña.

En este anteproyecto, la relación diámetro/altura a la clave es de 4:

resulta casi obligado al usar este sistema de reticulado en vez -

del icosaedro esférico. En el n2?:.í:6'2-163(-Í972 <3f5 la Revista Arqui

tectura puede suponerse sin mucho error que figura transcrita la

memoria del anteproyecto presentado al concurso.

En un punto se dice que " se conservan exágonos y triángulos

de la geometría básica.....sin puntos singulares, ni quiebros o -

discontinuidades que inquieten la apetecible tranquilidad del con

junto".

En el artículo escrito por Pérez Pinero, que aparece en el n2112

de la Revista de Arquitectura (1968), comenta este sistema con

la proporción límite razonable perfectamente acotada para que re

sulte de una apariencia uniforme. No tuvo oportunidad de hacer -

ningún proyecto hasta 1972, que se presentó este concurso.

La cubrición era ingeniosa, con la iluminación natural repartida

uniformemente en todo el casquete, a base de piezas de cubierta*-

que,comprendiendo un exágono y dos triángulos traza en forma de -

paraboloide, en el que los cerramientos verticales son los elemeii

19?

tos transparentes. Con este diseño el edificio tenía un aspecto -

muy singular. Dalí lo comparo con una bandada de gaviotas a punto

de levantar el vuelo. No pudo llegar a definir el proyecto de eje_

cución porque en verano de ese año sufrió un accidente mortal.

Hubo un intento por parte de la propiedad de que se realizara co

mo diseño, pero, según Félix Candela, a la primera dificultad -

(la recogida de aguas de los paraboloides era compleja) se abando

nó, materializándose la forma esférica por varias familias de

grandes arcos reticulados, resolviendo la iluminación mediante

placas onduladas de plástico transparente.

198

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* — o - -•

CONCLUSIONES A LA PARTE I*

Emilio Pérez Pinero usa en todas sus cúpulas, fijas o -

desmontables, el mismo procedimiento de triangulado: -

elección del icosaedro, tipo de subdivisiones, "frecuen

cia" de división y casi hasta radio de la esfera cir

cunscrita: solo hizo una vez los tediosos cálculos a ma

no (la precisión de la regla de cálculo es muy remota)

dando una respuesta formal muy variada.

La única solución diferente, aunque no concretada, c o —

rresponde a la cubrición del velódromo Anoeta es que de

entrada no quiso incluir un pentágono regular en la cía

ve. Esta parcela de la edificación de soluciones tan

singulares, es de poca demanda: Pinero aprovechó todas

las oportunidades que se le brindaron.

Su comprensión de la excelencia de la forma para el -

traslado de cargas en vanos de gran luz a bajo coste, -.

está fuera de toda duda. Respecto a la elección de ba-—

rías y reacciones, en las primeras que realiza se deci

de por las idóneas; ensayadas y usadas las estructu—

ras construidas con ellas, proyecta después con barras

200

( 1 )

"Material, estructura y forma"

Rev: Arquitectura

no 40 pag. 30.

de sección abierta para cúpulas de luces más modestas,-

sin extremar la medida del mínimo coste de material.

En 1962 ¿Ice:"Hay cuatro o cinco procedimientos, que yo

conozca, para llegar a la triangulación de un geoide" y

las conoce bien. No puede decir lo mismo de los mode—

los de cálculo. Sabe que Fuller las define como láminas

reticuladas, pero no conoce o no se interesa por el mo

delo de cálculo por asimilación a las membranas de revo

lución, de ejecución manual relativamente simple.

Interesado como estaba en la problemática de la trans—

portabilidad de la estructura, su aportación más intere

sante consistió en la resolución de una forma de desmon

tabilidad deliberada. Aunque en algunas patentes exis—

tentes sobre nudos se pueda percibir esta posibilidad,

no es el criterio principal del diseñador del nudo, co

mo ocurre en este caso, en que está perfectamente orde

nado el proceso, el tamaño de las partes, la facilidad

del montaje, la sencillez de la unión y la comodidad —

del replanteo.

201

PARTE 2A:

ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE PLANA

INTRODUCCIÓN

En las dos partes siguientes se trata mayoritariamente de

la definición de las estructuras plegables de Pérez Pine

ro , planas y curvas, y del estudio de sus mecanismos cor

respondientes .

A las estructuras desplegables se les pide que cuando es

tén completamente desplegadas deben funcionar de forma es

tructural, soportar las cargas aplicadas sin deformado—

nes inaceptables, como las estructuras no plegables, y que

tengan capacidad para poder ser plegadas con la mínima de

sorganización del paquete de componentes. También los con

dicionanates adicionales de transporte, plegado-desplega

do y almacenaje deben ser fácilmente ejecutables.

ANTECEDENTES

El concepto de plegable puede ser tan amplio que se pue—

den incluir en él las soluciones que emplean tejidos como

parte del material resistente y se tendrían que incluir -

algunos tipos de tiendas de campaña, aunque participen —

también del concepto de lo desmontable.

203

F$px3s ja^npajvua -¡znnGuQ sifljo-uíhpjipiuiÍAi v si Suyt ru([r¡i¡jl

Como antecedente estructural cuyas componentes plegables

están formadas por barras, como las de las estructuras -

que se van a estudiar, el documento más antiguo que la -

autora ha podido encontrar y consultar, corresponde a la

patente inglesa numero 7 755, fechada en Marzo de 1914, ~

poco antes del inicio de la Primera Gerra Mundial. Su ti

tulo: "Improvements in Supports for Tents,Marquees, Tem-

porary Bridges and other Portable Structures". En su des

cripción comtiene el piano que se adjunta. Corresponde a

la definición de una tienda compuesta por arcos planos -

plegables de barras en "x", probablemente de madera r e —

forzada con pletinas metálicas en los puntos de enlace.

La estructura total participa también de"lo desmontable".

Los arcos, que son la componente plegable, (ver figuras

1 y 2 del plano) se despliegan hasta que varias barras -

quedan en prolongación recta. Después se triangulan todos

los cuadriláteros que definen con pequeñas barras metáli

cas (n,o,p,q), y se añade el cable"s". Los planos sucesi

vos que contiene estos arcos, se arriostran debidamente.

Las dos barras formando una "x", con un pasador central

que permite el giro, es un elemento muy común empleado

en pequeños objetos plegables: mesas, sillas, "flexos"

para alumbrado, tijeras, — Es el elemento que emplea

Pinero. El antecedente de diseño que le pudo servir de

204

inspiración pudo ser cualquiera de ellos, u otro utensi

lio más elaborado e igualmente comün, los cierres de se^

guridad llamados de ballesta y tijerilla: un conjunto —

plano compuesto por barras verticales (ballestas) unidas

por varias filas de "x". (tijerillas) a distintas alturas,

con el fin de que la transmisión de la fuerza de plegado

sea homogénea en todos los puntos de la vertical (las ba

llestas son fácilmente deformables) y el movimiento sea

uniforme.

Definidas muy someramente, las estructuras de Pinero es

tán compuestas de cadenas de "x" formando cuadriláteros,

superpuestas y ordenadas de distintas formas, y de algu

nas barras más. Con los adecuados diseños que dio a los

"pasadores" de las "x" se verá que fué una elección afor

tunada.

205

ESTUDIOS POSTERIORES

Algunos de los trabjos de Pinero alcanzaron cierta difu

sión con soporte gráfico no solo en revistas especiali

zadas españolas, porgue se dio la circunstancia de apor

tar la novedad de su diseño a los congresistas de 1961 -

(ver 1.1 del Cap.I), y de aportar la brillante solución

perfeccionada, al Primer Congreso de Estructuras Espacia

les que se celebró en Surrey (Gran Bretaña) en 1966 (ver

1.10 del Cap,I}

Las patentes que se dan el la Bibliografía son diseños

plegables; de ellos el más popular es una tienda de cam

paña diseñada y comercializada por T. Zeigler con forma

de icosaedro esférico resuelto con barras en "x". Es a

partir de 1985 cuando aparecen artículos y ponencias a -

congresos sobre estos tipos estructurales, debidos a las

investigaciones de R.C,Clark, F.Escrig, O^McNulty.

El trabajo más extenso de los encontrados sobre estructu

ras desplegables, corresponde a S. Calatrava (1981) que

estudia las condiciones geométricas y de movilidad de di_

senos efectuados básicamente con barras comprendidas en

tre dos nudos (las barras en "x" abarcan tres), como los

diseños standard no plegables, pasando de mecanismo a es

206

tructura en cada caso con adición dé^un determinado núme

ro de barras o mediante coacciones de enlaces entre ellas.

La NASA ha desarrollado algunas estructuras plegables muy

particulares y variadas

Las realizaciones de Pinero que se van a estudiar, com—

prenden tres estructuras desplegables según una superfi

cie plana y dos desplegables según una superficie esfé

rica.

En cada caso se analiza en primer lugar la movilidad del

mecanismo.base que contienen. Estos mecanismos base están

compuestos siempre por "x" enlazadas formando cuadriláte

ros, y se puede definir -como el compuesto por la totalidad

de los nudos de la estructura enlazados por la suficien

te cantidad de barras para que conserve la cualidad de -

no desorganizar el paquete de componentes durante el mo

vimiento , y que desplegado, marca el replanteo de los nu

dos .

Las barras que se necesitan para tener estructura, se pue

den añadir en cantidades variables a p.artir de un mínimo

que coarta todo movimiento. Dependiendo de la cantidad y

de su disposición se generan diseños diversos de estruc

turas .

20?

Pinero dio_„ una solución concreta para cada realización,

que se analiza y documenta. Donde sea adecuado e intere

sante se estudiarán otras de estas soluciones posibles.

También se estudiarán algunos mecanismos más, generalmen

te las variantes posibles empleando las barras en "x", -

con el fin dé intentar abarcar las posibilidades de diseño

de este tipo. Unas veces se comentarán al hilo del estu

dio de las obras de Pinero seleccionadas y otras en apar

tados especiales.

208

CAPITULO IV: MOVILIDAD

4,1,- MECANISMOS

Para que una estructura de barras sea plegable, tiene que conver—

tirse en un mecanismo bien porque se le quiten barras y/o porque -

se le den libertad de movimiento a las uniones: la cuestión está -

en que la plegabilidad supone una modificación de la forma de la -

estructura y está en contradición con la estabilidad.

Para analizarlas adecuadamente se verán, por una parte, como for—

mas estables que soportan cargas, y por otra como mecanismos, ana

lizando el número y clase de movimientos que tienen y las condicio

nes de compatibilidad geométrica de los miembros (nudos y barras)

para que sea posible el movimiento (reciproco y total).

Entendiendo por grados de libertad el número de movimientos dife

rentes que se puede realizar (giros y desplazamientos) entre pie

zas, la diferencia entre los estados de mecanismos y estructura -

es su número.

Al manejar estructuras la postura que se adopta generalmente es la

209

ae desechar inmediatamente lo que se tiene si es un mecanismo. Se

busca estabilidad de forma y capacidad portante, y lo único que de

común interesa con los mecanismos es usar comprobaciones para sa—

ber en que caso estamos, (mecanismos, estructura isostática o es-—

tructura hiperstática) comprobándolo con formulaciones de recuento

de nudos y barras muy particularizadas a nuestros problemas. Así,

para estructuras articuladas planas usamos la comprobación:

b = 2 n-3

en que:

b = número de barras

n = número de nudos

siendo esta condición necesaria pero no suficiente. Hay que añadir

que el diseño de nuestra estructura tiene que ser triangulado para

obtener una forma estable.

Y para estructuras articuladas espaciales:

b = 3n-6

Se va a entrar en el campo de los mecanismos de manera más general

para poder desmenuzar el paso de mecanismo a estructura en cada

unos de los proyectos con más matices, y proponer en algún caso so

luciones alternativas.

21 0

«H-*4-* 1 enlace de un grado

de libertad (e)

3 enlaces de un grado de libertad(e)cada uno

<—> f

1 e n l a c e d e u n g r a d o d e l i b e r t a d ( u )

1 e n l a c e d e d o s g r a d o s d e l i b e r t a d ( 8 , u )

(1) K.H K u n t : K i n e m a t i c Geomet r i c Of Mechanisms

Ed: C l a r e n d o n P r e s s . Oxfo rd , 1978 .

4 . 1 . 1 . - MOVILIDAD EN EL PLANO

Los mov imien to s de una b a r r a en e l p l a n o son t r e s : un g i r o y dos -

d e s p l a z a m i e n t o s "u" y " v " . Su número de g r a d o s de l i b e r t a d e s de -

t r e s ; s i t i e n e n " b " b a r r a s :

G = 3b

Si se toma una de ellas como referencia, es decir, como "fija":

G = 3 (b-1)

Si se las une con "e" enlaces, las podemos coaccionar 1, 2 ó 3 mo

vimientos por enlace, por lo que por este hecho disminuyen los gra_

dos de libertad, quedando:

G . 3 (b-1) -í C l {1)

o lo que es lo mismo, como entre libertades "I" y coacciones "c" -

suman tres (1 + c = 3), puede escribirse lo que se denomina crite

rio general de movilidad.

G = 3 (b-1) 3e + fl = 3 (b-e-1) + h í i 2X¿

211

con: b = n° de barras.

e = n° enlaces (1 o varios por nudo)

c.= n° de coacciones de cada enlace r

1.= n° de libertades (mov. posibles) en cada enlace

En el caso particular de las estructuras "articuladas" planas -

trianguladas, es decir, ejecutadas adosando triángulos, para que -

sean isostáticas sería G = 0.

Quedan diseños de nudos "articulados" (equivalentes a una articula.

ción cilindrica) con 1 movimiento (8)y dos coacciones (u,v) de los

siguientes tipos:

- a los que llegan 2 barras (extremos del adosado de

triángulos): Tienen una enlace con 1 movimiento (giro)

y dos coacciones (desplazamientos).

- a los dos que llegan 3 barras (los siguientes de los -

anteriores) : tienen dos enlaces de 1 movimiento y 2

coacciones cada uno.

~ a los que llegan 4 barras : 3 enlaces.

Generalmente no pueden ser mas, porque sería hiperestática, salvo

en algunos diseños cojijo las vigas en K, (en que hay cuatro nudos de

3 barras, que se compensan con 2 de 5 barras en simetría).

El criterio general de movilidad seria:

212

e G = 3 (b~l) -J2 = 3 (b~l)- 3 enlaces (n-4) 2 coacciones

- 2 enlaces (2 nudos) 2 coacciones - 1 enlace ( 2 nudos)

2 coacciones = 3(b-l) - 6n +24 -8 -4 = b -3n + 3 = 0

b = 2n-3

con b - n? de barras

n - nS de nudos

e - n° de enlaces

Es la expresión simplificada que se usa comunmente y yas'e advirtió

antes que el recuento de barras no es suficiente. Importa su dispo^

sición paxa no tener mecanismos parciales por una parte e hiperes-

tatismo por otra.

Usando la expresión en función de las coacciones c., cuando G>0, -

hay sobreabundancia de barras, es hiperestática, (internamente).

El valor de G son las barras que sobran para tener un diseño con -

isostatismo interno.

Cuando G<0 es un mecanismo. El valor negativo de la G son las ba--

rras que faltan para ser estructura.» (Sería a la inversa usando la

expresión en función de las libertades 1.).

Si la estructura tiene que soportar cualquier tipo de acción (M, -

213

Esquemas. nombres y símbolos de pires cinemáticos

í¿4¿¿

PurUcremlueiíwi R

ia l a>

Fjr prismático P

mmh

Par helicoidal 11

- J > "

Cunlatfo rvnt.ipumual

¡fc ?v

Par cilindrico C" Pur esférico ranurudo K, Contacto telrapunlual

^

O Par esférico E

'W/ Pur plano P,

«P

W Par cilindrico ranuradoC, Contado i r ipnmui i !

^ ^

Par esfera cilindro £ , Par plano cil indro P, Contado bipumual

m Par esfera plano £ Par esfera esfera £ ,

Del libro "Síntesis de mecanismos " Justo Nieto Ed. AC

Fx, Fy) a los apoyos se necesitan 3 coacciones para que no tenga -

ningún movimiento consecuencia alguna de ellas y entonces se cum

ple : b = 2n.

4.1.2 MOVILIDAD EN EL ESPACIO

En el espacio una barra tiene 6 posibles movimientos, 3 giros y 3

desplazamientos.

Con b barras, G = 6b. Usando una fija como referencia, G=6 (b-1) .

Uniéndolas con "e" enlaces en "n" nudos ( n í e} el criterio gene—

ral de movilidad en el espacio nos queda:

G = 6 (b-1) - ¿ c 1 x

o bien coco entre libertades "1." y coacciones "c " se suma 6, i i '

e G = 6 (b-e-i) + I i

1 l i con J^ 1. = C.^6

i i

En el caso particular de estructuras "articuladas" espaciales los

nudos "articulados" es como si tubieran tres movimientos y 3

214

coacciones (u,- v, w) es decir equivalentes a rótulas esféricas.

Si partimos del número mínimo de triángulos unidos en el espacio -

que forma un cuerpo rígido (tetraedro) se cumple que b= 3n -6.

Para fijar un nudo en el espacio se requieren 3 barras (una, fija

tres desplazamientos y un giro) dos, fijan además otro giro, y

tres, lo inmovilizan).

Si lo unimos al tetraedro se cumple:

b + 3 = (n-1) - 6 = b"- 6

y así sucesivamente, de forma que en general podemos expresar:

i b." = 3 ¿i n. - 6 i . x i

Si queremos fijarlo, para transmitir a los apoyos F ,F ,F ,M ,M. ? X Y Z X i

M necesitamos seis coacciones, es decir, inmovilizarla en los -í

apoyos. Con ello queda b = 3n.

¿j,2,~ CRITERIOS PARA EL DISEÑO DE MECANISMOS

Para diseñar mecanismos que se van a transformar en estructuras de

215

barras articuladas, interesa llegar a diseños con un solo grado de

libertad: son más controlables desde el punto de vista del funcio

namiento, ya que solo hay un movimiento posible, obligado para to

das las barras ( es decir que, se mueven a la vez); también desde

el punto de vista de su transformación en estructura, con un solo

grado de libertad no hace falta controlar la existencia de mecanis_

mos parciales.

Si los elementos móviles son solo rotulas de giro, se puede lograr

utilizando una variante de diseño respecto a las estructuras "arti

culadas", y es la de que las barras abarquen más de dos nudos: es

to permite conseguir mecanismos de un grado de libertad con un

número adecuado de ellas.

Si el diseño de estructura es totalmente triangulado tiene que in

cluir enlaces deslizantes para que pueda ser un mecanismo plegable

(al menos una por. cada dos triángulos en el plano). En el primer -

caso se pasa a estructura añadiendo barras mediante articulaciones

de giro, y en el segundo coaccionando los nudos deslizantes.

Si el mecanismo espacial se consigue por superposición de mecanis

mos planos, para controlar la clase de movimiento, basta el análi

sis en el plano.

Para barras en cualquier dirección que abarquen solo los enlaces -

216

entre dos nudos, ver el análisis de movilidad espacial en el traba_

jo de Santiago Calatr3va; "Zur Falbarkeit Von Fachwerken".

Biblioteca de la U.Politécnica de Zurich

4.3,- UNIDAD MÓVIL BÁSICA DE LOS MECANISMOS DE EMILIO PÉREZ PINERO

La retícula más simple que cambia de forma durante el movimiento ,

lo que se llama el sistema cinemático más pequeño, es un cuadrilá

tero resultante de encadenar dos barras en"x'l

En algunos casos estos cuadriláteros están partidos en dos triángu

los por la diagonal vertical.

Todos los mecanismos base está compuesto por estas unidades, que -

desplegados, en caso de definir una superficie curva tiene forma -

de cuadrilátero de lados desiguales, o iguales dos a dos si siguen

una directriz de curvatura constante. El estudio de las con

diciones geométricas que dan las longitudes de estos lados para -

que sea posible el movimiento, se hará en la parte siguiente.

En el caso de definir una superficie plana, la compatibilidad geo

métrica que debe cumplirse para que sea posible el movimiento, es

muy sencilla: basta que los cuadriláteros sean rombos. Por consi

guiente el sistema cinemático más pequeño es un rombo cuyos lados

217

están materializados por barras enlazadas mediante articulaciones

en que el movimiento es un giro reciproco en su plano.

En el caso de tener materializada .¡la diagonal vertical por una ba

rra , para continuar siendo un mecanismo, ésta está enlazada a las

articulaciones de giro con la misma capacidad de movimiento y tie

ne por tener la posibilidad de variar su longitud.

La consecuencia del movimiento para esta unidad básica es la varia

ción de longitud entre dos vértices opuestos, es decir la longitud

de las diagonales. Esta variación se puede expresar en función del

ángulo entre los dos elementos (barras) contiguos.

d = 2 a sen 6/2

d = 2 a eos 9/2

al moverse las áreas del rombo varian en función de:

A = d-¡3?/? = 2 a^ sen 6/2 eos 9/2 = a sen 6

Se va a analizar que clase de movilidad tienen el rombo materialis

zado por cuatro barras unidan con 4 articulaciones, prescindiendo

en principio de la barra que materializa la diagonal.

218

Es un mecanismo plano del que contando la cantidad de movimientos

que puede hacer, se puede analizar cuantos grados de libertad tie

ne, porque se?án las coacciones que se tengan que ejercer para p a —

sarlo de mecanismo a estructura.

Un eleraneto de un mecanismo (barra) situado en el plano tiene tres

grados de libertad (dos desplazamientos y un giro), o de coacciónj

o de otra forma.

libertades + coacciones = 3

I + c = 3

Aportando coacciones, enlazando los elementos. Con muchos elemen

tos formando un mecanismo, los grados de libertad global (o movi

lidad) se expresan por:

e G = 3 (b-e-1) + Z 1.

1 i

como vimos antes, en el que:

G = grados de libertad del mecanismo (o movilidad).

b = n? de barras (elementos).

e = n° de enlaces entre barras (1 o varias por nudos).

1.= grados de libertad que se permiten en el enlace i ~

219

(en el plano 0 < 1 > 3) ; si 1 = 0 no se pueden mover; si 1 = 3,

son barras sueltas.

En este caso:

n = 4 (a, b, c, d,)

e = 4 (1, 2, 3, 4,)

1.= 4 x

cuatro enlaces con dos coacciones

y una libertad

G = 3 (4-4-1) + 4 = 1

Como era fácil suponer queda inmóvil añadiendo una barra-

n = 5

e = 6

1.= todos los giros = 6

G = 3 (5-6-1) + 6 = 0

Se le añade en forma de diagonal vertical*si se pone un dispositi

vo de desplazamiento, conserva el grado de libertad.

l.= 6 + 9 , +6, + 6 + 9-, + 6 n+ $ = 7 x ae be be ce de ad e

G = 3 (5-6-1) + 7 = 1

220

*

Una característica muy especifica de diseño consiste en que las ba

rras que forman ios rombos abarquen más de dos articulaciones -

(nudoS. En ios nudos interiores enlazan a la articulación que per

mite el giro sin perder continuidad, pasando hacia el enlace si

guíente. Si el rombo varia sus diagonales, el movimiento obliga al

resto de los enlaces (nudos) que tenga la"x',' cambiando los rombos

adyacentes, y así sucesivamente. Si en el rombo de partida se" ma

terializa una diagonal (se triangula) ,se inmoviliza . La inmovi

lidad también se "propaga" a los enlaces adyacentes de la "x", y -

así sucesivamente.

EJEMPLOS

Sobre la base de que interesa tener mecanismos con pocos grados de

libertad para controlar bien el movimiento, y que lo más interesan

te es tener uno solo, así el movimiento es único, obligado para to

das las barras, se proponen tres ejemplos, en los que se consigue

este propósito disponiendo un determinado número de nudos con enla

ees de giro.

EJEMPLO 12

b = 10

e = 13

G = 3(10-1) - I 2 = 27-26 - 1 1

221

Sd le añadimos una barra a través de dos enlaces: e = 15 15

G = 3 (11-1) - £ 2 = 3 0 - 3 0 = 0

EJEMPLO 22

b = 11

e = .? e

G = 3(11-1) - 2 2 = 30 - 2:e = 1; £ = 15 1

Añadiendo una barra-a través de dos enlaces: e 17

G = 3 (12-1) = 1 2 = 33-34 =*-! 1

= 17

EJEMPLO 39

b = 12:

e =? G = 3(12-1) - 1 2 = 33-2e

1 = 1

e = £¿i = 1 6 2

Añadiendo una barra: e = 18 18

G = 3 (13-1) - 1 2 = 36-36 = 0 1

EJEMPLO 49

,Si las barras solo son comprendidas entre cruce y cruce- ('de un nudo a

contiguo) da que hay que añadir tantas barras como para que quede tri

guiado:

222

b * 25

10 de

2 de

6 de

XX «

yx 1x10- 2x2 3x6

3(25-1) - t 2 - Z2J$% 72

bertad. Se necesitan ocho barras

• 20- 8 - 36 = 72 --64 = 8 grados de li-

22S

CAPÍTULO V:

TEATRO AMBULANTE BESPLEGLABLE

5.1,- DESCRIPCIÓN GENERAL:

Es el único trabajo de Emilio Pérez Pinero en el que se encuentra

toda la información definida en planos:(ver número 1.4 del Catalo-

gOjpag.29). Los módulos de estudio de que partid" puede ser los del

número 1:3 pag. 26 También el sistema está documentado en la pa

tente n5 283206 de Diciembre de 1962.

El teatro es un espacio de planta rectangular de 34 x 22m. conté—

niendo un escenario y un patio de butacas, levantado del suelo con

las pendientes apropiadas mediante una estructura que suponemos al

menos desmontable.

Lo que parece mejor definido es la estructura de cubrición; una ma

lia de espesor constante, con apoyos puntuales de borde cada cua—

tro metros,además de-4 soportes. Los soportes de borde son

de sección triangular constante. Lo más llamativo de los 4 sopor—

tes interiores es un capitel en que se apoya la malla en 13 puntos

y una articulación inmediatamente anterior a la plataforma de apo

yo sobre el suelo.

224

^> 1A

En la documentación existente aparece colocada esta malla de cu

bierta con inclinación de un 11% en un solo sentido. Asimismo en -

la pequeña memoria, después de referirse a temperaturas extremas -

soportables, aparece descrita la cubrición como de tela en una o -

ambas caras.

No están especificados los arriostramientos necesarios para estabi_

lidad y viento, ni de la cubrición ni de la estructura completa.

El material empleado en la malla es el aluminio y quiza lo sea pa

ra la totalidad de la envolvente.

5,2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS

5.2.1 CUBIERTA cv> 2A. £ a característica más llamativa (o inusual) es la de ser plegable.

Se dice en la memoria de proyecto que siendo capaz de cubrir una -

superficie de 34x22m.r plegada ocupa 8m .

Está compuesta soiamente por dos tipos de barras, diagonales y mon

tantes, y por piezas especiales materializando los nudos.

Las diagonales son las barras más largas, de 3,45 metros, forman

->- parte cada una de 4 nudos situados en el mismo plano. Su sección

trapezoidal está diseñada para permitir el movimiento de plegado

225

desplegado hasta una situación tope, en que existe una superficie

de contacto cuadrada entre cada dos .barras.

Para unirse a los cuatro nudos tiene 4 perforaciones, dos extremas

y dos centrales, separando tres distancias iguales; los cuatro con

ejes paralelos y coplanarios. Estas diagonales van de cara supe

rior de la malla a cara inferior. Durante el movimiento, pasan de

la posición vertical de plegado a una inclinada a 602 de la verti

cal. Su eje no se corta en el punto que simbolizaría el nudo.

Los MONTANTES son verticales y unen solamente dos nudos entre cara

exterior e interior. Son de sección circular hueca, y telescópicas

compuesto por un total de tres tramos.

Durante el movimiento se conservan en posición vertical y pasan de

una longitud de 2,3 metros plegados a 1,15 metros con la malla des_

plegada en su posición definitiva. El eje de estas barras se corta

con el punto que simbolizaría el nudo.

Los NUDOS son piezas especiales a las que se unen 5 barras: 4 dia

gonales y 1 montante. Los nudos son verdaderas articulaciones.

A las estructuras trianguladas de acero habituales, las llamamos -

articuladas (planas o espaciales) para diferenciarlas claramente -

de los reticulados de nudos rígidos; operamos con ellas "como si -

226

los nudos fuesen articulaciones". En este caso los nudos son articulacio

nes que permiten el movimiento de plegado-desplegado, permitiendo el gi

ro a las barras diagonales, ningún otro más, y por tanto con el movimien

to descrito por cada barra contenido en el plano. El movimiento que es -

posible en los montantes es el desplazamiento solamente, y no depende

del nudo; el dispositivo que lo hace posible está en la propia barra ver

tical.

Los APOYOS se efectúan mediante piezas d£.jiudo diseñadas como una varia

ción del tipo, e igual que el resto están incorporadas en todo momento -

en la malla, permitiendo el movimiento como se aprecia en el plano D-12fen las

piezas D-12-20 los cuatro brazos de la cruceta tipo aparecen ensartados

en el ala vertical de perfiles LD, dejando las roscas libres de tal forma -

que pueden montar las diagonales con su movimiento de giros libres, y

asimismo en la rosca del eje, la barra telescópica vertical. Los angula

res están colocados sobre una placa horizontal que lleva

los agujeros para atornillar el capitel del soporte. La última fase de -

ejecución del apoyo es el atornillado de los angulares enla placa -

horizontal.

Como se ve, hay que distinguir dos estados muy diferentes: uno de "meca

nismo" en el que tienen que existir unas condiciones geométricas de com

patibilidad en las barras y un diseño de nudos apropiado para que el mo

vimiento sea posible; y'otro " de estructura" en el que tiene que

ser capaz de resistir ios correspondientes acciones mediante esfuerzos

én las barras.

227

5.2.2,- SOPORTES

Como apoyo de la malla de cubierta se diseñaron dos tipos de

soportes.

Uno de ellos comprende cuatro grandes soportes en los que se

distingue "basa", "fuste" y "capitel". La "basa" es una plata

forma metálica rigidizada, unida al "fuste" por una rótula es

férica. Este es de sección variable, cuadrada,formada por cua

tro angulares empresillados. También el enlace al capitel está

constituido por una rótula esférica.El capitel propiamente di

cho está formado por dos piezas de celosía de canto variable,

dispuestas en cruz dentro de un cuadrado formado por perfiles

laminados. Contiene trece puntos de apoyo de la malla de cubier^

ta. Se crea un segundo capitel mediante cuatro barras enlaza

das al fuste a una altura situada entre el tercio superior y su

mitad; forman las aristas de una pirámide invertida y acodalan

y fijan el piano inclinado del capitel (que es el de cubierta),

a partir partir de una determinada orientación de la rótula

de enlace, (tres libertades de girol

El otro tipo comprende 26 soportes de sección triangular cons

tante formados por angulares empresillados. Recogen la carga

en la cuarta parte de los nudos de contorno, y son de altura

variable, acompañando la inclinación de la cubierta.

228

5.3,- MECANISMO

La retícula mas simple que cambia de forma durante el movimiento

es un rombo con la diagonal vertical. Las barras que forman los

lados pertenecen a otros dos rombos más situados en el mismo plano,

La diagonal vertical del rombo, que contiene un enlace que permi

te el deslizamiento, hace posible el grado de libertad del meca—

nismo.

La movilidad correspondiente a un grado de libertad se transmite

a los rombos adyacentes 1, 2, 3 y 4 por los enlaces de las barras

en "x" que abarcan cuatro nudos.

La unidad básica espacial de movimiento comprende ocho barras com

ponentes de dos rombos y una sola diagonal vertical común a los

dos, contenidos en dos planos perpendiculares, o de otra forma, -

cuatro triángulos (equiláteros) correspondientes a dos rombos: ca

da vez que se desplaza el enlace deslizante de la barra vertical,

hace variar el ángulo 0 de la misma forma en los dos planos per

pendiculares, y al mismo tiempo; el movimiento es el mismo en las

dos direcciones y tiene como consecuencia la variación del períme

tro, los cuatro lados a la vez, aumentando o disminuyendo el área

229

rectangular en planta. Descompuesto el movimiento según dos pla

nos ortogonales,basta con usar el criterio de movilidad en el —

plano.

Se hace notar que el mecanismo lleva empaquetadas todas las bar

ras que lo hacen estructura, y el paso de mecanismo a estructura

se realiza ejecutando coacciones 6 en los enlaces deslizantes en

tre las barras verticales y los nudos.

Por las características del tipo estructural (reticulado. de bar

ras) los giros de las articulaciones de los nudos no se coaccio

nan, es decir,- en la situación final queda verdaderamente articu

lado .

230

5.3.1,, VARIACIONES SOBRE EL MECANISMO

Se ha hecho el estudio de movilidad a partir de la unidad elemen

tal. Una característica muy especifica del diseño de las vigas de

la malla es que las barras inclinadas son enteras, es decir, cada

barra tiene un tramo extremo que es cordón superior, el otro, infe

rior y el central propiamente diagonal. Tiene otras dos caracteris

ticas más: que las barras forman dos familias paralelas y que la -

longitud de los tramos entre articulaciones es igual ( o si se su

primen parte de estas, un número entero de veces).

Si en una de estas barras cortamos todo movimiento en un nudo, lo

estará para los demás enlaces que haya sobre ella: por lo que se -

puede escojer una variante de mecanismos en lo que se supriman to

dos los montantes que triangulan los rombos. Para una viga de celo_

sxa en el sentido de la luz corta quedan las. 24 barras en "x" dia

gonales .

Para conseguir un mecanismo de un grado de libertad no necesita -

tantos enlaces como puntos de cruce; necesita alguno más que los -

minimos de extremo de cada barra.

e e G = 1 = 3(b-l) - Y, C.= 3(24-1) - £ 2 ; e = 34.

1 1 1

231

33. .

/

Se nacesita un mínimo de 34 enlaces entre barras que permitan el

giro en el plano. Una forma de situarlos se muestra en la figura:

por ser las barras "pasantes" los enalces son simples,contenien

do uno por nudo; las barras quedan divididas en tramos de longi—

tudes a y 2a; siendo un mecanismo deun grado de libertad, todas

las barras se mueven a la vez y se conservan paralelas durante el

movimiento porque existe un único valor de giro; para coaccionar

el movimiento basta con añadir una sola barra mediante dor enla

ces a dos nudos.

Si las barras, en vez de ser "pasantes" sobre ambos nudos,compren

den la distancis entre nudos contiguos, como se considera en el

cálculo de las no plegables, en la viga de celosía elegida resul

tan 64 barras y 44 nudos que contienen uno, dos o tres enlaces

con una libertas de giro y dos coacciones de desplazamiento. Su

número de grados de libertad es tanto como el número de recuadros:

23 2 19 G = 3(64-1) - Z 2 - l 2x2 - S 3x2 = 21

1 1 1

Para tener estructura es preciso añadir la 21 barras que conple-

tan su triangulación. Por otra parte totalmente triangulada, la

pieza estructural hace trabajar a las secciones de sus barras con

esfuerzos normales de tracción o cmpresión.

Sin embargo, aprobechando que las barras son "enteras" se podría

232

prescindir de un número de ellas, (de triangular la estructuraj. Las

solicitaciones de la sección de barra serán de normal, flector y -

cortante: para generar las tensiones que equilibren en una sección

de viga a los esfuerzos M, T, solo se puede contar con secciones -

de las barras que cortamos y algunas veces la sección equivalente

es la de ese número de barras colocadas en horizontal.

Para cargas muy pequeñas puede ser suficiente.

5.4.- MONTAJE

Prescidiendo de la subestructura de escenario y patio de butacas,

el proceso de montaje de la envolvente se desarrolla en las si

guientes etapas: colocación de cuatro grandes soportes, desplegado

de la malla, nivelación de los nudos inferiores en un plano hori—

zontal, coacción de los movimientos de desplazamientos de montan--

tes, colocación de las lonas de cubricción, izado, materialización

de los apoyos en cada capitel de los cuatro soportes, colocación

de soportes perimetrales (uno cada cuatro nudos de borde), cerramien

tos laterales.

Emilio Pérez Pinero posiblemente pensó que quedaría montado con la

máxima rapidez y suficiente seguridad, empleando solamente cuatro

233

"postes" de apoyo, en lugar de plantear un apoyo continuo perime-

tral(caso habitual para emparrillados y placas) , o al menos uno

por nudo.

Bara el tipo de estructura y las luces de vanos, los desplazamien

tos y giros debidos al peso propio no son apreciables. Utilizando

pocos puntos de amarre para el izado, las deformaciones acumuladas

serían apreciables y se manifestaría un desfase entre el nudo de -

malla y el apoyó del soporte. Para evitarlo, se concentran los su

ficientes apoyos en pequeñas zonas, se izaría tirando de esas 4 fu

turas zonas de apoyo, y se colocaría en su posición fácilmente jun_

tando nudos con apoyos apenas desfasados en plano; después se van

colocando soportes más livianos debajo de los nudos de borde deci

didos.

5.5 ESTRUCTURA

Desplegado y coaccionado, el tipo estructural es un emparrillado -

con retículas en planta de 1,00 x 1,00 m. en el que los componen

tes son vigas de barras huecas de aluminio formando retículas de -

triángulos equiláteros, contenidos todos en dos familias de planos

perpendiculares.

234

La malla , tal cual está definida en planos, solo contiene un eje

2 de simetría (longitudinal). Para cubrir una superficie de 748 m -

lo hace con un total de 1.530 diagonales en "x", más 770 montantes

telescópicos unidos todos ellos por 1.540 nudos colocados en cua—

tro cotas de altura diferente.

5.5.1,- VIGA COMPONENTE TIPO

1) En la página siguiente

Sabiendo que se trata de un emparrillado (sin rigidez a torsión) y

por tanto con un traslado de cargas hasta los apoyos en las dos -

direcciones ortogonales de las vigas, se va a analizar primero el

comportamiento de tipo de pieza lineal de que está formado.Está—

representado el equilibrio en cuatro secciones pertenecientes a un

recuadro^de la viga de celosia, solicitada a mosnento^ (M )y cortan

te (Tv) , función de las cargas de los nudos superiores; se tienen ~

tres nudos (i-1 , i i+1) solicitados a momentos crecientes.

En las secciones 1 y 2, el equilibrio a momento se produce por el

par N ~ y NTT, e n que NT, > N ~ el ajuste a la gráfica poliao-sn x " J-íi sh; ' '

nal de momentos, desde el nudo i-1 al nudo i, se verifica con N dh

y parte de N , entre los

largo de i-1 a i.

que va variando la distancia a lo -

En las secciones 3 y 4, el equilibrio de momentos se produce con -

N y N > N ; para aáécuarsaa La poligonal de momentos, ahora

235

.0 .

7 i-' MÍ- I J W - E — »-•_ Mi

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0

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M¡ _ Mi N I H - I T

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o.

*>_ Muí INSH h

T

NM =

Ni ,o,

NIH

http://Nlizp.2_Mn.Tg-S

la componente horizontal de la diagonal N cambia de sentido for dh ' —

mado par con parte de N , sh

El equilibrio al esfuerzo .cortante se produce por la suma de los componentes verticales N + N, - N en las secciones 1 y 2, y . Iv dv sv

N + N - N . Por último para que exista equilibrio en los nu-sv dv Iv- e ^

dos, hay que incluir la componente del esfuerzo de montantes.

Para esta posición de plegado í o; = 60°) , los cordones aumentan su

esfuerzo en un 15% con respecto a los diseños de cordones horizon

tales.

Como consecuencia del diseño de cordones inclinados/ el esfuerzo -

de las diagonales en función del cortante, disminuye en un 50%,

trabajando la mitad de las piezas a compresión. El valor máximo se

encuentra en la diagonal del apoyo (mayor T, mayor M). El diseño

es pésimo desde el punto de vista de las solicitaciones de montan

tes; ellos solos colaboran al equilibrio del nudo donde no hay dia

gonales. Su solicitación está en función directa del momento, por

lo que para el caso del diseño de Pinero, que el canto efectivo es

un metro, los valores son parejos a los dos de los cordones, con

sus máximos valores en el centro o los í?.povos oon!:.in'Jos ; la uiitud

trabajaba a compresión, y ademas es el mecanismo más delicado de -

la viga.

237

4. £ o o & a & fl o 0 o

A)

B)

O

5.5.2.- COMPARACIONES CON OTRAS VIGAS TRIANGULADAS

La viga de celosía de. la figura A corresponde al diseño de Emilio

Pérez Pinero para este proyecto y se muestra en el estado final de

desplegado, compuesta por triángulos equiláteros adosados: tiene -

un canto constante de 1,15 m al ser sus cordones paralelos.

Se puede comprobar fácilmente que ia triangulada de cordones hori

zontales de la figura B,- realizada adosando triángulos rectángulos

tiene menores solicitaciones en cordones y montantes, y mayor en -

diagonales. En la celosía B, se dan también sencillas condiciones

de compatibilidad geométrica entre longitudes de barras para que -

el plegado sea posible; este se hace casi de la misma forma: en ca

da triángulo se varia la longitud del montante por medio de un en

lace entre barras y nudos con libertad de deslizamiento. El movi--

miento cesa cuando cordón y montante Ú-ñ cada triángulo igua

lan la longitud de la diagonal.

Durante el plegado, en A los montantes aumentan de longitud de 1 a

21, y en B disminuyen de 1 a 0,71.para la misma disposición de nu

dos y canto en ambas.

Siendo B más eficaz estructuralrnente que A, la ventaja de esta es

que las barras en diagonal pueden ser enteras desde los nudos infe

239

(1)- Sobre las condiciones de plegado ver:

"Zur Faltbarkeit Fachwerken"

Tesis doctoral de Santiago Calatrava

Biblioteca de la V. T. de Zurinch.

a las superiores.

Y esta hace que el movimiento (en el plano) de plegado sea muy or

denado (G = 1) mientras que en B las barras solo comprenden la Ion

gitud entre cada nudo y otro contiguo. El movimiento de B, que tam

bien está contenido en el plano, tiene un grado de libertad por ca

da dos triángulos.

Por último, el diseño más eficaz estructuralmente y con menores -

longitudes totales de barras empleadas, está representado en la ce

losía C. Está viga tiene posibilidad de plegado^ pero no es un moví

miento sencillo y el mecanismo no se conserva en el plano durante

el movimiento.

Se pasa de estructura a mecanismo, desdoblando los nudos necesa

rios para deshacer los triángulospreando "cadenas" de cuadriláte

ros, cada una con un grado de libertad independiente: en la figura

se .crean las "cadenas" 1-2-6-7 , 1-2-7-8 , 2-3-8-9 , 3-4-8-9 ,

4-5-9-10 y 4-5-10-11.(1)

240

5-57 3.- COMPORTAMIENTO DEL EMPARRILLADO

2 Suponiéndole una carga q/m = 1 (correspondiendo a 1 por nudo) se

efectúa su análisis por cálculo matricial, obteniendo esfuerzos -

de flexión y cortante en las vigas componentes, para tres hipóte—

sís de apoyo: sin contar con la fase de izado, durante el montaje,

el emparrillado se apoya en los capiteles de cuatro grandes sopor

tes con toda su carga permanente; en esta- situación se configura -

un recuadro de 18x20m y dos voladizos laterales de 3 y 7m de luz.

La segunda situación se mantiene durante el uso y resulta de aña

dirla a la anterior apoyos en el perímetro { un soporte en cada H

uno de cada cuatro nudos'de borde). La tercera hipotesís/que no es

situación de apoyo de esta cubierta, se contemplan solamente los -

apoyos de contorno, con el fin de apreciar de un vistazo las dife

rencias entre las situaciones proyectadas por el autor y una solu

ción de apoyo habitual.

Secciones y luces de barras están especificadas en la documenta -

ción de este proyecto.

Sin embargo ninguno de estos análisis es del autor, ni en hipóte—

sís de apoyo ni en modelo de cálculo. Se comentará la que empleó.

Efectuando la equivalencia para una situación real probable,con 2

una carga debida al peso propio de lOKg/m = lOKg/nudo (en proyec-

241

REACCIONES

«o o o o o o o o o o o ó o o a

DEFORMACIONES EN m. PARA 1 T / n u d o EN cm. PARA 10 Kg /nudo

APOYOS EN ETAPA DE MONTAJE

CORTANTES

T Í O

0 5 10

0 .OS .1

M ( m i )

20

. 2

50 poro

. 5 "

1 T / nudo

10 Kg/nudú

MOMENTOS

APOYOS EN ETAPA DE MONTAJE

REACCIONES

DEFORMACIONES EN m. PARA 1 T /nudo EN cm.PARA lOKg /nudo

APOYOS EN ETAPA DE USO

CORTANTES

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i ^umiiuu^.

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0 S 10

0 .C6.1 M ím-t)

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1 T /nudo

10 Kg/nutfo

MOMENTOS

APOYOS EN ETAPA DE USO

REACCIONES

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DEFORMACIONES EN m. PARA 1 T/nudo EN cm. PARA 10 Kg/nudo

APOYO EN EL CONTORNO

CORTANTES

T( t !

0 5 10 20

0 .05 .1 .2

M (m-t)

50

. 5

paro 1 T/nudo

" 10 Kg/fiucto

MOMENTOS

APOYO EN EL CONTORNO

to se considera un total de 60Kg/m de nieve) ;se tienen los siguien_

tes valores máximos:

-Reacciones:

El reparto más singular corresponde al apoyo de contorno, con 0,5t

(3t. con nieve). En las otras dos situaciones se concentran en las

esquinas internas de los grandes capiteles, con valores alrededor

de las 2t. (12t. por nieve), siendo muy pequeños los de contorno.

-Cortantes:

En la situación real resultan de una concentración desproporciona

da en las vigas del emparrillado que van a 4 ó 6 apoyos. Debido a

la poca cuantía de la carga real, esos valores serían aceptables -

del orden de 0,5t. (3t. con nieve), (0,2parael apoyo de contorno)

-Momentos:

Los valores máximos de las tres diversas situaciones, no son

muy diferentes, del orden de 0,6 y 0,7 mt. (3,6 a 4,2 con nieve) -

en centro de vano (M~) ,- pero el "volumen" de solicitaciones de mo

mento está muy concentrado en pocos metros cuadrados de emparrilla^

do en las situaciones reales de apoyo, en comparación con la terce

ra que se analiza en que la situación casi se invierte: en los

primeros casos tendrá sentido colocar unas pocas barras de secci—

nes mayores en esas zonas, mientras que en la última no.

248

-Deformaciones:

Considerando una longitud de recuadro de 20x20mts, el valor de des_

censo máximo admisible dei.L/¿50 sería de 8,8 eras.

En las situaciones analizadas, es en está cuestión donde se apre—

cian diferencias mas grandes. El caso más favorable corresponde al

apoyo en contorno con 9,6 cms en el centro del rectángulo, para -

los 10 Kg. de peso propio (con nieve seria inadmisible). Los valo

res máximos para las situaciones reales son (para lOKG/nudo,!

2,4 cms eñ borde de voladizo mayor en montaje, y de 1,7 cms en

uso,y!4,4 y 10,2 respectivamente para nieve.

Is claramente muy deformar:le cen las secciones de barras y canto -

que dio el autor. Se puede apreciar en los planos que las vigas -

del emparrillado que forman el recuadro de apoyos de capiteles, -

aparecen con curvatura en contraflecha y un cordón inferior que -

puede ser un cable; tensándolo se sometería a momentos negativos a

toda la viga, acortando los descensos.

5.5.4.- CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL Y DE LA SECCIÓN

De los datos reflejados en la documentación que se posee del autor

se obtienen los siguientes valores:

-Material: aluminio

249

C a r a c t e r í s t i c a s :

-Secciones de b a r r a s :

250

p = 2,75 grs/cm 2

ot¿ü= 1 .576 kg/cm

o,= 2.750 kg/cm2

E = 740.000 kg/cm'

G = 270.000 kg/cm'

e = ' 2 , 1 %o e

A

I

I Y

*x

*y

X

LO

y

W X

w,

• P/ml

Diagonales

2 cm z

. 2.,.887 c.m4

4 4 cm

-, AA 3

1 ,44 cm

2,00 cm

2,132

1,417

3 2 ,22 cm

. 1,7 cm3

0,55 kg/ml

Montantes

1,13 cm

1 ,-T 4

1,17 cm

1 17 4

1,1/ cm 4

1 ,02 cm

1,02 cm4

3,83

3,83

0,78 cm3

0,78 cm3

1,2 kg pleg.

i sección d-c-brC-d secaon d-b-o-b-d

Se deducen unas solicitaciones máximas para las secciones,(con -

un coeficiente de seguridad = 1,5). de:

- Cordón traccionado = diagonal traccionada: 2.100 Kg.

- Cordón comprimido = diagonal comprimida 986 Kg.

- Montante comprimido : 318 Kg. (solo la barra telescópica más ex

terior) .

- Montante traccionado : 1.186 Kg.

Estos valores de momentos y cortantes corresponden a cargas máxi—

mas por nudo de;25y 18 Kg. respectivamente, es decir, poco mas que

su propio peso y alguna sobrecarga..

5,6.- PROCESO DE CALCULO DEL AUTOR

El desarrollo del cálculo de la malla de cubierta se encuentra

plasmado en cuatro planos (ver 1.4: capitulo I)) empleándose mode

los aproximados estimativos y las siguientes hipótesis:

- Como una placa (o emparrillado) de 22 x 34, apoyada en el períme

tro, con un reparto de la carga del nudo del 85% para las vigas de

la dirección corta y el 15% en las de dirección larga, efectuando

el cálculo de una viga del primer tipo por Cremona. Las máximas so

licitaciones de compresión que obtiene, son de 2910 Kg: (montante

centrai) y 2965 Kg (centro cordón superior) y en tracción 2870 Kg

(montantes centrales siguientes) y 2935 Kg (centro cordón inferior

- Como una placa (o emparrillado) apoyado en cuatro puntos, cuatro

251

grandes soportes que definen un recuadro de 22 x22 m.

Efectúa el cálculo por el método de Marcus, como placa con cargas-

diversas según la división de la figura.

No se considera la otra dirección con los voladizos de 3 y 7 m. co

mo merecedores de análisis, Las máximas solicitaciones que obtiene

son; en compresión 1430 Kg (cordón superior central) y 1939 Kg ;' -

(montante central) y en atracción 1420 Kg (central cordón superior

y 1939 Kg (en cortantes centrales). Valores no aceptables para sus

barras fabricadas en aluminio standard.

Le merecen diseño y análisis aparte las vigas que unen las cabezas

de los soportes,(12 en total) que considera con el 100% de la -

carga de nudos. Añade al diseño de la viga-tipo un cordún inferior

que podría ser un cable; aparecen reflejado con contraflecha de me

dio metro (para una luz de 22m).

Efectúa el análisis de la nueva viga triangulada con hiperestatis-

mo interno, mediante el teorema de Menabrea, dando al cordón una -

fuerza de 1 y calculando el trabajo de los esfuerzos normales.

Las solicitaciones finales de todas las barras que aparecen refle

jadas son debidas solamente a la carga vertical de los nudos. No -

existe el análisis de ninguna otra hipótesis de carga, por lo que

no se sabe si su intención era disminuir la flecha máxima del empa

rrillado (pretensado de cordones inferior) dando momentos negati--

252

vos a estas vigas que unen los soportes. Las máximas solicitacio—

nes que da ahora corresponden en compresión, 1.370 Kg (diagonal -

central)y 1.080 Kg (central cordón superior), y en tracción 2.400

Kg para el tramo central de cable, 1.030 y 1.000 (para los montan

tes a los nudos superiores en el tercio central de viga). Con m a —

yor carga en los nudos, hay una disminución apreciable de las solí

citaciones-/ pasando a ser máxima la del cable.

Según los modelos de cálculo, solo se generan momentos positivos -

en las vigas, pasando desapercibido (o no dando importancia) el -

cambio de comportamiento que generan las cuatro plataformas de apo_

yo, de 4 x 4 m. , como se ha visto^-muy importante: es donde se e n —

cuentran las máximas solicitaciones, y tiene efcto favorable en -

cuanto a las deformaciones alcanzadas, que harían innecesario l e —

vantar la malla curvándola en contraflecha, (el diseño de la base

de apoyo crea las condiciones sin añadir fuerzas suplementarias).

SOPORTES

Los soportes de contorno reciben su carga en el eje. En los cua—

tro grandes soportes,con las hipótesis de cálculo y funcionamiento

del autor .solo existen acciones gravitatorias centradas en su eje,

por lo que el diseño del apoyo'podía ser" una rótula.El resto'i dé.¡ las

barras que forman el capitel solo sirven'.,para- estabilizar.

253

Los apoyos de la malla en el capitel, como se ha comentado en

la descripción de los elementos, pueden soportar acciones ver

ticales en los dos sentidos, y acciones horizontales.

En el análisis que se ha efectuado para acciones gravitatorias,

vista la distribución de las reacciones en los apoyos, se tiene

que su resultante no pasa por el eje del soporte. Para el equili_

brio es necesaria la colaboración de las barras de extremos ar

ticulados que forman el capitel "exterior". Por la rótula---.de la

base pasa solamente la carga vertical.

Puede decirse que todo el montaje tiene estabilidad a desplaza

mientos horizontales solamente por el diseño de la unión, que ad

mite acciones horizontales soportables en última instancia por

los vastagos de tornillos a cortante, y las barras articuladas

del capitel _exterior" que tienen los cuatro grandes soportes.

Parece que entre los soportes de celosía del contorno no se dis

ponen arriostramientos.

254

EN RESUMEN, para este proyecto Emilio Pérez Pinero de

sarrolló un mecanismo plegable que lleva en todo momen

to incorporadas las barras que lo hacen estructura. Las

barras del mecanismo base dispuestas en "x" dobles, de

finen rombos como unidades móviles elementales. Al es

tar contenida en dos familias de planos paralelos que

se cortan ortogonalmente, todas las unidades de una d_i .

rección tienen común la recta de corte vertical, mate

rializada por una barra telescópica, por esta razón el

movimiento que se genera en ambas direcciones es el

mismo, siendo su resultado inmediato la variación de

longitud de esa barra, y el último, el acercamiento de

todos los nudos enlazados por las "x" dobles, variando

el perímetro del mecanismo: se van generando recuadros

semejantes cada vez menores. Si varía el giro de cual

quier unidad elemental, el mecanismo se mueve todo él;

si se coacciona el giro de cualquier unidad elemental,

por ejemplo triangulándola, se coacciona el movimiento

de todo el mecanismo. Como lleva todas las barras i n —

corporadas, en cualquier posición de desplegado existe

el emparrillado de canto constante.

Por la disposición y tipo ce apoyos se aprecia la venta

ja de la continuidad de la estructura para disminuir es

fuerzos en las barras, interesante pensando en la posi_

255

bilidad de montar una estructura manejando varios pa

quetes plegables pequeños, apoyados sobre una cuadricu

la se soportes: se forma la superficie plana única res

tituyecdo enlaces de giro entre los bordes de Iso tro

zos .

En cuanto al rendimiento estructural, se han presentado

otros modelos que superan a éste de Pinero, pero los

aventaja en la facilidad de manejo por la cualidad que

da el movimiento único de mantener el conjunyo ordena

do, dando, en cada instante del movimiento, emparrilla

dos semejantes al de desplegado final, en el sentido

de que sus recuadros y el canto son proporcionales, to

do dependiendo del ángulo de giro e, igual en todas —

las unidades elementales.

Este diseño de Pérez Pinero es una curiosa solución de

emparrillado con vigas de canto apreciable en la que

no hay barras en las caras superior e inferior, y cuya

altura de plegado corresponde a la longitud de las ba

rras en "x" dobles del mecanismo base.

Para valorar este proyecto hay que contemplar la fecha

de ejecución:1962. Es el año de la titulación académi

ca de su autor. Puede pensarse que habiéndosele premia

256

do por un diseño plegable siendo estudiante, servio

obligado a dar respuesta abordando el problema entero,

dando las definiciones de piezas y uniones como para

que fuera posible su construcción. Pinero no hace des

pués nada tan complicado. Depura sus diseños tanto en

cuanto al diseño de piezas movibles como al tamaño y

numero de barras, y mantiene básicamente el diseño de

nudo y el concepto de movimiento, empleando siempre las

barras en "x" para los mecanismos base.

257

CAPITULO VI:

PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES

6.1,-DESCRIPCIÓN GENERAL

Este proyecto, cuyo uso fue albergar una exposición gubernamental -

sobre la España de 1939 a 1964, (ver número 1.5 del Capitulo I), -

debía reunir las siguientes condiciones: t>

- Albergar una exposición itinerante y de una gran extensión 2

(6.000 m ) conformando una muestra unitaria, en un solo edificio

-Adaptarse a las características físicas de los distintos lugares

de su instalación.

-Ser fácilmente montable, desmontable, transportable.

-Tiempo escaso para la propia ejecución real del proyecto.

La solución consistió en la cubrición de todo el espacio a base de

módulos de 12,6 m. y 9,5 m., apoyadosVrelativamente pocos soportes 2 2

(uno por cada 65 m a 85 m según la disposición en planta de los

módulos). La mayoría de los elementos que integran cada módulo son

de aleación de aluminio y algunas barras puntuales y las piezas de

nudo.de acero.

258

http://nudo.de

Planta del montaje en el recin

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Dadas las características especiales de la inusual solución estruc

tural, empleando piezas no existentes en el mercado y de un mate

rial tan específico/ así como el corto plazo de ejecución disponi

ble, la construcción fue encargada a Construcciones Aeronáuticas -

(C.A.S.A) que empleó veintinueve días en realizarlo, a tiempo com

pleto; el plazo total, entre la convocatoria de concurso por la -

Administración y la inaguración de la exposición, fue de cuatro me

ses. El primer montaje se realizó en la explanada de los Nuevos -

Ministerios de Madrid.

6.2.- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS

6.2.1 .- CUBRICIÓN:

De chapa de aluminio en piezas de p,50 x 0,90 m. solapándose cada

una a la siguiente, con un total de catorce por cada módulo tipo.

El diseño de sección es el usual para cubiertas ligeras de chapa

con apoyo en correas, en que hay una dirección clara de transmi

sión de cargas y la rigidez adecuada en la sección normal a esa

¿irección. Las líneas de apoyo donde entregaría la carga distan

1,80 m. en los tramos centrales y 0,90 m. en los bordes, sobre

las barras de la cara superior ce la malla. Se dispone la placa

de borde a borde siguiendo la dirección del lado mayor del módu

lo. Como se verá más adelante, la chapa plegada de cubierta forma

un plano con inclinación respecto al suelo según las componentes

259

ortogonales . de -los bordes . en las caras infe

riores de algunos módulos se colocan piezas especiales de la misma

chapa para hacer canalones. Se colocan solo los imprescindibles:en

la parte inferior de los "dientes de sierra" que forman los módu—

los, y en algunos bordes; en el resto, el agua tiene caida libre.

En las agrupaciones más compactas de módulos, los canalones que

pueden vertir sobre sus adyacentes o al exterior, la evacuación se

realiza mediante tubería colgada por el interior de la malla de ba_

rras.

6.2.2.- MALLA ESTRUCTURAL

En este proyecto, no existe familia intermedia a flexión entre la

chapa y la estructura de cubierta principal, dadas la distancia en

tre lineas de nudos. La carga va a algo más de la mitad de los nu

dos de la cara superior.

El elemento base de montaje (no de trabajo) es el MBQ&NISMQ PLEQA-

§&? J^er planos adjuntos) formado por las barras de aleación de alu

minio de sección circular (<£ 20 mm. ,) que ocupan el alma de la ma

lla. Están unidas a articulaciones que permiten su giro en un solo

plano: cada barra está unida a tres nudos, dividiéndolas en dos -

tramos de igual longitud. Los grupos de barras colocados en un pla_

no (viga), se agrupan sobre dos direcciones ortogonales formando -

260

NUDO CARAS

SUPERIOR E

NFERIOR

NUDOS

INTERMEDIOS

MECANISMO BASE:

VISTA EN PLANTA

CON TODAS SUS

BARRAS

cuadrícula de 0,87 m x 0,87 m. por lo que tanto a los nudos de las

caras como a los intermedios están unidas cuatro barras (dos en ca_

da dirección).

Quedan los nudos de las caras dispuestos al tresbolillo formando -

dos cuadrículas de 1,73 m. en que cada una va uniendo los centros

de los cuadrados de la otra, o de otra forma, podemos ver una sola

cuadrícula de 0,87 m. trazando las diagonales de los recuadros.

A esta base en la que están colocados todos los nudos (replanteo),

y en la posición de desplegada, se le añaden barras {cordones, morí

tantes y diagonales) configurando el módulo de estructura de cu

bierta, según cuatro variantes diferentes, representados en los

pianos de las paginas siguientes. El mecanismo plegado ocupa un vo

lumen de 1,4 x 1,0 x 1.80 m. (a x b x h ) , y desplegado 12,60 x 9,5

x 1,0 m.

De las barras que se añaden, los gQRDONES de la cara superior son

perfiles de acero de sección en U (60,30); los de la cara infe

rior tirantes de aluminio los cuales llevan incorporados un dispo

sitivo para el tensado; además se colocan perfiles en U en los bor

des inferiores de módulos que van a estar en contacto, es decir,

que van a ser línea de apoyo sobre otros módulos.

Los elementos de S.ESIQS'EEa'MIBNTQ de la estructura de cubierta son

262

- * - NUDOS DE FLANOS SUPERIOR E INFERIOR

i. MUDOS EN PLANO MEDIO

MONTANTE VERTICAL 0 HUECO

CAPITEL

U . ~ PERFIL EN U- .

TT . - TIRANTE 0 MACIZO

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CARA SUPERIOR

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NUOOS OE PLANOS SUPERIOR

E INFERIOR

NUDOS EN PLANO MEDIO

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CARA INFERIOR CARA INFERDR

MODULO TIPO C MODULO TIPO D

•^s^l^-íssgwfyKiSteK!^^-^s- ** de des tipos: MONTANTES verticales en los extremos de las cerchas

y en los nudos de los apoyos, y DIAGONALES para arriostrar la dis-^

torsión angular de los recuadros del plano horizontal; el módulo -

que se monta en primer lugar está excepcionalmente arriostrado.

Los montantes son tubos de acero de § 30 rom. y los diagonales t u —

bos de aluminio de § 30 mm. y <j) 20 mm.

La pieza de NUDO está incorporada en todo momento a la malla base;

los cuatro vastagos (tres en los bordes) en los que se ensartan -

las barras del mecanismo, terminan en rosca con el fin de incorpo

rar arandelas y tuerca para evitar desplazamientos en las barras y

permitir un solo movimiento de giro: son verdaderas articulaciones

planas; el eje de las barras no se corta en el punto que simboliza^

ría el ñudo. Para poder añadir más barras, la pieza dispone de los

agujeros roscados centrales superior e inferior. En el caso de añadir

cordones y otras barras de"las caras, se apota tornillo;! en el caso de

montantes, llevan estos incorporados vastagos de roscas opuestas -

en sus extremos. La longitud de los tornillos está muy determinada

y no se descolocan de sus nudos en los montajes sucesivos.

Siempre hay un dado macizo central. Los esfuerzos más desfavorables

corresponden a la sección de unión de cada vastago al dado central

El material empleado en su ejecución fue' acero.

Los APO¥OS son de dos tipos: uno sobre soportes, a través de un -

265

."capitel" en forma de pirámide muy rígida; recoge cinco nudos de -

la cara inferior de la malla, atornillándose en vertical a la cara

inferior de la pieza de nudo; el otro tipo, juntando dos perfiles

en u de borde superior de un módulo e inferior de otro que apoya,

a lo largo de toda una linea (o dos) de borde.

6.2.3.- SOPORTES

El diseño de éstos es consecuencia de la evolución de los proyec—

taclos para el teatro visto anteriormente. Se mantiene el "capitel"

en pirámide que en este caso recoge las cargas de cinco nudos; se

une ai "fuste" {de altura variable) mediante una rótula, lo que

permite tener el fuste aplomado y el capitel con la inclinación

del plano de la malla. Se apoya el "fuste" mediante "rótula", a :~

una base que se atornilla al suelo. Para dar estabilidad se dispo

nen cuatro tirantes desde las cuatro esquinas del capitel al fuste:

llevan incorporados vastagos roscados en los dos extremos, con los

montantes, y se tensan girándolos sobre su eje. Todas las piezas

son de aluminio: en fuste y tirantes de sección circular y en las

barras del capitel, quizas macizas.

6.2.4.- CERRAMIENTOS

En su día, los cerramientosse ejecutan3n.de¡paneles de madera y lona

26%

http://ecutan3n.de

La sujección de arabos materiales se realiza mediante pilares tubu^

lares de aluminio de 80 mm. , colocados en el perímetro desde ca

da nudo de cada inferior al suelo. Para estabilizarlos aparece a -

un tercio de la altura una brida de la que salen dos tubos de alu

minio hacia los nudos inferiores adyecentes de la fila siguiente.

La unión entre pie derecho y los nudos se hace a través del 4? vas

tago de la pieza de nudo.

La unión entre los tubos inclinados y los nudos de la fila inte

rior se hace atornillando al agujero central de la pieza de nudo.

Con esto queda suficientemente arriostrado.

En los lugares en que no se colocan todos estos apoyos suplementa

rios, se arriostra mediante cables en cruz de San Andrés.

6.2.5.- CARGAS Y PESOS:

Según una pequeña memoria elaborada por C.A.S.A se conocen los si

guientes datos: 2

El peso del mecanismo de aluminio es de 420 Kg.; 3,5 Kg/m . 2

El peso total del módulo cubierto es de 1500 Kg., 12,5 Kg/m . El esfuerzo por soporte es de 6500 Kg. para ün peso de nieve de 50

2 Kg/m . más una succión de viento de 2000 Kg (para viento a 110 :—

Km/h), con el perímetro cerrado.

26?

3,852 (4,600) (3,300)

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2,752

4,952

6.3 - MONTAJE

Como se ha dicho, hay cuatro variantes diferentes de módulos, A,B,

C y D. El módulo A es el primero en colocarse en el orden del mon

taje, y está apoyado sobre cuatro soportes. Los módulos B y C se

apoyan sobre dos laterales de A y sobre dos soportes. Los latera

les de la planta que se quiere cubrir crecerán en los módulos B y C

que sea necesario; la superficie interior se cubre con módulos D, a_

poyados en un solo soporte y en los bordes de módulos B y C (o D).

La esquina opuesta a A en la diagonal de la planta, se cierra con

un módulo D.

El montaje de cada módulo a partir del mecanismo plegado, requiere

el orden siguiente:

Se despliega el mecanismo mediante cuatro carritos de ruedas locas.

Desplegado hasta que sus barras recorren 602 desde la vertical,se

nivelan en un mismo plano horizontal todos los nudos de la cara in

ferior. Se quitan los carritos. Se procede a colocar los cordones

inferiores longitudinales y transversales, y los capiteles del so

porte, es decir, se fijan los nudos de la cara inferior: se ponen

las tuercas sin atornillar a fondo.

A continuación se procede a montar los cordones y arriostramientos

diagonales de cara superior; los perfiles en U se transportan en

269

dos mitades que previamente hay que unir, mediante tornillos. Se -

fijan los tornillos a los nudos. Seguidamente se colocan los mon—

tantes verticales de vigas de borde y capiteles, primero a la ros

ca inferior a fondo y luego a la superior desenrroscando las prime

ras, dejando iguales longitudes en ambos extremos.

Con todas las barras montadas se procede a reglar y alinear los - -

cordones inferiores por medio de tensores incorporados a cada b a —

rra, hasta que en cordón superior correspondiente tenga, algo de ~-

contraflecha. Se aprietan definitivamente tornillos y tuercas y se

rectifican los de montantes. Finalmente se montan las chapas de cu_

bierta y los canalones para acabar el montaje sobre suelo.

Se efectúa el replanteo de recuadros de módulo y ejes de soportes.

Se eleva y traslada el módulo hasta su recuadro. Se tendrán coloca

dos los soportes del caso (fuste y tirantes). Se apoya el capitel

en la rótula final del fuste y se roscan los extremos superiores,

de ios tirantes a los vértices del capitel, cuidando de que cada

dos definan un plano que pase por el eje del fuste, (para evitar »

torsiones). .La inclinación se habrá conseguido porque cada fuste -

tiene su correspondiente altura. Se aploma éste, rectificando lon

gitudes con los espárragos roscados de los tirantes. El capitel -

queda inclinado a partir de su rótula de apoyo, siguiendo la pen-

2 70

diente de gufeierta.

Si el apoyo se efectúa en un borde del módulo anterior, se hacen -

coincidir los perfiles U, sujetándose a lo largo po r bridas.

Por último se montan soportes de contorno y cerramiento como se ha

comentado.

El montaje es un poco más laborioso que para el Teatro anterior, -

debido al procedimiento usado para pasar de mecanismo a estructura

pero responde al mismo criterio. Mas adelante se verán sus venta—

jas en el aspecto de los diseños de estructura posibles.

6,4.- MECANISMO

Las barras en !'x" del mecanismo base abarcan tres nudos.

Partiendo de como son realmente las barras y nudos, la unidad mé—

vil más simple; es plana y está compuesta por cuatro barras y cua

tro articulaciones; en cada enlace el único movimiento es un giro

(9) y las coacciones son los dos desplazamientos: la cadena es un

mecanismo con un grado de libertad. Siendo iguales las cuatro lon

gitudes entre enlaces el movimiento se hace posible.

La unión de varias unidades en el plano, sigue siendo un mecanismo

de un grado de libertad, es decir, solo hay un movimiento posible

271

«OOm

•y*r~ NUDO CARA SUPERIOR

- V I NUDO CARA INFERIOR

^ r NUDO INTERMEDIO

MECANISMO BASE

conjunto, debido a que las barras forman parte de tres enlaces dis

tintos, y propagan la forma de movimiento iniciado en una.

A las piezas de varias cadenas en el plano, se le cruzan en ortog£

nal más del mismo tipo, enlazando en todos los nudos existentes: -

siempre se cruzan o terminan cuatro barras por nudo. Se conserva +-

un solo grado de libertad por lo que hay mn movimiento obligado pa_

ra todas las barras. Para pasar de mecanismo a estructura bastaría

con añadir una barra.

Si ahora se considera el caso en que la longitud de las barras sea

la comprendida entre dos articulaciones adyacentes, es decir, cada

barra abarque solo.dos nudos, se tiene un mecanismo con 9 grados -

de libertad.

Para llegar a un diseño con un grado de libertad es preciso añadir

ocho barras, que se pueden disponer por ejmplo, definiendo una vi

ga de celosía en "x", como la de la figura, en que todas las ba*-

rras pertenecen a algún triángulo. Para pasar a estructura todavía

se necesita una barra más. Estas vigas se usan en edificación sin

añadir la barra que falta. Si los nudos fuesen rótulas verdaderas,

se movería sin llegar a plegarse, (no cumple condiciones geométri-^

cas) pero por ser usual ejecutar el nudo soldando las barras, se *-

consigue que no haya movimiento debido a la rigidez de la unión --

2 73

que en la practica las convierte en barras enteras con varios -

nudos. Esta consideración solo sirve para no considerarlo mecanis

mo; en el cáculo como estructura se supone que los nudos son arti

culaciones con libertad de giro en el plano.

6.4.1.- VARIANTES DEL MECANISMO

Independientemente de que ae puedan elegir otras variantes, se des_

cribre aquí un mecanismo que permite lograr cantos equivalentes a

los da emparrillado o cerchas standard. Se emplea la idea que Pine_

ro usa en 3.a estructura documentada en 1:10 Capitulo I : Cúpula -

desplegable : en ella aparece un reticulado exagonal en la

cara exterior que acompaña al movimiento de plegado.

En este caso, y empleando el mecanismo base de este proyecto, se -

añaden barras contenidas en el plano horizontal de cada cara (supe_

rior e inferior) ', cada una de estas barras solo se enlazan en dos

nudos.

Para que estas barras de las caras puedan acompañar el movimiento,

la idea fundamental consiste en desdoblar uno de cada dos nudos de

enlace, en dos subnudos: en una parte se quedan las barras del me

canismo base que se tenia, y en la otra las nuevas que se añaden.

274

"En el mecanismo base de este proyecto. Pabellón..., se puede tra

zar una única cuadricula en las caras, de 1 f. 224 m. de lado, que -

comprende todos ios nudos, resultando sus líneas a 45° respecto al

recuadro.

Ya se ha visto que el mecanismo base tiene un grado de libertad, i

Se añaden las barras de las caras (cordones) con la condición de -

acompañar al movimiento de G=i por lo que, tiene que ser posible

variar la longitud de las diagonales AB, AC, AD... Una manera de -

lograrlo es que esas barras se inclinen con respecto al plano hori_

zontal, variando la longitud de su proyección en él. Se consigue -

desdoblando un nudo de cada dos consecutivos en la línea diagonal

(una fila si y una no en el recuadro) dn esta forma las barras en

las caras quedan con un extremo enlazado al mecanismo base y el -

otro se desplaza en la vertical junto con el de las otras barras

que van al nudo.

Se entiende fácilmente que el movimiento sigue siendo único, obli

gado también para las nuevas barras, no obstante vamos a comprobar

los grados de libertad del añadido. Sustituyendo el mecanismo base

por uno ficticio que tenga los mismos efectos sobre B, C, D y E al

variar el ángulo. Lo estudiamos para la unidad básica componente,

creando un punto H a distancia adecuada, en función de la longitud

de las diagonales del mecanismo base.

275

G = 3(b-e-l)+>l í i

tenemos:

b = 8 barras

e = 10 enlaces (4 nudos de 1 y 2 nudos de 2 enlaces)

i .= 1*. giro

G = 3(8-10-1)+ *£ 1 = 9+10 = 1

También se entiende fácilmente que la compatibilidad geométrica pa_

ra que el movimiento sea posible está conseguida. En los estados -

desplegados, las barras (de igual longitud) a, b, c y d están en -

el piano horizontal con la longitud adecuada según el ángulo de

desplegado, formando las líneas diagonales; en los estados interme_

dios son posibles las pirámides de base cuadrada; en el estado pie

gado quedan según líneas verticales.

OTRA VARIACIÓN DEL MECANISMO BASE DEL PABELLÓN....consiste en S U —

primir una de cada dos filas de barras diagonales en cada sentido.

De esta forma los nudos de las caras quedan con cuatro barras enla

zadas y los intermedios solo con dos que se cruzan en un mismo pía

no. Los nudos de las caras quedan alineados en una única cuadricu

la según paralelas al recuadro.

A este mecanismo base simplificado también se le pueden añadir ba-

2 76

rras en las caras (cordones). tínicamente se pueden disponer mate—

rializando la cuadricula: las barras, enlazadas solamente a dos nu

dos materializan- el coste en el plano horizontal de la cara y en el

vertical que contiene la "x" del mecanismo base simplificado. En -

cada plano de las dos direcciones ortogonales se forma una viga de

celosía en "x".

6.5,- ALGUNAS ESTRUCTURAS POSIBLES

Seguidamente se analizan nueve posibles tipos, definidos a partir

del mecanismo base de Pinero y del mecanismo simplificado que se ~

comentá en 6.4 "Variantes del mecanismo" {pág ant. ) ambos plega—

bles de barras en "x" que enlazan tres nudos con libertad de giro

en el plano, en todos los enlaces.

De entre los nueve, se analiza en primer lugar el diseñado por Pi

nero para este "Pabellón "módulo tipo B. Se toma su definición

geométrica (longitudes de barjas_.de 1 mecanismo base= 2 m. canto=;l m\

pero no sus datos de material, ni secciones de barras. Se simplifi

ca esta cuestión y lo definido se mantiene para los otro ocho móde

los. Se elige ún recuadro de 8,66 x 6,39 m. barras de acero 0 60,3

y carga q/m = 1.

277

http://rjas_.de

NOTA:

Aunque se pueden.trazar varios ejes de simetría se

aprecia una ligera variación en los valores de ~

las solicitaciones dadas entre las partes simetrí

cas.

Esto es debido a que en las estructuras plegables

por la forma de enlace de barras a nudos,los ejes

de todos los complementos no están contenidos en

un ünico plano y en realidad no se mantiene una

simetría rigurosa porque las barras no están en

lazadas en orden simétrico,súiD siempre del mismo _

lado del nudo en ambas partes simétricas.

Para estructuras que no tienen que pasar por la fase de mecanismo

por necesidades de uso (prácticamente todas), las formas de diseño

tipificada corresponde a cordones horizontales continuos unidos me

diante alma discontinua. Para soportar acciones normales a su d i

rectriz, este diseño dispone de un canto y una inercia considera—

ble, y una disposición tai de las barras para el equilibrio que so

lo son relevantes las soJicitacbnes normales de tracción o compresión

Si para soportar esas acciones, lo hacemos con una estructura pro

viniente de un mecanismo al que se ha coaccionado solo lo necesa

rio , (se puede lograr añadiendo una sola barra) se tendrá en muchas seccio

nes de pieza estructural solo en canto de las secciones de sus ba

rras y una disposición tal que para el equilibrio serán necesarias

otras solicitaciones (en número o en valor) de sección ademas de -

los esfuerzos normales,

La consecuencia es que las primeras consumen mucho menos material

y son ios diseños empleados para cubrir los objetivos usuales.

Dentro de las segundas, en el abanico de posibilidades que va de

añadir las pocas barras de coacción necesaria hasta esos diseños

tipificados, se podrá encontrar diseños eficaces según sean las -

variables; uso, condicionantes de plegado-desplegado, montaje, -

cuantía de las cargas y número de apoyos, aunque siempre con mu

cho menos rendimiento estructural que los primeros.

278

6.5.1.-A •- ESTRUCTURA DEL PROYECTO: MECANISMO BASE Y ALGUNOS CORDONES Y

MONTANTES

La estructura definida por Emilio Pérez Pinero, que se ha ido describien

do en este capítulo, consiste básicamente en una serie de cerchas planas

dispuestas según la luz mayor del recuadro en que los apoyos extremos -

son de descenso nulo, si es sobre soportes, y muy pequeño si es sobre la

cercha triangulada de borde dispuesta en la luz menor. Estas cerchas es

tán muy próximas: tomó los nudos de las filas pares de la cuadricula pa

ra colocar los cordones, de tal suerte que la chapa plegada apoya direc

tamente en ellos.

En la dirección perpendicular, las barras en "x" empiezan en los nudos -

superiores de cada cercha y terminan en los inferiores de la siguiente.

Con está disposición se puede decir que no trabajan: aunque como acompa

ñan en la deformación de las cerchas, entran en carga (poca), su misión

realmente consiste en arriostrar el plano de la cercha (por cuanto en el

mecanismo se mantienen los planos verticales en todo momento) agrupar

las barras de espesor de todas las cerchas y ayudar a que se desplieguen

con un único movimiento.

De los cuatro proyectados, se ha .elegido analizar el apoyado sobre dos

soportes y una cercha de borde en el lado corto. Los capiteles de los so

2 79

portes hacen nulos los descensos de una banda de 1,732 x 6,93, es decir,

es como si las luces entre apoyos fuesen 6,93 x 6,93 m. con la posibili

dad de soportar momentos negativos en las cerchas que poseen un apoyo

nulo interior ©m los capiteles.

A pesar de que el traslado de cargas es unidireccional, tanto deformacio

nes (3,15) como tensiones máximas (cordones: 6,2 y -9,2 ; diagonales¡8,6

y -6,4; • montantes: 9,8) son valores razonables, aunque superiores al ~

resto de los casos que se van a ver seguidamente.

Esto se consigue añadiendo al mecanismo base 114 m. de barras en cordo—

nes, y 14 m. en montantes. Se Codifican aproximadamente la mitad de los

nudos de las caras para recibir las nuevas barras.

280

-1.7 - 1.5

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1-1.2,

DIAGONALES ABATIDAS Q ^ ^ „„,,

COMPRESIÓN 1+)

TRACCIÓN l - í

CARA SUPERIOR

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.-4.5

-4.5

-2.Z

-0.4

CARA INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS

6.5.2.-B --MECANISMO BASE Y CORDONES EN AMBAS CARAS

Al mecanismo base de barras en "x" con los nudos dispuestos en tresboli

llo, se le añaden barras en ambas caras (cordones) formando dos retícu—

las de 1,732 m. de recuadro y empleando todos los nudos disponibles.

La forma posible de ejecutarlo pasa por un diseño diferente de terminal

exterior de enlace de los nudos de las caras, para que las barras que -

se añaden se crucen una sobre otra y de esta forma no crear nuevos nudos

La estructura resultante es un emparrillado de vigas en celosía parale

las a los lados del recuadro, en que se puede considerar que todas las -

directrices de barras están contenidas en un plano; se llaman comunmente

celosías de "x". Los apoyos se sitúan en los nudos inferiores del conto

no- • •

Este tipo de estructura traslada mas carga por las vigas de luz corta. El

tipo de solicitación normal se mantiene como en las cerchas biapoyadas -

de este tipo: en las "x" del espesor (diagonales) corresponden solicita

ciones de compresión a las barras que se inclinan hacía el apoyo y de tra

cción las que se inclinan hacía el nudo central inferior. En el emparri

llado se conserva este carácter para la dirección que traslada la carga

del nudo en mayor proporción, es decirdesdeiun determinado nudo se obser

va en el tramo más cercano al apoyo.

282

No se ha dispuesto ningún montante entre los nudos superior e inferior -

del contorno; las vigas de borde son iguales a sus paralelas interiores,

y sus nudos intermedios (el cruce de las "x") hacen de apoyo para las vi

gas pares perpendiculares, por lo que el tipo y cuantía de solicitacio—

nes de barras de contorno responden a estas características de diseño: -

tracciones ' en los cordones y compresiones en el espesor.Asimismo, la au

sencia. de montantes en el contorno, hace que sean desiguales en valor -

absoluto las soluciones de los cordones en cada tramo.

Las mayores solicitaciones, así como la deformación máxima son del orden

de la mitad que el diseño A, de Pinero. Para pasar de mecanismo base a -

estructura se han añadido 308,4 m. de barras. Se modifica el diseño de -

todos los nudos de las caras.

283

-0.38 - 1.39 „ -1.751

0.4! _ 0.91

2.31

O e4

o

Q ESFUERZOS MÁXIMOS

COMPRESIÓN (+)

TRACCIÓN ( - )

CARA SUPERIOR

PJ

01

PJ

-1.39

s 7

8 -

3 T

i

m o

-1.68 '

ir

-2.24 ',

1

1

-2 .5

-1.64

-1.63

ID

-2.16 ?

- 2 94 '

O

W O

1

(

-E.51

-I.T5

-2.22^2

-2.92

W . 0

1

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1

i •

-~ — •

4

— i

<

6.5.3.-C --MECANISMO BASE Y CORDONES A 45° EN AMBAS CARAS

Sé añaden barras (cordones) en ambas caras al mecanismo base, material!*

zando una sola cuadricula de 1,224 m. de ' lado . Se utilizan todos los

nudos de cada cara. Se vio en la página de este capítulo que se pue

de transformar en un mecanismo plegable de un grado de libertad incluyen.

do estas barras añadidas.

La estructura que se tiene corresponde a un emparrillado de viga de celo_

sía dispuestas en diagonal respecto al recuadro a cubrir, resultando lu

ces de diversos valores. Las barras componentes de cada celosía no están

contenidas en un. plano. Las direcciones ortogonales de vigas comparten -

las barras del espesor, que son las "x" del mecanismo base: en cada r e —

cuadro común a las dos direcciones se comparten cuatro medias "x".

Las máximas solicitaciones son menores que en el caso anterior, y apare

cen solicitaciones con estos máximos valores en mayor número de barras.

Las diferencias de luz de las vigas en este caso, hace que las de luz -

corta de las esquinas, más rígidas, hagan variar la curvatura de las de -

luz mayor recogiendo parte de su carga. La gráfica de momentos de la de

luz larga no tiene porque corresponder a una biápoyada. Dependiendo de -

la diferencia de luces puede sufrir una redistribución de momentos con

parte negativa en los extremos y la correspondiente disminución de los -

285

Valores máximos de solicitación y deformación. Se aprecia en este caso elcam

bio de signo de las solicitaciones de los tramos de cordones situados -

en las esquinas del recuadro de ambas caras. Las barras delespesor tam

bien tienen menos esfuerzos y en conjunto se trasslada la carga a los -

apoyos de forma homogénea.

Para pasar de mecanismo base a estructura se han empleado 196 m. de cor

dones y 18 m. en montantes de contorno. Se redisenan todos los nudos de

las caras.

286

0

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73

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DIAGONALES ABATIDAS Q E S F Ü E R Z 0 S MÁXIMOS

COMPRESIÓN (+ )

TRACCIÓN ( - )

-0,73

CARA SUPERIOR


6.5.4.-D.-MECANISMO BASE, .CORDONES SUPERIORES A 45° Y CORDONES IN_

FERIORES

Sobre el mecanismo base en este caso se mantiene la cara superior

como en C, materializando una cuadrícula en diagonal.. En la cara -

inferior se materializa una cuadricula de 1,732 m. de lado, parale

la al recuadro, empleando la mitad aproximadamente de los nudos -

disponibles.

Esta estructura también se convierte en un meccanismo plegable con

todas sus barras, separando en dos partes la cantidad adecuada de

nudos en cada barra, según la idea expuestas en las páginas

Se puede reconocer como vigas; celosías diagonales respecto al -

recuadro. Vistas así,en el plano que contiene los apoyos solo están

ios cordones superiores. Diagonales y cordones inferiores son com

partido por las vigas de la dirección ortogonal.

También se puede reconocer como vigaSj celosías paralelas respe£

to al recuadro. En este caso, en el plano que contiene los apoyos

se encuentran también cordones inferiores y diagonales. Los cordo

nes superiores son compartidos por la dirección ortogonal. Recono

cidas de este modo, las filas pares de "x" del mecanismo base acom

pañaian.'las deformaciones de este emparrillado descrito.

288

Como la primera forma, conlnces dssLcpaLes. de las vigas componentes,

se aprecia en ios extremos de las largas momentos que traccionan

la cara superior y comprimen la inferior, en mucha menor importan

cia que en el caso C, anterior.

Las solicitaciones máximas en la cara superior, mayores que en C,

(la rigidez global es bastante menor) se acerca a los del tipo B -

con la ventaja de la menor longitud de las barras (pandeo). En la

cara inferior se acercan al tipo siguiente 2, menos complejo.

Las máximas solicitaciones de diagonales "x" y el máximo descenso

vertical tienen valores intermedios entre ambos casos.

En esta estructura se han añadido 182 m. de barras en cordones y -

18 ID. de montantes de contorno al mecanismo base. Se añade la com

ponente de nudo a unas tres cuartas partes de los nudos de las ca

ras.

289

DIAGONALES ABATIDAS O ESFUERZOS MÁXIMOS

COMPSE30N f+)

TRACCIÓN ( - )

CARA SUPERIOR

r-_: .¿96

•3.Q2

-543

-2,es

r

_=3°7 „ ose

1 -3jS0 1 I !-4,64 ,

I I

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• - T ;

......iC-i-T

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• - ? • •

- i 8 ^ O

" - • f

• - r


6.5.5.-E -~ MECANISMO SIMPLIFICADO Y CORDONES EN AMBAS CARAS

Se prescinde de la "x" del mecanismo base contenidas en una de cada dos

filas paralelas al recuadro en ambas direcciones ortogonales. Se desha

ce la organización de nudos al tresbolillo. Los que puedan forman una so_

la cuadricula de 1,712 m. de lado, paralela al recuadro.

La estructura resultante es un emparrillado de vigas en "x" con sus b a —

rras contenidas en un plano, y colocadas en paralelo a los bordes del re

cuadro.

Se conservan las mismas distancias entre líneas de apoyo para la cubrí—

ción dada en el proyecto de Pinero, pero prescindiendo de la mitad de

las barras (160 m.) y nudos, resultan los nudos intermedios (de alma) ex

traordinariamente mas simples: al cruzarse dos barras en un mismo plano

basta un pasador para mantener la libertad de giro.

También se puede considerar que las barras de las caras forman parte de

un único;mecanismo plegable, mediante el desdoblamiento alternativo de

uno de cada dos nudos, como se vio en las1*Variaciones de mecanismo'.'.

Las diagonales mantienen el tipo de solicitación peculiar de las cerchas

biapoyadas: comprimidas las inclinadas hacia el apoyo, y traccionadas

las inclinadas hacia el centro. Cabe observar que las vigas de los bor—

291

bordes tienen la singularidad del apoyo continuo y la ausencia de montan

tes. Asimismo en el resto de las vigas, por no poseser los montantes de

extremo, las solicitaciones de cordones en cada tramo son desiguales en

valor absoluto.

Las máximas solicitaciones son algo menores en tracción y equiparables -

en compresión que para las cerchas de A (proyecto de Pinero), y alrede—

dor del doble que en los casos anteriores. Para pasar de mecanismo a es

tructura se han empleado 169 m. de barras; descontando la simplificación

del mecanismo, es como si solo se añaden 9 m.

292

-0 ,76

-o,eo

0,62

-1,29

0,82

-(¿9

0,62

-0 ,60

1,0*

-1,63

3,27

4,40

4,40

g) 4,13

3,27

1,04

:,76

-2 .02 T -1,63

76

3,62

4,67

3,62

1,76

-0,94 -O-

3,27

4,15

3, £7

1,76

1,04

-0,76

0,62

4,40

4,40

0,82

0,62

1,04

-0,60

-1,29

-1,29

- 0 , 6 0

-1,63 -2,70


COMPRESIÓN 1+)

TRACCIÓN ( - )

-1,63 ^ Tc\76 *"

CARA SUPERIOR

-1,36

-1.26

-2,49

-E,3B

' -vz

-2,38

-2,49

-1,26

' -1,36

-2,63 '

-3,11

-3,83 *

-5,10

-5,45

-5,10

-3,83

-3JI

-2,63

' ^ '

-4,50

-4,36 *

s -6,25

s -4,36

-4,50

-2,72

—^& '

-4,50

-3,83

8 -5,45

© -3,63

-4,50

-2,63

-1,36

-3,11

-2,49

-MO

-3,32

-5,10

-2,49

-3,11

" -1,36 *

-1,26

-2 ,38

-2 ,38

-1,28


6.5.6.- F--MECANISMO SIMPLIFICADO, CORDONES SUPERIORES A 45°, COR__

DONES INFERIORES

Al mecanismo simplificado usado en E, se le cambia la disposición -

de los cordones de la cara superior, sustituyendo la1retícula para

lela al recuadro por la otra a 45° de 1,732/ 2 m. de lado, emplean

do la mitad de los nudos existentes.

El resto, mecanismo base, cordones, cara inferior y montantes de -

contorno^queda igual. Como todos los anteriores puede ser plegable

con todas sus barras.

Si se reconocen cdmo vigas de estructura, celosías ortogonales a 45'

del recuadro, no se contienen en un plano ni diagonales del espesor

ni cordones interiores. También se pueden reconocer como vigas com

ponentes, celosías ortogonales paralelas al recuadro, y en este ca

so no se contiene en un plano los cordones superiores: todo esto co

mo lo descrito para el caso D.

Con respecto a E los resultados mejoran globalmente pues bajan los

valores de compresión, aunque, las barras solicitadas son más largas

y el máximo descenso vertical pertenece de igual valor.

294

en este caso se añaden al mecanismo simplificado, 134 m. de barras

en cordones y 9 m. en montantes de contorno. Quitando los 160 m. de

simplificar el mecanismo base diseñado por Pinero, resultan 17 m. -

menos de barras.

295

COMPRESIÓN (+)

TRACCIÓN ( - )

CARA SUPERIOR

0.3Í

0 .

-3 .69

0.-

0.3?

0.13

0.-

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-5.63

-3.69

-5.63

- 5 . 4 3

0.-

<?•*

0.47

-6 .44

- 5 . 4 4 „

-6.44

-T.3T

- 6 . 4 4

- 5.43

-6.44

otT

0.53

0 -

-4 .41

-8.34)

-T.57

-B.34

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0.-

W ? 4

-0.11 „

-4.72

- 4 . 4 3

-4.72

0^

-4.T2

-4 .48

- 4 . 7 2

-0.11

0.03

6.5.7.- MECANISMOS BASE Y MONTANTES EN NUDOS DE CONTORNO

Mv

Los mecanismo base que se están usando, de Pinero y simplificado, se

inmovilizan y constituyen una estructura añadiendo una sola barra.

Usando estas barras en "x" se puede definir alguna otra configura—

ción que forme mecanismos de un grado de libertad; añadiéndoles una

barra, se puede tener la tentación de considerar las estructuras re_

sultantes dentro del mismo campo de las que acaban de ver. Sobre es_

te tipo de estructuras mínimamente coaccionado, se puede consultar

los trabajos de Escrig (1984) y Escrig y Pérez Valcárcel (1986) ex=

puestos en la Bibliografía.

No obstante también aqui se va a estudiar un caso para cada mecani-

mo base: pasando de mecanismo a estructura añadiendo solo el peque

ño lííjmepode montantes de contorno.

Hay que decir de entrada que resultan peco eficaces, consumen mucho

material y son muy cieformables. La estructura sigue siendo emparri

llado de vigas: cada viga tiene inercia variable, desde un valor -2

(Abarra h / 2 + Ibarra) máximo hasta 21^^^ mínimo. Ante las solí

citaciones Mv, Tv como viga de celosía del emparrillado, con cargas

puntuales en los nudos superiores, se genera el equilibrio en la se

cción de viga con solicitaciones Nb, Tb, Mb, en la sección de las -

barras; las secciones más desfavorables corresponden a los nudos in

297

termedios, en que la sección resistente de viga es la suma de las -

secciones de las dos barras en "x". En el esquema se puede apreciar

que las proyecciones normales a las barras se suman y las cortantes

se restan; las dos solicitaciones son constantes entre dos nudos.

Los cortantes generan momentos flectores de variación lineal que

aumentan ai decrecer el canto y se ajustan a la gráfica de momentos

de viga Mv.

Con cada barra en "x"f que abarca tres nudos, se comporta como de -

dos tramos en los que la sección del nudo intermedio es un empotra

miento, y las de los extremos articulaciones en el plano de la viga

(en el que se ha diseñado sea posible la libertad de giro).

En cualquier estructura triangulada de barras que traslada cargas -

normales a su directriz (con inercia constante-A - - ) , los deseen—

sos verticales máximos son consecuencia de todos los alargamientos

y acortamientos longitudinales de sus barras. En estas estructuras

no totalmente trianguladas, ademas de los movimientos debidos a los

normales de cada barra, hay descensos perpendiculares al eje de ba

rra debido a las solicitaciones Mb en cada una. La rigidez K^ de -

cada barra articulada en sus extremos ante un descenso resultante -

de una ley de momentos flectores lineal (similar a la de una carga

puntual en el nudo intermedio) es la expresión:

298

3 EIL

1 2

Para los tipos de barras usuales (tubcé) esta rigidez es muy pequeña

comparada con la rigidez ante esfuerzos normales K = EA / L , por no -

compara la rigidez a flexión de la sección de la viga de celosía en

caso de tener cordones.

Por la pequeña rigidez K de barra y por la cantidad de puntos de -

estructura en los que se confía a secciones sometidas a M, N, T en

cada viga componente del emparrillado, se producen flechas aprecia-

bles.

Antes de deformarse cada pareja de nudos de cada cara, está en la -

misma vertical. Después de la deformación aparecen bastante lejos -

de ella, habiendo arrastrado fuera de sus planos a la familia de vi

gas colocadas en la dirección ortogonal de una manera no uniforme,

por el corrimiento de nudos comunes. Se producen así desplazamien—

tos horizontales en los nudos ante lo que las barras tienen una ri

gidez similar a K anterior; se generan momentos fleoáores de varia

ción lineal según el eje de la sección no co.ntenido en el plano de

viga. Estos momentos son máximos en el nudo central de las barras -

en "x", y no son nulos en los extremos; dado que las piezas de nudo

299

solo permiten un giro, en el plano de viga (es una condición de di

seño que permite lograr rápidamente G=l) ejercen coacción en los ex_

tremos de barras a los movimientos no contenidas en el plano de vi

ga, apareciendo momentos de signo contrario al del nudo central, co

mo de"empotramiento": Esto pasa en una medida en que todas las soli_

citaciones son casi lo mismo de relevantes/ tienen rango parecido.

Para el cálculo automático de cada uno de los casos se ha deficido

cada "x", como cuatro barras comprendidas entre nudo de cara y nudo

intermedio, articuladas en un extremo y empotradas en el enlace del

centro solamente en el plano de viga. Se han definido también las

piezas de nudo como pequeñas barras biarticuladas enlazadas a la "x"

para definir de esta forma exactamente el tipo de movimiento permi

tido.

ZOO

6.5.3.- G •- MECANISMO SIMPLIFICADO Y MONTANTES EN EL CONTORNO

En la figura que representa los esfuerzos normales de este emparri

llado de vigas de inercia variable paralelas ai recuadro, se puede

reconocer el cordón comprimido superior y el traccionado inferior,

formados por medias barras diagonales; la última diagonal inclinada

hacia el apoyo se mantiene comprimida y su compañera de cruce tra—

ccionada como en los casos anteriores.

Respecto a los esfuerzos de flexión en el plano de cada viga, donde

es posible la libertad de giro, las solicitaciones de momento M co

rao se ve en el plano de gráficas correspondientes, son nulas en los

extremos de las barras: se dijo que cada viga arrastra en su defor^

¡nación a carga norria 1 a su directriz, a los nudos de las vigas que

las cruzan, alabeando el plano en que están contenidas. Estos des--

plazamientos producen las solicitaciones en los planos que no hay -

libertad de giro en el enlace; se acodala la barra contra el nudo -

apareciendo momentos ¿lectores M de variación lineal y torsores M y 2 x

constantes. Los esfuerzos cortantes son en ambos casos (T y T ) -y z

los procedentes de variación de las solicitaciones de momento.

Los mayores esfuerzos en valor absoluto son los normales de compre^

sión (5,3) en las diagonales: centrales, y (4,9) en los montantes de

301

borde. Son los valores ligeramente menores que en E. El momento ad_i

cional que debe soportar la barra por la casi ausencia de canto, Mz

es máximo (2,3) en las diagonales centrales de la luz corta. El cor

tante que genera este momento, Ty, tiene un valor máximo (2,3) en -

las mismas barras. Los valores de My son máximos en las barras que

tienen desplazamiento fuera del plano "de viga" y corresponden a -

las barras de las cuatro esquinas (1,25) siendo también altos los

cortantes Tz que acompañan las existencias de estos momentos (2,3) .

Los momentos torsores también son máximos en las barras de las es

quinas (0,8) por los mismos motivos. Para pasar de mecanismo a es

tructura se añaden 18 m. de longitudes de barras, pero por la sim

plificación del mecanismo base de proyecto, retiramos 160 m.

302

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167

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~£.s

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^£,05 - 3 . ( 6

W? ' .

V*»

BARRA COMPRIMIDA

BARRA TRACCIONADA

O MAXtMAS SOLICITACIONES

NORMALES

My

My

1

t \ t

Mi

Mz

Esca la de solicitaciones

fr™l 1 I1" i i l i i t I O ,5 1 2 3 4 5

MOMENTOS

í\

^

Escola de solicitaciones

K" i" | i i i 1 'i 1~~r O ,5 1 Z 3 4 5

CORTANTES

6.5.9.- H •- MECANISMO SIMPLIFICADO; CONDONES A 45° , CORDONES CON

TORNO AMBAS CARAS Y MONTANTES

Si se imagina la estructura organizada según vigas en diagonal r e s

pecto al recuadro, coexisten dos tipos: con cordones y diagonales -

{1= constante) y solo de diagonales {I variable). Además las barras

diagonales (la "x") las comparten con las vigas de la dirección or

togonal en cada tramo.

Aunque la carga se recoge en los nudos de la cara superior a los

que van cordones, y podría pensarse que funcionan solo las vigas

con cordones, con las diagonales compartidas todas ellas tienen so_

licitaciones M, N, T cerno en G, y sus valores son aproximadamente -

la mitad que en G. La ventaja de haber añadido cordones se aprecia

en la flecha máxima, de valor la quinta parte que en G, las solici

taciones normales de cordones son equiparables a los de F.

Esto es así, añadiendo 160 m. de barras respecto a G y 26 respecto

a F. ste tipo no tiene campo de aplicación.

306

•0.61

DIAGONALES ABATIDAS O ESFUERZOS MAXINDS

COMPSESÍCN (+]

TRACCIÓN ( - )

CARA SUPERIOR


M,

T,

6.5.10.-II .- MECANISMO BASE Y MONTANTES DE CONTORNO

Una característica del mecanismo base de Pinero es que en todos los

nudos se cruzan cuatro barras; las "vigas" de inercia variable s e —

gún las dos direcciones ortogonales se cruzan en los puntos de iner_

cia máxima y en los de inercia mínima.

Como puede versé en las gráficas adjuntas, en esta estructura las -

solicitaciones máximas a tracción y compresión son del orden de 23:

cuatro veces mayores que en el emparrillado anterior, en que tenien

do este la mitad de las vigas corresponde doble carga por nudo. Los

momentos flectores Mz (0,6), cortante Ty (0,6) y torsores (0,2), -

son aproximadamente cuatro veces menores que el anterior, así como

el máximo descenso vertical. Los flectores My (0,6) y cortantes Tz

(0,9) alrededor de la mitad.

Tan sorprendente como el valor de los esfuerzos normales es el día-

grama de reacciones en los apoyos: tracciones en los lados cortos y

compresiones en los largos.

Veamos como puede ser el modelo de comportamiento que la hace tan -

poco eficaz para ser utilizada: organizada según vigas paralelas al

recuadro, contenidas en planos ortogonales, las de luz corta presen

309

tan la situación inversa. Si aislarnos un recuadro entre cuatro n u —

dos es como si los momentos "de viga" en su plano tienen sentidos -

opuestos para cada dirección {los valores nunca son iguales).

La estructura se puede organizar también según vigas ortogonales en

las direcciones a 45° respecto al recuadro, pues ya se vio que los

nudos pueden formar una única cuadricula; en este caso las barras--

de las vigas no estarían contenidas en un plano: los nudos superior

e inferior están en el plano vertical que contiene la directriz;

los nudos intermedios, en el plano horizontal que contiene la direc

triz, Estas vigas conservan la inercia variable a torsión, siendo -

Io=Ix=A en la sección de viga dada por los nudos de las caras, e —

Io=Iy=ij5 en la sección de viga por los nudos intermedios.

Si nos imaginamos un elipse de Lame de momentos (o un circulo de —

Mohr), en una dirección a 45° de las anteriores tendremos momentos

torsores importantes y flectores secundarios. El hecho de tener ri

gidez a torsión, aunque no sea en todas las direcciones, hace que -

el comportamiento se parezca al de una placa más que al de un empa

rrillado.

Si lo apoyamos en cuatro puntos, se deforma como un paraboloide (su

circulo de Mohr será casi igual sustituyendo momentos por fuerza -

(en la dirección de las asíntotas de la hipérbola solo hay esfuerzo

co-rtártte'í; ••

310

Si en vez de apoyarla en todo el contorno se le apoya solamente en

los bordes de mayor longitud, las reacciones de las esquinas son de

tracción; el resto, compresión. Las solicitaciones son alrededor de

un 20% menores y el descenso máximo un 20% mayor. El modelo de com

portamiento se diferencia pocG del apoyado en todo el contorno; si

guen transladando carga las vigas en diagonal, mediante momentos -

torsores "de viga" a pesar de tener solo la dirección corta de las

vigas del recuadro biapoyadas; habría que dotarlas de mucha inercia

a flexión (colocando algunos cordones paralelos a un lado del recua

dro, por ejemplo) para que abandonara este comportamiento. Si el re

cuadro es un cuadrado en vez de un rectángulo, es decir, si las —

"vigas" son de la misma lúzalos ejes de simetría dividen en partes

iguales^ no se observa este comportamiento.

Manejando valores pequeños de carga {poco más que su peso propio) -

se puede sufrir el "espejismo" de que sirva, tal cual se está defi

niendo el tipo I íaunque la'c^ormada como un paraboloide debería ser

muy llamativa hasta para su peso propio, pues Pérez Pinero coloco -

en este mecanismo, además de los montantes usados aqui, unos cuan—

tos cordones según una dirección, como el modelo que se analizó en

A, cambiando con ello notablemente los valores de inercia en deter

minadas secciones, donde ya se vio que funcionaba aproximadamente -

como unas cuantas cerchas.

311

—COMPRESIÓN

—TRACCIÓN

O ESFUERZOS MÁXIMOS

NORMALES

/ u O ,5 1 2. 3 4 5

CORTANTES

B: . ^ 3.4 5 * 2 8 S*B3A i . 5 5 ^ - - i , _ _ 1.5 5

r-i 2 ' 7 4 i . ^

4.08 [

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1 5 51.

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A A 3.19 ;T4"~4.21 3.42

RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES

DEFINICIÓN

De pmilio Pérez Pinero

Mee. base Pinero + cora.

ambas caras

Mee. base Piñero+cord.45°

ambas caras + mont.

Mee. base pjfi-. +cord. sup. 45C

+cord. inf. + mont.

Mee. simplif. + cord.

ambas caras

Mee. simplif.+cord.sup.43D

+ cor. inf. + mont.

Mee. simp. + mont.

Mee. simp. + cord. 45°

ambas caras + mont. Mee. base Pinero + mont.

A

B

C

l

l

F

G

Y

I

. ,COMP.

N

6.3

3.82

2.72

3.55

6.65

'5.7

6.46

_

TRAC . ' 'CORD .

-9.2

-4 .23

-3.73

-7.93

-7.80

-8.34

_

-8.37

_

NCOMP.

8.6

3.51.

2.88

4,16

5.20

6.57

5.3

5.93

23

NTRAC. 'THAG.

-6.3

-2.16

-2.16

-3.30

-2.03

-5.7

-4.37

-5.27

22.8

MCOMP. 1 lMONT.

9.8

-

3.1

2.08

_

4.57

4.89

5,19

2.7

\

0.8

0r25

0.2

\ \

1.22

0.57

0.6

M 1 lz

2.33

1.14

0.6

TY

2.33

1.14

0.6

Tz

2.3

0.97

0.9

WMAX.

3.15

1 .67

1.38

2.39

3.7

3.8

299

57.1

89.3

%ul

100

53

Sb + , Sb + .Ib cord mont mee.

114

384.4

43,8 196

76

117

120

_

-

-

182

169

134

_

160

-

14

-

18

18

-

18

18

18

18

160

160

160

160

_

í % b

100

300

167

156

-7

-6

6.6.-RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES

En este cuadro se han agrupado las máximas solicitado

nes en cada diseño realizado para el recuadro de 8,65x—

6,92 m. / los descensos ai se leen en cm. si la cargaes 2 2

q=1t/m ; más cercano a la situación real q-100Kg/m .se -debe leer ¿o en mm,

El diseño más rigido corresponde al tipo D, que traslada

sus cargas a los apoyos casi como una placa. Los distin

tos valores de solicitaciones y deformaciones lo hacen -

útil para los casos de grandes luces, como recuadro ais

lado apoyado en el contorno. Comparado con B, su inmedia

to y próximo seguidor, este consume un 100% más de mate

rial en las caras para prácticamente el mismo campo de -

aplicación.

El tipo D, ahorra material respecto a B y C, pero salvo

por la poca luz de pandeo de ios cordones comprimidos y

la menor flecha, las soluciones E y F pueden cubrir casi

todo su campo, donde las deformaciones no sean determi—

nantes.

317

E y F se muestran eficaces para poca carga y luces no --

muy grandes; también para, grandes luces pero continuidad

en los apoyos, es decir, un único recuadro con voladizos

o varios recuadros apoyados en lineas continuas con el -

cambio de curvatura dentro del recuadro, se consigue re

distribución de esfuerzos máximos, mayor número de ba

rras solicitadas a los mayores valores absolutos y menor

deformación.

El campo de aplicación de G y H se reduce a soportarse a

si-mismos si la luz no es muy grande {sombrillas y entol

dados de poca entidad y duración). Entre las dos, G es -

de manejo menos aparatoso. Si para algo más puede usarse

será en base a la de repetición de pequeños módulos apo

yados en continuidad; más adelante se verá que existen -

algunas desplegables según superficies curvas de tan po

cas barras como esta y más eficaces. El tipo I es absolu

tamente inadecuado en cualquier caso.

El diseño del proyecto (A) es conservador para las luces

y cargas para la que se proyectó. Para usarlo con gran—

des luces se puede pensar en la continuidad, con apoyos

intermedios, como se ha dicho en los anteriores, asi co

mo que cualquier diseño se puede emplear sobre apoyos

318

puntuales, máxime empleando capiteles como el de este -

proyecto, que incluye tantos nudos de descenso nulo.

Un estudio de estos modelos sobre apoyos puntuales daría

rasgos particulares pero pocas veces determinantes para

escoger el tipo, según el problema.

Aunque no se ha hecho hincapié en ello, los recuadros de

los emparrillados deben de ser arriostrados frente a la

distorsión angular en el plano horizontal, aunque no se

les someta a acciones horizontales. En los casos usuales

con nudos que llevan las barras soldadas o atornilladas,

se confia esta indeformabilidad a la rigidez de las unió

nes recurso no procedente en estos casos en que los enla

es de giro no se les coacciona el movimiento en el esta

do final de la estructura.

Los valores dados en el recuadro correspondiente a los -

descensos, son los conseguidos mediante el cálculo exac

to . El tipo de nudo diseñado por Pinero es posible que -

ayude al aumento de dsistorsiones y flechas totales de -

las estructuras. Para afirmarlo con toda seguridad, solo

es posible verificarlo con ensayos y comparar con los re

sultados obtenidos del cálculo exacto.

319

CAPITULO VI I VIDRIERA DESPLEGABLE

7.1.- DESCRIPCIÓN GENERAL

Se trata de una estructura plana que se despliega según un plano vertical

juntamente con sus paneles de cubrición en todo momento incorporados/ y -

que en la posición de desplegado cubren una de las caras con sus juntas a

tope (aunque el diseño admite que puedan ser también solapadas). En el ca

so del proyecto que nos ocupa los paneles son de vidrio y el uso previstOj

'la separación de dos espacios en el Museo de Dalí. Se cubre una pared se

gún un recuadro de 7x7 m. según la maqueta y la idea del conservador del

museo (ver número 1.13 en el capítulo I), distinta a lo contenido en la -

documentación que recoge la Revista Arquitectura n2 162-163

El mecanismo base es el mismo ¿(el proyecto anterior; el mecanismo para

el .• movimiento de los vidrios que lleva incorporado constituye lo nuevo

de este proyecto así como su disposición en vertical. La patente que des-;

cribe este mecanismo no estructural lleva el n? 397963, y fecha de 1971:

solo describe los componentes a utilizar y las uniones, sin tratar problé

mas de escala ni dar planos acotados.

Emilio Pérez Pinero tenía idea de ofrecerlo a la NASA como soporte para -los paneles solares de los satélites espaciales.

320

Soporte

ALZADO

Es t ruc tu ra

7.2,-DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS Y DEL MOVIMIENTO

7.2.1 .-CUBRICIÓN .

En este proyecto en particular, la cubrición esta compuesta por 36

PANELES DE PLÁSTICO transparente de 1,0x1,0 m. y 4 mra. de espesor.

Los bordes superiores e inferiores de estos paneles son libres, y -

ios derechos e izquierdos llevan dos bisagras cada uno. Los paneles

con la estructura desplegada forman un plano vertical con las jun—

tas a tope. Mirando en la posición de^desplegado, por columnas vor-

•cicales alternadas aparecen bisagras a brazo de sujección, estos en

posición- vertical en ese momento.

Durante el movimiento de plegado, cada dos panels adyacentes unidos

por sus bisagras forman un diedro saliendo hacia afuera del plano -

que forman, recorriendo de la posición 180° a la 0o. Al mismo tiem

po el borde unido al brazo de sujección va siendo girado desde su -

posición vertical a la horizontal por el movimiento estos brazos su

jetos a los nudos de la estructura, en un movimiento simultáneo. Du

rante el movimiento los paneles describen planos en zig~zag y en la

posición de plegado cuelgan hacía el suelo como banderolas, solapan

dose uno dentro de otros, formando cuatro columnas.

322

PIEZA DE NUDO

¡3TP1EZA DE NUDO HORQUILLA CON PASADOR

VISTA EN PLANTA A MEDIO MOVIMIENTO

Los BRAZOS ARTICULADOS de sujección de paneles constan de tres pie

tinas colocadas en tres planos paralelos:los paneles van unidos a

las dos exteriores que forman con la intermedia una "x"; cada ple

tina tiene tres articulaciones de las que solo comparten la cen

tral; de las de extremo, una está enlazada al nudo de estructura y

la otra es libre. Están encadenadas de la siguiente forma: en cada

nudo de la estructura se articulan dos pletinas de paneles corres

pondientes a un tramo y una intermedia del tramo anterior,y en ca

da borde libre se articulan dos pletinas de paneles correspondien

tes al tramo y una intermedia del tramo siguiente y así sucesiva

mente. De otra forma, cada pletina con panel se une a una interme

dia distinta pero correlativa en cada una de sus tres articulaciones.

Los paneles se sujetan a las pletinas a través de chapas plegadas

en Z, en que la plegadura intermedia tiene longitud variable para

permitir acoplar unos paneles dentro de otros en el estado de ple

gado; de sus extremos, uno se suelda al brazo y en el otro se ator_

nillan las bisagras.

Para la unión de brazos a estructura se emplean los nudos de cua—

tro columnas alternas. La pieza de unión es una horquilla que se a_

tornilla al nudo y que alberga lastres pletinas de los brazos, suj_e

to todo por un pasador. Los nudos de las columnas que quedan, van e_

quipados con una pieza circular que sirve de tope al panel en el pla_

no desplegado, a fin de evitar que se descoloquen de ese plano d e s

plazándose hacia dentro de la estructura.

324

VISTA LATERAL PLEGADO

PLETIHASE-J Z

3|£ z¡ttt

scrcriE

-¡^fc^-p^

PANELES

1ttl

i l t

üt

1fli • - i

Ufe s

L t ^ ¿ '

J IL

JftL

jfflL

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í=s ¡ sai

r ^ - J

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JtíL

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l - J l t - ,

A

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Jtt

J!EA.lflS_

I LFTIÍiAS

SOFCrTE

VISTA DE FRENTE PLEGADO

7.2.2.-MALLA ESTRUCTURAL

La estructura de sujeción del cerramiento vertical se compone de ME

CANISMO PLEGABLE de barras en diagonal entre caras paralelas; su --

forma y disposición es la del mecanismo base que Pinero utilizó en

el Pabellón para Exposiciones, de cuatro barras por nudo y nudos al

trebolillo.

La disposición.que se eligió aquí para colocar el emparrillado orto

gonal es con la'viga a 45° del recuadro a cubrir; tiene la ventaja

que los nudos de las caras-definen una única cuadrícula paralela a

los lados del recuadro, de 1,0x1,0 m. La longitud de estas barras -

es de 1,69 m. su sección es circular hueca de 0 = 25 mm. y e= 2,5 -

mm.

A esté- mecanismo se le añaden MONTANTES entre los dos nudos opues

tos de las caras. Constan de dos barras: una de ellas maciza de Ion

gitud 0,792 m. y sección circular 0 8 mm., y la otra hueca de longi

tud 0,790 m. y sección circular 0 14 mm. e= 3mm. Cada una de estas

barras esta roscada por un solo extremo al nudo de la cara corres—

pondiente y colocadas una dentro de otra. Durante el movimiento des

lizan entre sí no llegando a separarse en la fase de plegado.

326

Resumiendo,, la estructura se compone de barras en diagonal unidas a

tres nudos mediante articulaciones del giro, y barras normales a —

las caras que contienen lo que hemos ¡.llamado articulación deslizar^

te: ambas están en todo momento en la malla.

El diseño básico de las piezas del NUDO es el visto también en el -

proyecto anterior: el dado macizo y los cuatro brazos roscados con

los ejes coplanarios que reciben las barras del mecanismo. Este di

seño es el de todos los nudos colocados en el gspeso'r de la malla.

Para fabricar la pieza de nudo se mecanizan tres diferentes; el da

do atravesado por dos cilindros huecos, un cilindro grande con dos

brazos roscados que se acoplan el el hueco del nado y un cilindro -

pequeño con dos brazos roscados que se acopla en el hueco que atra

viesa al" dadoty1 al cilindro grande; queda libre el movimiento de des

lizamiento de esté último hasta que se coloquen las barras con sus

tuercas.

La variación de diseño a partir de este modelo básico obedece a la

especialización que se le asigne al nudo; asi,en los de la cara in

terna que reciben montantes se ha prolongado la longitud del dado -

pasado a 40x40x85 mm. hasta albergar el vaciado de la barra roscada

montante, vaciado que no alcanza a los cilindros de los brazos que

atraviesan el dado central. En la cara externa los nudos de la m a —

32?

^ K l« \ $•

f-saí o X Lu. Je. ^V

tnr^Olr^ ^ ¿k ¿^C U* ¿*—¿-V f-iucL^'^

(Dibujo para Salvador- Dalí: ver Anexo)

lia tienen distintos los acabados: los cuatro nudos que roscan el -

soporte (se añade tubo de 0 30 cm.;e= 2 mm.a un dado de 40x40x10^

los 28'inudos que reciben los brazos de sujección de cristales (vacia

do 0 10 para rosca de tornillo), y los 21 nudos intermedios que

contienen al elemento de tope de cristales (vaciado 0 5 con rosca).

Se preveen cuatro apoyos dispuestos simétricamente sobre un soporte

en forma de cruz. En la pieza de nudo se encuentra la rosca y en la

cruz,el vastago y la tuerca.

7.2.3,- SOPORTE

El elemento de soporte de la vidriera está constituido por una cruz

vertical formada por perfiles metálicos de sección en cajón, anclado

y atirantado a una base prismática. Esta alberga un motor encargado

de dotar de movimiento automático a la vidriera. La transmisión del

movimiento es déla siguiente formarlos cuatro nudos de apoyo se ator

nillan a cuatro cojinetes a bolas dentro de los que gira un tornillo

sinfín accionado por el motor; solo el tornillodel brazo inferior de

la cruz está accionado por el motor; el movimiento se transmite a los

otros tres a través de una caja de engranajes situada en el cruce de

la cruz; al giro de los tornillos los cuatro cojinetes se desplazan ~

por los brazos, entre dos topes extremos.

328

La velocidad de deslizamiento de los cuatro nudos necesariamente tie

ne que ser la misma así como la distancia a los topes en todo momen

to, pues el mecanismo base es de un grado de libertad, con un solo mo

vimiento obligado; serviría lo mismo desplazar un solo nudo. En el a-

nexo figuran copias de trece hojas manuscritas por Emilio Pérez Pine

ro con la descripción de este soporte.

7.3.-MONTAJE

En los proyectos anteriores el condicionante traslado-montaje-des—

montaje de estructura no obligaba a que todas las barras estuvie—

ran siempre enlazadas en el paquete. En este caso no se traslada, -

solo se pliega y despliega por lo que esta circunstancia es un dato

de partida en el diseño, convirtiéndose en prioritario el paso sin

intervención manual, de mecanismo a estructura y viceversa por tan

to el montaje se ejecuta una sola vez.

329

7.4.-MECANISMO

En el mecanismo base, formado por barras que enlazan en tres nudos

cada una mediante articulaciones de giro, la cadena cinemática más

pequeña está formada por cuatro barras. Esta disposición ya la co

nocemos de los trabajos anteriores y sabemos que forman un emparri

llado de un solo grado de libertad al que bastaría con añadir una

barra para inmovilizarlo.

En este proyecto,, con todas sus barras desde el principio, todas —

las cadenas de cuatro barras están trianguladas; se añade una barra

que contiene una articulación deslizante. Al moverse, acompaña la -

variación de longitud de la diagonal de la cadena desde su longitud

de barra hasta el doble entre los dos estados extremos.

7.5.-OTRO MECANISMO POSIBLE

Dotar a este emparrillado de canto e inercia grandes es un poco di

fícil. Pinero en su solución de esta pared con paneles incluidos, -

no dispone barras en las caras que forman parte del mecanismo ni la

añade al estado desplegado. Ciertamente para el uso que se pretende

de apertura y cierre indiscriminados, no es apropiado complicar el

330

Proceso de montaje o el paso a estructura. Por otra parte, añadir -

barras a las caras exteriores, como se ha hecho con el mismo „eoa-

nismo en el capítulo anterior, desplegando en horizontal, tampoco -

facilita el uso ya que el plegado va aumentando la altura del pague

te de barras y se puede calificar de poco compacto.

Una soluci6n que miminiza esto, damdo canto y rigidez se puede com

poner usando la viga de celosía triangulada vista en 5.5.2 "Compara

oiones con otras vigas trianguladas" pag. . p u e d e £ o r m a r p a r t e

de un emparrillado manteniendo comunes determinados montantes en -

los cruces de vigas ortogonales, (dependiendo de replanteo y enla

ces de las partes elegidas). Puede emplearse porque el estado de -

Plegado tiene una altura del pacuete lfl= 1 ^ « ^ con g r a n p a r t g _

de los montantes (l-a> iffl sobresaliendo como barras aisladas en la

cara que no soporta paneles.

Su desventaja más sobresaliente respecto al diseño de Pinero es que

no se transforma en un mecanismo de un grado de libertad. Cada viga

triangulada es isostatica (G=0). si se quiere plegar hay que incluir

una libertad en cada dos triángulos adyecentes para podemos desha

cer: además de la libertad de giro en los nudos es preciso incluir

una libertad de desplazamiento. Si se añade al enlace montante-nu

do, se pliega con una cierta"limpieza". Los grados de libertad que -

resultan, son tantos como deslizamientos, es decir tantos como mon*

337

tantes (no es necesario demostrarlo empleando la expresión del Criterio

General de Movilidad). Parece una tarea imposible plegarla como si solo

tuviese un único movimiento. Seria necesario tirar de mas puntos que los

cuatro que figuran en el proyecto (que para el otro mecanismo son excesi

vos) para obtener un.movimiento poco desordenado.

7Bj-ESTRUCTURA

Es un emparrillado apoyado en cuatro puntos. Las vigas componentes están

dispuestas en diagonal respecto al recuadro. Tienen altura variable des

de 0,8 m. hasta la correspondiente de las barras componentes, y por con

siguiente inercia variable. La situación de los apoyos hace que el 20%

de la superficie del emparrillado esté "entre pilares" y el 80% "en vo

ladizo".

Se ha realizado el análisis para dos hipótesis de carga: I, paralela, y

II normal al plano del emparrillado, equivalentes a las direcciones de 2

peso propio y viento. La cuantía, q/m - 1.

En la primera hipótesis el traslado de lacarga se hace casi por lineas

horizontales. Las solicitaciones más desfavorables se encuentran en las

"x" cercanas a los apoyos contenidos en el eje de simetría vertical; es

como si recogiesen la carga de las partes en doble voladizo. Las reaccio

nes se representan en la figura.

332

La segunda hipótesis, trasladando cargas normales ai-plano del emparrilla_

do, es la de peor respuesta dada la rigidez de la estructura. Las vigas

que "diagonalizan" el recuadro, las más largas, son las que recogen gran

parte de la carga. Las cuatro situadas en recuadro a 459 que une los apo_

yos, por su menor longitud y deformación, hacen de apoyo a -stas más lar_

gas recogiendo su carga, y siendo las mas solicitadas a esfuerzos normales.

Los máximos flectores debidos a la carga, se encuentran en el centro de

las vigas más largas. Momentos torsores y otros flectores procedentes de.

las coacciones al movimiento se encuentran alrededor de los apoyos.

En ambas hipótesis de carga, los montantes, con su unión definida como

apoyo a tope, no son solicitados.

333

Cora Supvtor

CORTANTES MOMENTOS K

NORMALES

HIPÓTESIS DE CARGA PARALELA AL PLANO DEL EMPARRILLADO

Coro Superior

CORTANTES

Cara Superior

MOMENTOS «•

Coro Inferior

NORMALES

— COMPRE SI OH

TRACCIOW

HIPÓTESIS DE CARGA NORMAL AL PLANO DEL EMPARRILLADO

7.7j- EN RESUMEN

Este proyecto es un sistema magnífico de empaquetar un pía

no, no acompañado de una estructura dotada de la rigidez

necesaria para soportar grandes esfuerzos debidos a gran

des luces sin deformación excesiva, y válido fuera de la

gravedad de la Tierra, donde la NASA lo pudo haber utili

zado de haber aceptado el ofrecimiento de Piáaero.

336

APÉNDICE A LA PARTE 2A

MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DESPLEGABLE SEGÚN UNA SUPER

FICIE PLANA

A-l.-MECANISMO

Hasta aquí se han estudiado mecanismos base de "x" y sus emparri—

liados de vigas de celosía que dan una retícula de cuadrados, por

haberse empleado en su generación dos direcciones ortogonales de -

planos verticales: las unidades componentes osan prismas de base -

cuadrada con formas diversas de situar las barras-aristas de las -

bases.

Ahora nos parece oportuno comentar otro MECANISMO (Y ESTRUCTURA) -

posible configurado con las "vigas" en "x", aunque no esxista nin

gún proyecto ni modelo de Pérez Pinero realizado; solo un comenta

rio al definir el contenido de su primera patente (de 1961), de la

que nos ocuparemos en la parte siguiente. -

El MECANISMO BASE se ejecuta con cadenas de "x" contenidad en el -

plano, dispuestas según tres direcciones, sin que coincidan en la

misma vertical los nudos de las caras superior e inferior. Los pía

337

MECANISMO BASE DE BARRAS

EN X , DE TRES GRADOS DE

LIBERTAD

O NUDOS CARA SUPERIOR

• NUDOS CARA INFERIOR

• ^ NUDOS INTERMEDIOS DE CRUCE

nos que las contienen quedan inclinados, enlazadas de tal forma -

que a los nudos de las caras van .tres barras y en los nudos del -

espesor se cruzan tres barras. La unidad básica es una doble pirámi_

de de base triangular (puede ser un doble tetraedro) de la cual por

ahora solo se han materializado con barras las aristas al vértice

común,

Cada "viga" en "x" plana, aunque esté inclinada, tiene un grado de

libertad y se le coacciona todo movimiento añadiendo una barra. El

tipo de nudo empleado es el mismo que se ha visto antes, con tres

vastagos en vez de cuatro: se dispone de forma que el plano que con.

tiene los vastagos sea paralelo al que forma el mecanismo desplega_

do, siendo los agujeros de las barras para el enlace los mismos —

(perpendiculares a la directriz de la barra) que los de los mecanis

mos vistos hasta ahora: la barra enlaza nudos desplazados de la ver

tical y puede girar hasta colocarlos en vertical.

Se tienen "x" planas en tres direcciones que se cruzan en el nudo

intermedio: una barra coacciona el movimiento en una dirección y

dos nudos comunes de las otras dos; otra barra mas, coacciona el rao

vimiento de esa dirección y los nudos comunes a las otras; pero t o —

davía existe un giro que aceca las dos anteriores; hay que colocar

una tercera barra para inmovilizar: el mecanismo base tiene TRES

GRADOS DE LIBERTAD.

238

Visto de^otra forma, desde las unidades básicas, las dobles pirámi

des: si se materializa una arista de una base, esta barra inmovili

za dos nudos (y los dos opuestos); otra barra más, crea otro trián

gulo con el vértice común e inmoviliza otro nudo (y el opuesto); pe

ro todavía existe la posibilidad de que ios planos de estos dos

triángulos creados giren y se plieguen en uno solo, por lo que es

necesario añadir una barra más. Por tanto necesitamos inmovilizar -

cada uno de los tres planos, que solo tienen en común un nudo. Fijos

los seis nudos, las barras en "x" que abarcan tres nudos, extienden

la inmovilidad al resto,

A este mecanismo base con tres grados de libertad, se le pueden

añadir barras en las caras (cordones) al estilo dela'Cúpula para —

grandes luces" en que hay una retícula exagonal en la cara supe

rior. Se pueden añadir hasta su total triangulación y ver como se

puede convertir en plegable: totalmente triangulada hay barras en_

tré cada nudo y todo sus adyacentes (seis) ; están materializadas fe

todas las aristas de las bases de las dobles pirámides.Para que se -

pueda plegar hay que deshacer todos los triángulos. Para ello en -

cada barra de la cara se desenlaza un extremo y se mantiene enlaza_

do el otro. Por ejemplo se puede hacer que "a" quede fijo en 1 y

libre en 2; "b" fijo en 1 y libre en 3 y "c" fijo en 3 y libre en

2. Se tiene que desdoblar los nudos 2 y 3: el 2 en dos partes ta

les que en una quedan las barras del mecanismo base y en la otra

las "a" y "c" de esta pirámide (más cuatro de las adyacentes); el

339

nudo 3 se desdobla en dos partes tales que en una quedan las tres

barras del mecanismo base y otras dos más de las pirámides adyacen

tesf el nudo 1 queda con todas sus barras (seis + tres) enlazadas.

Lo mismo para la otra cara con la otra pirámide.

Durante el movimiento de plegado los nudos desdoblados se despla—

zan en vertical mientras se achican los triángulos equiláteros de

la retícula de nudos base: las longitudes de los lados equiláte ?

ros ahora sen proyección de las barras que se inclinan para plegar_

se.

Las condiciones geométricas para que sea posible el movimiento son^

que las barras en "x" sean iguales con el enlace intermedio a la -

mitad de la barra, y que las de las caras sean iguales para que ¡~M

formen una retícula de triángulos equiláteros) que mientras se va

plegando, desde los vértices 2 sean posibles las pirámides de base

exágonal, y desde los vértices 3 las de base triangular, hasta que

las barras de las cara--se junten en vertical. El mecanismo base de

diagonales en "x" mantienen sus nudos en planos componiendo retícu

las semejantes de exágonos regulares divisibles en seis triángulos

equiláteros: alrededor de cada nudo están los 36Q°correspondientes

a 6 por 60°.

Hay que hacer notar que este mecanismo se pliega bien cuando se

aplican tres fuerzas en tres direcciones a 120?; esto hace que el

movimiento total parezca comoúnico obligado.

340

A-2,-VARIANTE DE MECANISMO

Si se sigue manteniendo las cadenas de "x" en los planos vertica—

les perpendiculares al de desplegado, existe otra posibilidad: po

demos organizar estas "vigas" planas en "x" de un grado de liber—

tad, según tres direcciones de manera que los nudos de las caras -

estén en la misma vertical. Las unidades básicas son prismas de ba

se triangular equilátera. Interceptan planos verticales en tres

direcciones; el corte en una recta. Si la materializamos con una -

barra corta al movimiento de las tres direcciones al mismo tiempo.

El mecanismo base tiene UN GRADO DE LIBERTAD.

Los nudos de las caras describen una reticula triangular equiláte

ra. Cada nudo recoge a seis barras del mecanismo y en el espesor

solo hay nudos de cruce de dos barras. Se simplifican sotablemente

estos pero se complican los de las caras, y lo podemos complicar :

más aun cruzando planos con "x" por los nudos de cruce del espesor

como se hacia en los mecanismos de retícula cuadrada y quedaría di

vidido cada triángulo equilátero en cuatro.

También podemos materializar las aristas de las bases de los pris

mas hasta completar las retículas de triángulos equiláteros en las

caras, llegando seis nuevas barras a cada nudo de cara. Kl proceso

341

de desenlazado de las barras para el plegado, así como las condi—

clones geométricas para que sea posible son exactamente igual que

antes.

El paso de mecanismo a estructura se realiza siempre igual, atorni

liando las partes de nudos divididos en las caras. Solo existen en

la estructura enlaces con libertad de giro que no es preciso coa—

ccionar.

A-3.-ESTRUCTURAS

Como se ha hecho en el capitulo VII con los emparrillados en retí

cula de cuadrados, a los mecanismos de este apéndice se le pueden

añadir barras en las caras superior e inferior, en la medida que -

se quiera, desde las tres (o una) necesarias para cortar todo movi

miento hasta la total triangulación de ambas caras En a- primer caso

los tipos de esfuerzo de las barras serán N, M, T y en otros solo

normales. El tipo de estructura que da la total triangulación es -

asimilable a una placa.

342

ESTRUCTURA COMPUESTA DE

MECANISMO BASE ( ) Y

BARRAS EN AMBAS CARAS

SEGÚN UNA RED TRIANGULAR

ESTRUCTURA COMPUESTA DE

MECANISMO BASE { 3 Y

BARRAS EN AMBAS CARAS ( - }

SEGÚN UNA RED DE TRIÁNGULOS

Y EXÁGONOS

ESTRUCTURA COMPUESTA OE

MECANISMO BASE ( > Y BARRAS

EN AMBAS CARAS ( .) SEGÚN

UNA RED EXAGONAL

1) Todas las estructuras trianguladas de barras usuales se pueden plegar si, disponiendo del diseño de nudo adecuado, se deshacen todos los — triángulos, generalmente de dos en dos, y se van plegando conforme se deshacen. En su transformación en mecanismo, se incluyen como mínimo tantos grados de libertad como la mitad de los triángulos existentes

CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPER FICÍES PLANAS

DE LOS MECANISMOS BASE

Los mecanismo analizados en los Capítulos V, VI y VII

son todos de UN GRADO DE LIBERTAD, esto es, tienen un

único movimiento obligado para todas las barras: que el

mecanismo esté diseñado con G = 1 es la condición más -

deseable porque el paquete de componentes se conserva -

compacto y completamente ordenado durante el movimiento;

al ser éste único, va disponiendo en cada instante los -

nudos ordenados en cuadrículas semejantes a la final: -

el paquete-mecanismo tridimensional se "expande" mate-1)

rializando todos sus volúmenes semejantes.

Esto se ha logrado fácilmente en el plano, usando bar

ras en "x" que enlazan al menos tres nudos, los cuales

"propagan" su libertad de-movimiento ( o su coacción-a

él ) a los nudos de enlace con las "x" adyacentes, y -

en el espacio, por usar de estas

344

cadenas de "x" contenidas en planos ortogonales, / en que

las rectas de corte contienen dos nudos de extremo de las "x"

Una sola barra que una dos de estos nudos materializando la

recta de corte, inmoviliza todo el mecanismo.

En el mecanismo analizado en el apéndice, se tienen TRES GRA

DOS DE LIBERTAD, porque en el espacio los planos que contie

nen las cadenas de "x" se cortan en un solo punto. Para que

el movimiento parezca único y mantenga ordenado el paquete -

de componentes se debe desplegar tirando de tres direcciones

a 1202.

Las condiciones geométricas para que sea posible el movimien

to de principio a fin se cumplen disponiendo el nudo o nudos

centrales de las "x" a distancias iguales, es decir, dividien

do las barras en "x" en tramos iguales entre nudos, para que

al unirse, los cuadriláteros que definan sean rombos. Todos -

los enlaces a los nudos son verdaderas articulaciones de gi

ro.

DE LOS MECANISMOS COMPLEJOS

Se puede mantener el único grado de libertad añadiendo barras

345

al mecanismo base: Si se añaden barras en las caras, en la -

medida que se deseen hasta completar cuatro enlaces por nudo,

estas deben comprender la longitud entre dos nudos contiguos,

es decir, formar parte de solo dos nudos. En la fase de meca

nismo se mantendrán enlazadas a un nudo y desenlazadas del -

otro. Cada barra formará parte de un triangulo cuando el . -

otro enlace se verifique.

Si se añaden barras en el espesor (haya o no en las caras)

se materializan diagonales verticales de los rombos: cada ba

rra añadida forma parte de dos triángulos. Durante la fase -

de mecanismo se deshacen estos triángulos, Poniéndolos y qui_

tándolos cada vez- o diseñando las" barras telescópicas para que se

mantengan la compatibilidad geométrica durante el movimiento

Tanto con barras en las caras como telescópicas en el espe—

sor, el mecanismo completo que se hará estructura, puede lie

var empaquetadas todas sus barras.

Los enlaces a los nudos de las nuevas barras de las caras -

son también articulaciones de giro. Los de las barras del -

espesor son fijos (atornilladas); las telescópicas incluyen

una libertad de deslizamiento.

346

DE LOS NUDOS

Solo se ha estudiado el tipo de nudo diseñado por Pinero. Bá

sicamente es un prisma de que salen.normales a sus caras la

terales t los ejes de giro que posibilitan la libertad de gi

ro de los enlaces de las barras del mecanismo. Sus. venta jas -

principaLes son inclaro funcionamiento y la facilidad de monta

je de las barras en esvástica.

En este caso el prisma es de bases cuadradas porque enlazan

cuatro barras del mecanismo base, pero pueden ser exagonales

u .octogonales si se disponen mecanismos que contengan seis u

ocho barras ..

Los enlaces de las barras que se añaden en las caras deben -

contener su eje de giro en las aristas de las "bases; del ' -

prisma. Pinero,para sus desplegables planas, no ejecutó nin

guno: atornillaba en la-dirección del eje vertical.

Su principal desventaja frente a las estructuras trianguladas

de barras ño plegables ' , es que no se consigue que los -

e j es de las barras se corten en un solo punto. Todos los vá_s

tagos que materializan los ejes de giro serán sometidos a -

flexión y cortante. El equilibrio se verifica en el macizo

347

del prisma,

Esta caractrlstica se puede obviar en parte enlazando todas

las barras igual que las que se añaden en las caras, forman

do anillos a distintos niveles,pero no se puede suprimir esta

penalizacion. Es necesario para que sea posible la movilidad.

DEL PASO DE MECANISMO A ESTRUCTURA: MONTAJE

En el mecanismo base, en cada momento que se quiera parar -

el desplegado, los nudos están "replanteados". Se pueden a-

ñadir barras por líneas, nivelar y otornillar. Así coexis—

tirana nudos con con articulación de giro, verdaderos y fa_l

sos.

Con el mecanismo completo, con todas las barras que lo ha

rán estructura, solo esposible la situación final de desple

gado; en ella solo hay que enlazar un extremo de cada barra

de las caras. Se puede coaccionar la libertad de desliza

miento de las barras telescópicas si las hay, bien mediante

rosca o simplemente por tope que impida el avance pero no

el retroceso. En el mecanismo que contiene todas las bar—

ras están tan determinadas las posiciones finales por las

longitudes de las que se añaden al mecanismo base, que no es

348

preciso nivelar. Obviamente no es preciso coaccionar las li

bertades de giro de los enlaces articulados.

Dada esta sencillez, para luces muy grandes, se puede trans

portar el mecanismo completo en partes manejables, pues su -

ensamblaje solo consiste en restituir enlaces de giro entre

barrasy nudos .

DE LAS ESTRUCTURAS

Las estructuras posibles que se analizan en los capitulos V,

VI, VII, son todos los emparrillados, salvo la solución de -

Pinero al "Pabellón " que es más acertado considerarlo

una serie de cerchas. Estos emparrillados están compuestos -

casi siempre por vigas de celosxa planas de inercia constante

o variable en los que siempre coinciden en la misma vertical

un nudo de cada cara. La solución del Capitulo V no emplea.,

barras en las caras pero no por ello deja de ser un emparri

llado compuesto por vigas de celosía de canto constante.

En el resumen de la página 314 se puede ver que algunos dise

ños se acercan al comportamiento como placas, y los que r e —

sultán de coaccionar mínimamente dos mecanismo base no tie-

349

nen un campo de aplicación interesante.

En el mecanismo estudiado en el Apéndice, se pueden conseguir

placas con las caras completamente trianguladas.

Muchas de las soluciones planteadas se pueden emplear para w

grandes luces, en el mismo campo de uso que los no desplega-

bles, pues se consiguen valores de inercia similares en las

vigas de celosía componentes.

Contra la ventaja de la plegabilidad y lo que eso conlleva -

de isustituible, hay que decir que muchos diseños de emparri

liados no plegables emplean menos longitudes totales de b a —

rras, aunque, para las mismas carga y luz, están sometidos a

mayores esfuerzos (están"concentrados" en menos barras)-Pero con ser ésto

interesante, la mayor ventaja sobre las plegables (de un gra

do de libertad) en que tienen un significativo menos número

de piezas de nudo, para cuadriculas similares.

350

DE EMILIO PÉREZ PINERO

Las aportaciones de Pinero reflejadas en esta parte, son los

dos mecanismos base, de "x" dobles y montantes, (capitulo V)

y' de "x" sencillas (capitulos Vi y VII) montados partiendo -

de la acertada elección de la unidad elemental de movimiento.

Es interesante que sea una solución espacial con un único mo

vimiento. La autora no ha encontrado ninguna anterior a éstos,

Tiene las ventajas de su manejo fácil y, como se ha intentado

mostrar, abundantes posibilidades. También es interesante su

diseño de nudo, y muy ingeniosos los tipos de soportes e m

pleados en las soluciones concretas para no complicar el mon

ta'j e.

Las soluciones estructurales no lo son tanto. No obstante en

los años 60 no estaba completamente decantada la diferencia

conceptual entre emparrillados y placas, y se han necesita

do veinte años para llegar a denominar por completo solucio

nes de estructuras espaciales de caras planas no plegables

con verdadera depuración del mínimo de barras, como los lla

madas de diagonales sobre cuadrados, a partir de los emparri

liados en pirámide cuadrada, o la'S de tetraedros enlazados -

351

casi en retícula de panal a partir de la placa de tetraedros

El tiempo empleado por Pinero en la definición de sus meca—

nismos es comparativamente menor, aunque no pudiera dar una

explicación teórica adecuada a sus soluciones.

352

PARTE 3£

ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS

CAPITULO VIII:

ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA

8,1,- TIPOS BÁSICOS

Los cuatro tipos básicos que se pueden configurar utilizando las barras -

en "x" de la forma descrita en los mecanismos desplegables según una s u —

perficie plana , tienen las siguientes particularidades en la superficie

esférica:

- La retícula de cuadrados,trasladada 'a dos superficies esféricas concén

tricas bien por planos perpendiculares al plano H de reticulado, bien a

través de rectas desde un solo punto (polo), da por resultado que los ar

cos de corte {paralelos o meridianos) se aproximan con cuerdas a,b,c,d,-

desiguales, transformándose en cuadriláteros todos distintos, salvo sime

trías. Las unidades básicas 'son o prismas o troncos de pirámide de base t-

cuadrandular. En cualquier caso las "x" están en el plano de paralelo o -

meridiano que trasladó la retícula, encontrándose el punto de cruce P sa

tisfaciendo la curvatura adecuada. En este tipo, a cada rmdo^de las caras

superior e inferior, llegan cuatro barras, y los puntos de cruce son de -

dos barras.

354

n

Las parejas de nudos en ambas caras están contenidas en la misma recta,

normal o a la curvatura caso de que el polo sea el centro de la esfera.

- La retícula plana de triángulos rectángulos que resulta de diagonali-r-

. zar el cuadrado, se convierte en retícula de escalenos distintos, con la

dificultad añadida de que las "x" cuya proyección es la diagonal del cua

drado hipotenusa del triángulo, no tienen sus cuatro extremos en el mis

mo plano•es preciso posibilitar la recta de corte con otros dos nudos.

En este tipo a cada nudo de las caras, llegan seis barras (excepto en ios

dos nuevos * necesarios) y en el interior se cruzan dos..

- Una retícula de triángulos equiláteros en el plano, se puede trasladar

a la esfera según un gran número y variedad de procedimientos. Uno de

ellos es el estudiado en la Parte II para las cúpulas desmontables de -

Pérez Pinero ;trasladar cada vértice del triangulado en el plano a tra

vés de una proyección radical desde el centro, es el procedimiento mas usual,

y es lo mismo trasladar una línea entera, con sus divisiones iguales,dando

el i corte con la esfera del plano que forman dicha recta y el centro^

las intersecciones son arcos de meridiano aproximados median

te cuerdas desiguales. Las unidades básicas son troncos de pirámide de -

base escalena y son todas distintas, salvo simetrías. Las caras latera--

les de estos troncos de pirámides, en que se disponen las barras en "x",

son siempre planas,- el punto de cruce P de cada una estará satisfaciendo

la curvatura del arco de meridiano de corte. A cada nudo de las caras -

llegan seis b a —

35 5

rras y en el interior se cruzan dos barras. Las párelas de nudos de cada

cara están situadas sobre la misma recta de traslado, la normal a la cur

vatura si el polo elecrido es el centro de la esfera.

Todas las disposiciones eme se loerran con "x" simples (crue en los nudos -

del interior se corten dos barras) dan mecanismos de un arado de libertad

Su caracteriística común es la de sustituir cada barra de la poligonal de

cuerdas""' -±oe aproxima un meridiano . en el plano, es decii , q"e

esa barra no deja de ser la proyección de la "x", y su sección

la suma de las dos en la "x".

- Por último, el tipo desarrollado por Emilio Pérez Pinero para la esfera

contienen dos retículas trianguladas distintas para cada cara, y también

los nudos inferiores de cruce forman retícula triangular en una superfi—

cié esférica intermedia. Se puede definir como resultante del traslado de

una retícula equilátera en el plano TI hasta una superficie esférica; los

puntos dados se toman como de cruce P, interiores; por ellos se cruzan -

tres barras en el espacio que forman "x" dos a dos; sus extremos se reú

nen de tres en tres en nudos superiores e inferiores fuera del plano que

contiene la poligonal P., dando lugar a las dos retículas distintas de -

las caras. Resultan unidades componentes en forma de doble pirámide con -

el vértice P- común. Como su homologa, desplegable según una superficie -

plana, se consigue un mecanismo base de tres grados de libertad.

356

Cronológicamente el mecanismo de Pérez Pinero es el primero (1961) que

fué diseñado. Los otros tres tipos son el resumen de mecanismos desarro--

llados después por diversos autores, atendiendo 6.1 criterio de utiliza—-

ción de barras en "x".

8.2,- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE COMPATIBILIDAD GEOMÉTRI

CA

La compatibij-idad geométrica que se le pide al mecanismo, desde el esta

do de plegado hasta el desplegado final, tiene que cumplir los siguien—

tes requisitos:

EN'EL ESTADO DE PLEGADO: Las barras en "x" tienen que sumar la misma lon

gitud, al menos desde el punto de cruce de una hasta la contigua, inde—

pendientemente de donde se situé ese punto interior.

EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL: A los nudos de las caras y a los de -

cruce se .les pide que estén en superficies esféricas. Las distancias en

tre ellos, AB, BC, .... cuerdas de arcos de meridiano de amplitud a i f -»

forman un reticalacio de triángulos escalenos,usando cualquier tipo de

traslado de la retícula equilátera a las esferas. Los ángulos aj son fun

ción del ángulo de. apertura del casquete de esfera en su estado de des--_

plegado. Por otra parte las cuerdas AB, BC,. .. son proyección de los bra

35?

zos de las "x" desde el punte de cruce P, esté como esté orientado res—

pecto al centro de las esferas el plano que contiene a cada una.

EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS: El ángulo de apertura del casquete es varia

ble de 02 a a, así como el radio, de R a » que corresponde al cilin—

dro del casquete plegado.

A los distintos estados intermedios les corresponde R y a distinto. Si -

se plegara disminuyendo el radio de curvatura (como un "globo"), el angu

lo a se mantendría constante. De este modo en las distintas esferas se -

mantiene una sola razó¿..de semejanza; los triángulos escalenos de las dis_

tintas esferas tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, • --

consiguiendo que la variación de las longitudes de los lados acompañen a

la variación de la proyección de las "x" al variar el ángulo de desplega^

do 3, igual para todas.

Pero la forma usual y fácilmente realizable, consiste en plegarlo aumen

tando el radio de curvatura (como un "acordeón"). Las relaciones que li

gan las longitudes dé los triángulos escalenos de las esferas, dependen

de las dos variables R y a; no hay una razón de semejanza: los escalenos

de las distintas posiciones nada tienen que ver entre sí, ni en sus la-i

dos ni en sus ángulos.

1 a, ~2R. sen a./2

a =2R2 sen ot /2

a n = 2Rn sen rc£ /.2

358

8.3,-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA MECANISMOS TRIANGULA

DOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

.8.3.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL

Se efectúa el planteamiento para el raecanismo descrito en tercer lugar -

en el apartado 8.1. En cada unidad componente, en principio, los puntos

A,B ,C ,K\B\<Z\ son puntos situados en esferas concéntricas (espesor h,

constante). Las barras en "x" corresponden a la diagonalización de los ~

trapecios isósceles ABA1 B' , ACA'C y BCB'C , todos distintos y situados

cada uno en un plano que pasa por el centro 0 de las esferas.

Los puntos de cruce P están situados en el eje de simetría. Su proye

cción en el plano IPde la retícula equilátera corresponde al centro de -

los lados. Uniendo estas proyecciones se divide cada equilátero en cua—

tro, pero por sí solos no forman retícula en el plano n

Diagonalizando cada trapecio se tienen las siguientes relaciones:

i a __ R sen g^/2 a- :cos£ eos a

a a V a' = (R-h) senaa/2 a eos S eos 3

i = _ i b eos & ;.

359

tí 1

b costx

1 = C c cosa

c

c cosa c

Por otra parte, las condiciones que se tienen que cumplir en el estado -

de plegado, en que A,P,í! están en la vertical lo mismo que B,P,B' y C,P,C

1 + 1 , = 1 + 1 , a a' :• b - b

SEGÚN ESTO:

1 + 1 . - 1 + 1 , b b e c 1 + 1 . = 1 + 1 , c c a a

1 + 1 ,.= 1, + 1. , = 1 + 1 a a b b c c

Sisustituimos por su valor en función de R y a. se comprueba que es una

relación imposible:

,D ,„ ,,isen aa/2 -(2R~h) 5 e" %/2 = (2*~h) s e n V 2

* R + Í R- h ,fei-3 a C ° S b COSac/2 a

Además, con un grado de libertad (G=l) es incuestionable que en cada IDO

mentó el valor de 8 único para todas las "x". Consecuencia de esto es -

que los puntos A,B ,C,Á,B',Cl, no están sobre las superficies.

360

Para poder dar la dimensión de las barras de las "x" que sea compatible

hay que partir de la retícula incompleta de los puntos P en el plano íír,

transladarlos a una superficie esférica definida por R y a, la,cadena

de "x" que se pueden trazarestan contenidos en planos en tres direccio

nes., y por último dar el ángulo j3 de desplegado de las "x". Se llega a

los siguientes valores, dadas para cada mitad de "x":

R sen a/2

eos (3+ot./2) i

Donde ahora a. es el ángulo comprendido entre dos radios de OP.y OP. •

Se puede consultar el estudio, que desde otro punto de vista, realiza -

R.C,Clark{"The kinematics of a novel deployable space structure system"

Third International-.:Sonference on Space Structures. Pag.^-

820, Ed: Elsevier. 1.984) sobre la tienda de campaña en forma de icosa_e

dro esférico de T.R. Zeigler, ( Patente n° 4.026.313 USA,de 31 de Mayo -

de 1.977) resuelta según' este modelo de mecanismo.

8.3.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS

Aceptando que los nudos A,B.. no están en superficies esféricas ( y no

hay eje de simetría en las caras laterales de la unidad básica) , los -

lados de las bases 2a , 2 b. ...en función de los datos de la "x", valen:

361

2 2 2 2 2 (2a) = 1 + m' = 21 m eos (180-2g) * 1 + m - 21 m cos2S

a a a a a a a a

(2 b ) 2 = l 2 + m2 - 21 m^cos 23

(2c) 2= l 2 + m2 - 2 1 m eos 28 c e

donde 1 y in, se mantienen c o n s t a n t e s , y e l ángulo de desplegado 6 v a r i a

en función de R y a. según l a s r e l a c i o n e s :

eos (a /2+3 )= ^ir--i ' 1.

i , ,„ ., Rsena . -/2

eos (a./2 +3) i+l¿—

No dan valores concordantes.

Los triángulos escalenos que se generan en cada-instante del movimiento

proyectando la "x" según la tangente a la esfera en cada P., las 1 . 1 , i i i+l'

en función del 6 de cada instante, todo ello datos de cada "x", no son

los mismos que se generan trasladando la retícula equilátera del plano fl a

las superficies esféricas de R y "x" variables en cada instante.

Clark se pronuncia sobre ello diciendo que la suma de ángulos alrededor

de cada nudo de las caras en que se juntan seis barras, no es 3602, sino

variable con S.

La incompatibilidad geométrica para los estados intermedios de movimiento,

aparece bien clara y manifiesta en los detalles que Zeigler incluye en su

patente referentes al nudo de cruce P, para que el movimiento siga siendo

posible.

362

U.S. Patent M.** ." 7 7 Slwd 1 l l f 4 4,026,313

FIG.t a ; M

•í i ~;

*a ñe campaña » La estructura i. ^ segura " £ Ligler resulta ^ a z f e , lDna y

* » l a S ^ a ' - f desplegada se tiene la

n- ^OTE MECANISMO

n „x.. partiendo de que en los

363

8,4.-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA EL MECANISMO DE

EMILIO PÉREZ PINERO

8.4.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DESPLEGADO FINAL

Se trata del mecanismo en que se cruzan o acaban tres barras en "x" según ~

que el nudo sea del interioro de las superficies, resultando compuesto de uni

dades en forma de doble pirámide con el vértice común. Se vio en el aparta

do 8.1, en último lugar.

Si se empieza por adecuarse a la curvatura de las dos esfereas concéntricas

mediante triángulos ABC, A'B'C', --. Se trasladen sendas retículas planas

de triángulos equiláteros situados en un único plano TI En general, en los -

lados de los triángulos resultantes en las esferas se tiene que a^B^c

aVb'^c' ,. abarcando por consiguiente estas cuerdas ángulos c¿. desiguales.

También se:.'tiene-que las rectas en "x" del espesor tienen longitudes dife-^^

rentes (Añ1'^ BB' ¿ CC7 ; gtíe no se cruzan es un único punto P: para un cas—

quete de esfera de 10 m. de radio exterior, 1 m. de espesor y amplitud de -

apertura 1202, si se determinan los valores de una unidad componente cerca

na a la clave, las diferencias de longitud de las "x" están alrededor de

7,5 eras, y, hallando P como cruce de dos de ellas, la tercera dista alrede

dor de 4 cms.; alejándose hacia los bordes en que las pendientes entre el -

plano TI y la esfera aumenta, las distancias a P de la tercera barra son ere

cientes. Por consuguiente para adecuarse a la curvatura de la esfera según

364

es te procedimiento, es necesario doblar una de las tres barras del manojo "

"x" para que concurrar en P. Con a,b, y c distintos en cada unidad componen

te, el ángulo de desplegado es distinto, manteniéndose en cada dirección, -

situación en principio posible por tener el mecanismo base tres grados de

libertad. El paquete plegado resultante no es completamente compacto.

La única forma conveniente de abordarlo consiste en trasladar una sola retí

cula equilátera desde el plano JI a una sola esfera; los vértices de los =*-

triángulos escalenos resultantes se toman como puntos de cruce P d^ los -i

grupos de tres barras en "x'feneste mecanismo, los puntos de cruce P. , for—*

man una retícula triangular completa, cada recta del plano II se transforma

en una poligonal contenida en el plano determinado por la recta y el centro

de la esfera. Los grupos de tres barras disponen sus extremos desplazados

por delante y detrás de este plano. Por otra parte, cada dos barras en "x"

forman (son) un plano. Si recorremos la diagonal"pinchando" en P las "x" -i

se va envolviendo con una superficie alabeada compuesta de trozos de planos

ABAlB, BCB'C que se cortan en las líneas AÁ7 ,~BB', las cuales no pa

san por el centro de la esfera. Idealmente esos puntos A, A' estarán en

dos esferas concéntricas superior e inferior a la que contiene los puntos -pi sin pertenecer cada pareja al mismo radio.

Entre la poligonal y la "x" quedan definidos triángulos AP P A'"P P9 cu-

yos planos se cortan en la recta F P También triángulos AP. A', AP0A* CU--

yos planos se cortan en la recta AA7' en los que podemos fijar el ángulo de

365

desplegado o de apertura de las "x".

En el mecanismo existen en estas condiciones tres direcciones. Si se estu'-

dia un conjunto de tres unidades básicas con un nudo superior común, como -

se muestra en la figura, incluye un cuadrilátero móvil en cada dirección: -

AP^' P2, AP2C P3. Y AP1BI P3-

La compatibilidad geométrica en el estado de Dlegado recmiere:

l+l1 = m + m'

4 m+m"' = n+n''

l+l'5- n+n'

Para buscar la compatibilidad geométrica en el estado final de desplegado -

se parte de que:

~ Cada dos barras que forman "x" están en un plano el cual se corta con los

adyacentes en la recta que pasa por los nudos extremos comunes situados en

las caras.

- El mecanismo base de tres grados de libertad, se compone de "x" en tres -

direcciones y cada una puede tener un ángulo de desplegado distinto:

- Dentro de una dirección el .-ángulo 3 es el mismo puesto que la "cadena" ~

366

tiene un grado de libertad; al variar los extremos AB'" . . .de una "x" se va

rían los de las adyacentes manteniendo la recta común de corte, y así suce

sivamente .

Por pertenecer los puntos P. a una esfera de radio R, las distancias entre

ellos, en función de R y a, son: (figura página anterior).

a = 2Rsena /2

b = 2Rsena /2

c = 2Rsenct /2

Si por los puntos P. trazamos la tangente a la esfera de radio R, entre ca

da dos adyacentes se cortan en puntos T. ParticulariEando en una dirección

de las tres, T pertenece al plano P.,OP„ y se halla sobre la recta que divié

de en dos partes iguales al segmento P..P.., =a.

Por otra parte. Las rectas P.T y P„T lo son del plano de cada "x" y dividen

el ángulo de desplegado en dos iguales 6.„ (son las rectas sobre las que va

girando el plano que contiene la "x" durante el movimiento, dando las dis—

tintas esferas hasta situarse juntas en vertical}.

Desde P a P hay cuatro triángulos:

367

- P^AT y P AT tiene común el lado AT e iguales el ángulo & y los lados -

P7f = P T

- P B' T y P B' T igualmente B'T, B y P T = PTT

Siendo los triángulos iguales dos a dos, se tiene:

I = m

II = m'

En las otras direcciones:

1 = n

Por consiguiente:

1 = m = n

Las aristas de la pirámide que tiene por vértices A, P , P , P ; y también.

ñí" - n", con vértice en C'-

l1' = n* con vértice en B1.

Se ha deducido por ahora, que los falsos cuadriláteros (no son planos) que

forman los brazos de las "x", tienen las lados iguales dos a dos, que en ca.

da pirámide, que forman los puntos P. y los nudos de la cara superior, las

aristas a cada uno de estos nudos son iguales; que de estas tres barras 1,

368

cada una corresponde a una unidad componente de mecanismo (doble pirámide)

distinta.

Todavía quedan por definir V , m', n'para determinar las longitudes de cada

barra "x" del mecanismo base, y por conseguiente la situación del punto P

en cada una. Si se repite el razonamiento con una pirámide de base a, b, c

y vértice en un punto situado en la cara inferior:

- por el romboide P, P_ B' se tiene ll = m'

- por el romboide P P B' se tiene l1 = n*

- por el romboide P , P„ B'se tiene nl = m1

por consiguiente:

1' = nH^ n<

dependiendo este valor de a,.( R y E.., datos de partida, y donde cada una

de las tres aristas l1 pertenece a una unidad componente (doble pirámide) -

del mecanismo.

En este mecanismo, a cada triángulo escaleno P.P P del reticulado le co

rresponde un nudo superior o inferior: sobre cada triángulo hay que encon—

trar la pirámide que tiene por base el escaleno y por caras laterales los -

isósceles de lados iguales al vértice ;(superior e inferior) .

La traza de las barras en "x" en el plano n r corresponde a las líneas que

369

TRAZA DE LAS BARRAS EN EL PLANO Vk

unen el baricentro de cada equilátero con los contiguos. Forman una red

triangular equilátera cuyo lado es igual a los dos tercios de la altura de

los equiláteros primeros. Trasladados esos puntos a la esfera de radio R, -

se puede conocer los ángulos y , y' que abarcan los radios desde los puntos

P.próximos. Si por P„ trazamos la recta tangente a la esfera, contenida en

el plano AOA'P (el cual traslada cada recta AA)ytambién trazamos la normal

al radio {que traslada cada barimetro A , ñMlos ángulos que forman normal

y tangente son los mismos ángulos centrales y, y' . Los puntos A y A' se en

cuentran desplazados de P„ distancias 1 y 1 ' respectivamente y formando el

ángulo 3 de desplegado con la tangente a la esfera.

En el plano A O A' P„, se tiene:

- En el triángulo rectángulo AQP,

QP = R sen y

AP - 1 = ——¿

2 eos (y +6)

En el triángulo rectángulo A' Q' ?,

Q'P = R senT' 1 o-1 p 2 eos ( 3- y)

370

Con lo que se Duede determinar la lonaitud de la barran la situación del -

punto de cruce P, conociendo los ángulos y ( R y 3 son datos).

Partiendo de los triángulos equiláteros iguales en un plano ^f si s e opera

en coordenadas cartesianas {es el camino más rápido: ver el desarrollo del

Capitulo II) el primer resultado que se obtiene en la esfera son las coorde

nadas de los puntos P. , seguidas de las longitudes de los lados de los

triángulos esféricos (escalenos) P.""P. y sus ángulos (es decir, la retícula

triangular de una capa).

En este caso no se ha hecho nada más que empezar el problema: los puntos Q

no están en la superficie de la esfera (entre ellos, o no mide R) y tampoco

se tiene el valor de los ángulos y . . . . , deducibles conociendo dos datos de

los triángulos OQ;P. . (Este problema no se presenta en el mecanismo estudia_

do en el apartado anterior 8.3).

En este mecanismo cada triángulo esférico de vértices P., es la base de la

pirámide cuyas caras laterales tienen por vértice común un nudo superior o

inferior del mecanismo. No hay ninguna excepción. Se ha demostrado que las

aristas a estos vértices comunes son de la misma longitud en cada pirámide.

Sus proyecciones en los triángulos de base son tres segmentos iguales {en cada

pirámide) por lo que los puntos Q son los circuncentros de cada

triángulo esférico escaleno.

371

En un triángulo escaleno de lados a, b, c y ángulos A, B,,G conocidos, la -

distancia del circuncentro a los vértices:

a/2 = b/2 = c/2 eos á eos B eos c' QA = QB = QC ="' ' . = — f — - ^ = ' .donde

+ C - A

2 « A + C -

. Z c=A + B

- B

- C

y y = are. sen ( —) = are. sen (— —)

Cada radio R que desde pasa por los baricentros A de los equiláteros ;*-

iguales de II es normal a los tres segmentos QP, 0P„ , y QF , en cada triángu

lo esférico, es decir, es normal al plano que constituye el triángulo y pa

sa por su circuncentro. El tramo desde el vértice (superior o inferior) a -

la báseles la altura de las pirámides de las que se esta hablando.

Cada barra AA1 de la "x" se compone de dos tramos AP, = 1 y A'P. =1 sitúa—

dos cada uno en una pirámide diferente, por lo que son todas de diferentes

longitudes salvo simetrías.

Piénsese que en cada instante del movimiento esas pirámides van a tener las

aristas al vértice, materializadas por barras de longitudes fijas 1, i

y ángulos (y+3) (y-'B) variables, igualnente serán de longitud variable las -

.^aristas de la base, afortunadamente no materializadas por barras en este me

canismo.

3 72


Cuando se pliega, aumentando el radio de curvatura, siendo otra esfera, cam

foian los triángulos escalenos P.P„....(en trazo fino) y los triángulos que

forman la retícula de baricentros (trazo fuerte y discontinuo). Ni los

triángulos en trazo fino ni los lados en trazo discontinuo están materiali

zados por barras en el mecanismo: Solo cada "trípode" que concurre en cada

nudo superior o inferior, enlazado con los adyacentes, por lo que se puede

ajustar a la superficie esférica- que sea.

Visto desde las unidades componentes, dobles pirámides con el vértice

común: están enlazadas unas a otras por articulaciones. En cada pirámide

están materializadas por barras solo las aristas de las caras laterales al

vértice común. Con el ángulo de desplegado variable, se puede comformar

cualquier pirámide cambiando el triángulo de sus bases. También las articu

laciones de enlace entre unas y otras pueden adecuarlas a cualquier posi

ción girando lo que sea necesario: los falsos .cuadriláteros (no están en un

plano) que definen entre unas y otras tienen un grado de libertad. Esta con

seguida la compatibilidad en todo momento.

3 73

CAPITULO IX:

TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES

9.1,- DESCRIPCIÓN GENERAL

Se trata del anteproyecto con maqueta presentado en el apartado 1:1 del Ca

pitulo I(Pag. 20), correspondiente a la documentación para el concurso entre

estudiantes de Arquitectura, organizado por la U.I.A. Un jurado de profesio_

nales mundialmente famosos (R.B. Fuller, Ove Arup, F. Candela... JconcedióV .

.el primer premio a Emilio Pérez Pinero. Este trabajo se corresponde con la

descripción de la patente n2 266.801 del añol961, primera de Pinero (ver

anexo)

El diseño de la cubierta es el trabajo innovador. Se trata de un casquete -

de esfera de doble capa, espesor constante, totalmente triangulado y desple

gable, apoyado en seis puntos. En el único paquete lleva todas las barras y

la cubrición. Eligió la forma idónea de presentarlo para la comprensión inme_

diata de la organización espacial de las barras: una maqueta consistente en

un paquete de barras y cables que se desplegaba sola.

374

9.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS

El MECANISMO BASE de unidades componentes en forma de dobles pirámides, es

tá ordenado de forma que sus vértices comunes dan una proyección en el pla

no correspondiente a un exágono irregular reticulado de triángulos equilá

teros, e inscrito en la circunferencia del paralelo de apoyos. Dadas las

pendientes desiguales entre dos grupos de tres lados, la retícula corresponde

a un trozo de triángulo (de icosaedro u otro) delque se le han suprimido la

'aona de los vértices.

Las barras en "x" del espesor son las únicas de sección circular. Uniendo -

los nudos de las caras superior e inferior se disponen cables en retícula -

triangular (materializan las bases de las dobles pirámides). Por último en

el espesor, se materializa con otro cable la línea de quiebro entre los pla_

nos de cada "x", uniendo los nudos de ambas caras: resulta totalmente trian

guiada, tanto en las caras como en el espesor.

La organización aparente inmediata se puede describir como de arcos dispues_

tos en tres direcciones, en que los cordones y montantes se han materializa

do por cables y las diagonales por barras tubulares. No están contenidos en

un plano: se van alabeando en cada recuadro entre dos montantes. La línea -

que contiene a estos no pasa por el centro de la esfera.

La descripción de la pieza de NUDO más precisa, figura en la patente citada

La realización de mayor tamaño y más estudiada corresponde al modelo en el

375

/ 7 M^r locfc

^ s f f i s a B S ^ ^ » ^ ^ 5 3 5 5 5 ^ M

que figura en el apartado 1:2 Capítulo I.

El concepto de diseño es el mismo que en los nudos descritos para las des—

plegables planas. Cronológicamente este es su primer diseño. En esta cúpula

necesitas dos variantes del mismo: para los enlaces de cruce de barras y pa

ra los terminales en las caras. En los dos dispones tres vastagos para enla_

ce a rosca y tuerca, dispuestos en un mismo plano, separados ángulos igua

les de 120°. El enlace permite libertad de un solo giro en un plano perpen

dicular al vastago. En los nudos de las caras necesita dispones orificios -

para el paso de cables, que hace pasar por entre dos cilindros; la bajada -

de un manguito bloquea el movimiento. Los cables que triangulan el espesor,

no tienen tan claramente definidos sus enlaces.

I W M W m r a í í ^ l W M M B H Í - i n ^ * ^ ^

O NUDO CARA SUP£R¡OR

• NUDO CARA ¡NFERiOR

MECANISMO BASE

O NUDO CARA SUPERIOR

• NUDO CARA INFERIOR

MECANISMO BASE

9.3,- MECANISMO

Se trata del mecanismo base de barras én "x" en que se cruzan en grupos de

tres en el espesor y acaban en número de tres en cada nudo de las caras. En

el estudio previo realizado sobre este mecanismo al comienzo de esta parte,

se muestra su definición y su perfecta compatibilidad y plegabilidad duran

te el movimiento. Los cables que se añaden a ese mecanismo base, no entorpe_

cen en absoluto ninguna de sus cualidades. Solo definen el triangulado en -

el estado de desplegado final: el'mecanismo no deja por ello de adaptarse a

las sucesivas retículas trianguladas ce las sucesivas superficies esféricas

Los cables del espesor acompañan el movimiento como apéndices sueltos.

A pesar de ser un mecanismo con tres grados de libertad, el movimiento debe

ser ordenado, incluso como si fuera único obligado, probablemente porque al

abrirse se inicie de forma equivalente a tirar con tres fuerzas iguales y -

equidistantes. Refuerzan esta suposición recuerdos de testigos y el asombro

y unanimidad de juicio del jurado de la U.I.A. En contra se puede argumen-.-

tar que se trata de los enlaces, las barras y el peso de una maqueta, no de

la cúpula real.

3 78

CABLES EN LAS CARAS SUPERIOR E INFERIOR

9.4,- ESTRUCTURA

El paso de mecanismo a estructura se realiza deteniéndose el movimiento al

alcanzar los cables de las caras longitudes de la triangulación, para el -

ángulo de desplegado, y fijar las longitudes de los cables que triangulan

el espesor, los cuales evitan el movimiento de retroceso.

La estructura resultante no se puede definir como lámina reticulada de d o —

ble capa porgue las barras de las caras estarían sometidas a esfuerzos de

compresión en un cierto porcentaje, lo que en esta no es posible soportar.

Sustituyendo cada "x" por su proyección, tangente a la superficie esféri

ca que contiene los puntos de cruce P., el modelo estructural corresponde a

una superficie esférica aproximada por sus tangentes a una triangulación da

da, en vez de por cuerdas. La aproximación en este caso no da una retícula

triangularla una exagonal con tres valores de los ángulos muy desiguales -

de los otros tres (casi es un triángulo). Se puede decir que no es estructu

ra.

380

CAPITULO X:

CÚPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES

10. l j- DESCRIPCIÓN GENERAL

El estudio de este apartado corresponde al modelo documentado en el aparta

do 1:10 del Capitulo I (pag.- 54 ) . Es un casquete de esfera delimitado por

seis arcos de meridiano iguales tres a tres. Más exactamente es un lado del

icosaedro esférico al que se le han suprimido los vértices. Lo mismo que en

la realización anterior, todas las barras a usar van empaquetadas.

Cronológicamente es la última de las despleqables (hacia 1966) pero con im

portantes innovaciones conceptuales que la hacen interesante, como es el he

cho de que lleve barras tubulares en una de las caras consiguiendo acompa—

ñar el movimiento de pleqado.

La reconstrucción de lo que fué, esta hecha a través de fotografías, puesy-

compuesta por siete partes a ensamblar, solo se conservan tres. Alguna de -

ellas se usó para la fabricación del modelo documentado en 1:4 del Capítulo

Modulo desplegable automático.

381

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RETÍCULA EQUILÁTERA PROYECCIÓN DE LOS PUNTOS

DE CRUCE P¡ SOBRE UNA CARA DE ICOSAEDRO

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/ x ' \ / \ / \ / \ ' / V ^£ ií _ Y_

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10.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS

El MECANISMO BASE, compuesto por dobles pirámides triangulares, se ordena -

de forma que en el plano de los apoyos, los vértices comunes, punto de cru

ce de las barras en "x", forma una retícula equilátera contenida en un

triángulo de icosaedro- Si atendemos a la información contenida en la revis

ta "Hogar y Arquitectura" n° 89, el detalle de la solución corresponde al -

de una cúpula real, aunque la realización es un modelo de ensayo.

Las barras en "X" son tubos de sección circular; los extremos y el punto in

terror correspondientes a los enlaces a los nudos, se ha manipulado dotándo_

les de la forma y los elementos adecuados al tipo de enlace a realizar. De

bido a que el casquete de esfera que abarca la cúpula es menor que una vein_

teava parte de superficie esférica, el canto de una pequeña porción del ra

dio y la diferencia de curvaturas a salvar entre ambas caras es pequeña.

Esto hace que la situación del nudo de cruce P esté casi en el centro y, co

mo se puede apreciar, las diferencias de longitud en que se divide a la ba

rra son casi inexistentes, asi como la diferencia de longitud entre unas y

otras, consecuencia ésta de la poca pendiente de la superficie esférica res_

pecto "al plano de "la cara del icosaedro

En la cúpula, estas barras en "x" no tienen el eje recto. Se debe a la for

ma de ejecución de los enlaces a los nudos.

384

PARTES COMPONENTES DEL MODELO

En el interior la pieza de nudo lleva incorporado el eje de giro, y la b a —

rra se ensarta en él quedando tangente a la pieza; los ejes de barras no se

cortan en el punto que simboliza el nudo. En ambos extremos, en los enlaces

a los nudos de las caras, se pretende lo contrario, que los ejes de barras

se corten en un punto, y se logra parcialmente: al menos se cortan en un -

punto cada grupo de tres barras que concurren; en la cara inferior se tienei

dos grupos en la superior tres, siempre en la dirección del radio. Con las -

barras acometiendo normalmente al nudo, los ejes de giro son piezas sueltas

que se incorporan a los terminales.iguales, de barra y nudo. Las barras en -

"x" están combadas una excentricidad igual a medio nudo interior.

Las barras que materializan la DIAGONAL VERTICAL del falso cuadrilátero

en el espesor, son telescópicas de dos componentes;.Alcanzan su longitud menor

en el estado desplegado: son las barras que sirven de tope al movimiento de

desplegado, fijando con su determinada longitud el ángulo de las "x". Tam

bién son las barras';que impiden el movimiento de retroceso mediante la -

coacción de su libertad de deslizamiento. La pieza telescópica interior es

una fina barra maciza, roscada en su extremo visible a la pieza especial de

enlace a los nudos de la cara inferior, pieza a la que incorpora el eje de

giro. La barra exterior hueca de sección circular, está enlazada a los nu

dos de la cara superior con el mismo tipo de enlace y de piezas de extrento

que para las barras en "x". En el otro extremo lleva incorporada solidaria

e inmóvil, la pieza que incluye el dispositivo de coacción de la libertad -

de desplazamiento, confiada a la presión que se consigue por atornillado.

387

La GARA. EXTERIOR está reticulada por una -RED DE EXÁGONOS irregulares,

de barras huecas de sección circular. Rigidizando esta retícula se

disponen triángulos en todo el contorno; más exactamente, arcos de bor_

de formados adosando pirámides de base cuadrangular diagonalizada por

dos barras. Aunque la ordenación general corresponde a la triangula—

ción de un icosaedro esférico, las longitudes exactas de las barras -

no se puede hallar por este procedimiento, esto es, multiplicando los

valores para la misma retícula de la esfera unidad por el radio del -»

caso; ya se ha visto al estudiar la compatibilidad general en caso de

desplegables según una superficie esférica, que los extremos de las -

barras en "x" no están en una superficie esférica concéntrica con la

de- los puntos de cruce P., aunque sí próximos.

El procedimiento es el siguiente: partiendo de las coordenadas de los

puntos P., y de las longitudes 1, 1'... que determina la compatibili—

dad, podemos obtener las coordenadas de los nudos de las caras, y la

distancia entre cada dos de ellos será la longitud de las barras.

Para situaciones en que la pendiente entre el plano y la esfera no es

grande y para casquetes que son una parte pequeña de esfera, los r a —

dios hasta los puntos de cruce y hasta la cara exterior no son de muy

diferente longitud, y entre emplear el procedimiento correcto O el de_

rivado del estudio del icosaedro esférico puede dar igual, teniendo -

además en cuenta que las piezas de nudo ocupan lugar : posiblemente -

388

DE EXÁGONOS DE LA CARA EXTERIOR

BARRAS DEL MECANIS MO BASE

hay que pensar en un replanteo de barras a la vez que se fabrica la -

cúpula para que todo quede adecuado. Al contener el paquete todas las

barras necesarias, el trabajo de replanteo se realiza una sola vez.

El procedimiento de comprobar el replanteo y ajustar longitudes lo re

quieren también la construcción de cúpulas, no desmontables ni desple

gables.

Los extremos de estas barras de la superficie superior, acoplan tam—

bien diseños terminales específicos para el enlace. Como en el estado

de plegado tienen que dar la misma longitud, casi todas contienen el

dispositivo telescópico y la pieza especial de coacción al desliza

miento como la vista antes.

Los NUDOS necesarios son de dos tipos:

Los de cruce ¡ están diseñados a partir del mismo concepto visto has

ta ahora: una pieza única formada por un nícleo macizo triangular y -

tres vastagos situados a 1202 unos de otros, a los que se enlazan las

barras, haciendo éstos de ejes de libertad al giro en un plano. Se

acaban en rosca pues precisan arandela y tuerca para completar el en

lace de cada barra.

En apariencia el diseño de los nudos en las caras es más complejo.

Esa apariencia la da la superposición de niveles de enlace; se trata

390

de que los ejes de barra se corten en un solo punto, pero no es posi

ble físicamente con ese diseño. Se reúnen en cada nudo de las caras -

seis barras del espesor y tres más en los de la cara superior. Pérez

Pinero eligió disponer niveles de enlace de tres barras cada uno agru

padas según su procedencia; sitúa en el más interior las tres telescó

picas del espesor, en medio tres en "x", y en el exterior las contení

das en las caras, si hay. Los ejes de las barras se cortan en dos o -

tres puntos, en lo que podemos denominar eje de nudo, un segmento en

dirección del radio de la esfera.

Todo el nudo lo componen piezas de los siguientes tres tipos:

- Lo que se ha denominado el eje, pequeña barra maciza completamente

roscada, con dos topes (tuercas) en sus extremos.

- Los ejes de giro de las barras, simples tornillos con tuerca y aran

déla.

- Pletinas con dos agujeros: son piezas procedentes de los eslabones

que componen las cadenas de motocicleta, doblados hasta formar un -

ángulo aproximado a 120°. Los terminales de barra llevan soldada me

dia pieza. Entre cada dos de estas piezas se acopla el terminal de

barra separado por arandelas, y se acopla el eje de giro a través -

de los agujeros iguales.

391

NUDO INTERIOR DE CRUCE: TRES BARRAS EN "X"

NUDO DE CARA INFERIOR

NUDO DE CARA SUPERIOR (DESDOBLADO)

BARRAS DE LA CARA:A,B Y C

BARRAS DEL ESPESOR: - "X": 1,2 Y 3 - TELESCOP. 5 Y 6

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Este diseño, que no es una verdadera pieza de nudo, está determinado

por la imposibilidad de fabricar piezas. Pérez Pinero aprovecha mate

rial disponible en ferretería de un cierto espesor. Esto puede dar -

idea del tamañg y consistencia crue puede tener el modelo: se puede

dar la cifra de 9 m. de luz máxima. Como se ve en la documentación -

gráfica, se emplean tantas piezas como barras van al nudo.

Z9?

ÍGO,- MECANISMO

El mecanismo base es el de barras "x", responsable de los tres grados

de libertad, estudiado en el apartado dedicado a la compatibilidad ge_

neral en desplegables según una superficie esférica, e igual al del -

proyecto anterior.

Cada barra que se añade al mecanismo base, lleva incorporado el dispo

sitivo que posibilita su grado de libertad adicional de deslizamiento

necesario para variar su longitud en el tiempo del movimiento, aspec

to demandado para que sea posible la compatibilidad geométrica en to

do momento: se ajustan las barras añadidas a la triangulación de esca_

leños de barras y. espesor.

En esta cúpula se añaden barras al mecanismo base, en el espesor y en

la cara superior. Los del espesor constituyen la diagonal de los fal

sos cuadriláteros : mas exactamente, se materializa la linea de quie

bro délos planos que contienen las "x". En la cara superior se crea

una red de exágonos irregulares enlazando en parte de los nudos, tres

barras por cada uno. Esto equivale a que en la unidad componente (do

ble pirámide) materialice con una barra uno de las aristas "de la base

mayor.

Durante el movimiento, las primeras se alargan hasta medir igual que

398

las barras en "x", en el estado de plegado. En las segundas, es nece

sario desenlazarlas de un extremo y mantenerlas enlazadas en el otro

para poder seguir el movimiento, desplazándose el extremo libre hacia

arriba, durante el plegado. Se desenlazan las barras de la mitad de -

los nudos empleados, agrupando las barras de tres en tres y mantenien

dolas enlazadas en el subnudo. Este proceso se ha empleado para com—

pletar con barras en las caras las estructuras desplegables según -

una superficie plana, precisamente en base a la idea de Pérez Pinero

para esta cúpula.

Las barras en las caras pueden seguir el movimiento porque las proye

cciones en la superficie componen la retícula variable con R y a en

las sucesivas esferas, hasta el plegado.

Para pasar de mecanismo a estructura, las barras añadidas en el es

pesor, en este caso no son relevantes, pero sí necesarias para fijar

el ángulo de desplegado y para el movimiento. En las barras de las

caras se reúnen las partes de los nudos separadas durante la fase de

mecanismo. Para coartar todo movimiento bastaría con restituir un so

lo nudo fijando las tres barras que porta (una en cada dirección), pe

ro la estructura resultante no es la más interesante que se puede con

seguir.

S fl .0 •

MECANISMO BASE

— BARRAS EN EL ESFESOR



10-4," ESTRUCTURA

La retícula exagonal superior que da Emilio Pérez Pinero, conveniente

mente riqidizada en el contorno, traslada cargas de los nudos. En ca

da nudo la fuerza actuante se puede descomponer en tres direcciones,

puede haber eauilibrio. Por tanto se puede calcular como si fuese re-

tículada de una capa, sirviendo el mecanismo base para transporte, co

locación y replanteo de las barras y nudos de las estructuras.

Emilio Pérez Pinero es cuidadoso al proyectar esta cúpula, en que em0

paqueta todas las barras y escoje la retícula superior minima para

que de una estructura aceptable. Puede pensarse que su modelo de com

portamiento para ella es el de cúpula reticulada de una sola capa/ re_

cogiendo las solicitaciones de los bordes curvos por arcos de sección

triangular.

401

BARRAS DE CARA SUPERIOR

BARRAS DEL MECANISMO BASE

— - BARRAS TELESCÓPICAS EN EL ESPESOR



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BARRAS DE CARA INFERIOR

10,5.- VARIANTE DE MECANISMO DEBIDA A EMILIO PÉREZ PINERO:

MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO

La partición de la cúpula anterior en siete trozos se supone por razo

nés de tamaño de paquete en una solución real, no por problemas de -

movilidad, pues puede imaginarse hasta que punto ese movimiento es de

forma ordenada y sin coacciones al estudiar este módulo desplegable -

automático, ejecutado con parte de las barras de la "Cúpula....".

Consta de la mismas barras por unidad componente. La variante consis

te en incorporar al paquete la fuerza de desplegado. La forma consis_

te en almacenarla en muelles. Se colocan en los . nudos s'upJerio—

res que es necesario desdoblar, en la parte que lleva las barras de -

la cara. El dispositivo es como el empleado en los paraguas plegables

automáticos, está en tensión cuando el mecanismo está plegado. El mo

vimiento se produce inmediatamente de desatar el paquete, recuperando

el muelle su longitud, empujando a las barras de las caras, y estas a

través de su extremo enlazado en el mecanismo base, a todo el conjun

to.

El hecho de lograr que se desplieguen solas, es una constante de Piñe

ro en todos sus diseños desde el primero que desplegaba desde una •;-

grúa, hasta este último que se comenta.

405

10.6,- OTRAS VARIANTES DE MECANISMO Y ESTRUCTURA

Completando la cara superior con dos retículas de exágonos irregula—

res semejantes a la dispuesta por Pinero, esto es, materializando con

barras todas las aristas de la base mayor en las unidades componentes

resulta una cúpula de una capa completamente triangulada. Manteniendo

los mismos bordes, hay que mantener también los arocs que transladan

las fuerzas de la capa a los apoyes puntuales. Utilizada esta varian»-

te para mayores luces, se logra tener esfuerzos normales en las -

barras de menor valor y mas homogéneos. Para pasar de estructura a me

canismo hay que desdoblar un tercio de los nudos de las caras en un -

subnudo que se lleve las seis barras de la cara que concurren, otro -

tercio restante no se manipula. De esta forma se consigue desenlazar

un extremo de todas las barras y mantener enlazado el otro, seleccio

nando los nudos según el esquema de la figura.

Por el mismo procedimiento se puede triangular la cara inferior. El -

paquete plegado resulta aparatoso aunque se trocee la cúpula en paque

tes menores. La ventaja es que se consigue una lámina de doble capa.

Recuérdese que se empleaba este mismo procedimiento en estructuras

planas para obtener la placa de dobles tetraedros.

408

CAPITULO; X I : ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE CILINDRICA

Al igual que se ha hecho en los capitulos anteriores, se puede tras

ladar a la superficie cilindrica retículas trazadas en el plano II, de

cuadrados,triángulos rectángulos y equiláteros, bien a través de pla«

nos ortogonales a'lt o desde un polo, dando en ambos casos arcos desigua

les entre nudos, en las genera triase curvas. Se puede proceder mejor, -

dividiendo directamente las generatrices" (rectas y curvas) en partes

iguales: es fácilmente realizable porque las superficies cilindricas

son un plano curvado, sea cual sea la curvatura elegida. Para todo lo

que sigue se ha elegido como curvatura la de la circunferencia.

11.1.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA CUADRICULA

Si se curva un plano H dividido en cuadrados y a partir de cada punto/

/nudo que se supone P. se sustituyen las rectas por "x", se tienen ca

denas de "x" rectas y curvas según la generatriz de que proceden, am

bas direcciones contenidas en sucesivas familias de planos.

Las unidades básicas componentes son prismas en que los puntos ABBA1

y CDC1 D1son vértices de las barras (trapecios isósceles) y ACÁ' C*y

BCBlD1las de las caras laterales (rectángulos).

409

El mecanismo que se tiene de cadenas de "x" en dos direcciones ortogo

nales se inmoviliza añadiendo una barra: tiene UN GRADO DE LIBERTAD.

En cada nudo de las caras se reúnen cuatro barras; en cada nudo del es

pesor dos.

11 .1.'Í-CONDIC IONES GEOMÉTRICAS EN EL ESTADO DESPLEGADO

.Se parte de "x" de la misma longitud L , altura del paquete plegado .En los

trapecios isósceles de la dirección curvada tenemos:

a= Rsen a/2 = 1 eos

b= Rsen o// ^ 1 eos

\ + h = L

Por i>apedistancia a los extremos del nudo intermedio es:

Rsen a/2 1 = a/cos|

±2= b/cosB=

eos S

%sen a/2 Rsen a /2 eos 3 eos S

Fijado R , h y la amplitud a del trapecio que

se diagonaliza , el valor del ángulo de desplegado: rsen a /2 = Rseria /2

eos p= h ^ 2

410

También: _ cos2 S= lj + lj " h /211 l2

La otra dirección se ha dicho que es plana, (generatrices rectas del

cilindro). Usando barras de longitud L para las "x" en la dirección de

las generatrices rectas, se tienen que cumplir las siguientes relacio

nes; el punto de cruce es el central de las barras, pues se materiali^

zan las diagonales de un rectángulo; el ángulo de desplegado 3 es el -

mismo en cada instante en todas las "x" de los dos familias de planos

pues G=l; la longitud (distancia) del recuadro que contiene la "x" se

rá:

2c = L 2 - (R-r)2 = Leos S = — ^ ^ r tg 6

Nos queda a> c> b, para que el ángulo de desplegado en todo momento

sea el mismo, como corresponde a un movimiento único (las barras giran

en P, o en P_ a la misma velocidad);

11.1.2.- COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS

Las unidades básicas componentes, los prismas cuyas bases son trape—-

cios isósceles,, son todas exactamente iguales (misma longitud de aris—

tas,mismos ángulos) en toda la superficie cilindrica, por la forma de

división elegida: primero se retícula un plano y luego se curva

412

En cada instante del movimiento, cuando se recoge, se disminuye la cur

vatura y las "x" tienen distinto ángulo de plegado 8. La longitud de -

las aristas del prisma unidad, son solo función de la variable 6/

igual en las cuatro caras laterales, por lo que en los sucesivos ins—

tantes, los prismas que se generan son semejantes con una razón de se

mejanza que depende solo de 3 , y los ángulos, en las caras alrededor de

cada nudo siempre son los mismos: son posibles todos los prismas inter_

medios, todos iguales en cada instante, por lo que existe compatibili

dad geométrica siempre.

11. Z.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA RETÍCULA DE TRIAN

GULOS RECTÁNGULOS

11.2.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO

Si al mecanismo de recuadros ortogonales, se le cruzan "vigas" en "x"

diagonalizando los recuadros, se tiene una reticula de triángulos rec

tángulos -Hay que materializar con diagonales el recuadro ADA'D', pero no

es posible porque los cuatro puntos no están en el mismo plano.Cada tres

de ellos determinan un plano, por ejemplo AA'D y DD'A1, que se cortan, en

.la zecta A'D... Pues bien, para enlazar los cuatro puntos hay dos solucio

nes: 15, materializando el ángulo de quiebro:tres partes de la "x" están

en un plano de los dos, y desde el punto de cruce se quiebra la direc

ción de la parte restante hasta alcanzar el punto de cara

413

que queda, un ángulo y: 25 posibilitando la recta de corte de dos pla

nos que convengan. Estos planos se pueden elegir conteniendo dos p u n

tos de los anteriores, por ejem. con AA' y una "x" se tiene un plano y

con DD' y otra "x" otro plano. Enlazamos ahora los extremos libres de

las dos "x", EE* y la linea que une esos puntos es la de corte de los -

dos planos..

En una unidad elemental, determinando las coordenadas de AA'DDlBCD*C*

y hallando las longitudes de barras entre ellas se compatibiliza geomé

tricamente el mecanismo. En el segundo caso, usando las mismas barras

de longitud L se determinan E y E' como contenidos en circunferencias -

de radio L desde A' y D*y A y D, o lo que es lo mismo E es equidistante

de A1 y D'y está contenido en los dos planos, y E1 equidista la longitud

L de A y D y está contenido en los dos planos.

De A a D pasando por la proyección de E no es posible trazar una linea

recta, no queda realmente triangulado, por lo que para algunos tipos -

de acciones es necesario arriostrar los nuevos nudos EE1, por ejemplo -

repitiendo según ia otra diagonal (entre B y C y B*y C1)" las mismas "x"

En cada nudo de las caras se reúnen ocho barras y en cada nudo de espe

sor , dos .

414


Por los mismos razonamientos que el caso anterior, son posibles

todos los prismas-unidades con las cuatro "x" a E y E'^entro.

Existe compatibilidad geométrica en todo momento.

11,3,-MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE TRIANGU

LOS ISÓSCELES

11.3.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO

Uniendo nudos de las caras situados en el mismo radio de curvatura se

pueden disponer las "x" en tres direcciones según una reticula de

triángulos isósceles o equiláteros. La unidad básica del mecanismo, de

UN GRADO DE LIBERTAD, es el medio prisma de base triangular que se se

ñala en la figura, todas exactamente iguales. En cada nudo de las c a —

ras se reúnen seis barras y en cada nudo del espesor, dos.

Entre los nudos ABA'B* se disponen las "x" como se ha visto, con su pun

to de cruce a distancias 1, y 1„. Entre los nudos ACA'c'y BCB'C'teñe—

mos que disponer sendas "x" de las otras direcciones, pero esos grupos

de cuatro nudos no están contenidos en planos;por serlas aristas 2a> 2b

sus ángulos opuestos resultan C *C* por lo que -se

tiene una superficie alabeada. De las dos posibles opciones que presen-

415

tamos en el mecanismo anterior, elegimos unir los cuatro puntos doblan

do una barra un ángulo y. Parece una solución menos complicada pues se

dobla la directriz quedando los enlaces de giro perpendiculares igual

mente. El incomveniente es que el paquete plegado queda menos compacto

También se puede suprimir un tramo de "x", aumentando los grados de li

bertad.

Al fijar R, h y el ángulo a, las relaciones geométricas para que resul

te compatible son:

1. = Rsen q/2

1 eos B eos

1 _ b _ L_i _ L _ a _ aesen ot/2

2 cosg 1 eos 6 eos $

L = 7 (a+b)2 + (hcosct/2 ) 2

^ -,2 ^2 11 + h ~ h

eos 20 = 211 X2

Para que se cumpla la compatibilidad en el estado de plegado hay que -

utilizar barras de longitud L en las otras dos direcciones. Se tiene

que cumplir:

416

2 „2

/

2d = L eos. e = / b + f ; 2c = / a 2 + f2

Suponiendo aue -AC1, es recta y CP está en el mismo plano que la ante

rior, el tramo P2r» quiebra hacia adentro de la unidad elemental.

Partimos de que ATT = L. Por estar en el plano hx2c y haber girado el

ángulo f3, CP se encuentra con AC en el punto medio, y mide L/2.

Las coordenadas de P en función de las de A y C son:

p

Y = P

z = P

X A ~

A

V 2

X A '

X c'

y C

' z c 2

y el ángulo de quiebro de la barra:

— 2 — 2 2

PA'' + PA + Tffi-cos y =

2 PA"1" PA

41?

11.3.2.- COMPATIBILIDAD DE ESTADOS INTERMEDIOS

De entrada, por el hecho de quebrar uno de los tramos de las "x" se —

está forzando la compatibilidad en el estado final, por obligar a los

nudos o extremos de las "x" a que estén dentro de superficies cilindr_i

cas concéntricas.

Las ventajas que esto proporciona son que las unidades componentes son

todas iguales, que la única variable 3 configura unidades semejantes -

en los estados intermedios por lo que los ángulos en la cara superior

e inferior alrededor de cada nudo no varían.

A = B = are. cos (-*-—) = are. cos (=-*— 5 )= constante. 2 c L cos B

C = 2 ave. sen (— ) = costante = 180° - 2A 2 c

Lo mismo para la cara inferior.

Alrededor de cada nudo: 4A + 2C = 4A + 2 (18:0° - 2A) = 360°

418

.11.3.3,~ VARIANTE DE MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE

TRIÁNGULOS ESCALENOS

Se puede utilizar un procedimiento de reticulado crue después no ha _

ga necesario quebrar la barra de "x": es el empleado en la esfera para

este tipo de mecanismo. Consiste en trasladar una retícula de equiláte

ros del plano I a la superficie cilindrica desde un punto tomado como -

> polo. Por la particularidad de ser una superficie de traslación, basta

que se haga para una "rebanada" de triángulos, es decir, el polo se pue_

de elegir como centro de una curvatura en un plano y lo obtenido se -

traslada a lo largo de las generatrices rectas.

En la "rebanada" se obtiene una retícula de escalenos distintos, salvo -

simetrías. Colocando puntos de cruce P. en esta retícula y desdoblando -

las líneas por "x", se puede diseñar un mecanismo de un grado de liber—

tad del mismo tipo: seis barras por cada nudo de cara y dos barras por

cada nudo de cruce interior. Se puede definir geométricamente una solu—

ción compatible en el estado de desplegado final, pero al igual que suce

día en la esfera, en los estados intermedios no es geométricamente com

patible porque las longitudes de la retícula en cada instante dependen -

de R y el ángulo central variable a , y por otra, fijadas las longitu— i

des de las "x" dependen de ellas y del ángulo de desplegado B, y no dan

los mismos valores, los mismos triángulos escalenos.

419

11 A.-MECANISMO DE DOBLES PIRÁMIDES

Este mecanismo de tres grados de libertad, compuesto por.unidades en fc-r

ma de doble pirámides enlazadas unas con otras mediante las articulacio

nes de los nudos de las bases, es sin lugar a dudas el mecanismo más

adaptable. Se han visto los casos en que se adapta al plano y a la esfe

ra. Se puede decir que se adapta a cualquier superficie, manteniendo la

compatibilidad geométrica durante todo el movimiento de desplegado, pues

su punto de partida siempre consiste en triangular cualquier superficie

y situar en los vértices el punto P. de cruce, o vértice común de las pi_

rámides. Después hay que encontrar las relaciones adecuadas que nos f i —

jen las longitudes de las barras en "x", utilizando la compatibilidad en

j el estado de desplegado y en el plegado. Los nudos extremos de cada "x"

/ están sobre el radio de curvatura que para por el circuncentro de cada

triángulo y es normal a la superficie definida por él.

Para las superficies cilindricas, compuestas de generatrices rectas y cu

alquier curva, se puede simplificar el proceso de entrada, dividiendo la

generatriz curva en arcos iguales y trazando sobre la superficie triángjj

los isósceles (incluso equiláteros) separando las generatrices curvas la

distancia que se desee. Los vértices de estos isósceles son los puntos -

P.. Los nudos extremos de las "x" estarán equidistantes de su punto de -

cruce P sobre el radio de curvatura que pasa por el circuncentro del

420

isóceles. Todas las unidades componentes son iguales.

Para una superficie cilindrica generada por arcos de circunferencia, da

dos R, a, la separación entre generatrices c, y el ángulo de desplegado

, se tiene:

a= 2R sen a/2

b= / 2 c + a / 4

P.Q = d 1*

c = d + e

2 ,2 2,. e - d - a /4

d= 2c + a/2c

1 = d/cos

1''= d/cos

1 = 1» ._d_.._

eos S 2c + a2/ .2c 2c2 + 2R2 sen2 a/2

eos 3 c eos

Da que los puntos de cruce están situados en el centro de las barras en -

"x". Resultan en cada unidad componente, pirámides iguales cuya base es

un triángulo isósceles (o equilátero).

421

/Durante el movimiento, la longitud varia con Br al igual que a y b sin -

dejar el triángulo de ser isósceles. Durante el movimiento varían los la

dos pero no los ángulos; su suma se mantiene en 360° alrededor de cada -

nudo. Las distancias entre los nudos de la cara exterior resultan mayo*-:-:

res que entre los nudos de la inferior. Resulta sencillo por la elección

del reticulado de P.: para tener una superficie cilindrica, siempre se -

podra trazar la retícula de P. en un plano, a distancias iguales y cur

varlo. Curvando el mecanismo plano descrito en "Apéndice a la Parte 35"

se consigue este.

Se puede trasladar la triangulación por planos verticales desde el plano

o también desde un polo, pero no hace mas que complicar el problema, dan

do unidades componentes distintas.

422

CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS

DE LOS MECANISMOS BASE

EN LA ESFERA

Se puede elegir cualquier procedimiento de los existentes pa

ra trasladar la retícula elegida en el plano {de cuadrados,

triángulos rectángulos o equiláteros.) hasta la superficie es_

ferica (állx serán cuadriláteros o escalenos), como se hace pa

ra cualquier casquete reticulado de una capa, pero los pun—

tos de cruce de la retícula obtenidos, siempre se debe consi

derar que son los puntos de cruce de las barras en "x". Solo

ellos estarán en una superficie esférica, en cualquier caso.

Las longitudes de las barras en "x" se determinan atendiendo

al cumplimiemto de la relaciones geométricas existentes en -

los estados de plegado y desplegado final. Los extremos de -

las barras no están contenidos en esferas concéntricas con -

la de puntos de cruce.

Cuando las parejas de nudos de las caras (superior e infe

rior), extremos de una mitad de "x" están sobre la recta que

42Z

es paralela o convergente a la que trasladan los puntos de -

cruce, (según el procedimiento de reticulado) los mecanismos

resultantes tienen UN GRADO de libertad, y las cadenas de "x"

están contenidas en planos (salvo los que resultan de las hi_

potenusas de los rectángulos). El punto de cruce, lo es de -

dos barras (o 4 si se "maciza".mas la retícula).

En el caso de usar retxcula plana de cuadrados, el mecanismo

puede ser compatible en las esferas intermedias porque exis_

te la libertad de distorsión angular de los cuadriláteros.

En caso de usar retxcula de triángulos rectángulos, se re

quieren cuatro "x" por cada unidad siendo dos para el lado -

mayor, pues las dos parejas de nudos que provienen de los ex

tremos de los catetos, no están en un plano: se debe posibi

litar la recta de corte de dos planos, situando una "x" en -

cada uno- Puede ser compatible en los estados intermedios de

desplegado, puesto que en realidad cuatro "x" son cuatro ba

rras proyección, dos de las cuales están "casi" en linea rec

ta, y es suficiente la libertad de distorsión por tener en -

realidad' cuadriláteros en la esfera, en vez de escalenos.

En caso de usar retxcula de equiláteros y tener un mecanismo

de un grado de libertad (con las parejas de nudos de las ca-

424

ras en rectas de la familia del haz de traslado), no hay -

compatibilidad posible en las posiciones intermedias del -

movimiento: por cada unidad, las tres "x" contenidas cada

una en un plano, son en realidad tres rectas proyección so

bre el plano de puntos de cruce P.; éstas definen un trian

guio que es distinto desde las variables de la esfera y des_

de el ángulo de apertura.

Usando la retícula plana de equiláteros, el mecanismo resul.

ta de TRES GRADOS DE LIBERTAD, si en los puntos de cruce se

cruzan tres barras en vez de dos. En el mismo punto de cruce

se pueden observar las tres direcciones de cadenas de "x",-

que en este caso no están contenidas en planos; son alabea

das. En cada nudo, sea délas caras o de cruce, concurren —

tres barras. Cada nudo de cada cara se encuentra, él solo,

en la recta normal a la porción de esfera reticulada que re

presenta el triángulo escaleno de P. . Existe compatibilidad

geométrica en todas las posiciones intermedias dedesplegado

porque las pirámides componentes tienen materializadas con

barras solamente las aristas al vértice, y no las de la base

(triangular), o por expresarlo como en la anterior, si ima

ginamos que de cada "x" hay una barra proyección en el pla

no del punto de cruce, para tres puntos P. hay seis segmen

tos de rectas ( recuérdese que van alabeadas) las cuales e_s

tan dos a dos "casi" en prolongación recta, definiendo un e-

xágono irregular y poseen tres distorsiones angulares posibles.

425

EN EL CILINDRO

La mejor forma de abordar el reticulado y la definición de -

las barras en "x", es suponer que una superficie cilindrica -

es una superficie plana curvada (con cualquier curvatura) -~"\

Fe esta forma es fácil conseguir unidades componentes exacta

mente iguales en casi todos los casos. Los nudos de las caras

están comprendidos en superficies concéntricas. Durante el -

movimiento, al igual que en las planas se generan todas las

unidades semejantes hasta acabar en lineas rectas.

Únicamente no sirve para las triangulaos de un grado de liber

tad, en que es necesario quebrar una barra para conseguir la

compatibilidad geométrica. Si no;son tan imcopatibles como en

la esfera.

EN CUALQUIER SUPERFICIE

Para obtener un mecanismo con la forma de una superficie cual

quiera de geométrica complicada, la solución más universal -

es la dada por . Pinero. jConocieñdo^las coordeHááasr.dellos pun

tos P de cruce, cualquiera que satisfagan la ecuación de la

superficie, se. obtienen los extremos de las "x" sobre las -;

rectas normales a los triángulos definidos por su.P.: se ha-

426

H a n como el corte de la recta que pasa porcada P inclinada un

ángulo igual al de desplegado fijado 3 más o menos el que for

ma el radio de curvatura en P y la normal al triangulo desde

el centro de curvatura.

DE LAS ESTRUCTURAS

Para trasladar cualquier tipo de carga, la forma curva cons

tituye una ventaja indudable en cuanto a que en general se -

tienen menos solicitaciones, deformaciones y gastos de mate

rial, no estándose en la obligación de conseguir canto. Por

tanto, ahora si que basta solamente coaccionar los mecanis—

mos lo necesario para tener una estructura aceptable, es de

cir , basta añadir 1 ó 3 barras y arriostrar convenientemente

aquellos mecanismos en que sus nudos formen cuadriláteros.

Con esto se tienen estructuras equivalentes a los retícula—

dos de una capa.

No obstante, no es difícil ni resultan de manejo aparatoso,

si se añaden barras en la cara superior, incluso hasta su to

tal triangulación. Obviamente se pueden realizar plegables -

de doble capa. El procedimiento de paso a estructura y el -

montaje en nada se diferencian de las desplegables según una

427

superficie plana. También sirven los mismos tipos de nudos.

Respecto a ñudos, existen pocas soluciones comparado con las

existentes para las no plegables, en que se lleva empleado -

tanto tiempo y trabajo como la abundancia de patentes hace -

suponer.

SOBRE EMILIO PÉREZ PINERO

Casi basta decir que, de entrada y sin ningún tiempo de dedi^

cación profesional que le hubiera permitido tener recopilada

información (estudiante) y que hace suponer un trabajo con -

medios y observaciones propios, elige la "x" y define el me

canismo más adaptable a las superficies curvas, de tres gra

dos de libertad. Para los congresistas de la UIA fue una co

sa nueva. La autora no ha encontrado otros anteriores (ni —

análisis posteriores).

Se dice en la introducción general, que tenia tanta visión -

espacial como capacidad manual: las dos cúpulas. (1961 y 1966)

que se estudian en esta parte bcorroboran ampliamente, tanto

por la visión de conjunto como por el diseño de componentes.

Posiblemente no llegó a intuir el análisis de grados de li

bertad de sus mecanismos, pero, quitando las dos últimas rea

428

lizaciones, intento añadirles pocas barras para tener estruc

turas conocidas que supiera analizar minimamente.

429

BIBLIOGRAFÍA

- GENERAL

- INFORMES, PONENCIAS Y ARTÍCULOS

- PATENTES

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McALLISTER

ZEIGLER,T.R.

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7755

655970

2697845

2914074

3206897

3888056

3986519

3940892

3973370

4026313

532117

Reino Unido

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España

1914

• 1951

1954

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1976

1976

1976

1977

1984

43?

A N E X O

- Programa de ordenador en BASIC escrito en un IBM-AT, desarro

liado para un reticulado de la superficie esférica 439

- Entradas de datos para cálculo de emparrillados con el progra_

ma STAAD-III, versión 7, nivel 8 445

- Hojas manuscritas de Emilio Pérez Pinero, para Salvador Dalí 467

- Primeras páginas y dibujos contenidos en las patentes de Em_i

lio Pérez Pinero 474

^ O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O C D O O O O O O C D O O O O O O O C D O a O O

— 1 ""O O »—Í >—( J—i i—< >—t >—< *—( >—« »—<Í~H>—(i—ii—t )—4 t—t »—> t—( i—t t—> »—i i—<>—(>—i •—t y-< •—tí—<>—<>—<t~-<i~-ti—<•—ii—1>—<i—i W CT Í 1 D n O A3 73 ^-<3>i—ti—i w Z 13 Z X) u T > ; x i r " o o o o c ^ o o o o o o o o o o o o n o o o o o o o o o o o r } o o o o o o * ^ o x 5 > - - * c o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o ! 3 o o o o o o o o o o o o o 2 : ^ : ^ : c o c / ) c f : N j 4 i . ¡ ! ~n C H C Z - I Í — I ^ : W W W K i ^ ^ ^ W W W W m f W H i W H i R > W W f * 5 ^ W W ^ W ^ S : W K ' ^ K > W W W I ^ ^ ^ X 1 ^ 7 3 ^ 7 3 W H ? W > >—...—. i—. —I O —i —(

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580 590 600 610 620 630 6-10 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200 1210 1220

LP PR FO PR NE PR PR ÍN IF LP LP FO LP NE DI FO FO FO IF NE FO FO FO IF NE FO M( NE PR PR IN 1 = II GO IN 1 = II GO IN

II GO F D I F I B I N F D I F I B I N I F B I C F O

C5

RÍNT INT "COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DEL. ICOSAEDRO INSCRITO"" R 1*1 TO 12 INT I TAB(6) IC0£(I,1) TA8(27) ICOfCI.2) TABC48) IC0£(I,3) XT I INT INT TAB(20) "¿QUIERE IMPRIMIR ESTOS PUNTOS? S/N e INTRO" PUT;P1$ Pl$="S" GOTO 670 ELSE 720

RINT "COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DEL ICOSAEDRO INSCRITO'1

RINT R 1=1 TO 12 RINT I TAB(6) IC0£(I,1) TAB(27) IC0£(I,2) TAB(48) IC0£(I,3) XT M MC91,3) R D = l TO 13 R E = l TO D R 1=1 TO 91 H(I,1)=0 THEN H(I,1)=D ELSE NEXT I

XT E,D R D-13 TO 1 STEP -1 R E = 13 TO D STEP -1 R 1=1 TO 91 M(I,3)*0 THEN M(I,3)=E ELSE NEXT I

XT E,D R 1 = 1 TO 91 / I,2)=27-M(II1)-M(I,3) XT I INT INT CHR$(7) PUT "PRIMER VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";Al. 1 -Al SUB 1660 PUT "SEGUNDO VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";A2 79 = A2 SUB 1660 PUT "TERCER VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";A3 91 = A3 SUB 1660 OR J=l TO 3 £=(I£(79,J)-I£(1,J))/12 = 1 OR A = l TO 11 = I + A = I~A £(I, J) = I£(B, J)+D£ EXT A,J OR 3 = 1 TO 3 £=(I£(91,J)-U(1,J))/12 -1 OR A = 2 TO 12 = I+A -I-A £(I,J)=I£(B,J)+D£ EXT A,J -3 OR A = 3 TO 13 = 1+1 = Í+A = I-B

OR J=l TO 3

£=(!£(!,J)-I£(B,J))/C

F = B + 1 FOR G H = G~1 I£(G,J) NEXT 6, FOR 1=1 IF IÍ(I I£d,4) IF I£(I I¿(I,5) I£(I ,6) GOTO 14 I£d,4) IF I£(I I£(I,5) IF I£CI I£CI,6) GOTO 14 I£(I,5) I£d,6) IF 1£(I I£(I,6) NEXT • FOR 1=1 A£--SQR( IF I£(l GOTO 15 B£=A£/I UCI.7) I£(I,7) IF I£(I ÍF I£(í IF I£(I IF I£(I

80 GOTO 16 C£-I£ÍI I£d,8) I£(I,8) IF I£(I IF I£(I NEXT GOTO 17 FOR J=l I£(I,J) NEXT RETURN LPRINT LPRINT FOR 1=1 FOR J=l Id,J) = NEXT J, CLS

PRINT C PRINT T PRINT PRINT PRINT T PRINT PRINT T

PLANO" 1840 PRINT T O ESFÉRICO" 1850 PRINT T DIO " l££Jl_fiRLN£..t

F TO E

* I £ C H J,A TO 91 ,1)*0 G *R/SQR( ,1)<0 T =I£(I,2 -I£CI,3 60 = 0 ,2)=0 G =R/SQR( ,2)<0 T *I£(I,3 60 = 0 r-R ,3)<0 T ~R

TO 91 RA2-I£( ,6)=0 T 40 £(1,6) =ATN(B£ = H d , 7 ,6)<0 T ,4)=0 T ,5)=0 T ,5)<0 T 40 ,5)/I£< *ATN(C£ -I£(I,8 ,4)<0 T ,4)>Q A

00 TO 3 =ICO£(I

J)+D£

OTO 1360 l+(I£(I,2)/I£(I,l))*2+(I£(I,3)/I£(Itl))*2) HEN I£(I,4)=-I£(I,4) )*I£(I,4)/I£(I,1) )*I£(I,4)/I£(I,1)

OTO 1420 l + (I£(It3)/I£(I,2))'"2) HEN I£(I,5)*-I£(I,5) )*I£(I,5)/I£(I,2)

HEN I£(I,6)=-I£(I,6)

I,6)~2) HEN I£(I,7)=90 ELSE 1510

) )*180/PI£ HEN I£(I,7)=90-I£(I,7) HEN I£d,8)=90 ELSE 1590 HEN I£d,8)=0 HEN I£(l,8)»270

1,4) ) )*180/PI£ HEN I£(I,8)=180+I£(IÍ8) ND I£(I,5)<0 THEN I£(I , 8)-360 + I£(I , 8 )

1,3)

" 1

TO 91 TO 8 I£(I,J) I

HR$ í 7) AB(25) "TRIANGULO",A1;A2;A3

AB(20) "ELEGIR PASO SIGUIENTE; 1etra e INTRO"

AB(5) "1 IMPRESIÓN DE i,j,k,X,Y,Z DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANGUL

AB(5) "2 IMPRESIÓN DE X » Y , Z , FI , TETA , DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANG

ABC5) "3 CALCULAR LONGITUD DE BARRA Y ÁNGULOS CON EXTREMOS DEL

A_B15X_" Ü . - TAI mi AP i nq . ANÍ;iu a5L_HFI xP_I_A_M_GIIÍ_Q DF_FT.N T nn pnp TPF<Í P

TOS 187 1.88 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202

PR PR PR ÍN PR IF IF IF IF IF IF IF PR GO PR LP

I NT INT INT PUT INT P2 = P2 = P2 = P2 = P2-P2-P2-INT TO 1 INT RINT

TABC5) "5 TAB(5) "6 TAB(5) "7 ;P2

CALCULAR LA DISTANCIA EN FI Y TETA ENTRE DOS PUNTOS" PASAR A OTRO TRIANGULO DEL ICOSAEDRO" FINALIZAR"

2010 2090 2190 2410 2810 870 2990 EN TECLEADO

GOTO GOTO GOTO GOTO GOTO GOTO GOTO

ERROR EN TECLEADO OPCIÓN" 760 "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTICES : "Al","A2","A3"(i, "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTÍ CES : "Al","A2","A3"(i k,X

Y , Z ) " »Y,Z)

2030 2040 2050 AB(4 2060 TABÍ 2070 2080 2090 2100 2110 A2", 2120 "A2" 2130 2140 2150 ABC6 2160 TAB( 2170 2180 2190 2200 2210 222Ü 2230 2240 2250 2260 2270 2280 2290

2300 2310 2320 2330 2340 2350 2360 2370 2380 2390 2400 2410 2420 2430

LPRIN FOR I PRINT

0) 1(1 LPRIN

40) Ií NEXT GOTO LPRIN LPRIN PRINT

"A3 " LPRIN ,"A3 " LPRIN FOR I PRINT

6) ICI LPRIN

66) I( NEXT GOTO CLS PRINT LPRIN LPRIN PRINT LPRIN PRINT LPRIN 1NFUT INPUT D12£ =

T

"Al","

"Al",

"SU

-1 TO 91 TAB(l) I TABC7) M(I,1) TAB(ll) M(I,2) TAB(15) M(I,3) TABÍ25) 1(1,1) T ,2) TABÍ55) 1(1,3) T TAB(l) I TABC7Í M(I,1) TAB(ll) H(I,2) TAB(15) Mil,3) TAB(25) 1(1,1) 1,2) TAB(55) 1(1,3)

1760 T T "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS

EN CARTESIANAS Y POLARES , (X,Y , Z , FI,TETA)" T "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS EN CARTESIANAS Y POLARES , (X , Y,Z , Fí,TETA)"

T -1 TO 91 TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7) T ,8) T TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7) 1,8)

1760

TA8Í25) "TRIANGULO",A1;A 2;A 3 T T TABÍ25) "TRIANGULO",A1;A2;A3 "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO"

T "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO" TA8Í5) "BARRA" TAB(20) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAi" TAB(60) "DELTA"

T TAB(5) "BARRA" TA8C2Q) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAI" TAB(60) "DELTA" "PRIMER PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N1 "SEGUNDO PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N2

S0R((I£(N1,4)-'I£(N2,4))A2 + (I£(N1,5)-I£(N2,5))"2+(I£(N1I6)-I£(N2,6))"2)

D£-D12£/2 S12£^SQR(R~2~D£~2) ALFAI05£=ATN(D£/S12£) ALFAI=ALFAI05£*360/PI£ DELTA=(180-ALFAI)/2 D12=D12£ PRINT TABÍ5) Nl"~"N2 TAB(20) D12 TAB(40) ALFAI TABÍ60) DELTA LPRINT TAB(5) Nl"-"N2 TAB(20) 012 TAB(40) ALFAI TAB(60) DELTA PRINT INPUT "¿OTRA BARRA2S/N e INTR0";P3$ IF P3$-"S" GOTO 2270 ELSE 1760 CLS PRINT TAB(25) "TRIÁNGULO",Al,A2,A3 I P P T N T

2440 LPRINT TA8Í25) " TRI ÁNGULO",Al;A2;A3 2450 PRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS" 2460 LPRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS" 2470 PRINT TAB(5) "BARRA" TABC25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO" 2480 LPRINT TAS(5) "BARRA" TAB(25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO" 2490 LPRINÍ 2500 INPUT "PRIMER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; TI 2510 INPUT "SEGUNDO PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T2 2520 INPUT "TERCER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T3 2530 L12£=SQR((If(Tl,4)-I£(T2,4))*2+(I£(Tl,5)-I£(T2,5))A2+(t£(Tl,6)-I£(T2,6))

2540 L23£ = SQR((I£(T2,4)-I£(T3,4))A2+(I£(T2,5)-I£(T3,5))'S2+(I£(T2,C)-I£(T3,6))

2550 L13£-SQRCCI£CT1,4)-I£CT3,4))"2+(I£(T1S5)-I£CT3)5)JA2^ÍI£ÍT1)6)~I£(T3,6))

2560 2570 2580 2590 2600 2610 2620 2630 2640 2650 2660 2670 2680 2690 2700 2710 2720 2730 2740 2750 2760 2770 2780 2790 2800 2810 2820 2830 2840 2850 2860 2870 2880 2890 2900 2910 2920 2930 2940 2950 2960 2970 2980 2990

P£=(L1 Pl£-P£ P2£=P£ P3£-P£ TGl£-5 TG2£=S TG3£-S AU-AT A2£=AT A3£=AT AA1-A1 AA2-A2 AA3^A3 l. i. ¿ ™ L1

L13-L1 L23-L2 PRINT PRINT PRINT LPRINT LPRINT LPRINT PRINT INPUT IF P4$ CLS PRINT LPRINT LPRINT PRINT LPRINT PRINT LPRINT PRINT INPUT INPUT FI=I£( TETA-I PRINT LPRINT PRINT INPUT IF P4$ END

2S+L23 -L23£ -L13£ -L12£ QR(P2£ QR(P1£ QR(P1£ N(TG1£ N(TG2£ N(TG3£ £*360/ £*360/ £*360/ 2£ 3£ 3£ TABÍ5) TAB(5) TAB(5) TAB(5 TABC5 TAB(5

£+L13£)/2

*P3£/P *P3£/P *P2£/P ) ) ) PI£ Pl£ PI£

TI"-" T 9 fí - ,v

T3"-n

Tl"-T2"--T3"~

£/Pl£ £/P2£ £/P3£

T2 TA T3 TA TI TA "T2 T ,TT3 T "TI T

B(25 B(25 BC25 AB(2 AB(2 AB(2

"¿OTRO TRIANGULO?S/N = "S" GOTO 2490 ELSE 1

) L12 TAB (45) AA3 ) L23 TAB (45) AA1 ) L13 TAB(45) AA2 5) L12 TAB(45) AA3 5) L23 TAB (45) AA1 5) L13 TAB(45) AA2

e INTRG";P4$ 760

J1

TABC25) "TRIANGULO", Al,A2,A3

TABÍ25) "TRIANGULO", "DISTANCIA EN FI Y TE "DISTANCIA EN FI Y T

TABC5) "PUNTOS" TABC2 TAB(5) "PUNTOS" TA5(

"PRIMER PUNT0";F1 "SEGUNDO PUNT0"jF2 F1,7)~I£(F2,7) £(F1,8)-I(F2,8) TABC5) F1"-"F2 TAB(25 TAB(5) F1"-"F2 TAB(2

"¿OTRA DISTANCIA?S/N ="S" GOTO 2890 ELSE 1

A1;A2;A3 TA ENTRE DOS PUNTOS" ETA ENTRE DOS PUNTOS" 5) "FI" TABC45) "TETA" 25) "FI" TAB(45) "TETA

) FI TAB(45) TETA 5) FI TAB(45) TETA

e INTR0";P4$ 760

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 "230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 -100 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 61Ü 620

EM " RINT NPUT RINT PRIN PRIN PRIN PRIN NPUT INPU PRÍN LPRI PRIN PRIN LPRI LPRI LPRI LPRI PI-3 FI-3 GOSü FI^6 GÜSU FI*9 GOSU FI-1 GOSU END RFI = PRÍN LPRI LPRI PRIN LPRI LPRI QR = Q QR*-A^CO 8 = 1-C = l + FOR RTET NFI = NFIT NTET PRIN PRIN PRIN PRIN PRIN PRIN LPRI LPRI LPRI LPRI LPRI LPRI NEXT LPRI LPRI LPRI RETU

E S F U E R Z O S DE VIENTO EN M E M B R A N A S E S F É R I C A S (según F l ü g e ) " " F L U V I E N T . I C O " " C U P U L A " ; C $ " C Ú P U L A : ",C$

T T T T " C Ú P U L A : ";C$ "RADIO DE LA ESFERA (EN M E T R O S ) "; R

T " P R E S I Ó N DE VIENTO (EN K G . / M 2 ) "; Q T "E S F U E R Z O S EN ESFERA DE RADIO ¡ " R " M E T R O S " NT " E S F U E R Z O S EN ESFERA DE R A D 1 0 : " R " M E T R O S " T T "PRESIÓN DE V I E N T 0 " Q " K G / M 2 " NT "PRESIÓN DE VI E N T G " Q " K G / M 2 " NT NT NT .141593 O B 290 O B 290 O B 290 15 B 290

FPPI/180 T "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI = "FI',GRADOS" NT "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI "FI"GRADOS" NT T "TETA'V'NFI'V'NFITETA'V'NTETA" NT "TETA","NFI","NFITETA","NTETA" NT / *R QR S(RFI)+2 COS(RFI) COS(RFI) TETADO TO 180 STEP 10 A^TETA*PI/180 QR*A*B*C0S(RFI)*C0S(RTETA)/3/C/SIN(RFI) ETA=QR*A*B*SIN(RTETA)/3/C/SIN(RFI) A-QR*SINCRFI)*COS(RTETA)~NFI T TETA , T USING "£££££.££";NFI , T , T USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I T E T A , T , T USING " £ £ £ £ £ . £ £ " : N T E T A NT TETA , NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I , NT , NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I T E T A , NT , NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N T E T A

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" CHECKING LOAD DATA.

** PERFORMISG BANDHITH REDUCTION.

** BANDVIDTH STATISTICS **

ORIGINAL BAND8IDTH = 315 REDUCED BANDWIDTH = 48

** PROCESSING HEHBER INFORMATION ** PROCESSING SUPPORT CONDITION. ** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.

** PROCESSING ELEHENT STIFFNESS MATRIX. ** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS HATR1X, ** PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATION.

«STAAD-III WARHING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT 321

**STAAD-III VARHING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT 321

"STAAD-III «ARNING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT 321 ** CALCULATING JOINT DISPLACEHENTS. ** CALCULATING ELEHENT FORCES.

130. PRINT REAC

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106. PRINT REAC

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S T A A D - I I I REVISIÓN 7.06ÍVERSI0N 7,LEV£L 8) PROPR1ETA8Y PROGRAH OF RESEARCH ENGINEERS,INC. DATE-- 11-11-88 TIKE= 16:50:47

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* * * S T A A D - I I I * * REVISIÓN 7.08WERSI0N 7.LEVEL 8) *

* PROPRIETARY PROGRAM OF *

» RESEARCH ENGINEERS.INC. * * I3ATE= 12-19-88 * * ÍJHF= ]J:23¡55 * •* #

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SUPP

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45 48

MEMB PROP 1 TQ 40

43 T0 50 134 TO 137

138 CONS

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LOAD 1 JOIN LOAD

10 13 19 25

4 16 22 31 í 7

47

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S T A A D - III REVISIÓN 7.03ÍVERSI0N 7,LEVEL 8) PROPRIETARY PROGRAM OF RESEARCH ENGINEERS,INC. DATE= 11-16-87 TIME= 19:01:07

4

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1. STAAD SPACE CELOSÍA 1 2. UNIT ME MT 3. OUTPUT WIDTH 80 4. INPUT NODESIGN 5. JOIN COOR 6. 1 0.000 0.5 0.000 6 8.660 0.5 7. REPEAT 4 0. 0. 1.732 8. 31 0.000 -0.5 0.000 36 8.660 -0.5 9. REPEAT 4 0. 0. 1.732 10. 610.866 0.0 0.000 65 7.794 0.0 11. REPEAT 4 0. 0. 1.732 12. 86 0.866 0.0 0.010 90 7.794 0.0 13. tíTPEAT 4 0. 0. 1.732 14. ; ; : 0.000 0.0 0.866 116 8.660 0.0 15. K-'-iAT 3 0. 0. 1.732 16. i ; ' ; 0,010 0.0 0.866 140 8.670 0.0 17. F£P£AT 3 0. 18. MEMB INCI 19. 1 í 61 20. 6 7 66 21. 11 13 71 22. 16 19 76 23. 21 25 81 24. 26 61 32 25. 31 66 38 26. 36 71 44 27. 41 76 50 28, 46 81 56 29. 51 31 86 30. 56 37 91 31. 61 43 96 32. 66 49 101 33. 71 55 106 34. 76 86 2 35. 81 91 8 36. 86 96 14 37. 91 101 20

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FIXED BUT MX MZ 6 1 . 32 TO 37 42 43 48 49 54 TO 60 FIXED BUT MX MY MZ FX FZ 62. MEHB RELÉ 63. 1 TO 25 ST MZ 64. 26 TO 50 EN MZ 65. 51 TO 75 ST HZ 66. 76 TO 100 EN MZ 67. 101 TO 124 ST MZ 68. 125 TO 148 EN HZ 69. 149 TO 172 ST MZ 70. 173 TO 196 EN HZ 7 1 . 197 TO 294 ST MZ 72. 197 TO 294 EN MZ 73. 295 TO 343 EN MX 74. HEMB OFFS 75. 51 TO 75 ST . 0 0. 76. 76 TO 100 EN . 0 0. 77. 149 TO 172 ST .01 0 . 78. 173 TO 196 EN .01 0. 79. HEMB PROP

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#* CHECKING LOAD DATA.

** PERFORMING BANDWITH REDUCTION.

** BANDWIDTH STATISTICS **

ORIGINAL BflNBWIDTH = 128 REDUCED BANDOTH = 30

** PROCESSING MEMBER INFORMATION ** PROCESSING SUPPORT CONDITION. s* PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.

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* S T A A D - III * * REVISIÓN 7.08ÍVERSI0N 7TLEVEL 8) * » PROPRIETARY PROGRAM OF * * RESEARCH ENGINEERS,INC. * * DATE= 11-17-87 * * TIME= 13¡10:44 * « 4

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1. STAAD SPACE CELOSÍA 2 / 2. UNIT ME-MT 3. OUTPUT WIDTH 80 4. INPUT NODESIGN 5. JÜIN COOR 6. 1 0.000 0.5 0.000 6 8.660 0.5 0.000 7. REPEAT 4 0. 0. 1.732 8. 31 0.000 -0.5 0.000 36 8.660 -0.5 0.000 9. REPEñT 4 0. 0. 1.732 10. 61 0.866 0.0 0.000 65 7.794 0.0 0.000 11. REPEAT 4 0. 0. 1.732 12. 86 0.866 0.0 [0,010.. 90 7.794 0.0 0.010 13. REPEAT 4 0. 0. 1.732 14. 111 0.000 0.0 0.866 116 8.660 0.0 0.866 15. REPEAT 3 0. 0. 1.732 __,-16. 135 O.^ÍO) 0.0 0.866 140 8.670^)0.0 0.866 17. REPEATTO. 0. 1.732 18. MEÍ1B INC I 19. 1 1 61 5 1 1 20. 6 7 66 10 21. 11 13 71 15 22. 16 19 76 20 23. 21 25 81 25 24. 26 61 32 30 1 1 25. 31 66 38 35 26. 36 71 44 40 Jr^. 27. 41 76 50 45 \ 28. 46 81 56 50 ' 29. 51 31 86. 55 1 i 30. 56 37 91 60 31. 61 43 96 65 32. 66 49 101 70 33. 71 55 106 75 34. 76 86 2 80 1 i 35. 81 91 8 85 " t 36. 86 96 14 90 37. 91 101 20 95 38. 96 106 26 100 39. 101 1 111 106 1 1 40. REPEAT 3 6 6 41. 125 111 37 130 1 1 42. REPEAT 3 6 6 43. 149 31 135 154 1 1 44. REPEAT 3 6 6 45. 173 135 7 178 1 1 46. REPEAT 3 6 6 47. 197 1 31 202 1 1 4fi Wl ?5 SS 70P, 1 1

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» CHECIÜNG LOAD DATA.

« PERFORMING BANDWITH REDUCTION.

« BANDUIDTH STATI8TICS **

ORIGINAL BANDWIDTH = 128 REDUCEB BANDUIDTH = 16

*» PROCESSING MEMBER INFORMATION #* PROCESSING SUPPORT CONDITION. ** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.

## PROCESSING ELEMENT STIFFNESS MATRIX. ** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS MATRIX. #* PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATIQN. ** CALCULATING JOINT DISPLACEMENTS. ** CALCULATING ELEMENT FORCES.

83. PRINT REAC

*************************************************

* S T A A D - III * REVISIÓN 7.08ÍVERSI0H 7.LEVEL 8) * PROPRIETARY PROGRAH OF * RESEARCH ENGINEERS,INC. * DATE= 01-09-89

TIME= 11:28:26

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STAAD SPACE CELOSÍA 2 UNIT ME HT OUTPUT HIDTH 80 INPUT NODESIGN JOIH CQOR 1 0.000 0.5 0.000

REPEAT 4 0. 0. 1.732 31 0.000 -0.5 0.000 REPEAT 4 0. 0. 1.732 61 0.866 0.0 0.000 REPEAT 4 0. 0. 1.732 86 0.866 0.0 0.010 REPEAT 4 0. 0. 1.732 111 0.000 0.0 0.866 REPEAT 3 0. 0. 1.732 135 0.010 0.0 0.866 REPEAT 3 0. HEHB I8CI 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86

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" ESSKOCJTJIÍA RETICULAR ES2EKE* PLKUABL^. »

S o l i c i t a n t e : Don Emi l io PEREÜ PIÍÍISRO, de n a c i o n a l i d a d espa

ñ o l a , d o m i c i l i a d o en Madrid, c a l l e Pé rez Ca l

dos n2 4 .

Inventor: El solicitante•

Corresponde la presente descripción, ce aouriae

con su enunciado, a una estructura reticular eñtárea <iuc

prv-.:í:ta la ij.::ooi':óir.v.= v.-r.iC-;-?.r.ío'tict. '~Ü ••::•.." ].I-- ..-•;,? ••.

Cualquiera de X~s estructuras -asTírciíS COJV-"V~"!

das o sinplenente proyect&day hasta el ruci/iento actual ÍOÍ;

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N^ 266 ,801 , POR: "BoSñUC'JítlRA l£T10l)Í>AR B32SKEA PLBGABI^ ,: .

„ . . . . /

S o l i c i t a n t e : Don Emil io PiiBHZ PIZAÍKO, de n a c i o n a l i d a d espa

ñ o l a , d o m i c i l i a d o en C.vLASPAKlU ( ¿ u r c i é . ) .

I n v e n t o r : El s o l i c i t a n t e .

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EL s o l i c i t a n t e es t i ' c u l a r de l a i -a tante de Invon--

c i ó n n s 2 6 6 . 8 0 1 , q.ue r e c a y ó s o b r o : "ESíKuCTU.^- rüiXIOoL^;

..: A . AAAA-A:1A% y i a prsssr .Vi ^...o.;A,:. : ^ : v A : . ^ • J . : . - . -

iv:^!0i'í.ii:: ~ue completan satiSj'&ctoria/úJDii'ce cioucxla invoxo.ienj

cuyas mejoras habrán do c o n s t i t u i r un -'AI; AA CA:;AAU:J.C„A- ,'.>

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S o b r e:

"SISSETÍA SE PIANOS ARTICULADOS CUBRIENDO UíIA ESTRO

TURA RETICULAR E3TEREA DESPLEGAELE'1*

IX.

Solicitante: D. Enilio Peres Pinero, domiciliado en

callo Constitución nS 16,- CALASPARRA •

(Tercia) •

Inventor: 21 Solicitante, Arquitecto do nacionalidad

española.

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ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y ...

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