TRABAJO ACADEMICO DE ESTRUCTURAS DISCRETAS

Pregunta 1 (1 Pts.)

Simboliza las siguientes proposiciones, definiendo primero las proposiciones.

De donde queda:

p∧q

q : leí lanovela

De donde queda:

( p∧q)

De donde queda:

p⟺q

a) No vi la película, pero leí la novela

p ∧ q

b) No es cierto que viese la película y leyese la novela.

p ∧ q

c) Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura

p ⟺ q

De donde queda:p→( q∧ r )

Problema 2: (1 Pts.)

Enlaza cada proposición con su formalización

p: Las estrellas emiten luz q: Los planetas reflejan la luz

r: Los planetas giran alrededor de las estrellas

1. Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan ygiran alrededor de ellas C A. (p V q) Λ r

2. Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas A B. ~ (p Λ q) ~ r

3. Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas D C. p (q Λ r)

4. Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas B D. q ↔ (p Λ r)

Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellasp (q Λ r)

Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas

(p V q) Λ r

Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas

d) Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles.

p q r

q ↔ (p Λ r)

Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas

~ (p Λ q) ~ r

Problema 3: (2 Pts.)

Formaliza el siguiente enunciado. ¿Cuántas variables tiene la tabla? ¿Es una tautología?

“Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto; y si te quedas paralizado del susto, entonces no puedes sino apelar a su bondad y así no ser engullido.

Por lo tanto, si un animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás engullido.”

¿

Podemos observar que la siguiente tabla presenta 4 variables

Respuesta: 4 variables

¿Es una tautología?

p q r r ¿V V V V V F V F F F FV V V F V F V F F F VV V F V V F V F V F FV V F F V V V V V V VV F V V F F F V F F FV F V F F F F V F F VV F F V F F F V V F FV F F F F F F V V V VF V V V V F V F F F FF V V F V F V F F F VF V F V V F V F V F FF V F F V V V V V V VF F V V V V F V F F FF F V F V V F V F F VF F F V V V F V V F F F F F F V V F V V V V

Podemos observar que existen valores falsos en la tabla por lo cual el enunciado NO ES TAUTOLOGIA

Problema 4: (1 Pts. c/u)

Formaliza los siguientes argumentos y demuestre su validez usando el método del absurdo.

a) Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños.

He aceptado el trabajo y he dejado de pintar.

Por lo tanto, no realizaré mis sueños.

SOLUCION:

{ [ ( pVq ) → ( r ) ]∧ ( p∧q ) }→ r=F

F p=V ,q=V r=V

V V F

Analizando la proposición atreves del método del absurdo podemos demorar la validez.

Por lo tanto se demuestra la validez con el método del absurdo.

b) Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India.

Si vamos a Asia entonces, si llegamos hasta la India visitaremos Varanasi.

Si vamos a India entonces, si visitamos Varanasi podremos ver el Ganges.

Por lo tanto, si vamos a Asia veremos el Ganges

SOLUCION:

( p→q )∧ ( ( p→q ) →r )∧ ( (q→r )→ s) → ( p→s )=F

p=V , q=V V V p=V , s=F

V F

Usando el metodo del absurdo, concluimos lo siguiente:

p=V, q=V, r=V, s=F.

Ahora reemplazamos en la expresión ( (q→r ) →s ), ya que debería salir VERDADERO

( (q→r ) →s )=(V →V )→ F=FALSO

Demostrando así la validez, ya que existe contradicción.

Problema 5: (2 Pts.)

Demuestre por Inducción matemática la siguiente proposición:

n (n−1 ) ( n−2 )>2n paracadan≥4

Determinaremos la prueba base: n=4

4 (4−1 ) (4−2 )>24

24>16

DE LO CUAL PODEMOS VER DE QUE CUMPLE EL LIMITE INFERIOR DEL VALOR DE n.

PRUEBA INDUCTIVA: evaluaremos la desigualdad para

P(n) es verdadera.

P(n+1), debemos demostrar su validez.

P(n): n (n−1 ) ( n−2 )>2n n3−3n2+2n>2n

P(n+1): (n+1) (n ) (n−1 )>2n+1

Como podemos observar para n≥4

2n+1>2n

2n+1>n3−3n2+2n

Por ende:

n3−n>n3−3n2+2n

Por lo cual podemos ver que las formula es verdadera ya que se cumple la prueba inductiva

Problema 6: (2 Pts.)

Se define la relación R sobre Z como:

R = {(x, y) ε Z x Z / x/y = 2n, n ε Z}

Demuestre que R es una relación de equivalencia.

SOLUCION:

REFLEXIVIDAD:

xRx→ X /X=2nn=0 ,n e Z

Cumple la reflexividad

SIMETRIA:

xRy , yRxxy=2n , y /x=2m x / y y /x=1=2n+m(n+m)eZ

TRANSITIVIDAD:

xRy es VERDADERO,

yRz es VERDADERO xRz es VERDADERO

xy=2n

yz=2mmultiplicamos( x

y )( yz )= x

z=2n+m , (m+n )∈ Z

Problema 7: (2 Pts.)

a) Cuantas cadenas pueden formarse mediante las siguientes letras: M I S S I S S I P P I

SOLUCION.

P=P(1,4,4,2)11 =¿34650

b) ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder?

Resolución

Desde A – B – C – D 32=9 formas

Desde A-B-D 31=3 formas

Desde A-C-D3*2= 6 formas

Podemos apreciar que en toral 18 formas para llegar

Problema 10: (3Pts.)

a) Escribir las expresiones booleana para F1, F2 y F3 de la siguiente tabla en su forma normal disyuntiva (suma de productos).

SOLUCION:

F1=a .b . c+a .b . c+a .b . c+a .b . c

F2=a .b . c+a .b . c+a .b . c

F3=a .b . c+a .b . c+a .b .c+a .b . c+a .b . c

ENTRADAS SALIDAS

A B C F1 F2 F3

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1

b) Simplifique la siguiente función booleana.

a c b d

SOLUCION:

a c b d

(a+c ) .(b+d )

(a+c )+ (b+d )

a . c+b .d