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Capitulo III

SISTEMAS ESTRUCTURALES DE VECTOR ACTIVO:

El efecto del viento en la edificacin. La Flexin Doble. Cerchas Planas.

I. LA INFLUENCIA DEL VIENTO EN LAS CUBIERTAS DE LA EDIFICACIN ARQUITECTNICA La norma CIRSOC 102, estudia los efectos de la Accin del Viento sobre la edificacin, como si fueran cargas

externas que inciden sobre las estructuras (normal a los planos verticales y/o inclinados de los edificios). Para esto se utiliza una magnitud comparativa: PRESIN DINMICA UNITARIA (W en kg/m2), que se interpreta como: el viento a cierta velocidad (v m/seg) produce una PRESIN DINMICA en puntos de la edificacin, en donde la velocidad se hace nula:

PRESIN DINMICA UNITARIA W = (v2 / 16) (kg/m2) La Accin del Viento produce sobre cada elemento superficial de la edificacin (a barlovento: compresin; a

sotavento: succin) una SOBRECARGA UNITARIA segn un COEFICIENTE ELICO (C), el que depende de la configuracin, de la posicin, de la rugosidad de la construccin y del ngulo de incidencia del viento, (ver tablas I. y II.):

SOBRECARGA UNITARIA Pv = (C * W) (kg/m2) Segn experiencias comprobadas, el Viento al incidir sobre un obstculo produce una solicitacin externa de

accin directa paralela a su direccin, equivalente a una SOBRECARGA TOTAL POR VIENTO (Pvt en kg).

SOBRECARGA TOTAL POR VIENTO Pvt = (Pv * h * b) (kg), h (altura del objeto); b (ancho del objeto) TABLA I. COEFICIENTE ELICO para cada cara de una estructura cerrada: C1 y C3: A Barlovento; C2 y C4: A Sotavento

PLANA CURVA RUGOSA CURVA LISA NGULO DE INCIDENCIA DEL VIENTO

C1 C2 C3 C4 C3 C4

90 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 80 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 70 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 60 + 0,8 - 0,4 + 0,8 - 0,4 0,0 - 0,4 50 + 0,6 - 0,4 0,0 - 0,4 - 0,4 - 0,4 40 + 0,4 - 0,4 - 0,4 - 0,4 - 0,8 - 0,4 30 + 0,2 - 0,4 - 0,8 - 0,4 - 1,2 - 0,4 20 0,0 - 0,4 - 0,8 - 0,4 - 1,6 - 0,2 10 - 0,2 - 0,4 - 0,8 - 0,4 - 2,0 - 0,2 0 - 0,4- - 0,4 - 0,4 - 0,4 - 2,0 - 0,2

Para clculo de cada cara o superficie del objeto. El ngulo de incidencia es respecto a la horizontal

TABLA II. COEFICIENTE ELICO en planos inclinados y superficies a dos aguas: C1 y C3: A Barlovento; C2 y C4: A Sotavento

PLANOS INCLINADOS A DOS AGUAS CON CUMBRERA A DOS AGUAS CON LIMAHOYA NGULO DE INCIDENCIA DEL VIENTO

C1 C2 C3 C4 C3 C4

90 1,2 1,2 1,2 0,0 0,8 0,4 80 1,2 1,2 1,2 0,0 0,8 0,4 70 1,2 1,2 1,2 0,0 0,8 0,4 60 1,2 1,2 1,2 0,0 0,8 0,4 50 1,4 1,4 1,2 0,0 0,6 0,6 40 1,6 0,8 1,2 0,0 0,4 0,8 30 1,6 0,8 1,2 0,0 0,4 0,8 20 1,2 0,4 1,0 0,0 0,2 0,8 10 0,8 0,0 0,8 0,0 0,0 0,8 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

En Planos Inclinados se calculan los efectos ms desfavorables con un ngulo de incidencia +/- 10 . En Superficies a Dos Aguas se calculara cada superficie en los casos ms desfavorables. El ngulo de incidencia es respecto a la horizontal

La SOBRECARGA TOTAL POR VIENTO es la resultante de las sobrecargas locales o parciales sobre el total de la superficie, y se utiliza la (TABLA III) para simplificar la diferenciacin entre estructuras cerradas y abiertas.

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CONSTRUCCIONES PRISMTICAS - DE PLANTA RECTANGULAR O COMBINACIN DE RECTNGULOS 1,2 - DE PLANTA OCTOGONAL O ANLOGA 1,0

CONSTRUCCIONES CILNDRICAS - DE SUPERFICIE RUGOSA O NERVADA 0,8 - DE SUPERFICIE LISA 0,6

CONSTRUCCIONES ESFRICAS - ESFERAS O SEMIESFERAS 0,4

TABLA III

TIPO

DE

VO

LUM

EN

- CASQUETES ESFRICOS DE RELACIN (ALTURA / DIMETRO) < = 1/4 0,2

CO

EFIC

IEN

TE E

LI

CO

La accin del viento es mayor en edificios con gran esbeltez, por lo que se debe calcular el factor elico de esbeltez K por medio de la relacin (TABLA IV):

(h (altura total de la edificacin) / b (lado menor de la edificacin))

(h / b ) 1 a 5 entre 6 a 59 60 ms TABLA IV

FACTOR ELICO DE ESBELTEZ K 1,00 1,25 1,50

El SERVICIO METEOROLGICO NACIONAL califica al viento con la siguiente escala (TABLA VI): TIPO DE VIENTO VELOCIDAD (km/h) VELOCIDAD (mts./seg.)

Viento Leve 00 a 10 0.00 a 2.78 Viento Suave 10 a 20 2.78 a 5.56

Viento Moderado 20 a 30 5.56 a 8.33 Viento Regular 30 a 40 8.33 a 11.11 Viento Fuerte 40 a 50 11.11 a 13.89

Viento Muy Fuerte 50 a 60 13.89 a 16.67 Tempestad 70 a 80 16.67 a 22.22 Tornado 80 a 100 22.22 a 27.78

TAB

LA V

I

Huracn a partir de 100 a partir de 27.78 Las zonas grisadas se corresponden a los vientos registrados en las ciudades de Corrientes y de Resistencia.

Las zonas grisadas se corresponden a los vientos registrados en las ciudades de Corrientes y de Resistencia. Segn el tipo de Viento tambin existe una calificacin denominada:ESCALA INTERNACIONAL DE BEAUFORT (TABLA V):

VELOCIDAD DEL VIENTO

PRESIN DINMICA TABLA V DENOMINACIN GENERAL ESCALA DENOMINACIN PARTICULAR

Km/h m/seg kg/m2

CALMA: el humo sube vertical. 0 Calma 3.60 1.00 0,006 El humo se inclina. 1 Ventolina 7.20 2.00 0,25

VIENTO DBIL: se siente en el rostro. Ligeros movimientos de hojas 2 Flojito 14.40 4.00 0,99 VIENTO MODERADO: Se agitan las hojas de los rboles y extiende banderas 3 Flojo

21.60 6.00 2,24

Se mueven ramitas. Levanta polvo y papeles ligeros. 4 Bonancible 28.80 8.00 3,99 VIENTO CASI FUERTE: mueve arbolitos y forma onda en los estanques 5 Fresquito

36.00 10.00 6,24

VIENTO FUERTE: mueve ramas grandes y hace silbar los cables. 6 Fresco 43.20 12.00 9,02 Se mueven los rboles. No se puede andar contra el viento. 7 Frescachn 50.40 14.00 12,26 TEMPESTAD: Rompe ramas. Impedimento de andar. 8 Duro 61.20 17.00 18,04 Destrozos en edificios. Caen tejas y chimeneas. 9 Muy duro 72.00 20.00 24,97 rboles arrancados de cuajo. Destrozos en Edificios. 10 Temporal 82.80 23.00 33,02 HURACN: Verdadera catstrofe. 11 Borrasca 108.00 30.00 56,19 CATSTROFE GENERAL. 12 Huracn 144.00 40.00 99,90 CATSTROFE GENERAL. 13 No calificado 180.00 50.00 156,00 CATSTROFE GENERAL. 14 No calificado 188.00 52.15 170,00 CATSTROFE GENERAL. 15 No calificado 198.00 55.00 190,00

Las zonas grisadas se corresponden a los vientos registrados en las ciudades de Corrientes y de Resistencia.

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La antigua norma alemana DIN 1055 expresa la velocidad de diseo y la presin dinmica segn la ubicacin topogrfica (TABLA VII) y segn la altura total (TABLA VIII.) de la edificacin:

TABLA VII ALTURA SOBRE TERRENO CON

SITUACIN TOPOGRFICA VELOCIDAD DEL

VIENTO PRESIN

DINMICA NORMAL EXPUESTA * mts/seg Km/h kg/m2

00 a 10 ------------------ 28 10 50 11 a 30 ------------------ 34 122 75 31 a 100 00 a 30 40 144 100

mayor que 100 31 a 100 45 162 125 ----------------- mayor que 100 49 176 150

* Expuesta: costa de ros, de mares, de lagos; valles estrechos; bordes de mesetas, Crestas topogrficas, etc.

TABLA VIII**

ALTURA DESDE EL SUELO PRESIN DINMICA

mts. kg/m2

00 a 8 50 10 80 20 100

25 a 90 110 100 a 300 130

** Expresin ms particularizada de la Presin Dinmica sobre las estructuras.

I.1.EJEMPLO DE LA DETERMINACIN EXPEDITIVA (preclculo) DE LA MAGNITUD DE LA ACCIN DEL VIENTO SOBRE UNA ESTREOESTRUCTURA (pre-clculo expeditivo del Valor de la Sobrecarga por viento sobre la edificacin). Material adoptado: caos de acero Forma adoptada: rectangular con una plano inclinado cubierto a= 6,0 m; b = 8,0 m (lado expuesto) Altura total desde el Nivel del suelo: h = 5,00 m Situacin topogrfica: Expuesta, sobre la costa del Ro Paran ngulo de Inclinacin de la Estructura: 5 Factor Elico de Esbeltez: ( 5,00 m / 8,00 m) = 0,625 k = 1 (Tabla IV) (Pv = W * 1) Clculo de la Presin Dinmica (segn la norma DIN 1055):

Segn su ubicacin topogrfica EXPUESTA (TABLA VII): W = 100 kg/m2 (v = 144 km/h) Segn su altura (TABLA VIII): W = 50 kg/m2 (v = 103 km/h)

Debido a una diferencia entre la velocidad mxima absoluta de los vientos registrados en el aeropuerto de la Ciudad de Corrientes, una vez en los ltimos 90 aos de registros: 155 km/h = 43,06 m/s W = 117,60 kg/m2 se analizaron ms alternativas para poder adoptar la situacin ms desfavorable segn la norma CIRSOC 102:

1 ALTERNATIVA: considerando nicamente la cara inclinada de la cubierta: Coeficiente Elico: C c= -0,1 (a barlovento); Cs = - 0,4 (a sotavento (Tabla I) Sobrecarga Total por Viento Pvt = (k * W * h * b) = (1 * 117,06 kg/m2 * 1,0 m * 8,0 m) = 936,48 kg. Sobrecarga Unitaria Viento qv1 = (Pvt / sup. real incidencia) = (936,5 kg/m2 / 48,0 m2) = 19,5 kg/m2 qv1 barlovento = (qv * Cc) = 19,51 * ( - 0,1) = - 1,91 kg/m2 (SUCCIN) qv1 sotavento = (qv * Cs) = 19,51 * ( - 0,4) = - 7,80 kg/m2 (SUCCIN)

2 ALTERNATIVA: considerando un volumen macizo o cerrado en toda su altura h: Coeficiente Elico: C= 1,2 (TABLA III) Sobrecarga Total Viento: Pvt = (k * C * W * h * b) = (1 * 1,2 * 117,06 kg/m2 * 5 m * 8 m) = 5.644,8 kg. Sobrecarga Unitaria por Viento: qv2 = (Pvt / (superficie real de incidencia)) = (5.644,80 kg/m2 / 48,00 m2) = qv2 = 117.60 kg/m2 (COMPRESIN SUCCIN)

3 ALTERNATIVA: considerando una estructura abierta con un plano vertical de proyeccin de su plano cubierto en pendiente h = 1,00 m TABLA II: 5 + 10 = 15 C = 1 para cada cara, sup. e inf. Pvt barlovento = (k * Cc * W * h * b) = (1 * 1 * 117,06 kg/m2 * 1,00 m * 8,00 m) = 936.48 kg

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Pvt sotavento = (k * Cs * W * h * b) = (1 * 0,2 * 117,06 kg/m2 * 1,00 m * 8,00 m) = 187.30 kg qv3 barlovento = (936,48 kg/m2 / 48 m2) = + 19,51 kg/m2 (COMPRESIN) qv3 sotavento = (187,30 kg/m2 / 48 m2) = + 3,90 kg/m2 (COMPRESIN)

$ Sobrecarga por Viento ADOPTADA: debido a RAZONES FUNDADAS DE INSEGURIDAD presentadas ante el desconocimiento de QUIEN SERA EL CONSTRUCTOR? y tambin POR POSIBLES MODIFICACIONES EN EL USO FUTURO DE DICHA ESTRUCTURA, se adopta la situacin ms desfavorable: 2 alternativa qv2 = 117.60 kg/m2

qv COMPRESIN = (Peso Propio + Sobrecarga Adoptada) = (30 kg/m2 + 117.60 kg/m2) = + 147,60 kg/m2

qv SUCCIN = (Peso Propio - Sobrecarga Adoptada) = (30 kg/m2 - 117.60 kg/m2) = - 87,60 kg/m2

II. DESARROLLO DEL CLCULO COMPLETO DE UNA CUBIERTA INCLINADA CON FALDONES A DOS AGUAS, CON ESTRUCTURA DE RETICULADOS PLANOS ISOSTTICOS

NGULO DE CUBIERTA: 25 CUBIERTA: Chapa galvanizada N 24 perfil trapezoidal, peso propio = 10 kg/m2 CORREAS: Vigas madera dura (Lapacho): P. P. = 5 kg/m2 - E = 110.000 kg/cm2 - adm = 100 kg/cm2 ESTRUCTURA PRINCIPAL: Reticulado plano madera dura: Lapacho CIELORRASO: Independiente con estructura de Perfiles de aluminio (70 x 60 mm). Terminacin de Placas rgidas de roca

de yeso (60 x 60 cm).

APOYOS: Columnas de H A (30 x 30 cm).

II.1. FLEXIN DOBLE EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE UNA CUBIERTA INCLINADA

La correa es el primer elemento que recibe la carga y se encarga de transmitirla al reticulado o estructura principal por ello se la denomina estructura de transicin. Se tienen dos situaciones distintas segn se considere la correa a viento de PRESIN o la correa a viento de SUCCIN. Independientemente de que el viento produzca presin o succin, su efecto es siempre perpendicular al faldn.

< 25 SUCCIN EN AMBOS FALDONES; > 25 Viento izquierda (BARLOVENTO) PRESINSUCCIN; Viento derecha (SOTAVENTO) SUCCIN-PRESIN; Si se observa la distribucin estructural de un techo inclinado y analizamos su estado de carga se tiene distintos

elementos (Reticulados planos, correas, tirantes, alfajas, clavadoras, etc.) trabajando diferente forma, dependiendo de la ubicacin de los mismos dentro de la estructura. Por esto la organizacin de los techos inclinados est en funcin del material que la forma y a grandes rasgos se puede decir que hay dos tipos de organizacin dependiendo del material de cubierta que se utilice.

* PESADA: si los elementos que forman la cubierta son pequeos, tales como tejas, pizarras, etc., y que en conjunto tienen un peso considerado es necesario construir una trama estructural densa.

* LIVIANA: los elementos que forman la cubierta son de gran tamao, de poco peso por unidad de superficie no necesitan una estructura adicional y apoyan directamente sobre las correas.

II.1.1. FLEXIN SIMPLE

Se hace necesario estudiar el comportamiento mecnico de los elementos constructivos para poder establecer los esfuerzos internos que deben realizar. Por esto, en la flexin simple se verifican las siguientes caractersticas del comportamiento mecnico:

SECCIN TRANSVERSAL

DEL EDIFICIO h: 3,40 m

2,43 m 2,43 m 2,43 m 1,82 m 1,82 m 1,82 m 1,82 m

2,01 m

2,01 m

2,01 m 2,01 m

8,04 m

7,30 m 7,30 m

14,60 m

Reticulado o Cercha Plana

Figura 2: Organizacin de la cubierta: pesada y liviana

Figura 1: Seccin transversal del Edificio y Reticulado Plano elegidos para el clculo de cubierta inclinada.

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Figura 3

g = (g / cos )

Figura 4

Figura 7

Figura 5 Figura 6

* El eje de las solicitaciones principales coincide con uno de los dos ejes principales de la seccin (Figura 3).

* El plano de aplicacin de fuerzas es normal al plano del eje neutro.

* El plano en que se produce el momento flexor mximo es paralelo a una de las caras de la pieza.

II.1.2. FLEXIN DOBLE

Cuando los apoyos de un elemento estructural lineal (viga) se encuentran en diferentes niveles, generando una posicin inclinada del elemento estructural, y el mismo se encuentra bajo una solicitacin (una carga cualquiera) y la viga con sus apoyos est dispuesta de tal modo que puedan recibir reacciones paralelas a la direccin de las fuerzas que estn actuando, se las calcula como simplemente apoyada (Figura 4). Las reacciones en el apoyo y los momentos flectores se pueden calcular como si se tratara de una viga simple sobre 2 apoyos, cuya luz seria igual a la proyeccin de la longitud de la viga, normal a la direccin de la fuerza. Pero, si el elemento estructural se encuentra ubicado de manera transversal o perpendicular a la pendiente de la cubierta como es el caso de las correas se presenta el siguiente comportamiento mecnico:

* El plano que contiene las solicitaciones externas (cargas) no es paralelo a alguno de los ejes principales ortogonales de la pieza, como ocurre en los casos de cubiertas inclinadas (Figura 5), se produce una FLEXIN DOBLE u OBLICUA de las correas, esto significa que las piezas estructurales experimentan una solicitacin a flexin segn 2 ejes perpendiculares, los cuales son oblicuos a la horizontal:

* Los ejes de la pieza no coinciden con la lnea neutra n-n del esfuerzo, si no que forma con l un ngulo distinto de 90 (Figura 6). Para determinar el momento de inercia con la lnea neutra n-n y la obtencin de las mximas tensiones de borde, resulta engorroso. Se obtiene un resultado ms rpido descomponiendo los valores de las solicitaciones externas segn los ejes principales de la pieza.

Si se analiza la seccin de una pieza estructural sometida a flexin doble, se determina el eje neutro n-n (inclinado con respecto a los ejes de la pieza) y los diagramas de tensiones segn el esfuerzo oblicuo: Se utilizan, en primer lugar, los diagramas de tensiones correspondientes a cada una de las fuerzas que originan tensiones segn los 2 ejes de la pieza, lo que significa que la fuerza P se descompone en dos (2) fuerzas cuyos planos de accin sern paralelos a los lados de la pieza: Px y Py (Figura 7).

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Figura 8: Anlisis de seccin de una pieza con flexin doble.

El primer punto es la lnea neutra n-n (la lnea de tensin cero) en cada uno de los diagramas, que pasa por el centro de gravedad de la pieza. Otros puntos de dicha lnea se pueden obtener mediante la condicin que la sumatoria de las tensiones sea igual a cero

(CX - TY1)= 0 (CY - TX1) = 0 TOTAL = 0

Para la obtencin del diagrama definitivo de tensiones, se debe trazar, perpendicularmente a la lnea neutra, determinando as los valores de las tensiones de borde (Figura 8). Que son la suma de las tensiones de borde cada uno de los diagramas correspondiente a los ejes X e Y:

C = (CY + CX) T = (TY + TX)

II.1.3. CALCULO DE SOLICITACIONES Y ESFUERZOS

Para calcular las tensiones mximas, de manera expeditiva en estos casos de flexin oblicua, se procede a la reduccin de la flexin doble a una sumatoria de dos flexiones parciales, descomponiendo la fuerza P, o el momento de flexin M en las direcciones de ambos ejes principales. Por lo que resulta:

qX = (q * cos) MX = (q * L2 / 8) - qY = (q * sen) MY = (q * L2 / 8) Los valores de las tensiones oblicuas sern segn las siguientes ecuaciones:

X = (MX / WX) - Y = (MY / WY) TOTAL = (MX / WX) (MY / WY) Teniendo en cuenta los signos iguales, la tensin mxima de traccin se verifica en el ngulo c, mientras que la

tensin mxima de compresin se origina en el ngulo superior a.

II.1.4. DIMENSIONAMIENTO

Para la determinacin de las dimensiones de la seccin no se puede usar directamente la ecuacin:

TOTAL = (MX / WX) (MY / WY) pues la misma tiene dos incgnitas: WX y WY. Se utiliza entonces el coeficiente auxiliar C (emprico), que relaciona los mdulos resistentes, por lo tanto los lados de la pieza.

C = (WX / WY ) = ((b * h2 / 6) / (h * b2 / 6)) = (h / b); (WX / WY ) = C WY = (WX) / C) TOTAL = (MX / WX) + (MY / WY) TOTAL = ((MX + (C *MY)) / WX)

Estos valores de C son solo aproximados, por esto, es preciso establecer esta relacin, para cada caso. Luego, una vez determinada la seccin correspondiente, se verifican las tensiones de trabajo o de servicio y la magnitud de la flecha.

WNECESARIO = (MX + (C * MY)) / b ADMIS. Se obtiene por lo tanto, que: (h / b) = C Si se cumple lo siguiente: W = (b * h2 ))/ 6) = ((b * (C * b)2) / 6) W = ((b * C2 * b2) / 6) b = (3 * W * 6 / (C)2)

II.1.5. CRITERIOS DE ELECCIN DE C $ En la flexin doble se tiende a emplear secciones menos esbeltas que en la flexin simple. $ En la flexin doble toma importancia no solo la Inercia en direccin X sino tambin la inercia en Y. $ En la flexin doble toma importancia por el problema de deformacin en ambas direcciones. $ En la flexin doble toma la descomposicin de la carga P en Px y Py, pues las fuerzas componentes varan

segn el ngulo de inclinacin de la cubierta (Figura 9).

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Figura 9

$

II.1.6. VERIFICACIONES

1. CARGAS CONCENTRADAS

Segn las normas IRAM 11599 y CIRSOC 102, se debe verificar que cada elemento estructural de la cubierta sea capaz de soportar una carga concentrada de 100 kg, la cual se corresponde a un operario con su equipo de herramientas, que por motivos de trabajos mantenimiento acceda a la cubierta.

2. VERIFICACIN DE LA FLECHA

Clculo de la mxima deformacin de la correa para los estados de carga presentados.

FlechaX-X = (MMAX-X * L2) / (9,6 * E * IX)

FlechaY-Y = (MMAX-Y * L2) / (9,6 * E * IY)

FlechaTOTAL = (FX2 + FY2) FADM = (L / 300) FlechaTOTAL < FADM

II.2. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS RETICULADOS PLANOS ISOSTTICOS

Un reticulado plano es un sistema de barras contenidas en un plano y unidas por sus extremos mediante articulaciones para constituir una armadura rgida e indeformable. Es fcil ver que una armadura simple formada por cuatro barras es deformable (Figura 11). En cambio, tres barras articuladas formando un tringulo constituyen una armadura o malla elemental rgida e indeformable (Figura 12). Esto significa que la posicin relativa de los nudos no se modifica por accin de las cargas.

Tomando como base el tringulo ABC (Figura 11) se pueden agregar nudos. Si a partir de los nudos A y C se puede definir un nuevo nudo D, para esto ser suficiente con unir el punto D con A y C mediante dos barras. Procediendo metdicamente segn este principio, cada nuevo nudo implicar agregar dos barras al conjunto inicial (Figura 13). En el caso del tringulo inicial, (designando con b a las barras y con n a los nudos): (3 * b) = (3 * n). Por cada nudo adicional (descontando los tres primeros) se tiene dos barras (descontadas tambin las tres primeras):

(b 3) = 2 * (n 3) (b 3) = (2n 6) b = ((2* n) 3) Esta es una condicin de isostaticidad interna necesaria, pero no es suficiente, pues el equilibrio de las cargas en

una estructura se puede resolverse aplicando las condiciones de equilibrio en el campo de la Esttica:

x = 0; y = 0; M = 0 La relacin b = ((2* n) 3) es necesaria pero no suficiente, pues todo reticulado debe cumplirla internamente las

bases de la esttica, pero no es suficiente pues un reticulado puede satisfacerla sin que ello signifique que es resoluble por las ecuaciones de equilibrio. En la Figura 14a el reticulado es isosttico porque cumple con la condicin:

n = (10 * b) = 17 b = (2 * n) 3 17 = (2 * 10) 3 = 17

Figura 10: Valores que toma C segn el ngulo de inclinacin.

Figura 11 Figura 12 Figura 13 B C

A

1 2

3 B C

A D

E

F

1 2

3

4

6 5

7 9

8

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Figura 15

Figura 16 Figura 17

Pero la relacin numrica podra tambin cumplirse con un reticulado como el de la Figura 14b, donde se presentan dos situaciones particulares: en la primera malla hay una barra dems, en tanto que la segunda malla es un cuadriltero (estructura formada por cuatro barras y cuatro nudos, es deformable, como en la Figura 11). Por lo tanto, para que el reticulado sea internamente isosttico tiene que cumplir la condicin (b = 2 n 3), y adems tener todas sus mallas triangulares.

Para que el reticulado sea resoluble con las ecuaciones de equilibrio, deben cumplirse las HIPTESIS GENERALES (otros supuestos necesarios):

1. Las barras actuarn solicitadas a esfuerzos simples: traccin o compresin. Para que esto se cumpla, la condicin necesaria es que las cargas se apliquen nicamente en los nudos.

2. Los nudos sern articulaciones sin frotamiento. Es decir que los nudos no producirn momentos que puedan provocar flexin en las barras.

3. Las barras se considerarn como elementos absolutamente rgidos y sin peso propio. Es decir que, para el clculo, las barras se considerarn reducidas a su eje baricntrico.

4. Los nudos sern adimensionales. Es decir que sern puntos definidos por la interseccin de los ejes de las barras concurrentes en dichos puntos.

Es sencillo deducir que las hiptesis planteadas no se verificarn rigurosamente en la realidad, por esto, interesa saber si es importante el error de reemplazar al reticulado real (Figura 17a) por el reticulado ideal (Figura 17b) que cumple todas las hiptesis planteadas. Para ello se analiza en primer lugar, cules son las funciones estructurales de un reticulado. Esencialmente, un reticulado cumple las funciones de una viga: transmite cargas externas aplicadas entre dos apoyos. Esto significa que el reticulado es como un todo solicitado a la flexin, dado que las cargas no son coincidentes con los apoyos. El reticulado, bajo la accin de las cargas, se deformar del mismo modo que una viga (Figura 15). Estos pequeos alargamientos o acortamientos de las barras darn como resultado final la deformacin total del reticulado y generarn en cada barra esfuerzos de traccin o compresin. A estas tensiones o esfuerzos se las denomina tensiones principales de las barras.

Es evidente que en un reticulado metlico de uniones soldadas (por ejemplo) las uniones sern rgidas y no articuladas. Es decir, que la flexin del reticulado total generar flexiones en las barras. Este tipo de esfuerzos se denominan esfuerzos secundarios de las barras, pero su valor es muy poco significativo frente al valor de los esfuerzos principales, si respetan las otras condiciones (barras concurrentes a los puntos nodales y cargas aplicadas en los nudos). Del mismo modo, no es significativo el error cometido al despreciar el peso propio de las barras como cargas no nodales. Se puede plantear entonces que es vlido reemplazar al reticulado real de la Figura 17a por el reticulado ideal de la Figura 17b que cumple:

1. Las barras carecen de peso, no se deforman y estn reducidas a sus ejes longitudinales. 2. Los nudos son articulaciones ideales sin frotamiento.

3. Las cargas actan solamente en los nudos.

Figura 14a Figura 14b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

- 77 -

Figura 18a Figura 18b Figura 20 Figura 19

Se analiza al reticulado como un todo que cumple funciones similares a las de una viga. Por lo tanto, si se la analiza como una estructura isosttica, deber verificarse no slo la isostaticidad interna, sino tambin la isostaticidad externa, lo que significa que, para un reticulado plano: los apoyos debern eliminar los tres grados de libertad de una chapa en el plano. Se recuerda que los tres grados de libertad son: desplazamiento vertical, desplazamiento horizontal y rotacin. Restringir estos posibles movimientos implica:

Un nico empotramiento. Un apoyo fijo y uno mvil. Tres apoyos mviles no concurrentes.

Salvo casos especiales, las alternativas a y c no son de uso comn, por lo que se analizara la posibilidad b (un apoyo fijo y uno mvil). El apoyo fijo es aqul que admite las rotaciones para eliminar los desplazamientos (Figura 18a) en tanto que el mvil admite un tipo de desplazamiento (Figura 18b).

No es frecuente ver en obras los apoyos segn fueron graficados. Salvo estructuras de gran magnitud, estos apoyos

se realizan con mucha mayor simplicidad. El apoyo mvil, por ejemplo, se puede lograr con espigas empotradas en el macizo de apoyo y con aberturas en las alas del perfil (Figura 19) o con un perfil acanalado que admite un nico sentido de desplazamiento (Figura 20). En los dos casos se consigue restringir cualquier tipo de movimiento, salvo en sentido longitudinal. El esfuerzo interno de una barra, solicitada por una carga externa, es la reaccin interna equilibrante (la reaccin interna que se opone a la deformacin). La tensin, en cambio, es el esfuerzo unitario: el esfuerzo que la pieza debe soportar por unidad de superficie de su seccin transversal. La unidad de esfuerzos ser la unidad de carga con la que estemos trabajando: tonelada, kilogramo, gramo, etc. La unidad de tensin ser la relacin entre la unidad de fuerza y la unidad de superficie. Partiendo de la expresin general Tensin = Fuerza / Seccin, se expresar en (tn/cm2), (kg/cm2), (kg/mm2), etc. En cuanto a los sentidos de los esfuerzos, se tienen dos:

* TRACCIN (Figura 20): Cuando las fuerzas cargas externas tratan de provocar un alargamiento de la barra, esta est frente a un estado de traccin (Figura 20a). La reaccin interna de la barra debe equilibrar las cargas externas traccionantes, y los esfuerzos internos sern iguales y de sentido contrario a las solicitaciones. (Figura 20b).

* COMPRESIN (Figura 21): Si las fuerzas externas actuantes tienden a provocar acortamientos en la barra, esta est frente a un estado de compresin (Figura 21a). Las reacciones internas de la barra debern equilibrar las solicitaciones, por lo tanto debern ser iguales y de sentido contrario a ellas. (Figura 21b).

Para que un reticulado se encuentre en equilibrio en su totalidad, ser necesario que se encuentren en equilibrio

todos y cada uno de sus nudos. El anlisis de las tensiones (o esfuerzos) de las barras se basa en este principio: en cada nudo se define un sistema de fuerzas coplanares concurrentes que deber estar en equilibrio. Este sistema estar constituido por una o ms fuerzas exteriores, de las que conocemos todos los datos (direccin, sentido e intensidad) y dos o ms barras cuyos esfuerzos deben lograr el equilibrio del nudo segn direcciones conocidas, pero con sentidos e intensidades que son incgnitas.

III.. MTODOS DE CLCULO DE LOS SISTEMAS RETICULADOS PLANOS

Para que un reticulado plano se encuentre en equilibrio en su totalidad, ser necesario que se encuentren en equilibrio todos y cada uno de sus nudos. El anlisis de las tensiones (esfuerzos internos) de las barras se basa en este principio: en cada nudo se define un sistema de fuerzas coplanares concurrentes que deber estar en equilibrio. Este sistema de fuerzas estar constituido por una ms fuerzas exteriores, de las que se conocen todos los datos (direccin, sentido e intensidad), y dos ms barras cuyos esfuerzos deben lograr el equilibrio del nudo segn direcciones conocidas, pero con sentidos e intensidades que son incgnitas.

Figura 20 Figura 21

F F R R

a

b

F F R R

a

b

- 78 -

Por esto, con la determinacin del valor de estas incgnitas se pueden desarrollar los criterios de diseo del reticulado plano, los que resulten lo ms adecuados para cada caso, siendo todos estos variables de diseo: Luces, cargas, materiales y formas, factores que influyen en la optimizacin del diseo estructural.

III.1. MTODO DE LOS NUDOS

En el caso de un reticulado plano (Figura 22) simtrico, en cuanto a disposicin de las barras y nudos, y solicitado por un sistema de cargas externas iguales en todos sus nudos del cordn superior y descargado su cordn inferior. Si las cargas son todas iguales a P, las reacciones de apoyo sern:

RA = RG = ((5* P) / 2) = (2,5 * P)

Se inicia por un nudo donde slo aparezcan dos incgnitas: nudos A o G, pero respetando el sentido de lectura, se inicia de izquierda a derecha: nudo A, donde se encuentran actuando un sistema de fuerzas coplanares concurrentes: carga PA, la reaccin de apoyo RA y los esfuerzos internos de las barras 1 y 2 (Figura 23a). Si se considera que PA tiene la misma recta de accin que RA, pero con sentido opuesto, se obtiene la resultante:

(RA PA) = ((2,5 * P) PA) = (3,5 * P) con el sentido de RA, por ser esta mayor.

No se conoce todava la intensidad ni el sentido de los esfuerzos internos de las barras 1 y 2, pero se conocen sus rectas de accin, que coinciden con los ejes de las barras. Esto permite construir un polgono de fuerzas cerrado (correspondiente al estado de equilibrio en el nudo A) y medir en la escala de fuerzas elegida para representar las cargas las magnitudes de los esfuerzos de las barras 1 y 2 (Figura 23). En cuanto al tipo de esfuerzo, se los determinaran sabiendo que el polgono de fuerzas de un punto en equilibrio debe tener proyeccin nula sobre cualquier eje de referencia que se proyecte. Por lo tanto, el sentido de E1 y E2 (se designan como E a los esfuerzos internos de las barras) debe ser el de la (Figura 23b), el cual se corresponde con el sentido de cierre definido por el sentido de (RA P). El sentido de estos esfuerzos internos, corresponde al nudo que se est analizando. En el esquema del reticulado (Figura 24) se ubican los sentidos hallados para E1 y E2 en el nudo A.

En el extremo opuesto de las barras analizadas las reacciones sern iguales y de sentido contrario. Se indican tambin estos sentidos (Figura 24), y se observa que la barra 1 est solicitada a la compresin y la 2 a la traccin. Se procede a analizar otro nudo, que puede ser cualquiera de los dos adyacentes al nudo inicial, en el nudo C se tendra como dato el esfuerzo de la barra 2, pero apareceran tres incgnitas: los esfuerzos de las barras 3, 5 y 6, por esto el nudo C no resulta resoluble. En cambio en el nudo B se tiene como datos la carga P y el esfuerzo de la barra 1, apareciendo como incgnitas los esfuerzos de las barras 3 y 4 (Figura 25a). Como en el caso anterior, se desconoce intensidad y sentido de E3 y E4, pero si se conocen las rectas de accin de estos esfuerzos. Esto permite trazar el polgono de fuerzas cerrado correspondiente al sistema en equilibrio (Figura 25b). Pero tambin se podra reemplazar P y E1 por la resultante de ambas fuerzas (R1-P) (punteada en la Figura 25b).

Figura 22: Reticulado Plano Simtrico

L/3 L/3 L/3 RA = 2,5P

RG = 2,5P

P

P P

P

P

G

E C

B

D

F

6 2

1 3 9

11

10

4

5

7

8

1

2

RA

RA - PA

PA

Figura 23 Figura 24

G E C

B

D

F

6 2

1 3 9

11

10

4

5

7

8

A

PA

RA

- 79 -

El sentido de E3 y E4 se deduce, igual que en el nudo anterior, de la condicin de nudo equilibrado. Corresponden, entonces, los sentidos indicados en la (Figura 25b), que se transfiere al nudo B en el reticulado de la (Figura 24). Siguiendo el razonamiento en el nudo anterior, las barras 3 y 4 estn comprimidas. Ahora s se puede analizar el nudo C, se tendrn como datos E2 y E3, y tambin, como incgnitas los esfuerzos de las barras 5 y 6 (Figura 26a). El polgono de fuerzas cerrado y los signos que corresponden a E5 y E6 por condicin de equilibrio (Figura 26b). Se trasladan dichos sentidos al esquema de la (Figura 24), nudo C, y resulta que las barras 5 y 6 actan a la traccin.

El nudo siguiente ser el D, con la radiacin de fuerzas en equilibrio que aparece en la (Figura 27a), fuerzas conocidas E4, E5 y P como incgnitas con recta de accin conocida E7 y E8. Esto permite trazar el polgono de fuerzas cerrado de la (Figura 27b), donde E7 y E8 aparecen con el sentido correcto para lograr el equilibrio del nudo. Se transfieren los sentidos hallados al esquema de la (Figura 24) y resultan: barra 7 comprimida, y la barra 8 traccionada. El anlisis de los nudos F (Figuras 28 a y b), y G (Figura 29 a y b) es una reiteracin del mtodo, de donde se sabe que por simetra, los esfuerzos de las barras sern iguales a los encontrados en los nudos B y A, respectivamente.

No es necesario el anlisis del nudo E pues no quedan esfuerzos de barras para determinar. Sin embargo se podra analizar dicho nudo para verificar, pues los sentidos y los valores de los esfuerzos internos de las barras debern ser los mismos hallados para los otros nudos (Figs. 30a y 30b). Si se aplican los conceptos antes explicados del mtodo de los nudos en otro ejemplo. Se define como punto "A" el punto donde el primer rayo intercepta a la recta de accin de la reaccin "A"; e igualmente con "B". Analizndolas, se obtiene la lnea de cierre: traslado esa lnea de cierre al polgono funicular, y all se obtiene finalmente RB y RA, en su correspondiente escala de fuerzas (Fig. 31).

Figura 26a

Figura 25a

Figura 25b

Figura 26a

Figura 27a

Figura 27b Figura 28a Figura 28b

1 3

4

8

PB

1

3

PB

R1-P

4

2

3 5

6

5

6

3

6

2

10 9

7

F

PF 9

10

PF

7

PD

6

8

9

11

E Figura 30a

11

6

8

9 10

11

PF

RG

G

RG

PF

RG - PG 10

11

7

8 5

4

D

PD 4

7

8

5

- 80 -

II.1.1 EJEMPLO: si existe un voladizo, cada

nudo a analizar del reticulado no debe tener ms de dos incgnitas (Figura 32). Se debe empezar el procedimiento girando en sentido de las agujas del reloj, empezando con el dato, y luego, siguiendo con las incgnitas. Adoptar otra escala de fuerzas para trabajar, si no es suficientemente grande la escala. Se traza RA, luego, desde el final de RA se traza P1; desde cuyo final se traza la direccin de b1; desde el principio de RA se traza la direccin de b2, y as se obtiene los esfuerzos de 1 y 2. As se obtiene los sentidos, que luego son trasladados en el reticulado, cerca del nudo, lo que indican si trabaja a traccin o a compresin: 1 y 2 ya no son incgnitas. Se analiza el nudo 2- 3 - 5 - 6: demasiadas incgnitas. Se analiza el nudo 1 - 3 - 4: datos 1 y P2; incgnitas 3 y 5. Para representar 1, se considera el sentido del esfuerzo opuesto al del nudo anterior

Se aprovecha la representacin anterior, slo que se indica la flecha doble, al utilizar nuevamente la representacin anterior. Luego, se traza una paralela a la direccin de 4, y por el principio de la 1 se traza una paralela a 3; entre ambas cierran el polgono; se obtiene as, los sentidos, de tal manera que cierre el polgono. Para saber si estn comprimidas o traccionadas, se trasladan los sentidos del polgono, colocando las flechas indicadoras cerca del nudo analizado. El sentido indica si comprime o tracciona el nudo. Se analiza luego el nudo 2 - 3 - 6 - 5. El nuevo sentido del esfuerzo de la barra 2 debe cambiar. El sentido de la flecha indica traccin. Igualmente con la barra 3 para indicar la compresin. Se inicia la representacin del primer dato: barra 2 en el sentido de las agujas del reloj. Se procede el sistema desde el principio de la barra 2, ya representada y con doble flecha porque integra la segunda representacin; luego se representa la barra 3 de igual manera. Luego, se representa la direccin de la barra 5 (incgnita); Desde el comienzo de 2 se traza tambin la direccin de 6 (horizontal). Como el nudo est en equilibrio, debe estar cerrado, y as se obtiene los sentidos de 5 y 6. Por lo expuesto se puede definir que:

El anlisis de cada uno de los nudos individualmente se denomina "MTODO DE LOS NUDOS", y la superposicin de los distintos nudos del reticulado se denomina "MTODO DE CREMONA" ( ser tratado ms adelante).

P1

P2

P3

P4

P5

P1

P5

P4

P3

P2 RA

RB

L. C.

I II

III

IV

V

VI

O

A B

L. C.

Figura 21: Polgono de Fuerzas y Funicular de un sistemas plano de fuerzas aplicados en un cercha plana

I

II III

IV

V

VI

RA

P1

P2

1

2

3

4

P1

P2

RA

A

I II III

L.C.

RA P1

1

2

RA - P1

Figura 32: Caso en un voladizo de una cercha plana

- 81 -

III.1.2.EJEMPLO DE APLICACIN DEL MTODO DE LOS NUDOS: Se comienza por un nudo donde slo aparezcan dos incgnitas. En este caso puede comenzarse por el nudo A, o por el nudo A`. Respetando el sentido habitual de lectura, se comenzar por el nudo A (de izquierda a derecha). En el nudo A est actuando un sistema de fuerzas coplanares concurrentes integrado por la carga P1, la reaccin de apoyo RA y los esfuerzos internos de las barras 1 y 2. Si se tiene en cuenta que la carga P1 tiene la misma recta de accin que la reaccin de apoyo RA, pero con sentido opuesto, la fuerza exterior resultante tendr la magnitud de: (RA P1), con el sentido de RA, por ser la mayor. (Ver las Figuras 32 a la 39 inclusive). No se conoce an ni la intensidad ni el sentido de los esfuerzos internos de las barras 1 y 2, pero se sabe que sus rectas de accin coincidirn con los ejes de las barras. Esto permite construir un polgono de fuerzas cerrado (correspondiente al estado de equilibrio) y medir en la escala de fuerzas elegida para representar las cargas las magnitudes de los esfuerzos de las barras 1 y 2.

Debe ahora analizarse otro nudo, que puede ser

cualquiera de los dos adyacentes al nudo inicial. En el nudo C se tiene como dato el esfuerzo de la barra 2, pero aparecen tres incgnitas: los esfuerzos de las barras 3, 2 y 6, entonces el nudo C no resulta resoluble por el momento. En el nudo B se tienen como datos la carga P2 y el esfuerzo de la barra 1, apareciendo como incgnitas los esfuerzos de las barras 3 y 4. Al haber slo dos incgnitas, se procede a analizar este nudo de la misma manera que el nudo A, y as sucesivamente.

Figura 32: Reticulado para aplicacin del Mtodo de los Nudos RA RB

A

B

C E H E C

B D

F

G F

D

A

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

1

2

3

4

5

6

7

8 9

10

11

12 13

11

7

4

1

10 6 2

12

9

8 5 3

Figura 36

P3

EB4 EB7

EB8

EB5

Figura 33

EB1

EB2

RA

P1

Figura 34

P2

EB1

EB4

EB3

Figura 37

EB10 EB6

EB9 EB8

Figura 38

P4

EB7

EB11 EB9

EB12 Figura 35

EB6 EB2

EB5 EB3

Figura 39

P5

EB11

EB11

EB13

- 82 -

III.2. MTODO DE CREMONA O DE MAXWELL (tambin denominado de las FIGURAS RECPROCAS)

El anlisis anterior realizado al reticulado, mediante el estudio del equilibrio de cada nudo por separado, puede realizarse en un diagrama nico, siempre que se respeten ciertas reglas sencillas. Como primer paso se plantear una hiptesis de cargas menos terica y esquemtica, pero ms cercana a la realidad.

Trabajando sobre el mismo reticulado plano del ejemplo anterior, se supondr el siguiente diagrama de cargas: en los nudos A y E (nudos extremos) actuarn cargas (0,5 * P), en tanto que en los nudos B, C y D actuarn las cargas P, y adems se supondr que inciden cargas menores en los nudos F y G del cordn inferior (Figura 40).

Tambin, se recorrer ordenadamente el reticulado en el sentido de las agujas del reloj.

En el polgono de fuerzas (Figura 42) se han trasladado las cargas segn aparecen en el reticulado, de izquierda a derecha: PA, PB, PG, PC, PF, PD y PE.

De acuerdo a este orden se traz luego, con el polo en O, el polgono funicular (Figura 40) que permite determinar la lnea de cierre, con la que se determinarn (Figura 42) las reacciones de apoyo RA y RE. En la (Figura 40) se representa rayada la superficie comprendida entre la lnea de cierre y la poligonal porque es el diagrama de momentos flectores del reticulado en escala:

ESCALA MOMENTOS = (escala fuerzas * escala longitudes * distancia polar)

En la (Figura 40) se representa a la viga equivalente del reticulado (iguales cargas y luz, y por lo tanto, iguales momentos y esfuerzos de corte). Los esfuerzos de corte aparecen en la (Figura 40). Para una sencilla comprensin del mtodo, se repite previamente el anlisis del reticulado nudo por nudo (Figura 43). Para poder aplicar el mtodo de Cremona se debe construir un polgono (Figura 41) que no ser igual al que se utiliz para encontrar las reacciones. Este nuevo polgono de fuerzas cerrado se debe construir partiendo de un nudo extremo, recorriendo a partir de l al reticulado en el sentido de las agujas del reloj. Iniciando desde el nudo A, el orden de aparicin de todas las fuerzas ser: RA, PA, PB, PC, PD, PE, RE, PF y PG,(Figura 42).

A

B

C

D

E

F G RE

P1

RA

P2

P3

P4

P5

RETICULADO PLANO

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10

11

P6 P7

P1 P2 P6 P3 P7 P4 P5

Sistema Equivalente: VIGA RA RE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR L.C.

I

II

III IV V

VI

VII VIII

Figura 40: Diagramas de esfuerzos y reacciones

Figura 41: Polgonos de Fuerza y Funicular

O

I II

III

IV

V

VIII

VI

VII

RA

RE

L.C.

P1

P2

P6

P3

P7

P4

P5

DIAGRAMA DE ESFUERZO DE CORTE

P1

P2

RA P6

P3

P7

RE

P4

P5

- 83 -

Se puede iniciar el anlisis de los esfuerzos de las barras del reticulado por el mtodo de las figuras recprocas o Cremona. Por el nudo A, al que concurren nicamente las barras 1 y 2. La fuerza exterior actuante es: (RA PA), siendo RA mayor que PA, el sentido de (RA PA) ser hacia arriba.

Por el extremo superior se traza una paralela a la barra 1 y por el extremo inferior una paralela a la 2. El sentido de cierre para el nudo A aparece indicado con una flecha simple llena. En los extremos opuestos de 1 (hacia el nudo B) y de 2 (hacia el nudo G), son los sentidos contrarios, y aparecen representados con doble flecha sin llenar: de esto resulta que la barra 1 est comprimida y la 2 traccionada.

Se analiza el nudo B: las fuerzas conocidas son PB y E1, sentido de la doble flecha no llena. Por el extremo inferior de PB se traza una paralela a la barra 4 y por el extremo de E1 una paralela a la barra 3. Como el polgono E1, PB, E3 y E4 debe ser cerrado (en equilibrio) el sentido de E4 y E3 ser el indicado con flecha simple llena en las proximidades del nudo B. Se ubican estos signos en las barras 3 y 4 y se verifica as que ambas estn comprimidas.

Se analiza el nudo C: datos PC, E4 y E5 (con el sentido de la doble flecha). Por el extremo inferior de PC se traza la paralela a la barra 7 y por el extremo de E5 la paralela a la barra 8. Los sentidos de cierre aparecen indicados con flecha negra llena. Llevados al reticulado, estos indican que la barra 7 est comprimida y la 8 traccionada.

Se analiza el nudo F: datos E6, E8 y PE, incgnitas son E9 y E11. Se Toman E6 y E8 con el sentido de las flechas dobles y se trazan por el extremo de PF una paralela a la barra 11 y por el extremo de E8 una paralela a la barra 9

Se analiza el nudo G, donde aparecen como fuerzas conocidas E2, E3 y PG, siendo E5 y E6 las incgnitas. Por el extremo superior de PG se traza la paralela a la barra 6 y por el extremo inferior de E3 la paralela a la barra 5. Los sentidos de cierre aparecen indicados con simple flecha negra y corresponden a los extremos de 5 y 6 concurrentes en G. Esto indica que las barras 5 y 6 estn traccionadas.

PA

RA

PB

PC

RE

PF

PG

PD

PE

E1

E7

E9 E11

E6

E2

E10

E4

E3

E5

E8

Figura 42: Mtodo de Cremona

Figura 43: Anlisis de los Nudos A al G

P1

RA

P1

RA

1

1 2

2

Nudo A

P2

1

1

4

3 Nudo B

3

4

P2

P3 4 8

7

5

Nudo D

P4 7

10 9

7

10 P4

9

P5

RB

10

2

P5

RB 10

11 Nudo E

P5

9

Nudo F

6 8

11

P5

6

11 8 9

Nudo G P6

3

6 2

5 P6

6

2 5 3

P3

5

2 Nudo C

4

8

7

- 84 -

CERCHA PLANA

P1 P2

P3

P4

P5 P6

P7

P8 P9 P10 P11 K H

18

19

14 11 8

4 9 12 13

15 17 16 10

7

6 5

1 3

2 A

B

G

F E D

C

J I

P1 P2 P8 P3 P9 P4 P10 P7 P6 P11 P5

RK RH Diagrama equivalente: VIGA

RK

RH

P1

P2

P8

P9

P4

P10

P5

P11

P6

P7

P3

I II

III

IV V

L. C. VI

XIII

XII

XI X

IX

VIII

Polgonos de fuerza y funicular

I

II

III

XIII

XII XI

X IX

VIII VI V

IV

L. C.

Diagrama de Momento Flector

P7

P6

P11

RB

P1

P2

P8

RA

P3

P9

P10 P10

P5 Diagrama de Esfuerzo de Corte

Figura 44: Semejanza entre un reticulado plano y una viga

.Los sentidos de cierre aparecen con flecha negra simple y llevados al reticulado (junto a nudo F), as indican que la barra 11 est traccionada y la 9 comprimida. En el nudo D las fuerzas conocidas son E7, E9 y PD, siendo E10 la nica incgnita. Una paralela a 10 trazada por el extremo de PD debe cerrar el polgono (es decir, debe pasar por el extremo libre de E9). El sentido de E10 ser para el nudo D, el indicado por la flecha simple negra. Llevado al reticulado nos dice que la barra 10 est comprimida. El nudo E: no requiere anlisis, pues ya se han encontrado los esfuerzos de las barras 10 y 11 que concurren al mismo, pero sirve como verificacin, pues las paralelas a 10 y 11 deben pasar por los extremos de (RE PE). Con este ltimo paso se tiene analizado el reticulado barra por barra y conocidos los esfuerzos de todas las barras, con lo que se verifica que el mtodo de Cremona es el de los nudos realizado en un nico y general polgono de fuerzas. Ser suficiente observar que el polgono formado por RA, PA, E1 y E2 es igual al de la Figura 42 nudo A. Al pasar al nudo B todo lo que se hace es tomar el segundo sentido de E1 (doble flecha blanca), pero el polgono PB, E1, E3 y E4 es tambin igual al de la Figura 41 nudo B. Por esto, es importante adoptar una convencin grfica que permita identificar rpidamente los dos sentidos sucesivos con que aparecen trabajando las barras. La utilizada en el ejemplo es adecuada, pero se pueden usar otras, y la tarea puede simplificarse an ms si se trabaja con colores.

III.3. SEMEJANZA DE LOS RETICULADOS PLANOS Y LAS VIGAS

Un reticulado se comporta globalmente como viga, lo que implica que un reticulado simplemente apoyado tendr los diagramas de esfuerzos caractersticos (M, N, Q) iguales a los de una viga de iguales condiciones de apoyo, igual luz e iguales cargas. Se puede trazar grficamente los diagramas de momentos flectores, de esfuerzos de corte y de esfuerzos normales de un reticulado plano (Figura 40).

Trazar el diagrama de esfuerzos de corte de la Figura 40 no requiere explicaciones, dado que se trata de un sistema de cargas concentradas y que no considera la incidencia del peso propio. Sobre la forma de soportar los esfuerzos internos ante la solicitacin por flexin, las isostticas de traccin y compresin se corresponden a la de una viga de altura constante simplemente apoyada.

Al comparar estas isostticas con el diagrama del reticulado (Figuras 15 y 16), se verifica un comportamiento tensional similar: el cordn superior se comprime, y el cordn inferior resulta traccionado. Las barras internas inclinadas se comportan comprimidas traccionadas segn se adecuen por posicin y direccin a las isostticas correspondientes. Esta similitud de conductas se mantiene cuando se presentan casos con voladizos.

- 85 -

Al analizar un reticulado con doble voladizo y su viga equivalente, como el reticulado plano de la (Fig. 44) con doble voladizo simtrico y sometido a un sistema de cargas actuante en todos sus nudos. La viga equivalente se la representa en la (Figura 44), en donde se traza el diagrama de cargas ordenado de izquierda a derecha. Adems, de arriba hacia abajo ubicados ordenadamente: (Figura 44), P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10 y P11. Con el polo en O se traza el polgono funicular. La lnea de cierre aparece desplazada hacia abajo, y as define una zona central de momentos flectores positivos, y tambin, dos reas de momentos flectores negativos con su valor mximo en los apoyos. Si bien la forma quebrada del diagrama puede resultar menos clara que el diagrama de momentos flectores habituales con doble voladizo, vemos que se mantienen las tendencias usuales de variacin. El diagrama de esfuerzos de corte (Fig. 44) no ofrece dificultades y responde a los principios conocidos: es nulo en coincidencia con el momento positivo mximo, tiene sus mximos en los apoyos.

Aunque estos comentarios puedan resultar algo elementales, es conveniente notar que tanto en el reticulado plano como en la viga, el desplazamiento de la lnea de cierre hacia abajo se origina en el desplazamiento de los apoyos hacia adentro y genera las zonas de momentos negativos. El polgono de fuerzas (Figura 45) est preparado para aplicar el Mtodo de Cremona, esto significa, ordenado recorriendo el reticulado exteriormente en el sentido de las agujas del reloj y partiendo del nudo A: P1, P1, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10 y P11.

El desarrollo del mtodo es el habitual, pero, al desplazarse los apoyos, se tiene que en el nudo A la nica fuerza exterior actuante es P1. Al equilibrar a P1 con E1 y E2, se verifica que los sentidos son los indicados con flecha simple llena. Llevando estos sentidos al esquema general del reticulado en el nudo A se indica que la barra 1 est comprimida y la 2 traccionada. Al pasar al nudo B, donde estn actuando las fuerzas P2 y E1 con su segundo sentido, se verifica que E4 es todava esfuerzo de traccin, lo que significa que la inversin de esfuerzos provocada por los momentos negativos de voladizo alcanza an a dicha barra. A partir de este nudo el sentido de los esfuerzos de las barras se normaliza, es decir que responden al esquema habitual de momentos positivos. Se recomienda analizar cuidadosamente el ejemplo, porque es particularmente ilustrativo de las semejanzas entre reticulados planos y vigas equivalentes.

Como ya se ha explicado, el Mtodo de Cremona se utiliza para dimensionar las barras del reticulado plano, pues se calculan todas las barras del reticulado plano en estudio. Actualmente se puede graficar este mtodo grfico con sistemas informticos de dibujo. Analizando otro ejemplo de aplicacin del mtodo en otro reticulado plano (Fig. 46). Se grafican el polgono de fuerzas y el polgono funicular a escalas adecuadas de lectura exacta y legibles (Figs. 47 y 48). Por conveniencia de aplicacin del mtodo, la nomenclatura recorre ordenadamente el reticulado en el sentido de las agujas del reloj. Al polgono de fuerzas se llevan las cargas segn aparecen "leyendo el reticulado de izquierda a derecha: P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8 y P9. De acuerdo a este orden se traza luego, con el polo O, el polgono funicular, que permite encontrar la lnea de cierre, y con ella se determinan grficamente RA y RB.

Figura 45: Diagrama de Cremona o Maxwell

2

1 3

4

5

RK

P1

P2

P3

P5

P4

P6

P7

RH 15

14

18 19

17

8 16

10

6

11

9

12 7 13

P8

P9

P10 P11

Orden de Fuerzas: P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11

- 86 -

El mtodo de Cremona es el de los Nudos realizado en un nico polgono de fuerzas. Para poder aplicar el mtodo de Cremona se debe construir un polgono que no ser igual al que se us para encontrar las reacciones. Este nuevo polgono de fuerzas cerrado se debe construir partiendo de un nudo extremo y recorriendo a partir de l al reticulado en el sentido de las agujas del reloj. Si partimos del nudo A, por ejemplo, el orden de aparicin de las fuerzas ser el mismo que el usado para el mtodo de los nudos. Si se tiene un caso con voladizo, en el anlisis del nudo 1 - 3 - 4, se procede as (Figura 49):

En este caso, hay esfuerzo en 3, pero hay casos en que las barras verticales pueden tener esfuerzo cero. En el

caso del voladizo, asimilndolo a una viga, se verifica el comportamiento de las fibras superiores (barra 1) a traccin, y de las inferiores (barra 2) a compresin.

Figura 48

Figura 46 P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

RA

RB

I

III

II

V

IV

VI

VII

VIII

IX

X

I

II

III

IV V

VI

VII

Figura 47

VIII

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

1

2

3

4

5

6

8 9

10

7

12

11

13

11

12

10

9

7

8

6

5

4

3

2

1 A A

B

B

B

G

F

D

B

C E F E C RB RA

X

IX L. C.

L. C.

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

RA

RB

B1

B4

B11

B7

B11

B7

B4

B1

B11 B7

B4

B1

B13 B12

B8

B9 B5 B3

B3 B4

B2 B6 B1

B7 B8

B9

B12 B13

B10 = B10

B6 = B6

B2 = B2

B11

B8

B10

B12

B12

Figura 49: Anlisis de Voladizo

1

2

3

4

P1

P2

P1

2

1

3

P2

1

4

- 87 -

III.4. MTODOS PARA EL ANLISIS POR SECCIONES: Adems de los mtodos antes explicados, hay otros mtodos que permiten determinar los esfuerzos de algunas barras elegidas sin necesidad de analizar el comportamiento de todas las barras de la estructura, de todos los nudos previos a la seccin seleccionada. Estos mtodos, denominados tambin como de las secciones, se basan en la condicin isosttica interna y externa de los reticulados y, por lo tanto, en las tres condiciones de equilibrio en el plano. Se recuerda, la similitud tensional del reticulado plano y la viga, y adems, de qu manera pueden utilizarse los diagramas caractersticos (M y Q) para determinar los esfuerzos axiales de ciertas barras. Para acentuar la semejanza entre reticulado plano y viga, se considera a un reticulado plano de cordones paralelos sometido a un sistema de cargas nodales P, todas de igual valor en los nudos internos y de valor (0,5 * P) en los nudos extremos (Fig. 50a).

El rea rayada en la Figura 50c es el diagrama de momentos flectores (escala momentos = escala de fuerzas * escala longitud * distancia polar). En el diagrama de esfuerzos de corte aparece (Figura 50d) que entre los nudos E y F es nulo el esfuerzo de corte. Esto sucede porque entre estos nudos M2 es constante. En el caso de una viga, significara que entre E y F hay solamente esfuerzos de flexin pura, dado que no habra ni esfuerzos de corte ni esfuerzos axiales. Pero, es de inters ahora determinar los esfuerzos axiales de tres barras cualesquiera, sin tener la necesidad de analizar otras secciones previamente. Se secciona el reticulado plano en la malla D-E-N-O, es decir que se cortan las barras 10, 11 y 12: Seccionar: equivale a dividir el reticulado en dos partes, de las cuales se retira una, la derecha. La parte izquierda debe estar en equilibrio bajo un sistema de fuerzas constituido por RA, PB, PC, PD (fuerzas externas) y E10, E11 y E12 (esfuerzos internos de las barras seccionadas que deben equilibrar las fuerzas externas), (Figura 52). Para determinar el esfuerzo interno de la barra 12, por ejemplo, se deber elegir como nudo de referencia aqul al que concurren las otras dos barras de la seccin considerada, este ser el nudo D. En el diagrama de momentos flectores se verifica que el valor de dicho momento es MD y que la distancia entre el nudo D y la barra 12 es h, por lo tanto, la magnitud del esfuerzo de la barra 12 ser: (MD / h), pues, dividiendo un momento por una distancia se obtiene la magnitud de su fuerza. En cuanto a la determinacin del signo del esfuerzo: si MD es positivo, su sentido de giro ser de las agujas del reloj. Por lo tanto, el esfuerzo interno de la barra 12 debe producir respecto del nudo D un giro inverso para poder restablecer el equilibrio. Se coloca ese sentido necesario en el extremo izquierdo de la barra 12 y de ello resulta que el esfuerzo interno es de traccin: E12 = (MD / h) (+). Este sistema de anlisis permite conocer los esfuerzos en las barras mediante el uso de los diagramas caractersticos, considerndolo como una viga.

I II

III

IV V

VI VII

VIII

IX

PB

PC

PD

PE

PF

PG

PH PI

L.C. R1

RA

RJ Figura 51b

Figura 52

h

P/2 P P

1

a a a

A

B C D E

N

O P

1

2 6 E10

3 5 7 9 E11

4 8 E12

Figura 51a

h

P/2 P/2 P P P P P P 1

1

a a a a a a a

L

A

B C D E F G H I

J K L M N O P

1

2 6 10 14 18 22 26

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

4 8 12 16 20 24 28

Figura 51c

R1 I

II

III IV

V VI

VII

VIII

IX

L.C.

IV

MD = MG

MN = MM

PI

RJ

PH

PG

PF

PE

PD

PC

RA

PB

Figura 51d

- 88 -

III.5. MTODO DE RITTER

Se basa en el equilibrio de momentos: M = 0. La condicin de equilibrio se verifica para cualquier punto del plano, pero es de inters un unos centros de momentos que permitan conoce los esfuerzos internos de tres barras seccionadas. El procedimiento para elegir centros es el utilizado en el anlisis anterior del reticulado de la (Figura 51): se eligen centros de momentos adecuados, esto significa: permiten eliminar dos de las tres incgnitas, lo que significa que para averiguar el esfuerzo interno de una barra se elige como centro de momentos el nudo donde convergen las otras dos. En el caso de reticulados planos con cordones paralelos se presentar la dificultad, de que en la malla seccionada del ejemplo analizado (D-E-N-O, barras 10, 11 y 12) se puede determinar centro de momentos para la barra 10 (nudo N, al que concurren las barras 11 y 12), y tambin para la barra 12 (nudo D, donde convergen 10 y 11), pero no se tendr centro de momentos para la barra 10, dado que 10 y 12 son paralelas. Antes de desarrollar el procedimiento que se aplicar para la barra 11, se debe explicar cmo funciona el mtodo de Ritter para las barras 10 y 12 (Figura 53). Para operar con los momentos se fija una convencin de signos (lo usual es considerar positivos a los que giran en el sentido de las agujas del reloj y negativos los de sentido de giro opuesto) y se establece la ecuacin de equilibrio para el punto N:

MN = 0 (+ (Ra * 3a) (PB * 3a) (PC * 2a) (PD * a) (E10 * h)) = 0 El signo de los momentos de las fuerzas conocidas se lo

determina en base a la convencin de signos adoptada. El doble signo para E10 indica que no se conoce el sentido de esa fuerza sino solamente su recta de accin (la del eje de la barra 10) y su distancia a N (la altura del reticulado, en este caso). Se puede operar con los momentos de las fuerzas conocidas, donde:

RA = (3,5 * P), y PB = (0,5 * P) (3 * P) + ((0,5 * P) * 3a) ((0,5 * P) * 3a) (P * 2a) - (P * a)

(P * a) * (1/2 - 21/2 3/2 2 1) (P * a) * ((21 3 4 -2)) / 2)

(P * a) * (12 / 2) = (+6 * P * a) MN = 0 (+6Pa) (E10 * h) = 0

Conociendo el signo de la sumatoria de momentos de las fuerzas conocidas, se puede eliminar el doble signo () para (E10 * h) puesto que deber ser negativo, para satisfacer la condicin de equilibrio. Entonces se debe escribir:

MN = 0 (+6 Pa) (E10 * h) = 0 E10 = (6Pa / h) El signo de E10 se lo deduce de la convencin adoptada, esto significa el esfuerzo interno de la barra 10

deber producir un momento negativo respecto de N. Ubicado este sentido (-) de giro en el extremo izquierdo de la barra 10se verifica que dicha barra est actuando a compresin, pudindose completar la expresin:

E10 = (6Pa / h) (COMPRESIN)

Se procede del mismo modo para encontrar el esfuerzo de la barra 12 (Figura 54): con centro de momentos en el nudo D, se plantea la ecuacin de equilibrio:

MD = 0 (+RA * 2a) (PB * 2a) (PC * a) (E12 * h) = 0 Como en el caso anterior, se opera con los momentos de las fuerzas conocidas:

MD = 0 (+RA * 2a) (PB * 2a) (Pa)

(+(7/2) * P a) (P/2 * 2a) (Pa) (+14/2 Pa) (Pa) = (+7 Pa) (2 Pa)

(+5 Pa) se plantea la ecuacin de equilibrio MD = 0 (+5 * Pa) (E12 * h) = 0 E12 = ((5 * Pa) / h)

El signo como en el caso anterior se lo deduce de la convencin adoptada. El esfuerzo de la barra 12 deber producir un momento negativo respecto del nudo D. Ubicado este sentido de giro en el extremo izquierdo de la barra 12 se verifica que la barra acta a la traccin,as:

E12 = ((5 * Pa)/ h) (TRACCIN)

Figura 53

h

P/2 P P

1

a a a

B C D E

N O

10

11

12

1

Mto. Fuerzas externas (+)

RA

Mto. E10 (-)

Figura 54

h

P/2 P P

1

B C D E

N O

10

11

12

1

Momento Fuerzas

externas (+)

RA

Momento E10 (-)

A

- 89 -

Se puede observar que siendo las ecuaciones de equilibrio de las barras 10 y 12 del mismo tipo:

((+N * P * a) (E * h)) = 0

En un caso dio compresin y en el otro traccin. La causa de la variacin debe buscarse en la posicin de los centros de momentos usados. En el caso de la barra 11, cuyo esfuerzo interno no es determinable por el mtodo de Ritter, se tiene dos opciones: Utilizar otras ecuaciones de equilibrio, recurrir a otro mtodo de clculo.

OPCIN I: Si se recurre al equilibrio de la proyeccin vertical de las fuerzas, se adopta previamente una convencin de sentidos: POSITIVAS a las fuerzas que actan como RA (+) y NEGATIVO el sentido de las fuerzas P (-). (Fig. 55).

(+7/2 P) (P / 2) (P) (P) (E11 * h) / ((S *a2) + (h2))= 0

Donde (S * ((a)2 + (h)2)) es la longitud de la barra 11 segn el Teorema de Pitgoras operando con las fuerzas conocidas:

(+7P / 2) (P / 2) (P) (P) = +P (+P) ((E11 * h ) / (S * (a2 + h2))) = 0 E11 = (-P * S * (a2 + h2 ) / h)

El sentido de E11 ser NEGATIVO. Se coloca este signo en el extremo izquierdo de la barra 11, y resulta que su esfuerzo ser: TRACCIN.

OPCIN II: se plantea aplicar otro mtodo, siendo uno de los ms sencillos y confiables, el Mtodo de Cullman, el cual consiste en un artificio para descomponer una fuerza en tres direcciones concurrentes, esto significa: descomponer una fuerza en dos direcciones y luego descomponer a una de las fuerzas halladas nuevamente en dos direcciones. Se llega as a una solucin determinada de un problema aparentemente indeterminado. Por supuesto, para llegar a esta solucin deben darse varios pasos y respetar las condiciones de equilibrio.

III.5.1. EJEMPLO DE APLICACIN DEL MTODO DE RITTER

Como es analtico se debe obtener con la totalidad del reticulado las reacciones de apoyo. se basa en el equilibrio de momentos, sumatoria de todos los momentos: M = 0. La condicin de equilibrio se verifica para cualquier punto del plano, pero, no interesar un centro de momentos cualquiera sino aqul o aquellos que permitan conocer los esfuerzos internos de tres barras seleccionadas. Para obtener la magnitud y el tipo de esfuerzo interno de una barra, se elige como centro de momentos el nudo donde convergen las otras dos. Para operar con los momentos se fija una convencin de signos (lo usual es considerar positivos a los que giran en el sentido de las agujas del reloj) y se establece ecuacin de equilibrio para el punto o nudo elegido, pues es una estructura isosttica, la podemos resolver con las 3 ecuaciones de equilibrio:

MA = 0 - Fv = 0 - MB = 0

MB = 0 se aplica en todas las cargas que estn actuando externamente y reaccionando en el sistema. (RA *12 m) - (P1 *12 m) - (P2 * 9m) - (P3 * 6m) - (P4 * 3m) = 0 Se despeja RA

Fy = 0 RB = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 - RA Para el anlisis conviene cortar y analizar la parte que menos componentes tenga. Conviene tomar donde se cortan

cualquiera de las dos incgnitas, por ejemplo: barras 5 y 6. Queda libre la barra 4: Nudo H2: MH = 0 (RA *3,0 m) - (P1 * 3,0 m) (E4 * d4) = 0

d4 se mide perpendicularmente a la direccin de la barra 4 (Figura 57). El trmino (RA * 3 m) - (P1 * 3 m) ser mayor que cero, porque: RA > P1, se coloca el signo (-) al trmino (E4 * d4). As se determina para la barra 5:

Nudo A: MA = 0 (P2 * 3 m) (E5 * d5) = 0 (P2 * 3 m) - (E5 * d5) = 0 El signo menos (-) indica que ser el sentido antihorario: (P2 * 3 m) / d5 = E5

Figura 55

h

P/2 P P

1

B C D E

N O

10

11

12

1

RA

A

(-) (+)

Figura 56: Reticulado plano para Clculo por Mtodo de Ritter.

P1

P2

P3

P4 P5

P6

P7

P8

P9

1

2

3

4

5

6

8 9

10

7

12

11

13

11

12

10

9

7

8

6

5

4

3

2

1

A A

B

D

F

G

F

D

B

C E H E C

RB

RA

2,01

2,01

2,43

1,82 1,82

2,43

d6

d5

d6

- 90 -

Para la barra 6 (Figura 60): Nudo Q: MQ = 0 (RA * 6 m) - (P1 * 6 m) - (P2 * 3 m) (E6 * d6) = 0

(RA * 6 m) - (P1 * 6 m) - (P2 * 3 m) - (E6 * d6) = 0 (((RA * 6 m) - (P1 * 6 m) - (P2 * 3 m)) / d6) = E6 III.6. EL MTODO DE CULLMAN

Consiste en reemplazar a dos de las incgnitas por su resultante. En el reticulado plano (Figura 51a) se quiere determinar los esfuerzos internos de las barras 10, 11 y 12 (Seccin II). El primer paso ser determinar la resultante izquierda de la seccin II. Se hace la sumatoria de las fuerzas externas a la izquierda de la seccin:

FI-I = 0 (+ RA) (P / 2) (P) (P) = +P (con el sentido de RA) En el polgono (Figura 51c) se observa que esta resultante izquierda aparece definida por el rayo 4 y la lnea de

cierre. En el polgono funicular (Figura 51c) se prolonga el rayo 4 y la lnea de cierre hasta que se intercepten y all se obtiene un punto de la recta de accin de la resultante izquierda (Ri). Definida Ri en magnitud, sentido, posicin, el problema ser encontrar las equilibrantes de Ri segn 10, 11 y 12, pero esto no es resoluble en forma directa, como ya se ha dicho. El recurso a utilizar consiste en reemplazar a dos de las incgnitas por su resultante. Esta resultante deber cumplir dos condiciones:

Siendo resultante de las fuerzas desconocidas pero concurrentes, deber pasar por el punto de concurrencia de las dos incgnitas a las que reemplaza.

Siendo equilibrante de Ri, deber pasar por el punto en que la resultante izquierda se corta con la incgnita no reemplazada.

Las razones son ms que evidentes: en ambos casos se trata de sistemas de fuerzas concurrentes. En el ejemplo (Figuras 61 y 62) se tiene una limitacin, pues no se puede usar la barra 11 como tercera barra o barra libre porque las barras 10 y 12 son paralelas y, por lo tanto, no se cortan. As que se debe elegir indistintamente a la barra 10 o a la 12 como barra libre. Si se elige la barra 10, se la prolonga hasta que corte a la recta de accin de Ri y as se obtiene un primer punto. En la interseccin de 11 y 12 se tiene un segundo punto. Uniendo ambos puntos obtenidos se determina la recta auxiliar de Cullman, que es la resultante de 11 y 12 que pasa por la interseccin de 10 y Ri (Figs. 61a y 61b). Descomponiendo a Ri en las direcciones conocidas: 10 y lnea auxiliar, para luego descomponer a la lnea auxiliar en las direcciones de 11 y 12, se obtiene as los esfuerzos de 10, 11 y 12 medibles en la escala adoptada para representar a Ri. La determinacin de esfuerzos es sencilla, pues las cuatro fuerzas deben estar en equilibrio y, por lo tanto, debe generarse un polgono de fuerzas cerrado ( X = 0; Y = 0). Se ubican en cada esfuerzo el sentido de cierre correspondiente, y estos sentidos se los trasladan a los extremos izquierdos de las barras correspondientes. Resulta as que la barra 10 est comprimida, en cambio, las 11 y 12 traccionadas. Si se tuviera la barra 12 como barra libre, hubiera variado naturalmente la lnea auxiliar, que en este caso sera la resultante de 10 y 11 (Figs. 62a y 62b).

Figura 57

n

n

4 5

6 H

d4 Figura 58

n

n

4

5

6 H M

F4

Figura 59

n

n

4

5

6 H

d5

F5

Figura 60

n

n

4 5

6 H

d6

Figura 62b

I

II

III

IV V

L.C.

IV

Figura 61a

h

P/2 P P

1

B C D E

N O

10

11

12

1

RA

A

R1

b10

1a

Ri E1a

E10

E12 EN

Figura 61b

h

P/2 P P

1

B C D E

N O

10

11

12

1

RA

A

R1

b12

1a

Ri E1a

E10

E12

EN

Figura 62a

- 91 -

P1 P2 P8 P3 P9 P4 P10 P7 P6 P11 P5

RK RH Diagrama equivalente: VIGA

I

II

III

XIII

XII XI

X IX

VIII VI V

IV

L. C.

Diagrama de Momento Flector

Figura 63: Mtodo de Cullman

RK

RH

P1

P2

P8

P9

P4

P10

P5

P11

P6

P7

P3

I II

III

IV V

L. C. VI

XIII

XII

XI X

IX

VIII

Polgonos de fuerza y funicular

Ri

Ri

6

4

5

L. A.

CERCHA PLANA

P1 P2

P3

P4

P5 P6

P7

P8 P9 P10 P11 K H

18

19

14 11 8

4 9 12 13

15 17

16 10

7

6 5

1 3

2 A

B

G

F E

D

C

J I

Ri

Pero se verificar que, en ambas opciones, los valores y sentidos de los esfuerzos de las barras sern los mismos y que debern a su vez coincidir con los valores y sentidos hallados por cualquier otro mtodo. Es por esta razn que a los mtodos de las secciones se los utiliza preferentemente como sistema de verificacin de clculos realizados por otros mtodos. En algunos casos particulares estos mtodos resultan particularmente tiles, pues permiten encontrar los esfuerzos en secciones no determinables apriorsticamente. Como ejemplo de esta situacin se ha desarrollado el mtodo de Cullman para la seccin II del reticulado plano (Figura 44) que efecta tres barras adyacentes al apoyo.

En la (Figura 63) aparecen repetidos los diagramas de las (Figura 44 ), es decir, el reticulado con su sistema de cargas y el polgono funicular correspondiente. En la (Figura 63b) aparece el polgono de fuerzas de la (Figura 44b). La resultante izquierda Ri = (RK PA PB PK), que est definida por la lnea de cierre y el rayo IV. Por lo tanto, aparece la Ri en la interseccin de la lnea de cierre y el rayo IV. (Figura 63b) Se ha desarrollado el mtodo de Cullman tomando como barra libre la barra 6. Ntese que en este caso particular la Ri intercepta directamente las tres barras de la seccin en estudio, como consecuencia de los voladizos. Entonces la lnea auxiliar (resultante de E4 y E5) se traza desde el punto en que la resultante izquierda corta a la barra 6 hasta el nudo C, al que concurren las barras 4 y 5. Luego el proceso es el usual: por un extremo de Ri una paralela a la barra 6.

- 92 -

Por el otro extremo, una paralela a la lnea auxiliar. Dado que ambas son equilibrantes de Ri, llevan el sentido del polgono cerrado, definido por Ri. El sentido hallado para E6 se lo lleva al extremo izquierdo de la barra y encontramos que la barra 6 est solicitada a la traccin. Descomponiendo a la lnea auxiliar en E4 y E5 (paralelas a las barras 4 y 5) y se les da el sentido de cierre general ya determinado. Llevando estos sentidos a los extremos izquierdos de 4 y 5, resulta la barra 4 traccionada, en cambio la 5 comprimida. Como siempre, la magnitud de los esfuerzos se mide (Figura 63c) en la escala adecuada adoptada para representar la Ri. Aplicando los conceptos antes explicados en otro ejemplo, se verifica un error frecuente, esto es, en el polgono funicular, medir mal RB, leyndola no en proyeccin sino donde la lnea de cierre intercepta la vertical donde se esta midiendo. Es un error importante. Se hace un corte de tres barras no concurrentes. Si se observa a la izquierda del corte, se tiene que:

(RA - P1 - P2 = RIZQUIERDA)

que en el polgono est comprendida entre el rayo III y la Lnea de cierre (Figura 65). Dicha Rizq, es la que se debe descomponer en las direcciones 4, 5, 6. Para obtener dichos esfuerzos: (Fig. 64).

1 se obtiene el punto de interseccin del rayo III y la lnea de cierre, por este punto, y verticalmente, pasa hasta el infinito la Rizq.

2 se obtiene otro punto que es la interseccin de las barras 5 y 6; por ambos puntos obtenidos, pasa la Lnea Auxiliar de Cullman.

En la misma escala de fuerzas o en otra ms conveniente (Figuras 66 y 67), represento Rizq, y se descompone en la direccin de 4 y de la lnea auxiliar de Cullman. As se obtiene 4; luego, se descompone la Auxiliar de Cullman en las direcciones 5 y 6, que se conocen sus direcciones, y los sentidos estn determinados para cerrar a la descomposicin de la Auxiliar de Cullman, cuyo sentido ahora se conoce. As, tambin era vlido tomar como punto de paso de la Lnea de Cullman la interseccin de las barras 4 y 5, con lo cual la Rizq se descompone primero en las direcciones de 6 y de la Lnea de Cullman, y luego esta ltima en las direcciones 4 y 5. El mtodo de Cullman es til para hacer la verificacin de un corte que implique a tres barras. No es aplicable para calcular todas las barras como con el Mtodo de Cremona. Por ejemplo, si se debe calcular un reticulado plano, pero se tiene dudas si est correcto, con el Mtodo de Cullman pueden verificar 3 barras elegidas. Otro ejemplo de aplicacin del Mtodo de Cullman: como ya se coment, este mtodo permite encontrar los esfuerzos de algunas barras elegidas sin necesidad de analizar el comportamiento de todas las barras de la estructura (o de todos los nudos previos a la seccin seleccionada), por lo que es en esencia, un artificio para descomponer una fuerza en tres direcciones concurrentes dos a dos. En trminos generales, descomponer una fuerza en dos direcciones y luego descomponer a una de las fuerzas halladas nuevamente en dos direcciones. Se llega as a una solucin determinada de un problema aparentemente indeterminado. Por supuesto, para llegar a esa solucin deben darse varios pasos y respetar las condiciones de equilibrio. En esencia el mtodo de Cullman consiste en reemplazar a dos de las incgnitas por su resultante. Si se quieren hallar por el Mtodo de Cullman los esfuerzos internos de las barras 4, 5 y 6 (Figura 68) el primer paso ser determinar la resultante izquierda de la seccin II. Para ello se hace la sumatoria de las fuerzas externas a la izquierda de la seccin considerada:

(RA P1 P2) = Ri (con el sentido de RA).

Ri = RA P1 P2

Figura 66

Figura 64

P5 P1 1

P3

P4 P2

RB RA

3

4

5

6 2 10

9

8

12

13 11

O

I

II

V

III

IV

VI

P1

P2

P3

P4

P5 RB

RA

L. C. L. C. I

II III IV

V

VI

Ri

L. A.

Ri

6

5

4

L. C.

B6 B4

Lnea Auxiliar o de Clullman

Figura 67

B6

Figura 65

- 93 -

h: 3,40 m

2,43 m 2,43 m 2,43 m 1,82 m 1,82 m 1,82 m 1,82 m

2,01 m

2,01 m

2,01 m 2,01 m

8,04 m

7,30 m 7,30 m

14,60 m

Reticulado o Cercha Plana

Figura 70

En el polgono de fuerzas (Figura 69), se observa que esta resultante izquierda aparece definida por el rayo III y la lnea de cierre. En el polgono funicular (Figura 68) se prolonga el rayo III y la lnea de cierre hasta que se intercepten, entonces, se obtiene un punto de la recta de accin de la resultante izquierda (Ri). Definida Ri en magnitud, sentido, posicin, el problema ser encontrar las equilibrantes de Ri segn 4, 5 y 6. El recurso a utilizar consiste en reemplazar a dos de las incgnitas por su resultante. Se elige la barra 6 y se la prolonga hasta que corte a la recta de accin de Ri (Figura 68), as se obtiene un primer punto. En la interseccin de 4 y 5 se tiene un segundo punto. Se unen ambos y as se obtiene la lnea auxiliar de Cullman, que es la resultante de 4 y 5 que pasa por la interseccin de 6 y Ri. Se descompone a Ri en las direcciones conocidas: 6 y la de la lnea auxiliar. Luego se descompone a la lnea auxiliar de Cullman en las direcciones de 4 y 5. Se tiene as, los esfuerzos de 4, 5 y 6 medibles en la escala adoptada para representar a Ri.

IV. EJEMPLO DE CLCULO DE LA CUBIERTA INCLINADA DE UNA OBRA DE ARQUITECTURA 1. Anlisis de cargas de la cubierta inclinada (a dos aguas)

1.a. Cargas Permanentes (gravitatorias)

El peso propio de cada uno de los elementos que conforman la cubierta acta en sentido vertical (Figura 70), por lo tanto corresponden a un metro cuadrado de cubierta en su dimensin real (en el sentido de la pendiente). Por lo tanto, la carga por metro cuadrado en planta, aumenta a medida que aumenta el ngulo.

Figura 69

RA

RH

P1

P2

P3

P5

P6

P7

P8

P9

P4

I II

III

IV

V

VI

X

IX

VII

Rizq

VIII

Figura 68

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

P9

1

2

3

4

5

6

8 9

10

7

12

11

13

11

12

10

9

7

8

6

5

4

3

2

1

A A

B

D

F

G

F

D

B

C E H E C

RB RA

I

L. C. II

III IV

V VI VII

VIII

IX

X

Rizq

Lnea Auxiliar

Seccin en estudio

L. C.

Figura 70 Rizq

B5

B6

B4

Lnea Auxiliar o de Cullman

- 94 -

q = g (peso propio) + p (sobrecarga) g = surge de un anlisis de carga Chapa; Cielorraso; Clavadores; Aislaciones Entonces g = (g / cos ) p =IRAM 11.599 con incorporaciones y agregados del CIRSOC, se considera actuando sobre la cubierta por (m2) de

proyeccin horizontal. Peso propio chapa galvanizada N 24 = (10 kg/m2 x 2,01 m (separacin entre correas) / cos 25) = 22,18 kg/m Peso propio correas = 5,00 kg/m g = (22,18 kg/m + 5,00 kg/m) = 27,18 kg/m p =( 15 kg/m2 * 2,01 m) = 30,15 kg/m q = (27,18 kg/m + 30,15 kg/m) = 57,33 kg/m (Figura 71)

1.b. Cargas Antigravitatorias (viento)

Por encontrase ubicado el edificio en una zona urbana de alta densidad de edificacin, se considera una gran rugosidad de la zona ,por lo que los vientos actuantes son normales y el volumen de la edificacin estudiada es compacto y bajo, por tal motiva se adoptan directamente los valores de las TABLAS VII y VIII (DIN 1055):

Altura edificacin < 10 m V = 28 m/s = 50 Km/h. Los Coeficiente Elicos de la TABLA I para un ngulo mximo de 30 de la cubierta de la edificacin en estudio:

C1 = + 0,20 (a barlovento) - C2 = - 0,40 (a sotavento) Presin dinmica (W) = (V2 / 16) = ((28 m/s)2 / 16) = 49 kg/m2 = 50 kg/m2

1.b.1.Carga total de viento en la cubierta (Figura 71)

Presin unitaria a barlovento = (C1 * W) = (+ 0,10 * 50 kg/m2 ) = 5 kg/m2 Succin unitaria a sotavento = (C2 * W) = ( 0,40 * 50 kg/m2 ) = -20 kg/m2

1.b.2. Carga de viento en una correa intermedia

qvp = (presin unitaria * separacin de las correas) (kg/m) qvs = (succin unitaria * separacin de las correas) (kg/m) qvp = (5 kg/m2 x 2,01m) = + 10,05 kg/m qvs = (20 kg/m2 x 2,01m) = - 40,20 kg/m

2. Determinacin Solicitaciones

2.1. Correa en Faldn a Presin (a barlovento, Figura 72)

Las cargas permanentes y la sobrecarga (ambas gravitatorias) se descomponen para analizar el efecto sobre la correa segn sus dos planos (XX ; YY), sumndose al qx la carga de presin de viento qvp. El esfuerzo a que trabaja una correa es de Flexin Doble, o Flexin Oblicua: se flexionan ambos planos simultneamente.

qx: carga que flexiona en el plano del eje xx. Se aplica segn eje y-y. qy: carga que flexiona en el plano del eje yy. Se aplica segn eje x-x. cos = qx/q qx = (cos * q) = (cos 25 * 58 kg/m) = 52,56 kg/m sen = qy/q qy = (sen * q) = (sen 25 * 58 kg/m) = 24,51 kg/m qvp se suma a la carga qy que flexiona al plano xx, resultando qYTOTAL. M = (q * L2 / 8 ) Mx-x = (qy + qvp) * L2 / 8 = (24,51 kg/m + 10,05 kg/m) * (4,90 m)2 / 8 = 103,72 kgm My-y = (qx * L2 / 8) = (52,56 kg/m) * (4,90m)2) / 8 = 157,74 kgm

2.2. Correa en Faldn a Succin (a sotavento, Figura 73)

La carga permanente, sin la sobrecarga, por existir succin en el faldn, se descompone para analizar el efecto en la correa segn sus dos planos (XX, YY), restndose al qx la carga de succin de viento qvs, porque al tratarse de viento de succin la sobrecarga (p) no se tiene en cuenta:

q = g (peso propio) qx: carga que flexiona en el plano del eje xx. Se aplica segn eje y-y. qy: carga que flexiona en el plano del eje yy. Se aplica segn eje x-x. cos = (qx / g) qx = (cos * g) = (cos 25 * 28,0 kg/m) = 25,38 kg/m sen = (qy / g) qy = (sen * g) = (sen 25 * 28,00 kg/m) = 11,83 kg/m qvs (viento de succin): descomprime la cubierta Mx-x = (qy - qvs) * L2 / 8 = (11,83 kg/m 40,20 kg/m) * (4,90m)2 / 8 = -85,14 kgm M y-y = (qx * L2) / 8 = (25,38 kg/m * (4,90m)2) / 8 = 76,17 kg/m

25

Figura 71

qVS

qX qY

q qVP

25

Figura 72

qX

qYTOTAL qX

q qVP

qY

qYTOTAL qY

qVP

25

Figura 73

qYS

qYTOTAL

qY

q qVS

qX qY

- 95 -

La situacin ms desfavorable (de las cuatro calculadas) ser aqulla que de mayor valor absoluto de momento flector, y con ellas se dimensionarn la correa. Se adopta la siguiente situacin:

Mx-x (PRESIN) = 103,72 kgm = 10.372,0 kgcm My-y (PRESIN) = 157,74 kgm = 15.774,0 kgcm

3. Predimensionado de la Correa

Para = 25 C = 1,3 = (h / b ) h = (1,3 * b) = (M / W) W = (M / ) WNECESARIO = ((Mx-x + (C * My-y) / ADM MADERA) = ((10.372 kgcm + (1,3 * 15.774 kgcm)) / 110 kg/cm2 ) = 280,71 cm3 W = ((b * h2 ) / 6)= 280,71 cm3 280,71 cm3 = ((b * (1,3 * b)2) / 6) = ((1,32 * b3 ) / 6) b = 3 ((W * 6 ) / (1,3)2) = b = 3 ((280,71 cm3 * 6) / 1,69) = 9,99 cm = 10 cm = 4 obtenido el valor de b se calcula h (Figura 74): h = (1,3 * b) h = (1,3 * 10,0) cm = 13,0 cm = 13,97 cm 5

4. Verificacin de la flecha

FADM = (LCORREA (cm) / 300) FADM = (490 cm / 300) = 1,63 cm En la situacin ms desfavorable: PRESIN (sin viento) M = q * (l)2 / 8 = 58,0 kg/m * (4,90m) 2 / 8 = 174,0 kgm 17.400,0 kgcm Mx = (17.400,0 kgcm * cos 25) = 15.770 kgcm My = (17.400,0 kgcm * sen 25) = 7.353 kgcm

FREAL = FSERVICIO < Fadm Freal = (Mmx * L2) / (9,6 * E * I) (cm) Ix = (b * h3 / 12) = (10,0 cm * (13,0cm)3 ) / 12) = 1.830,83 cm4 Fx = ((7.353,0 kgcm * (490 cm)2 ) / (9,6 * 110.000 kg/cm2 * 1.830,83 cm4) = 0,913 cm Iy = (h * b3 / 12) = (13,0 cm * (10,0)3 cm3 / 12) = 1083,33 cm4 Fy = (15.770,0 kgcm * (490 cm)2) / (9,6 * 110.000 kg/cm2 * 1083,33 cm4) = 3,31 cm Freal total = (fx2 + fy2) = (0,913 cm)2 + (3,31 cm)2 = 3,43 cm > 1,63 cm Malas Condiciones (redimensionar).

5. Redimensionado

Se adopta nueva seccin correa y se vuelve a calcular la flecha real: b = 12,70 cm = 5 - h = 15,24 cm = 6

Ix = 12,70 cm * (15,24cm)3 / 12 = 3.746,0 cm4 Fx = ((7.353,0 kgcm * (490 cm)2 ) / (9,6 * 110.000 kg/cm2 * 3.746,0 cm4) = 0,446 cm

Iy = (15,24 cm * (12,70)3 cm3 / 12) = 2.601,44 cm4 Fy = (15.770,0 kgcm * (490 cm)2) / (9,6 * 110.000 kg/cm2 * 2.601,44 cm4) = 1,37 cm

FREAL TOTAL= (0,446 cm)2 + (1,37 cm)2 = 1,44 cm < 1,63 cm BUENAS CONDICIONES. 6. Verificacin tensiones (para la seccin redimensionada de: b = 5 - h = 6)

Dato: ADM = 110 kg/ cm2 REAL o TRABAJO o SERVICIO < ADM

Wx = (b * h2 / 6) = (12,70 cm * (15,24cm)2 / 6) = 491,6 cm3

Wy = (h * b2 / 6) = (15,24 cm * (12,7cm)2 / 6) = 409,67 cm3 SERVICIO = (Mx / Wx) + ((C * My) / Wy) = (15.770,0 kgcm / 491,6 cm3) + ((1,3 * 7.353,0 kgcm) / 409,67 cm3) = SERVICIO = 55,41 kg/cm2 < 110 kg/cm2 BUENAS CONDICIONES

7. Anlisis de cargas del reticulado plano (incidentes sobre los nudos de la estructura)

Peso Propio de la cubier