Estructuras de Hormigon Vigas y Columnas

TABLA DE CONTENIDO

1. Elementos estructurales y funciones primarias de las edificaciones ............................... 2 2. Tipos de estructuras de hormign ................................................................................... 6 3. Estados lmite y filosofas de diseo ............................................................................. 19 4. Propiedades del concreto y el acero de refuerzo ........................................................... 27 5. Propiedades mecnicas del concreto y el acero de refuerzo .......................................... 34 6. Flexin ........................................................................................................................... 43 7. Consideraciones bsicas en la teora de flexin ............................................................ 60 8. Cargas ............................................................................................................................ 68 9. Vigas simplemente reforzadas ....................................................................................... 74 10. Procedimiento de diseo para vigas simplemente reforzadas ....................................... 80

11. Vigas doblemente reforzadas ........................................................................................ 90 12. Procedimiento de diseo de vigas doblemente reforzadas ............................................ 98 13. Anlisis y diseo de vigas T ........................................................................................ 104 14. Cortante ....................................................................................................................... 123 15. Diseo a cortante ......................................................................................................... 128 16. Requerimientos de diseo a cortante ........................................................................... 132 17. Torsin ......................................................................................................................... 153 18. Adherencia y anclaje ................................................................................................... 167 19. Desarrollo de barras - secciones crticas ..................................................................... 177 20. Ganchos estndar ......................................................................................................... 181 21. Procedimiento de corte del acero de refuerzo ............................................................. 191 22. Empalme de barras ...................................................................................................... 198 23. Columnas ..................................................................................................................... 207

24. Diseo de columnas para cargas axiales concntricas ................................................ 217 25. Diagrama de interaccin.............................................................................................. 220 26. Diseo de columnas para carga combinada de flexin y axial (columna corta) ......... 232 27. Columnas biaxiales ..................................................................................................... 235 28. Efectos de esbeltez ...................................................................................................... 242

ESTRUCTURAS DE HORMIGN: VIGAS Y COLUMNAS Programa de Ingeniera Civil - UdeA

Riveros, C.A., Garca, E.F., Rivero, J.E. Pgina 2

1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LAS EDIFICACIONES

Los diferentes elementos estructurales usados en estructuras de concreto pueden ser clasificados bsicamente en las siguientes tipologas:

Elemento tipo viga.

Elemento tipo columna.

Elemento tipo losa / placa.

Elemento tipo muro / diafragma.

Elemento tipo viga:

Definicin: miembro sujeto bsicamente a esfuerzos de flexin y cortante.

Figura 1

Propiedades elsticas:

Flexin n

EILb

k f =

Cortante GA

Lsk =

Esfuerzo normal MyI

=

Esfuerzo cortante VQ =

Ib

Flexin b = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)



Elemento tipo columna:

Definicin: miembro sujetos a flexin, cortante y fuerza axial.

Figura 2

Propiedades elsticas:

Axial EALa

k =

Flexin n

EILb

k f =

Cortante GA

Lsk =

Normal b = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)

Esfuerzo cortante VQ =

Ib

Esfuerzo Normal a

FA

=

Esfuerzo Normal bMy

I =



Elemento tipo losa / placa

Definicin: miembro sujeto a flexin bidireccional y cortante.

Figura 3

Elemento tipo muro / diafragma

Definicin: miembro sujeto a cortante.

Figura 4



Funciones primarias de las edificaciones

Dar soporte a las cargas gravitacionales en condiciones de resistencia y servicio de diseo durante:

Uso normal de la edificacin (condiciones de servicio). Consideraciones mximas de cargas durante su vida til.

Cargas ambientales de variadas intensidades.

Figura 5

Tipos de Cargas:

Gravedad: Muerta

Viva

Impacto

Lluvia/granizo

Inundaciones

Laterales:

Viento

Sismos

Presiones laterales de suelo

Variacin de temperatura

Fuerzas centrfugas



2. TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGN

Sistemas estructurales de soporte a cargas verticales. Sistemas estructurales de soporte a cargas laterales.

Sistemas de soporte a cargas verticales: Placa plana.

Losa plana (con bacos y/o capiteles). Losa aligerada armada en una direccin. Losa aligerada armada en dos direcciones.

Figura 6

Ventajas:

Relativa facilidad de construccin. Techos a la vista planos (reduce costos acabados). Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeas. Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeas.



Figura 7

Ventajas:

Las mismas del sistema de placa plana y adicionalmente se tienen las siguientes: Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales. Aumento de la rigidez torsional. Disminucin de deflexiones en el borde de la placa. Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeas.



Figura 8

Ventajas:

Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales. Relativa facilidad de construccin. Techos a la vista planos (reduce costos acabados). Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas pequeas.



Figura 9

Ventajas:

Disminucin de deflexiones en la losa. Incremento de la resistencia a cortante de la losa. Techos a la vista planos (reduce costos acabados). Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeas. Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas moderadas a altas.



Figura 10

Figura 11



Ventajas:

Luces ms largas para resistir cargas mayores. Reduccin del peso propio de la losa debido al aligeramiento. Las instalaciones hidrosanitarias y elctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas. Buena resistencia a la vibracin. Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas a largas con cargas altas.

Figura 12

Ventajas:

Reduccin del peso propio de la losa debido al aligeramiento. Las instalaciones hidrosanitarias y elctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas. Buena resistencia a la vibracin y excelente terminado. Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces largas con cargas altas.



Figura 13

Sistemas de Soporte a Cargas Laterales

Generalidades del sistema prtico. Prticos placa/losa-columna con bacos y/o capiteles. Prticos viga-columna. Sistema de muros de cortante. Sistema dual.



Figura 14

Figura 15



Figura 16

Ventajas del sistema prtico:

Uso ptimo del espacio de los pisos (parqueaderos). Proceso de construccin relativamente simple y del que se tiene mucha experiencia. Generalmente econmico para alturas inferiores a 20 pisos. En Colombia, la mayora de prticos han sido hechos en concreto reforzado.

Desventajas del sistema prtico:

Generalmente, los prticos son estructuras flexibles y su diseo es dominado por desplazamientos laterales para edificaciones con alturas superiores a 4 pisos.

Las luces tienen longitudes limitadas cuando se usa concreto reforzado tradicional (generalmente inferiores a 10 metros). La longitud de las luces puede ser incrementada con el uso de concreto pretensado.



Figura 17

Figura 18



Figura 19

Figura 20



Figura 21

Figura 22



Figura 23



3. ESTADOS LMITE Y FILOSOFAS DE DISEO

Procedimiento de diseo

Fase 1

Definicin de las necesidades de los clientes y las prioridades Requerimientos funcionales.

Requerimientos estticos. Requerimientos de presupuesto. Fase 2

Desarrollo conceptual del proyecto Desarrollo de posibles esquemas. Anlisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada arreglo. Seleccin del sistema estructural ms favorable. Fase 3 Diseo del sistema individual El anlisis estructural (basado en el diseo preliminar)

Anlisis de cargas y determinacin de esfuerzos o fuerzas internas en trminos de momentos, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.

Diseo

Especificaciones de construccin. Dimensionamiento y diseo de los elementos estructurales. Esttica.

Factibilidad de construccin. Mantenimiento.

Estados lmite

Condicin en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su uso previsto. En estructuras de concreto reforzado se tienen tres estados lmites:

Estado lmite ltimo.

Estado lmite de servicio.

Estado lmite especial.



Estado lmite ltimo Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca

probabilidad de ocurrencia). Tiene que ver con la prdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como un

cuerpo rgido (volcamiento, deslizamiento de la estructura). Tiene que ver con la ruptura de los componentes crticos, causando el colapso parcial o

completo (flexin, falla a cortante).

Colapso progresivo (1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante la vinculacin de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado detallamiento en el corte del acero de refuerzo, proporcionando vas alternativas de transmisin de cargas en caso de falla localizada. (2) Formacin de un mecanismo plstico (articulaciones plsticas) en algunas zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. (3) Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente incremento en los momentos de diseo de los elementos de soporte a cargas verticales. (4) Fatiga en elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos por las cargas de servicio (pueden causar colapso).

Estado lmite de servicio La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo produce fugas de lquidos. La corrosin del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las deflexiones excesivas causan mal funcionamiento de la maquinaria, rompimiento de vidrios o vitrinas actuando como elementos no estructurales. Cambios en las distribuciones de fuerzas. Las vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas.

Estado lmite especial El dao y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran magnitud, inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares, efectos de corrosin, inestabilidad fsica y qumica a largo plazo.



Diseo en estado lmite Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad para las estructuras normales con base en las recomendaciones de los cdigos de construccin vigentes. Considerar los estados lmites significativos. Los elementos se deben disear para el estado lmite ltimo, el servicio se comprueba.

Cdigos de Construccin

Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormign, actuando en conjunto deben ser analizados, es comprensible que el anlisis del esfuerzo en un elemento de hormign armado tiene que ser parcialmente emprico, aunque racional. Estos principios semi-racionales estn siendo revisados constantemente y mejorados como resultado de la investigacin terica y experimental que se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de informacin para estos cambios, as como principal referente de los diferentes cdigos de construccin a nivel mundial.

Filosofas de diseo

Mtodo de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio). Mtodo de resistencia (enfocado en condiciones de cargas ltimas).

Mtodo de esfuerzos admisibles La seguridad en el diseo se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir esfuerzos que corresponden a una fraccin de fy, por ejemplo 0,5. Este valor equivale a proveer un factor de seguridad de 2. Este mtodo no es apropiado para el diseo de estructuras modernas debido a las siguientes limitaciones:

El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elstico de materiales homogneos.

Este mtodo no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida ms fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.

El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modelo son de naturaleza determinstica (sin variacin).

La seleccin del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida de confianza en trminos de probabilidad de falla.



Mtodo de resistencia El mtodo de resistencia se considera conceptualmente ms realista para establecer la seguridad estructural, en este mtodo las cargas de servicio son incrementadas por medio de factores para obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; sta carga es llamada carga factorizada o carga mayorada.

Resistencia Proporcionada Resistencia Requerida

Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de comportamiento prescrito por el cdigo de construccin y la resistencia requerida se obtiene mediante la realizacin de un anlisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia proporcionada" se conoce comnmente como "resistencia ltima".

Provisiones de seguridad Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseados para resistir carga adicional por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo estructural.

Variabilidad en resistencia

Variabilidad en cargas

Consecuencia de la falla

Variabilidad en resistencia

La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo.

Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se encuentran consignados en los planos estructurales.

Los efectos de la simplificacin hecha en la derivacin de la resistencia de los elementos.

La siguiente grfica muestra una comparacin de la medida y clculo de los momentos de falla

basados en todos los datos de vigas de hormign armado con > 2000 psi.f'c



Figura 24

Variabilidad en cargas Distribucin de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas.

Figura 25



Consecuencias de la falla Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinacin de un nivel aceptable de seguridad:

La posible prdida de vidas humanas.

El costo de retirar escombros con la correspondiente sustitucin de la estructura y su contenido.

Costo para la sociedad.

Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.

Margen de seguridad Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de la estructura.

Figura 26

El trmino Y = R S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como:

Pf = Probabilidad de < 0

Y el ndice de seguridad es:

Y

Y

=



Figura 27

Cargas

Especificaciones Las ciudades en los EE.UU. en general, basan sus cdigos de construccin en uno de los siguientes tres cdigos (despus del 2000):

International Building Code IBC.

Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee 318, 2008.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rigi los cdigos de construccin antes del ao 2010 fue:

Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-98, 1998.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los cdigos de construccin despus del ao 2010 es:

Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-10, 2010.

Cargas Muertas El peso de toda la construccin permanente.

Magnitud constante y ubicacin fija. Ejemplos: Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).



Equipos de servicio fijo (HVAC, pesos de tubera, bandeja de cables). Pueden ser inciertas:

Espesor del pavimento.

Relleno de tierra sobre la estructura subterrnea.

Cargas Vivas Cargas producidas por el uso y ocupacin de la estructura.

Mximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.

No menos que el mnimo de carga uniformemente distribuida dada por el cdigo.

Cargas Ambientales Cargas de nieve.

Sismo.

Viento.

Presin del suelo.

Estancamiento de aguas pluviales.

Diferenciales de temperatura.

Cargas de Construccin Materiales utilizados para llevar a efecto la construccin de una edificacin.

Peso de la formaletera que soporta el peso del concreto fresco.



4. PROPIEDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO

Definicin de Concreto Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava / piedra), y agua con o sin otros aditivos.

Hidratacin Proceso qumico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua para luego endurecerse formando una masa slida y de esta forma uniendo los agregados entre s.

Calor de hidratacin El calor se libera durante el proceso de hidratacin. En grandes masas de hormign el calor se disipa lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansin de volumen; ms adelante hay contraccin por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de medidas especiales para controlar la fisuracin.

Dosificacin El objetivo es lograr la mezcla con: Resistencia adecuada.

Trabajabilidad adecuada para la colocacin. Bajo costo.

Bajo costo Minimizar la cantidad de cemento.

Gradacin buena de los materiales (disminuyendo los vacos y por lo tanto la pasta de cemento requerida).

Relacin agua-cemento (A / C) El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla. El aumento de A / C: los resultados en disminucin de la resistencia debido al mayor volumen

de vacos en la pasta de cemento y debido al agua libre.

La completa hidratacin del cemento requiere A / C ~ 0,25.



Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua durante la hidratacin y proporcionar trabajabilidad.

Valor tpico de A / C = 0,40-0,60

Tabla 1

Relacin Tpica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresin y Flexin del Peso Normal del Concreto

Relacin Agua/Cemento Probabilidad de la Resistencia del Concreto a los

28 Das

Compresin Flexin

Por el Peso Galones por Saco

(94 lb.) Litros por Saco

(50 kg) psi N/mm2 psi N/mm2

0,35 4,0 17,5 6300 41 650 4,5 0,4 4,5 20,0 5800 40 610 4,2

0,44 5,0 22,0 5400 37 590 4,1 0,49 5,5 24,5 4800 33 560 3,9 0,53 6,0 26,5 4500 31 540 3,7 0,58 6,5 29,0 3900 27 500 3,5 0,62 7,0 31,0 3700 25 490 3,4 0,67 7,5 33,5 3200 22 450 3,1 0,71 8,0 35,5 2900 20 430 3,0

Las proporciones se dan por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir, 1:2:4) con la relacin A / C especificada separadamente.

Agregados Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido. El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no mezclada, burbujas de aire.

Los agregados ms densos dan mejor: Fuerza.

Resistencia a la intemperie (durabilidad). Economa.

Agregado fino: arena (pasa a travs de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)). Agregado grueso: grava.



Gradacin buena 2-3 grupos de tamao de la arena.

Varios grupos de tamao de la grava. El tamao mximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben ajustarse a las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2). 1/5 de la dimensin ms estrecha.

1/3 de la profundidad de la losa.

3/4 de la distancia mnima entre barras de refuerzo.

Resistencia de los agregados Agregados fuertes: cuarcita. Agregados dbiles: arenisca, mrmol. Resistencia intermedia: piedra caliza, granito. En el diseo de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran importancia:

Calidad.

Trabajabilidad. Economa.

Calidad La calidad del hormign se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que afectan a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son de buena calidad, son la relacin A / C, y la medida en que ha progresado la hidratacin. La durabilidad del hormign es la capacidad del concreto para resistir la desintegracin debido procesos de congelacin y descongelacin, y en algunos casos debido al ataque qumico.

Trabajabilidad La trabajabilidad del hormign se puede definir como la composicin caracterstica indicativa de la facilidad con que la masa de material plstico puede depositarse en su lugar definitivo, sin segregacin durante la colocacin, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el elemento estructural.



Economa La economa tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de resistencia, y facilidad de manejo y disposicin del concreto. El costo de produccin de concreto de buena calidad es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construccin.

Tabla 2. Influencia de los ingredientes en las propiedades del concreto.

Ingrediente Calidad Trabajabilidad Economa Agregados Incrementa Disminuye Incrementa

Cemento Portland Incrementa Incrementa Disminuye

Agua Disminuye Incrementa Incrementa

De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill

Book Company, New York, 1979.

Ensayo de asentamiento

La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la mezcla se hace con el ensayo de asentamiento de cono.

Figura 28

Capa 1: Llenar 1 / 3 (25 inserciones). Capa 2: Llenar 2 / 3 (25 inserciones). Capa 3: Llenar completo (25 inserciones). Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general est entre 2 y 6 pulgadas).



Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de hormign.

Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento

Tipo de Estructura Asentamiento (in.) Mnimo Mximo

Secciones masivas, pavimentos y pisos

establecidos en el suelo 1 4

Losas pesadas, vigas, paredes 3 6

Paredes delgadas y columnas, losas ordinarias

y vigas. 4 8

Aditivos

Mejoran la trabajabilidad. Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento.

Ayudan en la curacin.

Mejoran la durabilidad.

Incorporacin de aire Aadir vacos de aire con burbujas Ayuda con los ciclos de congelacin/descongelacin, facilidad de trabajo, etc. Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero tambin disminuye A / C.

Superplastificantes Incrementan la trabajabilidad por la liberacin qumica del agua contenida en los agregados finos.

Tipos de cemento

Tipo I: Es el ms utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormign en general, al que no se le exigen propiedades especiales.

Tipo II: Es el que se debe usar en obras que estn expuestas a la accin moderada de sulfatos y se requiera moderado calor de hidratacin, como por ejemplo canales de aguas negras.



Tipo III: Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de elementos prefabricados de concreto.

Tipo IV: Es el que desarrolla bajo calor de hidratacin. Se usa para represas y obras que posean un gran volumen de concreto.

Tipo V: Es el que ofrece alta resistencia a la accin de sulfatos, til para obras que se encuentren en contacto con el medio marino

Mecanismos de falla del concreto

Microfisuras por retraccin Corresponde a la contraccin inicial del concreto debido a la retraccin por fraguado, la contraccin de hidratacin, y la contraccin por secado.

Figura 29

Microfisuras por adherencia Son extensiones de microfisuras de retraccin, al aumentar el esfuerzo a compresin el campo de fisuramiento incrementa, la contraccin de microfisuras ampla pero no se propaga en la matriz. Ocurren cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia ltima del concreto.



Figura 30

Microfisuras de matriz Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 30-45 % de la resistencia ltima del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan el puente entre s correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen justo antes del fallo.

Figura 31



5. PROPIEDADES MECNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO

Concreto

Figura 32

La prueba de resistencia estndar generalmente utiliza una muestra cilndrica. La prueba se hace despus de 28 das para la prueba de resistencia, fc. El concreto se sigue endureciendo con el tiempo y para un cemento Portland normal se incrementar con el tiempo aproximadamente de la siguiente forma:

Tabla 3

Edad 7 Das 14 Das 28 Das 3 Meses 6 Meses 1 Ao 2 Aos 5 Aos

Relacin de Resistencia

0,67 0,86 1 1,17 1,23 1,27 1,31 1,35

Resistencia a la compresin, fc

Por norma se define a 28 das para la resistencia de diseo

Relacin de Poisson,



~ 0,15 a 0,20 generalmente se usa = 0,17

Figura 33

Mdulo de elasticidad del concreto (Ec) Corresponde al mdulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 fc.

NSR-10 (C.8.5.1).

El mdulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:

1.5 0,043 c cw f En MPa.

Para valores de wc comprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3. Para concreto de densidad normal, Ec

puede tomarse como 4700 cf

Donde wc = Peso (kg / m3)

3 3c1440 Kg/ m < < 2560 Kg/ mw

Ec (MPa) = 4700 cf Para el peso normal del concreto:

32400 Kg/mcw



Deformacin del concreto a mximo esfuerzo de compresin

Para las curvas tpicas de la compresin c vara entre 0,0015-0,003.

Para la resistencia normal de hormign c ~ 0,002.

Figura 34

Deformacin mxima utilizable, cu

La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresin

del concreto se supone igual a 0,003. NSR-10 (C.10.2.3). cu = 0,003. Usado para flexin y compresin axial.



Las curvas Esfuerzo vs Deformacin para un concreto tpico en compresin:

Figura 36

Tipos de falla a compresin

Hay tres modos de falla:

El concreto falla a cortante bajo compresin axial. La separacin de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como divisin

o fractura de columna.

Combinacin de la falla cortante y fractura de columna.



Figura 37

Resistencia a traccin del concreto Resistencia a traccin ~ 8% a 15% del cf

.

Mdulo de rotura, fr. Para los clculos de deflexin, se usa:

0,62 ( )r cf f MPa= Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificacin como

multiplicador de cf en todas las ecuaciones y secciones aplicables del Ttulo C del Reglamento NSR-10, donde = 0,85 para concreto liviano de arena de peso normal y 0,75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolacin entre 0,75 y 0,85 con base en fracciones volumtricas, cuando una porcin de los agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal. Se permite la interpolacin lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado fino de peso normal y una combinacin de agregados

gruesos de peso normal y de peso liviano. Para el concreto de peso normal = 1,0 . Si se especifica la resistencia promedio a la traccin por hendimiento del concreto de peso liviano, fct, entonces:

= 1,0 (0,56 )

ct

c

ff NSR-10, C.8.6.1



Ensayo

Figura 38

Figura 39



Acero de refuerzo

Figura 40

Tipos ms comunes para miembros no pretensados: Laminados en caliente, barras corrugadas. Tejidos de alambre soldado.



Figura 41

Tabla 4: reas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, reas, permetros y pesos de barras estndar.

Dimetro

rea De Seccin

Transversal

Permetro Unidad De

Peso Por Pie Dimetro rea

Barra in. in2. in. lb. mm. mm2.

# Nominal Actual

2 1/4 0,250 0,05 0,79 0,167 6,4 32

3 3/8 0,375 0,11 1,18 0,376 9,5 71

4 1/2 0,500 0,20 1,57 0,668 12,7 129

5 5/8 0,625 0,31 1,96 1,043 15,9 200

6 3/4 0,750 0,44 2,36 1,502 19,1 284

7 7/8 0,875 0,60 2,75 2,044 22,2 387

8 1 1,000 0,79 3,14 2,670 25,4 510

9 1

1,128 1,00 3,54 3,400 28,7 645

10 1

1,270 1,27 3,99 4,303 32,3 820

11 1

1,410 1,56 4,43 5,313 35,8 1010

14 1

1,693 2,25 5,32 7,650 43,0 1450

18 2

2,257 4,00 7,09 13,600 57,3 2580



Tipos ASTM A615 - Especificacin estndar para barras de acero deformadas. ASTM A616 Barras para rieles de acero. ASTM A617 Barras para ejes de acero. ASTM A706 Barras de baja aleacin de acero. Curva esfuerzo-deformacin para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo

Figura 42

Es = modulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la curva esfuerzo deformacin y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como un valor constante de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.2).

Figura 43



6. FLEXIN

Localizacin del acero de refuerzo

Figura 44

Figura 45



Figura 46

Figura 47



Figura 48

Esfuerzo flector en vigas

La viga es un elemento estructural diseado para soportar principalmente momentos flectores y cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de compresin considerable.

C = TM = C*(jd)M = T*(jd)

El esfuerzo en un bloque es definido como:

max

= (M y) / ISxx = I / (y )

La ecuacin para el mdulo Sxx para el clculo del esfuerzo de compresin mxima.



Figura 49



Figura 50

Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada

Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.

Figura 51



Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores extremas tengan un esfuerzo equivalente al mdulo de rotura del concreto fr. La seccin de concreto entera es efectiva, las barras de acero en el lado de tensin tienen la misma deformacin que la del concreto ubicado alrededor de las barras de refuerzo.

Estado de carga #3: La resistencia a la traccin del hormign excede la equivalente al mdulo de rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las fisuras se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la traccin y el acero comienza a trabajar eficazmente resistiendo la carga de tensin total.

Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el rango

lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0,45 cf y pasar a un comportamiento no lineal del material.

Estado de carga #5: Falla de la viga.

Figura 52



Figura 53

Figura 54



El diagrama momento-curvatura muestra los cinco estados de la viga. El diagrama es del ngulo de

curvatura, , ( )E

y y

( )E

y

yMI

MEI

= =

=

=

La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.

Figura 55



Tipos de fallas por flexin de una viga de concreto reforzado: El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su mximo valor esfuerzo (condicin de falla sub-reforzada).

Figura 56

El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormign alcanza su mximo valor esfuerzo y deformacin (condicin de falla balanceada).

Figura 57

El concreto alcanza su mximo valor esfuerzo y deformacin antes que el acero alcance su esfuerzo de fluencia (condicin de fallan sobre-reforzada).



Figura 58

Anlisis de vigas en condiciones de cargas de servicio

Ec Mdulo de Elasticidad - Concreto

Es Mdulo de Elasticidad - Acero As rea del Acero d Distancia al acero b Ancho h Alto n Relacin Modular

s

c

En

E=

Propiedades de la Mecnica de Materiales

Centroide i ii

y Ay

A=

Momento de Inercia ( )2i i iI I y y A= +



Seccin no fisurada

Figura 60

Tabla 5

rea yi yiA I yi - y (yi -y)2 A Concreto bh h/2 bh2/2 bh3/12 (h/2-y) (h/2-y)2bh

Acero (n-1)As d d(n-1)As --- (d-y) (d-y)2(n-1)As

( )( )

( ) ( ) ( )

2

232 2

12

1

112 2

i i

i

i i i

s

s

s

bhn A dy A

yA bh n A

bh hI I y y A y bh d y n A

+ = =

+

= + = + +

Seccin fisurada Para una seccin fisurada el concreto esta en compresin y el acero est en tensin. La deformacin en la viga es lineal.



Figura 61

12

c

s s

C yb fT A f

=

=

Condicin de equilibrio

12

2

s s c

s cs

T C

A f yb fybf fA

=

=

=

Usando la Ley de Hooke

f E=

c ss s c c

s c

2 22

s s

s

Eyb A nAE EA E yb yb

= = =

Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar y . Se debe utilizar la condicin de compatibilidad de deformaciones.



Figura 62

Usando la condicin de compatibilidad de deformaciones.

s c c

s

yd y y d y

= =

Se sustituye en la primera ecuacin.

Se sustituye para la relacin de deformacin

2 sy nAd y yb

=

Reorganizar la ecuacin en una ecuacin de segundo grado

2 2 2 0s snA nAy y db b

+ =

Utilizar una relacin de reas de concreto y acero

2 22 2 0sA y n d y n dbd

= + =

Modificar la ecuacin para definir una relacin adimensional. 2

2 2 0y yn nd d

+ =

Usando la frmula cuadrtica

( )

( )

2

2

2 2 82

2

n n nydy

n n nd

+ =

= +

Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d . El momento de inercia es definido usando el teorema de los ejes paralelos



Figura 63

( )( )

( )

2

232

32

12 2

3

= +

= + +

= +

i i i

s

s

I I y y A

by yI by d y nA

byI d y nA

EJEMPLO 1

Considere una viga rectangular simplemente reforzada con un rea de acero de refuerzo .sA Determinar la ubicacin del centroide y el momento de inercia para la seccin mostrada en la figura, considerando los casos de seccin no fisurada y fisurada. Compare los resultados.

(C.8.5.2)

20000025000

340300400

s

c

E MPaE MPad mmb mmh mm

=

=

=

=

=



Usar 4 barras N7 para el acero de refuerzo. Una barra N7 tiene un rea de 387 mm2, entonces 4N7 corresponde a 1548 mm2.

Se tiene la relacin modular, 200000 825000

s

c

E MPan

E Mpa= = =

Seccin no fisurada

2 22

2

300 (400 )( 1) (8 1) 1548 3402 2 212( 1) 300 400 (8 1) 1548

s

s

bh mm mmn A d mm mm

y mmbh n A mm mm mm

+ +

= = =

+ +

( ) ( )23

2 112 2

sbh hI y bh d y n A = + +

( ) ( )23

2 2300 (400 ) 400 211,6 300 400 340 211,6 8 1 154812 2

mm mm mmI mm mm mm mm mm mm = + +

41794795564I mm=

Seccin fisurada

21548 0,0152300 340

sA mmbd mm mm

= = =

( ) ( ) ( ) ( )2 22 8 0,0152 2 8 0,0152 8 0,0152 0,38630,3863 0,3863 340 131

yn n n

dy d mm mm

= + = + =

= = =

( ) ( ) ( )33

2 2 2

4

300 131,35340 131,35 8 1548

3 3765751065

mm mmbyI d y nAs mm mm mm

I mm

= + = +

=

Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se reduce de 1794795564 mm4 a 765751065 mm4.

El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La seccin fisurada pierde ms de la mitad de su resistencia original.



EJEMPLO 2

Determinar la distribucin de esfuerzos para los siguientes momentos Mu1= 75 KN-m y Mu2= 125 KN-m.

Es = 200000 MPa

Ec = 25000 MPa d = 590 mm b = 300 mm h = 650 mm As = 1548 mm2

Relacin modular, 200000 825000

s

c

E MPan

E Mpa= = =

Para agregado grueso de origen gneo se tiene 4700 ccE f= (C.8.5.1) 2 225000 28,29 28

4700 4700c

cEf MPa MPa = = =

El mdulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10) 0,62

0,62 1 28 3,28

cr

r

f ff MPa

= = =

Tensiones elsticas seccin no fisurada 2 2

2

2

300 (650 )( 1) (8 1) 1548 5902 2 339( 1) 300 650 (8 1) 1548

s

s

bh mm mmn A d mm mm

y mmbh n A mm mm mm

+ + = = =

+ +

( ) ( )23

2 112 2

sbh hI y bh d y n A = + +



( ) ( ) ( )3 2

2 2300 650 650 339 300 650 590 339 8 1 154812 2

mm mm mmI mm mm mm mm mm mm

= + +

47586523836I mm= Concreto a compresin

( )3 4

75 0,3393,35

7,586 10cc

KN m mf MPam

= =

Concreto a traccin

( )( )3 4

75 0,650 0,3393,07

7,586 10ct r

KN m m mf MPa fm

= = 4b.

La deformacin en el acero de refuerzo es igual a la deformacin en el concreto medidas al mismo nivel.

El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias en

deformacin de las curvas del concreto y el acero.

Supuestos adicionales para el diseo (con el fin de simplificar)

Resistencia a la traccin del concreto no se considera para el clculo de resistencia a la flexin.

El concreto se asume que falla en compresin cuando:

(esfuerzo concreto) (estado lmite)(esfuerzo concreto) 0,003

c cu

c

=

=

NSR-10 C.10.2 Suposiciones de diseo C.10.2.3 La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresin del concreto se supone igual a 0,003.

La relacin para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y cuando

los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.

Figura 66



La fuerza de compresin se modela como c 1 3 cC = k k f b c en la posicin 2x = k c

Figura 67

Los coeficientes de compresin de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:

Figura 68

k3 es la relacin de mximo esfuerzo para cf en la zona a compresin de una viga para la resistencia del cilindro, cf (0,85 es el valor tpico para un concreto comn).



La zona de compresin se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.

Figura 69

La distribucin rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce como

coeficiente 1 , que es la proporcin del promedio que incluye la distribucin de esfuerzos. 1

1

para 0,85 28 28

0,85 0,05 0,657

c

c

f MPaf

=

=

Requisitos para el anlisis de vigas de concreto reforzado

Esfuerzo compatibilidad de deformacin El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensin en el punto simtrico.

Equilibrio Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.

Figura 70



Condicin de equilibrio

x0 T C0,85

0 T2

s s c

n

F

A f f a baM d = M

= =

=

=

Figura 71

Resistencia de la seccin a flexin

0,85

0,85

s s

c

s s

c

T A fC f a b

A fa f b

=

=

=

( )Momento del brazo

2

n

n s s

M T

aM A f d

=

=

Se debe confirmar s y >

( )

yy

s

1

s c y

Ea

c

d cc

=

=

= >



EJEMPLO 3 Determinar la ubicacin del eje neutro y el momento de diseo para la viga rectangular mostrada en la figura.

28420

300440500

y

fc MPaf MPab mmd mmh mm

=

=

=

=

=

Usar 4 N7 para el acero de refuerzo, sA = 1548 mm2.

1 = 0,85 para 28 (C.10.2.7.3)cf MPa

Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:

2

0,85420 1548 91

0,85 0,85 28 300

y

y

c s

s

c

C Tf b a A f

A f MPa mma mmf b MPa mm

=

=

= = =

El eje neutro se encuentra ubicado a:

1

91 1070,85

a mmc mm= = =

Revisin si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:

fluencia del acero de refuerzo. Este valor debe ser superior a 0,005.

420 0,0021200000

440 1070,003 0,003 0,0093107

0,0093 0,0021

ys

s

yf MPaE MPa

d c mm mmc mm

= = =

= = =

>

( )( )3 2 0,0911,548 10 420000 0,44 256,52 2yn sa mM A f d m KPa m KN m = = =



EJEMPLO 4

Para la viga mostrada en la figura con cf = 41MPa, fy = 420MPa y d = 640mm. Determinar el rea de acero para la condicin balanceada de la seccin sombreada, la cual muestra

el rea de concreto a compresin, determinar el momento nominal resistente de la seccin y la

ubicacin del eje neutro.

Determinar el rea de concreto: 2150 100 300 80 39000cA mm mm mm mm mm= + =

Por condicin de equilibrio se tiene:

2

3 2 2

0,85 0,85 41000 0,039 13590,85 13590,85 3,236 10 3236

420000y

y

c c

c cs c c s

C TC f A KPa m KN

f A KNA f f A A m mmf KPa

=

= = =

= = = = =

Determinar el centroide de la zona de compresin del concreto:

150 100 50 300 80 140 105150 100 300 80

i i

i

y A mm mm mm mm mm mmy mmA mm mm mm mm

+ = = =

+

Momento resistente de la seccin:

( ) ( )1359 0,64 0,105 727,1nM T d y KN m m KN m= = =



Determinar la ubicacin del eje neutro:

128 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,76 (C.10.2.7.3)

7 7cf = = =

1

180 2370,76

a mmc mm= = =

237 0,37640

c mm

d mm= =

EJEMPLO 5

Determinar el momento ltimo que resiste la seccin mostrada en la figura

( )2 228

4204 510 2040

y

c

s

f MPaf MPaA mm mm

=

=

= =

Verificacin cuanta mnima

2

min

min min

2040 0,126300 540

1,4 28 1, 44 4 420 420

0,0031 0,0033y y

s

c

A mmbd mm mm

ff f

= = =

= =

= >

Equilibrio de fuerzas

22

21

2 2 22 1

22

2

0,852040 420 3600

0,85 0,85 282 75 100 15000

36000 15000 2100021000 70

300

y

y

s c c

sc

c

c

T CA f f A

A f mm MPaA mmf MpaA mm mm mmA A A mm mm mm

A mmA bx x mmb mm

=

=

= = =

= =

= = =

= = = =



Ubicacin eje neutro 100 70 170170 200

0,85

a mm mm mm

mmc mm

= + =

= =

Verificacin falla tensin 200 0,370 0,375 0,9540

= = < =c mm

d mm

Determinar el centroide de la zona a compresin del concreto 2 75 100 50 70 300 135 99,6

2 75 100 70 300 +

= = =

+

i i

i

y A mm mm mm mm mm mmy mmA mm mm mm mm

Momento resistente 3 2( ) 2,04 10 420000 (0,54 0,1 ) 377

0,9 377339,3

yn s

u n

u

M A f d y m KPa m m KN mM M KN mM KN m

= = =

= =

=



8. CARGAS

Provisiones de seguridad Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseados para llevar algo de carga de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo estructural.

Las consecuencias de la falla.

La variabilidad en la carga.

La variabilidad en la resistencia.

Especificaciones Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus cdigos de construccin en uno de los 3 cdigos modelo:

Uniform Building Code.

Basic Building Code (BOCA). Standard Building Code.

Estos cdigos se han consolidado en el 2000 International Building Code.

Las cargas en estos cdigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, las cuales han sido actualizadas para ASCE 7-02.

En Colombia a nivel de normativa tenemos:

Cdigo Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.

Normas Colombianas de Diseo y Construccin Sismo-resistente NSR-98.

Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.

Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga" para determinar la carga ltima.



NSR-10

Captulo B.2 COMBINACIONES DE CARGA

B.2.2 NOMENCLATURA

D = carga muerta consistente en:

(a) peso propio del elemento.

(b) peso de todos los materiales de construccin incorporados a la edificacin y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones divisorias de espacios.

(c) peso del equipo permanente.

E = fuerzas ssmicas reducidas de diseo (E = Fs/ R) que se emplean para disear los miembros estructurales.

F = cargas debidas al peso y presin de fluidos con densidades bien definidas y alturas mximas controlables.

G = carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribucin del empozamiento.

L = cargas vivas debidas al uso y ocupacin de la edificacin, incluyendo cargas debidas a objetos mviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reduccin que se permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en cuenta en la carga viva L.

Le = carga de empozamiento de agua.

Lr = carga viva sobre la cubierta.

H = cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua fretica o de materiales almacenados con restriccin horizontal.

T = fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variacin de temperatura, retraccin de fraguado, flujo plstico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o combinacin de varios de estos efectos.

W = carga de viento.



B.2.4 COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MTODO DE RESISTENCIA

B.2.4.1 APLICABILIDAD Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la seccin B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el reglamento de diseo del material, con la excepcin de aquellos casos en que el Reglamento indique explcitamente que deba realizarse el diseo utilizando el mtodo de los esfuerzos de trabajo. Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la seccin B.2.3.1.

Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas menores que los que prescriba el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de los materiales estructurales en esta nueva versin del Reglamento (NSR-10) se han prescrito valores de los coeficientes de reduccin de resistencia, , menores que los que contena el Reglamento NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla estructural que limita el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las

nuevas ecuaciones de combinacin de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de reduccin de resistencia, , que contena la NSR-98.

B.2.4.2 COMBINACIONES BSICAS El diseo de las estructuras, sus componentes y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseo igualen o excedan los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes combinaciones: 1.4 (D+F) (B.2.4-1) 1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr G Le) (B.2.4-2) 1.2D+1.6 (Lr G Le) + (L 0.8W) (B.2.4-3) 1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr G Le) (B.2.4-4) 1.2D+1.0E+1.0L (B.2.4-5) 0.9D+1.6W+1.6H (B.2.4-6) 0.9D+1.0E+1.6H (B.2.4-7)

Las ecuaciones ms generales de la carga ltima que van a ser ms utilizadas en este libro son:

U = 1.4DU = 1.2D + 1.6L



RESISTENCIA Los factores de carga van a generar la carga ltima, que se utiliza en el diseo y anlisis de los elementos estructurales.

u nM M= Momento ltimoMomento Nominal Factor de Reduccin de Resistencia

-

-

-

u

n

MM

El factor de reduccin de la resistencia, , vara de miembro a miembro, dependiendo si est en tensin o compresin o dependiendo tambin del tipo de miembro.

Tres posibilidades en el comportamiento inelstico de vigas de concreto reforzado

Falla a compresin.

Falla a tensin.

Falla balanceada.

Falla a compresin

El acero entra en fluencia despus de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo repentino (frgil). La viga es conocida como una viga sobrereforzada.

Figura 72

Falla a tensin

El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de compresin secundaria. La viga es conocida como una viga subreforzada.



Figura 73

Falla balanceada

El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como una

viga en condicin balanceada.

Figura 74

La falla a tensin de la viga subreforzada es la ms conveniente. Es un tipo de falla que permite soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente apreciada antes del colapso de la viga.



Figura 75



9. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS

Cuanta balanceada

bal = Valor nico cuando se presentan simultneamente las siguientes condiciones:

c

s

0,003 = = y

Usando la relacin de tringulos semejantes:

0 003=

y

b b

,

c d c

Figura 76

La ecuacin puede ser rescrita para encontrar bc

( )( ) ( )

( ) ( )

0 003 0 003

0 003 0 003

0 003 0 0030 003 0 003

0 003 6006000 003

b y b

b y

bb

y y

b s

sy y

, d , c c

c , , dc, d ,

c d, ,

c E,d E f,

=

+ =

= =+ +

= = ++



Ecuacin de momento nominal

0,85

0,85

2

y

y

y

c s

s

c

n s

C T f b a A fA f

a f baM A f d

= =

=

=

La ecuacin puede ser tambin escrita en la forma:

1,72 yy

s sn

c

A b f A dM f d db d d f b d

=

Utilizando la relacin ybr = d

( ) ( )1,7

2 yync

f dM f r d d f =

Utilizando yc

f = f y

( )( ) ( )

11,7

1 0,59

3

3

n c

n c

M r f d

M r f d

=

=

Utilice la relacin ybr = Kd

( )2

1 0,59n

c

M KbdK f

=

=

Esta simplificacin es comnmente usada en tablas de diseo de vigas de concreto reforzado.



Cuanta Mnima mn (NSR-10)

C.10.5 Refuerzo mnimo en elementos sometidos a flexin

C.10.5.1 En toda seccin de un elemento sometido a flexin cuando por anlisis se requiera refuerzo de traccin, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

,min0, 25

S wy

cfA b df= (C.10-3)

Pero no menor a 1, 4 wy

db f

C.10.5.2 Para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, As no debe ser menor que el valor dado por la ecuacin (C.10-3) remplazando bw por 2bw o el ancho del ala, el que sea menor.

C.10.5.3 Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada seccin el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por anlisis.

Determinacin del coeficiente de reduccin de resistencia

Figura 77



Factores de reduccin de resistencia

NSR-10 C.9.3 Resistencia de diseo

Tensin Axial = 0.90 Compresin axial

Miembro con refuerzo en espiral = 0.75 Otros miembros de refuerzo = 0.65

Cortante y torsin = 0.75

NSR-10

C.9.3 Resistencia de diseo

C.9.3.4 Para estructuras con capacidad de disipacin de energa moderada (DMO) o especial (DES) que dependen de muros estructurales, construidos en sitio o prefabricados, o prticos resistentes a momento para resistir los efectos ssmicos, E, debe modificarse de acuerdo con lo indicado en (a) hasta (c):

(a) En cualquier elemento estructural que se disee para resistir E, para cortante debe ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexin del elemento. La resistencia nominal a flexin debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas ms crticas e incluyendo E;

(b) En diafragmas para cortante no debe exceder el mnimo para cortante usado para los elementos verticales del sistema primario de resistencia ante fuerzas ssmicas;

(c) En nudos y vigas de acople reforzadas en forma diagonal para cortante debe ser 0,85.

Limitaciones relacionadas con la relacin de refuerzo,

La seleccin del acero ser determinado por el lmite inferior de la siguiente forma:

ws(min) w

0,25 1, 4

y y

cf b dA b df f=

son en & yc MPaf f



Valor muy pequeo para As ( )n crM < M

s es muy grande (grandes deflexiones)

Cuando la viga se agrieta ( )n crM > M la viga falla inmediatamente porque ( )n crM < M

Requisitos adicionales para el valor de cuanta mnima

Si el (suministrado) (requerido por diseo)4 3

s sA A

Basado en el anlisis, entonces el As

(min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3

4

3n uM M Para el (suministrado) sA

NSR-10

C.7.12 Refuerzo de retraccin y temperatura

C.7.12.1 En losas estructurales donde el refuerzo a flexin se extiende en una sola direccin, se debe colocar refuerzo normal al refuerzo a flexin para resistir los esfuerzos debidos a retraccin y temperatura.

C.7.12.1.1 El refuerzo de retraccin y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2 C.7.12.3.

C.7.12.1.2 Cuando los movimientos por retraccin y temperatura estn restringidos de manera significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3.

C.7.12.2 El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de retraccin y temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente:

C.7.12.2.1 La cuanta de refuerzo de retraccin y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados a continuacin, pero no menos que 0,0014:

(a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350: 0,0020

(b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de alambre:

0,0018



(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa, medida a una deformacin unitaria de 0,35 por ciento:

0,0018 420yf

C.7.12.2.2 El refuerzo de retraccin y temperatura no debe colocarse con una separacin mayor de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.

C.7.12.2.3 En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retraccin y temperatura debe ser capaz de desarrollar fy en traccin de acuerdo con el Captulo C.12.

C.7.12.3 El acero de preesforzado, que cumpla con C.3.5.6, empleado como refuerzo de retraccin y temperatura, debe suministrarse de acuerdo con lo siguiente:

C.7.12.3.1 Se deben disear los tendones para que produzcan un esfuerzo promedio de compresin mnima de 0,7 MPa en el rea bruta del concreto usando esfuerzos de preesforzado efectivo, despus de las prdidas, de acuerdo con C.18.6.

C.7.12.3.2 El espaciamiento entre los tendones no debe exceder 1,8 m.

C.7.12.3.3 Si el espaciamiento entre los tendones excede 1,4 m se debe colocar refuerzo adherido adicional de retraccin y temperatura, de acuerdo con C.7.12.2, entre los tendones en los bordes de la losa, en una zona que se extiende desde el borde en una distancia igual al espaciamiento entre los tendones.



10. PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS

1. Ubicacin del refuerzo

Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (regin del concreto sometida a traccin). Los esfuerzos de traccin en el concreto pueden ser debidos a:

a) Flexin b) Carga axial c) Retraccin de fraguado.

2. Aspectos constructivos

La formaletera es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en varios pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales. La formaletera no viene en dimensiones intermedias diferentes a mltiplos de 50 mm y 100 mm.

3. Alturas o espesores de las vigas

TABLA C.9.5(a) Alturas o espesores mnimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una direccin a menos que se calculen las deflexiones

Espesor mnimo, h Simplemente

apoyados Con un extremo

continuo Ambos extremos

continuos En voladizo

Elementos Elementos que NO soporten o estn ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en una direccin

20

24

28

10

Vigas o losas nervadas en una direccin

16

18.5

21

8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue:

(a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1,65-0,0003wc), pero no menos de 1.09.

(b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0,4 + fy/700)



NSR-10

C.10.4 Distancia entre los apoyos laterales de elementos sometidos a flexin

C.10.4.1 La separacin entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces el menor ancho b del ala o cara de compresin.

C.10.4.2 Deben tomarse en cuenta los efectos de la excentricidad lateral de la carga al determinar la separacin entre los apoyos laterales.

Las dimensiones de la viga de seccin transversal b y h son por lo general en mltiplos de 50mm o 100mm para facilidad de encofrado.

Figura 78

4. Recubrimiento del acero de refuerzo

El recubrimiento es igual a la dimensin entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo.

Por qu es necesario el recubrimiento?

a) Para adherir el refuerzo al concreto. b) Para proteger el refuerzo contra la corrosin. c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan prdida de la

resistencia). d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fbricas, etc. dan cuenta del control para

la abrasin y el desgaste.



NSR-10 C.7.7 Proteccin de concreto para el refuerzo

C.7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado).

A menos que en C.7.7.6 C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:

Recubrimiento de concreto, mm

(a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a l: 75 mm

(b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie: Barras No. 6 (3/4) 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm): 50 mm

Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambre MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y menores 40 mm

(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:

Losas, muros, viguetas: Barras No. 14 (1-3/4) 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm) 40 mm

Barras No. 11 (1-3/8) 36M (36 mm) y menores 20 mm

Vigas, columnas: Armadura principal, estribos, espirales

40 mm

Cscaras y placas plegadas: Barra No. 6 (3/4) 20M (20 mm) y mayores 20 mm

Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambres MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y menores 13 mm



5. Lmites del espaciamiento del refuerzo

NSR-10

C.7.6 Lmites del espaciamiento del refuerzo

C.7.6.1 La distancia libre mnima entre barras paralelas de una capa debe ser db , pero no menor de 25 mm. Vase tambin C.3.3.2.

C.7.6.2 Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o ms capas, las barras de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre capas no menor de 25 mm.

C.7.6.3 En elementos a compresin reforzados con espirales o estribos, la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de

1,5 db, ni de 40 mm. Vase tambin C.3.3.2.

C.7.6.4 La limitacin de distancia libre entre barras tambin se debe aplicar a la distancia libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.

C.7.6.5 En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separacin del refuerzo principal por flexin no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450 mm, excepto que en secciones crticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el espesor de la losa (vase el Captulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en losas la separacin mxima no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm (vase C.7.12).



Dimensiones mnimas de recubrimiento del acero de refuerzo

Interior de la viga

Figura 79

Disposicin inadecuada del acero de refuerzo

Figura 80



C.3.3 Agregados

C.3.3.1 Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas: (a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33),

(b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330).

Se permite el uso de agregados que han demostrado a travs de ensayos o por experiencias prcticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean aprobados por el Supervisor Tcnico.

C.3.3.2 El tamao mximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a:

(a) 1/5 de la menor separacin entre los lados del encofrado, ni a

(b) 1/3 de la altura de la losa, ni a

(c) 3/4 del espaciamiento mnimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo, paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.

Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para disear la trabajabilidad y los mtodos de compactacin son tales que el concreto se puede colocar sin la formacin de hormigueros, vacos o segregacin en la mezcla.

Figura 81



EJEMPLO 6

Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-10. Analizar la misma viga si fc = 41MPa.

2

214202550

y

c

s

f MPaf MPaA mm

=

=

=

Cuanta de la viga

( ) ( )22550 0,0187

350 390sA mm

bd mm mm = = =

Cuanta mnima

cumple

1, 4 21 1, 40,0027 0,0033 (C.10.5)4 4 420 420

0,0033 0,0187 0,003

mn

mn

y y

cf MPaf f MPa

= = =

= >

Localizacin eje neutro

2

1

420 2550 1710,85 0,85 21 350

171 2010,85

201 0,52390

ys

c

la viga no es subreforzada

A f MPa mma mmf b MPa mm

a mmc mm

c mm

d mm

= = =

= = =

= =



La deformacin en el acero de refuerzo es:

390 2010,003 0,003 0,0028 201

= = =

s

d c mm mmc mm

La viga est trabajando en la zona de transicin cerca a la zona de compresin =0,65 la relacin c/d es mayor a 0,375 por lo tanto es recomendable redisear la viga. La otra opcin es disear la viga calculando el valor correspondiente al coeficiente de reduccin de resistencia, lo cual implicara una viga trabajando en la zona a compresin, lo cual no es muy recomendable.

Para el caso fc = 41MPa

22550 0,0187350 390

sA mmbd mm mm

= = =

Cuanta mnima

( )1,4 41 1,40,0038 0,0033

4 4 420 4200,0038 0,0187 0,0038 cumple

mn

mn

y y

cf MPaf f MPa

= = =

= >

Localizacin del eje neutro

2

1

420 2550 880,85 0,85 41 350

88 1160,76

116 0, 297390

y

c

As f MPa mma mmf b MPa mm

a mmc mm

c mm

d mm

= = =

= = =

= =

La deformacin del acero es:

390 1160,003 0,003 0,0071 116

= = =

s

d c mm mmc mm

La viga est ubicada en la zona de tensin ( =0,9). Esta segunda conformacin de viga corresponde a un diseo de acuerdo con la NSR-10.



EJEMPLO 7

Determinar el valor de L que causa que la seccin alcance Mn

Notas aclaratorias: Utilizar concreto fc=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida WL se aplican en toda la longitud de

la viga simplemente apoyada

Cuanta de la viga 21530 0,0187

300 440sA mm

bd mm mm = = =

Cuanta mnima

cumple

1, 4 21 1,40,0027 0,00334 4 420 420

0,0033 0,0116 0,0033

mn

mn

y y

cf MPaf f MPa

= = =

= >

Equilibrio de fuerzas =T C21530 4200,85 120

0,85 0,85 21 300y

ys

s cc

A f mm MPaA f f a b a a mmf b MPa mm

= = = =

Localizacin eje neutro 1 para0,85 28cf MPa =

1

120 1410,85

= = =

a mmc mm

420yf MPa=21cf MPa=

3 No. 8

d = 440 mm

WD = 15 KN/m (incluye peso de la viga) WL = 20 KN/m

L=?

b = 300 mm



Verificacin falla tensin

La viga esta trabajando en la zona de tensin

141 0,32 0,375440

440 1410,003 0,003 0,007 141

0,9

s

c mm

d mmd c mm mm

c mm

= =

Facilidad de construccin

Las barras de las esquinas son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.



Efecto de la adicin de refuerzo a compresin

Comparar la distribucin de deformaciones en dos vigas con el mismo As

Figura 85

Seccin 1

c1 1 1

11

0,85 0,85

0,85

s s

c c

s s

c

T A fT C f b a f b c

A fc f b

=

= = =

=

Seccin 2

c1

2

1 2

21

0,85

0,85

0,85

s s

s s c

s s c

s s s s

c

T A fT C C

A f f b aA f f b c

A f A fc f b

=

= +

= +

= +

=

Adems de que As refuerza la zona de compresin de modo que es necesario menos concreto para resistir un determinado valor de T.

El eje neutro asciende 2 1(c < c ) y s incrementa s2 s1( ) >



Cuatro posibles modos de falla

Subreforzado Caso 1: Acero a tensin y compresin fluyen. Caso 2: Slo el acero a tensin fluye.

Sobrereforzado Caso 3: Slo el acero a compresin fluye. Caso 4: Falla del concreto.

Anlisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas

Comprobacin de compatibilidad de deformaciones: asumir s' usando tringulos semejantes

( )( )s

s

' 0,0030,003

'

= =

c dc d c c

Figura 86

( )

( )( )

( )( )

c s

1

1

1

0,85

0,85'

0,85

y

y

y

s s

c

s s

c

c

A A fT C C a f b

ac

A A fc f b

d fc f

= + =

=

=

=



La deformacin en el acero de compresin es:

( )( )

s cu

1s

1

0,851 0,003

' y

c

dc

f dd f

=

=

Figura 87

Verificacin:

( )( )

( )( )

( ) ( )

1s

s

1

1

0,851 0,003

'

0,851 0,003

' 200000

0,85 600'

600

ys

y

y

y

y

y

y y

c

c

c

fE

f dd f

f d fd f

f dd f f

=

=

Si la afirmacin es verdadera, entonces:

( ) ( )2y yn s saM A As f d A f d d = +



De otro modo la deformacin en el acero de compresin es:

ssf E=

Calcular el esfuerzo en el acero de compresin.

( )( )1 0,85200000 1 0,003

' y

cs

f dfd f

=

Volver atrs y calcular el equilibrio con fs

( )c s

0,85

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