Estructuras de Hormigon Losas y Cimentaciones

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: LOSAS Y CIMENTACIONES Programa de Ingeniería Civil - UdeA

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E. Página 1

TABLA DE CONTENIDO

1. LOSAS .................................................................................................................................. 2

2. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN ......................................................................... 4

3. LOSAS EN DOS DIRECCIONES ....................................................................................... 24

4. CIMENTACIONES ............................................................................................................. 52

5. CIMENTACIONES SUPERFICIALES................................................................................ 53

6. CIMENTACIONES PROFUNDAS ..................................................................................... 57

7. VIGAS DE FUNDACIÓN ................................................................................................... 59

8. DISEÑO DE ZAPATAS ...................................................................................................... 65



1. LOSAS

Clasificación

Sistemas de soporte a cargas verticales

• Placa plana

• Losa plana (con ábacos y/o capiteles)

• Losa aligerada armada en una dirección

• Losa aligerada armada en dos direcciones

Un sistema de losas puede tener pórticos cargueros y/o pórticos sísmicos.

Comportamiento

• Losa en una dirección

Figura 1

Principio de franja unitaria

Se asume que una franja unitaria cortada de tal forma que forme ángulos rectos con las vigas de

apoyo, puede ser considerada como una viga rectangular de ancho unitario con altura h igual al

espesor de la losa y una luz lx. Esta simplificación en la cual se toma una franja unitaria se debe

apoyar en la suposición una relación de Poisson igual a cero.

Figura 2



• Losa en dos direcciones

Principio de compatibilidad de deformaciones:

4 45 5;

384 384

l s

s s l ll s s l

w l w l

EI EI

δ δ

δ δ δ δ δ

=

× × × ×= = ⇒ = =× ×

4 44 4

4 4 4 4

4

4 4

s l total

s l s ls s l

s l s l total s l

l s

total s l

w w w

w l w lw l w l

w w l l w l l

w l

w l l

+ =

× = × ⇒ = ⇒ =+ + +

=+

Suponer:

4 4

4 4 4 4

1 11

2 2l s l l s

s total l l total s s

l w l w l

l w l l w l l= ⇒ = = ⇒ = =

+ +

4 4

4 4 4 4

16 16 12

16 17 16 17l s s l s

s total s s total s s

l w l w l

l w l l w l l= ⇒ = = ⇒ = =

+ +

Es importante resaltar sí 2l sl l > , es mejor tomar la losa con un comportamiento en una sola

dirección. La relación entre luces es lo que define si el comportamiento es en una o dos

direcciones.

Figura 3



2. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN

Conceptos generales

Alternancia de cargas

Debido a la naturaleza variable de la carga viva, en algunos casos cuando la carga viva es

considerable en magnitud con respecto a la carga muerta, es necesario hacer un análisis de

alternancia de cargas. Es posible realizar este análisis utilizando líneas de influencia.

Figura 4



Formación de rotulas plásticas Las viguetas no forman parte del sistema de resistencia sísmica de la edificación. La vigueta debe

diseñarse para estas consideraciones, pero a la vez debe controlar fisuramiento en la unión viga-

vigueta, en las condiciones de servicio, es decir, la vigueta debe comportarse como simplemente

apoyada pero con cierto momento para evitar la fisuramiento, el cual de llegarse a presentar puede

resultar muy costoso si afecta pisos y acabados.

Diseño losas en una dirección (C.13.1.6)

Una losa se considera que trabaja en una dirección cuando se cumple una de las siguientes

condiciones:

• Cuando tiene dos bordes libres, sin apoyo vertical, y tiene vigas o muros, en los otros dos

bordes opuestos aproximadamente paralelos. C.13.1.6.1.

• Cuando el panel de losa tiene forma aproximadamente rectangular con apoyo vertical en sus

cuatro lados, con una relación de la luz larga a la luz corta mayor que 2. C.13.1.6.2.

• Cuando una losa nervada tiene sus nervios principalmente en una dirección. C.13.1.6.3.

Dimensionamiento

Para determinar el espesor de una losa armada en una dirección se puede efectuar un análisis de

deflexiones o utilizar los valores dados en la tabla C.9.5(a).

TABLA C.9.5(a) – Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones

Espesor mínimo, h Simplemente

apoyados Con un extremo

continuo Ambos extremos

continuos En voladizo

Elementos Elementos que NO soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de

elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en una dirección

�

20

�

24

�

28

�

10

Vigas o losas nervadas en una dirección

�

16

�

18.5

�

21

�

8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: (a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los

valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003wc), pero no menos de 1.09. (b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy/700)



Determinación cargas de diseño

• Las cargas de los elementos no estructurales se deben obtener con base a lo planteado en el

título B de la NSR-10.

• Se deben realizar análisis completos usando las densidades, volúmenes y pesos de los

elementos no estructurales.

• Realizar análisis por cargas mínimas.

• Seleccionar las cargas vivas según el tipo de uso u ocupación (tabla B.4.2.1-1) recordando que

estos valores son las cargas vivas mínimas. En bodegas es usual y recomendado tomar como

carga muerta adicional el 25% de la carga viva.

Refuerzo longitudinal de la losa C.13.3

• El área de refuerzo en cada dirección para sistemas de losas en dos direcciones debe

determinarse a partir de los momentos en las secciones críticas, pero no debe ser menor que la

requerida en C.7.12.2.1. C.13.3.1.

• El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe exceder de 2 veces el espesor de

la losa, excepto para aquellas porciones de la superficie de la losa nervadas o celulares. El

refuerzo de la losa localizado sobre los espacios celulares debe colocarse como se requiere en

C.7.12. C.13.3.2.

• El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo debe prolongarse

hasta el borde de la losa y tener una longitud embebida recta o en gancho, de por lo menos 150

mm en las vigas, muros o columnas perimetrales. C.13.3.3

• El refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe doblarse, formar

ganchos o anclarse en las vigas, muros o columnas perimetrales, para que desarrolle su

capacidad a tracción en la cara del apoyo, de acuerdo con las disposiciones del Capítulo C.12.

C.13.3.4

• Cuando la losa no esté apoyada en una viga perimetral o muro en un borde discontinuo, o

cuando la losa se proyecte en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del refuerzo

dentro de la losa. C.13.3.5



• En muros y losas excepto las nervadas la separación del refuerzo principal por flexión no debe

ser mayor a 3 veces el espesor del muro o losa ni menor que 450mm C.7.6.5

Refuerzo por temperatura C.7.12

El refuerzo por contracción y temperatura debe colocarse debido a efectos de retracción que se

generan a medida que la pasta de cemento se endurece provocando esfuerzos de tracción en el

concreto de la losa, estos esfuerzos son conocidos como esfuerzos de retracción que generan

fisuramiento en el concreto.

• En losas estructurales donde el refuerzo a flexión se extiende en una sola dirección, se debe

colocar refuerzo normal al refuerzo a flexión para resistir los esfuerzos debidos a retracción y

temperatura. C.7.12.1

• El refuerzo de retracción y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2 ó C.7.12.3.

C.7.12.1.1

• Cuando los movimientos por retracción y temperatura están restringidos de manera

significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3. C.7.12.1.2

• El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de retracción y

temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente C.7.12.2:

• La cuantía de refuerzo de retracción y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados

a continuación, pero no menos que 0.0014 C.7.12.2.1:

(a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350 = 0.0020

(b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de

alambre=0.0018

(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa,

medida a una deformación unitaria de 0.35 por ciento 0.0018 x420/fy

• El refuerzo de retracción y temperatura no debe colocarse con una separación mayor de 5 veces

el espesor de la losa ni de 450 mm. C.7.12.2.2

• En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retracción y temperatura debe ser

capaz de desarrollar fy en tracción de acuerdo con el Capítulo C.12. C.7.12.2.3



Requisitos adicionales - Protección del refuerzo C.7.7

• Recubrimiento de refuerzo si la losa esta contra el suelo o a la intemperie debe ser como

mínimo 75mm C.7.7.1.

• Si las barras del refuerzo son menores que la número 11 el recubrimiento debe ser como

mínimo 20 mm.

• Para barras mayores que numero 11 el recubrimiento debe ser como mínimo 40 mm.

• El corte del refuerzo en losas y viguetas se realiza igual al de una viga que no forma parte del

sistema de resistencia sísmica de la edificación.

Losas armadas en una dirección

• Losas macizas: estas losas se usan en el diseño de escaleras o en entrepisos y cubiertas

correspondientes a luces muy pequeñas, ya que en luces considerables se generan altos costos,

otro aspecto es que aumentan en forma considerable la masa de la estructura. También son muy

usadas para ubicar cargas concentradas como tanques de almacenamiento de agua potable. Para

el análisis y diseño de este tipo de losas se usa el método de franja unitaria, en el cual se toma

una franja de la losa como una viga y se diseña a flexión, siendo una viga de poco peralte con

un ancho b, para el diseño supuesto unitario, de espesor h y altura efectiva d. En la norma

NSR-10 en el titulo E.5 se proporcionan procedimientos simplificados para el

dimensionamiento y cálculo de este tipo de losas.

• Losas aligeradas: logran reducción de la masa del entrepiso suprimiendo parte del concreto

con ayuda de elementos de menor peso. Si la losa aligerada lleva loseta inferior debe cumplir

con las disposiciones de la NSR-10 y como mínimo se debe reforzar con alambrón cada 300

mm en ambas direcciones o con malla de gallinero con ojo de 25 mm y tener un espesor

mínimo de 20 mm y máximo de 30 mm. E.5.1.5. La placa superior debe cumplir con los

requerimientos de la NSR-10 y se puede diseñar a flexión y cortante asumiendo que la loseta es

una viga doblemente empotrada con una luz libre igual al ancho del aligeramiento.

Dimensionamiento de viguetas

• Los nervios principales y los nervios transversales o riostras, de losas nervadas en una

dirección, no pueden tenerse en cuenta para efectos de rigidez ante fuerzas horizontales del

sistema de resistencia sísmica. El elemento, paralelo a la viguetería, que enlaza las columnas,



debe cumplir los requisitos para vigas dados en el Capítulo C.21 y su rigidez puede tenerse en

cuenta en el análisis ante cargas horizontales.

• El ancho de las nervaduras no debe ser menor de 100 mm en su parte superior y su ancho

promedio no puede ser menor de 80 mm; y debe tener una altura no mayor de 5 veces su ancho

promedio. C.8.13.2.

• Para losas nervadas en una dirección, la separación máxima entre nervios, medida centro a

centro, no puede ser mayor que 2.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.20 m. Para

losas nervadas en dos direcciones, la separación máxima entre nervios, medida centro a centro,

no puede ser mayor que 3.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.50 m. C.8.13.3

• Cuando se trate de losas nervadas en una dirección, deben colocarse viguetas transversales de

repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor total de la losa, sin exceder

4.0 m. C.8.13.3.1

• Estas viguetas transversales de repartición deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal

manera que sean capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a los

dos nervios adyacentes. C.8.13.3.2

• En el diseño de los elementos donde se apoyen estas viguetas transversales de repartición debe

considerarse el efecto de la carga que puedan transportar considerando una carga aferente

equivalente al doble de la carga total que lleva un nervio típico principal. C.8.13.3.3

• Las losas nervadas que no cumplan con las limitaciones de C.8.13.1 a C.8.13.3, deben

diseñarse como losas y vigas. C.8.13.4

• Cuando se empleen aligeramientos fabricados con arcilla cocida u concreto que tengan una

resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al f’c de las viguetas: C.8.13.5

• Se permite incluir la pared vertical del elemento de aligeramiento que está en contacto con la

vigueta en los cálculos de resistencia al cortante y momento negativo. Ninguna otra parte de los

aligeramientos debe incluirse en los cálculos de resistencia. C.8.13.5.1.

• La porción vaciada en sitio de la loseta superior debe tener al menos 45 mm de espesor, pero

ésta no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. El espesor de la losa de

concreto vaciada en sitio sobre aligeramientos permanentes de concreto, de arcilla cocida, o



plaquetas prefabricadas, la parte vaciada en sitio del espesor mínimo de la loseta superior

puede reducirse a 40 mm. C.8.13.5.2

• Cuando se utilicen encofrados o aligeramientos removibles que no cumplan con C.8.13.5: El

espesor de la losa no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre las nervaduras, ni

menor de 50 mm. C.8.13.6.1

• La losa debe llevar refuerzo perpendicular a las viguetas que cumpla lo requerido por flexión,

considerando las concentraciones de carga, si las hay, pero no menor que el que se estipula en

C.7.12. C.8.13.6.2

• Cuando en la losa se coloquen ductos o tuberías embebidas según lo permitido en C.6.3, el

espesor en cualquier punto de ésta debe ser al menos 25 mm mayor que la altura total del ducto

o tubería. Tales ductos o tuberías no deben afectar significativamente la resistencia del sistema.

C.8.13.7.

Análisis para losas en una dirección

• Se permite diseñar un sistema de losas mediante cualquier procedimiento que satisfaga las

condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, si se demuestra que la resistencia de

diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida en C.9.2 y C.9.3, y se

cumplen todas las condiciones de funcionamiento incluyendo los límites especificados para las

deflexiones. C.13.5.1

• El diseño para cargas gravitacionales de sistema de losas, incluyendo la losa y las vigas

(cuando las hay) entre apoyos, y las columnas de apoyo o muros que formen pórticos

ortogonales, se puede hacer mediante el Método de diseño directo de C.13.6 o el Método del

Pórtico Equivalente de C.13.7. C.13.5.1.1

• La losa y las vigas (si las hay) entre los apoyos deben diseñarse para los momentos mayorados

dominantes en cada sección.C.13.5.2

• Cuando la carga gravitacional, viento, sismo u otras fuerzas laterales causen transferencia de

momento entre la losa y la columna, una fracción del momento no balanceado debe ser

transferida por flexión, de acuerdo con C.13.5.3.2 y C.13.5.3.3. C.13.5.3

• El diseño para la transmisión de carga desde la losa a los muros y columnas de apoyo por

medio de cortante y torsión debe estar de acuerdo con el Capítulo C.11. C.13.5.4.



Análisis aproximado para losas en una dirección C.13.5.5

• Las losas que trabajan en una dirección, macizas o aligeradas, construidas monolíticamente con

sus apoyos, pueden analizarse como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a

las luces libres de la losa y despreciando el ancho de las vigas y su efecto torsional. C.13.5.5.1

• En lugar de un análisis detallado, en las losas en una dirección pueden utilizarse los siguientes

momentos y cortantes aproximados en lugar de un método más exacto de análisis, siempre y

cuando se cumplan los siguientes requisitos: C.13.5.5.3

(a) Haya dos o más vanos,

(b) Los vanos son aproximadamente iguales, sin que el mayor de los vanos adyacentes exceda

en más de 20 por ciento al menor,

(c) Las cargas estén uniformemente distribuidas,

(d) La carga viva no mayorada L no exceda en 3 veces la carga muerta no mayorada D,

(e) Los elementos sean prismáticos.

Metodología de los coeficientes de cortante y momento de acuerdo a la ACI

2( )u m u nM C W l=

2u n

u v

W lV C

=

uW Carga viva y muerta total mayorada por unidad de longitud

mC Coeficiente de momento

vC Coeficiente de cortante

nl Longitud del tramo abierto para el tramo en cuestión para - uM en la cara interior del

soporte exterior, + uM y uV

nl Promedio de la longitud tramo abierto para tramos adyacentes para - uM en los

soportes interiores.

Para el cálculo de los momentos negativos, ln se toma como el promedio de las luces libres de

los vanos adyacentes.



Momento positivo Vanos extremos

El extremo discontinuo no está restringido…....................................................................... 2u nw /11ℓ

El extremo discontinuo es monolítico con el apoyo…....................................................... 2u nw /14ℓ

Vanos interiores......................................................................................................................... 2u nw /16ℓ

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior

Dos vanos..................................................................................................................................... 2u nw / 9ℓ

Más de dos vanos....................................................................................................................... 2u nw /10ℓ

Momento negativo en las demás caras de apoyos interiores..................................................... 2

u nw /11ℓ

Momento negativo en la cara de todos los apoyos para: Losas con luces que no excedan de 3 m, y vigas en las cuales la relación entre la suma de las rigideces de las columnas y la rigidez de la viga, exceda de 8 en cada extremo del vano. ........................................................................................................................................... 2

u nw /12ℓ

Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para los elementos construidos monolíticamente con sus apoyos

Cuando el apoyo es una viga de borde.. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2u nw / 24ℓ

Cuando el apoyo es una columna............................................................................................. 2u nw /16ℓ

Cortante en elementos extremos en la cara del primer apoyo interior................................u n1.15w / 2ℓ

Cortante en la cara de todos los demás apoyos .........................................................................

u nw / 2ℓ

EJEMPLO 1

Determinar los momentos de diseño de una losa de entrepiso que se va a construir para una

vivienda de uso residencial con particiones en mampostería, la losa se encuentra apoyada sobre

muros de mampostería con un espesor de 150 mm, estos muros se encuentran separados entre sí

3200 mm, f´c= 21MPa y fy= 420MPa.

Dimensionamiento losa

del tipo de vigueta más crítico (C.9.5(a))3200

= = 0,216

mmh m

Se usará una losa aligerada de 200 mm de espesor con aligeramiento en ladrillos de arcilla huecos

de 150 200 400× × mm, peso promedio de cada ladrillo es 10 kg y una placa superior con un

espesor de 50 mm.

Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3

200 5 100 500h mm mm mm= ≤ × =



100 100

500 2,5 2,5 200 500

500 1200

b mm mm

s mm h mm mm

s mm mm

= ≥= ≤ × = × == ≤

Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2

50 40

40050 20

20 20l

t mm mm

s mmt mm = mm

= ≥

= ≥ =

Determinación de las cargas

Elementos no estructurales tabla B.3.4.3-1. Cuando la altura de entrepiso es igual o inferior a 3 m y

la losa tiene un uso residencial las cargas son:

2 2Muros Pisos= 3 =1,6 KN m KN m

2

2

2

2

Peso losa: peso loseta + peso vigueta + pesoladrillos

Peso loseta

Peso vigueta

Peso ladrillos

Peso losa

= 0,05×2,4=0,12

= 0,1×0,15×2,4/0,5=0,072 ;

= 2×5×0,1=1 ;

=0,12+0,072+1 = 1,192

KN m

KN m

KN m

KN m

2

2

Carga viva (Tabla B.4.2.1-1)

Carga última,

= 1,8

= 1,2×(3+1,6+1,192)+1,6×1,8 = 9,8 u

KN m

W KN m

Con una separación de 500 mm la carga linealmente distribuida sobre las viguetas es:

u 0,5 4,9 -W KN m× =

Momento máximo negativo en los extremos apoyados en los muros C.13.5.5.3

2×= =2,1 -

24

W lM KN m

Momento máximo positivo

2×= =6,3 -

8

W lM KN m



EJEMPLO 2

Diseñar la losa armada en una dirección de la planta estructural mostrada en la figura 5 sobre la

cual actúa una carga viva en los balcones de 5 KN/m2 y en los interiores de 1,8 KN/m2, las

columnas están dimensionadas con una sección cuadrada de 250 mm, la estructura se encuentra

ubicada en una zona de amenaza sísmica intermedia. f´c= 21MPa y fy= 420MPa.

Nota: Longitud máxima de barras 9 m.

Figura 5

El espesor de la losa está dado por los valores de la tabla C.9.5-(a) de la NSR-10.

h = (4,05-0,25)/18,5 = 205,4 mm, el espesor de la losa se tomará de 250 mm.

Características de la losa

• Ladrillo de (200 x 200 x 400) mm.

• Viguetas de 100 x 250 mm separadas cada 500 mm desde ejes.

• Placa superior de 50 mm con varillas N° 2 cada 300 mm.

Figura 6



Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3

250 5 100 500 h mm mm mm= ≤ × =

100 100

500 2,5 = 2,5 250 625

500 1200

b mm mm

s mm h mm mm

s mm mm

= ≥= ≤ × × == ≤

Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2

50 40

400 50 = 20

20 20l

t mm mm

s mmt mm mm

= ≥

= ≥ =

Distribución de viguetas

Figura 7



Cargas sobre las viguetas

Carga muerta

Viguetas: en cada m2 de losa caben 2 viguetas.

3 2 2

21 0,1 0,2 24 0,96

1

KN KNWvigueta m m m

m m m = × × × × =

27,76

KN

m

Ladrillo: el ladrillo usado pesa 10 Kg y caben 10 ladrillos por m2.

2

2 2

10 1010 1,00

1

mKg Vol KNsWladrillo

Vol m m

× = × × =

Placa superior: se usa concreto reforzado.

3 20,05 24 1,20

KN KNWplaca m

m m= × =

Se toma una carga de 3,00 KN/m2 para muros y 1,60 KN/m2 para pisos asumiendo altura entrepiso menor de 3 metros.

Carga viva Tabla B.4.2.2-1. NSR-10 (uso residencial)

Balcones. 2

5KN

m

Interiores. 2

1,8KN

m

Carga última balcón. 2 2 2

1,2 7,76 1,6 5 17,31KN KN KN

Wubm m m

= × + × =

Carga última interior. 2 2 2

1,2 7,76 1,6 1,8 12,19KN KN KN

Wuim m m

= × + × =

Carga por vigueta; están separadas cada 0,5 m desde ejes.

Balcón

17,31 0,5 8,66KN

Wubm

= × =

Interior

12,19 0,5 6,096KN

Wuim

= × =

Vigueta tipo I

Alternancia de cargas vivas C.8.11.2

a. Carga muerta y carga viva mayoradas en todos los vanos.

Figura 8



b. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en dos vanos adyacentes.

Figura 9

c. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en vanos alternados.

Figura 10

Diseño del refuerzo a flexión

Vigueta ICaso M(KN-m) + M(KN-m) -

a 5,9 8,65,5 7,44,9 9,05,7 9,24,9 6,96,8 7,5

Momentos máximos

b

c



2

2

2 2min

91

125

0,0033 100 210 70

As mm

As mm

As mm mm mm

+

−

==

= × × =

Utilizar 1 varilla N° 4 2129As mm= para momento positivo.

Utilizar 1 varilla N° 4 2129As mm= para momento negativo.

Verificación longitud de desarrollo para viguetas C.7.13.2.1

En la construcción con viguetas, como se define en C.8.13.1 a C.8.13.3, al menos una barra de la

parte inferior debe ser continua o debe empalmarse por traslapo con un empalme por traslapo de

tracción Clase B, o un empalme mecánico o soldado que cumpla con C.12.14.3, y en los apoyos no

continuos debe ser anclado para desarrollar fy en la cara del apoyo usando un gancho estándar que

cumpla con C.12.5 o una barra corrugada con cabeza que cumpla con C.12.6.

• Longitud de desarrollo

( )Para barras Nº 6 (C.12.2.2)2,1

420 1 112,7 555

2,1 1 21

t ed b

d

y

c

fl d

f´

l mm

ψ ψλ

= ≤ ×

× ×= × =× ×

• Empalme por traslapo Clase B (C.12.15.1)→ 1,3dl

Traslapo 1,3 555 721,5mm mm× =

Diseño de refuerzo de fisuramiento

Para evitar fisuraciones en los apoyos discontinuos se coloca un refuerzo calculado a partir de un

momento para una viga simplemente apoyada con una carga distribuida.

• Apoyo izquierdo

( )22 8,66 1

0,424 24

KNmWu l mMu KN m

××= = = −

26As mm=

Utilizar 1 varilla N° 2 232As mm=

Longitud de desarrollo

420 1 16,4 280

2,1 1 21dl mm

× ×= × =× ×



Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas

edh

dh

y

c

0,24ψ f 0,24 1 4206,4 141 8 52

λ f´ 1 21

141 150

bl d mm d mm

l mm mm

× × = = × = ≥ = ×

= ≥

Utilizar dh 150l mm=

• Apoyo derecho

( )22 8,66 3

3,2524 24

KNmWu l mMu KN m

××= = = −

241As mm=

Utilizar 1 varilla N° 3 271As mm=

Longitud de desarrollo

420 1 19,5 415

2,1 1 21dl mm

× ×= × =× ×

Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas

edh

dh

y

c

0,24ψ f 0,24 1 4209,5 209 8 76

λ f´ 1 21

209 150

bl d mm d mm

l mm mm

× × = = × = ≥ = ×

= ≥

Nota: Utilizar multiplicadores cuando sea necesario.

Puntos(m) M(KN-m)+ M(KN-m)- As(mm 2)+ Varillas As(mm2)- Varillas As (fis.)

0 0 Anclaje 1 N° 2

Sección

crítica

6,8 91 1N° 4

9,2 125 1N°4

10,7 0 Anclaje 1 N° 3

Cortante

Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se coloca en toda la longitud.



Figura 11

Vigueta tipo II


0 0 Anclaje 1 N° 2

Sección

crítica

4,5 59 1N° 4

6,3 84 1N°4

10,7 0 Anclaje 1 N° 3

Cortante


Figura 12



Vigueta tipo III

Puntos(m) M(KN-m)+ As(mm2)+ Varillas As (mm2) (fis.) Varillas

0 0 Anclaje 29 1 N° 2

Sección

crítica 6,9 92 1N° 4

3 0 Anclaje 29 1 N° 2

Cortante

Estribos de 3/8” cada 105 mm

Figura 13

Vigueta tipo IV


0 0 Anclaje 1 N° 2

Sección

crítica

5,6 74 1N° 4

7,1 95 1N°4

4,4 0 Anclaje 1 N° 3

Cortante




Figura 14

Vigueta tipo V


0 0 Anclaje 1 N° 2

Sección

crítica

3,8 42 1N° 4

5,2 69 1N°4

6,15 0 Anclaje 1 N° 2

Cortante

Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se ponen en toda la longitud.

Figura 15



Desarrollo de barras para As-: las barras deben tener una longitud embebida más allá del punto de

inflexión, no menor que d , 12db ó ln/16 , la que sea mayor.(C.12.12.3). Las fuerzas de cortantes

críticas se obtienen en las secciones críticas a cortante. Las viguetas no hacen parte del sistema de

resistencia sísmica, el espaciamiento se compara con d/2= (210 mm)/2= 105 mm en toda la

longitud. Se presenta el refuerzo por cortante con el diseño requerido por la cortante máxima en

toda la losa.



3. LOSAS EN DOS DIRECCIONES

Comparación del comportamiento de los sistemas de losas en una y dos direcciones

• Las losas en una dirección llevan la carga en una dirección.

• Las losas en dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.

Figura 16



• Las losas en una y dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.

Figura 17

• Las losas en una dirección poseen una relación de:

Lado largo / Lado corto > 2,0

Figura 18



Figura 19



Para placas planas y losas las conexiones de la columna puede variar entre:

Figura 20

Decisiones Económicas

• La luz óptima para un sistema de placa plana es de 6 m a 7,5 m.

Ventajas

Encofrado de bajo costo.

Expuesto cielos rasos planos

Rápida construcción

Desventajas

Capacidad de corte baja

Baja rigidez (deflexión notable)

• La luz óptima para un sistema de losa plana es de 6 m a 9 m.

Ventajas

Encofrado de bajo costo.

Expuesto cielos rasos planos.

Rápida construcción.

Desventajas

Necesita más encofrado para el capitel y los ábacos.



• La luz óptima para un sistema de losa reticular es de 9 m a 12 m.

Ventajas

Soporta altas cargas

Techos expuestos estéticamente agradables

Rápida construcción

Desventajas

El encofrado para la conformación reticular es costoso.

• La luz óptima para un sistema de losa maciza unidireccional sobre vigas es de 3 m a 5 m.

Se puede utilizar para luces mayores con costos relativamente más altos y mayores deflexiones.

• La luz óptima para un sistema de losa aligerada unidireccional es de 5 m a 9 m.

El encofrado es relativamente costoso

sw Carga tomada por la dirección corta

lw Carga tomada por la dirección larga

A Bδ δ=

EI

Bw

EI

Aw

384

5

384

5 4l

4s =

4s

s l4l

Para B 2A 16w B

w ww A

= = ⇒ =

Para B / A> 2, diseñar como losa unidireccional

Figura 21



Diseño de losas en dos direcciones

Equilibrio estático para losas en dos direcciones

Figura 22

Analogía de la losa bidireccional para planchas y vigas de piso

Sección A-A

Momento por unidad de ancho de longitud en las planchas

21

8

wlM⇒ =

Momento total

( )22

f 1 8

lM wl⇒ =

Carga uniforme para cada viga

1

2

wl⇒

Sección B-B

Momento en una viga

21 2

lb 2 8

wl lM

⇒ =



Momento total en ambas vigas

( )22

1 8

lM wl⇒ =

La carga completa se trasladó de Este a Oeste por las planchas y luego fue trasladado de Norte a

Sur por las vigas; lo mismo es verdad para una losa bidireccional o cualquier otro sistema de piso.

Conceptos generales de diseño

Método directo de diseño

Limitado a los sistemas de losa para cargas uniformemente distribuidas y apoyadas sobre columnas

equidistantes. El método utiliza un conjunto de coeficientes para determinar el momento del diseño

en las secciones críticas. El sistema de losa bidireccional que no cumpla con las limitaciones de la

NSR-10 debe ser analizado siguiendo procedimientos más precisos.

Método del pórtico equivalente

Un edificio de tres dimensiones se divide en una serie de dos dimensiones de pórticos equivalentes

por el corte de la construcción a lo largo de las líneas a mitad de la luz entre las columnas. Los

pórticos resultantes se consideran por separado en las direcciones longitudinales y transversales del

edificio y son tratados planta por planta.

Figura 23. Sección equivalente longitudinal y transversal



Figura 24. Elevación del pórtico

Figura 25. Vista en perspectiva

Métodos de análisis

Análisis elástico

La losa de hormigón puede ser tratada como una placa elástica. Se puede utilizar el método de

Timoshenko para analizar la estructura. Análisis de elementos finitos.



Análisis plástico

El método por rendimiento utilizado para determinar el estado límite de la losa considerando

líneas de influencia.

El método de bandas, donde la losa se divide en franjas y la carga sobre la losa se distribuye en

dos direcciones ortogonales y las bandas se analizan como vigas.

El análisis óptimo presenta métodos para minimizar el refuerzo basado en el análisis plástico.

Análisis no lineal

Simula la verdadera carga-deformación característica de una losa de hormigón armado con el

método de elementos finitos que toma en consideración la no linealidad de la relación esfuerzo-

deformación de los miembros individuales.

Columnas y bandas intermedias

La losa se descompone en columna y bandas intermedias para el análisis.

Figura 26



Espesor de losa mínimo para el diseño de losas bidireccionales (NSR-10)

C.9.5.3 — Elementos reforzados en dos direcciones (no preesforzados)

C.9.5.3.1 — Debe emplearse la sección C.9.5.3 para definir el espesor mínimo de

losas u otros elementos reforzados en dos direcciones diseñados de acuerdo con las

disposiciones del Capítulo C.13 y que se ajusten a los requisitos de C.13.6.1.2. El espesor de

las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe

satisfacer los requisitos de C.9.5.3.2 ó C.9.5.3.4. El espesor de las losas con vigas que se

extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe satisfacer los requisitos de una de

C.9.5.3.3 ó C.9.5.3.4.

TABLA C.9.5 (b) — Deflexión máxima admisible calculada

Tipo de elemento Deflexión considerada Límite de deflexión Cubiertas planas que no soporten ni estén

ligadas a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.

Deflexión inmediata debida a la carga viva, L ℓ /180*

Entrepisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.

Deflexión inmediata debida a la carga viva, L ℓ /360

Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.

La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión a largo plazo debida a todas las cargas permanentes, y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional)

†

ℓ /480‡

Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.

ℓ /240§

* Este límite no tiene por objeto constituirse en un resguardo contra el empozamiento de aguas. Este último se debe verificar mediante cálculos de deflexiones adecuados, incluyendo las deflexiones debidas al agua estancada, y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, la contraflecha, las tolerancias de construcción y la confiabilidad en las medidas tomadas para el drenaje. † Las deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con C.9.5.2.5 ó C.9.5.4.3, pero se pueden reducir en la cantidad de deflexión calculada que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determina basándose en datos de ingeniería aceptables correspondiente a las característica tiempo-deflexión de elementos similares a los que se están considerando. ‡ Este límite se puede exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o unidos. § Pero no mayor que la tolerancia establecida para los elementos no estructurales. Este límite se puede exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexión total menos la contraflecha no exceda dicho límite.



C.9.5.3.2 — El espesor mínimo de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los

apoyos y que tienen una relación entre lados no mayor que 2, debe cumplir con lo requerido

en la tabla C.9.5(c) y no debe ser inferior que los siguientes valores:

(a) Losas sin ábacos como se definen en C.13.2.5125 mm

(b) Losas con ábacos como se definen en C.13.2.5100 mm

C.9.5.3.3 — El espesor mínimo h para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en

todos los lados debe ser:

(a) Para αfm igual o menor que 0.2, se aplican las disposiciones de C.9.5.3.2.

(b) Para αfm mayor que 0.2 pero no mayor que 2.0, h no debe ser menor que:

(C.9-12)

Pero no menor que 125 mm.

(c) Para αfm mayor que 2.0, h no debe ser menor que:

yn

f0.8

1400h

36 9

+

=+ β

ℓ

(C.9-13)

Y no menor que 90 mm.

(d) En bordes discontinuos debe disponerse una viga de borde que tenga una relación de

rigidez αf no menor de 0.80, o bien aumentar el espesor mínimo requerido por las

ecuaciones (C.9-12) ó (C.9-13), por lo menos un 10 por ciento en el panel que tenga un

borde discontinuo.

( )

yn

fm

f0.8

1400h

36 5 0.2

+

=+ β α −

ℓ



TABLA C.9.5(c) — Espesores mínimos de losas sin vigas interiores*

fy ,

MPa †

Sin ábacos ‡ Con ábacos ‡

Paneles exteriores

Paneles interiores

Paneles exteriores

Paneles interiores

Sin vigas

de borde

Con vigas de borde§

Sin

vigas de borde

Con vigas de borde§

280 n

33ℓ

n

36ℓ

n

36ℓ

n

36ℓ

n

40ℓ

n

40ℓ

420 n

30ℓ

n

33ℓ

n

33ℓ

n

33ℓ

n

36ℓ

n

36ℓ

520 n

28ℓ

n

31ℓ

n

31ℓ

n

31ℓ

n

34ℓ

n

34ℓ

* Para construcción en dos direcciones,ℓ n, es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. †Para fy entre los valores dados en la tabla, el espesor mínimo debe obtenerse por interpolación lineal. ‡ Ábaco, como se define en C.13.2.5. § Losas con vigas entre las columnas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de αf para la viga de borde no debe ser menor que 0.8.

El término ℓ n en (b) y (c) corresponde a la luz libre en la dirección larga medida cara a cara de

las vigas. El término ᵦ en (b) y (c) corresponde a la relación de la luz libre en la dirección larga

a la luz libre en la dirección corta de la losa.

C.9.5.3.4 — Puede utilizarse espesores de losas menores que los mínimos requeridos en

C.9.5.3.1, C.9.5.3.2 y C.9.5.3.3 cuando las deflexiones calculadas no exceden los límites

de la tabla C.9.5(b). Las deflexiones deben calcularse tomando en cuenta el tamaño y la

forma del panel, las condiciones de apoyo y la naturaleza de las restricciones en los bordes

de la losa. El módulo de elasticidad del concreto, Ec, debe ser el especificado en C.8.5.1. El

momento de inercia efectivo, I e, debe ser el obtenido por medio de la ecuación (C.9-8); se

permite emplear otros valores si los resultados del cálculo de la deflexión concuerdan

razonablemente con los resultados de ensayos de alcance apropiado. La deflexión adicional

a largo plazo debe calcularse de acuerdo con C.9.5.2.5.



Definición de relación de rigidez viga-losa, Α

Las cuentas para el efecto la rigidez de las vigas situadas a lo largo del borde del piso, reduce las

desviaciones del panel adyacente a las vigas.

Rigidez a la flexión de la viga

Rigidez a la flexión de la losaα =

scs

bcb

scs

bcb

E

E

/4E

/4E

I

I

lI

lI ==α

cbE = Módulo de elasticidad de la viga de concreto

sbE = Módulo de elasticidad de la losa de concreto

bI = Momento de inercia de la viga no fisurada

sI = Momento de inercia de la losa no fisurada

Con anchura delimitada lateralmente por línea central de los paneles adyacentes a cada lado de la

viga.

Viga y secciones de la losa para determinar α

Figura 27



Figura 28

Figura 29

Definición de la viga de sección transversal.

Los gráficos pueden ser utilizados para calcular α

Losas sin ábacos 120 minh mm=

Losas con ábacos 100 minh mm=



EJEMPLO 3

El sistema de losa esa compuesto por placas y vigas en dos direcciones soportadas en columnas de

450 mm x 450 mm. Determinar el mínimo espesor de losa requerido para el sistema.

Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa

Figura 30

Sección A-A

Se asume 150 4h mm x y h= = <

( )Cumple

450 -150 300 300 4

300 4 150

300 600

mm mm mm mm h

mm mm

mm mm

= ⇒ <<< →

( )( )

450 2 300 1050 8

1050 4508 150

1050 1650 Cumple

e e wb mm b < b h= + = ⇒ +

< + ×< →

( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

150 1050 75 450 300 300179

150 1050 450 300y mm

+=

+=

Para largoα

( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

2 21050 150 450 3001050 150 104 450 300 121

12 12bI = + + +× × × ×



4 6 44987807500 4988 10bI mm mm== ×

( )( )3

6 45000 1501406 10

12sI mm= = ×

6

largo 6

4988 103,55

1406 10b

s

= =EI

EIα × =

×

Para cortoα

( )( )3

6 46000 1501688 10

12I mm= = ×

6

corto 6

4988 102,95

1688 10b

s

EI

EIα ×= = =

×

largo corto1

3,55 2,953,25

2 2m

α αα

+ += = =

Sección B-B

( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

700 150 75 300 400 300195

700 150 300 400y mm

+= =

+

Para largoα

( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

2 2400 450 300 150400 450 30 300 150 120

12 12bI = + × × + + × ×

6 44217 10bI = mm×

( )( )3

6 42500 150703 10

12sI mm= = ×

6

largo 6

4217 106,0

703 10b

s

EI=

EIα ×= =

×

Para cortoα

( )( )3

6 43000 150844 10

12s =I mm= ×

6

corto 6

4217 105

844 10b

s

EI=

EIα ×= =

×



Coeficiente β

largo

corto

4506000 - 2

2 1,22

4505000- 2

2

l

lβ =

= =

2,22 2,22 2,53 4,29

4mα + + +=

2,815mα =

2,22 2,53 3,75 2,53

4mα + + +=

2,76mα =


Página 41

2,22 2,53 3,75 4,29

4mα + + +=

3,2mα =

Espesor mínimo para 2mα >

450 400

6000 55752 2n mm= − − =ℓ

( )36 9

4200,8 5575 0,8

1400 1400131 90

36 9 1,22

n

yf

h mm mmβ

=+

+ + = = >

+ ×

ℓ

El espesor mínimo de la losa requerido es de 131 mm, por aspectos constructivos se selecciona

un espesor de losa h=150 mm.

Método directo de diseño

Es un método aproximado que estima los momentos flectores con base a unos coeficientes

establecidos. Por esta razón es aplicable sólo si se satisfacen una serie de requerimientos en

torno a las características geométricas del sistema y al tipo de carga.

Limitaciones del método directo de diseño

• Debe haber un mínimo de tres luces continuas en cada dirección.

• Los paneles deben ser rectangulares con la relación de luz larga a corta no mayor que 2

dentro de un panel.

• Las longitudes de las luces sucesivas en cada dirección no deben diferir en más de un tercio

de la luz más larga.

• Las columnas pueden correrse con respecto a cualquier eje de columnas sucesivas un

máximo del diez por ciento de la luz respectiva en la dirección del desplazamiento.


Página 42

• Las cargas son únicamente las gravitacionales y la carga viva no debe exceder dos veces la

carga muerta.

• Si se utilizan vigas en los ejes de columnas, las rigideces relativas de las vigas en las dos

direcciones perpendiculares no será ni mayor a 5 ni menor que 0.2, es decir:

21 2

22 1

0,2 5l

l

αα

≤ ≤

Donde:

1α Parámetro definido anteriormente evaluado en la dirección 1l .

2α Parámetro definido anteriormente evaluado en la dirección 2l .

1l Dimensión centro a centro del panel en la dirección en análisis.

l2 Dimensión centro a centro del panel en la dirección perpendicular a la de análisis.

Procedimiento del método directo de diseño

Las etapas del método directo se pueden resumir en:

1. Determinar el momento total estático (Mo).

2. Distribución del momento total estático entre los apoyos y el centro de la luz.

3. Distribución de los momentos positivos y negativos en la franja de columna y las medias

franjas centrales respectivamente.

1. Determinación del momento total estático (Mo)

Es el momento igual a la suma del momento positivo en el centro del tramo y al promedio de los

momentos negativos en los apoyos:

22

0 8u nW l l

M =

Donde:

uW Carga última por unidad de área.

2l Luz perpendicular a la dirección de análisis.

nl Distancia entre las caras de las columnas, capiteles o muros.


Página 43

Notas:

• nl no será menor que 10,65l .

• Cuando no se tengan la misma luz transversal en los paneles a ambos lados del eje central de

los apoyos, 2l se debe tomar como el promedio de las luces transversales adyacentes.

• Cuando se considere el vano adyacente y paralelo a un borde, la distancia del borde al eje

central del panel debe sustituir a 2l en la ecuación anterior.

• Los apoyos circulares o en forma de polígono regular, deben tratarse como apoyos cuadrados

que tengan la misma.

Distribución del momento total estático entre los apoyos y el centro de la luz

Para tramos interiores, la distribución del momento estático se realiza de la siguiente manera:

• Momentos Negativos: 0,65Mo

• Momentos Positivos: 0,35Mo

En los tramos exteriores, el momento estático total Mo, debe distribuirse según la tabla

presentada a continuación.

Distribución de los momentos en la franja de columna y en la franja central.

Las franjas de columnas deben ser diseñadas para resistir las siguientes fracciones, en

porcentaje, de los momentos negativos y positivos. A continuación se mostrarán las tablas de

distribución de momentos:

Para encontrar α , se recurre a la siguiente expresión:

cb b

cs s

E I

E Iα =


Página 44

Tabla1. Distribución del momento estático

Borde exterior no restringido

Losa con vigas entre todos los apoyos

Losa sin vigas entre los apoyos interiores Sin vigas – Con vigas De borde – de borde

Borde exterior totalmente restringido

Momento negativo mayorado interior

0,75 0,70 0,70 – 0,70 0,65

Momento positivo mayorado

0,63 0,57 0,52 – 0,50 0,35

Momento negativo mayorado exterior

0 0,16 0,26 – 0,30 0,65

Tabla 2. Momento negativo mayorado interior

2 1l l 0,5 1,0 2,0

( )2 1 0l lα = 75 75 75

( )2 1 1l lα ≥ 90 75 45

Para encontrar β , se recurre a la siguiente expresión:

2cb

tcs s

E C

E Iβ =

3

1 0,633

x x yC

y

= −

∑

Notas:

• Cuando los apoyos consistan en columnas o muros que se extienden por una distancia igual o

mayor que 20,75l utilizada para calcular Mo, los momentos negativos deben considerarse

uniformemente distribuidos a lo largo de l2 .

• Para calcular C se divide la sección en rectángulos simples cuya menor y mayor dimensión

son “x ” y “ y ” respectivamente. Debido a que existen varias posibilidades para la división

de la sección, se debe considerar aquella que maximice el parámetro C.


Página 45

Tabla 3: Momento negativo mayorado exterior

2 1l l 0,5 1,0 2,0

( )2 1 0l lα = 0β = 100 100 100

( )2 1 0l lα = 2,5β ≥ 75 75 75

( )2 1 1l lα ≥ 0β = 100 100 100

( )2 1 1l lα ≥ 2,5β ≥ 90 75 45

Tabla 4: Momento positivo mayorado

2 1l l 0,5 1,0 2,0

( )2 1 0l lα = 60 60 60

( )2 1 1l lα ≥ 90 75 45

Momento mayorado en vigas

• Las vigas entre los apoyos, deben ser diseñadas para resistir el 85% de los momentos de la

franja de columna sí 2 1 1l lα ≥ .

• Para valores de 2 1l lα entre 1 y 0, la proporción de los momentos de la franja de columna

que debe ser resistida por las vigas debe obtenerse por interpolación lineal entre 85% y 0%.

• Además de lo mencionado anteriormente, las vigas deben ser diseñadas para resistir los

momentos causados por cargas concentradas o lineales aplicadas directamente sobre ellas;

incluyendo el peso del alma que se proyecta por encima o por debajo de la losa.

Momentos mayorados en las franjas centrales

• Los momentos mayorados positivos y negativos no resistidos por las franjas de columnas

deben asignarse proporcionalmente a cada mitad de las franjas centrales correspondientes.

• Cada franja central debe ser diseñada para resistir la suma de los momentos asignados a sus

dos mitades de franja.

• Una franja central adyacente y paralela a un borde apoyado en un muro, debe ser diseñada

para resistir el doble del momento asignado a la mitad de la franja central correspondiente al

primer eje de apoyos interiores.


Página 46

EJEMPLO 4

Determine los momentos de diseño de la losa en dos direcciones mostrada en la figura. Suponga

que se cumplen todos los requisitos para aplicar el método directo de diseño. Asumir espesor de

losa t = 200 mm.

Datos dados por el problema:

2

2

f c = 21MPa

fy = 420MPa

Carga muerta = 18KN m

Carga viva = 6KN m

Columnas 400 mm×400 mm

Vigas b = 400mm; h = 500mm

′

Figura 31. Planta de la losa.

Lo primero que se debe comprobar es que se pueda diseñar en dos direcciones

1 2 .2 9 6 1,5 2l l ok≤ = = ≤ →

Luego se debe calcular la carga de diseño de la siguiente forma

Carga muerta Carga viva1,2 1,6 1,2 18 1,6 6uW = × + × = × + ×

231,2uW KN m=

Se selecciona la luz de diseño 1 9l m=

Se debe hallar el momento estático mayorado con la expresión:

2 22

0

31,2 6 8,71771,1

8 8u nW l l

M KN m× ×= = = −


Página 47

Para luces interiores:

Momento negativo mayorado

( )

( )0

2

0,65 0,65 1771,1

1151,2

u

u

M M

M KN m

−

−

= × = ×

=

Momento positivo mayorado

( )

( )0

2

0,35 0,35 1771,1

619,9

u

u

M M

M KN m

+

+

= × = ×

=

Para luces exteriores:

Momento negativo mayorado interior

( )

( )0

2

0,7 0,7 1771,1

1239,8

ui

ui

M M

M KN m

−

−

= × = ×

=

Momento positivo mayorado:

( )

( )0

2

0,57 0,57 1771,1

1009,5

u

u

M M

M KN m

+

+

= × = ×

=

Momento negativo mayorado exterior

( )

( )0

2

0,16 0,16 1771,1

283,4

ue

u

M M

M KN m

−

+

= × = ×

=

Diseño luces interiores

Para diseñar las luces interiores de la losa, se debe determinar la fracción del momento que toma

la franja de columna.

Momento negativo interior

cb b

cs s

E I

E Iα =

3

12s

btI =

Dónde:

2 espesor de la losab 6000 ; 200 l mm t = mm= = =

39 46000 200

4 1012sI mm×= = ×


Página 48

3

12b

bhI f=

Donde:

400 ; 500 ; cb csb mm h mm E E= = =

( )400 8 200 2000

400 2 500 200 1000

mmB

mm

+ × =≤ + − =

2 31000 200 200 200 1000 200

1 1 4 6 4 1400 500 500 500 400 500

1000 2001 1

400 500

1,5

f

f

+ − − + + − =

+ −

=

Por lo tanto:

39 4400 500

1,5 6,25 1012bI mm×= × = ×

9

9

6,25 101,56

4 10α ×= =

×

2 1 0,67l l =

2

1

1,05l

lα × =

Recurriendo a las tablas presentadas anteriormente se pueden determinar los momentos que

soportan la franja de columna, la viga y la franja central.

Momento soportado por la franja columna

• Para momentos negativos (Tabla 2):

( )

0,1790 90 75 85%

0,50

0,85 0,85 1151,2 978,5cs uM M KN m− −

− × − =

′ = × = × = −

• Para momento positivo (Tabla 4):

0,85 0,85 619,9 526,9cs uM M KN m+ +′ = × = × = −


Página 49

Momento soportado por la viga

Para la viga, la NSR-10 indica que se debe tomar un 85% del momento resistido por la franja de

columna para su diseño, debido a que 2

1

1,05l

lα × ≥ por lo tanto:

( ) 0,85 0,85 978,5 831,7sb csM M KN m− ′= × = × = −

( ) 0,85 0,85 526,9 447,9sb csM M KN m+ ′= × = × = −

Una vez hecho esto, la franja de columna se debe diseñar para el 15% del momento restante así:

0,15 0,15 978,5 146,8cs csM M KN m− −′= × = × = −

0,15 0,15 526,9 79cs csM M KN m+ +′= × = × = −

Momento soportado por la franja central

Los momentos positivos y negativos para los cuales se debe diseñar la franja central, son

aquellos que no son resistidos por la franja de columnas, así:

0,15 0,15 1151,2 172,7ms uM M KN m− −= × = × = −

0,15 0,15 619,6 93ms uM M KN m+ += × = × = −

A continuación se muestra una tabla resumen de los momentos de diseño para franjas interiores:

Tabla 5. Momentos de diseño para luces interiores

Momento negativo

(KN – m) Momento positivo

(KN – m) Momento negativo

(KN – m) Franja de columna 146,8 79 146,8

Vigas 831,7 447,9 831,9 Franja central 172,7 93 172,7

Diseño de luces exteriores

Lo primero es determinar tβ :

2ts

C

Iβ =

4 400 4 200 1200

( ) 400 300 700

b t mmB

b h t mm

+ = + × =≤ + − = + =


Página 50

3

3 3

9 4

1 0,633

400 400 500 200 200 3001 0,63 1 0,63

500 3 300 3

8,73 10

x x yC

y

C

C mm

= −

× × = − × × + − × ×

= ×

∑

9

9

8,37 101,09

2 4 10tβ ×= =× ×

Para el momento negativo exterior (Tabla 3):

0,935 0,935 283,4 265cse ueM M KN m− −′ = = × = −

Para el momento positivo (Tabla 4):

0,85 0,85 1009,5 858,1cs ueM M KN m+ +′ = = × = −

Para el momento negativo interior (Tabla 2):

0,85 0,85 1239,8 1053,8csi uiM M KN m− −′ = = × = −

El momento soportado por la viga, se toma el 85% del momento resistido por la franja de

columna para su diseño, debido a que 2

1

1,05l

lα × ≥ por lo tanto:

0,85 0,85 265 225,3sbe cseM M KN m− −′= × = × = −

( ) 0,85 0,85 858,1 729,4sb csM M KN m+ +′= × = × = −

0,85 0,85 1053,8 895,7sbi csiM M KN m− −′= × = × = −

Una vez hecho esto, la franja de columna se debe diseñar para el 15% del momento restante

debido a que 2

1

1,05l

lα × ≥ así:

0,15 0,15 265 39,8cse cseM M KN m− −′= × = × = −

0,15 0,15 858,1 128,7cs csM M KN m+ +′= × = × = −

0,15 0,15 1053,8 158,1csi csiM M KN m− −′= × = × = −

Momento soportado por la franja central

Los momentos positivos y negativos para los cuales se debe diseñar la franja central, son

aquellos que no son resistidos por la franja de columnas, así:


Página 51

0,065 0,065 283,4 18,4mse uM M KN m− −= × = × = −

0,15 0,15 1009,5 151,4ms uM M KN m+ += × = × = −

0,15 0,15 1239,8 186msi uM M KN m− −= × = × = −

A continuación se muestra una tabla resumen de los momentos de diseño para franjas interiores:

Tabla 6. Momentos de diseño para luces exteriores

Momento negativo

ext. (KN – m) Momento positivo

(KN – m) Momento negativo

ext. (KN – m) Franja de columna 39,8 128,7 158,1

Vigas 225,3 729,4 895,7 Franja central 18,4 151,4 186


Página 52

4. CIMENTACIONES

Cimentaciones superficiales

• Sección transversal es de dimensiones más grandes que la altura.

• Trasmite las cargas de la estructura a profundidades relativamente cortas (< 4,0 m).

• La reacción del suelo equilibra la carga trasmitida por la estructura.

• Su comportamiento estructural es como el de una viga o una losa.

Figura 32


Página 53

5. CIMENTACIONES SUPERFICIALES

Las cimentaciones superficiales pueden ser de varios tipos:

Zapata Aislada

Zapata Corrida

Losa de cimentación

Figura 33


Página 54

Zapata Combinada

Figura 34

Cimentaciones superficiales – zapatas aisladas

• Las zapatas aisladas pueden ser: concéntricas, medianeras o esquinera.

• Se utilizan para suelos de baja compresibilidad, duros y con cargas moderadas (edificios

hasta de 7 pisos).

• Con el objeto de rigidizar la cimentación las zapatas deben interconectarse con vigas de

amarre.

Zapata Concéntrica

Figura 35


Página 55

Zapata Medianera

Zapata Esquinera

Figura 36

Cimentaciones superficiales – zapatas combinadas

Se utilizan para casos intermedios, suelos de mediana compresibilidad y cargas no muy altas.

Figura 37


Página 56

Este sistema busca minimizar los esfuerzos trasmitidos al suelo y rigidizar la estructura para que

se tengas ciertas restricciones y se eviten algunos movimientos relativos.

Cimentaciones superficiales – losa de cimentación

Generalmente, ocupa toda el área de la edificación.

Figura 38

Mediante esta solución se disminuyen los esfuerzos trasmitidos al suelo y los asentamientos

diferenciales.


Página 57

6. CIMENTACIONES PROFUNDAS

• Sección transversal es pequeña con respecto a la altura.

• Trasmite cargas de la estructura a profundidades comprendidas entre 4 m y 40 m.

• Están sometidas a fuerzas de compresión y fuerzas laterales.

• Su comportamiento estructural se asemeja al de una columna.

• Se utilizan también para eludir suelos problemáticos.

Figura 39

Las cimentaciones profundas pueden ser de dos tipos: pilotes y pilas

Pilotes: ϕ < 0,8 m

Figura 40


Página 58

Cimentaciones profundas - pilotes

Por las limitaciones de carga de un pilote individual, frecuentemente es necesario utilizar varios

elementos para un mismo apoyo de la estructura, este es caso de una zapata aislada apoyada en

varios pilotes. En otros casos, la situación puede ser aún más compleja: zapatas combinadas o

losas de cimentación apoyadas en varios pilotes.

Los pilotes pueden ser pre-excavados y vaciados in situ o prefabricados e hincados.

Figura 41

Cimentaciones profundas - pilas

Cuando se utilizan pilas como sistema de cimentación, generalmente se emplea un elemento por

apoyo. Las pilas están asociadas a cargas muy altas, a condiciones del suelo superficialmente

desfavorables y a condiciones aceptables en los estratos profundos del suelo, a donde se

transmitirán las cargas de la estructura. Las pilas siempre son pre-excavadas y vaciadas in situ.


Página 59

7. VIGAS DE FUNDACIÓN

Las vigas de fundación son los elementos estructurales que se emplean para amarrar estructuras

de cimentación tales como zapatas, dados de pilotes, pilas o caissons, etc.

Funciones principales:

• Reducción de asentamientos diferenciales.

• Soporta momentos generados por excentricidades de cargas.

• Mejora el comportamiento sísmico de la estructura.

Funciones secundarias:

• Arriostramiento en laderas.

• Disminución de la esbeltez en columnas.

• Aporta a estabilización de zapatas medianeras.

Figura 42


Página 60

Vigas de fundación – reducción de asentamientos diferenciales

La reducción de los asentamientos depende de la rigidez de la viga (máx. L/20, para no que no

haya trasmisión de cargas entre zapatas).

Mayor rigidez, mayor momento

2

6EIM

Lδ=

Momento inducido por asentamiento diferencial

Figura 43

Vigas de fundación - atención de momentos generados por excentricidades no

consideradas en el diseño

Esta función la ejerce la viga de fundación dependiendo del criterio que se tome para el diseño.

Criterio 1:

Diseñar la viga de fundación para que tome los momentos y la zapata solo la carga axial.

La viga se considera en el análisis estructural

Figura 44


Página 61

Criterio 2:

Diseñar la zapata para que atienda el momento biaxial. La viga se diseña sólo para carga axial.

Figura 45

Vigas de fundación – mejoramiento del comportamiento sísmico de la estructura

Las vigas de fundación deben resistir en tensión o compresión una fuerza no menor de

(A.3.6.4.2 – Vigas de amarre en la cimentación – NSR-10):

o 0,25 a uC T A P=

Aa: Coeficiente que representa la aceleración horizontal pico efectiva, para diseño, dado en

A.2.2 – NSR-10.

Pu: Valor de la fuerza axial mayorada o carga última correspondiente a la columna más

cargada (comparando las dos fuerzas axiales a las cuales están sometidas las dos

columnas unidas por la viga de amarre).

En el caso de Medellín con el nuevo código Aa = 0.15, luego:

o 0,0375uC T P=

En la mayoría de los casos prácticos la fuerza a compresión o tensión puede ser soportada por la

viga con refuerzo mínimo (C.10.9 – Límite del refuerzo de elementos a compresión – NSR-10):

,min 0,01s gA A=

Ag: Área bruta de la sección, expresada en 2mm .


Página 62

Suponiendo una viga de 300 300mm mm× , tenemos Ag = 90000 mm 2.

2 2,min 0,01 90000 900sA mm mm= × =

2,min 4 3 4 1136sA mmφ ′′≈ =

Supóngase que la viga está sometida a una carga de compresión C. De acuerdo con C.10.3.6.2

de la NSR-10, la resistencia de diseño a fuerza axial de un elemento no pre-esforzado, reforzado

con estribos cerrados, sometido a compresión, está dada por la expresión:

( )0,75 0,85 g st y stC f c A A f Aφ ′= − +

ϕ: Coeficiente de reducción de resistencia, que para elementos reforzados con estribos

cerrados es igual a 0.65 (C.9.3.2.2).

f'c: Resistencia nominal del concreto a la compresión, expresada en MPa. Supóngase

f‘c=21Mpa.

Ag: Área bruta de la sección, expresada en mm2. Suponiendo una viga de 300mmx300mm,

tenemos Ag=90000mm2.

Ast: Área total de refuerzo longitudinal, expresada en mm2. Para el caso Ast=1136mm2.

fy: Resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo, expresada en MPa. Supóngase

fy = 420 Mpa.

( )( )

0,75 0,85

0,75 0,65 0,85 21 90000 1136 420 1136

1005879,42 101

101 0,0375 2693

g st y st

u

C f c A A f A

C

C N ton

P ton

φ ′= − +

= × × × × − + ×

= == =

Para una carga superior a 2693 toneladas se debería aumentar la sección de la viga.

Supóngase que la viga ahora está sometida a una carga de tensión T. En este caso, la resistencia

de diseño a fuerza axial de la viga (despreciando la resistencia a tracción del concreto), está

dada por la expresión:

0,90

0,90 420 1136 429408

43

43 0,0375 1147

y st

u

T f A

T N

T ton

P ton

=

= × × === =


Página 63

La viga reforzada de 300× 300mm, funciona adecuadamente siempre y cuando, la fuerza axial

(Pu) que actúa sobre la columna más cargada no sea superior a 1147 toneladas, equivalente a la

carga gravitacional que sobre esta columna transmitiría un edificio de aproximadamente 30

pisos.

Vigas de fundación – arriostramiento en laderas

Esta función de las vigas de fundación tiene bastante aplicación por las características

topográficas de nuestra región.

La irregularidad en altura favorece la generación de esfuerzos a flexión en las columnas, que

pueden ser atendidos mediante vigas de fundación diagonales, las cuales aportan rigidez a la

estructura.

Vigas de fundación – disminución de esbeltez en las columnas

Las vigas de fundación disminuyen la esbeltez de las columnas cuando se diseñan y se

construyen a cierta altura con respecto a la cara superior de las zapatas que une.

Figura 46

Entre más alta este la viga de fundación, más se facilitan los aspectos constructivos.

Vigas de fundación – dimensiones mínimas

El artículo C.15.13.3 de la NSR-10 establece las dimensiones mínimas para las vigas de

cimentación.


Página 64

Mayor dimensión de la viga de fundación

Estructuras con capacidad de disipación de energía (DES) >=L/20

Estructuras con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) >=L/30

Estructuras con capacidad mínima de disipación de energía (DMI) >=L/40

En Medellín (DMO) por ejemplo, la máxima dimensión de una viga de amarre de 6 m de

longitud sería mínimo L/30 = 6000/30 = 200 mm. Esta viga, con una dimensión mínima de 100

mm, podría eventualmente desaparecer como elemento viga al quedar embebida en la losa de

piso; situación que obliga a diseñar la zapata por flexión biaxial.

Vigas de fundación – refuerzo longitudinal

El artículo C.15.13.2 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo longitudinal.

Las vigas de amarre sobre el terreno que enlacen dados o zapatas deben tener refuerzo

longitudinal continuo, el cual debe ser capaz de desarrollar fy por medio de anclaje en la

columna exterior del vano final. Las varillas de 3/4” en nuestro ejemplo pasan de una zapata a

otra con el fin de garantizar el trabajo de tensión.

Vigas de fundación – refuerzo transversal

El artículo C.15.13.4 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo transversal.

Deben colocarse estribos cerrados en toda su longitud, con una separación que no exceda la

mitad de la menor dimensión de la sección ó 300 mm. Las vigas de amarre que resistan

momentos flectores provenientes de columnas deben cumplir los requisitos de separación y

cantidad de refuerzo transversal que fije el Reglamento para el nivel de capacidad de disipación

de energía en el rango inelástico del sistema de resistencia sísmica. Para la viga mínima de 300

mm x 300 mm, la separación será entonces de 150 mm.


Página 65

8. DISEÑO DE ZAPATAS

Para la localización de las secciones críticas de momento, cortante y desarrollo del refuerzo de

las zapatas, en columnas o pedestales de concreto no cuadrados, la NSR 10 en su artículo

C.15.3, permite, por simplicidad, trabajar con columnas o pedestales cuadrados equivalentes en

área.

Figura 47

Para el diseño de una zapata concéntrica se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

i. Obtener la carga de servicio P

ii. Determinar el ancho de la zapata

iii. Suponer espesor h de la zapata

iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional.

v. Revisar cortante unidireccional

vi. Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo

vii. Revisar el aplastamiento

viii. Detalles de refuerzo

i. Obtener la carga de servicio Ps: se desmayora la carga última Pu obtenida en el análisis

estructural.

a. Dividiendo la carga por el factor de seguridad FG (1.5 para estructuras de concreto, 1.4

para estructuras de acero).


Página 66

b. Calcularla con cargas de servicio.

us

G

PP F=

P se compara con la capacidad admisible qa (Calculada a partir de qu). Por medio de la

siguiente expresión válida para suelos cohesivos.

u c fq cN Dγ= +

ca f

cNq D

Fsγ= +

c: Cohesión del suelo (ton/m2)

Nc: Factor de capacidad de carga

γ : Peso unitario de la masa del suelo (ton/m3)

Df: Profundidad de desplante de la zapata (m)

Fs: Factor de seguridad

ii. Determinar el ancho B de la zapata: Para ello se emplea la expresión:

s

a

PB q=

iii. Suponer espesor h de la zapata: La NSR-10 expresa:

a. dmin > 150 mm para zapatas apoyadas en suelo, dmin > 300 mm para zapatas apoyadas

en pilotes (C.15.7).

b. El recubrimiento mínimo debe ser de 75 mm cuando la zapata este apoyada en terreno

natural (C.7.7.1(a)).

c. El recubrimiento mínimo debe ser 50 mm para barras No. 6 a No. 18 y 40 mm para barras

No.5 y menores, cuando estén expuestas a suelo de relleno o a la intemperie (C.7.7.1 (b)).

De acuerdo a lo anterior el espesor mínimo de una zapata será 190 mm (150 mm + 40 mm).

iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Es el efecto en que la zapata trata de

fallar en forma piramidal debido a la carga transmitida por la columna (C.11.11.2 –

NSR-10).


Página 67

Figura 48

Figura 49

En la práctica se trabaja con una sección crítica perpendicular al plano de distancia d/2 de la

columna o placa.

iv. Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Para el caso supuesto de zapata

cuadrada, el esfuerzo cortante bidireccional será:


Página 68

( )( )( )( )

21 2

21 22

uup

B b d b dP

B b d b d dν

− + +=

+ + +

Pu: Carga última que se trasfiere a la zapata por la columna o pedestal

B: Ancho de la zapata (mm)

h: Distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo a tracción

(mm, d = h - recubrimiento)

b1: Lado corto de la columna o pedestal (mm)

b2: Lado largo de la columna o pedestal (mm)

De acuerdo al artículo C.11.11.2.1 de la NSR-10 se debe cumplir lo siguiente:

0

00

0

20,17 1

0,083 2

0,33

c

sup c

c

V f cb d

dV V f cb d

b

V f cb d

λβ

α λ

λ

′= +

′< = +

′=

Vc: Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto.

f’c: Resistencia nominal del concreto expresada en MPa

d: Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo

longitudinal a tracción (mm)

b0: Perímetro de la sección crítica a cortante para losas y zapatas.

β: Relación de la dimensión larga a corta de la columna.

sα : Constante usada para calcular el cortante en losas y zapatas. 40 para columnas

interiores, 30 para columnas de borde, 20 para columnas de esquina.

λ : Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas del concreto de

peso liviano relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión.

v. Revisar cortante unidireccional: Se refiere al comportamiento de la zapata como un

elemento viga (C.11.11.1.1 – NSR-10).


Página 69

Columna de acero

Para el caso supuesto de zapata cuadrada el cortante unidireccional estará dado por:

1 1

2 2

2 2 2 2u uud

b bB BB d d

P P

B Bd B dν

− − − − = =

Y debe cumplirse que:

0,17ud c wV V f cb dλ ′< =

wb : Ancho del alma o diámetro de la sección circular (mm).

vi. Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo: El momento máximo mayorado

para una zapata aislada debe calcularse pasando un plano vertical a través de la zapata y

calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre el área total de la zapata que

quede a un lado de dicho plano vertical (C.15.4.2). Para las secciones críticas

localizadas como se indica a continuación:

a) En la cara de la columna, pedestal o muro, para zapatas que soporten una columna,

pedestal o muro de concreto.

Figura 50

b) En el punto medio entre el eje central y el borde del muro para zapatas que soporten

muros de albañilería (Figura A).

c) En el punto medio entre la cara de la columna y el borde de la platina de base de acero,

para zapatas que soporten una columna con platina de acero de base (Figura B).


Página 70

Figura 51

Figura 52

El momento mayorado máximo será igual al momento de las fuerzas que actúan sobre la

totalidad del área de la zapata, en un lado de ese plano vertical. Se puede expresar entonces:

2 2

1 12 2 2 2 2 2 2u uu

P Pb bB B BM

B B = − = −


Página 71

Figura 53

De acuerdo con los artículos C.15.4.3 y C15.4.4, el refuerzo resultante debe repartirse

uniformemente a todo lo ancho de la zapata, con excepción del refuerzo transversal de zapata

rectangulares, en donde una banda central de ancho igual al menor de la zapata debe tener

uniformemente repartida una porción del refuerzo total dada por la ecuación:

Refuerzo en el ancho de la banda

Refuerzo total en la dirección corta

2

1sγβ

= =+

Donde:

Longitud larga

Longitud cortaβ =

Banda central: s sAγ

Fuera de la banda central: ( )1 s sAγ−

• En cualquier caso, el refuerzo a flexión debe tener una cuantía mínima de 0,0020 en ambas

direcciones.

• En el evento en que la zapata pueda quedar sometida a solicitaciones de tensión, debe

considerarse un refuerzo para flexión en su parte superior (o parrilla de acero superior), en

la cuantía requerida o mínima y revisarse el acero que pasa a la columna a tensión.

vii. Revisar el aplastamiento: Se suele considerar que la presión de compresión que transmite la

columna o pedestal se va disipando con el espesor h de la zapata, a razón de 2 horizontal

por 1 vertical, desde el área A1 en su cara superior (área de contacto columna o pedestal –

zapata), hasta el área A2 en su cara inferior. La capacidad de carga por aplastamiento debe

ser tal que:


Página 72

( )1 2 1 2 10,85 2uP f cA A A A Aφ ′< ∴ ≤

Figura 54

Diseño de zapatas – zapatas con flexión en una dirección

Esta situación corresponde al caso de una zapata que transmite una carga de servicio P con una

excentricidad e, de modo que M=P× e. En este caso, puede analizarse la distribución de

presiones de una manera simplista asumiendo que las presiones tienen una variación lineal en la

dirección L.

Se analizan dos casos:

i. Cuando la excentricidad es menor o igual que un sexto del ancho de la zapata (e<=L/6).

Figura 55


Página 73

Figura 56

ii. Cuando la excentricidad es mayor que un sexto del ancho de la zapata (e>L/6).

3

2

qmBP =

2

3

Pq

mB=

/ 2m L e= −

Figura 57

Procedimiento de diseño:

• Se selecciona L, de tal manera que L sea mayor que 6e (L>6e), y se despeja B, suponiendo

que qmax = qa (obtenida en el estudio de suelos).


Página 74

61

a

P eB

q L = +

Las parejas de L y B se determinan, de tal modo que la relación L/B este comprendida entre 1.5

y 2.0 (relación que normalmente se utiliza).

i. Se mayoran las cargas de servicio.

ii. Se revisa el punzonamiento.

iii. Se revisa la cortante bidireccional.

iv. Se calcula el acero longitudinal, es decir en el sentido del momento (acero principal).

v. Se calcula el acero transversal. Teniendo como base el acero mínimo, concebido como si

fuera en una sola dirección.

Revisar punzonamiento ó cortante bidireccional

Figura 58

( )( )max min

2u u

up u c c

q qV P l d b d

+= − + +


Página 75

Revisar cortante unidireccional

Sentido Longitudinal

Figura 59

( )max min

2 2cu u

ud

B bq qV d L

− += −

Sentido Transversal

Figura 60

( )max

2 2cud u

ud

L lq qV d B

− += −


Página 76

Diseño de zapatas – zapatas con flexión biaxial

Esta situación se presenta cuando la viga de amarre no toma momentos. La zapata entonces

trabaja a carga axial y a momentos flectores sobre los ejes “x” y “y”, como se indica en la

Figura:

Figura 61

Si / 6xe L≤ y / 6ye B≤ toda la superficie bajo la zapata estará sometida a compresión con una

distribución de presiones en forma de prisma rectangular truncado o rebanado por un plano

inclinado, tal como se muestra en la siguiente figura;

Figura 62


Página 77

Figura 63

La distribución de presiones debajo de la zapata se puede expresar como:

661 yx

a

eePq q

BL L B

= ± ± <

Infinitas soluciones

Entonces:

• Se supone q=qa y B≥ 6ey, para despejar L.

• Si ey=2ex (B=2L). Pero se recomienda colocar B=L para evitar errores en colocación de

refuerzo.

Revisar punzonamiento ó cortante bidireccional

Figura 64

( )( )4 max

2u u

up u c c

q qV P l d b d

+= − + +


Página 78


Figura 65

( )max 4max 2

cu uud u

B bq qq q d

B

− −= − −

( )max

2 2cud u

ud

B bq qV d L

− += −

Diseño a flexión sección crítica cara de la columna

Figura 66

( )max 4max 2

cu uuf u

B bq qq q

B

− −= −

2 2

max 2

2 3 2u uf v v

u uf

q q L LM q L

− = +


Página 79

Diseño de zapatas – zapatas medianeras

Las zapatas medianeras son aquellas que soportan una columna dispuesta de tal forma que una

de sus caras coincida con el borde de la zapata. La necesidad de su uso es muy frecuente debido

a las limitaciones de colindancia con las edificaciones adyacentes.

Figura 67

Existen varias teorías expuestas por algunos autores para modelar y resolver el problema de

zapatas medianeras.

Caso de carga axial liviana

Enrique Kerpel hace las siguientes recomendaciones:

El equilibrio exige que la resultante de las presiones sobre el terreno sea igual y opuesta a la

carga vertical que actúa sobre la columna.

Como la zapata no es simétrica con respecto a la columna y la condición anterior debe

cumplirse de todas maneras, es evidente que se deben tener presiones mayores del lado al lado

de la columna, o sea que no habrá reacción uniforme.


Página 80

No se toma en cuenta el peso propio de la zapata.

Figura 68

Para el predimensionamiento se tienen en cuanta las siguientes expresiones:

2

3

2B b=

min

61 0

P eq

BL B = − =

max

61 a

P eq q

BL B = − =

Para que qmin = 0, se debe cumplir que e = B/6. Remplazando este valor en la expresión de qmax y

despejando L se obtiene:

2

a

PL

Bq= Zapatas Alargadas

Caso de carga axial mediana

Análisis de zapata medianera con viga aérea, recomendado por José Calavera. Este autor supone

que bajo la cimentación existe una distribución de presiones uniforme o linealmente variable, y

realiza el análisis de cada una de ellas de la siguiente manera:

• Zapata medianera con distribución uniforme de presiones y reacción mediante viga aérea.

0yF P N R= ⇒ + =∑

( )20 02 2 2O

Pb NB RBM T C h M= ⇒ + + + − + =∑


Página 81

( )( )

2 2

2

P B b MT

C h

− −=

+

Figura 69

• Zapata medianera con distribución variable de presiones y reacción mediante viga aérea. Se

considera efecto de reacción lineal no uniforme con mayor intensidad en el vértice de la

zapata. Se requiere ecuación de deformación para resolver el problema (ISE)

Figura 70

Figura 71


Página 82

Figura 72

max0

q

Kδ =

min1

q

Kδ =

max mins

q q

KBα −=

( ) 2 2

3c

cc

T M C

EI

λα

+=

λ : Coeficiente que depende del grado de empotramiento de la columna. 1λ = para

articulación. 0,75λ = para empotramiento.

Ic: Inercia de la columna.

E: Modulo de elasticidad de la columna.

K: Modulo de reacción del suelo o módulo de balasto.

Igualando los giros de las zapatas y la columna se obtiene:

2 2max min

3c

c

T C q q

EI KB

λ −=

( )max min02y

q qF P N R BL

+= ⇒ + = =∑

( ) ( ) ( )max min 20 2

210 0

2 6

q qM T C h NB Pb B L M

−= ⇒ + + + − + =∑


Página 83

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene:

2

2 23

2

36 c

B bP M

TK C

C h B LEI

λ

− − =

+ +

2 2

max 6 ac

P K C Bq T q

BL EI

λ= + ≤

2

2 23

2

36 c

B bP M

TK C

C h B LEI

λ

− − =

+ +

2 2

min 06 c

P K C Bq T

BL EI

λ= − >

Debido a que los resultados obtenidos mediante la aplicación de esta expresión son inferiores a

los obtenidos mediante un análisis de Interacción suelo estructura, se recomienda, para el

cálculo del acero de refuerzo de la viga, duplicar este valor.

El valor del coeficiente de balasto K está dado por la expresión:

0,67

fK kl=

Donde

1 0,50

1,5

b

Lf

+ =

( )21sE

klB µ

=−

Es: Modulo de elasticidad del suelo. Es=1/mv (mv: Modulo de compresibilidad obtenido en el

ensayo de consolidación).

µ: Relación de Poisson. Para suelos arcillosos = 0.35, para suelos arenosos= 0.25.


Página 84

Diseño de zapatas – zapatas esquineras

Figura 73

En la figura se muestra una sección transversal justo por la diagonal de la zapata, con base en la

cual se determinan las ecuaciones de equilibrio suponiendo que todo el terreno bajo la zapata

está comprimido.

Figura 74

Las ecuaciones de la estática:

( )2max min

2

B q qP N

++ =

( ) ( )3

max min

2 2 25 7

2 2 24

b B BT C h P N q q+ + + = +

La tercera ecuación necesaria para despejar las tres incógnitas ( )min max, y PT P es obtenida de

la compatibilidad de deformaciones, igualando el giro de la zapata al de la columna suponiendo

un módulo de balasto K

( ) 2 2max min

032

q q T L

EIKB

λ−=


Página 85

Para la solución del sistema de ecuación aparecen los siguientes términos:

4 2 2

22

36 C

B bP Mr

TKB C

C hEI

λ

− − =

+ +

Sobre la columna no hay momentos aplicados en ninguna dirección por lo que el momento

resultante 0Mr =

0

2

2T T= Para descomponer la tensión en las dos componentes en las dos dimensiones de la

zapata.

2 2

max 2

2

6 aC

P KB Cq T q

B EI

λ= + × ≤

2 2

min 2

20

6 C

P KB Cq T

B EI

λ= − × >

EJEMPLO 5

Diseñar una zapata concéntrica que soporta una columna interior de 300x400mm, con los

siguientes datos:

21

420y

f'c MPa

f MPa

==

344 sP KN=

100 aq KN=

1

2

300

400

b mm

b mm

==

Determinar ancho de la zapata

Se procede a dimensionar una zapata cuadrada de lado B que permita sostener la estructura. Esta

dimensión se calcula de la forma:

( )344 /100 1,85 S aB P q m m= = =


Página 86

Suponer espesor h de la zapata

Se supone un espesor de 250mm y el recubrimiento del acero es 75 mm.

250 75 175 150 .d mm mm mm mm ok= − = > →

Revisar punzonamiento o corte bidireccional

1,5 516u sP P KN= =

Como es el caso de una zapata cuadrada, asumiendo que debajo de ella se presenta una reacción

uniforme del suelo dada por 22

1,51 /uu

Pq KN m

B= = , el esfuerzo cortante bidireccional��

está dado por:

( )( )( )( )

21 2

21 22bd

uu

B b d b dP

B b d b d dυ

− + +=

+ + +

1

2

300

400

b mm

b mm

==

Dimensiones de la columna.

uP = Carga última que baja por la columna (mayorada).

175 d mm= Profundidad efectiva del refuerzo para un recubrimiento de 80 mm. (d debe ser

mayor que 150mm) cumple.

La expresión anterior queda planteada de la siguiente manera:

( )( )( )( )

( )( )( )

22 2

2 2 2

1,85 0,3 0,175 (0, 4 0,175)516

1,85 2 0,4 0,3 2 0,175 0,1754

1292,03 1,29

bd

bd

uu

u

B b dP KN

B md b d

kPa MPa

υ

υ

− + − + += = =

× + + × ×+

= ≈

Se debe cumplir que

0

2 0,17 1 1,95

0,083 2 2,03

0,33 1,51

c

Sup

f c MPa

df c MPa

b

f c Mpa

λβ

αυ λ

λ

′+ =

′≤ + =

′ =


Página 87

Parámetros

• 400 / 300 1,33cβ = =

• 21f c MPa′ =

• 40Sα = , columna interior

• ( )0 1 22 2 2,1b b b d m= + + =

• 1λ =

Al cumplir estos requisitos significa que la zapata no falla por punzonamiento, la columna no se

separa de la zapata.


Para el presente caso de una zapata cuadrada el cortante unidireccional udVu está dado por la

ecuación:

2 2 2

1,85 0,30,175

5162 2 2 2516,9 0,52

1,85 0,175ud

uu

B bd

P KNKPa MPa

B d mυ

− − − − = = = ≈

Se debe cumplir que 0,52 0,17 0,78 . .udu Mpa f c MPa okυ λ ′= ≤ = →

Finalmente, las dimensiones de la zapata son:

B=L=1,85 m

h=250 mm

Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo

La sección crítica en una zapata en la cual se calcula el momento mayorado máximo se

determina pasando un plano vertical justo en la cara de la columna si la columna es de concreto.

El momento mayorado máximo es igual al momento de las fuerzas que actúan en toda el área de

la zapata y se expresa como:

2 2

1 516 1,85 0,383,76

2 2 2 2 1,85 2 2uu

P bBM KN m KN m

B = − = − − = − ×


Página 88

Diseño refuerzo

Para que el acero entre en fluencia se tiene que garantizar que el comportamiento de la franja

esté controlado por la tensión, es decir, 0,375c

d≤ y el coeficiente de reducción de resistencia

se puede tomar como φ = 0,9 .

Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C

2ys

aMu A f dφ ×

= −

y 0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 21330,5As mm= y 16,9a mm= 0,114c d =

Se escogen 7 No. 5 con un 21400 sA mm=

Cuantía: 1400

0,0043 0,002 .1850 175

SAok

b dρ = = = > →

× ×

Verificar longitud de desarrollo:

694 .2,1 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo, para ambos lados no es necesario utilizar gancho.

El refuerzo anteriormente calculado debe ubicarse sobre todo el ancho para cada una de las dos

direcciones con un espaciamiento de:

( )# 2 . 1850 7 15,9 2 75265

# 1 7 1bB barras d recub

S mmbarras

− × − − × − ×= = =− −

Revisar aplastamiento

21 1 2 0,12A b b m= × =

( ) ( ) 22 1 22 2 0,72A b h b h m= + + =

2

1

0,722,44 2

0,12

A

A= = ≥ , se toma 2 dado que es el máximo admisible.

( )( )( )( )( )6 221

1

0,85 0,65 0,85 21 0,12 10 2 2784,6 n

AP f cA Mpa mm KN

Aφ φ ′= = × =

516 2784,6 .u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Página 89

Solo se requiere pedestal para cubrir con un recubrimiento dentro del suelo, lo cual se cumple

con 50 mm más que la columna a cada lado.

Detalles del refuerzo

Figura 75

EJEMPLO 6

Diseñar una zapata concéntrica que da soporte a una columna de 400× 500 cm con momento de

200 KN-m, los datos de diseño se dan a continuación.

Dimensionamiento

• La carga de servicio 1000SP KN=

• El momento de servicio 200SM KN m= −

• La excentricidad 200

0,2 1000

S

S

Me m m

P= = = (La excentricidad que se calcula con las

cargas de servicio es igual a la calculada con las cargas mayoradas).

• La zapata se dimensiona mediante las siguientes expresiones:

max

61S

a

P eq q

BL L = + ≤

min

61 0SP e

qBL L

= − ≥


Página 90

Para que se cumpla las expresiones anteriores la resultante debe estar en el tercio medio de la

base e L≤ 6 . Se dimensiona la zapata asumiendo L mucho mayor que 6e. Inicialmente

1,5L B= .

61

1,5 1,5S

a

P eB

Bq B

≥ +

( )( )

2

6 0,1864301

1,51,5 230

mKNB

BB KN m

≥ +

Iterando 2,5B m≥

Tomando B de 2,6 m y L de 3,9 m se obtiene:

( ) ( )( )

max

6 0,210001 129 150 .

2,6 3,9 3,9

mKNq KPa KPa ok

m m

= + = ≤ →

( )( )( )

min

6 0,210001 68 0 .

2,6 3,9 3,9

mKNq KPa KPa ok

m m

= − = ≥ →

3,90,65 0,2 .

6 6

Lm m e m ok= = > = →

Revisión cortante por punzonamiento en sección crítica a “d/2” de la columna

El espesor de la zapata sobre el suelo por encima del refuerzo inferior no puede ser menor a 150

mm. Se supone inicialmente un espesor de 400 mm. Si el recubrimiento es de 75mm entonces la

profundidad efectiva del refuerzo es

Con 400h mm=

80 400 75 325d h mm mm= − = − =

Cargas mayoradas

1,5 1000 1500uP KN KN= × =

1,5 1,5 200 300suM M KN m KN m= = × − = −

max 129 1,5 193,5 uq KPa KPa= × =

min 68 1,5 102 uq KPa KPa= × =

La fuerza total por punzonamiento de la columna sobre la zapata es

( )max min ( )2

u uup u c c

q qV P l d b d

+= − + +

( )193,5 1021500 0,5 0,325 (0,4 0,325) 1412

2upV KN+= − + + =


Página 91

El esfuerzo cortante por punzonamiento es

( ) ( )0 2 2 2 0,4 0,5 2 0,325 3,10c cb b l d m m= + + = + + × =

( )0

14120001,40

3100 325up

up

V KNMPa

b dυ = = =

×

Se debe cumplir que

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,03

1,25

40 0,325 0,083 2 0,083 2 1 21 2,36

3,10

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =

Parámetros

• 1, 25Cβ = columna rectangular

• 21f c MPa′ =


• 0 3,10 b m=

Cortante directo sección crítica a “d” de la columna

Como la zapata no es cuadrada se debe chequear el cortante en los dos sentidos

Sentido longitudinal

La fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es

( ) ( ) 2max min2

2,6 0,4193,5 1020,325 3,9 447

2 2 2 2cu u

ud

B bq q KNV d L m KN

m

− − + += − = − =

El esfuerzo cortante es

( ) 2

447352,66 0,353

3,9 0,325ud

up

V KNKPa MPa

Ld mυ = = = =

×

Debe ser menor que 0,17 1 21 0,78 . MPa ok× × = →


Página 92

Sentido transversal

( )max minmax 2

cu uud u

L lq qq q d

L

− −= − −

( )3,9 0,5193,5 102193,5 0,325 161,35

3,9 2udq KN− −= − − =

La fuerza cortante vertical en sentido transversal es:

( )max

2 2cud u

ud

L lq qV d B

− += −

( )3,9 0,5161,25 193,50,325 2,6

2 2udV− += −

634, 20 udV KN=

El esfuerzo cortante es:

634,20750,53 0,75

2,6 0,325ud

up

VKPa MPa

Bdυ = = = =

×

Debe ser menor que 0,17 1 21 0,78 .MPa ok× × = →

Diseño a flexión sección crítica del pedestal

El momento externo en cualquier sección de una zapata se determina pasando un plano a través

de la zapata, y calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad del área de la

zapata, en un lado de ese plano vertical.

Refuerzo en sentido longitudinal

2 2max 2

2 3 2u uf v v

ufuq q L L

M q B −

= +

Donde:

max minmax 2

u u cuf u

q q L lq q

L

− − = −

193,5 102 3,9 0,5193,5 153,76

3,9 2fqu KPa− − = − =

1,72

cv

L lL m

−= =


Página 93

2 2193,5 153,76 2 1,7 1,7153,76 2,6

2 3 2uM

− × = +

677,8 uM KN m= −

Diseño de refuerzo a flexión en dirección larga con

2,6B m=

0,325d m=


2ys

aMu A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 2 y6022,2 54,5As mm a mm= = 0,197c d =


Cuantía 6450

0,0076 0,002 .2600 325

sAok

b dρ = = = > →

× ×


1548 .1,7

t e bd

yf dL mm ok

fc

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo para ambos lados, no es necesario utilizar gancho.

Para el espaciamiento, se usa la fórmula:

( )# 2 . 2600 10 28,7 2 75241


S mmbarras

− × − − × − ×= = =− −

El refuerzo en sentido longitudinal debe distribuirse uniformemente a todo el ancho de la zapata

con un espaciamiento de 241 mm

Refuerzo en sentido transversal o corto

2max min

2 2u u vu

q q LM L

+ =

1,102

cv

B bL m

−= =


Página 94

2193,5 102 1,13,9

2 2uM

+ =

349,04 uM KN m= −

Diseño de refuerzo a flexión en dirección corta con

3,9 L m=

0,325d m=


2ys

aMu A f dφ ×

= −

y 0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 22920,3sA mm= y 17,6a mm= 0,057c d =


Cuantía 3124

0,0025 0,002 .3900 325

sAok

b dρ = = = > →

× ×


834 .2,1 '

t e bd

fy dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo, para ambos lados, no es necesario utilizar gancho.

Para el refuerzo en la dirección corta, una porción del refuerzo total en la dirección larga debe

distribuirse uniformemente sobre un ancho de faja centrada sobre el eje de la columna o

pedestal, igual a la longitud del lado corto de la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en

la dirección corta, debe distribuirse uniformemente por fuera del ancho de faja central en la

zapata.

Refuerzo en el ancho de la faja


2

1β=

+

Donde β : Cociente entre el lado largo y lado corto de la zapata

1,5L

Bβ = =

2Refuerzo en el ancho de la faja Refuerzo total en la dirección corta

1β=

+


Página 95

( )2 2Refuerzo en el ancho de la banda2

3124 24502,5

mm mm= =

En la faja central deben colocarse 9 barras No. 6 equivalentes a 22556 mm , con un

espaciamiento igual a:

# 2600 9 19,1=304

# 1 9 1bB barras d

S mmbarras

− × − ×= =− −

2 2 2Refuerzo por fuera del ancho de banda3124 2556 568 mm mm mm= − =

El refuerzo por fuera de la faja equivale a 2 No. 6. Por lo cual se debe colocar una barra por

fuera de la faja central, una a cada lado, en la mitad entre el borde de la faja y el borde de la

zapata.

Resistencia a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)

21 0,20c cA b l m= × =

( ) ( )( )( )6 210,85 0,65 0,85 21 0,20 10 2320,5 nP f cA Mpa mm KNφ φ ′= = × =

no se requiere pedestal1500 2320,5 u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Figura 76


Página 96

EJEMPLO 7

Diseñar una zapata con flexión biaxial para los siguientes datos:

1000

250 .

300 .

150

' 21

420

500

ys

xs

a

c c

y

Ps KN

M KN m

M KN m

q KPa

f c MPa

f MPa

b l mm

==

==

=== =

Dimensionamiento

De acuerdo a las cargas de servicio, las excentricidades son:

0,25

0,30

xsy

ysx

Me m

PsM

e mPs

= =

= =

Es de tener en cuenta que las excentricidades calculadas con las cargas de servicio son iguales a

las calculadas con las cargas mayoradas.

La zapata se dimensiona según las siguientes expresiones mediante ensayo y error:

1 min

2

3 max

4

66(1 ) 0

66(1 ) 0

66(1 )

66(1 ) 0

yxs s

yxs

yxs s a

yxs

eePsq q

BL L BeePs

qBL L B

eePsq q q

BL L BeePs

qBL L B

= = − − ≥

= − + ≥

= = + + ≤

= + − ≥


Página 97

Se requiere que 6

6

y

x

Be

Le

≤

≤

Se asume L=B debido a que la diferencia entre los momentos en x y y no es grande.

De los tanteos de B se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 7.

qs (kPa)

B=L q1s=qmin q2s q3s=qmax q4s

2,00 -162,50 212,50 662,50 287,50

3,00 -11,11 100,00 233,33 122,72

3,50 4,66 74,64 158,60 88,63

3,60 6,43 7063,00 147,89 83,59

Por lo tanto, B=L=3,6 m y se cumple que:

max

min

, 0,66

0

x y

s a

s

Le e m

q q

q

≤ =

<>



mm. Se supone inicialmente un espesor de 400 mm. Si el recubrimiento es de 75mm entonces la

profundidad efectiva del refuerzo es

Con 400h mm=

80 400 75 325d h mm mm= − = − =

El cortante por punzonamiento se evalúa para la condición de carga más alta.

1,5 1000 1500uP KN KN= × =

La fuerza total por punzonamiento de la columna sobre la zapata es:

( )4 max ( )2

u uup u c c

q qV P l d b d

+= − + +

( )2125,39 221,841500 0,5 0,325 1382

2upV KN+ = − + =


Página 98

El esfuerzo cortante por punzonamiento es:

( ) ( )0 2 2 2 0,5 0,5 2 0,325 3,30c cb b l d m m= + + = + + × =

( )0

13820001,29

3300 325up

up

V KNMPa

b dυ = = =

×

Se debe cumplir que

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,34

1

40 0,325 0,083 2 0,083 2 1 21 2,26

3,3

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =

Parámetros

• 1Cβ = columna rectangular

• 21f c MPa′ =


• 0 3,10 b m=

Cortante unidireccional sección crítica a “d” de la columna

( )max 4max 2

cu uud u

B bq qq q d

B

− −= − −

( )3,6 0,5221,84 125,39221,84 0,325 189,02

3,6 2udq KPa− −= − − =

La fuerza cortante vertical que actúa sobre el voladizo es:

( )max

2 2cud u

ud

B bq qV d L

− += −

( )3,6 0,5189,02 221,840,325 3,6 906

2 2udV KN− += − =


Página 99


9060000,77

3600 325ud

up

VMPa

Ldυ = = =

×



El voladizo crítico para flexión es el más cargado


2 2max 2

2 3 2u uf v v

ufuq q L L

M q L −

= +

Donde:

max 4max 2

u u cuf u

q q B bq q

B

− − = −

22,84 125,39 3,6 0,5221,84 180,31

3,6 2ufq KPa− − = − =

1,552

cv

B bL m

−= =

2 2221,84 180,31 2 1,55 1,55180,31 3,6

2 3 2uM

− × = +

899, 47uM KN m= −

Diseño de refuerzo a flexión con

3,6B m=

0,325d m=


2yu s

aM A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 27959 sA mm= y 52 a mm=


Cuantía 8190

0,007 0,002 .3600 325

sAok

b dρ = = = > →

× ×


Página 100


1742 .1,7 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →



( )# 2 . 3600 10 32,3 2 75348


S mmbarras

− × − − × − ×= = =− −

El refuerzo debe distribuirse uniformemente a todo el ancho y largo de la zapata con un

espaciamiento de 395 mm.


21 0,25c cA b l m= × =

( ) ( ) ( )( )6 210,85 0,65 0,85 21 0,25 10 2900 nP f cA Mpa mm KNφ φ ′= = × =

no se requiere pedestal1500 2900 u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Figura 77


Página 101

EJEMPLO 8

Para un proyecto de cimentación se tienen las siguientes tipologías de zapatas:

Tabla 8.

Dimensiones columna

Pd (KN)

Pl (KN)

f`c (Mpa)

fy (Mpa)

qa (KN/m2)

Profundidad (m)

Ubicación columna

300x300mm 150 200 21 420 200 1,2 Esquina

400x400mm 220 330 21 420 250 1,2 Lindero

400x400mm 250 350 21 420 250 1,5 Interior

350x350mm 180 250 21 420 230 1,5 Interior momento

Momento aplicado a la columna de 350mm x350mm de 80 KN-m

1. Zapata esquinera en el vértice del lindero, sostiene una columna de 300x300 mm,

Información básica

(150 200) 350S D lP P P KN KN= + = + = 420 yf MPa=

200aq KPa= ' 21f c MPa=

300b mm=

Suposiciones

• El suelo sobre el que se apoya la zapata es una arcilla de consistencia media, módulo de

elasticidad SE de 10MPa y relación de Poisson 0,35µ = .

La comprobación de aq , debe realizarse a partir de maxq y minq . Sin embargo como no hay

excentricidad B se pre-dimensiona como una zapata concéntrica.

3501,32

200S

a

P KNB m m

q KN= = ≥

• Se toma un 2,5B m= y altura de pedestal 0,4C m=

En las expresiones anteriores se tiene que:

λ = 0,75 Suponiendo que la conexión viga columna es empotrada.


Página 102

k = Coeficiente de balasto dado por 10,67

fk k= ; con

1 0,5

1,5

B

Lf+

= y ( )1 21 µ=

−SE

kB

2,51 0,5

2,51

1,5f

+ = =

210S

NE

mm=

31 2 3 3

104,56 10

2500(1 0,35 )

N Nk

mm mm−= = ×

−

3 33 3

14,56 10 6,80 10

0,67

N Nk

mm mm− −= × = ×

24700 4700 21 21538

NE f c MPa

mm′= = = : Módulo de elasticidad del concreto

( )44 6 41 1300 675 10

12 12CI b mm mm= = = × : Momento de inercia de la columna de

concreto

• El espesor de la zapata debe ser mayor que 150 mm. Se supone un espesor de zapata de

800 .h mm=

( )4 2 2

22

36

S

S

C

P B b MrT

KB CC h

EI

λ

− −=

+ +

0Mr = : No hay momentos actuantes sobre la columna

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )4 2 23 3

2 6 4

2500 300350000 2

2

6,80 10 2500 0,75 400400 800

36 21538 675 10

S

N mmT

N mm mm mmmm mm

N mm mm

−

− =

× + +

×

437,1 ST KN=

0

2309,1

2 ST T KN= =

2 2

max 2

2

6 aC

P KB Cq T q

B EI

λ= + × ≤


Página 103

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )

2 23 3

3max 2 2 6 4

max

6,80 10 2500 2 0,75 400350000437,1 10

2500 6 21538 675 10

0,0668 0,200 .

N mm mm mmNq N

N mm mm

q MPa ok

− × = + × ×

= ≤ →

2 2

min 2

20

6 C

P KB Cq T

B EI

λ= − × >

( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 23 3

3min 2 2 6 4

min

6,80 10 2500 2 0,75 400350000437,1 10

2500 6 21538 675 10

0,0451 0 .

N mm mm mmNq N

N mm mm

q MPa ok

− × = − × ×

= > →

Revisar cortante bidireccional

Las cargas admisibles en la zapata son

max 66,85 q KPa= min 45,15 q KPa=

Mayorando las cargas por un factor de 1.5, se halla las cargas últimas debajo de la zapata:

max 100,27 uq KPa= min 67,73 uq KPa=

Se evalúa la carga última de reacción promedio en la zapata umq (en toda la diagonal) al igual

que la carga última de reacción promedio en el cuadrado de lado 2 uxb d q+

max min2 2

100,27 67,7384

2 2u u

um

q q KN KNq

m m

+ += = =

max minmax 2

2

100,2 67,73 0,725100,2 0,3

2 2 2 2,5 2

95,96

u uux u

ux

q q d KNq q b

B m

KNq

m

− − = − + = − + ×

=


( ) ( )( ) ( )2 2

2 2 0,72584 2,5 95,96 0,3 482,9

2 2ux um ux

dV q B q b KN

= − + = − + =

El esfuerzo cortante por punzonamiento upυ

0

uxup

V

b dυ =


Página 104

Donde 0

0,7252 2 0,3 1,33

2 2

db b m m = + = + =

2

482,80,5 .

1,33 0,725up

KNMPa ok

mυ = = →

×

• Se debe cumplir que

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,34

1

20 0,72 0,083 2 0,083 2 1 21 4,91

1,32

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =

Parámetros

• 1cβ = columna cuadrada

• 21 f c MPa′ =

• 20sα = , columna en una esquina

• 0 1,32 b m=

Cortante directo sección crítica a una distancia “d” de la columna

Como se parte de que la distribución de presiones en la zapata linealmente en la diagonal se

vuelve complejo hallar la reacción resultante “exacta” en las porciones indicadas de la zapata

por lo que se utiliza la siguiente expresión más sencilla y más conservadora:

( ) ( )84 2,5 2,5 0,3 0,725 309,75ud umV q B B b d KN= − − = − − =


309,75170,9 0,171

2,5 0,725ud

ud

VKPa KPa MPa

Bdυ = = = ≈

×

Debe ser menor que 0,17 0,17 1 21 0,78 .f c MPa okλ ′ = × × = →

Diseño a flexión de la zapata

Según José calavera se supone que la zapata se encuentra apoyada sobre dos vigas virtuales en

voladizo como muestra la siguiente figura. La placa está sometida a dos momentos máximos


Página 105

uno en dirección de la diagonal que pasa por la columna (produce tracción en la cara inferior de

la zapata) y otro en dirección ortogonal a la anterior (produce tracciones en la cara superior). La

magnitud de estos momentos es prácticamente la misma, obteniéndose por unidad de ancho.

3

4,8um

p

q BM =

Figura 78

El refuerzo en la placa se coloca en las dos direcciones ortogonales de modo que cada parrilla

resista pM . El diseño de las vigas virtuales se realiza para el momento vM

3

3um

v

q BM =

Momento en la parrilla

( ) ( )33 84 2,5273,44

4,8 4,8um

L p

q BM M KNm= = = =


2yu s

aM A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 21004 sA mm= y 9,5 a mm= 0,0154c d =

Cuantía: Se debe tomar cuantía mínima1004

0,00055 0,002 2500 725

sA

b dρ = = = >

× ×

2min 3625 sA b d mmρ= × × =


Página 106



1197 .1,7 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →


Espaciamiento:

( )# 2 . 2200 10 22,2 2 75203


S mmbarras

− × − − × − ×= = =− −

Las barras deben distribuirse uniformemente en ambos sentidos de la zapata, a una distancia de

237 mm.

Momento en las vigas virtuales

( ) ( )33 84 2,5437,5

3 3um

v

q BM KN m= = = −


2yu s

aM A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×



Cuantía: 1638

0,0076 0,002 300 725

sA

b dρ = = = >

× ×


1742 .1,7 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →


Chequear aplastamiento

( )22 21 0,3 0,09A b m= = =

( ) ( )2 2 22 0,3 0,8 1, 21A b h m= + = + =


Página 107

2

1

1,213,67 2

0,09

A


( )( )( )( )( )6 221

1

0,85 0,65 0,85 21 0,09 10 2 2088,5 n

AP f cA MPa mm KN

Aφ φ ′= = × =

350 1,5 525 2088,5 .u nP KN KN P KN okφ= × = ≤ = →


Figura 79

2. Zapata medianera columna en el límite del lindero con columna de 400x400mm

(220 330) 550S D lP P P KN KN= + = + = 420 yf MPa=

250aq KPa= ' 21f c MPa=

400b mm= 0,5C m=

Determinar dimensiones de la zapata

Para dimensionar la zapata se utiliza la expresión dada por Meyerhof:

( )max 2 2S

a

Pq q

B e L= ≤

−

• Para este caso como no existen momentos aplicados a la columna 0e=


Página 108

• La relación más eficiente para zapatas medianeras con viga aérea es 2, 2L

B=

Sustituyendo lo anterior en la ecuación, se obtiene:

5501,05

2 2 250S

a

PB m

q≥ = =

×

Se asume 1,8 y 3,6B m L m= =


Se supone un espesor de h=600mm y el recubrimiento del acero es 80 mm, por lo cual

525d mm=

Tensión en la viga aérea y presiones máximas y mínimas ejercidas por el suelo a la cara

inferior de la zapata

Según J. calavera estas están dadas por las siguientes ecuaciones:

2

2 23

2

36

S

s

C

B bP

Tk c

c h B LEI

λ

− =

+ +

2 2

max 6S

s S aC

P k c Bq T q

BL EI

λ= + ≤

2 2

min 06

Ss s

C

P k c Bq T

BL EI

λ= − >

Donde:

• 0,75λ = conexión viga columna empotrada

• 3 38,5 10K N mm−= × coeficiente de Balasto (Supuesto)

• 24700 ´ 21538 21538 /E f c MPa N mm= = = Módulo de elasticidad del concreto.

• 3 6 412133,3 10

12CI lb mm= = × Momento de inercia de la columna.


Página 109

Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores, se obtiene:

( ) ( )

( )( ) ( )

2 233

3

6 42

1800 400550

2

8,5 10 0,75 500500 600 1800 3600

36 21538 2133,3 10

s

mm mmKN

TN

mmmm

mm mm mm mmN

mmmm

−

− =

× + + ×

385000345,24

500 600 15,17s

KN mmT KN

mm mm mm

−= =+ +

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 233

max6 4

2

max

max

8,5 10 0,75 500 1800550000

3452401800 3600 6 21538 2133,3 10

0,0848 0,00269

87,57 250 .

s

s a

s

Nmm mm

N mmq N

Nmm mmmm

mm

q MPa MPa q

q KPa KPa ok

− × = +

×

= + ≤

= ≤ →

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 233

min6 4

2

min

min

8,5 10 0,75 500 1800550000

3452401800 3600 6 21538 2133,3 10

0,0848 0,00269 0

82,18 0 .

s

s

s

Nmm mm

N mmq N

Nmm mmmm

mm

q MPa MPa

q KPa KPa ok

− × = −

×

= − ≥

= ≥ →

Los valores de maxsq y minsq para estado último de carga son:

max max1,5 131,36u sq q KPa= =

min min1,5 123,16u sq q KPa= =

Cortante por punzonamiento (cortante bidireccional)

Las cargas mayoradas son:

( )1,2 1,6 1,2 220 1,6 330 792 u D LP P P KN KN= × + × = × + × =


Página 110

Esfuerzo en la sección critica

max minmax 2

2 2u u

d uu

q q dq q b

B

− = − +

2

131,36 123,16 0,52131,36 0,4

1,8 2du

KPa KPa mq KPa m

m

− = − +

2

128,35du

q KPa=

La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:

( )max

22 12 2

u du

up u

q qd

V P b d b

+ = − + × +

( )131,36 128,35 0,52792 0,4 0,52 0,4

2 2upV+ = − + × +

713,15 upV KN=

El esfuerzo cortante por punzonamiento es:

0

upup

V

b dυ =

Donde:

( )0 1 22 2,242

db b d b m

= + + + =

Se obtiene que:

( ) ( )713150

2240 520 up

N

mm mmυ =

×

0,61 up MPaυ =

Se debe de cumplir que:

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,33

1

30 0,52 0,083 2 0,083 2 1 21 3,41

2,24

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =


Página 111

Donde:


• 21f c MPa′ =

• 30sα = , columna de borde

• 1λ = , concreto de peso normal

• 0 2,24b m=



Cortante Unidireccional en sentido longitudinal (L)

[ ]max minmin 2

u uud u

q qq q B b d

B

−= + − −

[ ]131,36 123,16123,16 1,8 0,4 0,52

1,8udq−= + − −

2127,17ud

KNq

m=

La fuerza cortante en el sentido longitudinal es:

[ ]min22

u udud

q qV B b d L

+= − −

[ ]123,16 127,171,8 0,4 0,52 3,6

2udV+= × − − ×

396,52udV KN=


udud

V

Ldυ =

( ) ( )396520

3600 520 ud

N

mm mmυ =

×

0,21 0,17 ' 0,78 .ud Mpa f c MPa okυ = < = →


Página 112

Cortante Unidireccional en sentido transversal (B)

La fuerza cortante en sentido transversal es:

( )1min max

2 2u u

ud

L bq qV d B

− += −

( )3,6 0,4123,16 131,360,525 1,8

2 2udV− += −

247,39 udV KN=

El esfuerzo a cortante es:

udud

V

Bdυ =

( ) ( )247390

1800 520 ud

N

mm mmυ =

×

0,26 0,17 ' 0,78 .ud MPa f c MPa okυ = < = →

Finalmente las dimensiones de la zapata son:

1,8

3,6

0,6

B m

L m

h m

===

Refuerzo en sentido longitudinal o largo

2min max

2 2u u vu

q q LM B

+ =

Donde:

1 1,62 2v

bLL m= − =

Entonces

( )2123,16 131,36 1,6

1,82 2

uM+ =

293,21 uM KN m= −


2yu s

aM A f dφ ×

= −

y 0,85

s yA fa

f c b

×=′ ×


Página 113



Cuantía: usar cuantía mínima1600

0,0017 0,002, 1800 525

sA

b dρ = = = >

× ×

2min 0,002 1800 525 1890sA b d mmρ= × × = × × =

Entonces se escogen finalmente 7 No. 6 con un 21988 sA mm=


834 .2,1 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho.


( )# 2 .253

# 1bB barras d recub

S mmbarras

− × −= =

−

El refuerzo en la dirección larga debe distribuirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata

con una separación de 253 mm.


[ ]max minmin 2

u uuf u

q qq q B b

B

−= + −

[ ]131,36 123,16123,16 1,8 0,4

1,8ufq−= + −

129,54ufq KPa=

2 2min

min 2 2 3uf uv v

uuq qL L

M q L −

= +

Donde:

2 1,4 vL B b m= − =

Entonces:

2 21,4 129,54 123,16 1,4123,16 3,6

2 2 3uM

− = +

442,01 uM KN m= −



Página 114

2yu s

aM A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×



Cuantía: 2272

0,0012 0,002 3600 525

sA

b dρ = = = >

× ×Se debe tomar cuantía mínima.

2min 0,002 3600 525 3780sA b d mmρ= × × = × × =

Se escogen 10 N0. 7 con un 23870sA mm=


1197 .1,7 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho.

Para el refuerzo en la dirección más corta de la zapata, una porción del refuerzo total obtenido

debe distribuirse uniformemente sobre una faja centrada sobre el eje de la columna de igual

longitud a la del lado corto de la zapata.

Se tiene que:

Refuerzo en el ancho de la faja


2

1β=

+

Donde 2β = → relación entre el lado largo y el lado corto de la zapata.

Refuerzo en el ancho de la faja Refuerzo total en la dirección corta2

1β=

+

( )2 2Refuerzo en el ancho de la faja2

3870 2580 2 1

mm mm= =+

El refuerzo en el ancho de la faja, distribuido uniformemente se logra con 7 No. 7 espaciadas a

274 mm.

#274

# 1bB barras d

S mmbarras

− ×= =−

2 2 2Refuerzo por fuera del ancho de la faja3870 2709 1161 mm mm mm= − =

El refuerzo por fuera de la faja equivale a 3 No. 7, pero para garantizar simetría se ubicarán dos

barras No. 7. Por lo cual se debe colocar dos barras por fuera de la faja central, dos a cada lado,

entre el borde de la faja y el borde de la zapata.


Página 115

Chequear aplastamiento

( )22 21 0,4 0,16 A b m m= = =

( ) ( ) 22 2 1,6 A b h b h m= + × + =

2

1

1,63,16 2

0,16

A


( )( )( ) ( ) ( )6 221

1

0,85 0,65 0,85 21 0,16 10 2 3712,8 n

AP f cA MPa mm KN

Aφ φ ′= = × =

792 3712,8 .u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Figura 80

3. Zapata concéntrica columna interior de 400x400mm

' 21

420y

f c MPa

f MPa

==

Determinar ancho de la zapata

La carga muerta es 250 DP KN= y la carga viva es 350 LP KN= , entonces la carga total a

transmitir al suelo es ( )250 350 600S D LP P P KN KN= + = + = . La capacidad de carga

admisible del suelo que soporta la zapata es 2

250a

KNq

m= .


Página 116

Se procede a dimensionar una zapata cuadrada de lado B que permita sostener la estructura. Esta

dimensión se calcula de la forma:

( )600 250 1,55 S aB P q m m= = =

Se toma un lado 1,8B m=


Se supone un espesor de 400 mm y el recubrimiento del acero es 80 mm.

Revisar punzonamiento o corte bidireccional

Como es el caso de una zapata cuadrada, asumiendo que debajo de ella se presenta una reacción

uniforme del suelo dada por 2uP

qB

= , el esfuerzo cortante bidireccional�� está dado por:

( )( )( )( )

21 2

21 22bd

uu

B b d b dP

B b d b d dυ

− + +=

+ + +

( )1,2 1,6 1,2 250 1,6 350 860 u D LP P P KN KN= × + × = × + × =

1 2 400 b b b mm= = = → Dimensiones de la columna.

uP → Carga última que baja por la columna (mayorada).

325 d mm= → Profundidad efectiva del refuerzo para un recubrimiento de 75 mm. (d debe

ser mayor que 150mm) cumple

La expresión anterior queda planteada de la siguiente manera:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 22 2

2 2 2

1,8 0,4 0,325860764 0,76

1,84 4 0,325 0,4 0,325bd

uu

B b dP KNKPa MPa

B md b dυ

− + − += = = ≈

+ × +

Se debe cumplir que

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,33

1

40 0,325 0,083 2 0,083 2 1 21 2,48

2,88

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =


Página 117

Parámetros


• 21f c MPa′ =

• 40sα = , columna interior

• ( ) ( )0 4 4 0,4 0,32 2,88 b b d m= + = + =

• 1λ =




Para el presente caso de una zapata cuadrada el cortante unidireccional uduV está dado por la

ecuación:

2 2 2

1,8 0,40,325

8602 2 2 20,31

1,8 0,325u

udu

B bd

P KNMPa

B d mυ

− − − − = = =

Se debe cumplir que 0,31 0,17 0,78 .udu MPa f c MPa okυ λ ′= ≤ = →

Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo

La sección crítica en una zapata en la cual se calcula el momento mayorado máximo se

determina pasando un plano vertical justo en la cara de la columna si la columna es de concreto.

El momento mayorado máximo es igual al momento de las fuerzas que actúan en toda el área de

la zapata y se expresa como:

2 2

1 860 1,8 0,4117

2 2 2 2 1,8 2 2uu

P bBM KN m KN m

B = − = − − = − ×

Diseño refuerzo

Para que el acero entre en fluencia se tiene que garantizar que el comportamiento de la franja

esté controlado por la tensión, es decir, 0,375c

d≤ y el coeficiente de reducción de resistencia

se puede tomar como φ = 0.9 .



Página 118

2yu s

aM A f dφ ×

= −

y 0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 2972 sA mm= y 13 a mm= 0,047c d =


Cuantía: 1032

0,0017 0,002 1800 325

sA

b dρ = = = >

× ×Se debe tomar cuantía mínima.

2min 0,002 1800 325 1170sA b d mmρ= × × = × × =

Se escogen 10 No. 4 con un 21290sA mm=


555 .2,1 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →


El refuerzo anteriormente calculado debe ubicarse sobre todo el ancho para cada una de las dos

direcciones con un espaciamiento de:

( )# 2 .170


S mmbarras

− × −= =

−

Revisar aplastamiento

( )22 21 0,4 0,16A b m m= = =

( ) ( )2 2 22 2 0,4 2 0,4 1,44A b h m= + = + × =

2

1

1,443 2

0,16

A


( )( )( ) ( ) ( )6 221

1

0,85 0,65 0,85 21 0,16 10 2 3712,8 n

AP f cA MPa mm KN

Aφ φ ′= = × =

860 3712,8 .u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Página 119


Figura 81

4. Zapata concéntrica con columna de 350x350 mm con momento de 80 KN-m

Dimensionamiento

• La carga de servicio ( )180 250 430S D LP P P KN KN= + = + =

• El momento de servicio 80 sM KN m= −

• La excentricidad 80

0,186 430

s

s

Me m m

P= = = (La excentricidad que se calcula con las

cargas de servicio es igual a la calculada con las cargas mayoradas).

• La zapata se dimensiona mediante las siguientes expresiones:

max

61s

a

P eq q

BL L = + ≤

min

61 0SP e

qBL L

= − ≥

Para que se cumpla las expresiones anteriores la resultante debe estar en el tercio medio de la

base 6e L≤ . Se dimensiona la zapata asumiendo L mucho mayor que 6e. Inicialmente

1,5L B=


Página 120

61

1,5 1,5S

a

P eB

Bq B

≥ +

( )( )

2

6 0,1864301

1,51,5 230

mKNB

BB KN m

≥ +

Iterando 1,38B m≥

Tomando B de 1,5 m y L de 2,3 m se obtiene:

( ) ( )( )

max

6 0,1864301 185,1 230 .

1,5 2,3 2,3

mKNq KPa KPa ok

m m

= + = ≤ →

( )( )( )

min

6 0,1864301 64,2 0 .

1,5 2,3 2,3

mKNq KPa ok

m m

= − = ≥ →

2,30,38 0,186 .

6 6

Lm m e m ok= = > = →



mm. Se supone inicialmente un espesor de 500 mm. Si el recubrimiento es de 75 mm entonces

la profundidad efectiva del refuerzo es

Con 400h mm=

80 400 75 325d h mm mm= − = − =

Cargas mayoradas

( ) ( )1,2 1,6 1,2 180 1,6 250 616u D LP P P KN KN KN= + = + =

1,5 1,5 80 120suM M KN m KN m= = × − = −

max 185,1 1,5 277,6 uq KPa KPa= × =

min 64,2 1,5 96,3 uq KPa KPa= × =


( )2max min

2u u

up u

q qV P b d

+ = − +

( )2277,6 96,3616 0,35 0,325 531

2upV KN m m KN+ = − + =


Página 121

El esfuerzo cortante por punzonamiento es

( ) ( )0 4 4 0,35 0,32 2,68b b d m m= + = + =

( ) 20

531609 0,61

2,68 0,325up

up

V KNKPa MPa

b d mυ = = = =

×

Se debe cumplir que

0

2 20,17 1 0,17 1 1 21 2,33

1

40 0,325 0,083 2 0,083 2 1 21 2,6

2,68

0,33 0,33 1 21 1,51

Sup

f c MPa

dSea f c MPa

b

f c MPa

λβ

αυ λ

λ

′+ = + =

× ′≤ + = + =

′ = × × =

Parámetros


• 21f c MPa′ =


• 0 2,68 b m=

Cortante directo sección crítica a “d” de la columna

Como la zapata no es cuadrada se debe chequear el cortante en los dos sentidos

Sentido longitudinal

La fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es

( ) ( ) 2max min2

1,5 0,35277,6 96,30,325 2,3 108

2 2 2 2u u

ud

B bq q KNV d L m KN

m

− − + += − = − =


( ) 2

1080,15

2,3 0,325ud

up

V KNMPa

Ld mυ = = =

×



Página 122

Sentido transversal

( )max minmax 2

u uud u

L bq qq q d

L

− −= − −

( )2,3 0,35277,6 96,3277,6 0,32

2,3 2udq− −= − −

226 udq KPa=

La fuerza cortante vertical en sentido transversal es:

( )max

2 2ud u

ud

L bq qV d B

− += −

( )2,3 0,35226 277,60,325 1,5

2 2udV− += −

246 udV KN=


246504 0,5

1,5 0,325ud

up

VKPa MPa

Bdυ = = = =

×



El momento externo en cualquier sección de una zapata se determina pasando un plano a través

de la zapata, y calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad del área de la

zapata, en un lado de ese plano vertical.


2 2max 2

2 3 2u uf v v

ufuq q L L

M q B −

= +

Donde:

max minmax 2

u uuf u

q q L bq q

L

− − = −


Página 123

277,6 96,3 2,3 0,35277,6

2,3 2ufq− − = −

200,8 ufq KPa=

0,982v

L bL m

−= =

2 2277,6 200,7 2 0,975 0,975200,7 1,5

2 3 2uM

− × = +

179,7 uM KN m= −

Diseño de refuerzo a flexión en dirección larga con

1,5B m= 0,325d m=


2yu s

aM A f dφ ×

= −

y 0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 21518,4 sA mm= y 23,8 a mm= 0,086c d =


Cuantía 1600

0,0033 0,002 .1500 325

sAok

b dρ = = = > →

× ×


694 .2,1 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →



( )# 2 .175


S mmbarras

− × −= =

−


Página 124

El refuerzo en sentido longitudinal debe distribuirse uniformemente a todo el ancho de la zapata

con un espaciamiento de 175 mm.


2max min

2 2u u vu

q q LM L

+ =

0,5752v

B bL m

−= =

2277,6 96,3 0,5752,3

2 2uM

+ =

71,1 uM KN m= −

Diseño de refuerzo a flexión en dirección corta con

2,3 L m= 0,325d m=


2yu s

aM A f dφ = × −

y

0,85

ysA fa

f c b

×=′ ×

Iterando se obtiene: 2584 sA mm= y 6 a mm= 0,022c d =


Cuantía Debe tomarse cuantía mínima639

0,0008 0,002 2300 325

sA

b dρ = = = <

× ×

2min 1495 sA b d mmρ= × × =



694 .2,1 '

t e bd

yf dL mm ok

f c

ψ ψ× × ×= = →

Cumple la longitud de desarrollo, para ambos lados, no es necesario utilizar gancho.

Para el refuerzo en la dirección corta, una porción del refuerzo total en la dirección larga debe

distribuirse uniformemente sobre un ancho de faja centrada sobre el eje de la columna o


Página 125

pedestal, igual a la longitud del lado corto de la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en

la dirección corta, debe distribuirse uniformemente por fuera del ancho de faja central en la

zapata.

Refuerzo en el ancho de la faja 2

Refuerzo total en la dirección corta 1β=

+

Donde β : Cociente entre el lado largo y lado corto de la zapata

1,5L

Bβ = =

Refuerzo en el ancho de la faja Refuerzo total en la dirección corta2

1β=

+

( )2 22Refuerzo en el ancho de la banda 1600 1280

2,5mm mm= =

En la faja central deben colocarse 7 barras No. 5 equivalentes a 21400 mm , con un

espaciamiento igual a:

#232

# 1bB barras d

S mmbarras

− ×= =−

2 2 2Refuerzo por fuera del ancho de banda1600 1400 200 mm mm mm= − =

El refuerzo por fuera de la faja equivale a 1 No. 5, pero para garantizar simetría se ubicarán dos

barras No. 4. Por lo cual se debe colocar una barra por fuera de la faja central, una a cada lado,

en la mitad entre el borde de la faja y el borde de la zapata.


2 21 0,1225A b m= =

( ) ( )2 2 22 0,35 0,4 0,56 A b h m= + = + =

2

1

0,562,13 2

0,1225

A


( ) ( )( ) ( )( )6 221

1

0,85 0,65 0,85 21 0,1225 10 2 2842,6 n

AP f cA MPa mm KN

Aφ φ ′= = × =

616 2088,5 .u nP KN P KN okφ= ≤ = →


Página 126


Figura 82


Página 127

AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan sus más profundos agradecimientos al Profesor Luis Garza Vásquez, por

su referencia y el excelente material de sus notas de clase, las cuales sirvieron de base al

capítulo de cimentaciones presentado en este documento. A los estudiantes Sergio Ochoa, José

Luis Cuartas, Johnny Múnera, Diana Meza, Wilber Vélez, Lina Primera, John Burgos, Carolina

Castaño, Alejandro Castaño y a todos los estudiantes que como monitores del Fondo EPM

hicieron posible la terminación de este documento.

BIBLIOGRAFÍA

• Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, AIS. Normas Colombianas de diseño y Construcción Sismo Resistente: NSR-10.

• Garza Vásquez, Luis. Diseño y Construcción de Cimentaciones, Universidad Nacional de Colombia: Sede Medellín, 2000.

• McCormac, Jack C., and Brown, Russell. Design of Reinforced Concrete, 8ª Edición. Wiley, 2009.

• Nawy, Edward. Reinforced Concrete: A Fundamental Approach, 6ª Edición. Pearson/ Prentice Hall, 2009.

• Massachusetts Institute of Technology, Mechanics and Design of Concrete Structures, MIT Open Course Ware.

• Nilson, Arthur. Diseño de Estructuras de Concreto. 12ª Edición. Santafé de Bogotá, McGraw-Hill, 1999.

• Setareh, Mehdi, and Darvas, Robert. Concrete Structures, 1ª Edición. Pearson Education, 2007.

• Wight, James, and MacGregor, James. Reinforced Concrete: Mechanics and Design, 5ª Edición. Pearson Education, 2009.

• Winter, George. Proyecto de Estructuras de Hormigón, Reverte, reimpreso 2002, 1986.

Estructuras de Hormigon Losas y Cimentaciones

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