Estructuras algebraicas, vectores y espacios vectoriales(4)
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS,
VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES
Métodos Matemáticos I
Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval
Agosto 2013
Estructura algebraica
Conjunto de operaciones binarias Se representan <A, operación>, <{a, b,
c}, operación>, si son sencillas; o bien, se representan <conjunto, 1o. operación, 2o. operación> cuando son dobles
Operación binaria La que ocurre
cuando, entre si, se operan conjuntos y el resultado de esta operación da un tercer conjunto.
Ejemplo
Siendo los conjuntos
A= {1, 2, 3} y
B= {4, 5, 6}
entonces
AxB=
{4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18}
x 4 5 6
1 4 5 6
2 8 10 12
3 12 15 18
Vector
Cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, fuerza y velocidad son ejemplos de vectores.
Se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.
Espacios vectoriales
Conjunto de n-adas ordenadas, también conocido como espacio euclidiano o espacio n-dimensional
Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Espacios vectoriales Se denota por Rn , éste es una sucesión de n
números reales, donde: R1 = espacio unidimensional, línea recta real. R2 = espacio bidimensional, pares
ordenados. R3 = espacio tridimensional, terna
ordenadas. … Rn = espacio n-dimensional, n-adas
ordenadas.
Espacios vectoriales
Siempre cumplen las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2.
Operaciones Básicas con Vectores en R2 cierre Conmutativa Asociativa elemento neutro e identidad distributiva.
Para suma de vectores X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn). Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn). Las propiedades que cumplen son las mismas
que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.
El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:
0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,
0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.
Sub espacio vectorial Sub conjunto del espacio vectorial W es un sub espacio vectorial de V si W es
un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Reales
Vectores
U = (k1,k
2,…
kn)
Rn
Escalares
Números específicos, constantes
Ecuaciones lineales
a1 x
1 + a
2 x
2 + … a
n x
n = b
Incógnitas: x1, x
2, …, x
n
Constantes: a1, a
2, …, a
n, b
ak coeficiente de x
k
b, constante de la ecuación Solución: conjunto de valores de las incógnitas U =
(k1,k
2,…k
n)
x1 = k
1, x
2 = k
2, …, x
n = k
n.
Sustituyendo xi por
k
i
a1 k
1 + a
2 k
2 + … a
n k
n = b
Variables para denotar incógnitas
Suponen orden Siendo tres: x, y, z Siendo cuatro: x, y, z, t Siendo cinco: x, y, z, s, t
Ecuaciones lineales
2x – 5y +3xz = 4 X + 2y – 4z + t = 3
No es una ecuación lineal pues el producto de dos incógnitas la hace de segundo grado
U = (3, 2, 1, 0) U = (1, 2, 3, 4)
(3) + 2(2) – 4(1) + (0) = 3
(1) + 2(2) – 4(3) + (4) = 3
3 + 4 – 4 + 0 = 3 1 + 4 – 12 + 4 = 3
Cierto Falso
Solución
Ecuaciones lineales con una incógnita ax = b
Teorema 1.1:i. Solución única: Si a 0, x = b/a
ii. No tiene solución: si a = 0 pero b 0iii. Soluciones infinitas: Si a = 0 y b = 0,
todo escalar k es solución
Ecuaciones lineales degeneradas
0x1 + 0x
2 + … 0x
n = b
Teorema 1. 2:
i. Si b 0 la ecuación no tiene solución
ii. Si b = 0, todo vector U = (k1,k
2,…k
n)
es una solución
Ecuaciones lineales no degeneradas
a1x
1 + a
2x
2 + … a
nx
n = b
Primera incógnitaCoeficiente no nuloSu posición p, menor valor entero de j
para el cual aj 0
xp es primera incógnita si a
j = 0
para j p pero a 0
Teorema 1.3: Para a
1x
1 + a
2x
2 + … a
nx
n = b
Con primera incógnita xp
i. Cualquier conjunto de valores de las incógnitas x
j con j p dará una
única solución
ii. Toda solución de la ecuación se obtiene en i
Ruta de Solución
2x – 4y + z = 8
Asignamos valores arbitrarios a las variables libres y = a, z = b
Sustituimos dichos parámetros 2x – 4a + b = 8
Despejamos x2x = 8 + 4a – b x = 4 + 2a – ½ b
Obtenemos el conjunto solución
u = (4 + 2a – ½ b, a, b)
Ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by = c
a, b, c a 0 ó b 0, se supone no degenerada
Solución u = (k1, k
2)
u R2
k1, k
2
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
a1x + b
1y = c
1
a2x + b
2y = c
2
a1 y b
1 no son simultáneamente nulos
ni a2 y b
2
Solución simultánea: único par de
números reales u = (k1, k
2) que
satisface ambas ecuaciones
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Solución simultánea: único par de números reales
u = (k1, k
2)
que satisface ambas ecuaciones
Cuando a, b, coeficientes de x e y respectivamente, son proporcionales No tiene solución. Las rectas del
gráfico son paralelasTiene infinitas soluciones dado que
son ecuaciones equivalentes. Las líneas del gráfico son coincidentes.
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
a1/a
2= b
1/ b
2
ó = a1b
2 – a
2b
1 = 0
No solución si: a1/a
2= b
1/ b
2 c
1/c
2
Infinitas soluciones si: a
1/a
2= b
1/ b
2 = c
1/c
2
Única solución si el determinante de los coeficientes es diferente de 0
a1 b
1
a2 b
2
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Algoritmo de eliminación
Sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales
L1, L
2, …, L
m son ecuaciones lineales con n
incógnitas x1, x
2, …, x
n
a11
x1 + a
12x
2 + … + a
1nx
n = b
1
a21
x1 + a
22x
2 + … + a
2nx
n = b
2
…………………………………………………….
…………………………………………………….
am1
x1 + a
m2x
2 + … + a
mnx
n = b
m
Donde aij, b
i son constantes
Solución particular. Conjunto de valores de las incógnitas, digamos
x1 = k
1, x
2 = k
2, …, x
n = k
n, o bien,
la n-pla U = (k1,k
2,…k
n) , solución de
cada una de las ecuaciones del sistema.
Solución general: conjunto de todas las soluciones
Sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes Operaciones elementales
[E1] Intercambiar las ecuaciones i-ésima y j-ésima:
Li L
j
[E2] Multiplicar la ecuación i-ésima por un escalar no
nulo k: kLi L
i, k 0
[E3] Sustituir la ecuación i-ésima por ella misma más
k veces la j-ésima: (kLj + L
i)
L
i
[E] Sustituir la ecuación i-ésima por k (no nulo) veces ella misma más k’ veces la j-ésima: (k’L
j + kL
i)
L
i ,
k 0
Teorema 1.4:
Si un sistema de ecuaciones lineales (#) se obtiene de otro (*) mediante una sucesión infinita de operaciones elementales, entonces (#) y (*) tienen el mismo conjunto solución
Sistemas equivalentes
Resolución
Paso 1. Usar operaciones elementales para reducir el sistema a uno equivalente más simple (en forma triangular escalonada)
Paso 2. Usar la sustitución hacia atrás para hallar la solución del sistema más simple
Sistemas equivalentes
x + 2y – 4z = – 4
5x + 11y – 21z = – 22
3x – 2y + 3z = 11
(– 5L1 + L
2) L
2 (– 3L
1 + L
3) L
3
x + 2y – 4z = – 4
y – z = – 2
– 8y + 15z = 23
Sistemas equivalentes
x + 2y – 4z = – 4
y – z = – 2
– 8y + 15z = 23
(8L2 + L
3) L
3
x + 2y – 4z = – 4
y – z = – 2
7z = 7
Sistemas equivalentes
Teorema 1.5:
Supongamos un sistema de ecuaciones lineales que contiene la ecuación degenerada
L : 0x1 + 0x
2 + … 0x
n = b
a) Si b = 0, L puede suprimirse del sistema sin alterar la solución (T. 1.2, ii)
b) Si b 0, el sistema no tiene solución dado que la ecuación no la tiene (T. 1.2, i)
Sistemas en forma triangular y escalonada Forma triangular
Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y si x
k es la primera incógnita de la k-
ésima ecuación. Por tanto tiene la forma
a11
x1 + a
12x
2 + … + a
1,n – 1x
n – 1 + a
1nx
n = b
1
a22
x2 + … + a
2,n – 1x
n – 1 + a
2nx
n = b
2
…………………………………………………….
an – 1,n – 1
xn – 1
+ an – 1,n
xn = b
n – 1
ann
xn = b
n
Donde a11
, a22
, …, ann
0 Solución única: procedimiento de
sustitución hacia atrás
Sistemas en forma triangular
Forma escalonada. Variables libresSi ninguna ecuación es degenerada La primera incógnita de cada ecuación está a la
derecha de la primera incógnita de la ecuación anterior
a11
x1 + a
12x
2 + … + a
1,n – 1x
n – 1 + a
1nx
n = b
1
a2j2
xj2 + a
2, j2+1x
j2+1 +… + a
2nx
n = b
2
…………………………………………………….
arjr
xjr + a
r, jr+1x
jr+1+ … + a
r nx
n = b
r
Sistemas en forma triangular y escalonada
Donde 1 < j
2 < … < j
r
a11
, a2j2
, …, arjr
0
r nx
k se denomina variable libre si x
k no es
la primera incógnita de la ecuación, esto es x
k x
1, x
k x
j2, …, x
k x
jr
Sistemas en forma escalonada
Teorema 1.6:
Consideremos el sistema de ecuaciones de forma escalonada (presentado anteriormente) Existen dos casos:
i. r = n Hay tantas ecuaciones como incógnitas. El sistema tiene solución única
Sistemas en forma escalonada
ii. r < n Hay menos ecuaciones que incógnitas.
Entonces podemos asignar arbitrariamente valores a las n – r variables libres y obtener una de infinitas soluciones del sistema
Teorema 1.6
Sistemas en forma escalonada
Siendo:
x + 2y – 4z = – 4
y – z = – 2
– 8y + 15z = 23
Este no es un sistema escalonado
Sistemas en forma escalonada
x + 4y – 3z + 2t = 5
z – 4t = 2 Un sistema escalonado Las primeras incógnitas son x y z Las variables libres son y y t Solución:
Asignar parámetros a variables libresSustitución hacia atrás
Sistemas en forma escalonada
x + 4y – 3z + 2t = 5
z – 4t = 2 y = a t = b En consecuencia z = 2 + 4b x = 11 – 4a + 10b Solución: (11 – 4a + 10b, a, 2 + 4b, b)
Sistemas en forma escalonada
Algoritmo de reducción Paso 1.
Intercambiar las ecuaciones de forma que x1
aparezca con un coeficiente no nulo en la primera ecuación es decir, conseguir a
11 0
Paso 2.
Utilizar a11
como pivote para eliminar x1 de todas las
ecuaciones excepto de la primera. Esto es, para cada i > 1, efectuar la operación
[E3]: (a
i1/ a
11) L
1 + L
i L
i ó [E] a
i1L
1 + a
11L
i L
i
Paso 3.Examinar la nueva ecuación L:
a) Si L tiene la forma 0x1 + 0x
2 + … 0x
n = 0
o si es un múltiplo de otra ecuación, suprimirla del sistema
b) Si L tiene la forma 0x1 + 0x
2 + … 0x
n = b
con b 0, abandonar el algoritmo. El sistema no tiene solución
Algoritmo de reducción
Paso 4.
Repetir los pasos 1, 2, 3 con el subsistema formado por todas las ecuaciones excluyendo la primera
Paso 5
Continuar con el proceso anterior hasta que el sistema esté en forma escalonada, o hasta que se obtenga una ecuación degenerada en el paso 3b
Algoritmo de reducción
x + 2y – 3z = 1
2x + 5y – 8z = 4
3x + 8y – 13z = 7
– 2L1 + L
2 L
2– 3L
1 + L
3 L
3
x + 2y – 3z = 1
y – 2z = 2
2y – 4z = 4
Algoritmo de reducción
O bien
x + 2y – 3z = 1
y – 2z = 2
Forma escalonada
Variable libre: z
Asignamos parámetro: z = a. Luego,
y = 2 + 2a x = – 3 – a z = a
(– 3 – a, 2 + 2a, a)
Algoritmo de reducción
x + 2y – 3z = – 1
3x – y + 2z = 7
5x + 3y – 4z = 2
Algoritmo de reducción
Teorema 1.7
Cualquier sistema de ecuaciones lineales tiene:
i. Una única solución
ii. Ninguna solución
iii. Un número infinito de soluciones
MATRICES
Matriz Sea una tabla ordenada de números como sigue
a11
a12
… a1n
a21
a22
… a2n
………………………………….
am1
am2
… amn
A = (aij)
i = 1, …, m; j = 1, …, n
aij llamado entrada o componente ij, aparece en la fila i-ésima y la columna j-ésima
A =
Entrada principal no nula de R, la primera en una fila.
Fila nula. Cuando toda entrada en R es 0
1 – 3 4
0 5 – 2
A =
Matrices escalonadas
Cuando se cumplen las siguientes condiciones:i. Todas las filas nulas, si las hay, están en
la parte inferior de la matriz
ii. Cada entrada principal no nula está a la derecha de la entrada principal no nula de la fila precedente
Forma escalonada:Esto es, si en A = (aij) existen entradas
distintas de cero
a1j1
, a2j2
, …, arjr
donde j1 < j
2 < … < j
r
con la propiedad de que aij = 0 para i r, j < j
i
para i > r, a1j1
, …, arjr
son las entradas
principales no nulas de A
Matrices escalonadas
Forma canónica por filas: Si
iii. Cada entrada principal no nula es 1, y
iv. Cada entrada principal no nula es la única entrada distinta de cero en su columna
Matrices escalonadas
Se dice que una matriz A es equivalente por filas a otra B, escrito A B, siB puede obtenerse a partir de A
mediante una sucesión finita de las operaciones llamadas elementales entre filas
Equivalencia por filas.
Operaciones elementales E1 intercambiar las filas i-ésima y j-
ésima : Ri Rj. E2 Multiplicar la fila i-ésima por un
escalar no nulo k: kRi Ri, k 0 [E3]Sustituir la fila i-ésima por ella misma
más k veces la j-ésima: kRj + Ri Ri [E] Sustituir la fila i-ésima por k (no nulo)
veces ella misma más k’ veces la j-ésima: k’Rj + kRi Ri, k 0