EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 1 - 1.INTRODUCCIN.Las propiedades y comportamiento de los materiales dependen,principalmente de su constitucin y de su estructura. Por ello estudiaremos ladisposicingeomtricadelostomosylasinteraccionesquetienenentreellos. Dentro de la disposicin adoptada por los tomos en el estado slido,introduciremoselconceptodeestadocristalinoynocristalinooamorfo.2.PARTCULASELEMENTALES.Son aquellas que constituyen los tomos. Unas tienen el carcter establefuera del tomo como son el electrn o el protn, mientras que otras soninestablesfueradel,comoelneutrn,mesn,etc.Launindeestaspartculasfundamentales forman los tomos, la unin de estos forman molculas, y porsntesis,generalmente,podremosobtenerlasdistintasformasdelamateria. Lascaractersticasfundamentalesdelaspartculasatmicassonlamasa,cargaelctricayvidamedia. Dependiendo de su masa, las clasificaremos en tres grupos (tomandocomoreferenciaelelectrnyelprotn):a)Leptonesopartculasmsligeras.Ejemplo:electrn,positrnymesn(u)oelectrnpesado.b)Mesonesopartculasdemasamedia.Ejemplo:mesn(t)ymesn(k).c)Barionesopartculasdemasaigualosuperioraladelprotn.Ejemplo:nucleones,hiperiones,etc. Encuantoasucargaseclasificanen:positivos,negativosyneutros. Por ltimo, en funcin de su vida media o tiempo que tardan endesintegrarse,selesconsideraestablesoinestables. Todas las partculas estn sometidas a la Ley de Gravitacin Universal.No obstante sta es prcticamente imperceptible dentro de los parmetros detamaos subatmicos en que nos movemos. Por esto, el fenmeno gravitatoriono tiene ninguna importancia en la constitucin estructural de los materiales.En cambio, si que toman importancia capital las fuerzas elctricas de tipocoulombiano.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 2 - 3.ELTOMO.Desde el punto de vista de los materiales es suficiente considerar el tomocomo una estructura elctrica formada por la agrupacin de partculaselementales. Dentro de esta agrupacin se distinguen dos partesfundamentales:-Elncleo,decargapositivaycontodalamasaatmicaconcentradaenl.-Lacorteza,constituidaporelectrones,queconsideramosexentademasa.Todotomoquenoestexcitadoesneutrodesdeelpuntodevistaelctrico,esdecir,lacargadeloselectronesdelacortezaesigualalacargadelncleo.Eldimetrodelncleoesdelordende1010m.Aunquesuestructurainternanoseconoceconexactitud,sesabequeestformadoporprotonesyneutrones(nucleones), siendo los primeroslos que aportan la carga. Su nmero coincidecon el nmero atmico Z. El nmero msico A corresponde a la suma de losprotonesyneutronesdelncleo. neutrones de n Z A + = Respectoalacomposicindelncleo,lostomossedenominan:-Istopos,sontomosquetienenelmismonmerodeprotonesydistintodeneutrones.PorejemploO16,O18.-Istonos, son tomos que tienen el mismo nmero de neutrones perodistintodeprotones.-Isbaros,sontomosquetienenelmismonmeromsico.Se ha comprobado que la densidad de la materia del ncleo esaproximadamente constante. Por tanto, el volumen del ncleo es directamenteproporcionalasunmeromsico. 3 / 1oA r R = Dnde ro = 1.5 1015 m es prcticamente constante para todos los ncleosatmicos.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 3 - 4.FUERZASYENERGASDEINTERACCINENTRETOMOS.Cualquiera que sea la naturaleza del enlace, entre los tomos contiguos sedesarrollandostiposdefuerzas:a)Atractivas,debidas:Alanaturalezadelenlace.A las atracciones electrostticas entre cada ncleo atmico y la nubeelectrnicadelotro.b)Repulsivas,debidas:Alaaccinelectrostticaentrelosncleosatmicos.Alasnubeselectrnicasentres.En ambos casos, el efecto de las fuerzas de origen magntico es muydbilyeldelasfuerzasgravitatoriasprcticamentedespreciable.5.TIPOSDEENLACESATMICOSYMOLECULARES.En general, los enlaces qumicos entre tomos pueden dividirse en enlacesinicos,covalentesymetlicos.5.1.Enlaceinico.El enlace inico se forma entre tomos muy electropositivos1 (metlicos) ytomos muy electronegativos2 (no metlicos). En el proceso de ionizacin setransfieren los electrones desde los tomos de los elementos electropositivos alos tomos de los elementos electronegativos, produciendo cationes cargadospositivamente y aniones cargados negativamente (Fig. 1.1). Las fuerzas deenlace son de carcter electrosttico y coulombianas entre iones de cargaopuesta.

1Loselementoselectropositivossonmetlicospornaturalezaycedenelectronesenlasreacciones qumicasparaproducirionespositivosocationes.Loselementosmselectropositivosseencuentranen los grupos 1A y 2A de la tabla peridica. 2Loselementoselectronegativossonnometlicos yaceptanelectronesenlasreaccionesqumicaspara producir iones negativos o aniones. Los elementos ms electronegativos pertenecen a los grupos 6A y 7A de la tabla peridica de los elementos. EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 4 - 5.2.Enlacecovalente.El enlace covalente se forma entre tomos con pequeas diferencias deelectronegatividad. Los tomos comparten generalmente sus electronesexternos s y p con otros tomos, de modoque cada tomo alcanza la configuracin degas noble. En un enlace covalente sencillo,cada uno de los dos tomos contribuye conun electrn a la formacin del par deelectrones de enlace. Para la representacinde los enlaces covalentes suelen emplearselas denominadas estructuras de Lewis (Fig.1.3)5.3.Enlacemetlico.En metales en estado slido, los tomos se encuentran en una ordenacinsistemtica o estructura cristalina. Los tomos estn tan juntos que suselectrones externos de valencia son atrados por los ncleos de sus tomosvecinos.Comoconsecuencia,podemosdeducirfcilmentequeloselectronesdevalencianoestnasociadosaunncleonicoy,as,esposiblequeseextiendanentrelostomosenformadeunanubeelectrnicadecargadebajadensidad. Los electrones de valencia estn dbilmente enlazados a los ncleos deiones positivos y pueden moverse con relativa facilidad dentro de un metalcristalino.Las altas conductividades elctrica y trmica que presentan los metales sebasanenlateoraanteriormenteexpuesta.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 5 - 6.ESTRUCTURACRISTALINA.CONCEPTOSFUNDAMENTALES.La estructura fsica de los slidos es consecuencia de la disposicin de lostomos, molculas e iones en el espacio, as como de las fuerzas deinterconexin entre los mismos. Si esta distribucin espacial se repite, diremosdel slido que tiene estructura cristalina. Los metales, aleaciones ydeterminadosmaterialescermicostienenestructuracristalina.La ordenacin atmica en los slidos cristalinos puede representarsesituando los tomos en el origen de una red tridimensional, que se denominaretculo espacial. En este tipo de redes cristalinas cada punto que puede seridentificadoporuntomo,tieneunentornoidntico.Una estructura cristalina se puede definircomo una repeticin en el espacio de celdasunitarias.Elvolumenyorientacinespacialdecadaceldaunitariavienecaracterizadoporlassiguientesconstantes:tres vectores, a,b, c, queconvergenenunpuntocomnovrticeytresngulos,o,|y(Fig.1.7).7.CELDILLAUNIDAD.El orden atmico de los slidos cristalinos indica que grupos de pocostomosformanunpatrnqueserepiteenelespacio.Aldescribirlaestructuracristalinaconvienedividirlaenlaspequeasentidades,queserepiten,llamadasceldillasunidad.Laceldillaunidaddelamayoradelasestructurascristalinasson paraleleppedos o prismas con tres conjuntos de caras paralelas. En laFigura3.1,ydentrodelagregadodeesferas,sehadibujadounaceldilla,queenestecasoesuncubo.Laceldillaunidadseeligepararepresentarlasimetradelaestructuracristalina,demodoquelasposicionesdelostomosenelcristalsepuedan representar desplazando a distancias discretas la celdilla unidad a lolargo de los ejes. De este modo, la celdilla unidad es la unidad estructuralfundamental y define la estructura cristalina mediante su geometra y por laposicindelostomosdentrodeella.Ordinariamente,laclaridadaconsejaquelos vrtices del paraleleppedo coincidan con los centros de las esferas rgidasque representan los tomos. Para definir algunas estructuras cristalinas esEstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 6 - necesario establecer ms de una celdilla unidad; sin embargo, generalmente seusalaceldillaunidadquetieneelmayorniveldesimetrageomtrica.8.ESTRUCTURASCRISTALINASDELOSMETALES.Elenlaceatmicodeestegrupodematerialesesmetlicoydenaturalezanodireccional. Por consiguiente, no hay restricciones en cuanto al nmero yposicindetomosvecinosmsprximos;locualconduce,paralamayoradelosmetales,aestructurascristalinascongrannmerodevecinosmuyprximosy densamente empaquetados. Utilizando el modelo de esferas rgidas en ladescripcin de los metales, cada esfera representa un catin en la estructuracristalina. La Tabla 3.1 indica el radio atmico para algunos metales. Lamayora de los metales ms corrientes cristaliza en una de las tres estructurascristalinassiguientes:cbicacentradaenlascaras,cbicacentradaenelcuerpoyhexagonalcompacta.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 7 - 8.1.Estructuracristalinacbicacentradaenlascaras.La estructura cristalina exige que muchos metales tengan una celdillaunidaddegeometracbica,conlostomoslocalizadosenlosvrticesdelcuboy en los centros de todas las caras del cubo. Es la denominada estructuracristalina cbica centrada en las caras (FCC). Cristalizan en esta estructura elcobre,aluminio,platayoro(verTabla3.1).LaFigura3.lamuestraelmodelodeesferasrgidasdelaceldillaunidadFCC,mientrasquelaFigura3.lbrepresentaloscentrosdelostomosmediantepequeoscrculos,loqueoriginaunamejorperspectiva de las posiciones de los tomos. El agregado de tomos de laFigura 3.1 c representa una seccin del cristal formada por muchas celdillasunidadFCC.Estasesferasocationesestnencontactoentresalolargodeladiagonal.LalongituddelaaristadelcuboayelradioatmicoRserelacionanmediantelasiguientefrmula: 2 R 2 a = En los cristales de estructura FCC, cada tomo del vrtice es compartido conocho celdillas unidad, mientras que los tomos centrados en las caras slo soncompartidos con dos celdillas. Esto est representado en la Figura 3.la, dondeslo se han dibujado las partes de las esferas integradas dentro del cubo. Laceldilla comprende el volumen del cubo generado desde los centros de lostomosdelosvrtices,comoindicalacitadafigura.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 8 - Las posiciones de los vrtices y de los centros de las caras son equivalentes,puesto que el desplazamiento de la celdilla unidad desde el tomo del vrticeoriginalaltomodelcentrodeunacaranoalteralaestructuradelaceldilla.Dos caractersticas importantes de la estructura cristalina son el nmero decoordinacin y el factor de empaquetamiento atmico (FEA). En los metales,cadatomosiempreestencontactoconelmismonmerodetomosvecinos,queeselnmerodecoordinacin.Enlaestructuracbicacentradaenlascaras,elnmerodecoordinacines12.EstoseconfirmaexaminandolaFigura3.la:eltomocentradoenlacarafrontaltienecuatrotomosvecinoscorrespondientesa los vrtices, cuatro tomos vecinos correspondientes a los tomos centradosenlascarasyqueestnencontactoconlpordetrs,ycuatrotomosvecinosequivalentes aestosltimos peroquepertenecenalasiguienteceldillaunidad(norepresentadaenlafigura).ElFEAeslafraccindevolumendelasesferasrgidasenunaceldillaunidadenelmodeloatmicodelasesferasrgidas: unidad celdilla la de tal Volumen tounidad celdilla una enatomos de Volumen = FEA EnlaestructuraFCCelfactordeempaquetamientoatmicoes0,74,queeselmximoempaquetamientoposibleparaesferasrgidasdelmismotamao.8.2.Estructuracristalinacbicacentradaenelcuerpo. Otra estructura cristalina comn en los metales tambin es una celdillaunidadcbicaquetienetomoslocalizadosenlosochovrticesyuntomoenel centro. Esta estructura cristalina se denomina cbica centrada en el cuerpo(BCC). La Figura 3.2c muestra un conjunto de esferas que representan estaestructura cristalina, mientras que las Figuras 3.2a y 3.2b son representacionesdeceldillasunidadmediantelosmodelosdeesferargidaydeesferareducida,respectivamente.LostomosdelcentroydelosvrticessetocanmutuamentealolargodelasdiagonalesdelcuboylalongitudadelaaristadelaceldillayelradioatmicoRserelacionanmediantelasiguientefrmula: 3R 4a = EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 9 - El cromo, el hierro y el tungsteno, as como varios de los otros metaleslistadosenlaTabla3.1presentanestructuraBCC.CadaceldillaunidadBCCtieneasociadosdostomos:un tomoequivalente aunoctavodecadaunodelosochotomosdelosvrtices,quesoncompartidoscon otras ocho celdillas unidad, y el tomo del centro de la celdilla, que no escompartido.Adems,lasposicionesdelostomosdelcentroydelvrticesonequivalentes. El nmero de coordinacin de la estructura cristalina cbicacentrada en el cuerpo es 8: cada tomo situado en el centro de la celdilla estrodeadaporochotomossituadosenlosvrtices.DebidoaqueelnmerodecoordinacinesmenorenlaestructuraBCCqueenlaFCC,tambinelfactordeempaquetamientoatmicoesmenorparaBCC:0,68frentea0,74.8.3.Estructuracristalinahexagonalcompacta.Notodoslosmetalestienenceldillaunidadconsimetracbica;laltimaestructuracristalinaquesediscuteeslaquetieneceldillaunidadhexagonal.La Figura 3.3a muestra la celdilla unidad, en el modelo de esferasreducidas, de esta estructura denominada hexagonal compacta (HC). En laFigura 3.3b se aprecia un conjunto de varias celdillas unidad HC. Las basessuperior e inferior consisten en hexgonos regulares con sus tomos en losvrticesyunoenelcentro.Otroplanoqueproveedetrestomosadicionalesala celdilla unidad est situado entre ambos planos. Cada celdilla unidadequivale a seis tomos: cada tomo situado en los 12 vrtices superiores einferiores contribuye con la sexta parte, los 2 tomos del centro de loshexgonos contribuyen con la mitad y los 3 tomos del plano centralcontribuyenenteramente.EnlaFigura3.3aseapreciaqueaycrepresentanlasdimensionescortaylargadelaceldillaunidad,respectivamente.Larelacinc/aEstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 10 - debe ser 1,633; sin embargo, para algunos metales HC esta relacin se desvadelvalorideal.Elnmerodecoordinacinyelfactordeempaquetamientoatmicoparalos cristales de estructuras HC son idnticos que para los FCC: 12 y 0,74,respectivamente. SonmetalesHCelcadmio,magnesio,titanioyzinc;algunosdestosfiguranenlaTabla3.1.9.CLCULODELADENSIDAD.Elconocimientodelaestructuracristalinadeunslidometlicopermiteelclculodesudensidadomediantelasiguienterelacin: A CN VA n= o donde n=nmerodetomosasociadosacadaceldillaunidad. A=pesoatmico. VC=Volumendelaceldillaunidad. NA=nmerodeAvogadro(6,0231023tomos/mol)EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 11 - 10.POLIMORFISMOYALOTROPA.Algunos metales y no metales pueden tener ms de una estructuracristalina:unfenmenoconocidocomopolimorfismo.Siestefenmenoocurreenunslidoelementalsedenominaalotropa.Laexistenciadeunaestructuracristalina depende de la presin y de la temperatura exteriores. Un ejemplofamiliareselcarbono:elgrafitoesestableencondicionesambientales,mientrasqueeldiamanteseformaapresionesextremadamenteelevadas.Elhierropurotiene estructura cristalina BCC a temperatura ambiental y cambia a FCC a912C. La transformacin polimrfica a menudo va acompaada demodificacionesdeladensidadydeotraspropiedadesfsicas.11.SISTEMASCRISTALINOS.Existen muchas estructuras cristalinas diferentes y es convenienteclasificarlasengruposdeacuerdoconlasconfiguracionesdelaceldillaunidady/oladisposicinatmica.Unodeestosesquemassebasaenlageometradelaceldilla unidad, la forma del paraleleppedo sin tener en cuenta la posicin delostomosenlaceldilla.Seestableceunsistemax,yyzdecoordenadascuyoorigen coincide con un vrtice de la celdilla; los ejes x, y y z coinciden con lasaristas del paraleleppedo que salen de este vrtice, como ilustra la Figura 3.4.La geometra de la celdilla unidad se define en funcin de seis parmetros: lalongitud de tres aristas a, b y c y los tres ngulos interaxiales o, | y . Estosngulos, se denominan parmetros de red de una estructura cristalina y estnrepresentadosenlaFigura3.4. En este aspecto hay siete diferentes combinaciones de a, b y c y o, | y ,querepresentanotrostantossistemascristalinos.Estossietesistemascristalinossonelcbico,tetragonal,hexagonal,ortorrmbico,rombodrico,monoclnicoytriclnico. En la Tabla 3.2 se dan las relaciones entre parmetros de red y seesquematizanlasceldillasunidad.Elsistemacbicocona=b=cyo=|==90 tiene el mayor grado de simetra. La simetra desaparece en el sistematriclnicoyaquea=b=cyo=|=.DeladiscusindelasestructurasdeloscristalesmetlicossededucequelasestructurasFCCyBCCpertenecenalsistemacbico,mientrasquelaHCcaedentro del hexagonal. La celdilla unidad hexagonal convencional realmenteconsisteentresparaleleppedossituadoscomomuestralaTabla3.2.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 12 - EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 13 - 12.DIRECCIONESYPLANOSCRISTALOGRFICOS.Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificaralgn plano cristalogrfico de tomos particular o alguna direccincristalogrfica. Convencionalmente se ha establecido que para designar lasdireccionesyplanosseutilicentresenterosondices.Losvaloresdelosndicesse determinan basndose en un sistema de coordenadas cuyo origen estsituadoenunvrticedelaceldillaunidadycuyosejes(x,yyz)coincidenconlas aristas de la celdilla unidad, como indica la Figura 3.4. En los sistemascristalinoshexagonal,rombodrico,monoclnicoytriclnico,lostresejesnosonperpendiculares entre s, como ocurre en el familiar sistema de coordenadascartesianas.12.1.DIRECCIONESCRISTALOGRFICAS.Unadireccincristalogrficasedefineporunalneaentredospuntosoporun vector. Se utilizan las siguientes etapas para determinar los ndices de lastresdirecciones.1.En el origen de coordenadas del sistema se traza un vector de longitudconveniente.Todovectorsepuedetrasladaratravsdelaredcristalinasinalterarse,sisemantieneelparalelismo.2. Sedeterminalalongituddelvectorproyeccinencadaunodelostresejes;enfuncindelasdimensionesa,bycdelaceldillaunidad.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 14 - 3. Estos tres nmeros se multiplican o se dividen por un factor comn parareducirlosalvalorenteromenor.4. Lostresndices,sinseparacin,seencierranenuncorchete,as:[uvw].Losnmeros enteros u, v y w corresponden a las proyecciones reducidas a lolargodelosejesx,yyz,respectivamente.Paracadaunodelostresejesexistencoordenadaspositivasynegativas.Losndicesnegativostambinsonposiblesyserepresentanmedianteunalneasobre el ndice. Por ejemplo, la direccin| |111 tiene un componente en ladireccin y. Cambiando los signos de todos los ndices se obtiene unadireccin antiparalela; por ejemplo,| |111 significa la direccin directamenteopuesta a| |111 . Si en una estructura cristalina particular se deben especificaruna direccin o un plano, conviene, para mantener la coherencia, que laconversinpositivanegativanosecambieunavezestablecida.Las direcciones [100], [110] y [111] son nicas y estn dibujadas en la celdillaunidadmostradaenlaFigura3.5.En algunas estructuras cristalinas, varias direcciones no paralelas condiferentesndicessonequivalentes;estosignificaqueelespaciadoatmicoalolargodecadadireccineselmismo.Porejemplo,encristalescbicos,todaslasdirecciones representadas por lossiguientesndicessonequivalentes:[100], [ 100],[010],[0 1 0],[001]y[00 1 ].Enloscristalescbicostodaslasdireccionesquetienenlosmismosndices,sintenerencuentaordenosigno,sonequivalentes;porejemplo,[123]y[ 2 1 3].Generalmenteestacondicinnosecumpleenotrossistemas cristalinos. Por ejemplo, para cristales con simetra tetragonal, lasdirecciones [100] y [010] son equivalentes, mientras que no lo son las [100] y[001].Porconveniencia,lasdireccionesequivalentesseagrupanenfamiliasqueseanotanencerradasenunparntesisangular:12.1.1.Cristaleshexagonales.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 15 - Algunas direcciones cristalogrficas equivalentes de los cristales de simetrahexagonal no tienen el mismo conjunto de ndices. Este problema se resuelvedeformamscomplicadautilizandoelsistemadecoordenadasdecuatroejes,odeMillerBravais,mostradoenlaFigura3.6.Lostresejesa1,a2ya3estnsituadosenunplano,llamadoplanobasal,yformanngulosde120entres.Elotroeje,z, es perpendicular al plano basal. Los ndices de una direccin, obtenidos deeste modo, se anotan mediante cuatro dgitos:[uvtw]. Por convencin, los tresprimeros ndices corresponden a las proyecciones a lo largo de los ejes delplanobasala1,a2ya3.Laconversindelsistemadetresndicesalsistemadecuatrondices.[uvw][uvtw]seconsigueaplicandolassiguientesfrmulas:( ) unu v = ' '32 ( ) vnv u = ' '32 t u v = + ( ) w nw = ' dondelosndicessealadosconapstrofoestnasociadosconelsistemadetresndicesylosquenoconelnuevosistemadeMillerBravaisdecuatrondices;nes el factor requerido para reducir u, v, t y w a los enteros ms pequeos.Utilizando esta conversin la direccin [010] se convierte en la| |1210 . En laceldilla unidad hexagonal (Figura 3.7a) estn indicadas varias direccionesdiferentes.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 16 - 12.2.PLANOSCRISTALOGRFICOS.La orientacin de los planos cristalogrficos de la estructura cristalina serepresentademodosimilar.Tambinseutilizaunsistemadecoordenadasdetres ejes y la celdilla unidad es fundamental, como se representa en la Figura3.4. Los planos cristalogrficos del sistema hexagonal se especifican mediantetres ndices de Miller (hkl). Dos planos paralelos son equivalentes y tienenndices idnticos. El procedimiento utilizado para la determinacin de losvaloresdelosndiceseselsiguiente.1. Sielplanopasaporelorigen,setrazaotroplanoparaleloconunaadecuadatraslacin dentro de la celdilla, unidad o se escoge un nuevo origen en elvrticedeotraceldillaunidad.2. Elplanocristalogrficoobiencorta,obienesparaleloacadaunodelostresejes. La longitud de los segmentos de los ejes se determina en funcin delosparmetrosderedh,kyl.3. Seescribenlosnmerosrecprocosdeestosvalores.Unplanoparaleloaunejeseconsideraquelocortaenelinfinitoy,porlotanto,elndiceescero.4.Estostresnmerossemultiplicanodividenporunfactorcomn.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 17 - 5. Finalmente, se escriben juntos los ndices enteros dentro de un parntesis:(hkl)Una interseccin en el sentido negativo del origen se indica mediante unabarraounsignomenossobreelndice.Adems,cambiandoelsignodetodoslosndicesseobtieneunplanoparaleloopuestoaunadistanciaequivalentedelorigen.EnlaFigura3.8sehanrepresentadovariosplanosconndicebajo.Unacaractersticanicaeinteresantedeloscristalescbicosesquelosplanosy las direcciones que tienen los mismos ndices son perpendiculares entre s.Sinembargo,estarelacingeomtricaentreplanosydireccionesquetienenlosmismosndicesnoexisteenotrossistemascristalinos.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 18 - 13.DISTANCIAINTERPLANAR. La magnitud de la distancia entre dos planos de tomos contiguos yparalelos(p.ej.,ladistanciainterplanardhkl)esfuncindelosndicesdeMiller(h, k, l) as como de los parmetros de la red. Por ejemplo, para estructurascristalinasconsimetracbicaladistanciainterplanarser: 2 2 2hkll k had+ += donde a es el parmetro de la red (longitud de la arista de la celdilla unidad).Los otros seis sistemas cristalinos, anotados en la tabla 3.2, cumplen relacionessimilaresperomscomplejasquelasdelaecuacinsuperior.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 19 - PROBLEMAS1.Sielradioatmicodelplomovale0,175nm,calcularelvolumenatmicodelaceldillaunidadenmetroscbicos.2.Demostrar para la estructura cristalina cbica centrada en el cuerpo que lalongitud de la arista a de la celdilla unidad y el radio atmico R estnrelacionadossegn 3 4R a = 3.DemostrarqueelfactordeempaquetamientoatmicoparaBCCes0,68.4.DemostrarqueelfactordeempaquetamientoatmicoparaHCes0,74.5.Suponiendo un metal de estructura cristalina cbica simple con los tomoslocalizados en los vrtices del cubo y tocndose entre s a lo largo de lasaristas del cubo (Figura 3.22). (a) Cul es el nmero de coordinacin paraesta estructura cristalina? (b) Calcular el factor de empaquetamientoatmico.6.El molibdeno tiene una estructura cristalina BCC, un radio atmico de0,1363 nm y un peso atmico de 95,94 g/mol. Calcular y comparar sudensidadconelvalorsiguiente:8.90g/cm3.7.Calcular el radio de un tomo de paladio sabiendo que el Pd tiene unaestructuracristalinaFCC,unadensidadde12,0g/cm3yunpesoatmicodeEstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 20 - 106,4g/mol.8.Calcular el radio de un tomo de tntalo sabiendo que el Ta tiene unaestructuracristalinaBCC,unadensidadde16,6g/cm3yunpesoatmicode180,9g/mol.9.La Figura 3.22 muestra la estructura cbica simple de un hipottico metal.Sisupesoatmicoes70,4g/molyelradioatmicoes0,126nm,calcularsudensidad.10. ElcirconiotieneunaestructuracristalinaHCyunadensidadde6,51g/cm3(a) Cul es el volumen de la celdilla unidad en metros cbicos? (b) Si larelacinc/aes1,593,calcularlosvaloresdecydea.11. El niobiotieneun radioatmico de0,1430nm (1,430A) yuna densidadde8,57g/cm3.DeterminarsitieneestructuracristalinaFCCoBCC.12. Se adjuntan el peso atmico, la densidad y el radio atmico de treshipotticasaleaciones.Determinarparacadaunasisuestructuracristalinaes FCC, BCC o cbica simple y justificarlo. Una celdilla unidad cbicasimplesemuestraenlaFigura3.22.13. Calcularelfactordeempaquetamientoatmicodeluranio.Losparmetrosde red a, b y c de la celdilla unidad, de simetra ortorrmbica, valen 0,286,0,587 y 0,495, respectivamente; la densidad 19,05 g/cm3, el peso atmico238,03g/molyelradioatmico0,1385nm.EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 21 - 14. El indio tiene una celdilla unidad tetragonal cuyos parmetros de red a y cvalen0,459y0,495nm,respectivamente.(a) Determinar el nmero de tomos en la celdilla unidad, si el factor deempaquetamiento atmico y el radio atmico son 0,69 y 0,1625 nm,respectivamente.(b)Calcularladensidad.Elpesoatmicodelindioes114,82g/mol.15. EltitaniotieneunaceldillaunidadHCylarelacindeparmetrosderedc/aes1,58.SielradiodeltomodeTies0,1445nm,(a)determinarelvolumende la celdilla unidad y (b) calcular la densidad del Ti y compararla con elvalordelaliteratura.16. ElcobaltotieneunaestructuracristalinaHC,unradioatmicode0,1253nmyunarelacinc/ade1,623.CalcularelvolumendelaceldillaunidaddelCo.17. Estaeslaceldillaunidaddeunhipotticometal:(a) A qu sistema cristalinoperteneceestaceldillaunidad?.(b)Cmo se llama esta estructuracristalina?(c)Calcular la densidad del materialsabiendo que su peso atmico es114g/mol.18. Aqusemuestranlasceldillasunidaddedoshipotticosmetales:(a) Cules son los ndices de las direcciones indicadas por los dosvectoresde(a)?(b)Culessonlosndicesdelosplanosindicadosen(b)?EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 22 - 19. Dentro de una celdilla unidad cbica trazar las siguientes direcciones: (a)[101];(b)[211];(c)[10 2];(d)[3 1 3];(e)[ 1 1 1 ];(f)[ 212];(g)[3 1 2];(h)[301].20. Determinar los ndices de las direcciones mostradas en la siguiente celdillaunidadcbica:21. Determinar los ndices de las direcciones mostradas en la siguiente celdillaunidadcbica:22. (a)Enlaceldillaunidadhexagonal,convertirlasdirecciones[110]y[00 1 ]enel sistema de cuatro dgitos MillerBravais. (b) Hacer la misma conversindelosplanos(111)y(0 1 2).EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 23 - 23. Determinar los ndices de Miller de los planos mostrados en la siguienteceldillaunidad: 24. Determinar los ndices de Miller de los planos mostrados en la siguienteceldillaunidad:EstructuraAtmicayCristalina DepartamentodeTecnologaIESSanJos .- 24 - 25. Determinar los ndices de Miller de los planos mostrados en la siguienteceldillaunidad:26. Dentro de la celdilla unidad cbica esquematizar los siguientes planos: (a)(10 1 );(b)(2 1 1);(c)(012);(d)(3 1 3);(e)( 1 1 1 );(f)( 212);(g)(3 1 2);(h)(301).