Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

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INTEGRANTE: LEIDY J. BUITRAGO. C.I.24.722.309 SECCION:SAIA-A PROF: ADRIANA BARRETO ESTRUCTURAS DISCRETAS I

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ESTRUCTURA DISCRETA II

INTEGRANTE: LEIDY J. BUITRAGO.C.I.24.722.309SECCION:SAIA-APROF: ADRIANA BARRETOESTRUCTURAS DISCRETAS II

Ejercicios Propuestos

a) Matriz de adyancencia.b) Matriz de incidencia.c) Es conexo?. Justifique su respuesta.d) Es simple?. Justifique su respuesta.e) Es regular?. Justifique su respuesta.f) Es completo? Justifique su respuesta.g) Una cadena simple no elemental de grado 6.h) Un ciclo no simple de grado 5.i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.j) Subgrafo parcial.k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.l) Demostrar si es hamiltonianos.Dado el siguiente grafo, encontrar:Ejercicio 1; DETERMINAR:

Soluciones: a) Matriz Adyacencia: Se determinar si los vrtices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vrtices que posee el Grafo, tanto en las filas como las columnas. 2) Se buscan las relaciones adyacentes o incidencias que lleguen a un mismo vrtices. 2.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2. 2.2) Incidencias o relaciones en los vrtices tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relacin alguna, se coloca el valor de 0.V1V2V3V4V5V6V7V8V101100111V210111010V311011011V410101001V510110101V611001011V701100101V801111110

b) Matriz Incidencia: Se determinar si los vrtices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vrtices y N cantidad de aristas que posee el Grafo. En las filas se colocan los vrtices y el columnas se colocan las aristas. 2) Se buscan las relaciones o incidencias entre vrtices y aristas. 2.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vrtices tienen valor de 1 2.2) Incidencias o relaciones en los vrtices y aristas tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relacin alguna, se coloca el valor de 0.

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17a18a19a20V111011100000000000000V210100001110000000000V301100010001110000000V400010000001001100000V500001000000100101100V600000100100000000111V700000010010000010001V800000001000011011010

c) Es Conexo?: Es cuando existe un camino entre cualquier par de nodos.. SI es conexo, porque en el grafo siguiente podemos ubicar varios caminos. Camino 1 : V2,V8,V6,V7

Camino 2 : V1,V4,V3

Camino 3 : V1,V3,V2

d) Simple?: Es cuando un grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas. NO es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas, falla una condicin, por ende ya es no simple.

Ejemplos de aristas paralelas, lazos y aristas dirigidas.Aristas paralelas y lazos.

Por EnderEl Grafo NO ES SIMPLE

Grafo con sus vrtices y aristas

Se ObtieneAMBOS CON ARISTAS PARALELAS. "NO ES SIMPLE".Aristas paralelas y dirigidas.

e) Regular?: Es un grafo donde cada vrtice tiene el mismo grado o valencia. Grado de un vrtice es: El nmero de aristas que inciden en el vrtice. Los grados o valencia del grafo se calculan as: 1) Ubicamos la tabla de incidencia del grafo, que nos indicar la cantidad de aristas que inciden en cada vrtice para ubicar su grado y se suman todas las aristas correspondiente a cada vrticea1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17a18a19a20V111011100000000000000V210100001110000000000V301100010001110000000V400010000001001100000V500001000000100101100V600000100100000000111V700000010010000010001V800000001000011011010

=5=5=5=5=4=4=6=6GRADOSSon diferentes los grados, de acuerdo a la suma de las aristas.No es regular, porque los vrtices tienen distintos grados o valencias.

f) Completo?: Es aquel grafo con N vrtices, en las que existe nicamente una arista por cada par de vrtices. No hay aristas paralelas o sub. grafos.

No posee aristas paralelas ni sub. grafos.Posee aristas paralelas y sub. Grafos, como lo hemos demostrado anteriormente.De esta manera, podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y ms de una arista por cada par de vrtices, dando origen a los sub. Grafos.

NO

ES

GRAFO

COMPLETO

GRAFO

COMPLETO

g) Una cadena simple no elemental de grado 6: Es una cadena con todas sus aristas distintas. 1) Ubicamos la Matriz de Incidencia para ubicar una cadena no elemental de grado 6: Tenemos dos de grado 4 con el vrtice V4 y V7. a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17a18a19a20V111011100000000000000V210100001110000000000V301100010001110000000V400010000001001100000V500001000000100101100V600000100100000000111V700000010010000010001V800000001000011011010

=4=4

GRADOSDe esta manera describimos una cadena simple que no sea de grado 6

h) Demostrar un ciclo no simple de grado 5: Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple. No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningn grado. i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructorPaso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1}Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4]V4V1a4

V4V1V7a15Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3={V1,V4}.a4Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4={V1,V4,V7,V5}a4V1a15V7V4a17V5

Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8}V1a4V4a15V7a17V5a5V8Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}.V1a4V4a15V7a17V5a5V8a19V6

Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}V1a4V4a15V7a17V8V5a19V6a19a10V2a4Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6,V2,V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente rbol generador. V1V4V7V5V8V6V2a15a17a19a19a10V3a3

j) Subgrafo parcialCamino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3.

Camino 3 : V1,V3,V2.

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury: el grafo no es auleriano debido a que no es posible la construccin de un siclo euleriano, ya que no todos los vertices tienen grado par.l) Demostrar si es hamiltonianos: el numero de vrtices que posee el grafo es 8, el grado de V1 es Gr(V1) 4, el de V2 es Gr (V2) 4, el de V8 es Gr(V8) ) 4, adems ser un grafo simple, por lo tanto es grafo halmitoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo hamiltoniano.

Ejercicio 2; DETERMINAR:Dado el siguiente dgrafo encontrar:Encontrar matriz de conexinEs simple?. Justifique la respuesta.Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.Encontrar un ciclo simple.Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.Encontrar la distancia de V2 a los dems vrtices utilizando el algoritmo de dijkstra.Ejercicios Propuestos

a) Encontrar matriz de conexin: En la matriz se enumeran vrtices y aristas.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14V100000000100000V210000000010000V301001000000000V400100001001000V500000110000001V600010000000100

b) Es simple?. Se puede decir que el dgrafo es simple ya que no posee ni arcos ni lazos paralelos , falla una condicin, por ende ya es no simple.

Aristas paralelas y lazos.Aristas paralelas y dirigidas.

POR ENDE

El Grafo No Es SimpleContiene Aristas Paralelas y Dirigidas.c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.Cadena simple: Es aquella que no repite aristas.Cadena Elemental: Es aquella que no repite vrtices.ACLARATORIA:Para llegar una conclusin. Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite vrtices y artistas. No se puede ubicar ninguna, ya que no es doblemente dirigidos para realizar en camino para repetir ambas.

a1a2a8

NO REPITE NI VERTICES NI ARISTAS.d) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.

f) Encontrar la distancia de V2 a los dems vrtices utilizando el algoritmo de dijkstra.

Pasos: Ubicar el vrtice de inicio. Luego ubicar los vrtices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este directamente a l. Agregar etiquetas a cada vrtice estudiado, la misma se realiza as:

[3,1]Smbolo de la Iteracin o estudio de distancia.Ponderacin de la arista + lo que precede.Vrtice Estudiado(1,1 ) # de la iteracin 4) Luego colocar la ponderacin de la arista + la ponderacin de la etiqueta anterior que esta directamente al vrtice estudiado. 5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteracin que se esta realizando.6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos. PASOS APLICADO AL GRAFO:

Distancia:dv2 a v1: 2 dv2 a V3: 3 dv2 a V5: 3 dv2 a v4: 4 dv2 a v6: 3