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11/06/2012 1 Estructura de Datos Árboles Árboles Binarios Temario Unidad VI 6.1 Definición y operaciones 6.2 Implementación 6.3 Recorrido en Árboles Binarios 6.4 Árboles AVL y su implementación 6.5 Árboles n-arios 6.6 Árboles B
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11/06/2012
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Estructura de Datos
Árboles
Árboles Binarios
Temario Unidad VI
6.1 Definición y operaciones
6.2 Implementación
6.3 Recorrido en Árboles Binarios
6.4 Árboles AVL y su implementación
6.5 Árboles n-arios
6.6 Árboles B
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Árboles
El tipo de estructura más general son los grafos. En un
grafo cada elemento puede tener varios elementos
anteriores y varios elementos posteriores. Los árboles son
un tipo especial de grafo en que cada elemento puede
tener varios posteriores pero sólo puede tener un elemento
anterior. Tanto los grafos como los árboles son estructuras
no lineales. Grafos
Árboles
Listas
Pilas Colas
Estructuras lineales
Definición
Los árboles son una de las estructuras de datos
no lineales que sirve para representar estructuras
de información jerárquicas y direcciones o
etiquetas de una manera organizada.
Ejemplos comunes de árboles:
La organización de una empresa (organigrama).
Árbol genealógico de una persona.
Organización de torneos deportivos (tabla de partidos).
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Aplicaciones
En general se usan los árboles asociados a distintos
esquemas para el desarrollo de los algoritmos, tales como
la programación dinámica, el esquema divide y vencerás.
Ejemplos de aplicaciones computacionales:
Realizar ordenaciones de datos.
Realizar búsquedas.
En un disco duro se utiliza una estructura de directorios y subdirectorios
en forma de árbol.
Asignar bloques de memoria de tamaño variable.
Organizar tablas de símbolos en compiladores.
Representar tablas de decisión.
Solucionar juegos.
Probar teoremas.
Definición de árbol
Un árbol es un conjunto finito T de uno o más
nodos tal que:
Existe un nodo especial llamado la raíz de árbol.
Los nodos restantes están particionados en m > 0
conjuntos disjuntos T1,...,Tm y cada uno de estos
conjuntos es a su vez un árbol. Los árboles T1,...,Tm
son llamados subárboles de la raíz.
Cualquier nodo es la raíz de un subárbol que
consiste de él y los nodos debajo de él. Por ello
se dice que la definición de árbol es recursiva.
Puede estar ordenado o no.
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Representación de un árbol
La forma general de representar un árbol
es con grafos usando apuntadores pero
también existe otra usada que es con
vectores.
Terminología
Dado un conjunto de E elementos:
Un árbol puede estar vacío.
Un árbol no vacío puede constar de un solo
elemento llamado nodo raíz.
Un árbol consta de un nodo raíz e E, conectado
por arcos directos a un número finito de otros
árboles.
Un vértice o nodo del árbol puede tener un
nombre y puede tener asociada a él una
información.
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Terminología
Raíz. Es el primer nodo de un árbol(único
nodo sin padre).
Arcos o Ramas. Son las flechas que
conectan un nodo a otro.
Hoja. Son los nodos terminales son aquellos
que no conducen a algún nodo, no tienen
hijos.
Internos. Son los nodos que no son hojas se
llaman también nodos no terminales, tienen al
menos un hijo.
Terminología
Hijo. Si un nodo n1 tiene una rama hacia el
nodo n2 , se dice que n2 es un nodo hijo de
n1. También llamado descendiente directo.
Camino. Es una lista de ramas contiguas que
van de n1 a n2.
Una propiedad que define a los árboles es que
existe exactamente un camino entre la raíz y cada
uno de los otros nodos en el árbol.
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Terminología
Longitud de un camino. Es el número de
nodos del camino menos uno o de forma
equivalente es el número de arcos que
contiene el camino.
Por tanto, hay un camino de longitud cero de
cualquier nodo a si mismo.
Grado de un nodo. Es el número de hijos
que parten de un nodo.
El grado de un árbol es el grado máximo de los
nodos del árbol.
Terminología
Orden. Es el número potencial de hijos quepuede tener cada elemento de árbol.
Nivel de un nodo. Es la longitud del camino
que lo conecta al nodo raíz.
Profundidad del nodo nk. Es el largo del
camino entre la raíz del árbol y el nodo nk.
La profundidad de la raíz es siempre 0.
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Terminología
Altura de un nodo nk. Es el máximo largo de
camino desde nk hasta alguna hoja.
Esto significa que la altura de toda hoja es 0.
La altura de un árbol es igual a la altura de la raíz
y tiene el mismo valor que la profundidad de la
hoja más profunda.
La altura de un árbol vacío es -1.
Terminología
Subárbol. Es un subconjunto de nodos del
árbol conectados por ramas del propio
árbol, éste es, a su vez un árbol.
Bosque. Es un conjunto de árboles
Si se elimina la raíz de un árbol se obtiene un
bosque, y si se añade un nodo a un bosque se
obtiene un árbol.
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Árbol ordenado
Es aquel a partir del cual se puede obtener una
secuencia ordenada siguiendo uno de los
recorridos posibles del árbol: inorden, preorden o
postorden.
Existen varios tipos de árboles ordenados:
Árboles binarios de búsqueda (ABB).
Árboles-B, árboles 2-3-4
Árboles AVL.
Árboles Rojo-Negro.
Árbol Binario
Es un árbol de grado 2.
Cada nodo puede tener como máximo dos
hijos (0 a 2 descendientes directos), es
decir, cada nodo sólo puede tener dos
subárboles.
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Aplicaciones de AB
Generalmente en expresiones aritméticas,
árboles de decisión y búsqueda (ABB).
Ejemplo de un árbol de decisión: Un nodo interno representa preguntas con respuesta
(si/no).
Los nodos hoja representa las decisiones.
Pregunta: ¿Dónde ir a cenar?
Ejemplo Árbol de Decisión
¿Cómida rápida?
¿Con café? ¿Cara?
Italian coffe McDonalds MMMM VIPS
Sí No
Sí No Sí No
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Ejemplo de A. Binario
A
B C
F GD E
Operaciones básicas en AB
Creación del árbol
Creación de nodo
Inserción
Eliminación
Búsqueda
Recorridos
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Implementación Definición de un AB
Considerando la siguiente definición de tipo:
typedef struct nodo{ // estructura que define el nodo
Árbol
tipo_dato dato;
struct nodo *izq;
struct nodo *der;
} NodoArbol;
NodoArbol *Arbol;
Implementación Creación de un nodo
NodoArbol * crearNodo(tipo_dato e)
{
NodoArbol *nodo;
nodo=(NodoArbol *)malloc (sizeof(NodoArbol));
nodo->dato = e;
nodo->der=NULL;
nodo->izq=NULL;
return nodo;
}
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Recorridos en un AB
Se denomina recorrido de un árbol al proceso
que permite acceder una sola vez a cada uno de
los nodos del árbol.
Inorden. Cada nodo se visita después de viistar su subárbol
izquierdo y antes de visitar el derecho (Izq, Raiz, Der).
Preorden. Cada nodo se visita cada nodo, luego su subárbol
izquierdo y finalmente el derecho (Raiz, Izq, Der).
Postorden. Cada nodo se visita después de visitar su
subárbol izquierdo y después de visitar el derecho (Izq, Der,
Raiz).
Recorridos en un AB
Ejemplo:
Preorden: A, B, D, E, C, F, G
Inorden: D, B, E, A, F, C, G
Postorden: D, E, B, F, G, C, A
A
B C
F GD E
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Implementación recursivaInserción ABB
void insertar(nodoArbol *r, tipo_dato e)
{ nodoArbol *nodo;
If ( r==NULL)
r= crearNodo(nodo);
else
if (e > r->dato) //Si el dato a insertar es mayor
insertar(aux->der,e) //Se revisa el lado derecho
else
if (e < r->dato)
insertar(r->izq,e);
}
Implementación Recorridos en un AB
void inorden (NodoArbol * r)
{ if ( r != NULL) {
inorden(r->izq);
printf(“%i”, r- >dato);
inorden(r->der);
}
}
void postorden (NodoArbol *r) {
if ( r != NULL) {
postorden(r->izq);
postorden(r->der);
printf (“%i”,r- >dato); // la impresión puede sustituirse por una
// función llamada visita que…..
}
}
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Árbol Binario de Búsqueda
En este tipo de árbol los nodos están
ordenados de manera conveniente para la
búsqueda.
Todas las datos del subárbol izquierdo son
menores que el dato del nodo raíz, y todas
los datos del subárbol derecho son
mayores.
Ejemplos de ABB
M
D R
P WA K
38
25 65
47 9413
5 21
30
50
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Búsqueda en un ABB
int buscar(nodoArbol *r, tipo_dato elem)
{ if (r == NULL)
return 0;
else if (r->dato == elem)
return 1;
else if ( r->dato < elem)
return buscar(r->izq, elem);
else
return buscar(r->der, elem);
}
Eliminación en ABB
Existen cuatro casos o escenarios:
1. Intentar eliminar un nodo que no existe.
– No se hace nada, se retorna 0.
2. Eliminar un nodo hoja.
– Se borra el nodo y se actualiza el apuntador del
nodo padre a NULL.
3. Eliminar un nodo con un solo hijo.
– El nodo padre del nodo a borrar se convierte en
el padre del único nodo hijo.
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Eliminación en ABB
4. Eliminar un nodo con dos hijos.
En este caso hay dos opciones de eliminación: a) Reemplazar el dato del nodo por la menor de las claves
mayores en su subárbol derecho.
b) Reemplazar el dato del nodo por la mayor de las claves
menores en su subárbol izquierdo.
En esta opción, como las claves menores están en la rama
izquierda, se baja al primer nodo de la rama izquierda y
como la clave mayor está en la rama derecha, se continúa
bajando por la rama derecha hasta alcanzar el nodo hoja.
Este es el mayor de los menores que reemplaza a la clave
del nodo a eliminar.
ImplementaciónEliminación ABB
void eliminar (nodoArbol *r, int elem) {
nodoArbol *aux1, * aux2;
aux1 =raiz;
while (!hoja(aux1)) { aux2=aux1;
if (aux1 -> izq !=NULL )
aux1=aux1 -> izq;
else
aux1=aux1 -> der;
}
if (aux==r )
{ free(aux1); raiz=NULL; }
if (aux2 -> izq== aux1)
aux2 -> izq= NULL;
else
aux2 -> der= NULL;
free(aux1);
} }
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Árbol de expresión
Un árbol de expresiones es un árbol binario
completo, en el cual los nodos interiores son
operadores y las hojas son operandos
(variables o constantes).
Es fácil de representar en un AB ya que los
operadores matemáticos son binarios (o
unarios como en el caso del operador signo -
).
Árbol de expresión
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a 1
3 b
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Árbol de expresión
Se puede evaluar de la siguiente manera:
Si la raíz del árbol es una constante o una
variable se retorna el valor de ésta.
Si la raíz resulta ser un operador, entonces
recursivamente se evalúan los subárboles
izquierdo y derecho, y se retorna el valor que
resulta al operar los valores obtenidos de las
evaluaciones de los subárboles con el
operador respectivo (+, -, * ó / ).
Árbol de expresión
Algoritmo de construcción de un AB de
Expresión
Mientras carácter diferente de nulo.
Leer carácter de la lista.
Si es paréntesis pasar al siguiente carácter.
Crear un nodo nuevo que contenga ese
carácter.
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Algoritmo de construcción
Si el carácter que tiene nuevo es un:
Operando
si el árbol esta vacío hacer raíz a nuevo
si no recorrer el árbol por la derecha hasta
llegar a un nodo con hojas
si la hoja izquierda, no esta etiquetada
colocar operando.
si no colocarlo en la hoja derecha.
Algoritmo de construcción
Si el carácter que tiene nuevo es un:
Operador
si la raíz es un operando
insertar nuevo en ese nodo, y convertir el
operando en el hijo izq.
si no
si hay un paréntesis abierto
insertar nuevo en la ultima hoja derecha y colocar
operando como hijo izquierdo
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Algoritmo de construcción
si el carácter anterior es paréntesis izquierdo
si el siguiente carácter es paréntesis
derecho
si solo hay un operador en el árbol
nuevo se convierte en raíz
si no
se inserta en el ultimo nodo derecho, y el
nodo se convierte en hijo izquierdo.
.
Algoritmo de construcción
Si no se cumple ninguna de las condiciones
anteriores
si la raíz es de igual prioridad o menor prioridad
convertir la raíz en el hijo izquierdo de nuevo
sino
si la prioridad del nodo raíz es mayor al de nuevo
insertar nuevo como hijo derecho y colocar el
nodo reemplazado como hijo izquierdo.
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Tipos de Árboles Binarios
AB Similares. Tienen la misma estructura.
A
B C
D E
F
B M
A E
Tipos de Árboles Binarios
A. Equivalentes. Tienen la misma
estructura y además la misma información.
F
B M
A E
F
B M
A E
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Tipos de Árboles Binarios
A. Equilibrado. Cuando las alturas de los
dos subárboles de cada nodo del árbol se
diferencian en una unidad como máximo.M
D R
P WA K
L
Tipos de Árboles Binarios
A. Completo. Un AB completo (ABC) de
profundidad N es un árbol en el que para cada
nivel, del 0 al nivel N-1tiene un conjunto lleno de
nodos y todos los nodos hoja a nivel N ocupan
las posiciones más a la izquierda del árbol.
M
D R
PA K
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Tipos de Árboles Binarios
Árbol lleno. Es un árbol completo que
contiene en su último nivel el número
máximo de nodos.
M
D R
P WA K
Tipos de Árboles Binarios
A. Degenerado. Si todos sus nodos
excepto el último tienen sólo un subárbol.
7
8
6
5
10
9
7
8
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Árboles desbalanceados
Algunas veces los ABB no facilitan la
búsqueda de elementos, sobretodo
cuando quedan formados como se ve
en la imagen.
El problema es que está muy
desbalanceado. La solución es
balancearlo, y con ello asegurar que
asegurar que tiempo promedio de
búsqueda sea menor.
1
7
-3 8
6
5
4
