Estructura cristalina. Red recíproca y zona de Brillouin

download Estructura cristalina. Red recíproca y zona de Brillouin

of 22

description

Apuntes de Espectroscopía de sólidos.

Transcript of Estructura cristalina. Red recíproca y zona de Brillouin

1

ESTRUCTURA ELECTRNICA DE LOS SLIDOS I

Estructura cristalina. Red recproca y zona de Brillouin. Teorema de Bloch. Masa efectiva. Densidad de estados. Mtodo LCAO. Mtodo kp. Aproximacin de la masa efectiva. Estados electrnicos de impurezas. Excitones de Wannier.

Estructura cristalina Red recproca y zona de Brillouin

Red de BravaisConjunto de (infinitos) puntos en el espacio:

Red 3D

Pero ... la eleccin de traslaciones primitivas no es nica:

Celda unidad (celdilla)Celdilla primitiva = Volumen que, trasladado segn R , rellena todo el espacio sin superposiciones ni vacosUna posible celdilla es el paraleleppedo formado por Propiedades Volumen Un punto de la red por celdilla

Puesto que la eleccin de traslaciones primitivas no es nica la celdilla primitiva tampoco lo es

?Pero ... se puede asegurar que todas tienen el mismo volumen y solo contienen un punto de la red

Celdilla convencional = Volumen que, trasladado segn un subconjunto de R , rellena todo el espacio Volumen mltiplo de Contiene ms de un punto de la red

Parmetros de la red

Clasificacin de las redes de Bravais

simple bcc

fcc

Celdilla de Wigner-Seitz = volumen que contiene los puntos del espacio ms cercanos a un punto de la red celdilla primitiva

No est asociada a traslaciones primitivas Tiene todos los elementos de simetra del grupo puntual de la red

Ejemplo: La red fccCeldilla primitiva (paraleleppeda)

Celdilla convencional

Celdilla de Wigner-Seitz

Direcciones y planos en una red de BravaisRed de Bravais Celdilla convencional (a, b, c) Ejes cristalinosPunto de la red

Direccin de la red paralela a:( h,k,l son los tres enteros ms pequeos)

O

Conjunto de direcciones equivalentes (por simetra) a [h,k,l]

?Ejemplo: direccin [2,1,0]

Plano de la redPor convencin se identifica a partir de las intersecciones con los ejes cristalinos del plano paralelo ms cercano al origen ndices de Miller 1) Encontrar las intersecciones del plano con los ejes cristalinos expresadas en mltiplos enteros de (a, b, c) (na, n b, nc) b 2) Tomar la inversa de los tres nmeros (1/na, 1/n b, 1/nc) 3) Reducir las fracciones a denominador comn M (h, k, l)/M b/4 O a a/3 Ejemplo: plano (3,4,0)

4) (h, k, l) son los ndices de Miller que definen el plano de la red (y sus paralelos) a/h, b/k y c/l son los puntos de corte con los ejes del plano paralelo ms cercano al origen Conjunto de planos equivalentes (por simetra) a (h,k,l) { h,k,l }

Ejemplos para una red cbicaz z z

y x (1,0,0) z x (1,1,0) z x

y (1,1,1) z

y

y x (2,0,1) x (2,1,0)

y x (1,1,1)

y

Estructura cristalina

Red de Bravais

+Estructura cristalina

Base (o motivo)

= grupo de tomos en la celdilla (primitiva)

Sub-redes

Respecto a un punto de la red (0,0,0), el centro del tomo j de la base es dj = xj a + yj b + zj c ( xj , yj , zj ) Estructura CsCl Estructura NaCl Estructura ZnS

Red cbica simple

Red cbica centrada en caras (fcc)

Base: (1/2,1/2,1/2) (0,0,0)

Base: (1/2,1/2,1/2) (0,0,0)

Base: (1/4,1/4,1/4) (0,0,0)

Estructura del diamante (C) y de la zincblenda (ZnS cbico) Red fccCoordinacin tetrahdrica

Si A = B estructura del diamante (A=C, B=C) Ejemplos: C, Si, Ge, ...

B ABase

Si A B estructura de la zincblenda a (A=Zn, B=S)

A

Ejemplos: GaAs, InP, AlSb, GaN, ZnS, ZnSe, CdTe, ...

Estructura de la wurtzita (ZnS hexagonal) Red hexagonalEjemplos: ZnS (A1=A2=Zn, B1=B2=S), ZnO, CdSe, GaN, ...Coordinacin tetrahdrica

B2

Secuencia de apilamiento k c

A2 B1

A1

Base

Element or Compound C Ge Si Sn SiC AlAs AlP AlSb BN BP GaAs GaN GaP GaSb InAs InP InSb CdS CdS CdSe CdTe ZnO ZnS ZnS PbS PbTe

Type Element Element Element Element IV-IV III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V III-V II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI II-VI IV-VI IV-VI

Name Carbon (Diamond) Germanium Silicon Grey Tin Silicon carbide Aluminum arsenide Aluminum phosphide Aluminum antimonide Boron nitride Boron phosphide Gallium arsenide Gallium nitride Gallium phosphide Gallium antimonide Indium arsenide Indium phosphide Indium antimonide Cadmium sulfide Cadmium sulfide Cadmium selenide Cadmium telluride Zinc oxide Zinc sulfide Zinc sulfide Lead sulfide Lead telluride

Crystal Structure Diamond Diamond Diamond Diamond Wurtzite Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Wurtzite Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Zincblende Wurtzite Zincblende Zincblende Rock Salt Zincblende Wurtzite Rock Salt Rock Salt

Lattice Constant at 300 K () 3.56683 5.64613 5.43095 6.48920 a=3.086; c=15.117 5.6605 5.4510 6.1355 3.6150 4.5380 5.6533 a=3.189; c=5.185 5.4512 6.0959 6.0584 5.8686 6.4794 5.8320 a=4.160; c=6.756 6.050 6.482 4.580 5.420 a=3.82; c=6.26 5.9362 6.4620

Red recprocaRed de Bravais en el espacio de posiciones (espacio directo)

El conjunto de (infinitos) puntos en el espacio k (espacio recproco):

es una red de Bravais Red recproca

Red recproca = red de Bravais Propiedades :Celdilla unidad paraleleppedo Volumen ?

Puede clasificarse dentro de las 14 redes de BravaisEjemplos: Red directa Red directa Red directa Red directa cbica simple fcc bcc hexagonal Red recproca cbica simple Red recproca bcc Red recproca fcc Red recproca hexagonal

La red recproca de la red recproca es la red directa peridica en el espacio directo:

Zona de BrillouinRed recproca = red de Bravais es posible definir una celdilla de Wigner-Seitz (primera) Zona de Brillouin (de la red directa) Volumen Ejemplo:Red directa fcc Red recproca bcc

Zona de Brillouin

Zona de Brillouin de la red fcc( estructura del diamante y de la zincblenda)