INTRODUCCIÓN:

El análisis estructural tiene como finalidad principal la determinación de

los esfuerzos o fuerzas internas producidas en los miembros de una estructura,

a saber, momentos de flexión y de torsión, fuerzas de corte y axiales; así como

también los desplazamientos y deformaciones de las juntas y miembros de la

estructura. Estos esfuerzos y deformaciones se producen a consecuencia de

acciones externas (cargas) que actúan sobre la estructura.

La ingeniería estructural en términos simples, se refiere a las etapas

tanto del análisis como del diseño de las estructuras

DEFINICIÓN DE TERMINOLOGÍA BÁSICA

Para una mejor comprensión de los temas posteriores se hace

indispensable el manejo de la siguiente terminología básica y así poder iniciarse

en el cálculo estructural:

CARGAS:

Carga Muerta o carga permanente: es aquella producida por el peso

propio de los elementos.

Carga Variable o carga viva: es aquella producida por personas, equipos,

nieve y otros.

Cargas Especiales: son aquellas producidas por sismo, viento, por el

terreno, asentamientos, cambios de temperatura, hidráulicas., errores de

fabricación y construcción.

1

A las cargas vivas y especiales, también se les denomina sobrecarga, y

actúan de una forma menos permanente y de magnitudes no constantes en el

tiempo.

SISTEMA ESTRUCTURAL:

Consiste en un ensamblaje de miembros, llamada armazón o estructura

armada, con el objeto de resistir en forma segura, las cargas a las cuales

estará sometida.

Sistema compuesto de uno o varios elementos resistentes dispuestos de

tal forma que tanto la estructura total como sus componentes sean

capaces de mantenerse sin cambios apreciables en su geometría

durante la carga y la descarga.

SISTEMAS CONTINUOS:

Son aquellos sistemas para los que no existe una estructura identificable,

sin embargo son estructuras que pueden analizarse con los principios

básicos y métodos del análisis estructural, últimamente, se está

utilizando el método de los elementos finitos para su calculo. Como

ejemplo de estos sistemas, se tienen: Cascarones, Domos, Placas,

Presas, Muros de Contención, Torres enfriadoras y Tanque de

almacenamiento.

EJEMPLOS DE ESTRUCTURAS: Entre las estructuras más comunes se tienen:

edificios, Puentes, Torres de Transmisión, Naves espaciales, Aviación, Muros.

OBJETIVO DEL ANALISIS ESTRUCTURAL:

El objetivo técnico del análisis estructural, es en forma general, la

determinación de las fuerzas y desplazamientos de una estructura dada. El

análisis completo de una estructura suele requerir de un conocimiento de todos

sus miembros, los cuales están determinados por las dimensiones de diseño.

El objetivo técnico del diseño estructural es la selección y el detalle de los

componentes que conforman el sistema estructural. Diseñar una estructura

envuelve muchas consideraciones, entre las cuales se persiguen dos objetivos

principales:

2

1. La estructura debe cumplir los requisitos de funcionalidad, es decir

suministrar el espacio para viviendas, fábricas y otros usos.

2. La estructura debe soportar las cargas en condiciones seguras, es decir,

mantener el equilibrio bajo su propio peso más las cargas provenientes

de la cubierta, del viento, del sismo y de la nieve, cualquiera sea el caso.

En la práctica el análisis y el diseño de una estructura son inseparables,

ya que las dimensiones obtenidas del diseño se basan en el conocimiento de

las fuerzas internas de la estructura que resulta de un análisis.

PASOS PARA OBTENER EL DISEÑO COMPLETO DE UNA ESTRUCTURA:

El diseño completo de una estructura esta conformado por los siguientes

pasos:

1. Determinación de la Forma General : depende de los siguientes

factores:

Funcionalidad: El uso al cual va a estar destinado.

Aspectos Económicos, estéticos, legales y financieros.

2. Investigación de las Cargas: Se obtiene considerando

Especificaciones y Normas vigentes, dependiendo del uso.

3. Análisis de esfuerzos: Determinación de las fuerzas internas y

deformaciones.

4. Selección de Materiales y Dimensiones: Considerando los resultados

del análisis de esfuerzos, Normas y Especificaciones.

5. Dibujos y Detalles: Proporcionan información necesaria para la

construcción de la estructura.

FASES PARA LA EJECUCIÓN DE PROYECTOS DE INGENIERÍA

En un sentido mas amplio la ingeniería estructural va mas alla del diseño

y del análisis. La mayor parte de los proyectos de ingeniería incluyen las

siguientes fases:

Planeación General

Estimación de Tiempos

Fabricación

3

Construcción

Inspección de una Estructura.

El ingeniero en estructuras puede participar en cualquiera de esos

niveles para utilizar sus habilidades y funciones cualitativas.

El objetivo final del ingeniero en estructuras, es obtener una estructura

segura y económica. Los errores cometidos en alto grado en el análisis durante

cualquier fase de un proyecto pueden ser catastróficos generando perdidas de

vida o de dinero. Es por ello que los análisis son revisados y comprobados muy

a menudo por diferentes individuos dentro de una misma empresa.

MODELADO Y SIMBOLOGÍA EN ESTRUCTURAS

El modelado de una estructura significa la formulación de un modelo de

la estructura real, susceptible de un tratamiento matemático relativamente

sencillo. Son idealizaciones y simplificaciones adoptadas para reducir la

complejidad del problema.

Se idealizan descripciones geométricas de la estructura real

Se idealiza el comportamiento del material

Se idealiza la forma en que están conectados entre si los miembros

individuales de una estructura

Se idealiza la forma como están sujetos los elementos de las fronteras o

los soportes del sistema.

SUPOSICIONES E HIPOTESIS FUNDAMENTALES

La teoría de las estructuras se caracteriza por considerar las siguientes

suposiciones e hipótesis en su metodología:

Cálculo Estático y Dinámico : Generalmente el cálculo se realiza

considerando la carga estática; sin embargo, los efectos dinámicos

causados por las cargas en movimiento como: los sismos, vientos,

explosiones de bombas, se estudian en el análisis dinámico de las

estructuras.

Consideraciones en el Plano y en el Espacio : Las estructuras para su

análisis pueden ser consideras en el plano o en el espacio, siempre y

4

cuando el sistema de cargas que actúan sobre ellas están contenidas en

el plano o en el espacio, respectivamente.

Estructuras de Comportamiento Lineal y no Lineal : Se dice que el

material con que están hechos los elementos de una estructura tiene un

comportamiento lineal (fig.a), cuando existe una proporcionalidad directa

entre el esfuerzo y la deformación, es decir, cumple la ley de Hooke, y

esa relación constante ó la pendiente del diagrama esfuerzo deformación

es igual al modulo de elasticidad del material (E), caso contrario, se dice

que el material tiene un comportamiento no lineal (fig.b).

Lineal No Lineal

Fig.a fig.b

Comportamiento Elástico e Inelástico : Se dice que la estructura tiene un

comportamiento elástico (fig. c y d), cuando al ser sometida a un sistema

de cargas esta se deforma, pero al ser descargada, regresa a su

posición original siguiendo la misma trayectoria seguida durante el

proceso de carga. Si la estructura cargada, al ser descargada no

regresa a su posición original siguiendo la misma trayectoria que durante

el proceso de carga, se dice que tiene un comportamiento inelástico (fig.

e y f).

Fi g.c

Elasticamente fig.d. Elasticamente Fig.e Inelasticamente Fig.f Inelasticamente

lineal no Lineal no lineal lineal

Principio de superposición : La aplicación de este principio esta

condicionada a que el material tenga un comportamiento lineal, es decir

que se cumpla con la ley de Hooke, y establece que: “La respuesta de

una estructura debida a un número de cargas aplicadas

5

simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas de las cargas

individuales aplicadas por separado, Fig.g. Entendiéndose por la

respuesta de una estructura ante la acción de un sistema de cargas, la

medida de los esfuerzos y deformaciones desarrollados en los miembros

y juntas de dicha estructura.

Teoría De Los Desplazamientos Pequeños: Esta teoría se basa en que

los desplazamientos de una estructura debida a un sistema de cargas

actuantes son tan pequeños que la forma de la estructura permanece sin

variar apreciablemente, antes y después de la aplicación de las cargas.

Generalmente se limitan hasta unas dos órdenes de magnitud de la

dimensión característica (10-2). Es denominada también “Teoría de

Primer Orden”, ya que toma en cuenta solo los efectos de primer orden,

considerando despreciables los efectos del segundo orden como por

ejemplo: el fenómeno de pandeo, el cual toma importancia cuando los

elementos son esbeltos sometidos a grandes cargas; y también el efecto

de corte, que es importante considerarlo en miembros de gran peralte.

Estructuras Estáticamente Determinadas e Indeterminadas : Las

estructuras, de acuerdo al grado de indeterminación estática se clasifican

en: Estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas, lo cual

es necesario para su análisis estructural, únicamente establecer las

ecuaciones de equilibrio estático, al sistema considerado, si esta es

determinada, mientras que si la estructura es indeterminada, requiere de

ecuaciones adicionales para igualar al número de incógnitas y resolver el

sistema de ecuaciones planteado. Estas ecuaciones adicionales pueden

6

qq

= + +

P1 P2

P1 P2

Fig.g

obtenerse mediante las relaciones entre las fuerzas y los

desplazamientos y la aplicación del principio de superposición. Existen

varios métodos para resolver estos sistemas indeterminados y la

diferencia radica en la manipulación de estas relaciones, entre las

fuerzas y los desplazamientos, entre los cuales se trataran en este curso:

el método de las fuerzas y el método de los desplazamientos.

TIPOS DE ELEMENTOS A ANALIZAR

Vigas: Elemento horizontal recto sometido solamente a cargas

transversales y queda analizada completamente cuando se determinan

los valores del momento flector y las fuerzas cortantes.

Cerchas: Se componen de elementos rectos o barras unidas a través de

articulaciones libres de fricción, formando triángulos, y las cargas son

aplicadas en los nodos y cada barra se considera sometida

exclusivamente a fuerzas axiales.

Marcos o Pórticos Rígidos : Esta compuesto de elementos horizontales y

verticales, unidos mediante juntas rígidas capaces de resistir momento.

Los elementos de un pórtico rígido generalmente están sometidos a

momentos flectores, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.

SISTEMAS DE VINCULACIÓN

Vinculo: Condición geométrica que limita o restringe el movimiento de los

cuerpos (vinculo real).

Grado de Libertad:

Posibilidad de movimiento que puede tener un cuerpo

Número de coordenadas generalizadas libres e independientes

necesarias para definir la posición o configuración de un cuerpo o

sistema.

Viene dado por el número mínimo de unidades de vinculación que se le

debe adicionar a un sistema para llevarlo a condiciones de equilibrio

estático.

7

Un cuerpo analizado en el plano tiene tres posibilidades de movimientos

independientes:

Un desplazamiento vertical

Un desplazamiento horizontal

Un desplazamiento angular o rotacional alrededor del eje

perpendicular al plano del cuerpo.

Un cuerpo analizado en el espacio tiene seis posibilidades de movimiento

independientes:

Tres desplazamientos lineales: uno en el eje X, dx, otro en el eje

Y, dy, y otro en el eje Z, dz.

Tres desplazamientos angulares o rotacionales alrededor de los

tres ejes ortogonales: uno alrededor del eje X, öx, otro alrededor

del eje Y, y, y el otro alrededor del eje Z, z.

Miembro: Es el elemento que forma cada pieza del sistema o estructura, y

dependiendo de su forma, pueden ser:

De Eje Recto:

De Eje Curvo:

De Sección Constante:

De Sección Variable:

Vínculos Internos: Son aquellos que limitan la capacidad de movimiento de un

miembro con respecto a otro, se clasifican en:

a) Vínculos de Primera Especie : Restringen un solo grado

de libertad, ejemplo: los rodillos, permiten la traslación en la dirección de

acción de los rodillos y la rotación relativa entre los miembros conectados

y restringe la otra traslación (fig.h); y el empotramiento libre, vínculo que

permite toda traslación relativa, restringiendo solo la rotación relativa entre

los miembros conectados fig.i).

8

Fig.h fig.i

b) Vínculos de segunda especie : Restringen dos grados de

libertad, ejemplo: el empotramiento móvil, restringe la rotación relativa y

un desplazamiento lineal, permite solo una traslación relativa (fig.j); y la

rótula o articulación, la cual solo permite la rotación relativa entre los

miembros que vincula (fig k).

Fig.j fig.k

c) Vínculos de Tercera Especie : Restringen tres grados de

libertad, ejemplo: El empotramiento interno, el cual no permite que halla

desplazamiento relativo, es equivalente a señalar ambos elementos como

uno solo (fig.l)

Fig.l

Vínculos Externos: Son aquellos que restringen el movimiento de un cuerpo o

miembro con la lámina tierra, esta se supone fija, y se clasifican en:

a) Vínculos de Primera Especie : Restringe un solo grado de libertad,

ejemplo: el rodillo o articulación móvil, permite la rotación y

desplazamientos lineales, restringiendo solo un desplazamiento lineal en

dirección perpendicular a la acción de los rodillos (fig.m); y el

empotramiento libre, el cual permite solo traslación, ya que su rotación

con respecto a la lámina tierra es nula (fig.n).

9

Fig.m fig.n

b) Vínculos de Segunda Especie : ejemplo: la articulación, la cual solo

permite desplazamientos angulares o rotacionales, los cuales se

producen alrededor de un punto O, impidiendo toda traslación (fig.o); y el

empotramiento móvil, el cual solo permite la traslación en el sentido de

acción de los rodillos (fig.p).

o

fig.o fig.p

c) Vínculos de Tercera Especie : Restringe todo grado de libertad, ejemplo:

el empotramiento fijo o simplemente empotramiento, (fig.q)

Vinculo Aparente: Es aquel que no introduce restricciones adicionales a las ya

existentes dentro de un mecanismo cinemático, el cual, es un sistema

hipostático o inestable (fig.r).

Vínculo Aparente Uno de los tres es Aparente Vínculo Superfluos o superabundante

Fig.r Fig. s

10

A B

C

Fig.q

Vinculos Superfluos O Superabundante: Son vínculos adicionales al número

mínimo que se requiere para llevar a condiciones de equilibrio un mecanismo

cinemático. En la siguiente figura s, el vínculo A es superabundante, ya que el

elemento se encuentra en condiciones de equilibrio estático mediante los

vínculos dispuestos en B y en C.

APOYOS Y SUS REACCIONES

TIPO REPRESENT.

GRAFICA

#REACCIONES

PLANO ESPACIO

RODILLO

1 1

APOYO FIJO

2 3

EMPOTRAMIENTO

PERFECTO 3 6

EMPOTRAMIENTO

MOVIL 2 4

EQUILIBRIO, ESTABILIDAD, DETERMINACIÓN ESTATICA Y GEOMETRICA

DE ESTRUCTURAS.

EQUILIBRIO ESTÁTICO

Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático si permanece

en reposo durante y después de la aplicación de las cargas, y matemáticamente

11

R1R1

R2

R1

Rx

Ry

Rz

Ry

puede expresarse como: “la resultante de todas las fuerzas y momentos que

actúan sobre dicho cuerpo sea igual a cero”, es decir,

∑F = 0,

∑M = 0.

Estas ecuaciones representan las ecuaciones de equilibrio estático. Si el

cuerpo está restringido a moverse en el plano, estará en equilibrio estático si

satisface las tres ecuaciones siguientes:

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑Mz = 0

Si el cuerpo está contenido en el espacio, estará en equilibrio estático si

se satisfacen las seis ecuaciones siguientes:

∑Fx = 0 ∑Mx = 0

∑Fy = 0 ∑My = 0

∑Fz = 0 ∑Mz = 0

Estas ecuaciones también pueden ser expresadas vectorialmente:

∑F = Fx i + Fy j + Fz k

∑M = Mx i + My j + Mz k

Donde I, j, k son los vectores unitarios en el sistema cartesiano de los

ejes x, y y z respectivamente.

12

Fx

Fy

FzMx

Mz

X

Y

Z

Mz

Fx

Fy

X

Y

Representación de Fuerzas y Representación de fuerzas en el plano XY

Momentos generales en el espacio

ESTABILIDAD Y DETERMINACION

La estabilidad y grado de indeterminación de las estructuras debe

juzgarse tanto por el número y disposición de los apoyos como por el número y

disposición de sus elementos y las uniones de la estructura. Puede ser

determinado por simple inspección o por medio de formulas.

ESTABILIDAD: Una estructura se dice que es estable cuando sea capaz

de soportar cualquier sistema concebible de cargas, resistiendo estas cargas en

forma elástica e inmediatamente a su aplicación, considerando infinita la

resistencia de todos los miembros y la capacidad de todos los soportes

(Ferguson, P. 1965). En otras palabras la estabilidad de una estructura depende

del número y disposición de las componentes de reacción y partes

componentes más que de la resistencia de los apoyos y partes de la estructura.

Requisitos de Estabilidad:

1) Si el número de incógnitas escalares independientes escalares

independientes es menor que el número de ecuaciones escalares

independientes, no triviales de la estática, el sistema es inestable.

2) Si el número de incógnitas escalares independientes es igual al número

de ecuaciones escalares independientes no triviales de la estática,

entonces:

a) El sistema es estable si puede hablarse de una solución única

para las incógnitas escalares, donde su determinante es diferente

de cero, D ≠ 0.

b) El sistema es inestable, si no puede hallarse una solución única

para las incógnitas escalares, esto indica que su determinante es

igual a cero, D = 0.

3) Cuando el número de incógnitas escalares independientes (n) es mayor

que el número de ecuaciones escalares independientes (q), no triviales

13

de la estática, el sistema se clasifica como estáticamente indeterminado

de grado (n-q).

Determinación de la estabilidad de un sistema usando la aproximación

matemática a la inestabilidad:

Una condición necesaria pero no suficiente para que un sistema sea

estable, es que deben existir al menos tantas reacciones independientes para la

estructura, como ecuaciones independientes, no triviales de la estática hallan.

La solución algebraica de un sistema general de tres ecuaciones

simultaneas; dado el sistema:

a11X1 + a12X2 + a13X3 = C1

a21X1 + a22X2 + a23X3 = C2

a31X1 + a23X2 + a33X3 = C3

Se determina X1, X2 y X3, mediante el siguiente procedimiento:

Siendo:

Y

Se usa la regla de Cramer para resolver los determinantes y así calcular

las incógnitas del problema, siempre y cuando el determinante, D, sea diferente

de cero.

Sea la siguiente viga determinar matemáticamente si es estable o no.

P

14

30º

a bc

y

z

o

D= , por lo tanto el sistema es

inestable, ya que no puede

hallarse una solución única para las incógnitas.

Físicamente un sistema es Inestables: cuando no existe limitación alguna al

movimiento inmediatamente después de aplicarse una carga.

Casos de Inestabilidad:

a)

b)

En fin, Una estructura es estable o inestable, y determinada o

indeterminada, dependiendo del número y disposiciones de las partes

componentes internas y de las componentes de reacción externas.

15

Puede desplazarse

Puede girar alrededor del centro de rotación, o, donde se interceptan las tres líneas de acción.

o

Puede girar o balancearse

F1 F3F2

D=0

Inestabilidad Geométrica: se produce cuando se introducen uniones internas

en una estructura generalmente estable, así se tiene:

Isostatica y estable isotatica y geométricamente inestable

INDETERMINACION ESTÁTICA: Una estructura indeterminada puede

definirse como aquella para la que las componentes de reacción y esfuerzos no

pueden determinarse completamente mediante la aplicación de las ecuaciones

de condición para el equilibrio estático.

1.1.- Grados de Indeterminación Estática o Grado de Hiperestaticidad:

Es el número de componentes de reacción de los vínculos superfluos o

superabundantes, y se denota por, “Ie”.

Se define también como la diferencia entre el número de fuerzas

desconocidas o redundantes (incógnitas) y el número disponible de

ecuaciones de equilibrio para obtener estas incógnitas.

Es simplemente el número de incógnitas que supera el número

disponible de ecuaciones de equilibrio estático, y matemáticamente

puede expresarse así:

Ie = Nº Incog – Nº EED

Siendo Nº Incog: Número de incógnitas

Nº EED: Número de ecuaciones de equilibrio disponibles

Deducción De la Ecuación del Grado de indeterminación Estática: En

marcos, armaduras o cerchas tanto planos como espaciales.

Marcos Planos: En un marco plano en equilibrio estático, solo hay tres

fuerzas independientes desconocidas para cada uno de sus miembros, la

fuerza axial, la fuerza de corte y el momento flector, como se muestra a

continuación:

16

E n tonces la cantidad de incógnitas del sistema de

marcos planos consiste en el número de fuerzas independientes de cada

miembro más el número de reacciones de sistema dado, así se tiene la

siguiente ecuación:

Nº Incog = 3NM + NR

Siendo: NM: Número de miembros del sistema

NR: Número de reacciones del sistema

Para determinar el número de ecuaciones de equilibrio disponibles, se

tiene que aplicar primeramente las tres ecuaciones del equilibrio estático:

∑Fx=0, ∑Fy = 0, ∑Mz = 0, por cada junta tanto interna como externa de la

estructura. Por lo tanto, queda definido por: Nº EED = 3NJ.

Esto indica que el grado de indeterminación quedaría expresado así:

Ie = 3NM + NR – 3NJ

Siendo NJ: Número de juntas del sistema

Esta condición es aplicable a cualquier marco plano que tenga miembros

continuos y juntas rígidas internas. Sin embargo existen condiciones especiales

de construcción que pueden reducir el número de incógnitas y por tanto el

grado de indeterminación de una estructura, tal es el caso de las juntas

articuladas o con pasadores. Considerando que una articulación contribuye con

otra ecuación adicional, como lo es, ∑M = 0, es decir, que la sumatoria de los

momentos en la articulación debe ser cero para asegurar el equilibrio estático.

Esto implica que la ecuación general para determinar los grados de

indeterminación estática de un marco plano es la siguiente:

Siendo NC: Número de ecuaciones de condición y viene expresada por:

NC = (n – 1)

Donde n: Número de miembros que llegan a la junta articulada

Marcos Espaciales: Cada miembro de un marco espacial tiene seis

fuerzas internas independientes (una fuerza axial, dos fuerzas de corte, dos

17

Ie = 3NM + NR – 3NJ -

momentos flectores y un momento torsor); además dispone de seis ecuaciones

de equilibrio estático por cada junta (∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Fz=0, ∑Mx=0, ∑My=0,

Mz=0) más las ecuaciones de condición por juntas articuladas en el sistema.

Entonces la ecuación para determinar los grados de indeterminación estática de

este sistema, queda definida por:

Donde NC = 3(n – 1)

Armaduras Planas: Las armaduras están compuestas por miembros que

soportan solo fuerzas axiales, es decir que por cada miembro hay solo una

fuerza interna independiente desconocida. La cantidad total de incógnitas

consiste en la fuerza de cada miembro más las componentes independientes de

reacción. Además para cada junta articulada no existen momentos y solo hay

dos ecuaciones de equilibrio disponibles para cada junta, ∑Fx=0 y ∑Fy=0.

Entonces la ecuación para definir los grados de indeterminación estática para

una armadura plana queda expresada así:

Armaduras Espaciales: En este caso sigue existiendo una sola fuerza

axial desconocida para cada miembro (fig), pero en cada junta hay ahora tres

ecuaciones de equilibrio, ∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Fz=0. Por tanto, la expresión para

determinar el grado de indeterminación estática en este sistema es:

EJEMPLOS:

1. Calcular el grado de indeterminación estática de la viga mostrada.

18

Ie = 6NM + NR – 6NJ –

NC

Ie = NM + NR – 2NJ

Ie = NM + NR –

3Nj

1. Se cuenta el número de miembros, de junta a junta se tiene un miembro.

2. Se determina el número de reacciones que aportan los apoyos

3. se cuentan las juntas

4. Se analizan las juntas articuladas, para determinar las ecuaciones de

condición aportadas por cada una de estas, y se totalizan.

5. Se aplica la ecuación para determinar el grado de indeterminación

correspondiente al tipo de estructura, en este caso para una viga.

NM = 3 miembros

NR = 3 en A + 3 en B

NR = 6 unidades de vinculación

NJ = 4 juntas

NC(a) = n-1 = 2-1 = 1

NC(b) = n-1 = 2-1 = 1

NC = 2

Ie = 3 x 3 + 6 – 3 x 4 – 2 = 9 + 6 – 12 – 2 = 15 – 14 =1º

Ie = 1º lo que indica que esta viga es indeterminada en 1º grado

19

Ie = 3NM + NR – 3NJ -

A B

a b

2. Calcular el grado de indeterminación estática del siguiente pórtico

plano.

NM = 24 miembros

NR = 1 en A + 2 en B + 2 en C + 2 en D + 3 en E

NR = 10 unidades de vinculación

NJ = 19 juntas, considerando el extremo libre F como junta, la cual también

puede ser obviada conjuntamente con el miembro FG y el resultado no se

altera.

NC = n -1

NC(a) = 3 – 1 = 2

NC(b) = 4 – 1 = 3

NC(c) = 3 - 1 = 2

NC = 7

Ie = 3x24 +10 – 3x19 – 7 = 82 – 64 = 18 Ie = 18 º

Esta estructura es indeterminada en 18º grados

20

A B C D E

F G

a b

c

Ie = 3NM + NR – 3NJ -

3. Calcular el grado de indeterminación estática del siguiente pórtico

espacial.

NM = 28 miembros

NR = 6 en A + 3 en B + 6 en C + 6 en F + 3 en E + 6 en D + 4 en G + 1 en H

NR = 35 unidades de vinculación

NJ = 20 juntas

NC = 3 (n-1)

NC(a) = 3 (5 - 1) = 12

NC(b) = 3(4 – 1) = 9

NC = 21

Ie = 6x28 + 35 – 6x20 – 21 = 62 Ie = 62 º

Esta estructura es indeterminada en 62º grados

21

A B C

D E F

H

G

a

b

Ie = 6NM + NR – 6NJ –

NC

4. Calcular el grado de indeterminación estática de la siguiente cercha

plana.

NM = 12 miembros,

Nótese que los miembros se cuentan por cada dos juntas

Articulada.

NR = 2 en A + 1 en B

NR = 3 uv

NJ = 6 juntas

Ie = 12 + 3 – 2x6 Ie = 3º

Esta estructura es indeterminada en 3º grado

22

A B

Ie = NM + NR – 2NJ

5. Calcular el grado de indeterminación estática de la siguiente cercha

espacial.

NM = 42 miembros

NR = 3 x 4 = 12 uv

NJ = 12 juntas

Ie = 42 + 12 – 3x12 Ie = 54 – 36 = 18º

Esta estructura es indeterminada en 18º grados.

23

A B

CD

Ie = NM + NR –

3Nj